Некоторые условия моногенности и голоморфности изображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

' 0‘ііі

АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

інститут шітезідтюш

11а праваї рукопису

ГРЕЦЬКІЙ ОЛЕКС1НД. СЕРГІЙОВИЧ

ДЕЯКІ УМОВИ МОНОГИШООТІ ТА ГОЛОУОРНЮСТІ ВІДОБРАЖЕНЬ

01.01.0 - математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття вченого ступеня кандадата . фіаяко-математичннж наук

Київ - 1993

Роботу виконано у відділі топологічних катодів вналіву Інститут; математики АН України.

Науковий керівник: доктор фізико-иатеиатичпих нау; БОНДАР A.B.

О&іційні огонэнти: доктор фізико-матемапгаяих наук КОЧУВЕй А.Н.

кандидат фізико-математичвих паук ГОРЛЕНКО Q.B

Провідна установа: Інститут прикладної ватематики 1 механіки АН України, м. Донецьк

Загт^т відбудеться "ль-* -‘Ч-! 'і993 р. о ¿у годин;

на засіданні спеціалізованої ради Д 016.60.01 при Інституті »«тематики АН України 8а адресою:

262601 Київ 4, ГШ, вул. Терещенківська, 3.

8 диоертацівю мо*нв ознайомитися у бібліотеці Інституту.

Авторвфярпт ровіслано *„

Вчяяжй «мкрвтвр сггпіадіяотчноТ рад*

ГУОАК Д-В.

Актуальність ' тами. Актуальною проблемою сучасного комплексного аналізу в вадача пошуку та обгрунтування у певноцу розумінні "мінімальних” умов, що забезпечували б голоморфність відображень 1а заданих класів.

Класичний варіант цієї проблеми для Функція коші-ксної вмінної, відображений у роботах Г.Бора, Х.Лоомана, О.О.Бавнковича, Все s найбільш повно виявився j працях Д.Є.Меньшова. Ца5 математик виділив та доолідав різні геометричні властивості, що в послабленням вимог до збере ге ння ку'їв, оталості розтягів та 1н. t доолідееннях Меньшова, а такой працях деяких Інших математиків, було досить суттаве пряпувдняя - однолистніать функцій. Піаніиз В.П.Трохимчук на основі синтезу Ідей теорії внутрішніх відображань ■та теорії многин моногенності зняв це досить сильне обмана ння, а A.B.Бондар розробив у низці праць багатовимірні та ПЄСКІНЧ0ЯНОВІМІШІ аспекти згаданої виде проблеми (для випадку нідобравень гільбертовпх просторів). Результати останніх досліджень знайшли своа відображення у п1дсумк''чувч1й етнографії А.В.Бондаря "Локальные геометрические характеристика Голоморфных отобраганий" ( Київ: Наук, думка, 1992 ).

Дисертаційна робота присвячена встановлення результатів

такого змісту для випадку нескінченноаимірних просторів на ось Л вивчення властивостей похідних операторів, цо певним чином пов'язані ів розглядуваними відображеннями.

Метоп дисертаційної робота в як досд1да»аш процесу

диференціювання для певного класу відоораз» і гільбартоваж

просторів засобами теорії локальних геонагрячшх харахтераотеа голсморфшх відобрагань, так 1 розвиток теорії дія кипядку відобрааваь банаховах просторів.

Шкшип лоолілтань. У роботі використані катоди теорії ліяійтсх операторів гільбертових та бвкаховах просторів, взтода геометрії баиаховях прооторіп та категории# ійтод, ©о базується т тчпреиі Варя про категорії'.

кадава ттт X çmomx шшшт шшшшшаї ша.сц

1. Отримано достатні умова с-ДЕфаренційоввиості для даякого клаоу відображень гільбертових просторів.

2. Введено понятійний апарат та отримано критерії моногенності для R-диференціЯоввних відображень баяахоних просторів.

3. Отримано достатні юви голоморфаості для локально ліпшицешх відображань та для деякого більш широкого клаоу відображань бавахових просторів.

Воі результати, отримані У ДИСеріаЦІЙНІЙ роботі. S П0Е2КЯ.

Т80В9тична 1 практична цінність.

Результати можуть бути використані для розвитку теорії ■лекальних геометричних характеристик голоморЗвих Еідобракзнь Оснахсвях просторів.

іігообв- *45 робота. Основні результати дисертаційної робото доповідались на. семінарах відділу топологічних иходів внзліву Інстктуту математики АН України < керівник - професор, доктор фіз.-хпт. наук Ю.В.Троишчук ), на Літній математичній еколі ( Миколаївна, 1S92 р. ), на пвуково-иолодіхяі» конфаренції іи. бквд. Ü.Кравчука ( м.Київ, 11-13 травня 1993 р. ). •

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковані у 11-41. Результати, ваведені у дисартвції, отримані взторсп самостійно, за винятком б 3.1, вміст якого відобрала ний у (2). Еавоок співавторів рівноцінний.

Сугшгггда і ойТен-т&яи. Дасартвція свдвдазться зі вступу, трох розділів та списку літератури, ер нараховуй ЗО робіт.

Коротко вупзнкюаь па структурі те основних результатах диовртецШгаї роботи.

Для характеристики диференціальних влаотивостой відобраною, областеа ЕаскІлченноЕкмірного простору використовується семість суттгооті похідних чисел, як це робиться в одпошшірному випадку, сукупність с-лінійних опара торів, яка давним чином пов’язана їв гозга оідобраззншвсі. иа цьому шицг шшгвазвть поняття похідного шчрягора, (інояшїя кюногеяяаоті та будувться теорія локальних TTCW"Tp84SBX ХарВКТРрИОГЕИ ПШОТСР^ШХ відображень . .

У розяШ 1 яоолііеяурп-сп процяо дифарчнціаввввя для

певного клаоу відображань областей гільбертового простору ва основі узагальненого поняття инокини моногенності.

Нехай tf-комплаксний гіл’ Черговий простір. о(Н)-сукупність воіі ортонормованих Оазисів є=Сеа) , де U - иноигаа Індексів довільної потужності. Кожний такий базис назвемо репером. Фіяоушм всади щільний лїйвал G простору В.

Означимо клас відобрааень.

Означення О.і. Відображення /: D В, , де В > D - область, назвеио ROI-диференційованим ( сої - даферанцівоввним ) у точці

а в о, якцо існув такий (аЛ0 « OlR(Н, В,) (/• (аДд« аіс(В,В,)), да 01К(Я,Й,) - клас к-лінійних 8вмпїєнйх операторів а И в В,, і С с dem /’ (а,), ца

. Клас таких відобрагень позначкио iwai(0,(a)) або а fC0l(G,{a>)

Базовга поняттям дослідження а поняття похідного оператора відобрагання. Нэхай о( в,G) :■* f s| е « û(B) л a cC) .

-Оаночзіта O.S. . Olu’n поолідовноотай

назявазться pa ne ром поолідошостйЗ у точці я а дэгачнеи [»nftpc.i е <г о (ff.G,), пкцо виконані такі уівдсн:

I in -

Î-Û а 0

« О,

I s - а і

Означення 0.3. Нехай В, В,- коншюксні гільбертові іфостори, /: і) * В]~ відображення області В с В тв 8 ■ - такий

репер послідовностей у точці а « о в дотичним рвпврои

в - Ге<,5ав«у « о(В), що г* в £ V а,й. Вважатимемо, що у точці а

існує похідний оператор Ц/,Ш,а) відобраявняя / вздовж решра поолідовзоотей І, якщо:

О) е-{ев’ ^ С От 1(їЯ,а);

б) йсга І »Я;

в) V а « У - існувть границі:

Ї(г*а)-Г(а)

Ия--------- — •” С- в Д(;

. *«» |с£ ~ °8 в 1

г) КГ.Ь.а) - с-лініЄеей евккеєней оператор, ер

сідгояідав умовам: '

ІГЛІ,о;еа - Се - V а • «. -

яГ/,си:- { 2 | 1«2(в; л є « о^н.о; л йод іґ/,8,а; 5 0 1.

:« С Щ,Ш,а) | Ш * я(/,а) і.

Наазззга я(?,а) мнсиидшм міх реперів, гоалідовяоотвй 8 вІдоОразйпвя / у точці а (в різниш дотичшкз рапорти в а с(В,0)), а * - «шейнор шхідажх операторів відображення ? у точці а.

Дяя попільного радари а * **(В,С) шешячкмо черев Б(є)' ргаягстпу гЛРгіту МріЯпу оПоапту тояти я. е шаги? кпіу

діегггпгт оїдороогоріа Х(е) с Н, де в * о(Я,С), позначимо чареа

я(Я.О). Очевидно, ер якщо В - В(е) а х(В,в), та К в ІЕ - В.

Коєному підпрооторові 2 » *(В,0) поставимо у відповідаїоїі R-лініЯта оператор спрягання Jt:B->B, вкаиач&нлй таким чннаа: й » s » z' + Із“, дв Z' ,2й« S J3t z' -ta”.

Оатеїікя 0.4. Нехай

З,, Kÿ» Q), В » в *• z'+ttr, де а*, z" « В,, тоді

Т, я г» Г, . в і- J, s*+(J» 2“

», *,»«0 sQ *Q

Для кОї-дафаренцШіваних ні, бравааь мдожини мошгєшшсї і характеризуються таков таораьюв.

Те орала 0.1. HaxaS H => D -область, /: D •• Н, - відображена« кої-двфзранційоввве у точці a a D. Тоді для довільного рапара а

в о (Я, G ) та довільного репера поолідовностеа 9 »

у точці а в . .атичтам репером е іонув похідний оператор І(/,Ш,а)

відобрагеная / у точці а вздова 8 та відповідав всореваш.’ ?(ґ,а)г

Ц(/,а) i-L(f,U,a) - /ffaJ + /j (a)Tt, дав - Е{в;, J JIq,

/4aja - (/4ajts '

itla)z . —--------? ------------—-,

lf'(a)Je -

fj(a)z • ——---------------------------------—- » і ' l

Зауважимо, що форма зображання кнокшш похідних оператори для зазначеного класу відображень в дуза вдалов: в одного Ооху вона свідчить про "органічність", поняття похідного оператора ( опрацьовують одаоьамірні аналогії ), а в Ішого боку ця форма нівнвчав двякоо мірою иатодаку доолідавння.

Накладати деякі обмеження на шюмшх мшюпмшааті відобреввнь кяяоу fxQKG,(a)), в у детале випадках і на елемента

мзоаяни x(B,Q) ( див. теорему 0.2 ), мн отримувао достатні умови с-диЕерзнціЯоваїгасті для даного класу відображань.

Овнспвння 0.5. Пара (Е}, Тг)~ дійсних звмкневих підпросторів простору Я такте, що Ег« х(в,0) та Е,+Кг» И, шреОувапть у відношенні загального розташування відносно G ( окорочена

позначення: (ї,,гг) • Arr(G)), де С - лінеал, якщо

3?|Л О + G — G.

- Teopeja 0.2. Нехай 0-область в в, /: D -• В - відображення, вОІ-даференційоване у точці а • D, лінеал G Інваріантний відносно

операторів «Г^, та - (Et,Жг) « Arr(G). Тоді, якщо похідні

оператори та відображення / у точці а вздовж двох

підпросторів £, та Кг вбігаються, то відображення / сої-двфвренці-

Жоване у точці а.

Овнаывння 0.6. Вввжапаюмо, що замкнений лікіЯняй оператор X: І ♦ Я зображується у вигляді декартового розкладу операторів на ліяеалі С. .

X:« №14 і і* X, де

X + X*

Яв X:-------------дійова частина оператора X,

X - X*

Ви £:>------------уяваа частина оператора X,

21

мацо О s doel n OmL*.

Творелз 0.3. Hezaft D-облаоть в В, f: D ■> В - відображення, *01-диференційоване у точці а « D, дз Я - кодашксний, сепврабель-вя. , гільбертовий простір. Якир дійові або уявні Частини всіх похідних операторів Ьж • r(f,a) дорівнпвть.та G якомусь опарато-рояі Q та лінем С інваріантний відносно сім'ї операторів /f 1

dm( fl(a) + ) » О ЖЯ.О), то відображення /

*01- даф*р?ишЯітілт» у точці а.

Нехай Т - цільно вданачаний замкнений оператор, який дів 1а гільбертового простору Н в інший гільбертовий простір B¡. Тоді існуа полярний розклад операто; з Г :

Т - UR, danT « ОшЯ, де Я - (1 *Т),/г - невід’ємний, снко спряже ний оператор, що нааивааться операторним модулей Г.

Нехай f:lhS - відображення області D с я, ROI-диференційоване у точці а. Для кожного оператора І, a ?(f,a), В а я(і,0) ввшшемо полярний розклад:

“ UgRf :

Овпаяешя 0.7. Ввваатамеко, що відобралання /: D -» tí y точці а в D ыаа сталий оператор розтягу г, якщо .

ЙЛ -Я. V В a X(H,G), де R а 01С(Н) і Фм R 2 0.

Введемо позначення:

> fl(a)ft(a) .* т1/1(а);^а)Тя і /1(а)/'(а)Тв *

- rg/ífaJ/ífa;.

Тесрелп 0.4. Нехай /: D Н - відображення облаат D с H, кОІ-даференційоване у точці а 1 мае у цій точці сталий оператор розтягу Я. Крім того, лінеал С інваріантний відносно оім’ї операторів JB і

dora Lt L¡ а О V Е « ж(Я,в).

Тоді, якщо /£ГсО мав щільну облаоть r., . . ä, м

відовраквння f caí -диференційоване у точці а.

У розділі 2 дисертаційної роботи вводиться понятійний апарат дослідамвня та отримано операторні критерії мошгенності для ег-дафаракційованих пі добр акань баяаховах просторів.

Нехай пврз (П.д-а)-банйховвЗ коиплакса.,: птеїстір в

аідпгтішт нораоп, У - едаогинз довільної потушюстї.

Огч&ірнт O.e. '.'учутШгь ( ьятпюів простору. В

назвемо Свзжзоа простор?, надо віраа наступна твердовня:

Vi.fi зкг^кг^еслї.р^).

Кожний такий Оавис назвемо реперои, в сукупність всії реперів позначимо через о(В).

Нвхай б - 1©а}<жв<11 в °(В). Позначимо черев Я(б) дійсну лінійну вамкнену оболонку є* г сама:

8(8):-

Означимо множину таких дійсних підпросторів:

*(В):« С В(в)| а « о(В)}.

Нехай Е0 « х(В) - довільний, але фіксований дійсний підпростір. Чвадемо к-лініЕний оператор спряження «Г, асоційований В ровіишдои В - к0 • (ЕдІ

V і • в, Л є' - їв", де £!«*'+(*" та £• ,Е” • *0*

Для довільного £ в К(В) 08ЯВЧЯЮ с - ліяійней оператор Г,: В - В, а сама: 1

г,й ■« л* 4 1/л~, де Я 1- 8’ + і*“ - довільний елемент простору В та в",е“ К. .

Подамо означення похідного оператора в одного (Запахового простору в Іивші.

Означення 0.9. Сім'я послідовностей

в * ** о* *

вчзтаявться репером послідовностей у точці а в дотичним репером

в т в(В), явно віпгонаиі такі умояиг

в} їй» в? ■ а V а « VI

, ' ' . ..

£* "СІ — #* *»

А» На—І-------------- в. V а • V; а - в^в;,в - ( вв^г

»-*« |гв - п|

Отюпечт 0.10. Шївй Я, В, - комп^оигті вгавхолі простори.

/: О ■* В,- відображення області ІсВта 2 * - такий

ре;:ер послідовностей у точці а е г з дотичним репером

Ь

е= {ва}авЦ в °<я)» ЕР 2а а О у а,й. Вважатимемо, що у точці а

існув похідний оператор І(/,й,а; відображення / вздовж реїтаря послідовностей І, якщо:

а) V а « У існують граішці:

Ї(г1)-?(а)

\1т ~Т^г~— “ Са « в,: .

*-к» |2в - аЯ

б) Ц/,И,а) - с-лінійний обмежений оператор, що відповідав умовам:

Ц/,Ш,а)єа ■{, Уа<11.

Кнокину всіх реперів послідовностей 3 у точці а (з різними дотягати реперами в а о(В)), вздовх яких існувть похідні

оператори відображення /, позкзчиш через я(/,а),а мнонану всіх

похідних операторів де 2 пробігав я(/,а), позначимо

через ?(?,а) і назвеш II «ноаинов похідних операторів відображення/у точці а.

Нагадаємо означення к-диференційованого у точці відобраг-шя.

. Означення 0.11. ВІдоОрагення /: В ■» В,', де В з В - область, назвало . к - диференційованім ( с - диференційованим ) у точці

а « и, якщо іонув такий к - лінійний ( с - лінійний ) неперервний оператор /'(а): В + Я,,.що

Г(2)-Па)-Г (6)(г-а)

ї(и---------------------— » О.

я-»а | г - а | ■

Для к-дгфоренційованих відобрвгзяь множини шногегатості

характеризуються такою теоремою.

Теорема 0.5. Нехай В > D - область, /: D t В, - відображення,

к - диференційована у точці а є І), тобто /'(aj « де

aK(B,Bt) - клао вг-лінійних неперервних відображень. Тоді для * довільного репера є а о (й) та довільного репера послідовностей

і = ( у сенсі означення 0.9 ) у точці а в дотичним

рзпарсм є існув похідний оператор Kf.E.a) відображення / у точці а вздоь* 2 та відповідне зображення f(f,a):

Ls(f,a) :» Kf.ë.a) - /.fa; + /gfajï-,, де s ^ Efe;. •

Як покаауа теорема 0.5, дослідження умов с-диференційованооті для к-диференційованих відображень у точці вводиться до пошуку достатніх умов, які б забезпечували операторну рівність fj(a) » 0. При цьому важливим в вивчення властивостей оім’X операторів Тв: В ■* В, де В в х(В). '

Теоремі 0.6. Нехай z - довільний фіксований не нульовий елемент банахового простору В, Р ;=

Тоді вірне твердження:

• V (V * О л У * В) З В (В m F) а 7 (7 a RJ i J/ - 7 8 J.

Наведемо кілька означень, у термінах яких будуть сформульовані обмеження або на множини монотонності відображень, або на елементи мнокйни *(В).

Оаначеиня 0.1?. Вважатимемо, що дійсні підпростори E,t 0,...,

іїас В горабуиаоть у відношена! ввгальнсно розїатуїштч, якщо для

ДОВІЛЬНИХ J Р І ВИКОНАТЬСЯ ËJ 4 Я, я Я.

;; Рзначення 0,13. fes.Pâ £: 8 < Я, - г-лілійнтй прпвр«»ррйий

■ ' І оператор. Означимо оператор І теютл співвідноивншш

£*;■

О, яіщо 1 = 0, ІУЩ, якщо Ь >* О.

ІйхвА В - комшіекгчий рефлексивний бвнаїовий простір з базисом в - ( е, і,“,, *: В ■* В - довільний с-лінійний наїгерарншгй

оператор: * • а(В), та ( - базис у спряганому до В просторі

* А

В , біортогдаальшЕЙ до 8. Результат дії лінійного функціоналу Ф « 5* на влэиэят х в простору Вс позначатимеш < т,ф >. Опаратор * припускає матрична зображення Л відносно базису в :

А де а{<, - < *0,,^ >Г

Овнсршхя 0.14. Вважатимемо, що лінійний иг-^рдрвний оператор ^ вобрануетьоя у вигляді декартового розкладу опера торів віднсг ’о базису с, язвцо

А Ява + ІІпА, да Яві :« Г

< *0(,ф| > + < *Єе,ф; >

Ву ------------------р------------ .

іївЛ назвеш дійсною частиною оператора *. Діагональ матраці А

позначатимемо як вІс^А,

Критерії йоногеннооті я-диференційоввних відобрюгонь сформульовано у таких теоремах.

Теоремі 0.7. Нехай /: В -• В, відображення області Ь ~ В,

н-деференцііїованв у точці а « В. Для с-даференційгк.люоті / у точні а необхідно 1 достатньо ипотнання однієї їв татах умов < Р, перебувають у відживші загального розташування ):

(а) Для тдпросторів Е,,Бг« х(В) похідні оператори lsl

відображання / у точці а вздовж £, та Вг рівні.

* fbj Для підорооторів g,,Ee.B3 « *'(В) рівні оператори ij^s '

т» Te _ Tt iij =* i/g - ¿3.

Teop&iа 0,8. Нехай, /: D -* В - вІдоОракашія області D <= В, ¡к-диференційоване у точці a«D; В - сешрабальний рефлексивний банаховий простір. Для с-дшБеренцІйованост 1 / у точці о необхідно 1 достатньо виконання однієї з таких умов:

(сі) відносно деякого базису е = f е, J,", діагоналі дійсних

частин похіді х операторів r(f,a) збігаються;

л •

(с2) відносно деякого базису є = ( е, )(mt дійсні координати образів одного з елементів іо є при дії операторів з кноаини гґ/,а) збігаються.

. У розділі 3 дисертаційної роботи отримано достатні умова с-диференційованооті відображень вздовл підпросторів, та достатні уиови голоморфності для локально лішицевих відображень 1 для деякого більш широкого класу відображень областей банаховиі просторів.

У S 3.1 викладена техніка "спуску" на простори скінченного виміру. Основний результат сформульований у такій теоремі.

їеорела 0.9. Нехай Bf - комплексний підпроотір скінченного виміру ( ковиміру ) сепарабельного рефлексивного простору В 8 базисом; /: D ♦ В - відображення області De в, що належить множині гф.Са)) 1 к-диференційоване у точці а « D вздовж В,, тобто існув такий к-лінійний неперервний оператор (а)і В, -» В,

w " ■ ■ ' ■ ■ : ’

І f(a+hH(ahfk(a)h |

ця -------------------J-------„ - о. .

5-2 І М

Тоді, якщо шшонуеїься одца в* таких умов:

(сі) відносно деякого базису е > ( е, J,“j діагоналі дійсни

частин похідних операторів ?(/,а) збігаються}

(с ’ відносно данного базису в - ( е, і,“, дійсні координата

А

образів одного з елементів е при дії операторів в кнояини ?(/,а) вбігаються, то вІдоОравання / с-дифвренційоваие у точці а вздова В,.

У в 3.2 отримано достатні уиови гапошрфності для локально ліппицевих відобраяень та відображень, що відповідають умовам (І) та (От).

Наведемо деякі в них.

Лет 0.1. НахаЗ ІЗ- ойлзсть б ¡шахового простору В,,0' в Я в о ~ гяладвпня кноанн; прз цьоку нідашсаана 3’ в кноепеою та штяоі кстагорії у д. НзхеЗ /: 1) ■* В,- кепорэрзшэ підобрзшня, цо для довільної гаш а е д’ відповідаз текій ушві Гі; : "" ,

— 2 /(2) - Ґ(а) §,

ТШ ■— ...... " ■ я л(а) < о-,

*-»а 0 я - а ¡}

Тоді існує така куля Щ, ( Е$ е в ) із центром у двякіа точ^і

га а д, ер яз йяоиші д >* 0 відсбрвязгаи / відповідає ут.тозі'

Лііееця в деякою константой л. -

Нехай 3 - тшлексняа банаховий простір, є « В, | в | » 1, К( є, г ) - відкрита пуля з центром у точці є радіуса г < 1.

Позначимо через Соп ( о, в, г } конто а верзпшою у точці О,

породажяй пулза ЯГ о, г тобто:

Соя ( о, е,~г ) :« { і« В і ( з \ в г хт в ЯГ в, г )1 ).

Для довільної точка а * В

Соп ( о, а, г Ь‘" а * Ооп ( о, в, г

Оямачекня 0.15. Кэхяв Р-облчсть у В та /: П ■* В, ~ відобра-

сяшя. Ввагатгмямо, що для / итеонувться у точці а*І ;чога ( Сап ), якщо Ігяупть тякі э « й . в е Ц » », : г < 1,

ПО

TIS — *-»e j

ЛаО»ма,в,г>

14

і f(e) - f(a) І,

1 z - а g

(1)

Теорем 0.10. Нйтяй D - область комплексного сепарабельного рвфаахсивного банахового проатору В Із базисом та /; D -» В - локально лішшцева відображання, ер налагать мнокині ^(D.D).

Припустимо, що для кокзої точки а області D виконується одна в таких умов: .

• ' А _ ,

(а1) відносно деякого базиоу в - ( е, J,., діагоналі дійсних частин шхідшх операторів la ?ff,a) вбігаться;

А „

fc2,J в 1^ооно деякого Оазису н = С et дійоні координати

" А ' .

образів одного з елементів в при дії операторів в мнокини ?(f,a)

вбігаються.

• и відображання / голоморфна в області D.

¿■¿орала 0.11. Нехай D - область комплексного сепарабельного рефлексивного банахового проатору В із базиоом, /: D -» В -неперервна відображення, що належить шогшні y(ü,D) та для кожної точки а <і О відповідав одній ^ умов ( L ), ( Ост ), а такса одній

в умов (а1), (с2) ( дав. попередай теорему ).

Тоді відображення / голомор$ие в області D.

На закінчення автор ввазаа своїм обов'язком висловах»! щзру подяку науковому керівникові доктору фІвЕко-натекатачнвх ньук &.В. Бондаре ва увагу до робота та стану ликле обговорення.

Осноші полояання дисертації опубліковані у таких роботи:

». Грецькій 0.0. Доотвткі у ¡¿о ви с.~дефорвЕЦ1йованоот1 для одного класу відобракень областей гільбертового простору // täar. студії: 11р. Львів. И!,т. т-аа. - 1993. - Ежі. г. - 0. 78-83.

І

2. Грецький 0.0., Грецька Т.А. Про с-дЕфзрййцІЗоЕавІсть відобра-

■тень . пзскінчзшгавкнірних просторії!. - Львів, 1993. - 32 о. -( Прзпр./ АН Україна. Ін-т прякл. проОгам кзхвніет 1 «атеаатЕка їм. Я.О.Шдотригача; JJ7 - 93 ). ,

3. Гроцький 0.0. Про удана голомстрїБості лілинцевах відобраашь ОЕнаховзи просторів. - Київ, 1993. - 20 о. - ( Щюпр. / 1Н Уіфаїня. Ін-т математики; 93.19 ).

4. CratBksr 0.3. On sufficlsnt conditiona of scnogensity Гот . flifforentisble гзрз cn dcsainD of Ennach. npases // Тез. Пзрпої Укр.-Дмзрпк. вк. "Д^ервЕцівльпі рівнішая .'тп 1т застосування"

( йфзїпз, Ерги, Судак, 1-Ю Ч9рв. 1953 р. ). - Raia: Іа-ї ігатетгатяка АН Укроїш, 1993. - 0. GT-SS,

Піди, до друку 21.06.93. Форма! 60x84/16. Папір друк. Офс. друк. Ум. друк. арк. 1,16. Ум. фарбо-відб. 1,16. Ойя.-ввд. арк. 0,8. Їирак IOÛ пр. Бам. ЦЦО Безкоштовно.

Підготовлено і віддруковано в Інституті математики АН України 252601 Київ 4, ГОІІ, вул. Терещенківська, З