Некоторые вопросы аппроксимации в обратных задачах для уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ермолаева Ольга Николаевна

од

НЕКОТОРОЫЕ ВОПРОСЫ АППРОКСИМАЦИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 1998

Работа выполнена в Красноярском государственном университете

Научный руководитель - доктор физико- математических наук

профессор Ю.Я. Белов

Официальные оппоненты - доктор физико- математических наук,

профессор Ю.Е. Аниконов, доктор физико- математических'наук, профессор В.М. Садовский

Ведущая организация - Новосибирский государственный университет

Защита состоится на заседании диссертационного совета К 064,61.01 при Красноярском государственном университете по адресу: г.Красноярск, проспект Свободный, 79. 8.05.98г. в 14°°ауд. 32-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан <л£..>...^Иф^л^г....... 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Актуальность темы. В последние десятилетия широкое развитие получила теория некорректных задач. Некорректные задачи связаны с различными прикладными проблемами: интерпретацией показаний физических приборов, геофизических, геологических , астрономических наблюдений, оптимизацией управления и планирования и т.д. Принципы подхода к постановкам некорректных задач, естественные с точки зрения приложений, были впервые высказаны А .Н.Тихоновым и были связаны с обоснованием метода подбора при интерпретации данных геофизических измерений.

Обратные задачи - одно из направлений теории некорректных задач. Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов дифференциальных уравнений, границы области, граничных или начальных условий по той или иной информации о решениях этих уравнений. Многие важные прикладные вопросы, касающиеся упругих смешений, электромагнитных колебаний, диффузионных процессов приводят к обратным задачам. Причем круг таких проблем постоянно расширяется.

Первые исследования в теории обратных задач связаны с обратными задачами сейсмики. В одномерном случае одна из таких задач впервые была рассмотрена Герглотцем. Теорема единственности решения сложной многомерной задачи для уравнения Шредингера в классе кусочно - аналитических функций впервые была доказана Ю.М. Березанским в начале 50 - х годов. Исследования других многомерных обратных задач впоследствии были проведены М.М. Лаврентьевым, В.Г. Романовым , Ю.Е. Аниконовым , А.И. Прилепко и др.

Вопросы корректности краевых задач, их аппроксимация задачами, содержащими малые параметры, являются одной из важных областей в теории дифференциальных уравнений. Многие задачи механики сплошной среды описываются системами уравнений в частных производных, при изучении которых важную роль, играют их аппроксимации, зависящие от малых параметров. Введение в исходное уравнение добавочных членов, содержащих малый параметр, позволяет улучшить дифференциальные свойства решения, сделать задачу более устойчивой к из-

менениям входных данных, строить более простые и экономичные численные алгоритмы. Первыми по теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной были работы А.Н. Тихонова и И.С. Градштейиа . Е. Хопфом был использован малый параметр при исследовании уравнения переноса. Различные краевые задачи для линейных эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных изучались в работах O.A. Олейник , O.A. Ладыженской . Вопрос об аппроксимации системы уравнений течения вязкой несжимаемой жидкости системой уравнений с малым параметром при производной но времени был рассмотрен H.H. Владимировой , Б.Г. Кузнецовым, H.H. Яненко . Одним из возможных методов исследования систем уравнений нарабо-лического типа является их "гиперболическая аппроксимация," т.е. включение в уравнение второй производной по времени с малым параметром £, исследование решений гиперболической задачи и предельный переход при е. При этом часто оказывается, что решение uf аппроксимирующей гиперболической задачи сходится к решению и исходной параболической задачи. Эти задачи возникают, например, в вычислительной математике, когда при решении различных задач для параболических систем используются трехслойные разностные схемы. Так, при изучении задач фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости в случае линейной модели задача аппроксимации исследована Коноваловым А.Н.

Цель работы. Состоит в постановке и исследовании вопросов корректности обратных задач с малым параметром при старшей производной по времени.

Методика исследования. Связана с применением метода срезок, получением априорных оценок и применении на их основ« обших методов решения нелинейных краевых задач.

Научная новизна. В диссертации получены следующие но вые результаты:

-доказана теорема существования и единственности решенш первой краевой задачи для гиперболического уравнения с мальв параметром при старшей производной по времени и неизвестны*

коэффициентом при первой ироизводдой по пространственной переменной;

- найдены необходимые условия существования и единственности решения задачи для гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной по времени и неизвестным коэффициентом при второй производной по пространственной переменной в случае граничных условий первого и второго рода;

- получена теорема существования и единственности решения гиперболического уравнения с малым параметром при старшей производной по времени и неизвестной функцией источника, зависящей от всех независимых переменных, входящих в уравнение;

- изучено поведение решений указанных задач при стремлении малого параметра к нулю.

Теоретическое и практическое значение. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при построении общей теории обратных задач.

Аппробапия работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах " Качественные теории дифференциальных уравнений" института математики им. C.JI. Соболева СО РАН, руководимом Т.И.Зеленяком,теоретическом семинаре под руководством Ю.Е. Аниконова ( института математики им. C.JI. Соболева СО РАН), теоретическом семинаре, руководимом Ю.Я. Беловым, на восьмой международной школе - семинаре " Качественная теория дифференциальных уравнений гидродинамики" (Красноярск , 1992), на Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1995), на Международной конференции " Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов) " (Красноярск, 1997), на международных конференциях: International Conference Advanced Mathematics computations and applications (Novosibirsk, 1995), Inverse and ill - posed problems (Moscow, 1996).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7].

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трехглав, приложения и списка литературы из 69

б

наименований, и занимает 134 страниц машинописного текста.

Содержание работы

пи введении приведены постановки задач, результаты иссл< дования их корректности и указана взаимосвязь с работами др; гих авторов.

В главе I в области

С}т ~ {<,х,г|0 < < < Г, 0 < х < х0,|г| < ос}

исследуется гиперболическая аппроксимация уравнения Катт; нео - Вернотте (уравнение теплопроводности с неизвестным коэ< фициентом при производной по пространственной переменной)

еьеп + и\ + 0 < £ ^ е0- (

Для функции ие ^, х, 2) считаем выполненными следующие ш чальные и граничные условия:

«г(0,х,2,е) = щ(х,г), иЦ0,х, г,е) = щ(х, г), (! иг(г,0, г, = г), ие(*, х0, х,е) = г), (: и£у,х,0,£) = <р{1,х), {'

которые являются согласованными.

Исследование обратной задачи проведено на основании пр| образования Фурье. Предполагается, что образ Фурье от ней вестной функции является функцией комплекснозначной, т.е.

+ 00

ьи — — / и£е~*!:у(12 = и)г +1и>2. 2тг ]

— оо

Далее предполагается, что образы Фурье от функций ио, , ц 1, имеют компактный носитель по переменной у, принадлежат* отрезку [—а, о]. Тогда обратная задача (1)-(4) сводится к пр. мой задаче для системы интегродифференииальных уравнена относительно функций ю1 и ги'2.

В §1 главы I рассматривается случай, когда входные данные удовлетворяют условиям

1) функция (р такая, что е<рц -+ <pt — ipxx = 0;

2) действительные части образов Фурье от функций u0, uj, , равны нулю.

Тогда решением задачи для системы интегродифференциальных уравнений является вектор (0,w2), где w2 решение задачи

уии2 f y7w7dy

О *) *} "У — О

ewtt + wi = wxx - у w + ——-, (5)

f yvtdy

— о

iv2(o,x,y,e) = и>%{хху), w2{o,x,y,s) = (6)

ш2(*,0, y.e) = j%{t, y), w7(t,x0,y,£) = Jll{t,y). (7) Справедлива

ТЕОРЕМА 1. Пусть функции Шд, u>\,fl\, Щ имеют компактный носитель по переменной у, принадлежащий отрез-Ky[-a,+Q),uw}(x,y) в W^n^JiKt.y) € W2{ro,0),ft(t,y) € c,,i0),t — 0,1. Пусть, кроме того, функции WQ,ji2, к = 1,2 удовлетворяют неравенствам

Уи'о > 0, ур?к ^ 0, J yuigdy ^ const >0, j yfikdy ^ const > 0.

— a —a

Тогда задача (5)-(7) имеет единственное решениеш2 (t, х, у) € W22{Qh,a),2de 0 < h < Т.

Применяя к найденному решению обратное преобразование 1>урье, получим функцию u£(i, х, г), которая является решением ¡адачи (1)~(4). Коэффициента^, х) выражается через ui2(t, х, у). Здинственность решения обратной задачи следует из единствен-юсти решения прямой задачи. Показано, что скорость сходимости решения обратной задачи (1)-(4) к решению соответствую-цей параболической задачи равна е —> 0.

В §2 главы I на входные данные накладываются следующие условия:

1) функция <р такая, что + <рг — <ртх = 0;

2) действительные части образов Фурье от функций ио, «1, Ц2 четные, а мнимые соответственно нечетные функции.

Тогда решением системы интегродифференциальных уравнений будет (к;1, иР), где и'1- четная, а и;2 - нечетная функции, удовлетворяющие уравнениям

а

уш2 / у21Х11 С{у

I « 1 2 1 —О1

£и'и + щ = Кх - У и + —г-.

/ уи>2<1у

(»>

уи)1 / у2гихйу

1.7 9 1 9 .

+ Щ = «"х. - 1Г» + -5-

/

— а

и условиям

«/(О.х.у) = Шо(г,у), и][(0,х,у) = и)|(х,у), (9)

ги'М.у) = /¿5(1и>''(«,Хо,у) = /4(<.У)> I = 1,2. (Ю)

Теорема 2. Пусть функции ю%0, и;}, р.2,1 = 1.2 ил<е-ют компактный носитель по переменной у, принадлежащий отрезку [—а, о] и и^

0,1. Кроме того, пусть выполняются неравенства

а

[ + 0, ./ хо

— а

а

[ у(и)2(0,х, у) - А? - - £?))<*» £ 0.

— о

Тогда задача (8)-(10) имеет единственное решение из класса где 0 < Л < Т.

Применяя к найденному решению задачи (8) (10) обратное преобразование Фурье, получим решение обратной задачи (1 )-(4). Причем это решение действительнозначное.

Скорость сходимости решения задачи (1)-(4) к решению соответствующей параболической задачи равна е —>■ 0.

В главе II в области С}т исследуется однозначная разрешимость обратной задачи гиперболического уравнения с малым параметром при второй производной по времени и неизвестным коэффициентом при второй производной по пространственной переменной

еи'н + и\ = и%х + а(1,х)и\2 + /(<,*,*), 0<е<ео. (И)

В §1 рассматривается первая начально-краевая задача, т.е. для функции и£(<, х, г) выполняются условия

= щ(х, г), и'|,=0 = Щ{х,г), (12)

«£и=о ие|г=г0 = (13)

ие|,=0 =¥>(*-*)• (Н)

Применим к (11)-(14) преобразование Фурье и предположим, что образ Фурье от и£{I, х, г) комплекснозначная функция ю = ш1+гIV7. Пусть функции входных данных удовлетворяют условиям

1) образы Фурье от «о, и:, , Ц2 имеют компактный носитель по переменной у, принадлежащий отрезку [—а, а];

2) действительные части образов Фурье отио, иь и Р четные, а мнимые - нечетные функции.

Тогда и;1 ии>2 - соответственно чётная и нечётная функции, и задача (11)—(14) сводится к прямой задаче для системы интегро-дифференциальных уравнений

1 1 г/|Еу2ш1 ,

еги^ + и>; ~ У)хх + --(- Р ,

/

,е 2 2 (15)

V" У и> , ,-.2

е*>3и + ш? = ю2хх - -+ Р1.

J у*и)Х(1у

U)'(0,r,y)=: w'0, w't(0,X,y) = w{, (16)

w'M,i/) = M. wl(t,xQ,y) = fil2. (17)

Для задачи (15)^(17) справедлива

Теорема 3. Пусть функции w'0,w\,ft'j и F' имеют компактный носитель по переменной у, принадлежащий отрезку [—а,а], и u>h,w[ £ ji[(t,y) £ ^23(Га,0), &{t,y) € W'®(Г»,¡то)> Fl 6 [QT,o),i>j = 1 j 2. Пусть, кроме того, функции wl, w}, ji\, Fl четные no у, а функции wq, w\, fi\, F2 нечеткие no у и выполняются неравенства

v>J ^ 0, ¡i) > О, 0,

а а

J у2 w^dy ^ const >0, J у2fijdy ^ const > 0,

— а — а

vt,xe г2, j = i,2.

Тогда задача (15)-(17) имеет единственное решение из класса WUQT,c).

Применяя к найденному решению обратное преобразование Фурье получим единственное решение задачи (11)—(14). Доказана сходимость решения обратной гиперболической задачи к решению соответствующей параболической задачи при стремлении малого параметра к нулю со скоростью 0(у/1).

В §2 рассмотрен случай граничных условий второго рода:

|«=о = о, i4|r=Xo = o. (13*)

При тех же условиях на входные данные, что и в §1, задача (11),(12),(13*), (14) сводится к следующей системе интегродиф-ференииальных уравнений

ewln + w\ - wxx + —--j-1 ,

J y2wldy

f y2w1dy

и>'(0 ,*,«/)= шо. »{(О.х.у) = ш|, (16)

«¿(<,0,у) т'х{1,х0,у) = ¡1!2. (17*)

Показана

ТЕОРЕМА 4. Пусть функции ги'0, ш}, , г = 1,2, имеют компактный носитель по переменной у, принадлежащий отрезку [—а, а], ы10(х, у) £ ), и»; (а:, у) 6 Г* € ^(Ят.а) и выполняются следующие неравенства:

о

ь>\ 5> О, Р1 ^ О, I у2и)10<1у >0 V/, г £ Г2,

— а

Тогда задана (15)-{17*) имеет единственное решение и/, е > О из класса т,а)-

Скорость сходимости решения исследуемой задачи к решению соответствующей параболической задачи равна 0(у/е), е —> 0.

Теория обратных задач, как часть теории уравнений с частными производными возникла в связи с запросами практики: геофизики, гидродинамики, техники и т.д. Поэтому, наряду с изучением корректности обратных задач, важное значение имеет вопрос о редукции многомерных обратных задач к обратным задачам меньшей размерности. Вопрос о возможности редукции тесно связан с количеством измерений, необходимых для решения обратных задач, и, в случае его успешного решения, позволяет решать исследуемую задачу, измеряя входные данные меньшей размерности. В нашей задаче, в случае граничных условий второго рода исследована возможность редукции обратных задач к задачам меньшей размерности.

В третьей главе в области £?т = {<, *|0 ^ < ^ 71,0 ^ я ^ го} исследована обратная задача определения функции источника гиперболического уравнения теплопроводности с малым параметром при старшей производной по времени

= и%х + /'Ц)+д'(х), 0 < е ^ е0, (18)

Здесь функция источника зависит от всех переменных входящих в уравнение и имеет специальный вид ^^(<, х) = (<) + де (г) Функция и£ (<, х) удовлетворяет условиям

ие(0,г) = и0(х), *€[О,х0], (19)

и\{Т,х)-и\{0,х) = в1{х,е), хе[0,хо], (20)

и^(<10) = ««(/,го)=0, I 6 [0,Т], (21)

ие(Т,х) =и1(х), х € [0,хо], (22)

ие(1,х) — /?(<), I € [0,Г], 0<х<г. (23)

Лифференцированием по < и х задача (18)—(23) сводится к прямой задаче

+ и)ь = и!д;Г, (<,х)е<5т. (24)

ии(Т,х)-ги(0,х) = в1х(х,£), хб[0,хо], (25)

щ{Т,х)-иН{0,х)=е<р'х{х), х 6(0, х0], (26)

ги(<,0) = Ц<,хо) =0, te[0<T}. (27)

Существование единственного решения задачи (24)- (27) при условии, что Хц < Т доказано методом последовательных приближений. Получена формула, выражающая решение обратной задачи (16)~(20) через решение прямой задачи (21)-(24) и входные данные

I X

т x

х) г Г (0 + Л*) = е/Н*) + /?'(<)-

-Щхх(г) - £0"(Т) - 0'(Т) + и1хх(х).

Доказаны теоремы

Теорема 5. Пусть u,, и0 е W|(0, х0), ß{t) G С2([0, 71]), у е V/^O.ro). О < Тд < Т. Тогда существует единственное решение и"е задачи (18)-(23) при любом фиксированном е е (О,£0]. При этом uve 6 Wl(QT), Fc £ ¿2(Qt)-

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5. Тогда \\»"е - + II*" - Пl2(Qt) = О(уД).

?де u(t, х) решение обратной параболической задачи :

Щ = иТТ + /(<)+£(*).

и(0,х) = uQ{x), их(1.0) = ux(t,xо) = О, ■ u(t,2)=ß(t), и(Т,х) = и\ (х).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Белову Ю.Я. за внимание, помощь и ценные советы при работе над диссертацией, а также коллеге Шипиной Т.Н. за поддержку и участие в обсуждении научных результатов.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах

1. Новиков В.А., Саватеев Е.Г., Слынъко О.Н. Об одной обратной задаче для уравнения Каттанео - Вернотте // Вычислительные методы прикладной гидродинамики. 1994. Т. 106.

С. 75-96.

2. Саватеев Е.Г., Слынько О.Н. О корректности и редукции обратной задачи гиперболического типас малым параметром при старшей производной по времени // Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Часть 1. Математика и вычислительные методы. Сборник научных трудов. Новосибирск - Красноярск СО РАН, 1996. С. 104118.

3. Саватеев Е.Г., Слыиько О.Н. Корректность и качественные свойства задачи определения функции источника гиперболического уравнения теплопроводности // Актуальные вопросы современной математики. Новосибирск, 1995. С. 134 142.

4. Ермолаева О.Н. О гиперболической регуляризации обратной задачи определения коэффициента при второй производной по пространственной переменной // Комплексный анализ и математическая физика. КрасГУ. 1998. С. 45-58.

5. Белов Ю.Я..Ермолаева О.Н. О гиперболической аппроксимации одной обратной задачи // Тезисы Международной конференции " Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)." Красноярск. 25 - 30 августа 1997.

6. BelovYu.Ya., Savateev E.G., Slynko O.N. Approximation of Somelnverse Problemsin Evolution Equations // International Conference Advanced Mathematics computations and applications (Novosibirsk) 20- 24 June, 1995.

7. Belov Yu.Ya., Slynko O.N. Some quations of approximation ig the problems of identify of the coefficients of partial differential equations // Inverse and ill - posed problems. Abstracts of International conference. Moscow, September 10 - 13, 1996. P.

30.