Вопросы аппроксимации решений вырождающихся эллиптических уравнений и уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ СИСТЕМ РЕШЕНИЙ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА, ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ

ГЛАВА П. АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ХОЛЬМГРЕНА-ГЕЛЛЕРСТЕДТА В ОБЛАСТИ ЧАСТНОГО ВИДА

ГЛАВА 111. АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ХОЛЬМГРЕНА-ГЕЛЛЕРСТЕДТА В ОБЛАСТИ ОБЩЕГО ВИДА

ГЛАВА 1У. АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ ОДНОГО МОДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА

Исследование дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа и уравнений, допускающих вырождение типа на границе области является одним из важных направлений современной теории уравнений в частных производных* Эти уравнения имеют большое прикладное значение, они возникают при решении задач газовой динамики, безмоментной теории оболочек и т.д.

В теории вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа основополагающими являются работы Ф.Трикоми Jl] и С.Гел-лерстедта [2] . Важные результаты в этой области были получены также Ф.И.Франклем [з], М.В.Келдышем [¥], М.А.Лаврентьевым [5J , А.В.Бицадзе [б]и др. Ими были сформулированы основные краевые задачи и предложены методы их решения.

Предлагаемая работа посвящается исследованию вопросов аппроксимации решений краевых задач как для эллиптических уравнений с вырождением на границе области, так и для уравнений смешанного типа.

В комплексном анализе K.PyHrejY], Дж.Уолш[8], М.В .Келдыш^], М.А .Лаврентьев [iof , С.Н.Мергелян [ilj и др.подробно изучили проблему аппроксимации аналитических функций функциями специального вида, в частности, полиномами. Исследования в этом направлении ведутся интенсивно и в настоящее время. Поскольку действительная и мнимая части аналитической функции одного комплексного переменного есть решения уравнения Лапласа, то параллельно решена аналогичная проблема и для гармонических функций с двумя независимыми переменными. Естественным обобщением этой проблемы является аппроксимация решений произвольног о эллиптического уравнения некоторыми частными решениями этого не уравнения. Так,например, И.Н.Векуа[12] обобщил теорему Уолша о равномерной аппроксимации аналитических функций полиномами в замкнутой области для случая решений равномерно эллиптических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

В настоящей работе устанавливается несколько теорем, обобщающих отмеченную выше теорему Уолша для решений линейных эллиптических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, вырождающихся на границе области, а также для решений модельного уравнения смешанного типа.

Первая глава диссертации основана на известных результатах теории краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка, вырождающихся на границе области их задания, в частности, для уравнений где т^О ,а аД С -некоторые аналитические функции своих аргументов, причем С $0 . Оба эти уравнения рассматриваются в областях, лежащих в верхней полуплоскости >0 , примыкающих вдоль некоторого отрезка к оси tj - 0 , на которой они параболически вырождаются. Известно, что для уравнения (I) имеет место теорема существования и единственности решения задачи Дирихле, а для уравнения (2) разрешимость задачи Дирихле зависит от показателя vw и коэффициента % . В случаях,когда задачи Дирихле для уравнения (2) не всегда разрешима, корректно поставлена задача Е , в которой носителем граничных данных является часть границы области, лежащая в полуплоскости гр 0 [i, б].

Основными результатами первой главы являются две теоремы, Одна из них посвящается построению системы частных решений специального вида как для уравнения (I), так и для уравнения (2) в тех случаях, когда для него корректно поставлена задача Дирихле. В ней доказывается, что решение задачи Дирихле с непрерывными граничными данными аппроксимируется в замкнутой области линейными комбинациями частных решений с любой наперед заданной точностью. Во второй теореме строится система ограниченных частных решений уравнения (2) в тех случаях,когда задача Дирихле перестает быть корректно поставленной и доказывается, что решение задачи Е с непрерывными граничными данными танке равномерно аппроксимируется линейными комбинациями частных решений с любой наперед заданной точностью.

Задачи Дирихле для уравнения (I) в частном случае с = О,

0 2 X оу была подробно исследована в работах[i,2,3,13] . Уравнение (3) известно под названием уравнения Хольмгрена-Геллерстедта. В вышеперечисленных работах было доказано существование функций Грина задачи Дирихле для широкого класса областей, причем эта функция была выписана в явном виде в случае так называемой нормальной области.

Вот второй главе диссертации в случае нормальной области для уравнения Хольмгрена-Геллерстедта выписана в квадратурах система частных решений, линейные комбинации которых осуществляют аппроксимацию решения задачи Дирихле.

В последние годы большой интерес вызывает функционально-теоретический подход к исследованию уравнения (3), а также дргугих эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Известны различные интегральные представления решений равномерно эллиптических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными [l2, 14, 15 , 16 , I?J,позволяющие выражать решения этих уравнений в квадратурах через аналитические функции одного комплексного переменного. Сущность функционально-теоретического подхода состоит в том, что с помощью указанных интегральных представлений многие свойства аналитических функций переносятся на решения эллиптических уравнений. В частности, в работах[18, 1Э\ Ю.П.Кривенков получил представление решений уравнения (3) в достаточно малой области,лежащей в верхней полуплоскости и примыкающей к линии вырождения .Эти результаты основаны на свойствах обобщенных осесимметричных потенциалов и их связи с решениями уравнения Хольмгрена-Геллерстедта [20] . Р.Гильберт [l7 , 2l] установил связь, с одной стороны, между областью регулярности и особыми точками решения уравнения (3), а с другой - областью аналитичности и особыми точками той аналитической функции,через которую это решение выражается в квадратурах. А.Фраиант |22] обобщил теорему Привалова для обобщенных осесимметричных потенциалов в случае круговых областей. П.Мак-Кой 2з] перенес теорему Бернштейна на случай эллиптических уравнений и т.д.

И.Н.Векуа и другие плодотворно применяли функционально-теоретические методы при изучении вопросов аппроксимации решений равномерно эллиптических уравнений второго порядка.Основные результаты данной работы также базируются на функционально-теоретическом методе.

В третьей главе диссертации уравнение Хольмгрена-Геллер-стедта исследовано в области, которая отлична от нормальной. Первая и вторая теоремы третьей главы являются самостоятельными результатами компл'ексного анализа. В них доказан ряд свойств операторов дробного дифференцирования функций комплексного переменного, на основании которых доказана теорема 3.3 , являющаяся обобщением теоремы Привалова на случай уравнения (3) в рассматриваемой области. В теореме 3.4 изучено поведение фигурирующей в представлении решения задачи Дирихле аналитической функции в окрестностях угловых точек области. В теореме 3.5 на основании результатов предыдущих теорем выписывается система частных решений уравнения (3), с помощью которой осуществляется аппроксимация решения задачи Дирихле для этого уравнения. А именно, линейные комбинации функций, входящих в эту систему, приближают решение задачи Дирихле для уравнения (3) в замкнутой области с любой наперед заданной точностью [24 , 25] .

В заключительной части диссертационной работы исследуются вопросы аппроксимации решения задачи Трикоми для модельного уравнения Лаврентьева-Бицадзе а также для уравнения которое сводится к уравнению W преобразованием переменных.

Для задачи Трикоми построена система частных решений уравнения (4) и доказано, что решение задачи Трикоми аппроксимируется линейными комбинациями этих решений. Более того, установлена представимость решения задачи Трикоми с гельде-ровыми граничными данными в виде равномерно сходящегося в замкнутой области ряда по этой системе решений(26

1. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа.-M.-J1.: Гостехиздат,1947.-192с.

2. Gellerstedt S, Sur un probleme aux limites pour une Equation Lingerie aux d£riv6es partielles du second ordre de type mixte.-Th£s.- Uppsala : 1935.- 92 s.

3. Франкль Ф.И. 0 задаче Коши для уравнений смешанного эллип-тико-гиперболического типа с начальными данными на переходной линии.- Изв.АН СССР, серия матем.,1944,т.8,№ 5,с.195-224.

4. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе облаети.-Докл.АН СССР,1951, т.77, № 2, с .181-183.

5. Лаврентьев М.А., Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа.- Докл .АН СССР, 1950, т.70, № 3, с.373-376.

6. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа.- АН СССР. Итоги науки. Физ.-мат.науки. 2. М.: 1959. 163с.

7. Runge С. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen.- Acta Mathematica, 1885, No.6, s.229-244.

8. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональным! функциями в комплексной области. М.: Инолитиздат, 1961.-508с.

9. Eichler M. On the differential equation Uxx+l/^ Trans.Amer.Math.Soc., v 65, 1949, p.259-278.

10. Gilbert R.P. Constructive methods for elliptic equations.-Berlin etc.: Springer, 1974.- 397 p.

11. Gilbert R.P. Function theoretic methods in partial differential equations.-N.Y.-L.: AcadPress, 1969.-311 p.

12. Кривенков Ю.П. 0 некотором представлении решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.- Докл.АН СССР, 1957, т.П6,№ 3, с.351-354.

13. Кривенков Ю.П. Представление решений уравнения Эйлера-Пуассона- Дарбу через аналитические функции,- Докл.АН СССР, 1957, т.116, Кз 4, с.545-548.

14. Weinstein A. Generalized Axially Symmetric Potential Theory.- Bull, of Am.Math. Soc., 1953, v 59, No. 1,p.20-3&21* Gilbert R.P. On the singularities of generalized axially symmetric potentials.- Arch.Rational Mech.Anal., i960, v 6, p.171-176.

15. Fryant A.J. Extension of Privaloff 's theorem to Ultra-spherical expansions.- Procc. of the Am. math.soc.,1978, v 71, No.1, p.49-53.

16. McCoy P.A. Best approximation of solutions to a classof elliptic partial differential equations. Houston J. of Math., 1982, v 8, No.4, p.517-525.

17. Мусхелшивили М.Г. Интегральные представления регулярных решений уравнения Холылгрена-Геллерстедта. Сообщения АН ГССР, 1982, 107, № 3, с.477-480.

18. Мусхелишвили М.Г. К теории аппроксимации решений задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических.уравнений. -Сообщения АН ГССР, 1983, 112, №2, с.269-272.

19. Мусхелишвили М.Г. Об аппроксимации решения задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа. Сообщения АН ГССР, 1983, 112, № I, с.29-32.

20. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 448 с.

21. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. - 292 с.

22. Hardy G.H., Litllewood I.E. Some properties of fractional integrals. 1.- Mathem.Zeitsch., 1928, B.27, No.4, s.565-606.

23. Сонин Н.Я. 0 дифференцировании с произвольным указателем.-Математ. сб., 1872, т.6, вып.1, с.1-38.

24. Либин З.Г., Рабинович Ю.Л. Примечания переводчиков.в кн.: Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, Т.П. 2-е испр.изд. - М.-Л.: Гостехиздат,1951,с.5Х5-339.

25. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966.- 671с.

26. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.- 832 с.

27. Ыусхелишвили Н.й. Сингулярные интегральные уравнения.-3-е изд., испр. и доп.- М.: Наука, 1968. 513 с.

28. Бицадзе А.В. Об одной системе функций. Успехи математ. наук, 1950, т. У, вып.4 (38), о.154-155.

29. Бермант Л.Ф. Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. Формулы Грина. М.: Физматгиз, 1958.306 с.