Некоторые вопросы качественной теории линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ИСАЕНКО ЮРИЙ ЯКОВЛЕВИЧ

Некоторые вопросы качественной теории линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 ЗОНТ 2008

Воронеж - 2008

003450298

Работа выполнена в Воронежском государственном педагогическом

университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Перов Анатолий Иванович

доктор физико-математических наук,

профессор Курбатов Виталий Геннадьевич

Ведущая организация — Белгородский государственный университет

Защита состоится «11» ноября 2008 г. в 15час. 10 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «$ » октября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Гликлих Ю.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Качественная теория дифференциальных уравнений, в частности линейных, всегда находилась в центре внимания математиков и развивалась многими авторами. Среди них в первую очередь нужно назвать ставшими классическими работы Ляпунова A.M., Флоке Г., Перрона О., Беллмана Р., Красовского H.H., Малкина И.Г., Майзеля А.Д..Особо отметим монографии, полностью посвященные линейным дифференциальным уравнениям: Ю.Л. Да-лецкий, М.Г.Крейн. «Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве»; Х.Л.Массера, Х.Х.Шеффер. «Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства». После выхода в свет этих монографий при исследовании линейных дифференциальных уравнений систематически стали использоваться линейные дифференциальные операторы, в частности фредгольмовы операторы, которым посвящена первая глава диссертации. Первые результаты о фредгольмовости линейных дифференциальных операторов получены Э.М.Мухамадиевым.

В первой главе рассматривается линейный дифференциальный оператор L [L. или £+], который определяется дифференциальным выражением (Lx\t)=x'(t)+A(t)x{t), где A(t)- квадратная матрица-функция n-го порядка, п- некоторое натуральное число. Если все элементы ae{t) матрицы-функции A{t) являются действительными, непрерывными, ограниченными функциями аргумента te (-<x>,+oo)=r [te(-~,0] = R_ или te[0,+~) = R+], т.е. A(t)eC(R") или

A(t)e С+(йя)], a x(t) - действительная, непрерывно дифференцируемая, ограниченная вместе с производной вектор-функция, т.е. x(t)eC1(R")[x(t)eCl(R") или x(t)e c\(Rn)], то, как хорошо известно,оператор L:C,(r"}-^c{r") [¿..-¿¿(гЦсДй'') или L+ :С|(/?")->С+(й")] является ограниченным. В работе исследуются условия фредгольмовости оператора L [L. или Z-+], а также выясняется связь между фред-гольмовостью оператора L [L. или L+] и наличием экспоненциальной дихотомии для решений соответствующего однородного уравнения. Подобные вопросы для линейных дифференциальных операторов, в общем случае неограниченных и действующих в других банаховых пространствах, изучались Баскаковым А.Г., Гохбергом И.Ц., Жико-вым В.В., Курбатовым В.Г., Латушкиным Ю.Д. и его учениками, Пальмером К., Перовым А.И., Чан Хыу Бонгом и многими другими авторами.

з

Остальная часть работы посвящена линейным однородным дифференциальным системам с периодическими коэффициентами и двумерным фазовым пространством. В монографии Якубовича В.А. и Старжинского В.М. «Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения» исследованию таких систем посвящена отдельная VIII глава. Там же имеется обширный библиографический список работ, в которых изучались такие системы. В силу фундаментальной теоремы Флоке-Ляпунова матри-цант X(t) таких систем представим в виде X(t)==F(t) exp Rt, где R - постоянная матрица, a F(t) - периодическая матрица-функция, обратимая при всех значениях te R. Поэтому поведение решений таких систем на бесконечных промежутках полностью определяется матрицей R (а именно ее спектром). В то же время матрица функция коэффициентов системы A(t)=X'(t)X"1(t)=F'(t)F1(t)+F(t)RF!(t) существенно зависит от периодического множителя F(t). Поэтому задача определения спектра матрицы R по матрице коэффициентов A(t) является достаточно сложной.

В диссертации изучается структура периодического сомножителя в представлении Флоке-Ляпунова, когда он содержит только одну

\ j , 2тск _ . 2тik . , _ гармонику, T.e.F(í)= А„ + Ак cos-t + Вк sin-1, где А0 ,Ак,Вк- постою ю

янные матрицы второго порядка, причем среди Ак,Вк хотя бы одна

является ненулевой, и когда он содержит только две гармоники, т.е.

имеет представление

_,/ ч , 2тik „ . 2кк . 2т „ . 2т

F(t)=A0+Atcos-t + Bksin-t + Ancos-t + Bnsin-1, где для каж-

СО (О со ю

дого i=k, n (k<n) среди матриц Л,, В, хотя бы одна отлична от нулевой.

Полученные результаты используются для конструктивного описания

класса периодических систем, имеющих матрицант требуемого вида,

а именно периодический сомножитель содержит одну гармонику.

Цель работы. Основные цели диссертационной работы состоят в следующем:

1) отыскание условий фредгольмовости оператора ¿+:С;(Д")->С+ О?");

2) установление связи между фредгольмовостью оператора L и фредгольмовостью операторов L. и L+;

3) нахождение условий на постоянные квадратные матрицы второго порядка Ап, Ак и Вк, при которых матрица-функция

2кк 2%к

F(t)=A0+Al cos-t + Bk sin-1, teR, keN, соеЛ+, имеет

со со

тождественный определитель и удовлетворяет условию

F(0)=I;

4) нахождение условий на постоянные квадратные матрицы второго порядка А0, Аю Вк, А„ и В„, при которых матрица-функция

ч . 2пк _ . 2я£ , 2яи „ . 2т

F(t) = A0 + Ак cos-1 + Вк sin-1 + Ап cos-—t + Bn sin-1,

(В Ю O) a)

где кип (k< n) - натуральные числа, te R и сое R+, имеет тождественный определитель и удовлетворяет условию F(0)—I;

5) нахождение класса со-периодических систем второго порядка x'(t) = A{t)x{t), матрицант которых X(t) имеет требуемый вид, а

именно X(t)-

2 жк _ . 2 кк

Ап + A, eos-t + Bí sm-1

со со

•exp Rt, где R - не-

которая постоянная матрица второго порядка, имеющая след равный нулю.

Методика исследований. В диссертации применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений, линейного функционального анализа, линейной алгебры.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Наиболее важными из них являются следующие:

1. Получены необходимые и достаточные условия фредгольмо-вости линейных дифференциальных операторов, действующих из Cl(Rn) в C(Rn).

2. Установлена связь между фредгольмовостью линейного дифференциального оператора и э-дихотомичностью соответствующего однородного уравнения.

3. Конструктивно описан класс со-периодических матриц-функций второго порядка, содержащих только одну или только две гармоники и имеющих определитель, не зависящий от t.

4. Полностью описан класс ю-периодических линейных дифференциальных систем второго порядка x'(t) = A(t)x(t), матрицант кото-

2 я/с „ . 2 пк

А„ + Аи cos-t + Bk sin-1

0 k CO k CO

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Разработанные в работе методы и полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении линейных дифференциальных операторов, а также при исследовании

5

рых имеет вид X(t)=

■ exp Rt.

качественных свойств решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на VIII школе по теории операторов в функциональных пространствах (Рига, 1983), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 1984), Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Челябинск, 1999), Международной научной конференции «Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения» (Воронеж, 2005), кафедральном семинаре под руководством профессора Баскакова А.Г. (ВГУ, 2002, 2008), ежегодных научных сессиях студентов, аспирантов и преподавателей ВГУ (1983 - 1986) и ВГПУ (2002 -2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [8], список которых приведен в конце автореферата. Совместных работ нет, работы [6] и [7] опубликованы в изда-нии,соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 5 параграфов, и списка литературы, содержащего 56 наименований. Общий объем работы - 144 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы, и приводятся основные результаты диссертации.

Нумерация приводимых ниже утверждений и формул совпадает с их нумерацией в диссертации.

В первой главе исследуются условия фредгольмовости операторов L,L+,L_, В первом параграфе доказаны следующие утверждения.

Лемма 1.1. Область значений Jm L+ [LJ оператора L+ [LJ содержит все финитные функции из C+(R") [C.(R")J.

Теорема 1.1. Если область значений Jm L+ [LJ оператора L+ [LJ замкнута, то JmL+ -C+(Rn) \JmL_ = С_ (/?")]•

Теорема 1.2. Для того чтобы оператор L+ [LJ был фредгольмов необходимо и достаточно, чтобы JmL+ - C+{Rn) \JmL_ - С_(R")].

Следствие 1.1. Для того чтобы оператор L+ [LJ был фредгольмов необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение x'(t) + A(t)x(t) = 0 было экспоненциально дихотомическим на полуоси R+[RJ.

Теорема 1.3. Для того чтобы оператор L был фредголъмов необходимо и достаточно, чтобы были фредгольмовы операторы L. и

и.

Теорема 1.4. Если оператор L фредголъмов, то его индекс определяется формулой

ind L = ind L_ + ind L+-n.

Во втором параграфе этой главы фредгольмовость операторов характеризуется в терминах существования функции Ляпунова. Доказаны следующие результаты.

Теорема 2.1. Пусть симметрическая матрица-функция W(t) является ограниченным решением уравнения

W(t)+W{t)A{t)+A{t)w{t)=H{t), teR, (2.1)

где H(t) -отрицательно определенная непрерывная матрица-функция, A(t)-непрерывная и ограниченная. Тогда существует Т/20 такое, что матрица-функция W(t)-индефинитна (т.е.О не принадлежит спектру А) при всех ltl>Ti.

Теорема 2.2. Если уравнение (2.1) имеет симметрическое ограниченное решение W(t), то дифференциальный оператор (Lx)(t)= x\t) + A(t)x(t) является фредгольмовым.

Во второй главе исследуются периодические непрерывные матрицы-функции второго порядка, имеющие определитель, тождественно равный единице. В диссертации рассматривается конструктивный подход к изучению таких матриц-функций, позволяющий строить матрицу-функцию F(t), обладающую определителем, тождественно равным единице, а для конкретно заданной F(t) ответить на вопрос: «Обладает F(t) этим свойством или нет?»

В первом параграфе главы приведены некоторые специальные результаты из теории матриц (постоянных) второго порядка, которые систематически используются в дальнейшем.

Во втором параграфе изучаются периодические матрицы-функции второго порядка, содержащие только одну гармонику и имеющие постоянный определитель.

Теорема 2.6. Для того чтобы матрица-функция

г,, ч „ , „ . 2кк

F(t) = А0+Ак cos-1 + Вк sin-1

ю ю

удовлетворяла условиям: a) F(0) = I; Ъ) det F(t)=l необходимо и достаточно, чтобы F(t) либо имела представление вида

2 2 <у 2 со

где кеК X и 7 -постоянные, не равные между собой матрицы, удов* * Го — Г

летворяющиеусловиям: Х=Х, 7=7, с1е1Х=йе1Т=1, У =

1 О

либо имела представление вида

. „ „ 2 як . 2як

F{t)-l-uB + fiB cos-t + ЛВ sin-1,

со со

где B*0,SpB=detB=0,/ieR, XeR, X2+¡J^0, keN.

В третьем параграфе изучаются периодические матрицы-

функции F(t), содержащие две гармоники

ыл л л 2лк _ . 2як . 2т „ . 2т m

F{t)=Aa + At cos-1 + Bl: sin-1 + An cos-t + Btl sin-1, (3.0)

CO CO CO CO

Далее, если F(t) имеет представление (3.0), будем говорить, что F(t) принадлежит множеству TP". В зависимости от соотношений между натуральными числами пик (п>к) рассматриваются три случая: А) если кйк и п^Зк; Б) п=3к; С) п=2к. Заметим, что исследование случая С) совершенно аналогично случаю Б) и, поэтому, не приводится в диссертации.

Пусть Í2 - множество F(t) матриц-функций, которые удовлетворяют условию F(0)=I и имеют постоянный определитель, В" - матрица, присоединенная к матрице В. Доказаны следующие результаты для случая А).

Теорема 3.1. Если Fit)е TP" п Q, имеет место случай А) и матрицы ВК и В„, входящие в разложение (3.0), коллинеарны, то F(t) обязательно имеет следующий вид

F(t) = I - (А. + Г|)я„ + ХВ0 cos ^^t + цВц cos ^-t + цД> sin^-í + v30 sin ^-t, (3.23) со (О (0 a)

где Во- ненулевая квадратная матрица второго порядка, у которой ее определитель и след равны нулю, а Я, r¡, /л, v-произвольные вещественные числа такие что

Теорема 3.2. Если F(t)e TP" nQ, имеет место случай А) и матрицы Вк и В„, входящие в разложение (3.0), линейно независимы, то F(t) обязательно имеет либо вид

F(í)=[detSs/ + ¿?д;]с05^г + В„ sin ^-t + [del В J - BkB;) cos^í + В, sin ^ t, (3.24) либо вид

F(t)=[det В J - ад-Jcos—/ + В„ sin—/ + [det В J + Вж] cos—í + В. sin—í, (3.25) а а со со

где BkeL, BneL (L={A: SpA-O}) и удовлетворяют следующим соотношениям:

detBke(- «у 0) u(i; + <*>), (3.26)

detBk+detBn=l, (3.27)

SpBkB;=Q. (3.28)

Показано, что необходимые условия принадлежности матрицы-функции F(t) множеству TP"' nQ, полученные в теоремах 3.1 и 3.2, являются и достаточными.

Далее изучается случай Б), причем, вначале исследуется ситуация, когда det An=| An| =0, а затем ситуация, когда det An=j An| ^0. Первая возможность оказывается более простой, и мы приведем некоторые результаты, относящиеся ко второй ситуации. Теорема 3.9. Пусть матрица-функция

/ \ . . 2дк _ . 2лк , 2ли _ . 2т

F\t) = А0 + Ак cos-t + Bk sin-1 + Aa cos-t + Bn sm-1

to со a> a>

принадлежит множеству TP" n ¿1,причем п-Зк и Тогда

A0=I-Ak-A„, Ak + piFl+7lFi +S,F,]-An,

Bk = [- /JtFt + axF2 + y2F} + ^ ] • Л, КI=I5» I * 0. SPA,.B= 0.

а числа av 8х,у2,дг удовлетворяют соотношениям

%\2

SpF А _ SpF4A„ . г, - | +5, - .,,"+;

Уг-

2KI

SpF-.Л

2И„|

=о,

ML 1 ьгш- l/.n+^o,

SpAr=2\An\-{\ + ai\ SpBn = 2\Ап | • Д.

(3.59)

где

Fl=I =

1 0 0 1

>F2=B„An =

- а

-Ъ

а2+1

-2а -Ъ

.Рл =

0 а +1

Ьл

о

/. =(r, -aSr6X f2 - - aS2, д2), Теорема 3.10. Пусть постоянные матрицы А„ и В„ таковы, что detA„=detB„^0 и SpA„B~ = 0,

1 0 0 1

р2 = вйа;1 =

- а

-Ъ

а2 +1

ъ

а

Ъ -2а 0 -Ь

Fa =

0 а +1 Ъ2 0

Ак = [a,F, + рхРг + 7,F3 + <5Л]• А., А0 = I - At - А„, Bt = [- fixFx + a{F2 + r¡F3 + S2F4 }-A,„ действительные числа a¡,/3í,y],S¡,y1,S2 удовлетворяют соотношениям (3.59), где /, = (7. - ад,, St), i -1,2. Тогда матрица-функция

^ ч , , 2як п . 2як , 2я■ Ък п . 2л-Ък

F(t}= А. +Ак cos-t + Bk sin-t + A. cos-t + Bn sm-1

а) со CO 0)

где к- произвольное натуральное число, удовлетворяет условиям: a) F(0)=I; в) det F(t)=l.

В третьей главе диссертации изучается класс линейных однородных периодических систем, матрицант которых имеет периодический множитель, содержащий одну гармонику. При этом в параграфе 1 изучается вырожденный случай, а в параграфе 2-регулярный случай. Вырожденный случай более простой по сравнению с регулярным, поэтому приведем некоторые утверждения для последнего.

Теорема 2.1. Если матрицант X(t) ЛПС x'(t) = A(t)x(t) имеет вид X(t) = F(j)e'", где R-постоянная матрица, след которой равен нулю, а F(t) имеет вид

„/ ч , , 2як „ . 2як

F(t) = A„ + A. cos-1 + В. sin-1,

со со

причем \Ак\ = \Вк\ф§, то существуют вещественные числа

ос,р,Х и постоянные невырожденные матрицы F¡,F2,F3, удовлетворяющие условиям

SpF,=SpF2=SpF,=0, (2.14)

М = Н (2-15)

(2-16)

такие, что

. ~ ~ 2як ~ . 2як ~¡ 4як ~ . Аяк

A(¿) = А„ + Ак cos-í + 5.sin-t + Au cos-f+ 5„sm-1, (2.1/)

со ю со со

An =

2\Fi+F2\ a{Ft+F2

И+-

(2.18)

' I Fi+F2\ 2 ' 7

+af2, (2.19)

\Ft +F21

' (2-20)

I

A2i=aF2+£F3, (2.21)

Blk = 0F.¿-aF3. (2.22)

Теорема 2.4. Если в ЛПС x'(t) =

~ 4лк ~ . 4як

Аи + Аи eos-1 + Вгк sin-1

со 6)

x(t)

матрицы А„,А2к,В2к удовлетворяют условиям

SpA0 = SpA2k =SpB2k = SpA2kB¡k =0,

A2k = B2k <0,

B2kA2kÁ0B2kA2k - A0, то матрицант <P(t) этой системы имеет вид

Ф (t)

2лк . 2лк

I ■ eos-1 - А,кВ1к ■ sin-1

т 11 со

~ ~ 2як ~ ~ где R = A, + Au+—-A;l-Bu.

(О

Автор выражает искреннюю благодарность профессору А.Г.Баскакову за неоценимую помощь и внимание.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Исаенко Ю.Я. Об условиях фредгольмовости линейных дифференциальных операторов в пространстве непрерывных ограниченных функций. - В кн.: Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышевский госуниверситет. - 1982. - С. 78-83.

[2] Исаенко Ю.Я. О фредгольмовости дифференциальных операторов в пространстве ограниченных функций. - В кн.: Топологические и геометрические методы в математической физике. - Воронеж: Изд-во ВГУ. - 1983. - С. 115-118.

[3] Исаенко Ю.Я. О необходимых и достаточных условиях фредгольмовости дифференциальных операторов на всей оси - В кн.: VIII школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов. - Рига : ЛГУ им. П.Стучки. -1983.-Т. 1.-С. 105-107.

[4] Исаенко Ю.Я. О фредгольмовости линейного дифференциального оператора на плоскости. - В кн.: Геометрия и топология в глобальных нелинейных задачах. - Воронеж: Изд-во ВГУ.-1984.-С. 152-157.

[5] Исаенко Ю.Я. Об одном классе линейных периодических дифференциальных уравнений на плоскости, интегрируемых в конечном виде // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов международной научной конференции. - Челябинск, 1999.-С. 55.

[6] Исаенко Ю.Я. О линейных периодических системах на плоскости, имеющих матрицант требуемого вида // Изв. Вузов. Математика.-2003,-№ 9. - С. 22-27.

[7] Исаенко Ю.Я. Структура периодических матриц-функций второго порядка, имеющих определитель, тождественно равный единице // Изв. Вузов. Математика. -2005 - № 10. - С. 47-53.

[8] Исаенко Ю.Я. О периодических матрицах-функциях с постоянным определителем // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. Материалы международной научной конференции ТВМНА-2005. -Воронеж.- 2005, -С. 48.

Работы [6] и [7] опубликованы в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Научное издание

Исаенко Юрий Яковлевич

Некоторые вопросы качественной теории линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 03.10.2008. Формат 60><84 V«. Печать трафаретная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,69. Заказ 199. Тираж 100 экз.

Воронежский госпедуниверситет. Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии университета.

394043, г. Воронеж, ул. Ленина, 86.

Введение.2

Глава I. Фредгольмовость дифференциальных операторов на всей оси.21

§1.1. Об условиях фредгольмовости линейных дифференциальных операторов.21

§1.2. Фредгольмовость дифференциальных операторов и функция Ляпунова.30

Глава II. Структура периодических матриц-функций в представлении Флоке-Ляпунова для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами .35

§2.1. Некоторые результаты из теории матриц второго порядка.35

§2.2. Структура элементов множества Qj°. 48

§2.3. Структура элементов множества Q™. 60

Глава III. Линейные периодические системы, имеющие матрицант требуемого вида.93

§3.1. Линейные периодические системы с F(t) е Q".

Вырожденный случай.93

§3.2. Линейные периодические системы с F(t) е Q".

Регулярный случай. 119

Диссертация посвящена некоторым вопросам качественной теории линейных дифференциальных уравнений с непрерывными ограниченными коэффициентами. Одним из центральных вопросов качественной теории линейных дифференциальных уравнений является исследование асимптотического поведения решений, а также нахождение условий существования ограниченных решений. Изучение этих вопросов в терминах экспоненциальной дихотомии решений связывают с именем О.Перрона. В его статье [55] асимптотические свойства решений линейных однородных уравнений (с конечномерным фазовым I пространством) соотносились (если использовать современную терминологию) с определенными свойствами линейных дифференциальных операторов, определяющих данное исследуемое дифференциальное уравнение. Такими свойствами являются обратимость, инъективность, сюрьективность, свойство замкнутости образа, фредгольмовость.

Основные результаты первой главы диссертации посвящены получению условий фредгольмовости линейных дифференциальных операторов с непреI рывными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве C(Rn) непрерывных ограниченных векторных функций, определенных на R со значениями в R" и с областью определения C'(Rn) (подпространстве непрерывно дифференцируемых функций с непрерывной ограниченной производной).

Первые результаты по фредгольмовости таких дифференциальных oneраторов были получены Э.М. Мухамадиевым (см. [36] -[38]). Полученные им условия были сформулированы в терминах размерности подпространства предельных решений соответствующего однородного дифференциального уравнения. Излагаемые в первой главе результаты были опубликованы автором в 1982г. (см. [19]; см. также [20] - [22]). Затем они были повторены в статьях Пальмера в 1988г. (см. [53]) и Гохберга в 1992г. (см. [51]). Современное состояние теории фредгольмовых дифференциальных операторов можно найти в статьях [4], [5], [52].

Во второй главе диссертации изучается структура периодического сомножителя в представлении Флоке-Ляпунова для матрицанта однородной системы второго порядка линейных дифференциальных уравнений с периодиче скими коэффициентами. Исследованы случаи, когда ряд Фурье этого сомножи

V? теля содержит ровно одну и ровно две гармоники. В обоих случаях получены необходимые и достаточные условия на постоянные операторные коэффициенты, гарантирующие обратимость этого сомножителя при всех значениях Основные результаты главы опубликованы в статьях [24]-[25].

В третьей главе исследуются линейные периодические системы второго порядка, матрицант которых имеет требуемый вид, а именно периодический сомножитель в представлении Флоке-Ляпунова содержит ровно одну »армони-ку. Основные результаты главы опубликованы в статьях [24]-[25].

Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертации по главам.

В первой главе рассматривается дифференциальное выражение х)(0 = х'(О + (-оо5+оо)=Я, (1.1) где А(1:)-квадратная матрица-функция порядка п с элементами а^еС^Ы").

Дифференциальное выражение (1.1) определяет линейный ограниченный оператор

Ь: С1 (Яп) С(Яп), а также линейные ограниченные операторы I

С10Г)->С(Я") и Ь+ : С^. (/?")-> С+(Л"), где Ь. и определяются'выражением (1.1) соответственно при (- оо,0 и при1;<Е [0,+оо)=Я+.

В первом параграфе главы исследуются условия фредгольмовости операторов Ь, Ь. Доказаны следующие результаты.

Лемма 1.1. Область значений Зт Ь+ [Ь.] оператора Ь+ [Ь.] содержит I все финитные функции из С+(Яп) [С.(Яп)].

Теорема 1.1. Если область значений ./га Ьл. [Ь.] оператора Ь+ [Ь.] замкнута, то МЬ+ = С+ (Яп) \JmL = С (Я ")].

Теорема 1.2. Для того чтобы оператор Ь+ [Ь] был фредголъмов необходимо и достаточно, чтобы ^Ь+=С+{Яп) \JmL = С(7?")].

Следствие 1.1. Для того чтобы оператор Ь+ [Ь.] был фредголъмов необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение х'(0 + ^(0Х(0 — О было> экспоненциально дихотомическим на полуоси Я+ [Я].

Теорема 1.3. Для того чтобы оператор Ь был фредголъмов необходимо и достаточно, чтобы были фредголъмовы операторы L.uL+ .

Теорема 1.4. Если оператор L фредгольмов, то его индекс определяется формулой ind. L = ind. L + ind L+ - п.

Во втором параграфе первой главы изучается связь между фредгольмо-востью операторов L, L+иЬ.я существованием функции Ляпунова для соответствующего однородного уравнения. Прямой или по другому второй метод Ляпунова систематически применяется во многих разделах качественной теории

4« дифференциальных уравнений. Имеются многочисленные монографии и журнальные статьи, посвященные этому методу (см. например [3],[9],[12],[13],[32],[33],[34],[41],[43]). Основная идея этого метода состоит в использовании вспомогательных функций, которые называются функциями Ляпунова. Очень часто в качестве функции Ляпунова берется функция V(t,x), которая при каждом фиксированном t является квадратичной формой от xeRn.

Для линейных дифференциальных операторов типичная формулировка теорем, основанных на прямом методе Ляпунова, является следующей: «Если существует ограниченная индефинитная оператор-функция W(t), . . .» (см.,например, [12], [33], [34], [41]). Отметим, что оператор W=W* мы называем индефинитным, если его спектр не содержит нуля, и отрицательно определенным, если спектр лежит на отрицательной полуоси.

Во втором параграфе первой главы диссертации получен следующий результат.

Теорема 2.1. Пусть симметрическая матрица-функция IVявляется ограниченным решением уравнения

РГ'(() + + А* (¿ЖО = Я(/), I еК, (2.1) 1 где Н(1) —отрицательно определенная непрерывная матрица-функция, А (^-непрерывная и ограниченная. Тогда существует Т/>0 такое, что матрица-функция -индефинитна при всех Л/>Г/.

Эта теорема позволяет упростить условия теорем, упомянутых выше. В конечномерном случае из существования ограниченного симметрического решения уравнения (2.1) следует его иыдефинитность. В результате получаем следующее утверждение.

Теорема 2.2. Если уравнение (2.1) имеет ограниченное симметрическое решение то дифференциальный оператор (Ьх)(0= х'(/)+ является фредгольмовым

Во второй главе исследуются периодические непрерывные матрицы-функции второго порядка, имеющие определитель, тождественно равный единице. Необходимость изучения структуры таких матриц-функций вытекает из фундаментальной теоремы Флоке-Ляпунова для линейных периодических систем (в дальнейшем ЛПС), в силу которой матрицант Х(Х) системы представим в виде Х(1;)=Р(1;)ехрШ;, где Я-постоянная матрица, а Р(1)- периодическая матрица-функция. Поэтому поведение решений системы на бесконечных промежутках полностью определяется постоянной матрицей Я (а именно ее спектром а (Я)).

В то же время, матрица-функция коэффициентов А(1)=Х/(1)• X"1 (1)=

F/(t)F"1(t)+F(t)-R-F"'(t) существенно зависит от периодического множителя F(t). В монографии Якубовича В.А. и Старжинского В.М. [49] приведены результаты об общем строении множества таких матриц-функций. Эти результаты связаны с числом Пр—углом поворота вектора a(t)=F(t)a (а^О) за время, равное периоду F(t). В диссертации рассматривается конструктивный подход к изучению I таких матриц-функций, позволяющий строить матрицу-функцию F(t), обладающую определителем, тождественно равным единице, а для конкретно заданной F(t) ответить на вопрос: «Обладает F(t) этим свойством или нет?»

В первом параграфе приведены некоторые специальные результаты из теории матриц (постоянных) второго порядка, которые систематически используются в дальнейшем. Хотя большинство из этих результатов вполне очевидны, но, вероятнее всего не встречались в учебной и научной литературе. Особо обметим лемму 1.1, которая явилась отправной точкой дальнейших исследований.

Лемма 1.1. Для любых постоянных матриц второго порядка определитель суммы матриц равен сумме определителей матриц плюс след произведения одной матрицы на присоединенную к другой.

Во втором параграфе изучаются периодические матрицы-функции второго порядка, содержащие только одну гармонику. Так мы называем матрицу-функцию F(t), которая имеет следующий вид гч л ^ 2тс/с п . 27ik .

F{t) = А0 + Ak cos-t + Bk sin-1, (2.2)

CO CO где Ao, AK, BK - постоянные матрицы, kgN, со eR+, причем хотя бы одна из матриц Ак, Вк отлична от нулевой.

Основным результатом этого параграфа является Теорема 2.1. Для того чтобы матрица-функция

J—, > ч , . 271 k . Ink f(t) = а0 + ак cos-1 + вк sm-1 со со удовлетворяла условиям: a) F(0) = I; b) det F(t) = 1 необходимо и достаточно, чтобы постоянные матрицы А о, АК, В к удовлетворяли условиям

A0-A-0+±Ak-A;+±Bk-B-k=I * (2.5)

Ай • а; + Ак • а; = о (2.6)

А0-В-к +Вк-А~ = О (2.7)

Ак'В-к+Вк - А; = 0 (2.8)

Л • л; - вк • в; = о (2.9)

4+4=/. (2.10)

Для приложений более удобным является следующий результат, равносильный теореме 2.1. I

Теорема 2.6. Для того чтобы матрица-функция i^r N , 2тсА . 271 А:

F(t) = A0 + Ak cos-i + sm-t со со удовлетворяла условиям: a) F(0) = I; b) det F(t) = l необходимо и достаточно, чтобы F(t) либо имела представление вида f(t) = ![/ + ЛГ"] + -!■[/ - Jtr-1 ]cos M, + - J^/siiÄ,

2 2 ¿у 2 ¿У где к eN, X и Y -постоянные, не равные между собой матрицы, удовлетворяю* * щиеусловиям: Х=Х, Y—Y, detX=detY=l либо имела представление вида г-/ ч г, г, 0 . 2як F(t) = 1 - jliB + juB cos-i + ЛЯ sin-1, со со где В# 0,SpB=detB=0,neR, ZeR, 0, keN.

В дальнейшем, ситуацию, когда F(t) имеет представление первого вида, будем называть регулярным случаем, а когда F(t) имеет представление второго вида - вырожденным случаем.

В третьем параграфе изучаются периодические матрицы-функции F(t), содержащие две гармоники ь i^i \ , З-лк п . 2як . 2ш „ . 2тт

F(t) = А0 + Ак cos-t + Bk sm-t + An cos-1 + Bn sin-1, (3.0) со со со CO 1

Далее, если F(t) имеет представление (3.0), будем говорить, что F(t) принадлежит множеству TP® (тригонометрический полином периода со, имеющий ровно две гармоники). Q- множество матриц-функций F(t), имеющих постоянный определитель и удовлетворяющих условию F(0)=I.

В зависимости от соотношений между натуральными числами пик (п>к) рассматриваются три случая: А) если п^2к и пФЗк; Б) п=3к; С) п=2к. I

Заметим, что исследование случая С) совершенно аналогично случаю Б) и, поэтому, не приводится в диссертации. Получены следующие результаты.

Теорема 3.1. Если F{t) е TP" n Q, имеет место случай А) и матрицы ВК и Вп, входящие в разложение (3.0), коллинеарны, то F(t) обязательно имеет следующий вид

-.г \ , /, л г. „ 2тгп . 2%к . 2пп * ,, F(t)= I -(X + r\)B0 + ХВ0 cos-1 + t\Bq cos-i + |xB0sin-t + vB0 sm-1, (j-23)

CO (D © со I где В о- ненулевая квадратная матрица второго порядка, у которой ее определитель и след равны нулю, а Я, r¡, ju, v-произвольные вещественные числа такие что и r¡2+

Теорема 3.2. Если F(f)eTP" nQ, имеет место случай А) и матрицы Вк и Вп, входящие в разложение (3.0), линейно независимы, то F(t) обязательно имеет либо вид

Fit) = [det BkI + ЗД-Icos—г + Bk sin—t + [det Яя/ - BkB;]cos— t + B„ sin—t, (3.24) co co со cú либо вид

F(t) = [detBkI -Bk 5;]cos—t + Bk sin—t + [det5„/ + BkB;]cos—t + Bn sin—t, (3.25) где Bk^L, BneL (А еь,если SpA=0) и удовлетворяют следующим соотношениям: detBk е(- оо; 0) и(1; + ос), (3.26) detBk+detBn=l, (3.27)

SpBkB'n= 0. (3.28)

Теорема 3.3. Если матрица-функция F(t) имеет разложение г.! \ т / * \„ , „ 27tk „ 2тг „ . 2пк п . 2тг

F\t) = I -{Л + Jj)B0+ ЛВ0 cos-1 + г]Вй cos-1 + juB0 sin-1 + vB0 sin-t, со со со со где Во-ненулевая квадратная матрица второго порядка, у которой определитель и след равны нулю, а Л, rj, pi, v- произвольные вещественные числа, такие, что á2+jlC^0 и if+ кип- натуральные числа, такие, что п>к, п^2к, п^Зк, то матрица-функция F(t) удовлетворяет условиям: a) F(0) —I; в) det F(t)=l. Теорема 3.4. Если F(t) представима в виде

Fit) = [detBkI ± jcos—t + Bk sin—/ + [detBnI + 5^;]cos—t + Bn sin—f, со со со со и где Вк eL, BneL и удовлетворяют условиям (3.26) - (3.28), а кип -натуральные числа, такие, что п>к, п^2к, п^Зк, то матрица-функция F(t) е ТР° п Q.

Далее изучается случай Б), причем, вначале исследуется ситуация, когда det Ап=0, а затем ситуация, когда det Ап^0. Первая ситуация оказывается более простой, и мы приведем некоторые результаты, относящиеся ко второй ситуации. Отметим, что далее для определителя квадратной матрицы А наряду с обозначением det А применяется и обозначение \А\.

Теорема 3.9. Пусть матрица-функция Ink „ . Ink , 2т „ . 2тт

F(t) = А0 + Ak cos-/ + Вк sm-1 + Ап cos-1 + Br sin-1

CD CO " со со принадлежит множеству TP? r\ Q, причем п—Зк и Тогда

А0=1-Ак-Ап, Ак + + +S,F,]-An,

Вк = [- PA +a]F2+ Г Л + S2F, ] ■• Ая, \Ап | = \Вп | * 0, SpAnB; = О, а числа а,, Д, , с5>,, у2, д2 удовлетворяют соотношениям v SPF>A* , ? SpFAAn | ,2 Уi " , I + • , i + b \f\ I = °>

HI

2kl У

2 2 A 2 A w b2(f],f1) = 2j3], SPAn=2\An\-{\ + a,\ SpBn=2\A\-/3r

3.59) где

F, - I =

1 0 0 1

F =T 2

-1 a b a2 +1 b a b 0

2 a -b

О a2 +1 Zr 0 fx = (/, - > ), /2 = (r2 - > )• Теорема 3.10. Пусть постоянные матрицы Ап и Вп таковы, что detAn=detBa^O и SpAnB\~ = 0, К

1 О О 1 а Ъ а2 +1

Ъ а

F 1 3

Ъ -2а О -Ь

О а2 +1 ъ2 О

Ak=[axFx+j3,F2+riF,+S,F<].An, A0=I-Ak-An, действительные числа Д y2,S2 удовлетворяют соотношениям

3.59), где f] - {у, - a8t, 81), i = 1,2. Тогда матрица-функция \ , . 2тгА: . 2п -Ък . 2ж • Зк F{t) = AQ + Ак cos-* + -Я* sin-f + cos-i + Bn sin-1

CO CO CO " CO где к- произвольное натуральное число, удовлетворяет условиям: а) Р(0)=1; в) ёег

В третьей главе диссертации изучается класс линейных однородных периодических систем *'(/) = матрицант которых имеет периодический множитель, содержащий одну гармонику. При этом в параграфе 1 изучается вырожденный случай, а в параграфе 2-регулярный случай. Показано, что в вырожденном случае, справедливы следующие утверждения.

Лемма 1.2. Если матрицант Х(1) ЛПС имеет вид Х{{) = р{{]еш,

2тгк 2пк о -> * с F{t) = / - juB + pB cos-/ + XB sin-1, где SpB=detB=0, Л+jlC¿ 0, а со со

SpR=0, то матрш¡a-функция A{t) имеет вид

1 1 2izk ~ . Ink ~ 47i£ ~ . Auk

A(t) = А0 + Ak cos-t + Bk sm-1 + A2k cos-1 + B2k sin-1, со со со со где матрицы A0,Ak,Bk, A2k, B2k задаются формулами.

А0 =R+|u[RB-BR] - 2 [3 ц +Ár]BRB, Ак =27ikco"1XB-)a[RB - BR]+2)li2BRB,

Вк =-2жк(й] |liB-A,[RB - BR]+2A,|iBRB,

А2к = r^^-^BRB

Теорема 1.1. Если матрицант X(t) JI1JC имеет вид

0 = r Ink . 2як 1 - /.¿В + fiB cos-1 + ЯВ sin-1 со со

Rt

1.6)

1.7)

1.8) (1.9)

1.10) и R=yB, где у- некоторое действительное число, то матрица A(t) необходимо имеет следующий вид

A(í)= у + 2nkco~xX cos 2nkco~xt - 2nkco~x ¡л sm 2лксо~х t\-В.

Теорема 1.2. Если A(t) = \y + a cos 2л:ксо t + f3sm27ikco t\-В, где y a,

5 - произвольные действительные числа, а постоянная ненулевая матрица В удовлетворяет условию det В =SpB=0, то матрицант X(t) ЛПС имеет вид

X(t) = со со п 2жк со . 27ск ^

1 +-рВ- — /ЗВ cos —1 +-аВ- sin-1

2 пк 2пк со 2 пк со vBi

Теорема 1.3. Если матрицант X(t) JJJ7C имеет вид

X(t) =

Т 2 тгк „ . 2 лк I — JLlB + JLlB cos-1 + ЯВ Sill-1

CO

CO

Rt где матрицы Ru В линейно независимы, но Sp RB-0, то матрица-функция

A(t) необходимо имеет следующий вид

Л, л ~Л 2як ~ . Ink ~ 4лк ~ . л(/) = л0 + Ак cos-í + ^ sin-t + A2k cos-¿ + sm

CO CO CO CO где

A0=R+2juyB,

Ak =(2лка>1 Я - 2цу)Д

В к=(-2лксо! ¡л-2Яу)В,

A2k= О, в2к=о, причем постоянная y¿0 определяется из условия RB—yB.

Теорема 1.4. Матрицант X(t) линейной со -периодической системы ,, ^ ^ x'{t) = C(t)x(t) с С(0 = С0 + СА cos-1 + Dk sin-1, со со где постоянные матрицы C0Ck,Dk удовлетворяют условиям:

SpC0 = SpCk = SpDk =det Ck =det D, =0, Ck*0, Dk = aCk, (aeR), C{)Ck=yCk, y имеет вид

X(t) = y + nkco la ~ у + тгксо la ~ Ink

6У nkco ' - ya ~ . 2я£ + -H:—гтС • sin-1 l(y2 +тг2к2со'2)

CD где

R = Ca+ у y + nk(ú 1 a

С.

O í 2 2 7 2 -t к у + Tí к & ~

Теорема 1.5. Матрицант X(t) линейной со- периодической системы ~ ~ 1тгк ~ ^тгк х\t) =- C(í)*(0 с C(t) = С0+Ск cos-1 + Dk sin-—t, со со где постоянные матрицы С0, Ск, Dk удовлетворяют условиям:

SpC0 = SpCk = SpDk = det Ck = det Dk = 0, С k = aDk, йбЛ, имеет вид

X(t) = жко)'1 +ay ~ Чат ~ 2rck

1 + ^-гтг^ А -трг^Гр* •cos—r +

2(/~ +7Г к CO -) 2[y~ +71 к-CO ) со лксо а -у . Ink

7—- ,4 Sin-t

2 \y + як* ф~-) со где

Л , „2/2 „-2

7 + л к со'

Теоремы 1.1 и 1.3 полностью описывают множество ЛПС, имеющих матрицант X(t) =

2як . 2як

I - jliB + juB cos-t + AB sin-/

У ¿y в случае Sp RB=0, а теоремы 1.2; 1.4; 1.5 дают решения этих систем в явном виде,

В ситуации, когда 8р ШЗ^О, имеет место следующий результат Теорема 1.6. Пусть матрицант ЛПС имеет вид „ „ 2nk ^ .п . 2лк

I - juB + juB cos-1 + ЯВ sin-1 со a где матрицы R и В линейно независимы, SpRB^O и /¿(л2 — /л2) ^ 0. Тогда матрица A(t) необходимо имеет вид . ~ ~ Ink ~ . 2як ~ -4як ~ . 4як

A(t) = А0 + Ак cos-1 + Вк sin-1 + А2к cos-1 + B2k sin-1, со со со со где постоянные матрицы A0,Ak,Bk,A2k,B2k задаются формулами (1.6)-(1.10). if

Кроме того матрицы А(), А,, Аи, образуют линейно независимую систему и удовлетворяют условиям: SpAk = SpA2k = det Au = 0,

SpA0A2k ф 0,

Ак=а

А -А -A* а

SpAA.k о.

При этом если а1 н--> 0, то ¡3 - любое, отличное от нуля действителъ

SpA0A2k ное число; если а +

SpA0A2k 0, то /3=0.

Во втором параграфе третьей главы рассматривается регулярный случай. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.1. Если матрицант ЛПС х'(1) = А(?)х(?) имеет вид Х{1) = Р{{)еш, где Я-постоянная матрица, след которой равен нулю, а имеет вид

2 як

2 як

Г(г) = А0 + Ак соб-* + Вк эт-1, со со причем |Ак | = \Вк | Ф О, А0 Ф 0, то существуют вещественные числа а,р,Хи по стоянные невырожденые матрицы удовлетворяющие условиям

БрЕ, =8рГ2=0, (2. '14)

1 = ^ I

Г 2 Г 3 >

2.15)

2.16) такие, что ~ ~ 2 як ~ 2;г& ~ 4 я-/: ~ 4;т& А0 + АксоБ-г + ^бш-* + А,ксоз-Г + £248т-г, (2.17)

6) СО ' 0) со д> = лк

К—А-1-21аЪ + ,1 1 Г1/?^ (2.18)

1 2

И +^2

1-Й +^2

2.19) 2•—-г-^—'-¡^ДР, -АЯ,,

2.20)

2.21) (2.22)

Теорема 2.2. Пусть постояттые невырожденные матрицы удовлетворяют условиям (2.14) — (2.16); а,р, ^-произвольные вещественные числа; постоянные матрицы А0,Ак,Вк,А2к,В2к задаются формулами (2.18) — (2.22) соответственно, в которых 2лксо1 произвольное положительное число. Тогда I матрицант Х(1) ЛПС х'(0 ~ 2жк ~ . 2жк ~ Ажк ~ . Аж,к

А0 + Ак СОБ-1 + Вк БШ-Т + А2к СОБ-1 + Вк БШ —/ со со со со 0 представим в виде

АГСО = + ХГ~х ]+ [/ - ХУ-* ]со8+ ¥]/-•- 1пк '1 -л

8т-^- е , У где X я причём б, =■:———г, а 82удовлетворяют соотношениям: к7! +7?2 + + - \)д2 = а

1-2|^ +/г =

Я - 2жксо ~х

2И +Р2\

Теорема 2.3. Если матрицант Ф(0 ЛПС х'{{) - имеет вид ф(0=

2жк . / • соб-Г + эт-£ У где ЭрВк — БрЯ = 0, = 1, то матрица-функция А необходимо имеет следующий вид л{ \ ~л п ~ . 4 жк А(?)=А0 + л2к соб-1 + В2к бшсо со где 2 со причем либо

А1к=^[Я + ВкКВк\

12 к В

2 к о,

В7кА2к-А0В2кА2к — А0, либо А1к = В2к ~ 0, А0 = хВк с некоторым теЯ.

Теорема 2.4. Если в ЛПС ~ 4 жк ~ . 4 жк

А0 + А2к соб-1 + В2к бш-г1 со со матрицы А0,А2к,В2к удовлетворяют условиям

БрА, = 5-Д, = 8РВ2к = ЯД Д" = 0, А

2 к В

2 к

0,

В2к ~ А0, то матрицант Ф(0 этой системы имеет вид / \ ¿лис ~ .

Ф(/)= /■ соб-1-А2кВ2к-$,т-1 •е

2 як

2ттк ш со со где К = Ап + А, +

2 пк ~

2 к со

Отметим некоторые технические особенности текста. В диссертации принята нумерация параграфов двумя цифрами (например,§2.3), из которых первая соответствует номеру главы, а вторая - номеру параграфа в данной главе. Внутри каждой главы утверждения и формулы нумеруются двумя цифрами, из которых первая означает номер параграфа, а вторая - номер утверждения или формулы в параграфе. Если же, например, ссылка на формулу (3.2) второй главы делается в другой главе, то она имеет вид (П.3.2).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на VIII школе по теории операторов в функциональных пространствах (Рига, 1983), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 1983-1985), Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Челябинск, 1999), Международной научной конференции «Топологические,и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения» (Воронеж, 2005), кафедральном семинаре под руководством профессора А.Г.Баскакова (2002, 2008), ежегодных научных сессиях студентов, аспирантов и преподавателей ВГУ (1983-1986), ежегодных научных конференциях студентов, аспирантов и преподавателей физико-математического факультета ВГПУ (2002-2008).

Автор выражает искреннюю благодарность профессору А.Г.Баскакову за неоценимую помощь и внимание.

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения - 3-е изд. перераб. и доп. -М.: НаукаД984.-272с.

2. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений М.: Наука, 1978. - 304с.

3. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1971. - 240с.

4. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов //Мат. заметки-2000. -Т.67. №6. С 816-827.

5. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости параболических дифференциальных операторов // Докл. РАН.-2002.-Т 383.-№5.-С. 583-585.

6. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // УМН. 1977. Т. 32, вып. 4.-С. 3-54.

7. Борисович Ю.Г. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных отображений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, Л.Д. Мышкис, В.В. Обуховский // УМН,- 1980.- Т. 35. № 1. - С. 59- 126.

8. Былов. Б.Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопррсам устойчивости / Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, В.В. Немыцкий. М.: Наука, 1966.-576с.

9. Валеев К.Г. Построение функций Ляпунова / К.Г. Валеев, Г.С. Финин. -Киев: Наук, думка, 1981. 412 с.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. - М.: Наука, 1988. - 552 с.

11. Глазман И.М. Конечномерный линейный анализ. / И.М. Глазман, Ю.И. Любич. - М.: Наука, 1969. - 476с.

12. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л.Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1970. -536с.

13. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.-472с.

14. Еругин Н.П. Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений. Л.: изд-во ЛГУ, 1956. - 108с.

15. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. — Минск : Изд-во АН БССР, 1963.

16. Еругин Н.П. Замечание к статье Л.М. Шифнера // Изв. АН СССР. Сер. Матем.- 1941. -№ 5.- С. 377-380.

17. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения //Изв. АН СССР. Сер. матем., 40: (1976), С. 1380-1408.

18. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. - 624с.

19. Исаенко Ю.Я. О фредгольмовости дифференциальных операторов в пространстве ограниченных функций. -В кн.: Топологические игеометрические методы в математической физике. Воронеж: Изд-во ВГУ. -1983.-С. 115-118.

20. Исаенко Ю.Я. О необходимых и достаточных условиях фредгольмовости дифференциальных операторов на всей оси В кн.: VIII школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов. - Рига : ЛГУ им. П.Стучки. - 1983. -Т. 1. -С. 105-107.

21. Исаенко Ю.Я. О фредгольмовости линейного дифференциального оператора на плоскости. В кн.: Геометрия и топология в глобальных нелинейных задачах. - Воронеж: Изд-во ВГУ. - 1984. - С. 152-157.

22. Исаенко Ю.Я. Об одном классе линейных периодических дифференциальных уравнений на плоскости, интегрируемых в конечном виде // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов международной научной крнференции. Челябинск, 1999. - С. 55.

23. Исаенко Ю.Я. О линейных периодических системах на плоскости, имеющих матрицант требуемого вида // Изв. Вузов. Математика. -2003— № 9. -С. 22-27.

24. Исаенко Ю.Я. Структура периодических матриц-функций второго порядка, имеющих определитель, тождественно равный единице // Изв. Вузов. Математика. -2005.- № 10. С. 47-53.

25. Исаенко Ю.Я. О периодических матрицах-функциях с постоянным определителем // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. Материалы международной научной конференции ТВМНА-2005. -Воронеж.- 2005. -С. 48.

26. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. - 576с.

27. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: И.Л., 1958.

28. Курбатов В.Г. О локальной фредгольмовости разностного оператора // ДАН СССР.-1984 Т.274.-№3 -С. 534-536.

29. Курбатов В.Г. Об обратимости почти-периодических операторов // Функц. анализ и его приложения. -1985 Т. 19 -№3- С. 71-72.

30. Курбатов В.Г. Об обратимости почти-периодических операторов // Матем. сборник-1989-Т. 180, №7.-С.913-923.

31. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений. Т. 2. М. - Л.: ГИТТЛ, 1956. - 472с.

32. Майзель А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральского Политехнического института, т. 5, 1954, С 2050.

33. Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер. М.: Мир, 1970. - 456с.

34. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1987. - 304с.

35. Мухамадиев Э. Условия фредгольмовости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций//Докл. АН Тадж. ССР,Т.17, № 4, (1974), С 13-16.

36. Мухамадиев Э. О фредгольмовости скалярных обыкновенных дифференциальных операторов в пространстве ограниченных на оси функций // Докл. АНТадж. ССР, Т. 17, № 5, (1974), С 3-6.

37. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений // Матем. заметки.-1981.—Т.30, №3-С.443-460.

38. Немыцкий В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. М.: ГИТТЛ, 1949. - 550с.

39. Розенвассер E.H. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления. — М.: Наука, 1977. 344с.

40. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. М.: Мир, 1979. - 577с.

41. Руш Н, Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа. М.: Мир, 1980. - 300с.

42. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах // Сиб. Матем. Журн., 32:3 (1991), С. 160-165.

43. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.-720с.

44. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. М.: Мир, 1989. - 655с.

45. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т.1. - М.: Мир, 1985. - 264с.

46. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т.2. - М.: Мир, 1985. - 400с.

47. Якубович В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. М.: Наука, 1972. - 720с.

48. Якубович В.А. Параметрический резонанс в линейных системах / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. М.: Наука, 1987. - 328с.

49. Gohberg I. Dichotomy of systems and irvertibility of lineary ordinary differential operators /1. Gohberg . A.Ben-Artzi // Oper. Theory Adv. Appl. 1992. V.56. P. 91-119.

50. Latushkin.Y.,TomiIov Y. Fredholm differential operators with unbounded coefficients // J. Differential Equations, 208(2005), P. 388-429.

51. Palmer K.J. Exponential dichotomies and Fredholm operators. Proc. Amer. Math. Soc. 1988. V. 104. P. 149-156.

52. Perron O. Uber Stabilitatsfrage und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen // Math. Zeitschr., 29 (1928), S. 129-160.

53. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differetialgleichungen // Math.'Zeitschr., 32 (1930), S. 703-728.

54. Floquet G. Sur les equations differentials lineaires a coefficients periodiques // Ann. de l'Ecole Normale, 2-е serie.-1883. V. 12. -P. 47-88.