Некоторые вопросы распространения нестационарных возмущений в линейных вязкоупругих материалах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНЫХ

ВЯЗКОУПРУГИХ МАТЕРИАЛАХ

§ I Постановка задачи и решение в преобразованиях Лапласа

§ 2 Анализ свободных колебаний вязкоупругих систем.

§ 3 Вычисление решений для некоторых конкретных ядер.

§ 4 Решения для конечного стержня

Выгоды

ГЛАВА П. ДИНАМИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ ПОЛЫХ ЦИЛИНДРОВ

§ I Кручение цилиндра нагрузкой, распределенной по боковой поверхности.

§ 2 Кручение двухслойного цилиндра нагрузкой, распределенной по боковой.поверхности.

§ 3 Кручение цилиндра нагрузкой, заданной на торце

Выводы.

ГЛАВА Ш. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ СДВИГА В НЕОДНОРОДНЫХ

ВЯЗКОУПРУГИХ ПОЛУПРОСТРАНСТВАХ

§ I Функция релаксации не зависит от координат.

§ 2 Функция релаксации и плотность зависит от. одной координаты.

Выводы.

• Развитие современной техники вызвало широкое применение полимерных, композитных и других материалов с ярко выраженными реологическими свойствами. Изучение физико-механических свойств этих материалов и анализ их применения в промышленных сооружениях, машиностроении, строительство и т.д. показали необходимость использования в расчетах на прочность соответствующих конструкций методов теории вязкоупругости, основы которого заложены еще в классических трудах Больцмана и Вольтерра. Интенсивное развитие теории вязкоупругости началось с шестидесятых годов. В разработку этой теории большой вклад внесли советские ученые А.А.Ильюшин, А.Ю.Ишлинский, М.А.Колтунов, А.К.Молмейстер, В.В.Москвитин, П.М.Огибалов, Б.Е.Победря, Ю.Е. Работнов, А.Р.Ржаницын, М.И.Розовский, Г.Н.Савин и многие другие, а также зарубежные ученые Ахенбах, Бленд, Колеман, Крис-тенсен, Ферри и др.

Параллельно с созданием строгой математической теории вязкоупругости развивались и методы решения конкретных прикладных задач, в том числе динамических, которые ставят своей целью ответить на вопросы, возникающие в практике в условиях динамических нагружений. Отметим, что в развитии динамических задач механики деформируемых твердых тел существенный вклад внесли советские ученые Д.Г.Агаларов, В.М.Бабич, В.В.Болотин, А.С.Вольмир, И.И.Ворович, Л.А.Галин, А.Л.Гольденвейзер, А.Г. Горшков, Э.И.Григолюк, А.Н.Гузь, Н.В.Зволинский, А.А.Ильюшин, А.Ю.Ишлинский, К.А.Керимов, И.А.Кийко, М.А.Колтунов, В.С.Ленский, С.И.Мешков, У.К.Нигул, Л.В.Никитин, В.В.Новожилов, П.М.

Огибалов, Г.И.Петрашень, И.М.Рабинович, Ю.Н.Работнов, Х.А. Рахматулин, А.Р.Рэканицын, П.Ф.Сабодаш, А.Я.Сагомонян, Л.И. Слепян, В.И.Смирнов, С Д.Соболев, В.В.Соколовский, В.П.Тамун, Л.А.Толоконников, И.Е.Трояновский, И.Г.Филиппов, Г.С.Шапиро, Е.И.Шемякин, Д.И.Шерман и многие другие.

Среди динамических задач вязкоупругости следует выделить задачи о колебаниях вязкоупругих систем и нестационарных волновых задач. При решении задач колебании вязкоупругих элементов конструкций в работах [19,20,27,37,38,42,66] был применен известный метод усреднения, который получил дальнейшее развитие в трудах [66,67] .

Особенно сложными являются нестационарные динамические задачи вязкоупругости, которые имеют важные практические приложения во многих областях современной техники, технологии, в строительстве и т.п., где широко используются полимерные, композитные и различные конструкционные материалы, подвергающиеся в процессе эксплуатации импульсивным воздействиям. В начале изучения этих проблем для описания поведения материала принимались простейшие модели Максвелла [37] , Фойгта [16,86] и их простые комбинации [ 8,26,48,78,86.] . Но вообще говоря, поведение реальных материалов не может описываться такими простыми моделями, возможно лишь исключение коротких времен и прифронтовых асимптотик, при которых решения, основанные на этих моделях, могут дать хорошие качественные картины действительного волнового поля. Вследствие этого, большинство известных подходов к решению нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости ставило своей целью выяснить влияние свойств материала на решение простых задач, предполагая затем качественно распространить полученные данные на более сложные задачи, в которых возможны упругие решения [8,9,29,34,68] .

Позднее, для описания механических свойств материалов в нестационарных динамических задачах вязкоупругости принимались интегральные соотношения Больцмана-Вольтерра с различными конкретными ядрами, которые,несомненно, привели к некоторым математическим трудностям при решении задач. Это обстоятельство привело к развитию численных [б,54J , приближенных [2,72] и асимптотических методов решения [77,80,87,88] , дающих в конечном итоге значения некоторых функций вблизи переднего фронта волны [64,77,84] или при коротких и больших временах после удара [13,14,17,34,45,61,62] , а также различные аппроксимации [2,12,32,33,52,56] . В таких постановках задачи существуют также некоторые приближения, связанные с выбором ядер интегральных операторов [1,7,15,36,46,59,60,63,74,75] .

Анализируя проблему распространения нестационарных волн в линейных вязкоупругих материалах, наталкиваемся с двумя довольно различными задачами. Первая состоит в описании дифференциального уравнения движения, выбора уравнении состояния и определения начальных и краевых условий, а вторая, обычно более трудная, в решении задачи. Эта проблема давно интересовала ученых и отражалась во многих трудах [2,9,26,29,37,65,68,76, 78,86] . Здесь имеются многочисленные подходы, которые ставят своей целью получение решений краевых задач о распространении нестационарных волн наиболее эффективным и наименее трудоемким способом. В число этих методов входят метод интегральных преобразований, метод разделения переменных, метод интегральных уравнений, метод характеристик, лучевые, а также численные методы. Наиболее эффективным среди них оказались методы интегральных преобразований Лапласа, Фурье, Меллина, Ханкеля и их комбинации.

Однако, методы интегральных преобразований неразрывно связаны со сложными задачами обратного преобразования, которые в случае более реальных соотношений между напряжением и деформацией неизбежно приводят к необходимости большого числа разрезов по ветвям в процессе контурного интегрирования, В целом, процедура контурного интегрирования быстро становится непрактичной из-за больших математических трудностей. Этот факт и является причиной того, что многие практические интересные задачи не были исследованы до последних времен.

В работах [27,68,70,7I,73j при решении нестационарных динамических задач для различных конструкций аналитический вид ядер релаксации не задается. При этом в [27] решения строятся с помощью некоторых приближенных методов, которые приводят окончательное решение к решению интегро-дифференциальных уравнений свободных и вынужденных колебаний вязкоупругих систем, реализуемые методом усреднения или замораживания [19,20,39, 42,44,66,67], а в работах [68,70,71,73]- методом продолжений.

В последних работах считается, что воздействие реализуется в течении конечного отрезка времени, причем концы отрезка подчиняются некоторым условиям. Продолжая функции импульса периодически с некоторым периодом, связанным с длиной отрезка, решения ищутся в виде ряда Фурье по времени, а влияния начальных условий не учитываются.

В последние годы в работах [21,22,23,24,25,31,40,4l] созданы новые методы решения нестационарных краевых задач однородной и неоднородной анизотропной линейной вязкоупругой среды при произвольных (кроме естественных ограничений) наследственных ядрах, поставлены и решены аналогичные задачи при непостоянных (ядра объемной и сдвиговой релаксации не пропорциональны) значениях коэффициента Пуассона. Тем самым открывались возможности для глубокого исследования практически и теоретически важных задач с учетом более реальных физико-механических свойств изучаемых объектов, которые возникают как в самих материалах, так и окружающих, в местах их эксплуатации.

Вместе с тем, представляет интерес сделать глубокий анализ распространения нестационарных волн в линейных вязкоупру-гих материалах при малой вязкости, построить более точные решения интегро-дифференциального уравнения колебания вязкоупру-гих систем и с их помощью получить решения нестационарных волновых задач, получить конкретные решения для наиболее распространенных ядер с указанными методами и традиционным методом контурного интеграла, исследовать влияние различных граничных и начальных условий, неоднородности материалов, слоистость конструкций и т.д. на волновое поле. Частичному решению этих проблем посвящена диссертационная работа.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе рассматриваются одномерные задачи о распространении нестационарных волн в вязкоупругих стержнях полубесконечной и конечной длины. Начальные условия нулевые, а на торце (для полубесконечного стержня) задаются напряжения, смещения и скорость смещения в виде единичной функции Хевисайда. В изображениях Лапласа решения всех задач получены в виде экспоненциальной функции с некоторыми коэффициентами. Представляя экспоненциальную функцию в виде интегралов Фурье, показана идентичность знаменателей подинтегральных функций и изображения решения интегро-дифференциального уравнения колебания вязкоупругих систем. Далее, построено решение последнего уравнения в виде ряда и показано, что первый член этого ряда является соответствующим решением интегро-дифференциального уравнения колебания вязкоупругих систем, полученный хорошо известным методом усреднения. Построены первые два члена ряда. Оценено влияние второго члена для слабо сингулярного ядра Ржани-цына с параметрами для материалов полипропилена и стеклопластика КАСТ-В. Получен фундаментальный результат о том, что при низких частотах влияние последующих членов незначительно и они возрастают с увеличением частоты. При значениях частоты, равных сто, амплитуда второго члена ряда при некоторых значениях времени составляет 20-25$ амплитуды первого члена, причем амплитуды всех членов ряда с течением времени уменьшаются по экспоненциальному закону, а фазы сдвинуты.

Во второй главе диссертации исследуются распространения нестационарных волн сдвига в тонких одно и двухслойных цилиндрах с нагрузками, заданными по некоторым участкам боковых поверхностей и динамическое кручение полого толстостенного цилиндра с некоторыми возмущениями, заданными на торце. Отметим, что аналогичные задачи для сплошных и полых цилиндров из упругих и линейных вязкоупругих материалов с определенными целями исследованы в работах [3,4,22,24,25,30,31,49,55,79,81,82,85] .

Сначало с помощью метода интегральных преобразований Лапласа по времени и косинуса преобразования Фурье по осевой координате определяются точные выражения изображения смещения. Считая оболочку тонкой, получены приближенные выражения изображения смещения и в дальнейшем произведено обращения этих выражений при некоторых граничных условиях. Устремляя длины участка, где задано возмущение, к нулю при условии, что суммарная нагрузка остается конечной и отличной от нуля, получено решение поставленной задачи для тонкой оболочки, находящейся под воздействием сосредоточенной кольцевой нагрузки. Аналогичное решение получено и в том случае, когда оболочка скручивается с двумя сосредоточенными кольцевыми нагрузками, расположенными на некотором расстоянии друг от друга, и когда одна из этих нагрузок остается неподвижной, а другая сообщает оболочке некоторую скорость. Наследственные свойства материала оболочки описывались дробно-экспоненциальным ядром Работнова, моделью стандартного линейного тела, функцией ползучести, представленной так, чтобы охватить материал Максвелла как частный случай и моделью Максвелла.

Аналогичные исследования приведены и для двухслойной цилиндрической оболочки. При этом рассмотрены случаи, когда оба слоя упругие или вязкоупругие и один из слоев упругий, а другой - вязкоупругий.

Последний, третий параграф этой главы посвящен исследованию распространения нестационарных крутильных волн в полом полубесконечном и конечном цилиндрах нагрузками, заданными на торце. Задача решается методами интегральных преобразований Лапласа и разделения переменных. Подробно исследован случай, когда свойство материала цилиндра описывается моделью Максвелла. Несмотря на то, что модель Максвелла плохо описывает свойство реальных материалов при значительных временах, проведен анализ поведения полученных решений при больших значениях времени, когда возмущение на торце меняется по синусоидалъному закону. Получен результат о том, что коэффициент затухания при больших значениях времени сильно зависит от частоты торцевых нагрузок.

В третьей главе диссертации исследуется распространение нестационарных волн сдвига в неоднородных вязкоупругих полупространствах, находящихся под воздействием импульсивных антиплоских касательных нагрузок. Сначало рассмотрен случай, когда функция релаксации не зависит от координаты, а плотность является функцией радиальной координаты. В цилиндрической системе координат задача решена с применением интегральных преобразований Лапласа по времени и Меллина по радиальной координате. Обращение полученных выражений осуществлено сначало для упругого материала, а затем с использованием обобщенной теоремы умножения Эфроса построены соответствующие решения для линейного вязкоупругого полупространства. Отметим, что аналогичное решение для упругого полупространства получено в работе [53].

Во втором параграфе этой главы аналогичная задача решена для вязкоупругого полупространства, когда и плотность и функция релаксации зависят от глубины. Задача решена методами интегральных преобразований Лапласа и Фурье, обратные преобразования для упругого полупространства вычислены методом, развитым в работе [64] , а для вязкоупругого полупространства - с помощью обобщенной теоремы умножения Эфроса. Определены выражения смещения на фронтах волны, как в случае полупространства, так и в случае слоя.

В заключение выражаю глубокую благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору И.А.Кийко и кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику М.Х.Ильясову за постановку задачи и постоянное внимание при выполнении диссертационной работы.

Выводы

Методами интегральных преобразований Лапласа, Меллина и Фурье решены задачи о распространении нестационарных волн сдвига в неоднородных вязкоупругих полупространствах. Рассмотрены случаи, когда функция релаксации не зависит от координаты, а плотность обратно пропорциональна квадрату радиальной координаты и когда функция релаксации и плотность зависят от глубины полупространства. Определены смещения на фронте волны и построены графики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построены решения нестационарных краевых задач о распространении возмущений в линейных вязкоупругих материалах при малой вязкости; получены решения для некоторых конкретных ядер.

Методом интегрального преобразования Лапласа построено в виде ряда решение интегро-дифференциального уравнения колебания линейных вязкоупругих систем. Показано, что первый член этого ряда является решением указанного уравнения, полученного известным методом усреднения, а последующие члены дают уточнение этого решения.

Численными расчетами показано, что при низких частотах влияния последующих членов ряда незначительны, а с увеличением частоты они возрастают.

2. Исследованы распространения нестационарных волн кручения в тонких однослойных и двухслойных цилиндрах с нагрузками, заданными на некоторых участках боковых поверхностей; получены решения в случае сосредоточенных кольцевых нагрузок. При этом для описания вязкоупругих свойств материалов применялось дробно-экспоненциальное ядро Работнова, модель стандартного линейного тела, модель Максвелла и функция ползучести, представленная так, чтобы охватить модель Максвелла как частный случай. Исследовано распространение нестационарных волн кручения в толстостенном полом вязкоупру-гом цилиндре полубесконечной и конечной длины. Подробно рассмотрен случай, когда свойство материала цилиндра описывается моделью Максвелла. Показано, что при больших значениях времени коэффициент затухания сильно зависит от частоты торцевых нагрузок.

3. Исследовано влияние вязкости и неоднородности материалов на распространение нестационарных волн сдвига в полупространствах, находящихся под действием импульсивных антиплоских касательных нагрузок.

Рассмотрены случаи, когда функция релаксации не зависит от координаты, а плотность обратно пропорциональна квадрату радиальной координаты и когда оба эти функции зависят от координаты, направленной вглубь полупространства. Здесь существенно то, что функция релаксации представлена в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от времени, а другая - от координаты. Определены выражения смещения на фронтах волны и при малых значениях времени.

1. АБРОСИМОВ Г.Э. Продольный удар жесткого тела по вязкоупру-гому стержню конечной длины. Вопросы динамики и прочности. Рига, 1982, № 50, 80-89.

2. АРЕНД Р. Распространение одномерных волн в реальных вязко-упругих материалах. Прикладная механика, Тр.Амер.общ-ва инж. механиков, сер.Е, 1964, № I, 22-27.

3. АМРАХОВ А.Н. Динамическое кручение цилиндра, на боковой поверхности которого заданы касательные напряжения. В Сб. "Распространение возмущений в упругих и неупругих стержнях и оболочках'.' М., Изд-во Моск.ун-та, 1975, 19-22.

4. АМРАХОВ А.Н. Динамическое кручение неоднородного ортотроп-ного круглого цилиндра. В сб. "Распространение возмущений в упругих и неупругих стержнях и оболочках, Изд-во Моск. ун-та, 1975, 23-28.

5. БЕЙТМЕН Г., ЭРДЕКН А. Таблицы интегральных преобразований. М., Наука, 1969.

6. БЕЛОВ М.А., БОГДАНОВИЧ А.Е. Численное обращение преобразования Лапласа методом асимптотического расширения интервалав динамических задачах вязкоупругости. Механика полимеров, 1976, № "5, 864-870.

7. БЕРИНГ, ЭТТИНГ. О продольном соударении двух тонких вязко-упругих стержней. Прикладная механика, Тр.Амер.общ-ва инж.-механиков, сер.Е, 1970, № 2, 57-62.

8. ЫЕНД Д. Теория линейной вязкоупругости. М., Мир, 1965.

9. ЕЛИТШТЕЙН Ю.М., МЕШКОВ С.И., ЧЕБАН В.Г., ЧИГАРЕВ А.В. Распространение волн в вязкоупругих средах. Кишинев, Шти-ница, 1977.

10. БОЛОТИН В.В., НОВИЧКОВ Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М., Машиностроение, 1980.

11. ГРИГОЛЮК Э.И., ГОРШКОВ А.Г. Взаимодейтвие упругих конструкций с жидкостью. Л., Судостроение, 1976.

12. ГАЙДУК С.И., ДОЕРУШКШ В.А. Решение одной задачи о продольном ударе по упруго-вязко-релаксирующему стержню. Изв.АН БССР, сер.физ-мат.наук, 1975, $ 6, 30-41.

13. ГЕРШБЕРГ В.М., ОГУРЦОВ К.И. Оценка первых выступлений нестационарных волн в вязкоупругих средах. В Сб. Волны в неупругих средах, Кишинев, 1970, 52-57.

14. ГОНСОВСКИЙ- В.А., МЕШКОВ С.И., РОССИХИН. Ю.А. Удар вязкоуп-ругого стержня о жесткую преграду, Прикладная механика, 1972, 8, № 10, 71-76.

15. ДУБРОВА П.Н., КОСЫХ Э.Г. Формирование импульса сжатия в вязкоупругом стержне при продольном ударе. Теорет. и прикл. мех., 1976, }Ь 3, II8-I23.

16. ЗВЕРЕВ И.Н. Распространение возмущений в вязкоупругом и вязкопластическом стержне, ШУМ, 1950, 14, № 3, 295-302.

17. ЗЕЛЕНЕВ В.М., ПОЛЕНОВ B.C. Волны напряжения в составном полубесконечном стержне. ПМТФ, 1971, В 4, II6-I20.

18. ИЛЬШИН А.А., ЛЕНСКИЙ B.C. Сопротивление материалов. М., изд-во Физматгиз, 1959.

19. ШГЬШИН А.А., ПОБЕДРЯ Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М., Наука, 1970.

20. ИЛЫСШИН А.А., ЛАРИОНОВ Г.С., ФИДАТОВ А.Н. К усреднению в системах интегро-дифференциального уравнения. ДАН СССР, т.188, 1969, В I, 49-53.

21. ИЛЬЯСОВ М.Х. О методах решения пространственных линейных нестационарных задач о распространении возмущений в изотропных однородных и анизотропных неоднородных вязкоупру-гих средах. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1983, № 6.

22. ИЛЬЯСОВ М.Х. Динамическое кручение вязкоупругих цилиндров. Изв.АН Азерб.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1978, № 5, 81-96.

23. ИЛЬЯСОВ М.Х. Нестационарные волны в вязкоупругих неоднородных стержнях. В Сб. Распространение возмущений в упругих и неупругих стержнях и оболочках. М., Изд-во МГУ, 1975.

24. ИЛЬЯСОВ М.Х. Динамическое кручение полого цилиндра нагрузкой, распределенной по боковым поверхностям. Изв.АН Азерб. ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1980, № I.

25. ИЛЬЯСОВ М.Х. Динамическое кручение неоднородного ортотроп-ного вязкоупругого полого цилиндра. Механика деформир. тверд, тела, Баку, Элм, 1981, № 4, 59-77.

26. ИШЛИНСКИЙ А.Ю. Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последействия и релаксации. ПММ, 1940,т.4, вып.1.

27. КАРНАУХОВ В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. Киев, Наукова думка, 1982.

28. КОЛТУНОВ М.А. Ползучесть и релаксация. М., Высшая школа, 1976.

29. КРИСТЕНСЕН Р. Введение в теорию вязкоупругости. М. Мир, 1974.

30. КИЙКО И.А., ИЛЬЯСОВ М.Х. Динамическое кручение вязкоупругих цилиндрических стержней. Механика полимеров, 1975,1. Я 3, 482-492.

31. КЛАУС. Исследование распространения одномерных волн в вяз-коупругом материале с использованием экспериментально определенных характеристик материала, Прикладная механика, Тр.Амер.общ-ва инж. механиков, сер.Е, 1968, № 3, 17-22.

32. КРИЦКАЯ С.С., РОГАЧ Д.И. Математическое рассмотрение задачи о продольном ударе стержня при наличии закона Больцмана-Вольтерра. Изв.вузов , матем., 1980, № 4, 47-52.

33. ЛОКШИН А.А., СУВОРОВА Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью. М., Изд-во МГУ, 1982.

34. ЛОМАКИН В.А. Теория упругости неоднородных тел. М., Изд-во МГУ, 1976.

35. ЛАВЕНДЕЛЬ Э.Э., АБРОСИМОВ Г.Э. Нешение задачи об ударе абсолютно твердым телом по вязкоупругому стержню конечной длины. Всесоюзн. научн.техн. конф. по методам расчета изд. из высоко-эласт. материалов. Тезисы докладов, Рига, Г977, 37-38.

36. ЛИ, КАНТЕР. Распространение волн в упруго-вязких стержнях конечной длины. Механика, С б. переводов, 195.5, Jfc 4.

37. ЛАРИОНОВ Г.С. Решение некоторых динамических задач теории вязко-упругости методом усреднения. Механика полимеров, 1970, $ 2, 246-252.

38. ЛАРИОНОВ Г.С. Исследование колебаний релаксирующих систем методом усреднения. Механика полимеров. 1969, JS 5, 806813.

39. МАКСУДОВ Ф.Г., ИЛЬЯСОВ М.Х. Об одном методе решения динамических задач линейной вязкоупругости с регулярными наследственными ядрами. ДАН СССР, т.260, 1981, № 6, 13321335.

40. МАКСУДОВ Ф.Г., ИЛЬЯСОВ М.Х. Об одном методе решения динамических задач линейной вязкоупругости с непропорциональными функциями релаксации. ДАН СССР, 1983, т.273, № 3, 564-567.

41. МАТЯШ В.И. Колебания изотропных упруговязких оболочек. Механика полимеров. 1971, № I, 157-164.

42. МАЛМЕЙСТЕР А.К., ТАМ В.П., ТЕТЕРС Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига, Зинанте, 1980.

43. МОСКВИТИН В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М., Наука, 1972.

44. МОРОЗОВ Ю.Г., МУЗЫЧЕНКО В.П. К вопросам о сравнении методов решения задач динамики упруговязких сред. Сб. статей по волновой динамике, Воронеж, 1975.

45. НИКИТИН Л.В. Напряженное состояние армированного материала вблизи фронта распространяющейся волны. Матер. Всесоюзн. симпоз. по распростр. упруго-пластич. волн в сплошных средах. Баку, Элм, 1966, 94-102.

46. НИКИТИН Л.В. Распространение волн в упругом стержне при наличии сухого трения. Инж.журн. МТТ, 1963, вып.З, № I, 126-130.

47. НИГУЛ У.К. Правильное применение метода деформирования контура интегрирования при обращении преобразования Лапласа в задачах распространения вязкоупругих волн. ДАН СССР, 248, № I, 1979, 56-59.

48. НОВОЖИЛОВ В.В., УТЕШЕВА В.И. Динамическое кручение полубесконечного цилиндра. Инж.журн., МТТ, 1967, № I, 71-80.

49. ОГИБАЛОВ П.М., КИЙКО И.А. Очерки по механике высоких параметров. М., Изд-во Моск.ун-та, 1962.

50. ОГИБАЛОВ П.М., МАЛИНИН Н.И., НЕТРЕБКО В.П., КИШКИН Б.П.

51. Конструкционные полимеры, кн.1 и 2, М., изд-во МГУ, 1972. »

52. ОГИБАЛОВ П.М., ЛОМАКИН В.А., КИШКИН Б.П. Механика полимеров. М., Изд-во МГУ, 1975.

53. ОГУРЦОВ К.И., ПУШКАРЕВ И.К. О распространении поперечных волн в неоднородной среде с наклонным градиентом частного вида. В сб. Распространение упругих и упруго-пластических волн. Алма-Ата, Наука, 1973, 277-281.

54. ПОБЕДРЯ Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М., Изд-во iffy, 1981.

55. ПОРУЧНИКОВ В.Б., СТЕПАНОВ А.В. Динамическое кручение полого полубесконечного цилиндра. М., ВИНИТИ, 1974, 583-592.

56. ПОПОВИЧ А.Ю., ФИЛИППОВ И.Г. Вязкоупругие сдвиговые волны в четверть плоскости. Вычислительные методы механики. Математические исследования, вып.64, Кишинев, Штиница, 1981, I07-II2.

57. РАБОТНОВ Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., Наука, 1977.

58. РАХМАТУЛИН Х.А., ДЕМЬЯНОВ Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М., Физматгиз, 1961.

59. РABAC00 А.А., ЭНГЕЛЬБРЕХТ Ю.К. Переходные волновые процессы деформации в вязкоупругой среде при импульсивных воздействиях. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности. Горький.1981, 3-10.

60. САБОДАШ П.Ф. Распространение продольных вязкоупругих волн в трехслойной среде. Механика полимеров, 1971, № I, 151156.

61. САБОДАШ П.Ф. Исследование распространение линейных вязкоупругих волн в пластинках конечной толщины. Прикладная механика, 7, 1964, 66- 73v

62. САБОДАШ П.Ф., ФИЛИППОВ И.Г. О воздействии импульса касательного напряжения на поверхность вязкоупругого анизотропного полупространства. Механика полимеров. 1969, № 5, 933-937.

63. САН. Неустановившееся распространение волн в вязкоупругих стержнях. Прикладная механика. Тр.Амер.общ-ва инж.-мех., сер.Е, 1970, № 4, 239-241.

64. СЛЕПЯН Л.И. Нестационарные упругие волны. Л., Судостроение, 1972.

65. СУВОРОВА Ю.В. О применении интегральных преобразований в одномерных волновых задачах наследственной вязкоупругости. В Сб. Механика деформируемых тел и конструкций, М., Машиностроение, 1975, 464-471.

66. ФИЛАТОВ А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент, ФАН, 1974.

67. ФИЛАТОВ А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях. Ташкент, ФАН, I971.

68. ФИЛИППОВ И.Г., ЕГОРЫЧЕВ О.А. Нестационарные колебания и дифракция волн в акустических и упругих средах. М., Машиностроение, 1977.

69. ФИЛИППОВ И.Г., ШИРИНКУЛОВ Т.Ш., МИРЗАКАБИЛОВ С. Нестационарные колебания линейных упругих и вязкоупругих сред. Ташкент, ФАН, 1979, 236с.

70. ФИЛИППОВ И.Г. Динамические задачи линейной теории вязкоупругости. В сб. Избранные проблемы прикладной механики, М.,1. ВИНИТИ, 1974, 701-709.

71. ФИЛИППОВ И.Г. О некоторых динамических задачах для вязко-упругих сред., МТТ, 1976, В 5, 145-152.

72. ФИЛИППОВ И.Г. Влияние вязкости на распространение волн напряжений в упругих телах при динамических нагрузках. Прикладная механика, 1979, 15, № 12, 3-10.

73. ФИЛИППОВ И.Г., ПОПОВИЧ А.Ю. Распространение волн сжатия в стержне из вязкоупругого материала. Прикладная механика, 1976, 12, & 7, 45-50.

74. ФИЛИППОВА Н.А. Об одном классе динамических задач для вязкоупругих сред. Прикладная механика, 1979, 15, № 7, 74-80.

75. ФИЛИППОВА Н.А., ПОПОВИЧ А.Ю. Влияние вязкости на распространение волн напряжений в упругом теле. Изв.АН Молд.ССР, сер.физ-техн. и матем.наук, 1978, № I, 33-42.

76. ШЕМЯКИН Е.И. Об одном методе интегрирования граничных нестационарных линейных задач о распространении возмущений в неидеально упругих средах. ПММ, 1958, 22, № 3, 289-300.

77. JlchengaeJi d.j Redely R. Koie on wavz propagation in

78. Cineatfy viscoefash'c. media, ;Уо{, /2, №Ъ р./ЧНМ.

79. ВМу d.S.j нlintel 5.С, The propagation d^namit$itess in vib^oefastio. teds. if. Mech. Ph#s. SoMs.j1. VoC. Hj 195b> U-9S.

80. Campieff ftTsao M.C.C. On the**} oj.

81. I aw son ft £ To*tbiona( efabtia waveh in bemi-(n n i be ho Mow Qit Gufa £ fab s. Qua It, ft.1. JtypL Maih.j vo(.H)

82. Lee T. №. Speb'eaf waveb in vn<W&$tic теЖ'<*. tf, faoust. SoS. Amet.j 36; ШЬ

83. Luiiinet oJ. Cuftndtieaf wart in cl vUeoeeabtic.botioi. 0, Я doubt, bob. №ubt)Z4j J* <(, /96ij Ш-№<>.

84. Me Coy ft ft Propagation of -Lobsionaf wa/еъ in a. eitcafai efatit ы. -1Ш?j Bct.if>*!5> Ш.

85. Moilison ft J. Wave propagation In Ыь of Voiot ruaieUaC with ihtee- pa^ametet wode(b,-Quabt.

86. AppC. j vo{. yf, 19Я; i$5-U9.

87. Vafanis К,С, Wave, propagation in vibtotfasbic. bottdb with теа$иЫ Wfaxation ot Weep functions. Ptos, hP Inbetnai. aono. onteofofflj раЫ-Aj J963; р.Ш.

88. Vbfonib K.C.j M\an(j S, Si ins propagation ш ex finite viscetfaSlie fau) я/ bhe heHditaty fype.- Ъые!ор. Ше>*. A-ppt Meeb., 496b} Yof.3.

89. КУРБАНОВ H.T. Кручение вязкоупругой цилиндрической оболочки нагрузкой, распределенной по боковой поверхности. Матер. 1У Республ.конф. по матем. и мех., Баку, Изд-во Элм, 1983, 159-163.

90. КУРБАНОВ Н.Т. Нестационарные волны сдвига в вязкоупругой неоднородной среде. Матер. 1У Республ. конф. по матем. и мех., Баку, изд-во Элм, 1983, 164-166.

91. ИЛЬЯСОВ М.Х., КУРБАНОВ Н.Т. О распространении нестационарных волн в линейных вязкоупругих материалах. ВИНИТИ,464.84.

92. ИЛЬЯСОВ М.Х., КУРБАНОВ Н.Т. К решению интегро-дифферен-циального уравнения динамических задач линейной вязкоупругости. ДАН Азерб.ССР, /1984, №5

93. КУРБАНОВ Н.Т;- Распространение нестационарных волнсдвига в вязкоупругом полом цилиндре. ВИНИТИ, J62I60-84.