Некоторые вопросы стабилизации приводимых нестационарных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.ВЛОМОНОСОВА

"П-

2 /, (\ит ^еханико-магематический факультет

На правах рукописи

Можейко Ирана Абдул Гусейн кызы

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРИВОДИМЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук В. М. Морозов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н. А. Парусников (МГУ)

кандидат физико-математических наук, доцент В. В. Филиппов (МЭИ)

Ведущая организация: Санкт-Петербургская государственная академия аэрокосмического приборостроения

Зашита состоится 'V-/' А^.-е^А-Д- 1994 г. в 16 час. 00 мин. на заседании специализированного совета по механике Д.053.05.01 при МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

Автореферат разослан с^ГЛ^^ 1994 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.01 при МГУ

д.ф.м.н. Д. В. Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкий класс объектов механики и техники приводит к изучению динамических систем, поведение которых описывается нестационарными (неавтономными) системами обыкновенных дифференциальных уравнений. В последние годы вопросы устойчивости, управления и оценивания для таких систем интенсивно разрабатываются. Однако достаточно эффективная теория для нестационарных линейных систем общего вида (аналогичная существующей для систем с постоянными коэффициентами) пока не создана.

В связи с этим представляется естественным направление исследований нестационарных систем, состоящее в приведении их тем или иным конструктивным способом к стационарным, что позволяет применять для их расчета простые и хорошо разработанные методы анализа и синтеза систем с постоянными параметрами, в том числе классические частотные и временные методы теории устойчивости и управления.

Цель работы состоит в дальнейшем развитии теории приводимых нестационарных систем управления и ее распространении на системы со "смешанной" нестационарностью (в которых элементы обеих матриц - как матрицы системы, так и матрицы при управлении -являются непрерывно дифференцируемыми функциями времени) и структурно более сложные последовательно соединенные системы. Целью исследования также является применение этих теоретических результатов к решению прикладных задач стабилизации и управления для ряда механических систем.

Метод исследования. В работе используются методы линейной ал-

гебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории устойчивости. При решении прикладных задач применяются методы небесной механики и теории оптимального управления (метод аналитического конструирования регуляторов).

Научная новизна. В работе определены новые классы приводимых нестационарных систем управления, для которых получены конструктивные необходимые и достаточные условия приводимости и управляемости; описаны и математически обоснованы алгоритмы построения стабилизирующего управления. На основе теоретических результатов впервые получены аналитические решения задачи стабилизации в ряде прикладных задач управления движением космических аппаратов, которые ранее в литературе не рассматривались.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. В развитие теории линейных приводимых нестационарных систем управления сформулированы и доказаны:

а) для нестационарных систем, записанных в форме Коши (в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка) - теорема о необходимых и достаточных условиях приводимости для линейных систем, нестационарных по управлению; достаточный критерий приводимости для систем со "смешанной" нестационарностью;

б) для нестационарных систем, записанных в форме Лагранжа (системы дифференциальных уравнений второго порядка) - достаг точные критерии приводимости для однородных систем и для неоднородных систем со "смешанной" нестационарностью; теорема о необходимых и достаточных условиях приводимости для неоднородной лагранжевой системы, нестационарной по управлению;

в) для последовательно соединенных нестационарных систем

управления определенного вида - теоремы о достаточных условиях приводимости как в пространстве состояний той же размерности, так и с расширением пространства состояний;

г) для описанных выше новых классов приводимых систем сфор-мулированны и доказаны соответствующие теоремы о необходимых и достаточных условиях управляемости, построены алгоритмы стабилизирующего управления, исследованы свойства замкнутых систем управления;

2. На основе указанных теоретических результатов получены аналитические решения в следующих прикладных задачах:

а) В виде обратной связи по состоянию построен закон управления в задаче стабилизации космического аппарата силами светового давления в окрестности коллинеарной точки либрации круговой ограниченной задачи трех тел;

б) Рассмотрен ряд задач о стабилизации стационарных движений твердого тела при помощи вращающихся масс: в задачах стабилизации стационарных движений твердого тела на круговой орбите и свободного твердого тела при помощи маховиков впервые показана принципиальная возможность решения при наличии только двух управляющих воздействий, проведен анализ управляемости и построено стабилизирующее управление; в задаче стабилизации вращательного движения свободного твердого тела при помощи гироскопа показано, что в отсутствие одного из трех управляющих воздействий исходная система неуправляема по всем переменным и осуществлена ее декомпозиция на управляемую и неуправляемую подсистемы.

Достоверность результатов основывается на полноте и строгости приведенных в диссертации доказательств. При решении приклад-

ных задач используются строго обоснованные математические методы.

Практическая ценность. Совокупность полученных в работе результатов позволяет существенно расширить рамки применимости конструктивной теории приводимых нестационарных систем к решению задач управления и стабилизации. Результаты, полученные при решении прикладных задач, имеют самостоятельное значение и могут быть использованы при проектировании и конструировании конкретных технических объектов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международном азрокосмическом конгрессе (1АС) - август 1994, Москва; XVIII Научных чтениях по космонавтике - январь 1994, Москва; Международных конференциях по техническому диагностированию - июнь 1993, июнь 1994, Санкт-Петербург; Международной школе-семинаре по нелинейной механике - февраль 1993, Москва; семинарах кафедры прикладной механики и управления (рук.: академик РАН А.Ю.Ишлинский, проф.Е.АДевянин, проф.И.В.Новожилов) - май 1992, июнь 1994.

Публикации. Основные результаты опубликовали в 5 статьях и отчете института механики МГУ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы, включающего 77 наименований. Общий объем - 166 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследования, обсуждается состояние вопроса и излагается

краткое содержание работы.

В главе 1 представлена теоретическая часть работы. Она состоит из пяти параграфов. Первый параграф состоит из трех подразделов и целиком посвящен линейным нестационарным системам, записанным в форме Коши. Два первых раздела являются вводными и содержат краткое изложение теории приводимых нестационарных линейных систем по состоянию вопроса на сегодняшний день. В третьем разделе, с которого начинается содержательная часть диссертации, дается новое более общее определение "приводимости", учитывающее возможность расширения пространства состояний: Определение. Линейная нестационарная система

x(t) = A(t) x(t) + B(t) и <7 = C(t) x(t),

(nxl) (nxn)(nxl) (nxr)(rxl) (iXl) (ixn) (nxl)

где x(t) - вектор состояния, и - вектор управляющих воздействий, о- - вектор наблюдений, а элементы матриц A(t), B(t),C(t) являются непрерывно-дифференцируемыми функциями времени, называется приводимой, если она может быть преобразована в систему с посто янными коэффициентами вида

2/(0= G y{t) + Г и , р = Q y{t), G,T,Q — const (pxl) (pxp)(pxl) (pxr)(rxl) (Jxl) (/xp)(pxl)

при помощи некоторого линейного преобразования векторов состояния, наблюдения и управления: г = L(t) у, а = M(t) р, и = N(t) v,

(пхр) (¡xl) (гхг)

где M(t), N(t) - квадратные невырожденные матрицы для всех t > О с непрерывно-дифференцируемыми элементами, a L(t) - прямоугольная матрица (р > п) с элементами, которые также являются непрерывно- дифференцируемыми функциями времени.

Таким образом, случай р = п соответствует приводимости в пространстве состояний той же размерности, в то время как случай р > п соответствует приводимости с расширением пространства состояний.

Далее формулируется и доказывается теорема о необходимых и достаточных условиях приводимости с расширением для системы, нестационарной только по управлению (Th 1) и достаточный критерий приводимости для линейной системы со "смешанной" нестационарностью:

Th 2. Для приводимости нестационарной системы вида

®(<) = A(t)x(t) + B(t) и (1)

к полностью стационарной системе

y{t) = Gy{t) + Tu (2)

достаточно выполнения следующих условий: а) матрица системы A(t) удовлетворяет уравнению A(t) = DA[t) — A(t)D, D = const; б) матрица B(t) при управлении допускает представление

= 9<rn (3)

где Bj = const - постоянные матрицы, a pj{i) - линейно незави-

(nxr)

симые функции, являющиеся решениями некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При этом приводящее преобразование имеет вид

г = FT{t)y, где FT(t) = eDt (■0T(t) ® Еп) , ф(1) = /(f) ® <p(t), (4)

(pxn)

в

/(<) = ,... ,/3q, fq+i,..., fm)T - вектор, первые q компонент ко-(mxl)

торого представлены функциями из разложения (3), а остальные m — q компонент выбраны так, чтобы поведение вектора f(t) описывалось замкнутой линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида

/(«) = Sjfit), Sj = const. (5)

(mxm)

Тогда расширенная стационарная система имеет размерность р (га < р < тп2), и ее матрицы могут быть найдены по формулам:

G = Emn®(A(0)-D)-Sl®En, (рхр)

Г = (Ет <g> D*) (Bj ...BjO^ ...Olf (6)

(pXr)

где = Em®De_+Sj®En, (D'f = (En,-D,D2,...,(-D)n~1) ,

(nxn3)

E„ - единичные матрицы соответствующих размерностей, 0?+i, ..., Om - нулевые прямоугольные матрицы размерности (n х г), ® • символ кронекеровского произведения, <p(t) = (<ро, ■ ■■, fn-if - вектор, элементы которого представляют собой систему определяющих функций для матрицы e~Dt,a Dc_ - сопровождающая матрица для матрицы (-D).

Второй параграф главы 1 посвящен линейным нестационарным системам, записанным в форме Лагранжа. В нем сформулирован и доказан достаточный критерий приводимости для однородных систем определенного типа (Th 3), а также содержатся теоремы Th 4 и Th 5, являющиеся лагранжевыми аналогами теорем Th 1 и Th 2 соответственно.

В третьем параграфе главы 1 исследуется приводимость нестационарных систем более сложной структуры - последовательно соединенных ("каскадных"). Достаточные критерии приводимости "без" и " с" расширением пространства состояний для таких систем представлены соответственно теоремами Th 6 и Th 7. Приведем одну из них, имеющую важное значение при решении одной из прикладных задач третьей главы.

Th 7. Для приводимости нестационарной последовательно соединенной системы

¿1 = -^и + B(t) и , Ац = const (nxl) (nxn)(nx 1) (nxr)(rxl) ^

¿2 = Ml{t) Xi + A22 *2 , A22 = Const

, (nxl) (nxn) (nxl) (nxn)(nxl) порядка 2n к полностью стационарной системе порядка 2р > 2п вида

Ш = Ли 2/1 + в' и , Rn,B' — const (pxi) (pxp)(pxi) (p*r)(r* i) ^

У2 =^21 У1 + R22 У2 , Д21,/г22-const (pxi) (pxp)(pxi) (pxp)(px 1)

достаточно выполнения следующих условий: а) матрица Лг1(<) подчиняется дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами: A2i{t) = GA2i(t), G = const; б) матрица B(t) удовлетворяет условиям (3), (5) и с) A22G = GA22.

При этом приводящее преобразование задается формулой

П = [f ® Еп) у\ х2 = eGt (f ® Еп) yt, р < тп, а матрицы системы (8) находятся по формулам

Дц = (Ет ® Ац) - (sj ® Еп) , Д21 = Ет ® Л21(0), R22 = (Ет ® (А22 - G)) - (Sj ® Ея) , В' = (Я?, • •Blf .

Параграф 1.4 содержит необходимые и достаточные критерии управляемости (Th 8, Th 9) для тех классов приводимых систем, которые определены теоремами Th 1 и Th 2 соответственно; показано, что управляемость приведенной стационарной системы всегда является достаточным условием управляемости исходной нестационарной, что удобно при решении прикладных задач.

И наконец в п. 1.5 описаны и математически обоснованы некоторые простые алгоритмы построения стабилизирующего управления в приводимых системах, кратко описанные ниже.

Задача стабилизации для нестационарной системы (1), удовлетворяющей условиям соответствующей теоремы о приводимости (например, Th 2), состоит в том, чтобы построить в ней управление и так, чтобы x(t) —► 0 при t —* оо. Эта задача решается введением обратной связи по состоянию

и = -Кту, где Кт = const (9)

(1 хр)

в стационарную систему (2) таким образом, чтобы замкнутая система

y = Gky, где Gk = G-TKT (10)

была асимптотически устойчивой. Такое управление всегда можно выбрать, если система (2) управляема. Основная сложность заключается в том, чтобы встроить синтезируемое таким образом решение в исходную нестационарную систему меньшей размерности. Для этого предлагается специальная процедура, названная "аналитическим устройством", реализация которой в бортовом вычислителе не пред-

ставляет принципиальных сложностей. Вводится р-мерный вектор

xp(t) = (рх 1)

( *(<) \

(ПХ1)

At)

\ ((p-n)xl) /

состоящий из реального вектора состояния хсистемы (1) и некоторого дополнительного вектора Затем выбирается некоторая матрица так чтобы блочная квадратная матрица

/

в(<) = (рхр)

FT(t)

("ХР)

\

Н О

\ ((р-п)хр) /

была невырожденной, т.е. <^0(<) ^ 0 и 0(*)0 *(<) = £"р. Если и обратную матрицу представить в блочной форме В-1(<) = то имеют место невырожденные преобразования:

\(рхл) (рх(р-ч))/

*Р = е(<)у, или х = гт{г)у, =

у = 0"1(Охр или у = Рх{г)х + Р2(«)х', с учетом которых закон управления (9) принимает вид

и = -кт (Р1(1)х + Р2(г)х')

(И)

(12)

и выражается через исходные физические переменные z(t) и добавочный вектор х'(<). Из формул (11) и (5), (6) очевидны оценки ||г(011 < ||FT(t)||||y(i)|| и ||FT(t)|| < MieT'C-1»), Aii, 7i - const > 0. А поскольку в силу выбора матрицы К имеем ||г/(<)|| < М2е_7а('~'°), Мг, 72 — const > 0, то ||a;(i)II < МхА/ге^71-73^'-'0) и, выбирая 72 так чтобы 7i—72 < —70i можно обеспечить любую желаемую степень затухания 7о компонент исходного вектора состояния x(t).

Решение задачи стабилизации для управляемой стационарной системы (2), как правило, не единственно, т.е. существует множество управляющих воздействий щобеспечивающих асимптотическую устойчивость решения у = 0 системы (10). Следовательно, неоднозначно и решение (12), стабилизирующее исходную нестационарную систему (1). Для исключения неоднозначности в выборе управляющих воздействий в условия задачи стабилизации для системы (2) можно ввести вспомогательное условие минимума некоторого функционала вида

г

Jo

где П(г,у, и) - некоторая положительная функция, определенная в области < > <о> |Н| < Н.

В главе 2 исследуется задача управления движением космического аппарата при помощи силы светового давления в окрестности колли-неарной точки либрации ограниченной задачи трех тел. Космический аппарат (КА) рассматривается как пассивная материальная точка под влиянием (притяжением) двух активных масс - Земли и Луны. Линеаризованные уравнения возмущенного движения имеют вид (1), где

/ , „ „ л \

А =

Л 0 0 0

0 -А 0 0

0 0 0 —и

0 0 ш 0

, в(г) =

/

^ qk2 соз I/* + зт иЬ ^ дкг соз VI — зт I// — зт VI

<7&1 соз VI I

т

(13)

V - угловая скорость вращения единичного радиус-вектора, определяющего направление из точки либрации на Солнце, относительно

вращающейся вместе с Луной декартовой системы координат с центром в точке либрации и осью абсцисс, направленной по линии Земля

- Луна; сх - безразмерный коэффициент, характеризующий взаимодействие светового потока с поверхностью КА; /I - импульс светового потока, проходящего за единицу времени через единичную площадку, ортогональную солнечным лучам; 5 - площадь поперечного сечения КА, ортогонального световому потоку; т - масса КА; и, А, д, кх, к^ -постоянные параметры, а вектор состояния х(<) связан с вектором 7 = (х, у, х, у) фазовых координат и скоростей КА соотношением: х = (¿4, (} = соп."

Показано, что система (1), (13) удовлетворяет теореме ТЬ 1 и, следовательно, приводится к полностью стационарной системе; проведен анализ управляемости (как приведенная стационарная, так и исходная система управляемы при условии |ы| ф I/) и построено стабилизирующее управление в виде обратной связи по состоянию, обеспечивающее любую наперед заданную степень затухания исходных переменных.

Глава 3 включает в себя серию задач, посвященных стабилизации стационарных вращений твердого тела при помощи вращающихся масс. В них КА рассматривается как система твердых тел

- гиростат, несущий стабилизирующие двигатели (маховики или гироскоп). В начале главы приводится краткий обзор работ, посвященных этому вопросу, и далее в трех параграфах исследуются те задачи указанного типа, которые описываются нестационарными моделями и прежде не исследовались.

В п.3.1. рассматривается задача стабилизации стационарного движения твердого тела на круговой орбите при помощи маховиков

в рамках ограниченной постановки (т.е. без учета возмущений орбиты). Уравнения движения симметричного спутника-гиростата в центральном ньютоновском поле сил допускают частное решение, описывающее следующее стационарное движение: центр масс гиростата О движется в плоскости Х1О1Х2 (0\ - притягивающий центр) по круговой орбите радиуса Яо с постоянной угловой скоростью Ф = шо, гиростат вращается равномерно с относительной угловой скоростью ф = Г2о вокруг оси симметрии Ох3, направленной перпендикулярно плоскости круговой орбиты; при этом два маховика, оси которых лежат в плоскости орбиты, неподвижны, а третий маховик с осью вращения вдоль Ох3, либо неподвижен, либо вращается равномерно относительно тела. Это частное решение описывается соотношениями

Я = Я о, Я = О, ф = О, ф = 0, Ф = шо, Ф = о>0*, фх = и0 + По = и*, д,- = О, /?,•* = 6а, ш,- = 0, (14) «1 = 62 = 0, С3 = С§, (¿=1,2,3)

где Я,ф,Ф - сферические координаты центра масс; д,- - проекции мгновенной угловой скорости тела на оси Резаля Ох\х'7х'3\ - косинусы углов между осями инерциальной системы координат О1Х1Х2Х3 и осями Резаля; 67,- - проекции вектора кинетического момента гиростата на оси О1Х1Х2Х3; гщ - проекции управляющего момента на оси системы координат 0х\хгхъ, жестко связанной с гиростатом, оси которой направлены по его главным осям инерции. При этом величины Wi связаны с проекциями щ управляющего

момента на оси Резаля следующими соотношениями

Wi = «1 cos <pi — U2 sin <pi, W2 = Ui sin <pi + U% COS <pi, W3 = U3

Уравнения возмущенного движения в окрестности частного решения (14) имеют вид

и*

qi = -(w* + h)q2 + ш* hp32 + ^—jGi + sin 2(w0i + Ф)+ +2i//?23 sin2(w0< + Ф) - ^зу + Qi

Ш*

q2 = (w* + h)qi - U*hp3l - - 21//З13 cos2(u0< + ф) -

-v/%3sm2(wo< + ®)-£3j + Q2 (15)

<73 = -p^-r + Qs, Gi = 0, Ри = Вц, (¿=1,2,3) Оз — J3

Áa = -93 + B12, /?13 = 92 + Bi3, /?23 = -91 + 52З (123)

где л = г " = In^Zjy as - гравитационная постоян-

ная; Аз - начальное значение проекции относительного кинетического момента маховиков на ось Резаля Ох'3; С = Ci = С2 и С3 - моменты инерции гиростата относительно осей 0х\хгхз! J — Ji — J2 а -осевые моменты инерции маховиков; B¡¡, Qi,Q2,Qz - члены не ниже второго порядка малости.

В отсутствие одного из маховиков (ui = 0), оси которых перпендикулярны оси симметрии тела, линеаризованная система уравнений возмущенного движения, соответствующая системе (15), состоит из двух независимых подсистем 4-го и 2-го порядков, в каждой из которых имеется свое независимое управление, и имеет вид

х, = Ax(t)xi + Br(t) и х„ = Апх„ + В„V, Аи, Btl - const

где X! = (/?1з,/?23,92,-71)Г, х„ = (?з,/?12)Т, « = («1, у2)Т ,

(4X1) (2X1) (2X1)

112 «2 . = ~{с=ту= ~{с^7)вт(ри и = =

В то время как вторая подсистема стационарна, первая - удовлетворяет теореме ТЬ 2 и приводится к расширенной стационарной системе вида (2). Дальнейшее решение задачи включает анализ управляемости и синтез стабилизирующего управления, который осуществлен на основе решения задачи оптимальной стабилизации в приведенной стационарной системе методом аналитического конструирования регуляторов. Описанное выше "аналитическое устройство" позволяет встроить в исходную систему полученный закон управления, обеспечивающий экспоненциальную устойчивость нулевого решения замкнутой линеаризованной системы (16), а также устойчивость невозмущенного движения для полной нелинейной системы (15).

Аналогичным образом в п.3.2 исследуется задача стабилизации вращательного движения свободного твердого тела при помощи только двух маховиков. Показано, что в этом случае линеаризованная система уравнений возмущенного движения относится к классу приводимых систем, определенных теоремой ТЬ 1; на основе приведенной системы с постоянными коэффициентами осуществлен анализ управляемости и выделена неуправляемая комбинация исходных переменных состояния; для управляемой подсистемы построено стабилизирующее управление.

В п.3.3 рассматривается задача стабилизации вращательного движения свободного твердого тела при помощи гироскопа. Показано, что при наличии только двух управляющих воздействий линеаризованная система уравнений возмущенного движения представляет

собой последовательно соединенную систему типа (7), удовлетворяющую условиям теоремы Th 7; на основе приведенной полностью стационарной системы проведен анализ управляемости и осуществлена декомпозиция пространства состояний исходной системы на управляемое и неуправляемое подпространства.

В заключении перечисляются основные результаты и еще раз подчеркивается суть применяемого теоретического подхода.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. В.М.Морозов, И.А.Можейко. Стабилизация космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации круговой задачи трех тел//Вестн. Моск.Ун-та, Мат. и механ., 1994, No.5, с.44-47

2. В.М.Морозов, И.А.Можейко. Некоторые вопросы управления нестационарными механическими системами//Отчет института механики МГУ, 1994

3. V.M.Morozov, I.A.Mojeiko. On some problems of spacecraft stabilization//IAC'94-Abstracts, Moscow, August, 1994, p.456

4. V.M.Morozov, I.A.Mojeiko. On some problems of spacecraft stabilization// IAC'94 -Proceedings, Moscow, 1994

5. В.М.Морозов, И.А.Можейко. О стабилизации нестационарных систем//"Техническое диагностирование - 93", Труды конференции, СПб, 1993, с.76-77

6. В.М. Морозов, И.А. Можейко. Некоторые вопросы приводимости нестационарных систем управления и оценивания//Тезисы науч.-технич. конференции "Диагностика, информатика и метрология -94", СПб, 1994, с.116-117