Некоторые вопросы теории неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.926.4

Бернштейн Евгений Александрович

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ НЕОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В. М. Миллионщиков.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. С. Самовол

кандидат физико-математических наук, доцент А. С. Фурсов

Ведущая организация: Институт математики HAH Беларуси.

Защита диссертации состоится 3 марта 2006 года в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 3 февраля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор Т. П. Лукашенко

ЛрУбА

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Важное место в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимает изучение линейных систем — как однородных, так и неоднородных, поскольку к их рассмотрению сводится ряд задач, связанных с нелинейными системами.

Во многих задачах, посвященных изучению свойств решений систем дифференциальных уравнений, используется понятие характеристических показателей, введенное А. М. Ляпуновым1.

Одним из направлений исследования линейных систем, начало которому положил О. Перрон, является изучение связи между асимптотическим поведением решений однородной и неоднородной систем, в частности, решение различных задач об асимптотической и экспоненциальной устойчивости, которые привели к понятию различных видов дихотомий, в том числе экспоненциальной дихотомии.

В работе Перрона2 рассматривались однородные линейные системы дифференциальных уравнений

имеют хотя бы одно ограниченное решение при ограниченных функциях f(t). Известно, что это условие эквивалентно тому, что пространство решений однородной системы распадается в прямую сумму двух подпространств, причем решения, начинающиеся в одном из подпространств, экспоненциально растут при t —» -f-oo (и экспоненциально убывают при t —> —оо), в то время как решения, начинающиеся во втором подпространстве, наоборот экспоненциально убывают при t —> +00 (и экспоненциально растут при t —» —00). Это свойство решений системы называется экспоненциальной дихотомией. Указанная эквивалентность была впервые установлена А. Д. Майзелем3.

1 Ляпунов А М Общая задача об устойчивости движения // М. - Л.: Гостехиздат, 1950.

'Perron О. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Zs. 32 (1930). S. 703-728.

3Майзелъ А. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений // Труды Уральского политехи, ин-та, 51, сер. м&тем., 1954. С. 20 - 60.

X = A{t)x,

для которых соответствующие неоднородные системы

х = A(t)x + f(t)

»'ОС НАЦИОНАЛ, I БИБЛИОТЕКА | С. Петербург г

Л

Экспоненциальную дихотомию решений уравнений в банаховом пространстве изучили М. Г. Крейн и Ю. Л. Далецкий4, X. Л. Массера и X. X. Шеффер5.

В. М. Миллионщиков6'7 предложил рассмотреть некоторые классы линейных однородных систем, для которых при малом (в некотором смысле) росте неоднородности соответствующая неоднородная система имеет хотя бы одно решение, также имеющее малый рост. Один из рассматриваемых классов, обозначаемый LqPD, состоит из систем, для которых соответствующая неоднородная система для всякой неоднородности, имеющей неотрицательный показатель Ляпунова, обладает хотя бы одним решением с неотрицательным показателем Ляпунова. Ясно, что экспоненциально дихотомические системы удовлетворяют поставленному условию. Из результатов работы И. Н. Сергеева8 следует, что правильные системы1,9,10 входят в LqPD. Критерий принадлежности линейной однородной системы указанному классу установлен А. С. Фурсовым11.

Тем самым класс LqPD исследован достаточно полно. Остальные три класса, обозначаемые L0D, LD и LPD, не изучались вовсе. В докладе7 была поставлена задача о нахождении возможных соотношений (равенств, включений) между этими четырьмя классами.

Известно, что экспоненциальная дихотомия является устойчивой в том смысле, что она сохраняется при переходе от системы х — A(t)x к возмущенной системе х = {A(t) -)- B(t))x, если возмущение B{t) достаточно мало. Точнее говоря, множество линейных систем с экспоненциальной дихотомией является открытым в множестве всех линейных систем с непрерывными ограниченными коэффициентами, наделенном топологией равномерной сходимости коэффициентов. Из

* Далецкий Ю. JI, Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // М.: «Наука», 1970.

5 Массера X. Л, Шеффер X. X. Линейные дифференциальные уравнения н функциональные пространства // М.: «Мир», 1970.

6 Миллионщиков В. М. Две задачи о показателях Ляпунова неоднородных линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 6. С. 1085 - 1086.

7 Миллионщиков В. M Нерешенная задача о классах линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, » 11. С. 1935.

8 Сергеев И. И. О существовании решения с малым ростом для бирегулярных дифференциальных систем со случайным возмущением // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13, № 11. С. 2088 - 2092.

• Былое Б. (Р., Виноград Р. Э., Гробман Д. Ai., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости // М.: «Наука», 1966.

10Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости // М.: «Наука», 1967.

11 Фурсов А С. Критерий существования решения с малым ростом у линейной неоднородной системы // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, № 6. С. 990-1000.

результатов А. С. Фурсова следует, что класс Ь^РБ не является открытым, поэтому представляется интересным изучение вопроса о нахождении внутренности множества систем, входящих в этот класс.

Цель работы. Основной целью настоящей работы является нахождение соотношений (включений, равенств) между четырьмя классами линейных однородных систем дифференциальных уравнений, обладающих тем свойством, что соответствующие им неоднородные системы имеют в некотором смысле решения с малым ростом.

Методы исследования. В работе используются методы теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности, теории показателей Ляпунова и теории линейных систем с экспоненциальной дихотомией.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

• Получено условие на однородную систему, достаточное для того чтобы соответствующая неоднородная система имела хотя бы одно решение, рост которого не превосходит рост неоднородности;

• Установлены соотношения между классами ЬоА ЪО, Ь^РБ и ЬРИ, в частности, доказано равенство Ь^РБ — ЬРБ;

• Найдены признаки принадлежности классам Ь^О и ЬИ, с помощью которых полностью решена задача о соотношениях между классами в случае диагонализуемых систем;

• Получено описание внутренности класса Ь^РИ для скалярного уравнения;

• Найден признак принадлежности системы внутренности класса ЬоРИ для многомерных систем.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в качественной теории дифференциальных уравнений, в частности, в теории показателей Ляпунова и ее приложениях к вопросам устойчивости.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова

на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (руководители: профессор В. А. Кондратьев, профессор В. М. Миллионщиков, профессор Н. X. Розов).

Публикации. Основные результаты опубликованы в двух работах, список которых приведен в конце автореферата [1,2]. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, включающих в себя в общей сложности 15 параграфов, и списка литературы, содержащего 14 наименований. Общий объем диссертации составляет 89 страниц.

Краткое содержание диссертации

Во введении формулируются основные задачи, рассматриваемые в диссертации, приводится краткий обзор посвященных им работ и излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характер и содержит необходимые для понимания дальнейшего текста сведения, а именно: даются определение показателя Ляпунова и его основные свойства, описаны свойства э-дихотомических систем, изложены основные результаты А. С. Фурсова, связанные с описанием класса ЬоРД приведены некоторые результаты, касающиеся ляпуновских преобразований и почти приводимости9'12.

Определение 1. Показателем Ляпунова13 функции /(£) называется число (или символ —ос или +оо), определяемое формулой

*[/]= Вт 71/(01-

4-»+оо I

{При этом полагаем 1п0 = —оо).

Через М обозначается метрическое пространство, точками которого являются системы вида

х = А{г)х, 1€Г, (1)

"Былое Б Ф Почти приводимые системы // Сиб. матем. жури 1966. Т 7, № 4. С. 751-784.

13См. Ляпунов А М Общая задача об устойчивости движения глава // М. - Л.: Гостехиздат, 1950, глава 1, пункт 6, Былое Б Ф., Виноград Р Э , Гробман Д М, Немыцкий В. В Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости // М.: «Наука», 1966, глава 1, §1, Демидооин Б П Лекции по математической теории устойчивости // М.- «Наука», 1967, глава 3, §1.

с непрерывными и ограниченными на полупрямой = [0; +оо) оператор-функциями А(-): R+ —» End R", а метрика задается формулой

р(А, В) = sup ||B(í) - Л(í)||, А, В еМ,

где

||А|| - sup \Ax\-

W=i

Наряду с системой (1) будем также рассматривать неоднородные системы

х = A{t)x + h(t), (2)

где вектор-функция h{t) предполагается непрерывной на М+.

Определение 2. Говорят, что для решений системы (1) имеет место экспоненциальная дихотомия14 на интервале J, если для некоторого t0 £ J пространство решений V распадается в прямую сумму подпространств

V = Vi(ío) © Vi(ío),

причем выполняются следующие условия:

а) решения Х\ (t) = X(t,t0)x? системы, выходящие в момент t = t0 из подпространства Vi (¿о) (т.е. такие, что х® € Vi(¿o)), подчиняются оценке

IkiWIKMe^^llx!^)!! t,s€J)

с некоторым показателем v\ > 0;

б) решения Xi{i) = X(t, t^x® системы, выходящие в момент t — to из подпространства (т- е. такие, что х° € Viito)), подчиняются оценке

||®а(«Ж -^е-^ЫгОИ (« < в; t,a<=J)

с некоторым показателем 0.

Через X(t,to) обозначен эволюционный оператор (оператор Ко-ши) рассматриваемой системы, т. е.

X{tM) = X(t)X-\t<>),

"См Далецкий Ю. JI., Крейн М. Г Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // М.: «Наука», 1970, глава 4, §3.

где X{t) — фундаментальная матрица решений системы (1).

Во второй главе изучаются условия на систему (1), при выполнении которых система (2) имеет хотя бы одно решение, растущее не быстрее неоднородности.

Основным результатом этой главы является

Теорема 1. Пусть |/i(i)l = О (g(i)eAt) при t —» +оо, где А — некоторое действительное число, a g(t) — непрерывно дифференцируемая на положительной полуоси функция, имеющая нулевой показатель Ляпунова, для которой справедливы соотношения

if

lim -y-? - О «-.+00 g(t)

и

\g'(t)\=0(tQ), t-+ оо, при некотором положительном значении а. Если однородная система

х = (A(t) - АЕ)х

является э-дихотомической, то у системы (2) найдется такое решение x(t), что |x(f)| = О (g(t)ext) при t —* +оо.

В третьей главе исследуется задача о соотношениях между классами LD, L0D, LPD и L0PD15.

Определение 3. Система (1) принадлежит классу LD, если для всякого е > 0 найдется (зависящее от е) линейное преобразование т — L(t)y, преобразующее ее в некоторую (зависящую от е) экспоненциально дихотомическую систему и такое, что показатель Ляпунова функции ||L(i)|| + ||L-1(f)|| меньше е.

Определение 4. Система (1) принадлежит классу LqD, если найдется линейное преобразование х = L{t)y, преобразующее ее в некоторую экспоненциально дихотомическую систему и такое, что показатель Ляпунова функции ||i/(t)|| + ||L-1(i)|| равен 0.

Определение 5. Система (1) принадлежит классу LPD, если для всякого е > О существует S > 0, такое, что для всякой непрерывной функции h(-): R+ —> Rn, показатель Ляпунова которой меньше S, у системы (2) найдется решение с показателем, меньшим е.

15См Миллионщиков В M Нерешенная задача о классах линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, № 11. С. 1935.

Определение 6. Система (1) принадлежит классу LqPD, если для любой непрерывной функции h(): R+ —+ Rn, показатель Ляпунова которой неположителен, у системы (2) найдется решение с неположительным показателем.

В следующих утверждениях содержатся соотношения между рассматриваемыми классами, найденные в диссертации.

Теорема 2. L0D g L0PD = LPD.

Теорема 3. L0D С LD.

Теорема 4. LD <£ L0PD.

Теорема 5. Для одномерных систем LqD С LqPD - LPD Q LD.

Четвертая глава посвящена более подробному изучению классов LoD и LD. В ней получены признаки принадлежности системы (1) этим двум классам, а также некоторое обобщение теоремы 5.

Подвергнем систему (1) преобразованию у = L(t)x, где L(t) — непрерывная, a L(t) — кусочно-непрерывная по t оператор-функции и при каждом t оператор L(t) обратим. Тогда преобразованное уравнение будет иметь вид

У = AL(t)y, (3)

где

Al = LAL~l + LIT1. Говорят, что преобразование L переводит систему (1) в систему (3).

Определение 7. Преобразование L называется ляпуновским16, если для некоторой константы К

sup II L(t) IK К, sup II L~\t) IK к, sup II L{t) |K К.

teR+ <е»+ «eR+

Определение 8. Система (1) называется диагонализуемой, если существует ляпуновское преобразование L, переводящее систему (1) в систему (3) с диагональной матрицей Al-

Обозначим через D множество диагонализуемых систем.

1вСм. Вылов Б Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости // М.: «Наука», 1966, глава 7, §18; Де-мидович Б. Я. Лекции по математической теории устойчивости // М.: «Наука», 1967, глава 3,

Теорема 6. (L0D П D) g (.L0PD HD) С (LD П D).

В пятой главе изучаются грубые свойства систем класса LqPD, т. е. решается задача об описании внутренности Int LqPD множества LqPD в пространстве М.

Полученные в этой главе результаты формулируются в терминах числовых характеристик г(а) и R{a) скалярного уравнения

х — a(t)x, (4)

введенных А. С. Фурсовым для описания класса LqPD. Напомним их определение11.

Как известно, величины

t

а -- lim - / а(т) dт, t-*+oo t J о

t

5 = lim - / а(т) dr

t-+oo t J w 0

называются соответственно нижним средним и верхним средним значениями функции a(t).

Если нижнее среднее значение совпадает с верхним средним, то есть существует точное среднее значение

t

а, = lim

t->+oo

О

j j a(r) dr,

то уравнение (4) называется правильным (частный случай определения Ляпунова правильной системы17).

В противном случае, т. е. когда а ф а, уравнение (4) называется неправильным.

Для неправильного уравнения (4) определяются величины:

и

R(a) = sup lim - / а(т) dr-,

Ai (а)tt-SiJ

17См Ляпунов А М. Общая задача об устойчивости движения // М. - Л • Гостехиздат, 1950, глава 1, пункт 9.

t,

r(a) = inf lim - / a(r) dr,

A?(a) >-»+oo Í, — S, J

где A\{a) состоит из таких последовательностей {(s,, í,)}, что 1) U — s, —> -t-oo, s, —* +00 при г —» +oo,

2) существует lim / а(т) dr,

3) существует lim ^ / a(r)dr — j- fa(r)drj > 0,

a множество A2(a) состоит из последовательностей {(s„ tt)}, для которых выполнены условия 1), 2) и

/и Si \

3') существует |im ( ^ / a(r) dr — j j а(т) drj <0.

Необходимое и достаточное условие принадлежности уравнения (4) классу LqPD дается следующей теоремой-

Теорема (А. С. Фурсов11). Уравнение (4) принадлежит классу LqPD тогда и только тогда, когда либо

0 ${г{а), Я(а)) U [а, Я(а)),

либо уравнение. (4) — правильное.

В соответствии с известной теоремой Перрона некоторым унитарным преобразованием U (t) однородную систему (1) можно привести к верхне-треугольному виду

(Ьп ... binх : •• : 0 ... Ь„„,

где диагональные коэффициенты 6ц,..., Ьпп матрицы B(t) выражаются формулами

1 d ln Gk

2 dt Gk-1

Здесь Gq = 1, a Gk — детерминант Грама, составленный из первых к векторов фундаментальной системы решений уравнения (1).

Теорема (А. С. Фурсов11). Система (1) принадлежит классу LqPD тогда и только тогда, когда для некоторого базиса в пространстве

ее решений соответствующая треугольная система такова, что

bH(t) € UPD

для всякого г € {1,... ,п}.

Определение 9. Обозначим через ILqPD множество уравнений вида (4), для которых t

• lim } J а(т) dr ф 0, если уравнение (4) правильное;

t—»+СЮ ' g

• 0 ^ [г(а). Д(а)], если уравнение (4) неправильное. В диссертации доказана

Теорема 7. IL0PD = Int L0PD.

I

Для n-мерных систем в диссертации доказана '

Теорема 8. Если система (1) принадлежит Int L0PD, то все элементы btl(t) соответствующей треугольной матрицы принадлежат множеству ILqPD.

Известно, что для множества э-дихотомических систем ED спра- '

ведливо включение

ED С LqPD.

i

Так как ED открыто в М, то

ED с Int LqPD.

Определение 10. Вещественная диагональная матрица Р называется интегрально разделенной18, если множество ее диагональных элементов можно разбить на подмножества Р^, причем для любых элементов рп и p3j, принадлежащих одному подмножеству, для любого а > 0 существует такое действительное число D(a), не зависящее от t^s^O, что

t

J(Pn - Pjj)dT

я

18См Былое Б. Ф. Почти приводимые системы // Сиб. матем. жури. 1966. Т. 7, № 4 С 751784.

< a(t - в) + D(a),

а при тп > к для любой функции рп из Рт и любой функции рп из Рк выполнено условие

t

J(Pu ~ Pjj)dT > c{t — s) — d,

s

где оОвОО - некоторые константы.

Следующая теорема дает некоторое новое достаточное условие принадлежности множеству Int LqPD.

Теорема 9. Если диагональ перроновской треугольной системы, соответствующей системе (1), интегрально разделена и при каждом г G {1,..., п} выполняется условие

Ьп е ILqPD,

то система (1) принадлежит Int LqPD.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Владимиру Михайловичу Миллионщикову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также кандидату физико-математических наук Владимиру Владиславовичу Быкову за ценные замечания и помощь в подготовке текста диссертации.

Публикации по теме диссертации

[1] Бернштейн Е. А Совпадение двух классов линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 11. С. 1572.

[2] Бернштейн Е. А. О совпадении двух классов линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, JV> 8. С. 1024-1028.

Подписано о печатьС!.0£ Формат 60x84/16. Усл.леч.л. С,75~

Тираж экз. Заказ 7 Отпечатано в Отделе печати МГУ

¿ше>А //

is- 25 1 8

Введение 1. Предварительные сведения

1.1. Показатели Ляпунова.

1.2. Экспоненциальная дихотомия.

1.3. Описание класса

1.4. Преобразования линейных систем.

1.5. Почти приводимые системы.

2. Асимптотическое поведение решений неоднородных систем

2.1. О существовании решений с полиномиальным ростом.

2.2. Общий случай

3. Решение основной задачи

3.1. Классы ЬРВ и £0Р£>.

3.2. Другое доказательство включения

Ь0РЭ С ЬРВ.

3.3. Классы ЬИ и ЬоИ.

4. Некоторые достаточные условия принадлежности классам и ЬБ

4.1. Еще один критерий экспоненциальной дихотомии.СО

4.2. Принадлежность классам Ьо-О и ЬБ.

4.3. Диагональные системы

5. Грубые свойства линейных неоднородных систем, обладающих решением с малым ростом

5.1. Одномерные системы

5.2. Многомерные системы.

Важное место в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимает изучение линейных систем — как однородных, так и неоднородных, поскольку к их рассмотрению сводится ряд задач, связанных с нелинейными системами.

Во многих задачах, посвященных изучению свойств решений систем дифференциальных уравнений, используется понятие характеристических показателей, введенное А. М. Ляпуновым [7].

Одним из направлений исследования линейных систем, начало которому положил О. Перрон [14], является изучение связи между асимптотическим поведением решений однородной и неоднородной систем, в частности, между характеристическими показателями этих решений. В настоящей диссертации получен ряд результатов, связанных с этой областью исследований.

Через Мп обозначается метрическое пространство, точками которого являются системы вида x = A(t)x, жеГ, te R+, (0.1) с непрерывными и ограниченными на полупрямой М+ = [0; +оо) оператор-функциями А(-): Ш+ —> ЕпсШп, а метрика задается формулой р(А,В) = sup \\B(t) - A(t)\\, A, Be Мп, teR+ где

Л|| = sup \Ах\. |*И

Наряду с системой (0.1) будем также рассматривать неоднородные системы x = A(t)x + h(t), (0.2) где вектор-функция h(t) предполагается непрерывной на Е+.

В докладе [10] профессором В. М. Миллионщиковым были введены следующие четыре класса линейных систем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу 1/£)п, если для всякого е > 0 найдется (зависящее от г) линейное преобразование х = Ь({)у, преобразующее ее в некоторую (зависящую от е) экспоненциально дихотомическую систему и такое, что показатель Ляпунова функции \\Щ\\ + \\Ь-\г)\\ меньше е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу если найдется линейное преобразование х = — преобразующее ее в некоторую экспоненциально дихотомическую систему и такое, что показатель Ляпунова функции ШШ + ^Ш Равен 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу ЪРВп, если для всякого е > 0 существует 5 > 0, такое, что для всякой непрерывной вектор-функции Н(-): —» М", показатель Ляпунова которой меньше 5, у системы (0.2) найдется решение с показателем, меньшим е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу если для любой непрерывной вектор-функции /г(-): —► Мп, показатель Ляпунова которой неположителен, у системы (0.2) найдется решение с неположительным показателем.

В работе И. Н. Сергеева [12] доказано, что множество правильных систем является подмножеством класса Ь$РОп, а А. С. Фурсовым [13] установлен критерий принадлежности системы (0.1) классу £оР1)п, то есть, тем самым, полностью решена задача, поставленная в [11].

Основной задачей, решаемой в диссертации, является нахождение всех возможных соотношений (включений, равенств) между этими классами.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, включающих в себя в общей сложности 15 параграфов, и списка литературы, содержащего 14 наименований.

1. Берпштейп Е. А. Совпадение двух классов линейных систем. — Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № И. С. 1572.

2. Берпштейп Е. А. О совпадении двух классов линейных систем. — Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 8. С. 1024-1028.

3. Былое Б. Ф. Почти приводимые системы. — Сиб. матем. журн. 1966. Т. 7, № 4. С. 751-784.

4. Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., ГробманД. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. — М.: «Наука», 1966.

5. Далецшй Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: «Наука», 1970.

6. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: «Наука», 1967.

7. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М. Л.: Гостехиздат, 1950.

8. Майзель А. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений. — Труды Уральского политехи, ин-та, 51, сер. матем., 1954. С. 20 50.

9. Массера X. Л., Шеффер X. X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. — М.: «Мир», 1970.

10. Сергеев И. Н. О существовании решения с малым ростом для бирегулярных дифференциальных систем со случайным возмущением. — Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, Ш 11. С. 2088 2092.

11. Фурсов А. С. Критерий существования решения с малым ростом у линейной неоднородной системы. — Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 6. С. 990-1000.

12. Perron О. Die stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen. Math. Zs. 32 (1930). S. 703-728.