Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Фурсов, Андрей Серафимович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
1994 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова»
 
Автореферат диссертации на тему "Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова"

.да

. МОСКОВСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

л ^ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.ВЛОМОНОСОВА

Механнхо-математическни факультет

На оравах рукописи УДК 517.926.4 '

ФУРСОВ АНДРЕЙ СЕРАФИМОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1ВМ

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений иеханкко-математнческого факультета Московского государственного университета имени М.В Ломоносова.

Научный руководитель — кандидат фязико-математнчесгаЕх: наук,

доцент Е.Е.Сепгеев.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических ваук,

профессор Е.А.Гребеяиков, кандидат фнэихо-математзческюс наук, доцент В.Е ДемидовЕЧ.

Ведущая организация — Институт математики АН Беларуси.

Защита диссертации состоится в 16 час. 05 шш. на заседания диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственно}* университете нм. М.В.Ломоносова по адресу: 118899, ГСП, . Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией ыоягно ознакомиться в библиотеке механико-иатеиатического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан лЗ ^(Ь/Х&ЛлЛ 199^1%

Ученый секретарь дшссертаписнного

совета Д.053.05.С4 при МГУ

доктир физико-математических наук Т.П. Лукашенко.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Важное ыесто в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимает изучение линейных систем — как однородных так и неоднородных, поскольку к их рассмотрению приводят многие вопросы, связанные с нелинейными системами.

Во многих задачах, посвященных изучению свойств решений светец дифференциальных уравнений, используется понятие характеристических показателей, введенное А.М.Ляпуновым (1].

О дней нз направлений исследования линейных систем, начало которому положил Перрон {2], является изучение евши между свойствами решений однородней и неоднородной систем. В работе (3] Ю.ЛДалецпш и М.Г.Крейиои были найдены условия на решения линейной однородной системы, необходимые и достаточные для существования у соответствующей неоднородной системы ограниченного решения при любой ограниченной неоднородности.

В докладе ¡4] была поставлена задача о нахождении условий на решения линейной однородной системы с непрерывными и ограниченными на положительной полуоси коэффициентами, необходимых и дост аточных для существования у соответствующей неоднородной системы решения с неположительным характеристическим показателем при лззбой неоднородности с неположительным характеристическим Ч показателем.

¡1] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., Гостехнздат, 1950.

[2] Perron О. Die ztabilitatrfrage bei Differentialgleichungen, Math. Zs. 32 (1930), 703-728.

[3] Даледкий ЮЛ., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифферен-цзальнкх уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

[4] МкжшоЕщвгов В.М. Две задачи о показателях Ляпунова неоднородных лзтсгыных систем. — Диффереиц. уравнения. 1992. Т. 28. N б. С. 1085-1086.

Ранее, в работе [5], было получено некоторое достаточное условие на однородную систему, при выполнении которого эта система удовлетворяет указанному выше свойству.

Цель работы состоит в нахождении критерия» позволяющего однозначно ответить, в каком случае-лнве&н&з неоднородная система дифференциальных уравнений ямеет решение с неположительный характеристическим показателем при любой неоднородности с неяодо-жительиым характеристическим показателем.

Методы исследования, используемые в диссертации, опираются на методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений: представление репгепий линейной неоднородной системы в интегральном виде через оператор Коши [6], сведение линейной однородной системы к системе треугольного вида [7], метод верхних функции [7].

Научная нозязпа. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Найдены условия ва решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений с непрерывными н ограниченными на

[5] Сергеев ИД. О существовании решения с малым ростом для ба-регулярнык дифференциальных систем со случайным возмущением. — Дифференц. уравнения. 1977. Т.13. N 11. С. 2088-2092.

[6] Деыидзвич Б Л- Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1987.

[7] Быков Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробыан Д.М., Немьщхий В Л. Теория показателей Ляпунова и ее приложение к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.

поло^гительной полуоси коэффициентами, необходимые и достаточные, 'чтобы для любой неоднородности с характеристическим показателей, не превосходящим заданного действительного числа, существовало хотя бы одно решение соответствующей неоднородной системы, также имеющее Характеристический показатель, не превосхо-. дащхй данного числа.

2. Установлено еще одно характеристическое свойство правильных систем, связаннее с наличием у неоднородной системы решения с характеристическим показателем, не превышающим характеристического показателя неоднородности.

3. Получена оценка старшего показателе Ляпунова треугольной системы через ее диагональные коэффициенты, которая в некоторых случаях улучшает уже известные оценки.

Приложения. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в решении задач качественной теории дифференциальных уравнении.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Московском государственном университете на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (руководители проф. В.А.Кондратьев, В.М.Мнллионщнкав, Н.Х.Розов), на семинаре по теории устойчивости (руководитель доц. И.Н.Сергеев) и на совместных заседаниях сешшара им. ИХ-Петровского и Московского математического общества.

Публикации. Основные результаты диссертации излажены в 3 работах автора. Спесое этих работ приложен в конце автореферата.

Структура а обьек диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 12 параграфов и списка литературы, содержащего 14 наименований. Общий обьем диссертации— 104

страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается краткий обзор работ по теме диссертации, приводится ее структура, вводятся основные определения и пригодится формулировки основных результатов диссертации.

Для фиксированного натурального п рассмотрим систему

4 = A(l)a+ /(i), . (1)

где х е Ä" Д : R^ —► End В? — действительная ограниченная ix непрерывная по t € = [0, оо) оператор-функция, / : if*" —R" — непрерывная вектор-функция.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 [7]. Для действительной непрерывной в ектор-функцхм д, заданной на полуоси R*" , es зерхшш или характеристическим показателей х(з) позываете* верхний предел

Ш iln|3(t)|

1—«ОО J

(считаем, что 1п0 = — оо). ... . .. . ..

Множество непрерывных вектор-функций f : R+ jR* с неположительным характеристическим показателем обозначим через SF*. Наряду с системой (1) будеы рассматривать соответствующую однородную систему

± = A(t)=. (2)

В докладе [4] профессором В .М .Мнллпснщнковьш была поставлена следующая задача теории показателей Ляпунова.

ЗАДАЧА. Найти условия на решения системы (2), необходимые и достаточные, чтобы для любой функции /, принадлежащей множеству J7* система (1) имела хотя бы одно решение, принадлежащее множеству F*. ■

В связи с поставленной задачей уместно дать следующее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Будем говорить, что система (2) удержи-сает нулевой показатель, если для любой неоднородность f € соответствующей неоднородная система (1) имеет хотя бы одно решение, принадлежащее множеству Т*.

Множество систем (или просто оператор-функции, которыми они задаются), удерживающих нулевой показатель, обозначим через Vn. Пусть В — множество всех базисов В = {ai(l),...,2n(í)} в пространстве решений системы (2). Введем обозначение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 [б]. Система (2) называется правильной, если

Как известно, такие системы играют важную роль в теории показателей Ляпунова. В работе [5] И.Н.Сергеевым показано,что всякая правильная система удерживает нулевой показатель.

Глава 1 посвящена доказательству одного из основных результатов диссертации — теоремы 2 (см. ниже), которая дает критерий, позволяющий однозначно ответить на вопрос, удерживает ли система (2) нулевой показатель.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 . Назовем ограниченную в непрерывную скалярную функцию а : Я"1" Л1 правильной /7, стр.534}, если ® — 5 , где обозначено

к неправильной — в противном случае. Величины а на называются верхним ti нижним средними значениями функцни а соответственно. Если они совпадают, то число á = а = в называется ее точным средним значением.

Далее, рассмотрим множество «?(а) последовательностей пар положительных чисел (з;,^), » € И, танах, что — —к», а; —+ оо при 1 -+ оо и существует конечный предел

1 Ги

lim- / a(r)dr.

i-oo t{ - 5i J,.

Пусть подмножество У-i (а) С S(a) состоит из тех последовательностей, для которых предал

1 tu 1 Г"

lim(— / a(r) dr--/ a(r)dr)

Ч Jo Jo

существует и положителен, а подмножество Tij (а) С <S(a) состоит из тех последовательностей, для которых этот предел существует и отрицателен.

Рассмотрим уравнение (2) при п = 1

х = a(t)x (3)

(его правильность в смысле определенна 3 равносильна правильности функции а). Для неправильной функции а множества 7L\ (о) и 7£j(a) не пусты (как показано в §1.1 диссертации), поэтому можно дать следующее

Ol 1 теДш I н'н и к. g , Верхним и нижним правильными покажете- • ляии уравнении (S) (чаи соответствующей ему функции а) назовем величины

п, . Г sup lim —-— [ а(т) dr. если а ф а,

= j U-SiJ.i

[ й, если о = а,

/у j inf lim —-— f а(т) dr, если а фа,

•■(«) = < tj-s«J., 1 '

(4)

(5)

если о = а,

соответственно.

В главе 2 (§2.1) диссертации дано еще одно (эквивалентное вышеуказанному) определение правильных показателен для уравнение вида (3) — через так называемые верхние и нижние функции [7, §7].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ в . Назовем промежутком ведравильности уравнения (3) (функции а) множество

доказанных в §1.1 диссертации, определение промежутка неправильности корректно.

В частном случае я = 1 (см. §1.3 диссертации) справедлив следующий критерий принадлежности системы (2) множеству V

ТЕОРЕМА 1 . Уравнение (3) удерживает нулевой показатель тогда и только тогда, когда

Следуя [8], всякому базису В = {:Г1(*),...,хл(^} в пространстве решений системы (2) поставим в соответствие перровавсжую диагональ (а! (4),...,««(«)) (см. теорему Перрона (7, стр.263|) по формулам:

В силу неравенств

К0) < & < « < Д(а),

О №)•

Г

(в)

[8] Сергеев И.Н. Критерий приводимости в среднем линейных дифференциальных систем. — Труды, семинара им. И.Г.Петровско-

го. 1987. Вып.12. С. 218-228.

где С?о = 1, а — грамиан первых к базисных векторов [7, стр.469].

ТЕОРЕМА 2 . Система (2) удерживает пулевой показатель тогда и только тогда, когда для некоторого (а значит, для любого) базиса в пространстве ее решений соответствующая перроногская диагональ удовлетворяет условию

<4 € 2)1 при каждом » = 1,... ,п.

Таким образом, теоремы 1 и 2 дают окончательное решение поставленной выше задачи. Заметим, что похожая задача была рассмотрена ранее ЮЛ Дал едким и М.Г.Крейном в работе [3], где показано, что свойство так называемой аксдояенциялькок дихотомичности системы (2) является необходимым и достаточным условием существования у системы (1) ограниченного решения при любой ограниченной неоднородности /(4). Более точно, пространство V решений данной системы должно допускать разбиение в прямую сумму подпространств

У = (7)

которое удовлетворяет условиям

. .. а)^<0,

b) < > О,

c) шГ<6Л+{< (Ы<),7а(<))} > О,

где П^'и — верхний и нижний особые показатели подпространств 1<1 и Уг (см. [7]) соответственно, а < — угол между

подпространствами и

В главе 2 (§2.3) диссертации в похожих терминах получены некоторые достаточные условия принадлежности системы (2) множеству V . При этом роль особых показателей играют правильные показатели Я*! и г у, подпространств решений (то есть потребовалось обобщить понятие правильного показателя для подпространства решений). Другие достаточные условия, содержащие особые показатели подпространств, получаются ниже с помощью обобщенно-ляпуновских преобразований.

Подвергнем систему (2) преобразованию *(<) = £(<)*(0.

где — непрерывная , а ¿(1) кусочно-непрерывная по г € Я? оператор-функция и при каждом í оператор Ь{£) обратим. Получим

i = Аьг,

где обозначено Аь = Ь~1АЬ — Таким образом, преобразование

Ь переводит систему А в систему Аь.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 . Преобразование Ь будем называть обобщензо-ляпуиавсхим, если

х(£) = х(£-1) = о,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8 . Систему А вида (2) будем называть обобщезво-дяхотомнчесхой на полуоси , если существует такое обобщенно-лзпуновское преобразование Ь, что пространство решений системы Аь распадается: в прямую сумму подпространств (7), для которых выполняются условия Ь), с) и

' ' о') < 0.

Множество обобщенно-дттотомпчесхих систем обозначим через Еп. Как показывает следующая теорема (установленная в §2.3 диссертации), не только множество систем, приводимых обобшенно-ляпунов-ским преобразованием к зкспоиенциальш-дихотомическим, но даже и более широкое множество обобщенно-дихотомических систем не совпадает с множеством систем, удерживающих нулевой показатель, хотя и содержится в нем.

ТЕОРЕМА 3 . Справедливо следующее строгое включение

Е* С ЗУ.

Для заданного числа а обозначим через множество тех непрерывных вектор-функций / : Л4 характеристический показатель которых не превосходит а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 . Скажем., что систела (2) удерасисает показатель а £ если для любой неоднородности / £ Т^ соответствующая неоднородная система (1) имеет хотя бы одно решение, принадлежащее множеству Т^.

Множество систем, удерживающих показатель а, обозначим через Справедливо следующзе обобщение теоремы 2 (нредстаглшэщзн случай в = 0).

ТЕОРЕМА 4 . Система (2) удерхеивает показатель а тогда « только тогда, когда для некоторого (а значит, для любого) базиса в пространстве ее решений соответствующая перроновскаж диагональ удовлетворяет условию

(сч(-) — а) € V1 при каждом ¿ = 1,... ,п.

В евклидовом пространстве JZ" определим норму оператора А £ End К"

' 'pjlWmippM.

Обозначим через Мя метрическое пространство, точками которого являются системы вида (2), а метрика задается формулой

В) = sup ||5(<) - Л(0||; A,Be М\ t£E+

В глаже 3 (§§3.1,3.2) диссертации доказано, что пространство М" может быть представлено в вида объединения множеств по всем а £ R , причем каждое из множеств не открыто, не замкнуто к не является всюду плотным к Мя.

Правильные системы обладают рядом известных характеристических свойств [7, §22j. Теоремы 2 и 4 позволяют получить ешг одно.

ТЕОРЕМА 5 В пространстве Мя правильные системы и только они удерживают одновременно все показатели.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10 (1]. Базис Во пространства решений системы (2) назовем нормальным, если

<г(В0) = £[в°(В).

Характеристические показатели решений из нормального базиса системы (2) будем называть показателями Ляпунова этой системы. Максимальный из них назовем старший показателей и обозначим, через Хп(А). '

Пусть теперь система (2) имеет верхне-треугольный вид. Тогда, cas показано в §4.1 диссертации, если эта система принадлежит множеству Т>2, то ее диагональ позволяет определить размерность подпространства решений с показателями, не превосходящими а, как у однородной системы (2), так н у неоднородной системы (1) при условии/е^.

ТЕОРЕМА в . Количество показателей Ляпунова, не превосходящих а, у треугольной системы (2), удерживающей показатель а, равно количеству ее диагональных коэффициентов, которые имеют верхние средние значения, не превосходящие а.

Б тех случаях, когда нахозсданне точных значений показателей Ляпунова треугольной системы затруднено в связи с громоздкостью вычислений, можно воспользоваться известными, сравнительно простыми оценками (первого и второго типов [Г, §11]) показателей через диагональные коэффициенты системы. В главе 4 (§4.2) диссертации с помощью теорем 4 н 6, получена оценка старшего показателя треугольной системы через верхние правильные показатели ее диагональных коэффициентов и приведен пример системы, для которой эта оценка оказывается более точной, чем вышеупомянутые.

ТЕОРЕМА 7 . Для любой треугольной системы (2) с диагональю (ai(t),...,a*(t)) справедливо неравенство

Хп(А) < max R(ai).

1<Кя

В заключение автор выражает свою глубокую благодарность профессору В.М.Миллнашцихаву за постановку задачи и научному руководителю доденту И.Н.Сергееву за достоянное внимание и помощь в . работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Фурсов A.C. Критерии существования решения с малым ростом у линейной неоднородной системы. —Днфференп. уравнения. 1993. Т. 29. N 11. С. 2011-2012.

2. Фурсов A.C. Размерность пространства решений медленного роста линейной неоднородной системы. — Успехи матем. наук. 1994. -Т. 49. Вып. 4. С. 143.

3. Фурсов A.C. Об одном характеристическом свойство правильных систем. — Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. N 6. С. 109G.