Некоторые вопросы теории показателей Ляпунова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
Фурсов, Андрей Серафимович
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
1994
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
.да
. МОСКОВСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
л ^ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.ВЛОМОНОСОВА
Механнхо-математическни факультет
На оравах рукописи УДК 517.926.4 '
ФУРСОВ АНДРЕЙ СЕРАФИМОВИЧ
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА
01.01.02 — дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва 1ВМ
Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений иеханкко-математнческого факультета Московского государственного университета имени М.В Ломоносова.
Научный руководитель — кандидат фязико-математнчесгаЕх: наук,
доцент Е.Е.Сепгеев.
Официальные оппоненты — доктор физико-математических ваук,
профессор Е.А.Гребеяиков, кандидат фнэихо-математзческюс наук, доцент В.Е ДемидовЕЧ.
Ведущая организация — Институт математики АН Беларуси.
Защита диссертации состоится в 16 час. 05 шш. на заседания диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственно}* университете нм. М.В.Ломоносова по адресу: 118899, ГСП, . Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.
С диссертацией ыоягно ознакомиться в библиотеке механико-иатеиатического факультета МГУ (14 этаж).
Автореферат разослан лЗ ^(Ь/Х&ЛлЛ 199^1%
Ученый секретарь дшссертаписнного
совета Д.053.05.С4 при МГУ
доктир физико-математических наук Т.П. Лукашенко.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.
Актуальность темы. Важное ыесто в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимает изучение линейных систем — как однородных так и неоднородных, поскольку к их рассмотрению приводят многие вопросы, связанные с нелинейными системами.
Во многих задачах, посвященных изучению свойств решений светец дифференциальных уравнений, используется понятие характеристических показателей, введенное А.М.Ляпуновым (1].
О дней нз направлений исследования линейных систем, начало которому положил Перрон {2], является изучение евши между свойствами решений однородней и неоднородной систем. В работе (3] Ю.ЛДалецпш и М.Г.Крейиои были найдены условия на решения линейной однородной системы, необходимые и достаточные для существования у соответствующей неоднородной системы ограниченного решения при любой ограниченной неоднородности.
В докладе ¡4] была поставлена задача о нахождении условий на решения линейной однородной системы с непрерывными и ограниченными на положительной полуоси коэффициентами, необходимых и дост аточных для существования у соответствующей неоднородной системы решения с неположительным характеристическим показателем при лззбой неоднородности с неположительным характеристическим Ч показателем.
¡1] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., Гостехнздат, 1950.
[2] Perron О. Die ztabilitatrfrage bei Differentialgleichungen, Math. Zs. 32 (1930), 703-728.
[3] Даледкий ЮЛ., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифферен-цзальнкх уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.
[4] МкжшоЕщвгов В.М. Две задачи о показателях Ляпунова неоднородных лзтсгыных систем. — Диффереиц. уравнения. 1992. Т. 28. N б. С. 1085-1086.
Ранее, в работе [5], было получено некоторое достаточное условие на однородную систему, при выполнении которого эта система удовлетворяет указанному выше свойству.
Цель работы состоит в нахождении критерия» позволяющего однозначно ответить, в каком случае-лнве&н&з неоднородная система дифференциальных уравнений ямеет решение с неположительный характеристическим показателем при любой неоднородности с неяодо-жительиым характеристическим показателем.
Методы исследования, используемые в диссертации, опираются на методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений: представление репгепий линейной неоднородной системы в интегральном виде через оператор Коши [6], сведение линейной однородной системы к системе треугольного вида [7], метод верхних функции [7].
Научная нозязпа. В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Найдены условия ва решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений с непрерывными н ограниченными на
[5] Сергеев ИД. О существовании решения с малым ростом для ба-регулярнык дифференциальных систем со случайным возмущением. — Дифференц. уравнения. 1977. Т.13. N 11. С. 2088-2092.
[6] Деыидзвич Б Л- Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1987.
[7] Быков Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробыан Д.М., Немьщхий В Л. Теория показателей Ляпунова и ее приложение к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.
поло^гительной полуоси коэффициентами, необходимые и достаточные, 'чтобы для любой неоднородности с характеристическим показателей, не превосходящим заданного действительного числа, существовало хотя бы одно решение соответствующей неоднородной системы, также имеющее Характеристический показатель, не превосхо-. дащхй данного числа.
2. Установлено еще одно характеристическое свойство правильных систем, связаннее с наличием у неоднородной системы решения с характеристическим показателем, не превышающим характеристического показателя неоднородности.
3. Получена оценка старшего показателе Ляпунова треугольной системы через ее диагональные коэффициенты, которая в некоторых случаях улучшает уже известные оценки.
Приложения. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в решении задач качественной теории дифференциальных уравнении.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Московском государственном университете на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (руководители проф. В.А.Кондратьев, В.М.Мнллионщнкав, Н.Х.Розов), на семинаре по теории устойчивости (руководитель доц. И.Н.Сергеев) и на совместных заседаниях сешшара им. ИХ-Петровского и Московского математического общества.
Публикации. Основные результаты диссертации излажены в 3 работах автора. Спесое этих работ приложен в конце автореферата.
Структура а обьек диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 12 параграфов и списка литературы, содержащего 14 наименований. Общий обьем диссертации— 104
страницы.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.
Во введении дается краткий обзор работ по теме диссертации, приводится ее структура, вводятся основные определения и пригодится формулировки основных результатов диссертации.
Для фиксированного натурального п рассмотрим систему
4 = A(l)a+ /(i), . (1)
где х е Ä" Д : R^ —► End В? — действительная ограниченная ix непрерывная по t € = [0, оо) оператор-функция, / : if*" —R" — непрерывная вектор-функция.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 [7]. Для действительной непрерывной в ектор-функцхм д, заданной на полуоси R*" , es зерхшш или характеристическим показателей х(з) позываете* верхний предел
Ш iln|3(t)|
1—«ОО J
(считаем, что 1п0 = — оо). ... . .. . ..
Множество непрерывных вектор-функций f : R+ jR* с неположительным характеристическим показателем обозначим через SF*. Наряду с системой (1) будеы рассматривать соответствующую однородную систему
± = A(t)=. (2)
В докладе [4] профессором В .М .Мнллпснщнковьш была поставлена следующая задача теории показателей Ляпунова.
ЗАДАЧА. Найти условия на решения системы (2), необходимые и достаточные, чтобы для любой функции /, принадлежащей множеству J7* система (1) имела хотя бы одно решение, принадлежащее множеству F*. ■
В связи с поставленной задачей уместно дать следующее
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Будем говорить, что система (2) удержи-сает нулевой показатель, если для любой неоднородность f € соответствующей неоднородная система (1) имеет хотя бы одно решение, принадлежащее множеству Т*.
Множество систем (или просто оператор-функции, которыми они задаются), удерживающих нулевой показатель, обозначим через Vn. Пусть В — множество всех базисов В = {ai(l),...,2n(í)} в пространстве решений системы (2). Введем обозначение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 [б]. Система (2) называется правильной, если
Как известно, такие системы играют важную роль в теории показателей Ляпунова. В работе [5] И.Н.Сергеевым показано,что всякая правильная система удерживает нулевой показатель.
Глава 1 посвящена доказательству одного из основных результатов диссертации — теоремы 2 (см. ниже), которая дает критерий, позволяющий однозначно ответить на вопрос, удерживает ли система (2) нулевой показатель.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 . Назовем ограниченную в непрерывную скалярную функцию а : Я"1" Л1 правильной /7, стр.534}, если ® — 5 , где обозначено
к неправильной — в противном случае. Величины а на называются верхним ti нижним средними значениями функцни а соответственно. Если они совпадают, то число á = а = в называется ее точным средним значением.
Далее, рассмотрим множество «?(а) последовательностей пар положительных чисел (з;,^), » € И, танах, что — —к», а; —+ оо при 1 -+ оо и существует конечный предел
1 Ги
lim- / a(r)dr.
i-oo t{ - 5i J,.
Пусть подмножество У-i (а) С S(a) состоит из тех последовательностей, для которых предал
1 tu 1 Г"
lim(— / a(r) dr--/ a(r)dr)
Ч Jo Jo
существует и положителен, а подмножество Tij (а) С <S(a) состоит из тех последовательностей, для которых этот предел существует и отрицателен.
Рассмотрим уравнение (2) при п = 1
х = a(t)x (3)
(его правильность в смысле определенна 3 равносильна правильности функции а). Для неправильной функции а множества 7L\ (о) и 7£j(a) не пусты (как показано в §1.1 диссертации), поэтому можно дать следующее
Ol 1 теДш I н'н и к. g , Верхним и нижним правильными покажете- • ляии уравнении (S) (чаи соответствующей ему функции а) назовем величины
п, . Г sup lim —-— [ а(т) dr. если а ф а,
= j U-SiJ.i
[ й, если о = а,
/у j inf lim —-— f а(т) dr, если а фа,
•■(«) = < tj-s«J., 1 '
(4)
(5)
если о = а,
соответственно.
В главе 2 (§2.1) диссертации дано еще одно (эквивалентное вышеуказанному) определение правильных показателен для уравнение вида (3) — через так называемые верхние и нижние функции [7, §7].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ в . Назовем промежутком ведравильности уравнения (3) (функции а) множество
доказанных в §1.1 диссертации, определение промежутка неправильности корректно.
В частном случае я = 1 (см. §1.3 диссертации) справедлив следующий критерий принадлежности системы (2) множеству V
ТЕОРЕМА 1 . Уравнение (3) удерживает нулевой показатель тогда и только тогда, когда
Следуя [8], всякому базису В = {:Г1(*),...,хл(^} в пространстве решений системы (2) поставим в соответствие перровавсжую диагональ (а! (4),...,««(«)) (см. теорему Перрона (7, стр.263|) по формулам:
В силу неравенств
К0) < & < « < Д(а),
О №)•
Г
(в)
[8] Сергеев И.Н. Критерий приводимости в среднем линейных дифференциальных систем. — Труды, семинара им. И.Г.Петровско-
го. 1987. Вып.12. С. 218-228.
где С?о = 1, а — грамиан первых к базисных векторов [7, стр.469].
ТЕОРЕМА 2 . Система (2) удерживает пулевой показатель тогда и только тогда, когда для некоторого (а значит, для любого) базиса в пространстве ее решений соответствующая перроногская диагональ удовлетворяет условию
<4 € 2)1 при каждом » = 1,... ,п.
Таким образом, теоремы 1 и 2 дают окончательное решение поставленной выше задачи. Заметим, что похожая задача была рассмотрена ранее ЮЛ Дал едким и М.Г.Крейном в работе [3], где показано, что свойство так называемой аксдояенциялькок дихотомичности системы (2) является необходимым и достаточным условием существования у системы (1) ограниченного решения при любой ограниченной неоднородности /(4). Более точно, пространство V решений данной системы должно допускать разбиение в прямую сумму подпространств
У = (7)
которое удовлетворяет условиям
. .. а)^<0,
b) < > О,
c) шГ<6Л+{< (Ы<),7а(<))} > О,
где П^'и — верхний и нижний особые показатели подпространств 1<1 и Уг (см. [7]) соответственно, а < — угол между
подпространствами и
В главе 2 (§2.3) диссертации в похожих терминах получены некоторые достаточные условия принадлежности системы (2) множеству V . При этом роль особых показателей играют правильные показатели Я*! и г у, подпространств решений (то есть потребовалось обобщить понятие правильного показателя для подпространства решений). Другие достаточные условия, содержащие особые показатели подпространств, получаются ниже с помощью обобщенно-ляпуновских преобразований.
Подвергнем систему (2) преобразованию *(<) = £(<)*(0.
где — непрерывная , а ¿(1) кусочно-непрерывная по г € Я? оператор-функция и при каждом í оператор Ь{£) обратим. Получим
i = Аьг,
где обозначено Аь = Ь~1АЬ — Таким образом, преобразование
Ь переводит систему А в систему Аь.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 . Преобразование Ь будем называть обобщензо-ляпуиавсхим, если
х(£) = х(£-1) = о,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8 . Систему А вида (2) будем называть обобщезво-дяхотомнчесхой на полуоси , если существует такое обобщенно-лзпуновское преобразование Ь, что пространство решений системы Аь распадается: в прямую сумму подпространств (7), для которых выполняются условия Ь), с) и
' ' о') < 0.
Множество обобщенно-дттотомпчесхих систем обозначим через Еп. Как показывает следующая теорема (установленная в §2.3 диссертации), не только множество систем, приводимых обобшенно-ляпунов-ским преобразованием к зкспоиенциальш-дихотомическим, но даже и более широкое множество обобщенно-дихотомических систем не совпадает с множеством систем, удерживающих нулевой показатель, хотя и содержится в нем.
ТЕОРЕМА 3 . Справедливо следующее строгое включение
Е* С ЗУ.
Для заданного числа а обозначим через множество тех непрерывных вектор-функций / : Л4 характеристический показатель которых не превосходит а.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 . Скажем., что систела (2) удерасисает показатель а £ если для любой неоднородности / £ Т^ соответствующая неоднородная система (1) имеет хотя бы одно решение, принадлежащее множеству Т^.
Множество систем, удерживающих показатель а, обозначим через Справедливо следующзе обобщение теоремы 2 (нредстаглшэщзн случай в = 0).
ТЕОРЕМА 4 . Система (2) удерхеивает показатель а тогда « только тогда, когда для некоторого (а значит, для любого) базиса в пространстве ее решений соответствующая перроновскаж диагональ удовлетворяет условию
(сч(-) — а) € V1 при каждом ¿ = 1,... ,п.
В евклидовом пространстве JZ" определим норму оператора А £ End К"
' 'pjlWmippM.
Обозначим через Мя метрическое пространство, точками которого являются системы вида (2), а метрика задается формулой
В) = sup ||5(<) - Л(0||; A,Be М\ t£E+
В глаже 3 (§§3.1,3.2) диссертации доказано, что пространство М" может быть представлено в вида объединения множеств по всем а £ R , причем каждое из множеств не открыто, не замкнуто к не является всюду плотным к Мя.
Правильные системы обладают рядом известных характеристических свойств [7, §22j. Теоремы 2 и 4 позволяют получить ешг одно.
ТЕОРЕМА 5 В пространстве Мя правильные системы и только они удерживают одновременно все показатели.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10 (1]. Базис Во пространства решений системы (2) назовем нормальным, если
<г(В0) = £[в°(В).
Характеристические показатели решений из нормального базиса системы (2) будем называть показателями Ляпунова этой системы. Максимальный из них назовем старший показателей и обозначим, через Хп(А). '
Пусть теперь система (2) имеет верхне-треугольный вид. Тогда, cas показано в §4.1 диссертации, если эта система принадлежит множеству Т>2, то ее диагональ позволяет определить размерность подпространства решений с показателями, не превосходящими а, как у однородной системы (2), так н у неоднородной системы (1) при условии/е^.
ТЕОРЕМА в . Количество показателей Ляпунова, не превосходящих а, у треугольной системы (2), удерживающей показатель а, равно количеству ее диагональных коэффициентов, которые имеют верхние средние значения, не превосходящие а.
Б тех случаях, когда нахозсданне точных значений показателей Ляпунова треугольной системы затруднено в связи с громоздкостью вычислений, можно воспользоваться известными, сравнительно простыми оценками (первого и второго типов [Г, §11]) показателей через диагональные коэффициенты системы. В главе 4 (§4.2) диссертации с помощью теорем 4 н 6, получена оценка старшего показателя треугольной системы через верхние правильные показатели ее диагональных коэффициентов и приведен пример системы, для которой эта оценка оказывается более точной, чем вышеупомянутые.
ТЕОРЕМА 7 . Для любой треугольной системы (2) с диагональю (ai(t),...,a*(t)) справедливо неравенство
Хп(А) < max R(ai).
1<Кя
В заключение автор выражает свою глубокую благодарность профессору В.М.Миллнашцихаву за постановку задачи и научному руководителю доденту И.Н.Сергееву за достоянное внимание и помощь в . работе.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
1. Фурсов A.C. Критерии существования решения с малым ростом у линейной неоднородной системы. —Днфференп. уравнения. 1993. Т. 29. N 11. С. 2011-2012.
2. Фурсов A.C. Размерность пространства решений медленного роста линейной неоднородной системы. — Успехи матем. наук. 1994. -Т. 49. Вып. 4. С. 143.
3. Фурсов A.C. Об одном характеристическом свойство правильных систем. — Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. N 6. С. 109G.