Некоторые вопросы теории полей Янга-Миллса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ТРЕШ1СТАНТОННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ АВТОДУАЛЬНОСТИ.

§ I. Инстантоны в теории Янга-Миллса.

§ 2. Кватернионная формулировка алгеброгеометрической конструкции построения общих решений.

§ 3. Явный вид трехинстантонного решения.

§ 4. Свойства многообразия параметров инстантонных решений.

Глава 2. ПЕРЕНОРМИРОВКИ В ФОРМАЛИШЕ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ.

§ I. Производящий функционал для матрицы рассеяния в формализме внешнего поля.

§ 2. Расширенный производящий функционал для

S -матрицы в однопетлевом приближении.

§ 3. Двухпетлевое приближение в рамках метода собственного времени в теории Янга-Мшшза.

Основные результаты, полученные в диссертации, заключаются в следующем:

1. В рамках алгеброгеометрической конструкции явно построено общее трехинстантонное решение автодуальных уравнений Янга-Мшг-лса для алгебры SU(£) и детально изучены свойства многообразия параметров наеденного решения. Показано, что общее трехинстантонное решение является рациональной функцией свободных вещественных параметров, которые меняются в R+ , тем самым решена задача рациональной параметризации трехинстантонного решения. Решая уравнения невырожденности Атья, мы получили, что подмногообразие параметров, где решение вырождается - 17-мерно, т.е. многообразие параметров связно, односвязно и двусвязно.

2. Метод собственного времени обобщен для применения в двух-петлевом приближении в формализме внешнего поля для теории Янга-Миллса. Введено понятие расширенного производящего функционала для 5 -матрицы в однопетлевом приближении, и с его помощью вычислена бесконечная часть эффективного действия в двухпетлевом приближении. На промежуточных этапах вычисления не приходится вводить зависящие от калибровки перенормировочные константы; тем самым явными вычислениями показывается, что в двухпетлевом приближении все ультрафиолетовые расходимости устраняются единственной перенормировкой - перенормировкой заряда.

Три инстантона - это первое нетривиальное инстантонное решение-уравнений автодуальности. При этом, как мы видим, трехинстантонное многообразие устроено достаточно просто.

Метод собственного времени позволяет изучить производящий функционал .идя S -матрицы в формализме внешнего поля для произвольного классического поля, без дополнительного требования малости последнего, т.е. можно сделать евклидов поворот и предположить, что поле SLf является инстантонным решением. Наши вычисления показывают, что бесконечная часть эффективного действия в двухпетлевом приближении и в этом случае может быть вычислена точно. Появление нулевых мод у операторов, фигурирующих в квадратичной форме действия, не препятствует вычислению локально-расходящейся части эффективного действия; все формулы без труда можно переписать в евклидову область. При этом отметим, что в рамках метода собственного времени удается все время оперировать с калибровочно-инвариантными объектами.

В связи с инстантонной тематикой на наш взгляд представляет интерес изучение уравнений суперавтодуальности [7] в суперсимметричной теории Янга-Миллса. Интерес к суперсимметричной теории особенно возрос после того, как было показано, что квантовая Д/-Н теория Янга-Миллса свободна от расходимостей ( р - О) [59, 74] и при этом классические уравнения движения суперсимметричной теории Янга-ЭДиллса (при д/= 3 ^ ) и уравнения связей (при А/-1,2 ) можно представить как условие совместности системы линейных уравнений с параметром [8] . Существует также обобщение алгеброгеометрической конструкции для уравнения суперавтодуальности [71 ; для нахождения явных решений последнего можно применить технику, аналогичную изложенной выше. Что касается формализма внешнего поля, то здесь интерес представляет развитие формализма для любого приближения в петлевом разложении для теории Янга-Миллса, а также его применение в высших порядках в теории гравитации. Как мы отмечали выше, данный формализм позволяет отроить теорию перенормировок непосредственно из производящего функционала для S -матрицы (на массовой поверхности) без использования формализма функции Грина, и при этом процедура перенормировок выглядит более экономной из-за явной калибровочной инвариантности.

ЗАШЮЧЕНИЕ

1. Арефьева И.Я., Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Производящий функционал для S -матрицы в калибровочно-инвариантных теориях. - ТМФ, 1974, т.21, № 3, с.311-321.

2. Белавин А.А., Захаров В.Е. Многомерный метод обратной задачи рассеяния и уравнение .дуальности для поля Янга-Миллса. -Письма в ЖЭТФ, 1977, т.25, в.12, с.603-606.

3. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.,"Наука", 1973, 416 с.

4. Вайнштейн А.И., Захаров В.И., Новиков В.А., Шифман М.А. Ин-стантонная азбука. -"УВД, 1982, т.136, в.4, с.553-592.

5. Васильев А.Н. Функциональные метода в квантовой теории поля и статистике. Ленинград, ЛГУ, 1976, 294 с.

6. Владимиров А.А., Тарасов Д.В. Перенормировка теории Янга-Миллса в .двухпетлевом приближении в произвольной калибровке. ЯФ, 1977, т.25, в.5, с.1104-1106.

7. Волович И.В. Об уравнениях суперавтодуальности. Ж, 1983, т.54, JS I, с.89-98.

8. Волович И.В. Оуперсимметричная теория Янга-Миллса и метод обратной задачи рассеяния. 1983, т.57, й 3, с.469-473.

9. Дринфельд В.Г., Манин 10.И. 0 локально свободных пучках на CP , связанных с полями Янга-Миллса.- УМН, 1978, т.33, в.3(201) с.165-166.

10. Дринфельд В.Г., Манин Ю.И. Автодуальные поля Янга-Миллса над сферой. Функц.анализ и прилож., 1978, т.12, в.2, с.78-79.

11. Дринфельд В.Г., Манин Ю.И. Поля Янга-Миллса, инстантоны, тензорные цроизведения инстантонов. ЯФ, 1979, т.29, в 6, с.1646-1654.о

12. Дринфельд В.Г., Манин Ю.И. Инстантоны и пучки на ср3 . -Функц.анализ и прилож., 1979, т.13, в.2, с.59-74.

13. Завьялов О.Н. Перенормированные диаграммы Фейнмана. М., "Наука", 1979, 320 с.

14. Корепин В.Е., Шатапшили С.Л. Рациональная параметризация трехинстантонных решений уравнений Янга-Миллса. ДАН СССР, 1983, т.273, № 6, с.1342-1344.

15. Корепин В.Е., Шаташвили С.Л. Трехинстантонное решение. Изв. АН СССР, сер. матем., 1984, т.48, JS 2, с.331-346.

16. Попов В.Н., Фаддеев Л.Д. Теория возмущения калибровочно-ин-вариантных полей. Препринт ИТФ АН УССР; 67-36, Киев, 1967, 28 с.

17. Романов В.Н., Шварц А. С. Аномалии и эллиптические операторы. ТМФ, 1979, т.41, й 2, с.190-204.

18. Сили Р.Т. Степени эллиптического оператора. Математика, сб.пер., 1968, т.12, № I, с.96-112.

19. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М., "Наука", 1978, 240 с.

20. Славнов А.А. Тождества Уорда в калибровочных теориях.- ШФ, 1972, т.10, I, с.153-161.

21. Фатеев В.А., Фролов И.В., Шварц А.С. Квантовые флуктуации инстантонов в двумерных нелинейных теориях.- ЯФ, 1979, т.30, в.4, с.1134-1147.

22. Шатапшили С.Л. Двухпетлевое приближение в формализме внешнего поля. ТМФ, 1984, т.58, №2, с. 21^-228.

23. Abbott L.F. The background field method beyong one loop. -Nucl.Phys.B., 1981, v.B185, n.1, p.189-203.

24. Abbott L.F., Grisaru M.T., Schaefer R.K. The background field method and the S -matrix.- Nucl.Phys.B., 1983, v.B229,n.2, p.372-380 .

25. Atiyah M.F. Geometry of Yang-Mills fields. Pisa, Lezioni Fermiane, 1979, 98 p.

26. Atiyah M.F., Hitchin N.J., Singer I.M. Deformations of in-stantos. Proc.Nat.Acad.Sci.USA, 1977, v.74, N 7,p .2662-2663 .

27. Atiyah M.F., Hitchin N.J., Drinfeld V.G., Manin Yu.I. Construction of instantons. Phys.Lett.A., 1978, v.65A,n3, p.185-187.

28. Atiyah M.F., Ward R.S. Instantons and algebraic geometry. -Commun.Math.Phys., 1977, v.55, p.117-124.

29. Belavin A.A., Polyakov A.M., Schwartz A.S.,Tyupkin Yu.S. Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations. -Phys.Lett.B., 1975, V.59B, n.1, p.85-87.

30. Belavin A.A. Inverse scattering problem and the algebro-geo-metric construction of instantons. Sov.Sci. Rev.(Phys.Rev.), 1979, n.1, p.1-28.

31. Boulware D. Equivalence of nonrenormalizable theories to re-normalizable theories in a compozit (l?=0) limit. Phys. Rev. D, 1981, V.D23, n.2, p.389-396.

32. Callan C., Dashen R., Gross D. The structure of quage theory vacuum. Phys.Lett.B, 1976, V.63B, n.3, p.334-340.

33. Callan C., Dashen R., Gross D. A mechanism for quark confi-ment. Phys.Lett.B, 1977, V.66B, n.4, p.375-381.

34. Capper D.M., Machean A. The background field method at twoloops: A general qauge Yang-Mills calculation. Nucl.Phys. B, 1982, V.B203, n. 3, p.413-422.

35. Caswell W.E. Asymptotic behavior of non-Abelian gauge theories of two-loop order. Phys.Rev.Lett., 1974, v.33, n.4,p.244-246.

36. Christ N.H., Weinberg E.J., Stanton N.K. General self-dual Yang-Mills solutions. Phys.Rev.D, 1978, V.D18, n.6, p.2013-2025.

37. Corrigan E.J., Fairle D.V., Templton S., Goddard P. A Green function for the general self-dual gauge field. Nucl.Phys. B, 1978, V.B140, n.1, p.31-44.

38. Corrigan E.J., Goddard P., Templton S. Instanton Green functions and tensor products. Nucl.Phys.B, 1979, V.B151,n.1, p.93-117.

39. De Witt B. Quantum theory of gravity I. The canonical theory.-Phys.Rev.,1967, v.160, n.5, p.1138-1148.

40. De Witt B. Quantum theory of gravity П . The manifestly co-variant theory. Phys.Rev., 1967, v.162, n.5,p.1195-1239.

41. De Witt B. Quantum theory of gravity Ш. Applications of co-variant theory. Phys.Rev., 1967, v.162, n.5,p.1239-1256.

42. Faddeev L.D., Popov V.N. Feynman diagrams for the Yang-Mills field. Phys.Lett.B, 1967, v.25, n.1, p.29-30.

43. Fateev V.A., Frolov I.V., Schwartz A.S. Quantum fluctnations of instantons in the non-linear 6" -model. Nucl.Phys.B, 1979, v.154, n.1f p.1-20.

44. Gilkey P.B. The spectral geometry of a Riemanian manifold.-J.Diff.Geom., 1975, v.10, p.601-618.

45. Glashow S.L. Partial-symmetries of weak interctions.- Nucl.

46. Phys., 1961, v.22, p.579-588.

47. Honnerkamp T. The question of invariant renormalizability of the massless Yang-Mills fields in a manifest covariant approach. Nucl.Phys.B, 1972, V.B48, n.1, p.269-287.

48. Higgs P.W. Broken symmetries, massless particles and gauge fields. Phys.Lett., 1964, v.12, n.2, p.132-133.

49. Ichinose S., Omote M. Renormalization using the background field method. Nucl.Phys.B, 1982, V.B203, n.2, p.221-267.

50. Jack I., Osborn H. Two-loop background field calculation for atbitrary background fields. Nucl.Phys.B, 1982, V.B207,n.3, p.474-504.

51. Jackiw R., Nohl C., Rebbi C. Coformal proporties of psevdo-pa-ticle configuration. Phys.Rev.D, 1977, V.D15, n.6.p.1642-1646.

52. Jackiw R., Rebbi C. Vacuum periodicity in Yang-Mills quantum theory. Phys.Rev.Lett., 1976, v.37, n.3, p.172-175.

53. Jones D.R.T. Two loop diagrams in Yang-Mills theory. Nucl. Phys.B, 1974, v.B75, n.3, p.531-538.

54. Kallosh R. Renormalization in non-Abelian gauge theories. -Nucl.Phys.B, 1974, V.B78, n.2, p.293-312.

55. Kibble T.W. Symmetry breaking in non-Abelian gauge theories. -Phys.Rev., 1967, v.155, n.5, p.1554-1561.

56. Kluberg-Stern N., Zuber J.B. Renormalization of the non

57. Abelian gauge theories in a background field gauge I. Green's functions. Phys.Rev.D, 1975, V.D12, n.2, p.482-488.

58. Kluberg-Stern H., Zuber J.B. Renormalization of the non-Abe-lian gauge theories in a background field gauge П . Gauge invariant operators. Phys.Rev.D, 1975, V.D12, n.10, p.3159-3180 .

59. Hiischer M. Dimensional regularisation in the presence of large background fields. Ann.Phys., 1982, v.142, n.2, p. 359392.

60. Mandelstam S. Light-cone superspace and the ultrafiolet fi-niteness of the /V = model. Nucl.Phys., 1983, V.B213, n.1, p.149-168.

61. McCarthy P.J. Explicit non-'t Hooft solutions of the ADHM instanton matrix equations for . Phys.Lett.A, 1981, V.84A, n.4, p.155-158.

62. McCarthy P.J. Rational parametrization of normalized Stiefel manifold and explicit non-'t Hooft solution of the ADHM instanton matrix equations for1. Lett Math.Phys.,1981, v.5, n.4, p.255-261.

63. McCarthy P.J. General solution of certian quadratic matrix equations and new families of solutions of the ADHM instanton matrix equation. Proc. Royal Irish. Ac.A, 1983, v.83A,n.1, p.1-16.

64. Meyers C., De Roo M. New explicit instantons and the geometry of the parametr space. Nucl.Phys.B, 1979, V.B148, n.1-2, p.61-73.

65. Novikov V.A., Shifman M.A., Vainshtein A.I., Zakharov V.I. Exact Gell-Mann-Low function of supersymmetric Yang-Millstheories from instanton calculus. Nucl.Phys.B, 1983, V.B229, n.2, p.381-393.

66. Novikov V.A., Shifman M.A., Vainshtein A.I., Voloshin V.B., Zakharov V.I. Supersymmetric transformations of instantons. -Nucl.Phys.B, 1983, V.B229, n.2, p.394-406.

67. Novikov V.A., Shifman M.A., Vainshtein A.I., Zakharov V.I. Instanton effects in supersymmetric theories. Nucl.Phys.B, 1983, V.B229, n.2, p.407-421.

68. Penrose R. The twistor programme. Rep.Mathematical Phys., 1977, v.12, n.1, p.65-76.

69. Polyakov A.M. Quark confiment and topology of gauge theories. -Nucl.Phys.B, 1977, V.B120, n.3, p.429-458.

70. Salam A. Weak and electromagnetic interections. In: "Elementary particle theory". Ed. N.Svartholm, Stockholm, Almquist and Wiksell, 1968, p.367-377.

71. Sarkar S. Mixing of poerators in Wilson expansions. Nucl. Phys.B, 1974, V.B82, n.3, p.447-460.

72. Sarkar S., Strubbe H. Anomalous dimensions in background field gauge. Nucl.Phys.B, 1975, V.B90, n.1, p.45-51.

73. Schwartz A.S. On regular solution of enclidian Yang-Mills equations. Phys.Lett.B, 1977, v.67B, n.2, p.172-174.

74. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization. -Phys.Rev., 1951, v.82, n.5, p.664-679.

75. Taylor J.C. Ward identities and charge renormalization of Yang-Mills field. Nucl.Phys.B, 1971, V.B33, n.2, p.436-444.

76. Ward R.S. On self-dual gauge fields. Phys.Lett.A, 1977, V.61A, n.2, p.81-82.

77. Weinberg S. A model of leptons. Phys.Rev.Lett., 1967, v.19, n.21, p.1264-1266.

78. Yang C.N., Mills R.L. Conservation of isotopic spin and iso-topic gauge invariance. Phys.Rev., 1954, v.96, p.191-195.