Некоторые вопросы теории счетных систем и асимптотических методов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^ВАЦЮНАЛЬНЛ АКАДЕМШ НАУК УКРАШИ 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

о"'.

V * *

и s

ЕЛЬНАЗАРОВ Адд1с Абдумамадович

УДК 517.

ДЕЯК1 ПИТАНИЯ ТБОРЙ ЗЛ1ЧЕННИХ СИСТЕМ ТА АСИМПТОТИЧНИХ МЕТОД1В

01.01.02 — диферешцальш р^вняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертацп на одобуття науяового ступени кандидата фЬико-матемятггптх наук

Кшв —

J998

Дисертащею с рукопис.

Робота виконана у вщдш овичайних диференщальних ртнянь 1нституту математики HAH Украши.

Науковий академ!к HAH Украши,

кер1вник: доктор фга.-мат. наук, професор

САМОЙЛЕНКО Анатолш Михайлович, 1нститут математики HAH Украши, директор

Офщшш доктор фш.-мат. наук, професор

опонентв ТЕПЛ1НСБКИЙ Юрш Володимирович,

Кам'янець-Подшьсьхий пед. ушверситет, оавщуючий кафедрою; кандидат фш.-мат. наук, доцент СТАНЖИЦЬКИЙ Олександр Миколайович, Нацюнальний ушверситет iM. Тараса Шев-ченка, кафедра штегральних i диференшаль-них р1внянь, доцент

Провала Чершвецький державний ушверситет im.

оргяшващя: Ю. Федьковича, кафедра прикладноУ математики i мехашки, м. Чершвщ

Захист вщбудеться 1998 р. о 1500 го-

ди ni на оасаданн! спещалгооваио? вченоТ ради Д.26.206.02 в 1н-rrnryTi математики HAH Украши оа адресою:

252601 Кшв 4, МСП, вул. Терещеяктська, 3.

3 диссртащею мо^на ооиайомитись в 6i6aioTeui 1нституту млтпматики HAH УкраТнн.

Автореферат рошелано /У

Вчеиий секретар спещалюЬвано! ради,

П

1998 р.

ЛУЧКА А.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальшсть теми. Численш питания, що виникають в рюномаштних галуоях природничнх наук: мехашц!, фкшц1, техшщ вихликали необхщшсть вивчення ол!чешшх систем ди-ференщалышх р^внянь. Неоважаючи на те, що шпченш си-стеми е частиною диференщалышх р^внянь в банаховому про-CTopi, icnye Ц1лий ряд специф1чнпх властивостей цих р1внянь, що приовело до розробхи теорй' диференщалышх р1внянь в простор! m-обмежених числових послщовностей, починаючи о po6iT A.M. Тихонова . Подалыш досладження в цш галуз! були проведет в роботах К.П. Персидсьхого, JI.A. брмолаева, В.Х. Харасахала, К.Г. Валсева, O.A. Жаутикова та, багатьох шших.

Для дослщження поведшки коливних роав\яокт диферен-щальних систем широко внкористовуються методи iiiBapiaiiT-них тороУдальних многовид^в, як'1 беруть свш початок о po6iT А. Пуанкаре i А. Данжуа. Питаниям ¡снування швар1антних Topiß, структурам траекторий на них самих i в ix околах при-свяченх роботи B.I. Арнольда, М.М. Боголюбова, A.M. Колмогорова, Ю.О. Митролольського, A.M. Самойленка, Ю. Мооера та багатьох шших.

Метод функцц Грша задач! про пшар^антшш тор, вперше оапропоновашш A.M. Самой ленком, вияшшся надовичайно шидним i дав великий импульс роовитку рюномаштних аспектов теорй' ¡HBapiaiiTHiix тороГдалышх пноговндт динам1чних систем, в тому чнсл! i огпчешшх систем. В роботах A.M. Самойленка, Ю.В. Теплшського, Н.С. Цигановського, П.1. Ав-деюха та iir. рооглянутд питания теорп швар]антштх xopia 0Л1ченних систем диференщальних pimianb.

Результата дослщжень перюдичних i кваащерюдичних ко-ливань систем о оашоненням м1стяться у в'щомш мопографп Ю.О.Митропольського, А.М.Самойленка, ДЛ.Мартшпоха. Слщ

в1дштити одну о робгг ДЛ.Мартинюка, в якш доведена теорема про ¡снувашш i наведений алгоритм побудови перюдич-ного розв'яоху сшчешшх систем диференщальних р^внянь о оатзненням.

Важлипе мк:це в наближеному ananioi нелшшиих диферен-Ц1альних р'шнянь i виясненш питань як'юного характеру оайма-ють асимптотичш метода нелшшно1 мехашки Крилова-Бого-любова-Митропольського. Роовитку асимптотичних методов в оастосуванш найрюномаштшших оадач нелшшннх коливань прнсвячеш роботи Ю.О. Митропольсьхого, A.M. Самойленка, G.O. tydftmiixooa, Ю.О. Рябова, В.П. Рубаника, B.I. Фод-чука, В.Г. Коломшця, Д.Г. Кореневського, Нгуена Ван Дао, Г.П. Хоми та ih.

Систематиоац1я дослщжень по рооробщ i обгрунтуванню метод!» асимптотичного штегрувашгя систем нелшшноТ мехашки проведена в po6oTi Ю.О. Митропольсьхого i A.M. Самойленка. Ними був вихладений новий метод асимптотичного ровкладу тп-параметричноТ ciM1! роов'яокш нелшшноУ системи Диференц1альних р1внянь i умови, що оабеапечують оастосу-вання цього методу.

Незважаючи на величеоиу кшылсть po6iT о дано\' тематики, багато питань оалишаються доа вщкритимп. Так, ста-новить интерес вивченнд ехспоненщально! стшкост1 та дихо-томп ол^ченно! системи диференщальних р'шнянь, дослщження : iiinapiaiiTiuDc торощалышх многошадв систем о оашзненням. Актуальною лишаетьея оадача асимптотичного роэкладу t7i-параметричноТ cim'j р ов'ясшв кваошншних систем диференщальних р1вшшь, а також систем диференщальних рЬиянь о оаппиенням.

Перераховаш вище питания i стали предметом роогляду дисертацй".

Ов'яоок роботи о науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась опдно о оагалышм плапом до-слщжень овичашшх диференфалышх ртшшь Тнституту математики HAH Укра'ши.

Мета i оадачi дослщження. Мета щк1 роботи — дослщження експоненц!ально1 стшкост! i дихотомп ол1ченш1х систем, ¡HBapiaHTHnx торо'/далышх многовцшв систем диферен-щальних ртшшь о запкшеиням, а також аспмптотичний раз-клад m-параметричноУ ciM'i роов'яокш деяких систем диферен-щальних р1внянь.

Наукова новиоиа одержаних реоультат1в. Осношп реоультати, що шшначають наукову новизну i виносяться на оахист, такп

1. Наведет необхщш та достатш умови експоненц1ально1 CTiiiKOCTi i експоненщально1 дихотоми ол1менно1 системи диференщалышх р1внянь о хваптерюдичними коефвден-тами.

2. Отримано умови ¡снувашш та гладкости iimapiaHTHora тороидального многовиду ол1ченно'1 системи диферен-щальних piBHAHb о оашэненням.

3. Методом асамптотачаого роакладу т-параметрично'Г ciM'i роов'яак^в дослщжена кваошшина система диференщалышх р!внянь.

4. Вкаоаш умови оастоеування т-ггараметричного методу до кваошншно}'Системи диферешиальних ршнянь о оашэненням.

Практичне оначення одержтшх результат in. Реоультати, отримаш в робот1, можна викорнстопувати для дослщження оадач Teopii динам1чно1 CTiiiKOCTi колпшшь пружнпх систем, а також в теора нелшшштх полипаш».

Особистий анесок одобувача. По тем1 дисертац'й опуб-л1коваио 5 робгг. Результата Bcix po6iT одержан! автором са-мост1йно.

Апробация результатов дисертащ'ь Основш реоуль-тати дисертацп доновщались та обговорювались:

1) на зас'щанш сем'шару овичайних диференшальних р'т-нянь вуцщу овичайних диференщалышх р1внянь 1нсТи-туту математики HAH Украшк,

2) на науковш конференци "Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и нх приложения" (червень 1997 р.),

.'}) на школ1--сем*1нар'1 "Нел'шшш крайов'1 задач! математич-uo'i физики та ix оастосування" (вересень 1998 р.),

4) на VII М^жнароднш конференци iMeni академ1ка М. Кравчука (травекь 1998 р.).

ПублЬсаца. По тем! дисертацп опубликовано 5 poöiT, на-Лисаних автором самоетшно, 3 статт» надруковано в провщних наукових фахових виданнях.

Структура i обсяг дисертаци. Дксерташнна робота складастьоя ш вступу, двох роздшв, впсновку i списку цито-ваноТ литературы, що мютить 87 назв. Обсяг роботи складае , 106 сторонок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМ1СТ РОБОТИ

У встуш обгрунтовуеться актуальшсть теми, формулю-еться мета дослщження, даеться короткий аналш сучасного стану проблем, як1 вивчаються в дисертаци, [ наводиться ано-тащя одержаних реоультаив. :

В першому роздш вивчаеться експоненщальна ^тшк$сть I експоненщальна дихотом!я ол1ченннх систем диференщалышх р5внянь, а також досшджуються торощальщ швар1антш мно-говиди ол1чешшх систем о оашонешшм. Отримаш теЬремн про ¡снувашш та глaдкicть швар1антних тopiв цих систем.

У другому роздш роаглядаються хваошншш систем« ди-ференщальних р1внянь. Описуеться метод асимптотичного роокладу т-параметрично! слмг1 роов'яак1в ц1с1 системи. Дал1 оа допомогою цього методу дослщжуеться квагилшнша система о оато нениям.

Опишемо тепер коротко омшт кожного роодшу.

В параграф! 1.1 першого роодшу рооглянута система диференщалышх р1внянь наступного вигляду:

I- С)

де у? 6 7т,в € т,и> = (и>1,Ы2,.„. ,и>т)— сталий вектор такий, що для будь-якого щлочислового вектора к

{к, ш) Ф О, к = , Аз,..., кт), к2 = £ к? £ 0, Р(<р) е С(Тт).

Критерий експоненцьчлыюУ дихотоми а матрйчним проектором системи ртнянь (1) мютиться и наступит тоорем).

Теорема 1. Для того, щоб система (1) була експо-нвнцгально дихогполичною з матричиим проекпщюл., необ-хгдно г достпатнъо, щоб гену вали неекгпченновимгрна матрица С\{ф) 6 С(Тт)> Щ° задоволъпяе. умови

П°№)01Ы<Р)) = СхШУМ ■ V* £ i?, ч> 6 гт,

= СШ

I додатт стал« Т, d < 1, для мких виконуютъся нергвностг

(vKMvOII < d, ||no2V)(^ - СгШ\ < d. Для системи диференщальних ршиянь вигляду

dJt = а(<р), | = Р(ф, с2)

де <р е Тт,х е т,о((/э),Р(у?) € C£fp{7^), умови, необхщш та достатш для експоненщалыю! стшкоеп, дае наступна теорема.

Теорема 2. Для того, щоб система pienxub (2) була експоненц1алъно стШкою, необзпдно та достатньо гснування додатних сталих Т, d< 1 таких, що

В другому параграф! першого роздшу рооглядаеться система днферешиальних р^вшшь о оашоненням вигляду;

^ = «(*>), ^ « P(<p)x(t) + Ax(t - h) + /(у,), (3) де h = const > 0,v? = {<p£ 7^,1 € m,a(^) = {ai(v?>,

«гМ.....am(v>)) 6 Cgfp(rm) /М,Р(<р) € C°(Tm),

oo

A = МЗ=1'вир£!в«Гв a° < j=1

Нахай ip — <pt(<p) - роэв'яоок першоУ системп р1внянь (3) TfiKim, шо v?o(v) = у?, де <у? (Е 'Года оашсть (3) отрпмуемо

систему

^ = PfoMMO 4- - Л) + /Ы?))- (4)

(») . (")

Шд /1 i Р (</?) будемо pooywiTH вкорочеш матриц«, утвореш л'и-им кутовим блоком порядку п2 матриць /А i Р{ф) пщпонщпо.

Пехай х = (xin,X2n,.. .,хпХ1) - вектор, що складаеться о перших п координат вектора х Em. Вданачимо послщовшсть

TOpiß, кожшш о яких е ¡нвар1антним тором системи р^внянь

(п) / , хх ("> , , хч ("J , / XX

-¿j-=P Ы<р)) ® + А и {ipt-M)+ f Шр)),

де / (v>t(v>)) = (/i(v>),/2M,...,/n(v»)). . (n)

Нехай ft' (у) - матрицант однорщноУ системи d. {х М (»)

Tsp(v,i

При цьому мае м1сце наступив.

Теорема 3. Нехай система (4) задоволънжс умови:

1.р(<р),т € с°(гт).

00 00

2. ]Г "¿ах IptJ(ip)\ < Kie{n), £ l°sjl < Яа, J^n+l**7" is 1

de K\,Ki — додатт сталг, e(n) —)■ 0 при » оо,а = 1,2.....

<п)

(<р)|| < JVea;p{7r},T < 0; N, 7 = const, що не залежать вгд п г ф. 4-Виконуютьсж uepianocmi

KiNerfb ||/||JV .

q —-< 1, ---- < d.

• 7 7(1-9)

ТоЫ в област1 S icnye послгдовнгстъ mopie Ножен з яких e гнваргантним тором системи ргвнянь

и

~ te P(<pt(<p))x + Auh(<pt„h{<p)) + /(v*i(v>)),-

де

uj= lim 1,2,...,.; = 1,2,...,

J n—»00 ^

pienoMipno eidnocuo <p &Tm.

Основннм результатом цього параграфа с наступив тверд-ження.

Теорема 4. Нехай система ргвнжпь (4) така, що:

1.Виконуються умови теореми S.

2.Елементи матрицг P(tp) задовольняють nepieuicmb:

00

sup Е ^ <

3.Посмдовтсть тоариштнпх mopie

визначена no-

смдовшстю функцШ v.W(<p) € CQ(Tm), обмежених за нормою || • || столою d. Todi

Uj(v>) = Urn = 1,2,...,

pioiwMipno eidnocuo <p iH : z = u(<p),<p £ Tmi e iwapiaumHUM тором системы (4).

В третьему параграф! досл1джуеться гладкость швар1ан-тного тору ол1ченно! системи о оапшненням. Нехай

а = шах max цМ^т/Ц^ <= Rm.

' Позначнмо

I = max (а + mLiNanc ,.-----г

1 + 1/

+JVaomXie^,-—- + iVe0e^}, .1 + 1/

де v и Ь\ — додатш стала, що взят!, вущовщно, о нер»вностей

VOL

7 > а +

1 + v'

ll^^ll^expHilMe/i1.

Умопа гладкост! швар1антного тору системи (3) наведена в наступит теоремь

Теорема 5. Нехай система (3) задовольпяе умов и теорема 4, фучкци а(<р), P(<p),f(<p) е Clip(7in) » с дгйсною оцтка

7 >

Todi iueapiaumnuu тор % '. х = и(<р) системи pienxnb (3) належить простору Сх{Ттп).

Другий роздал присвяченпй асимптотичному розкладу сшТ розв'язк'т деяких клаав систем диференщалъних р*1внянь.

В першому параграф! за допомогою методу асимптотич-ного розкладу т-параметричпо! c'imT роов'язюв дослцщуеться квазтн'пша система ршняиь вигляду

^ = Ах + еХ(х,<р,е),

% <5>

~ — A-f

де х ~ {хих2,...,хп)-— п-вим1рний, <р - (<pj, <р3,..., (рт) — m-вим'фний векторн, А — стала матрица пхп, що мае блочно-д'1агональний внгляд А = diag(Ai, Лг), де дЫст частини вЫх власних зиачень матриць Л| та Лз, в'щповщно, додатш та вщ'емт, X = (ХиХъ ...,Хп) i F = (FbF3,...,Fn) - nepio-днчш за <pv,v — 1, m, перюду 2ж фупкцп, що допускають роо-клад

оо оо

Х(х,<р,е) = F(x,ip,e) ~ ]TVf;(z,v>),

коефниенти якйх Xj(x, tp) та F,(x, <р) с полню мам и щодо х i трпгонометричними полшомами щодо <р.

Нехай М е множикою скшченних сум вигляду

де г € 2+,к € И™,2 — множина цших чисел, Хгк =

[Х)к%... уХ?к) I Ргк .....- стал! аектори.

Черео ¡л ~ (щ, ... цп) пооначнмо вектор власних чисел матриц! А, 3 — жорданова форма матриц! А. Будемо припус-кати, що А — ,7.

Вионачимо на М "усереднюючий" оператор 5 = (5ь 5о) сшвв1Дношеншши

8{Х{х,<р),Р(х,<р)) = (ЗДаг.у.), =

= < £ Х1гкхге^)..... £ Х%хге^\ £ Ргкхге^),

(г,А)е«?1 (г ,*)ед„ {«-,*)€д0

Де

Qj = {(г, А:) б 2%. X Ят|(г>/4) + ¿(А:, А) = = Щ,

<?0 = {(г, Л) € 2% X ^¡(г./х) -Н(М)=0}, а також лшшний оператор X/ = (¿1, £о), де

Показано, що множила М аадовольняе певш умови, що оабеопечують оастосування методу т-параметричшп амЧ роов'лхшв системи (5).

Роэхлад сш'У роав'язхш системи (5) шукаеться у виглядо

х = еиз^в) + е*изг(9) + ... + £рЬ}р{в) + ...,

<р « в + £1>1 (0) + £%($) + .. . + €Рир(в) + ...,

вважаючи в = 0{(О) роов'яоком системи р1внянь вигляду (19

— = Л + £Ф1(0) + ... + ерФР(0) + ....

Алгоритм методу приводить до визначення невщомих

функций хщ, Ф,- при ¿ = 1,2,----

У другому параграф! метод асимптотичного розкладу т-параметрично1 ам'\' розв'язюв оастосовашш до наступно\* кваэшншно1 системи диферепщальних р1внянь о оашоненпям:

^ = Аг(0 + Х№,х(! - Ь)М*)М* -л (б)

да х = {хих2,...,хп) — г»-вт.иршш, (р = {ч>и<р2,...,Ч>т) ~ т-вим1рний вектор«, А — стала матриця п х п, дшсш частная власиих чисел якоТ е вщ'емними, X — (Х1,Х2, ...,Хп) та ^ = 1^2» • • •,Рп) — перюдичш оа у>(*)></>(< — /1) периоду 2тг фунхцн, що припускають рооклад

оо со

1=1 ¿=1

коефипенти як их Х{(х,у,<р,ф) та ф) е полиномами щодо х, у 1 тригонометричними полшомами щодо <р,ф\е — малий додатний параметр, /г — стала величина, що характеризуй оа-тзнекия в систем!, А = (А^ Аг,. •., Аш)— стадий веятор такий, що для будь-яхого цкочислового вектора к

(к,А) ф 0,к = (*ъ*а,...,Ат),*2 = ^

Припустимо, що функцп Х,(х,у,1р,ф) 1 вионачеш в

облает!

3 = {{х,у,<р,ф):\)х\\<(11\\у\\<^<реТт,ф€Тт}.

С дшсною наступва теорема.

Теорема 6 Нехай система (6) при е — 0 мае тваргантний многовид

х = 0,(р€Тт.

Виконуються умови:

1. Характеристичт числа матриц А мають eid'eMHi дгйсм частини.

2. Для будь-якш е € [0, £°) фунщи X(x,y,4>,i¡>,e),F{®>v»,e) € Cr(S).

3. max {|A'(®,j/fv>l^,e)|ri|F(«,v»,e)lr} <Aír(e°), £ G [0, e ]

de Mr(e°) 0 при e° -> 0. 2Wi можна вказати таке 0 < ¿o <

ecii е € [0, ео] система ргвнянь мае тваргантний тор tt(v,e) € Cr~1(S), для як ого

lim|u(</>,£)|r_i =0.

Дал1 обгрунтоэуеться оастосування " т-параметричного" методу до системи (6).

висновки

В цш дисертацшнш робот! одержано таю результата:

1. Наведено критери експоненщалыюТ стшкост! та дихотоьпчност! о матричнпм проектором ол1ченно! систем« диференщалышх р1вняиь о кваошерюднчнпми коефпцентами.

2. Дослщжена проблема кнуванпя та вкаоаш ¡те-рацшш процеси, що дооволяють онапти ш-вар1антш торощальт многовиди ол1ченноГ сп-стеми диференшальнпх р1вшгаь о оатзненням.

3. Вперше наведен! умови гладкост! швар^ант-пого тору ол1яешю-1 систем« дпференщальпих ртнянь о оашоненням.

4. За допоиогою методу асимптопгшого роо-кладу т-параметрптгаоТ сш'\" роов'яокш дослщжена кваашшшна система дпферешцапь-нпх ршшгаь.

5. Вкаоаш умови оастосуванвл т-параметричного методу до квапшпшно! системи диференщаль-нпх р1вшшь о оатзненням.

Основш реоультати дисертацн опублковаш в наступних роботах:

1. Эльназаров A.A. Критерий експоненциальной дихотомии счетной системы дифференциальных уравнений с кваои-периодическими коэффициентами// Укр. мат. журн. — 1997. —49, №■ 12. — С. 1717-1722.

2. Эльназаров A.A. Метод асимптотического разложения rn-параметрического семейства решений для одной квазилинейной системы дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. — 1998. — 60, № 3. — С. 445-450.

3. Эльназаров A.A. Асимптотическое разложение семейств решений одной квазилинейной системы дифференциальных уравнений //Дифференциальные и интегральные уравнения математической фиоики и их приложения. -Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1997. - С. 237238.

4. Elnazarov A.A. On exponential stability of denumerable system of differential equations//ТЬои доп. VII науковоГ конфлм.акад. М. Кравчука (Кшв, 14-16 трав. 1998 р.) -Кшв, 1998. - С. 165.

5. Эльназаров A.A. Асимптотическое интегрирование одной кваоилинейной системы дифференциальных уравнений с оапаздыванием// Нелинейные краевые оадачи математической фиоики и их приложения: Сб. науч. тр. -Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1998. — С. 241-

V. 242.

ЕЛЬНАЗАРОВ Адд1с Абдумамадович. Деяк! питания теорп ол1ченних систем i асимптотичних метод1в. -Рукопис.

Дисертащя на одобуття наухового ступеня кандидата ф1-оико-математичних наук па спещальшстю 01.01.02 — дифе-ренщальш pimumiui. - 1нститут математики HAH Укра'ши, Кшв, 1998.

В дисертацн встановлено необхщш та достатш умови експоненщально! стшкост! i е-дихотом1чност1 о матричним проектором о;пчешшх систем, дослщжено питания кнування i гладкое^ ¡нвар1антних тороТдальних многовидов зл1ченних систем о зашзненням, теоретично обгрунтований i описаний алгоритм асимптотичного роокладу m-параметрично! ciM'i porm'.to;cin деяких Macin хвааЫшгашх систем диферепщалыгах р1внянь, а також систем о затзненшш.

Ключов1 слова: oni4enni системи, iimapiaHTHi многовиди, система о оашаненням, гладккть, m-параметрична ам'я, асимптотичн! рооклади, швар1антгага тор.

ЭЛЬНАЗАРОВ Аддис Абдумамадович. Некоторые вопросы теории счетных систем и асимптотических методов.-Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт математики HAH Украины, Киев, 1998.

В диссертации установлены необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости и дихотомии счетных систем, исследованы вопросы существования и гладкости инвариантных тороидальных многообразий счетных систем с запаздыванием, теоретически обоснован и описан алго-

ритм асимптотического разложения m-параметрического семейства решений некоторых классов квазилинейных систем дифференциальных уравнений, а также систем с запаздыванием.

Ключевые слова: счетные системы, инвариантные многообразия, система с запаздыванием, гладкость, ш-параметрическое семейство, асимптотические разложения, инвариантный тор.

ELNAZAROV Addis Abdumamadovich. Some problems of the theory of countable systems and asymptotic expansion, — Manuscript.

Thesis for Candidate degree by speciality 01.01.02 — differential equations. — The Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 1998.

Necessary and sufficient conditions of exponential stability and e-dichotomy with matrix projector of countable systems of differential equations are obtained. The existance and smothness conditions of invariant toroidal manifolds of countable systems with lag are investigated. The asymptotic expansions of the m-parameter family of solutions of a quasi-linear system of differential equations and delay differential equations are found.

Key words: countable systems, invariant manifolds, system with lag, smothness, m-parameter family of solutions, asymptotic expansion, invariant torus.