Некоторые задачи динамики и устойчивости цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

4853509

Панфилов Иван Александрович

Тр)

На нртБах рукописи

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ВИНТОВОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

Специальность 01.02.04 -механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Ростов-на-Дону - 2011

2 2 СЕН 2011

4853509

Работа выполнена на кафедре теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Устинов Юрий Анатольевич

Официальные оипопенты: доктор физико-математических паук,

старший научный сотрудник Юдин Анатолий Семенович доктор технических наук, профессор Шевцов Сергей Николаевич

Ведущая организация: Кубанский государственный

университет

Защита состоится "11"октября 2011 г. в 15'1'1 часов на заседании диссертационного совета. Д 212.208.00 по физико-математическим наукам при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, ЮФУ, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд.211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006, г. Ростов-па-Допу, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан "7" сентября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев II.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Целыо работы является исследование некоторых особенностей гармонических волновых процессов в цилиндрических оболочках, порождаемых винтовой анизотропией; оценка применимости прикладных теорий, основанных на гипотезах Кирхгофа - Лява и гипотезах Тимошенко-Рейсснера; а также разработка численно-аналитического метода определения критических значений внешнего гидростатического давления и осевого сжатия для армированной цилиндрической (непологой) оболочки с винтовой анизотропией.

Актуальность работы.В настоящее время в различных отраслях производства широкое применение получили оболочки из волокнистых композитов, состоящие из армирующих элементов высокой прочности и полимерного связующего, обеспечивающего монолитность конструкции. В качестве армирующих волокон применяются стекло-, угле-, боре;- и органопластики. В ряде отраслей широко используются цилиндрические оболочки со спиральной и биспиралыюй ориентацией волокон относительно оси цилиндра.

Важной технологической особенностью армированных оболочек является возможность варьирования их механических свойств в достаточно широких пределах за счет изменения состава, концентрации и взаимного расположения армирующих волокон. Для армированных цилиндрических оболочек такими характеристиками являются механические свойства компонент, их концентрация и углы намотки армирующих волокон.

Основной задачей теории упругости анизотропных оболочек, как и задачей теории оболочек вообще, является изучение прочности, колебаний и устойчивости.

Методы исследования. Исследования колебаний и волновых процессов в цилиндре с винтовой анизотропией для уравнений, построенных на основе гипотез Кирхгофа-Лява, гипотез Тимошенко-Рейсснера, а также на основе трехмерных уравнений теории упругости, проведены с по-

мощью метода однородных решений. Соотношения для определения критических нагрузок и форм потери устойчивости были получены методом линеаризации нелинейных уравнений теории оболочек. Анализ уравнений устойчивости осуществлен численным методом прогонки.

Достоверность полученных результатов в диссертационной работе в динамических задачах обеспечивается сравнением результатов, полученных на основе различных прикладных теорий оболочек с результатами, полученными на основе численного интегрирования трехмерных уравнений теории упругости. При исследовании устойчивости оболочек с винтовой анизотропией величины критических нагрузок, которые в настоящей работе получаются численными методами, сравнивались с критическими нагрузками изотропной оболочки, для которой критические нагрузки определяются на основе аналитических формул, а для анизотропной оболочки-с результатами, полученными другими авторами интегрированием линеаризованных уравнений методом Бубнова-Галеркина при без-моментном докритичсском состоянии.

Новые результаты, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

1. Для исследования колебаний и волновых процессов цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией построены соотношения, отвечающие двум прикладным теориям: 1) теории, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява; 2) теории, основанной па гипотезах Тимошенко-Рейсснера.

2. Исследованы осесимметричпые колебания и волны в цилиндре с винтовой анизотропией, построены дисперсионные кривые и отвечающие им элементарные решения, описаны их основные свойства, исследовано влияние угла армирования на собственные частоты оболочки, а также решена задача для оболочки конечной длины при кинематическом возбуждении одного из торцов.

3. Исследованы изгибные колебания, получены дисперсионные уравнения н элементарные решения, для полубесконечной оболочки решены задача распространения гармонических волн при кинематическом возбуждении ее торца и задача отражения гармонических однородных волн от горца оболочки.

4. На основе трехмерных уравнении теории упругости построена прикладная теория продолыю-крутнльиых длинноволновых колебаний. Получены оценки для областей применимости построенных прикладных теорий цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией по параметрам толщины и частоты (длины воли).

о. Для исследования высокочастотных колебаний на основе трехмерных уравнений теории упругости построен численно-аналитический алгоритм построения дисперсионных кривых в высокочастотной области.

6. Дли исследования устойчивости цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией при действии гидростатического давления и осевого сжатия построен чиеленно-аннлптичеекпй алгоритм определения точек ветвления (бифуркации).

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для расчета прочности и устойчивости конструкций, содержащих в своей структуре оболочки с винтовой анизотропией.

Структура работы. Диссертации состоит из перечня основных сокращении, введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 89 страниц.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ и докладывались на XII, XIII, XIV Международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной

среды"(Рос.тов - на - Дону-2008, Ростов-на-Дону-2009, Ростов - на - Дону-Азов-2010), IV, V, VI Всероссийских школах-семинарах "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (нос. Дивноморское-2008, 2009, 2011), Международной научной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделиро-вания"(Владикавказ 2011), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород-2011).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 статьях, список которых приведен в конце автореферата. Из них статьи [0, 8, 11, 12] опубликованы в журналах из "Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук", утвержденного ВАК РФ.

В совместных работах научному руководителю Ю. А. Устинову принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения. Вывод разрешающих систем уравнении, разработка и реализация численных методов, численные результаты принадлежат автору диссертационной работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, приводится краткая история развития исследования колебаний и устойчивости цилиндрических оболочек с винтовой анизотропией (Ц О В А), формулируются цели и задачи работы, а также результаты, выносимые на защиту.

В первой главе исследуются колебания цилиндрических тел с винтовой анизотропией на основе соотношений трехмерной теории упругости.

Вн. 1.1 приводятся основные соотношения трехмерной теории упругости в винтовой системе координат для тел с винтовой анизотропией.

Введем винтовую систему координат г, <А г, связанную с декартовой соотношениями

x¡ = rcos(y> + tz), X2 = rsh\{<p + tz), .Гз = л, (1)

где п < г < r2; г = tg(a)/r2 - геометрический параметр винтовой анизотропии (крутка).

Соотношения (1) при г = consf, у? = con.sí являются параметрическими уравнениями винтовой линии, при этом а является углом между касательной к винтовой линии и осыо Ох3. С каждой винтовой линией свяжем репер Фрепе с ортами главной нормали ei, главной бинормали е2, касательной е3. Переход от базиса Фрепе к базису винтовой системы координат ег, е^, ez, первые два. орта которой связаны с ортами декартовой системы ОХ1Х2Х3 соотношениями

ег = ¿i cos(<¿ + tz) + г2 sin(<¿> + tz), ev = -¿1 sin(<¿? + tz) + i2 cos(¡p + tz),

осуществляется с помощью ортогональной матрицы

-10 0

А = о —cosa sina

0 sina cosa

где а - arctg(a;), х = тг.

Будем считать материал цилиндра локально трапсверсально -изотропным, у которого направления главных осей тензора упругих свойств совпадают с направлениями ортов еь е2,е3, где орт е3 определяет направление осп упругой симметрии. В этом базисе соотношения обобщенного закона Гука имеют вид

<т = Се, С = (су), i,j = 1.....6, (2)

<7 = (СГ11,°"22,СГ33,СТ23,0-13,0'12,)Т,

е = (еи, е22, е33,2е2з, 2е13,2е12)т.

7

Здесь - компоненты тензоров малых деформаций и напряжений

соответственно.

Траневереалыю-изотропньш материал характеризуется пятью независимыми техническими постоянными: модулями Юнга Е, Е', коэффициентами Пуассона и, и' и модулем сдвига С.

При переходе от базиса Френе к базису винтовой системы координат для закона Гука получаем следующие выражения:

В базисе винтовой системы координат ег. ег, компоненты тензора деформаций выражаются через координаты вектора смещений

(3)

и = (и,., Ир, и,)-

следующими формулами:

е„ = дгиг, = (иг + д^и^/г, = Ииг, 2еГ1р = дгщ + (с^и,- - ку)/г, 2ег, = 9гиг + Виг. = г + Ои1р.

(4)

Уравнения движения в данном случае имеют вид

дг(гагг) - а^ + дуОгр + г£>сггг = -ргд^ит, дг(гаТ1р) + агч> + д^а^ + гБ^ = -огд дг(гаг-) + дрСГф 4- =

В (формулах (5) р - плотность материала цилиндра;

£> = д - тд,

Для бнениралыю-армированной оболочки в выше приведенных соотношениях следует оператор Б заменить на д, и элементы матрицы жест-костей С21, С;п приравнять нулю.

П. 1.2. посвящен описанию метода однородных решений для случая, когда боковая поверхность свободна от напряжений:

при г = Г/з (/3 = 1,2): а„ = <7,у = аг2 - 0. (6)

Вводятся векторы напряжений:

аг = (СУ,г, Ог<р, СГгзУ, (Г? = (с>>-, = С¿т^■>

связанные со смещениями операторными соотношениями:

(тг = &Аги + Вг11, ^ = + В9и, (7)

а% = с?-А2и + В2и.

Разыскивая решение в виде гармонической полны

и = аг = е^-^Ъг, ^ = а„ = е^-^Ь,,

а = (а,., га~)т, ЬГ = (?£>гг, ЬГ2)Т, (8)

на оспопашш (5)- (8) получаем двухпараметрическуго спектральную задачу

Цк, о;)а = -к2 А2а + гкАга + А0 + тршЧа = 0, (9)

при г = г$ : (г'ЛАг + Вг)а = 0, (Ю)

где и круговая частота, ¿ волновое число.

ЕЗ п. 1.3 на основе трехмерных уравнений теории упругости построена прикладная теория продольно-крутильных длинноволновых колебаний, отвечающих малым значениям частоты и волнового числа. Показано, что любые низкочастотные длинноволновые колебания цилиндра с винтовой анизотропией являются линейной комбинацией решений, отвечающих продольным и крутильным колебаниям. Проведен сравнительный анализ

дисперсионных кривых, построенных на основе разработанной прикладной теории и на основе численного интегрирования трехмерных уравнений.

Для проведения исследований осуществлен переход к безразмерным координатам f = r¡r2,(¡ = zjr-i и безразмерным параметрам 7 = г2к-безразмерпое волновое число, Q = гз^/е-безразмерная частота, с = (¿?'//э)1//2-параметр, имеющий размерность скорости.

Для построения приближенного решения, отвечающего малым значениям параметров 7, Q, используя методы теории возмущений, решение задачи (9)-(10) будем отыскивать в виде

П = so7+s173 + ..., (11)

а = а0 + 7¿! + 72á2 + ....

После подстановки (11) в (9)-(10) получается рекуррентная система краевых задач

A¡,áb = 0, B¡.áb|f=ítt = 0, (12)

A^áj + Ajáo - 0, (Br'ái + tAr'áb)|í=ío = 0, (13) Aj,á2 + A'xái + A'2á0 + = 0, (B;á2 + ¿А^)^ - 0. (14)

Умножая уравнение из (14) скалярно на ао, получим следующ)'ю однородную алгебраическую систему:

{dn - з1Ьг)Сг + dl2C2 = 0, d2iCi + (d22C2 - s^C2 = 0, (15)

Здесь a¿ = (0,0,1)г, = (0, 0)т-диа линейно независимых peino гшя статической однородной задачи (12), а0 = CjaJ + С2а^.

Из условия существования нетривиального решения системы (15) получается характеристическое уравнение для определения ,so:

Д(.5-о) = - 2glS2a + д2 = 0. (1G)

10

Обращаясь к (11), получаем аналитические выражения для начальных участков дисперсионных кривых

íí = wl7 + 0(73), fi = W + О(Г'), __(1?)

i-i = (31 + \¡<Á ~ ¡fe)1/2, t'2 = (í7i - фЛ -9iY'\

где Vi - корни уравнения (16).

Из проведенного анализа вытекает, что при малых значениях параметров 7, Í2 существуют четыре бсздиспсрсионных волны вида:

u+ = Xuaje'^-'^ + (18)

u¿ = X12aje':tl(í-flí) + X22age!l'2(^f2Í),

иГ = Xuaje"^+f>" + X12ageife^+e*\ (19)

u2" = + X22age"^+^.

Здесь

Xgi = a(¿22 ~ vffio), X¡)2 = -adío, crf = v,jc, kfj = u/clb {p = 1,2).

Таким образом, любые низкочастотные и длинноволновые колебания цилиндра с винтовой анизотропией являются линейной комбинацией элементарных решений (18), (19).

Далее, поскольку a¿ = (0,0,1)т, а^ = (0, 0)т, то первые слагаемые в приведенных выше формулах описывают продольные волны, а вторые крутильные. При т = 0 элементарные волны uf становятся чисто продольными, а - чисто крутильными. Винтовая анизотропия приводит к тому, что эти волны становятся квазипродольными и квазикрутильными соответственно.

Для оценки применимости прикладной теории дисперсионные кривые были получены на основе численного интегрирования спектральной задачи (9)-(10) методом пристрелки.

Для реализация метода эта задана была преобразована в краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида:

где Ь = £ЬГ.

Расчетный анализ для исследования колебаний и волновых процессов проводился для спирально-армированной оболочки, механические свойства которой соответствуют биологическому материалу.

На рис. 1 приведены графики первых двух дисперсионных кривых для М1 с параметрами ^ = 0.92, £2 — 1> = 45°. Графики 1-2 получены на основе численного интегрирования спектральной задачи методом пристрелки, графики 3-4 (изображены пунктиром) получены на основе прикладной теории продольно-крутильных колебаний.

Эти графики позволяют получить некоторое представление об области применимости прикладной теории продольно - крутильных колебаний. Так, например, прямолинейный участок первой дисперсионной кри-

— = вца + С^Ь, — = С21а + вггЬ, Ъ(6) = 0, Ь(6) = 0.

(20) (21)

Рис. 1: Дисперсионные кривые

вон принадлежит области 0 < 7 < 7* = 0.7, 0 < Q < Q* = 0.65, второй дисперсионной кривой - 0 < 7 < 7* = 1.5, 0 < ÍI < Щ = 0.9. Из этих неравенств можно сделать вывод о том, что для цилиндра с выбранными параметрами прикладная теория будет давать удовлетворительные результаты, если круговая частота, и < ci9J/r'2. Прикладная теория привлекательна еще тем, что позволяет сравнительно простыми средствами определять собственные частоты и собственные формы продольно-крутильных колебаний .цилиндров конечной длины. Поскольку множество собственных частот Qn (п = 1,...) неограничено и принадлежит дисперсионным кривым, то данная прикладная теория может претендовать на достаточно точное определение только тех частот, значения которых принадлежат интервалам 0 < П,, < ÍF, 0 < < ÍÍJ.

В п. 1.4 вводится понятие критических частот и высокочастотных колебаний. В качестве примера вычислены первые три критические частоты путем численного интегрирования трехмерных уравнений.

Под критическими частотами в данном случае понимается множество СЗ wj (/ = 1, ■■•) самосопряженной спектральной задачи

L(0, и>)а. = А0 + r/xJla. = 0, (22)

при г = гр : Вга = 0,

которая является частным случаем задачи (9)-(10), если в последней положить к = 0.

Приведем здесь значения первых трех критических частот, полученных путем численного интегрирования уравнений (20), для Ml при о = 45°: П = (1.16,21.73,24.61). Для оценки точности результатов, полученных численным методом, поставленная задача (4)-(6) при (,к = 0, а = 0- ортотропный материал) была решена аналитически. Сравнительный анализ показал полное совпадение результатов, а также позволил идентифицировать типы колебаний, отвечающих каждой из приведенных частот. Оказывается, что первая частота порождает продольные

колебания, вторая- радиальные, третья - крутильные.

Глава 2 посвящена прикладным теориям оболочек.

В и. 2.1 исследуются колебания ЦОВА на основе теории, полученной с учетом гипотез Кирхгофа-Лява.

Теория оболочек Кирхгофа Лява (К.-Л.) основывается на двух основных гипотезах. Следуя геометрической гипотезе, согласно которой прямые углы между нормалью к срединной поверхности оболочки до деформации остаются таковыми и после деформации, имеем:

«Г = tv(y>, 2), uv = vv(<p, z) + фу, uz = vt((p} z) + 1)0-, (23)

= - tv), 0Z = -Dvr, -h/2 < r; < h/2, (24)

D = dz - тсL, dv - d- = -75-, y dtp dz

где vT,vv,vz - смещения точек средиштой поверхности; 0V, 0Z - углы поворота нормали, а-радиус средиштой поиерхпости оболочки.

Для компонент тензора деформаций срединной поверхности получены следующие выражения :

£w = a~l(vr + ezz = Dvz,

szv = Dvv + a^d^Vr,

Srz = erip = 0. (25)

Для тензора изменения кривизн соответственно имеем:

= сГ2^^ - d'pVr), xzz = -D2vr, xzv = a~lDv^ - 2arlD0vvr. (26)

Согласно второй гипотезе Кирхгофа считается, что абсолютные значения напряжений o-rr,arz,arip <J{fV,oipz,o'zz, 11 силу чего в соотношениях закона Гука (3) первыми тремя можно пренебречь.

В качестве основных характеристик напряженного состояния введены

усилия и моменты:

Т^ = Цдиг^ + +

= + <722£" + Агзе^г),

= + <723^-- + Аззе^-)-

(28)

М^ = —{дпх^ + «723*« +

На основе вариационного принципа Гамнльтона-Остроградского получены следующие уравнения движения:

БТгх + сГ^Т^ - Ь/фк = О, а-^Т^ + ПГХЧ> + а-1 <21 - Л/^Я = О, «^ЭД + 0(?2 - а^ - = О,

где поперечные силы (¡>1 и <22 выражаются через моменты следующим образом:

= I + а~%Ыг^ = БМ^ + а~%Мгг.

Решение системы уравнений (23)-(29) в осесимметричном случае отыскивается в виде гармонических воли

где X, (у = 1,2,3) - произвольные постоянные.

В случае изгибпых колебании (когда полевые характеристики пропорциональны со5(р) и йш(<р)) решение разыскивается в виде четырех типов волн:

= гХге^'^, V, = IV =

(30)

<1»1 = кг + --р, Ф2 = -Фь Ф3 = кх-<р, Ф4 = -Фз-

15

Здесь Хр„ (/? = </?, г, г, п = 1..-4) - произвольные постоянные.

В п. 2.1.2 рассмотрены осесимметричные колебания и волны в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией. Построены дисперсионное уравнение и элементарные решения, описаны их основные свойства. Решены задачи при однородных граничных условиях (найдены собственные частоты) и при кинематическом возбуждении одного из торцов оболочки.

В пункте 2.1.3 для изгибньтх колебаний и воли ЦОВА получены дисперсионные уравнения и элементарные решения. Для полубесконечной оболочки решены задача распространения гармонических волн при кинематическом возбуждении ее торца и задача отражения гармонических однородных волн от торца оболочки.

В п. 2.2 проводятся аналогичные численно-аналитические расчеты для теории, основанной на гипотезах Тимошепко-Рсйсенсра (Т. - Р.).

В п. 2.3 анализируется область применения прикладных теорий для исследования колебаний в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией по параметрам толщины и частоты (длины волн). Для сравнения используются дисперсионные кривые, посчитанные па основе соответствующих прикладных теорий и на основе численного интегрирования трехмерных уравнений.

На рис. 2 и рис. 3 приведены графики первых двух дисперсионных кривых для £1 = 0.92, £2 = 1 (оболочка средней толщины) и £1 = 0.7, £2 = 1 (толстая оболочка) соответственно; а = 45°.

Здесь кривые 1, 4 отвечают трехмерной теории, кривые 2, 5 - теории на основе гипотез К. - Л., кривые 3, 6 - теории на основе гипотез Т. - Р. Кривые 1-3 отвечают при а ф 0 квазипродольным волнам, т.е. тем волнам, которые при а = 0, (когда винтовая анизотропия отсутствует), являются продольными. Кривые 4-6 отвечают квазикрутильным волнам, т.е. тем волнам, которые при а = 0 оказываются крутильными. На рис. 2 для данного диапазона частот первые три дисперсионные кривые практически совпадают.

Рис. 2: Дисперсионные кривые для = 0.92, 6 = 1

Рис. 3: Дисперсионные кривые дли Çi = 0.7, & = 1

Как и следовало ожидать, результаты, полученные па основе гипотез Т.-Р. более близки к трехмерной теории, чем результаты, полученные па основе гипотез К.-Л. Также видно, что увеличение толщины ведет к большему расхождению результатов. Эти графики позволяют получить некоторое представление об области применимости прикладной теории Кирхгофа-Лива и теории Тимошенко-Рейсснера. Так, например, прямолинейный участок рис. 2 первой дисперсионной кривой принадлежит области 0 < 7 < 7* = 0.7, 0 < П < ÎÎ* = 0.65, второй дисперсионной кривой - 0 < 7 < 7Ï = 1.5, 0 < П < fiî = 0.9. Из этих неравенств можно сделать вывод о том, что для цилиндра с выбранными параметрами прикладная теория К.-Л. и теория Т.-Р. будет давать удовлетворительные результаты, если круговая частота и < Ciiî*/r2- Поскольку множество собственных частот Qn (п = 1,...) неограничено и принадлежит дисперсионным кривым, то данные прикладные теории могут претендовать на достаточно точное определение только тех частот, значения которых принадлежат диапазонам 0 < S}„ < Q*, 0 < fi„ < fÎJ.

Теории, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява и гипотезах

Тимошенко-Рейсснера, позволяют получить только первую критическую частоту и первые три критических частоты соответственно.

В таблице 1 в столбцах приводятся значения первых трех критических частот при а = 45° для различных толщин (£2 = 1, 6 - варьируется).

трехмерная теория теория Т.-Р. теория К.-Л.

?! = 0.926 6 = 0.76 6 = 0.926 «1 - 0-926 6 = 0.76

1.16 1.34 1.47 1.65 1.46 1.65

21.73 Г).87 10.03 4.53 - -

24.01 6.05 19.17 5.13 - -

Таблица 1: Критические частоты

Как показали расчеты, значения первых критических частот для различных теорий > П* (для фиксированной толщины оболочки). Таким образом, можно дать верхнюю оценку применимости прикладных теорий: прикладная теория низкочастотных колебаний, теории, основанные, на гипотезах Кирхгофа-Лява и гипотезах Тимошенко-Рейсснера, не могут претендовать на достаточно точное определение частот, значения которых выше первой критической частоты.

Глава 3 посвящена разработке метода исследования устойчивости цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией при действии внешней гидростатической нагрузки и осевого сжатия.

В соответствии с геометрической гипотезой Кирхгофа-Лява п теорией "среднего изгиба'для компонент деформаций срединной поверхности определены следующими выражениями:

е^ = а"1^ + д^) + е„ = Пгк +

= + а~1д9ю. + 0^9,, £« = £г*> = 0. (32)

18

Для тензора изменения кривизн, соответственно, имеем - €¡1%

к,,, = - 2а~1Одч,ьг. (33)

Используя вариационный принцип Лаграижа, получаем следующие уравнения равновесия:

аГ10¿Г^ + ВТ^ + а"1«?! - а-%А + ^ = О,

£>Т„ + - + Чз = 0, (34)

а-ЗДг + - сГ%, - а^С^-Л + Г^А) - + Г.Х)

-9г = О,

где я-, ¿¡с,, д,- - компоненты вектора внешней нагрузки, снесенной на срединную поверхность. Поперечные силы и <52 выражаются через моменты следующим образом:

= + а~1 д^М^, д2 = ОМ^ + а~%М„.

Заменами

У2= Л' 2/1 = 2/5 = (35)

г/т- , У* Е,к1-

система уравнений (34) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

? = (36)

аг

где IV - вектор, компоненты которого зависят от компонент вектора у и вектора внешней нагрузки Ц-

В этой работе рассмотрены два вида внешней нагрузки: гидростатическое внешнее давление рг и осевое сжатие р.. В этом случае в уравнениях (36), в пределах рассматриваемой теории, для гидростатического давления

Чг = "Рг, <1? = "РА, (-Ь = Рг&9, (37)

19

а для осевого сжатия

Ъ- =0, ^ = 0, = 0.

Обозначим через Уо (Рг) и ^о {'Рг) решение нелинейной осесимметрич-ной задачи при действии гидростатического давления или осевого сжатия соответственно. Решение уравнения (ЗС) отыскивается в виде

где г-формальный малый параметр.

Для определения критических значений рг = р* и рг = р*,, при которых происходит ветвление решения нелинейной задачи, компоненты вектора и отыскиваются в виде

где в индексах введены эквивалентные обозначения: 1 ~ г, 2 ~ 3 ~

После подстановки (40) в (39) и (30) получается система шести обыкновенных дифференциальных уравнений относительно Для дальнейших исследовании строится эквивалентная ей система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, коэффициенты которой неявным образом (через компоненты вектора г>о) зависят от 2 и р.

Задачи о существовании нетривиальных решений краевых задач для систем ОДУ методом прогонки сводятся к существованию нетривиальных решений линейных однородных алгебраических систем, и, следовательно, к задаче поиска нулей их определителей.

В качестве иллюстрации приведем расчеты для композита из стеклопластика со следующими значениями упругих постоянных: Е' = 3.7 •

10пН/м2, Е = 5.6 • 10°Н/м2, а = 3.4 • 10аН/м2, и' = 0.31, и = 0.32, и

геометрическими характеристиками: а = 0.01м, Ь = 10а, ¡г — 0.033о, где о, Ь, Л-радиус срединной поверхности, длина и толщина оболочки соответственно.

v = г>о + еи,

(39)

из = соз(пу>) + ът(тр) (] = 1,2,3),

(40)

г, гг = 0,1,...

На рис. 4 отражены результаты расчета критической нагрузки р* от параметра а. Кривая 1 отвечает биспирально-армированной оболочке, кривая 2 - спирально-армированной оболочке. Зависимости р*.(а) имеют глобальный максимум при а = 90°; при этом п = 2. На рис. 5 показана форма потери устойчивости спирально- армированной оболочки при а = 20° для случая внешнего гидростатического давления (при п = 2). Следует заметить, что на рис. 5 и ниже, на рис. 7, ориентация сетки, нанесенная на поверхность формы оболочки, не связана с углом армирования а, а определена особенностью построения графиков в среде Maple.

Рис. 4: Критическая нагрузка при действии внешнего гидростатического давления

Рис. 5: Форма потери устойчивости спирально-армированной оболочки при а = 20° для случая внешнего гидростатического давления (при п = 2)

На рис. 6 отражены результаты расчета критической нагрузки Р* (Р* = р*,Е'Н) от параметра а; при этом п = 4. Кривая 1 отвечает биспирадьно-армированной оболочке, кривая 2 - спирально-армированной оболочке. Кривые 1 и 2 имеют глобальные максимумы, соответственно, при а яз 27° и а » 31° и локальные максимумы, соответственно, при а 75° и а « 76°. На рис. 7 показана форма потери устойчивости спирально-армированной

Рис. 6: Критическая нагрузка при действии осевого сжатия

Рис. 7: Форма потери устойчивости спирально-армированной оболочки при в = 20° для случая осевого сжатия (при п = 4)

й ж

оболочки при а = 20° для случая осевого сжатия (при п = 4).

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Основные соотношения прикладных теорий Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рсйсснера для исследования волновых процессов в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией.

2. Метод построения дисперсионных кривых для оеесимметричных колебаний и отвечающих им элементарных решений, исследование влияния угла армирования на собственные колебания оболочки при однородных граничных условиях и решение задачи для оболочки конечной длины при возбуждении одного из торцов.

3. Метод построения дисперсионных кривых для изгибпых колебаний и отвечающих им элементарных решений, решение задачи о распространении гармонических волн в полубесконечной оболочке при кине-

матическом возбуждении торца и задачи отражения гармонических однородных волн от торца.

4. Прикладная теория продольно-крутильных длинноволновых колебаний для нахождения решения, отвечающего малым параметрам частоты и волнового числа, построенная на основе трехмерных уравнений теории упругости. Результаты анализа областей применимости прикладных теорий для исследования волновых процессов в ЦОВА.

5. Метод построения дисперсионных кривых на основе трехмерных уравнений теории упругости для исследования высокочастотных колебаний.

6. Метод исследования устойчивости спирально- и бненирально-армированных оболочек и результаты исследований при действии гидростатического давлении и осевого сжатия.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Панфилов И. А. Анализ собственных частот и форм цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией //' Труды IV Всероссийской школы-семинара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Допу: Изд. Терра Принт, 2008. С. 76-77.

2. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Отражение однородных воли от торца полубесконечной цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Труды XII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону: Изд. ЦВВР, 2008. Т. 2. С. 152-156.

3. Панфилов И. А. Колебания п волны цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Труды V Всероссийской школы-семинара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Дону: Изд. Терра Принт, 2009. С. 82-84.

4. Панфилов И. А. Собственные частоты и формы цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией с учетом усилий предварительного напряженного состояния // Сб. Трудов VII школы-семинара "Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика", 2009. С. 93-96.

5. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые динамические задачи для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией па основе, теории Тимошенко-Рейсспера // Труды XIII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону: Изд. ЦВВР, 2009. Т. 2. С. 156-161.

6. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые динамические задачи для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Актуальные проблемы механики. Естественные науки, 2009. С. 97-105.

7. Панфилов И. А. Длинноволновые низкочастотные колебания п полны в цилиндре с винтовой анизотропией // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов н/Д: НПО ПИ ЮФУ, 2010. Т. XV. С. 56-59.

8. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Колебания и волны в цилиндре с винтовой анизотропией // Акустический журнал, 2010. Т. 56. № 6. С. 759-766.

9. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Критические частоты и высоко частотные колебания для тел с винтовой анизотропией // Труды XIV международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-па-Дону. Изд. ЦВВР, 2010. Т. 1. С. 205-269.

10. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Исследование волновых процессов в цилиндре с винтовой анизотропией // Математический форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу, дифференциальным

уравнениям и их приложениям. - Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2010. С. 317-337.

11. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Исследование гармонических колебаний полого цилиндра с винтовой анизотропией па основе трехмерных уравнений теории упругости и анализ областей применимости некоторых прикладных теорий // Владикавказский математический журнал, 2011. Т. 13. Вып. 2. С. 35-44.

12. Гетман II. П., Корякин M. II., Мостипан Г. О., Панфилов И. А., Устинов 10. А. Некоторые задачи устойчивости оболочек со сложной геометрией и физико-механическими свойствами // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Актуальные проблемы механики. Естественные пауки, 2011. № 4. С. 24-31.

Подписано в печать 2.09.11. Формат 60 х 84 1/ю. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 110 экз. Заказ № 1922.

Отпечатано в типографии ЮФУ 344090, г, Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1. Тел. 247-80-51.

Перечень основных сокращений

Введение

1 Исследование колебаний тел с винтовой анизотропией на основе соотношений трехмерной теории упругости.

1.1 Основные соотношения трехмерной теории упругости для тел с винтовой анизотропией.

1.1.1 Механические и геометрические параметры материалов, используемые для численных расчетов.

1.2 Операторная форма записи основных соотношений и метод однородных решений для тел с винтовой анизотропией.

1.3 Длинноволновые низкочастотные колебания.

Прикладная теория продольно - крутильных колебаний.

1.4 Критические частоты и высокочастотные колебания.

2 Прикладные теории колебаний цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией.

2.1 Исследование колебаний цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией на основе гипотез

Кирхгофа - Лява.

2.1.1 Построение основных соотношений на основе гипотез

Кирхгофа - Лява.

2.1.2 Осесимметричные колебания и волны в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией.

2.1.3 Изгибные колебания и волны цилиндрической оболочки с винтовой в анизотропией.

2.2 Исследование колебаний цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией на основе гипотез

Тимошенко - Рейсснера.

2.2.1 Построение основных соотношений па основе гипотез типа Тимошенко - Рейсснера.

2.2.2 Осесимметричные колебания и волны в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией.

2.2.3 Изгибные колебания и волны цилиндрической оболочки с винтовой в анизотропией.

2.3 Оценка применимости прикладных теорий оболочек.

3 Задачи устойчивости для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией.

3.1 Основные соотношения нелинейной теории оболочек с винтовой анизотропией.

3.2 О методе определения критических нагрузок и форм потери устойчивости.

3.3 Некоторые результаты численного анализа.

Область применения композитных материалов постоянно расширяется. Конструкции из полимерных композитов используются в качестве несущих элементов и деталей машин, водных и наземных транспортных средств, строительстве и медицине. Постепенное вытеснение полимерными композитами классических конструкционных материалов (древесины, сталей, металлических сплавов и обычных видов керамики) обусловлено сочетанием в них целого ряда практически важных качеств, таких как высокое значение деформативных и прочностных характеристик, химическая и коррозионная стойкость, а также широкий спектр электрофизических и тепловых свойств. Не менее важным преимуществом композитов является их высокая эффективность как материалов, производимых из дешевых видов сырья.

Подробное описание принципов создания композитных материалов, сведения о составе, структуре, технологических процессах получения, физико-механических свойствах, а также примеров использования КМ в современных конструкциях приведено в справочниках [1], [2].

Широкое распространение в настоящее время получили оболочки, состоящие из армирующих элементов высокой прочности и жесткости и из менее прочного и жесткого связующего, обеспечивающего монолитность композиции. В качестве армирующих волокон применяются стекло-, угле, боро- и органопластики, скрученные жгутами из 100 — 200 волокон или различного переплетения рис. 1. Одним из самых распространенных и совершенных процессов изготовления высокопрочных армированных обо

Рис. 4: Схема продольно-кольцевой (продольно-поперечной) намотки: 1-оправка; 2-вертлюг катушек продольных лент; 3-катушка продольной ленты; 4-катушка кольцевой ленты; 5-наматываемая оболочка теории упругости, имеющий исключительно важное значение для анализа гетерогенных сред, получен Эшелби [5]. Им был предложен прием вычисления энергии деформирования систем, содержащих включения. Вопросам связи эффективных свойств гетерогенных сред разных типов с характеристиками их компонентов посвящено огромное количество работ. Фундаментальными в этой области можно считать работы Р. Кристенсе-на и Б.Е. Победри. В [5], [6], в частности, показано, что для определения эффективных модулей композита с достаточной точностью можно использовать процедуру усреднения по объему.

Задачей теории упругости анизотропных оболочек, как и задачей теории оболочек вообще, является изучение прочности, колебаний и устойчивости. Важной особенностью полимерных композитов является возможность варьирования их механических свойств в широких пределах за счет изменения состава, концентрации и взаимного расположения армирующих волокон. Поэтому, в этом случае добавляется задача определения оптимальных характеристик композита. Для армированной оболочки такими характеристиками являются механические свойства компонентов, их концентрация и угол намотки армирующего волокна.

Первые исследования в области колебаний армированных оболочек датируются 60-мы годами прошлого века. Так, например, в работах [7], [8] на основе линейной теории пологих оболочек получены соотношения для определения собственных частот осесимметричных колебаний спирально-армированной и биспирально-армированной оболочки.

В [9] рассмотрены осесимметричные свободные колебания свободно опертой по торцам анизотропной круговой цилиндрической оболочки. Для ортотропиой оболочки (когда в каждой точке оболочки главное направление упругости составляет с главным геометрическим направлением угол а-рис. 5) в этой монографии была получена приближенная формула для определения собственных частот колебаний. Автором монографии замечено, что "изменяя лишь ориентацию материала в теле оболочки, мы можем существенно изменить динамические характеристики оболочки".

Рис. 5: Ортотропная оболочка

В последнее время интерес к исследованию колебаний армированных оболочек усилился в связи с открытием явления винтового движения крови в артериальных сосудах. Авторы этого открытия формулируют его следующим образом [10]: "Теоретически и экспериментально обнаружено неизвестное ранее универсальное явление образования закрученного потока биологических сред в транспортных каналах человека и животных на примере сердечно-сосудистой, пищеварительной и мочевыделитсльных систем., обусловленное возникновением за счет трения соответствующих этому движению двух составляющих касательных напряжении при взаимодействии среды с волной скручивания, возбуждаемой в стенке канала сокращением спирально-ориентированных мышечных и эластических элементов". Причины, приводящие к винтовому движению крови, могут быть различными. В частности, в [11] содержится обзор работ, в которых показывается, что на участках, где артериальный сосуд имеет кривизну, возникает крутильная по отношению к оси сосуда составляющая скорости. В артериях, непосредственно примыкающих к сердцу, причиной винтового движения может служить вихревое движение в самом сердце, которое возникает во время систолы в силу отсутствия геометрической симметрии желудочка и симметрии механических свойств стенки сердца.

Вопросам, касающимся причин такого явления посвящено ряд работ Ю.А. Устинова. Согласно описанию структуры стенок артериальных сосудов, приведенных в [11], Ю.А. Устинов предложил рассматривать их как композит, упругие свойства которого обладают винтовой анизотропией. В рамках гипотез Кирхгофа-Лява им были получены динамические уравнения для оболочки с винтовой анизотропией [12]- [15] и в рамках безмоментпой теории в [16]- [17] были исследованы особенности волновых процессов, порождаемые винтовой анизотропией стенки сосуда. В частности, показано, что при пульсовом движении крови вследствие винтовой анизотропии появляется крутильная составляющая скорости стенки сосуда, которая в силу условия прилипания создает винтовой характер движения частиц крови вблизи стенки, если даже такая компонента отсутствует на входе в сосуд.

Следующей, не менее важной задачей при проектировании армированных оболочек, является расчет на устойчивость, в частности, при внешнем гидростатическом давлении и осевом сжатии. Такие виды нагружения представляют собой большой практический интерес. Например, корпус летательного аппарата подвергается на участке разгона действию сжимающих усилий, передающихся от двигателя. Равномерно распределенное внешнее давление характерно для корпусов подводных лодок, оболочек авиационных двигателей, резервуаров в химической промышленности при увеличенном внешнем давлении.

Вопросам устойчивости армированных оболочек посвящено множество научных работ. Например, в [9], [18], [19] приведены результаты исследования устойчивости пологих спирально- и биспирально-армированных цилиндрических оболочек. В них, в частности, показано, что на величины критических нагрузок и формы потери устойчивости существенное влияние оказывает угол намотки армирующих волокон. В работе [20] исследуется влияние структурной анизотропии (влияние количества слоев намотки) на устойчивость спирально-армированной оболочки при осевом сжатии. Эти результаты получены интегрированием соответствующих уравнений прямыми методами (Бубнова-Галеркина, Трефтца) в предположении, что основное напряженное состояние оболочки до потери устойчивости является безмоментным.

Однако, в [21] показано, что такой подход во многих случаях приводит к значительным погрешностям при определении критических значений внешних нагрузок и, поэтому, при исследовании устойчивости следует рассматривать полную нелинейную постановку задачи. Следует отметить, что для оболочек с винтовой анизотропией в окрестности точки бифуркации помимо осесимметричной формы появляется несимметричная и за-критическое поведение оболочки, как правило, является неосесимметричным. Появление несимметричных форм потери устойчивости существенно усложняет задачу, поскольку изначально необходимо построить решение нелинейной осесимметричной задачи, которая, как правило, не имеет простых аналитических решений. Необходимо также заметить, что задача об определении точек ветвления в нелинейных задачах для тонкостенных конструкций является одной из немногих задач, которые не удается алгоритмизировать в рамках МКЭ. Проблема состоит в сложности представления производной от матрицы жесткости (производной Фреше) в окрестности глубокого нелинейного моментного напряженного состояния.

Цель настоящей диссертационной работы состоит в следующем:

1. исследование некоторых особенностей гармонических волн и колебаний, порождаемых винтовой анизотропией;

2. оценка применимости прикладных теорий, основанных на гипотезах Кирхгофа - Лява и гипотезах Тимошенко-Рейсснера;

3. разработка численно-аналитического метода определения критических значений внешнего гидростатического давления и осевого сжатия для армированной цилиндрической (непологой) оболочки с винтовой анизотропией.

Задачи решались численно-аналитически. Численные расчеты проводились в пакете математических вычислений Maple и в среде разработки Delphi. Проведено сравнение результатов, полученных на основе различных теорий.

Следует отметить, что при исследовании колебаний численные расчеты проводились для аорты собаки (спирально-армированной оболочки), а при исследовании устойчивости-для композита из стеклопластика (как спирально - , так и биспирально-армированной оболочки).

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ и докладывались на XII, XIII, XIV Международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной среды"(Ростов-на-Дону-2008, Ростов-на-Дону-2009, Ростов - на - Дону-Азов-2010), IV, V, VI Всероссийских школах-семинарах "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете"(пос. Дивноморское-2008, 2009, 2011), Международной научной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования"(Владикавказ 2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической п прикладной механики (Нижний Новгород-2011) и опубликованы в работах:

1. Панфилов И. А. Анализ собственных частот и форм цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Труды IV Всероссийской школы-семипара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Дону: Изд. Терра Принт, 2008. С. 76-77.

2. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Отражение однородных волн от торца полубесконечной цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Труды XII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону: Изд. ЦВВР,

2008. Т. 2. С. 152-156.

3. Панфилов И. А. Колебания и волны цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Труды V Всероссийской школы-семинара "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете". Ростов-на-Дону: Изд. Терра Принт, 2009. С. 82-84.

4. Панфилов И. А. Собственные частоты и формы цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией с учетом усилий предварительного напряженного состояния // Сб. Трудов VII школы-семинара "Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика",

2009. С. 93-96.

5. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые динамические задачи для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией на основе теории Тимошепко-Рейсснера // Труды XIII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону: Изд. ЦВВР, 2009. Т. 2. С. 156-161.

6. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые динамические задачи для цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Актуальные проблемы механики. Естественные науки, 2009. С. 97-105.

7. Панфилов И. А. Длинноволновые низкочастотные колебания и волны в цилиндре с винтовой анизотропией // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета. Ростов н/Д: ИПО ПИ ЮФУ, 2010. Т. XV. С. 56-59.

8. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Колебания и волны в цилиндре с винтовой анизотропией // Акустический журнал, 2010. Т. 56. № 6. С. 759-766.

9. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Критические частоты и высокочастотные колебания для тел с винтовой анизотропией // Труды XIV международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". Ростов-на-Дону: Изд. ЦВВР, 2010. Т. 1. С. 265-269.

10. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Исследование волновых процессов в цилиндре с винтовой анизотропией // Математический форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям. - Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2010. С. 317-337.

11. Панфилов И. А., Устинов Ю. А. Исследование гармонических колебаний полого цилиндра с винтовой анизотропией на основе трехмерных уравнений теории упругости и анализ областей применимости некоторых прикладных теорий // Владикавказский математический журнал, 2011. Т. 13. Вып. 2. С. 35-44.

12. Гетман И. П., Карякин М. И., Мостипан Г. ОПанфилов И. А., Устинов Ю. А. Некоторые задачи устойчивости оболочек со сложной геометрией и физико-механическими свойствами // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Актуальные проблемы механики. Естественные науки, 2011. № 4. С. 24-31.

Из них статьи [6, 8, 11, 12] опубликованы в журналах из "Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук", утвержденного ВАК РФ.

Заключение

1. Васильев B.B. Механика конструкций из композитных материалов. М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

2. Углеродные волокна и углекомпозиты: Пер. с англ./Под ред. Э. Фит-цера. М.: Мир, 1988. 336 с.

3. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость.М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 192 с.

4. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 415 с.

5. Cristensen R.M. Mechanics of Composite Matherials. N.Y.: Wiley, 1979. Кристенсен P. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. 334 с.

6. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд- во МГУ, 1984. 335 с.

7. Сабирова P.C. Собственные колебания анизотропной цилиндрической оболочки // Исслед. по теор. пластин и оболочек. Сб. 5. Изд-во Казанского ун-та. Казань, 1967. С. 424-432.

8. Гонткевич B.C. Собственные колебания ортотропных цилиндрических оболочек // Тр. конф. по теор. пластин и оболочек. Казанский гос. ун-т. Казань, 1961. С. 124-129.

9. Амбарцумяи С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 448 с.

10. Багаев С.H., Захаров В.А., Орлов В.А. О необходимости винтового движения крови // Российский журнал биомеханики. 2002. Т. 6. К2 4. С. 30-51.

11. T.J. Pedley Sc. D. The Fluid Mechanics Blood Vessels. Cambridge University Press Cambridge London New York Rochelle Melbourne Sydney 1980.

12. Т. Педли Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. M.: Мир, 1983. 400 с.

13. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М.: Наука, 2003. 128 с.

14. Устинов Ю.А. Некоторые задачи для тел с винтовой анизотропией // Успехи механики, октябрь-декабрь 2003 г. С. 37-62.

15. Устинов Ю.А. Решение задачи Сен-Венана для цилиндра с винтовой анизотропией // ПММ, 2003. Т.67. Вып. 1. С. 89-98.

16. Устинов Ю.А. Некоторые задачи для упругих тел с винтовой анизотропией // Успехи механики, 2005. Т .2. № 4 С. 37-65.

17. Устинов Ю.А. Модель винтового пульсового движения крови в артериальных сосудах // Докл. РАН, 2004. Т. 398. № 3. С.344-348.

18. Устинов Ю.А. Модель развития движения крови в артериальном сосуде во время систолы с учетом винтовой анизотропии его стенки // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2006. № 2. С. 1-9.

19. Нарусбсрг B.JI., Тетере Г.А., Устойчивость и оптимизация оболочек из композитов. Рига: Зипатне, 1988. 299 с.

20. Бабич Д.В., Кошевой И.К., Устойчивость композитных оболочек с малыми искривлениями образующей. Киев: ВИНИТИ, 1986. С. 1-15.

21. Лопатин А. В., Демин А. Н. Влияние структурной анизотропии на устойчивость композитной оболочки при осевом сжатии // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева, 2005. № 3. С. 62-65.

22. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 373 с.

23. Пуриня Б.А., Касьянов В.А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов. Рига: Знание, 1980. 260 с.

24. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону. Издательство Ростовского университета, 1993. 144 с.

25. Данфорд Н., Шварц Длс.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Мир, 1962. 96 с.

26. Гринченко В. Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 283 с.

27. Мандельштам Л. И. Лекции по оптике, теории относительпостии и квантовой механике. М.: Наука, 1972. 437 с.

28. Ворович И.И., Вабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1973. 320 с.

29. Гольденвейзер А.Н. Теория упругих тонких оболочек.М.: Наука, 1976. 512 с.

30. Микер Т., Мейтцлер А. Волноводные распространения в протяженных цилиндрах и пластинах. Физ. акустика под редакцией У. Мезона. М.: Мир, 1966. Т.1. С. 140-203.

31. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 495 с.

32. Волъмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 880 с.

33. Гетман И.П., Карякин М.И., Устинов Ю.А. Анализ нелинейного поведения круглых мембран с произвольным профилем по радиусу // ПММ, 2010. Т.74. Вып. 6. С. 919-929.