Некоторые задачи по дифракции упругих волн на включениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 ол

І ч * * * М /^лл

9 О ¿.¡и,і . Академія наук України

Інститут математики

На правах рукопису

0РАЗШИЄВ АМАШЛИ

ДЕЯКІ ЗАДАЧІ ПРО ДИїРЛКЦІЮ ІТРУШМХ ХВШГЬ НА ВК.ШЕШЙХ

01.01.03- математична фізика

Автореферат

дисертації на здобуття на.уковогЬ ставня кандидата фізико-математичтсс наук

Киї9 - 1993

Робота виконана на кафедрі математичної фізики Київського університету ім. Іараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних-наук,

доцент ГОНЧАРЕНКО В.Ы. ' .

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичнпх наук,

. професор ШЕСТОПАЛ А.Ф.,

кандидат фізико-математичних наук, . ст. наук, співробітник КОЛОіЛЄЦЬ В.Г.

Провідна організація: Інститут гідромеханіки АН Уіфаїни.

Захист відбудеться " У "..........Оь ■ __ 1993 р.

о /іГ годині на засіданні спеціалізованої ради Д 016.50.02 цри Інституті математики АН України за адресою: .

252601 Київ 4, ПСП, вул. Терещенісівська, 3.

З диеєртаційп могла ознайомитись в бібліотеці інституту.

Автореферат розісланий " сА "_____ __ 1993 р.

Вчений секретар спеціалізованої рада

ЛУЧКА А.«.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В теперішній час задачі про дифракцію хвиль в пру;.ших тілах, які містять тріщини, включення та інші дефекти, представляють значний інтерес в зв'язку з проблемами різних областей техніки. Зокрема, це відноситься до проблем неруйнуючого контролю якості зварних з"сднань. Тому вивченая діагностики зварних з'єднань е в останні роки предметом дослідження багатьох відомих вчених. Серед них Вікто-ров 1.А.,гуэь A. H., teilet .Iß , На-гш.іі К > •

ман U.LI., £ок В.А., Чабанов В.8. та ін.

Серед різних методів неруйнуючого контролю великого розповсюдження набули ультразвукові методи, засновані на вивченні хвильових поліз, які збуджуються випромінювачем в ультразвуковому діапазоні. При цьому моиливе як збудження стаціонарного хвильового поля, так і збудження короткочасовіш імпульсом. Важливим елементом такого діагностичного методу е математична модель, яка дозволяє математичним шляхом вивчити особливості хвильового поля при наявності дефекту того чи іншого типу.

Математична модель задачі про дифракцім пружних хвиль па включеннях представляв собон деяку крайову задачу для рівнянь в частинних похідних. Можливості використання точних методів для їх розв’язання досить обмежені. Тому розробка та епрсбація наближених методів розв'язку таїш задач з метою’ контролю якості зварних з'єднань с цілком актуальной проблемою.

Мета роботи, • Розробка та теоретичне обгрунтування набли-кених методів розв’язку -крайових задач про дифракцію хвиль в пругких тілах, які містять включення. Створення математичного забезпечення для ЕСМ, яке дозволить реалізувати одержані а дисертації алгоритми. Дослідження питання стійкості розв’я&ктя різницевих схем. Аналіз результатів обчислюзальних експериментів, проведених на ЕОМ. ’ '

Наукова новизна та практичне значення. В роботі розроблена метовіха, гас а дозволяй вивчити особливості хвильового поля і По особливостях цього поля можна з високим ступенем ДРСЇОПІрНОГ’.тІ робити ШІСПО0КИ про наявність дефекту. Створено

математична забезпечення для персональних ЕОМ, використання якого дозволило зробити певні фізичні висновки. Результати обчислень монуть бути одержані безпосередньо на екрані персональної ЕОМ,

Одержані результати е новими і молугь ефективно використовуватися для розв’язання ряду конкретних задач неруйнувчого контролю.

, Захиііувані положення. Постановка крайових задач отасашх хвильових явищ. '

Розробка і обгрунтування иетоду зведення вказаних задач до відповідних різницевих схем. >

Створення математичного забезпечення для ЕОМ.

Проведеній обчислювальних експериментів ■ за одержаними ■, алгоритмами та аналіз результатів розрахунку. .

Апробація роботи. Основні,, результати дисертації доповідались і обговорюватись на наукової^ семінарі кафедри математично ї фізики Київського університету ім.Тараса Шевченка, на Українській конференції "Моделювання і дослідження стійкості процесів " /м.Київ,1992 р./, на науковоцу семінарі відділу математичної фізики та теорії нелінійних коливань при Інституті математики АН України- , а також опубліковані в роботах

& - о • .

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із введення, двох глав, списку літератури та додатка. Робота містить- 9У- сторінок друкованого тексту

та І і' малюнків. ' '

Список літератури містить 53. найменувань. Додаток міс- 1

тить текст програш. ,

ЗМІСТ РОБОТИ.

У вступі дано обгрунтування актуальності теми дисертації, сформульована мета дослідження, новизна одержаних результатів та їх прпк-гична цінність, пргаедені положення, .які виносяться на захист. коротко викладені основні результати та структура роботи; .

з

Перла глава дисертації присвячена математичному моделюванню в задачах про дифракцію хвиль в пружних тілах. Наведені постановка крайових задач та їх теоретичний аналіз, поняття узагальненого розв'язку' задач прухсних хвиль в твердому тілі, а також короткий огляд по різним характеристикам хвильових полів та їх дифракції.

Розглядається ізотропне пружне тіло, яке займав область і? в з границе» 'дії . В тілі розташований дефект,

який також е пружним ізотропним тілом. Він займає область ІЕ, , лка е підобластш £2 , так що основне тіло займає область ’

5^=524 5?^ . Вводяться в розгляд звичайні поля теорії

пр5,жності: поле вектора переміщень, поле Цх/і) тензора

деформацій, поле ‘СІх,~Ь) тензора напружень. Тут хе & , іьо .

_ Вектор переміщень Шзадовольняй в я диференціальне рівняння динамічної теорії пружності:

' . /^/ Далі, вводяться в просторі Я.4 змінних ’-хц , і циліндричні області «*>) , і-о^ ; 0^-9.

та доводиться наступна лема.

Лема ІЛ. Нехай задовольняє в 0^ рівнян-

ня динамічної теорії пружності. Якщо при цьому С">

А3 І-о,і > та (ЦЛ , ю ц задоЕольняз в класичному смислі в областях рівняння "

+ , /2/

де

Ц; - ~і^і і'^і) ¿IV -tj.il а] і? .

а на поверхні ' "Э.5- умова ' .

[£’(■(?>] = о . /3/ ,

Після чого зроблено Наступне формулювання задачі. '

Задача І.І, Нехай границя гд$£. їіла розбита па три частішії ненульозої міри: . Необхідно

знайти векторігу функція > яка задозольняз :

і / рівняння /2/, де 1,—о при , ¿>о ;

іі / рівняння /2/, до при , , і>а і

ііі / граничні умови

■ А

Ъо(ыЩЛ&)--° (**?*«) , (Х£Ъ&/) ; /4/

і V / початкові умови ■

й(х1р)^0 , '—Сх,с)^0 (ъсея)

ііу / ушви спрякення / 3 / на 'ЗЯ/ . , .

Задача ї.І, описує рух тіла з включенням під дією навантаженій , прикладеного на ділянці *Эгг^ • Це навантаження моделює вплив випромінювача, який знаходиться на ділян-

ці ЭЯ, •

Очевидно, задача 'І.І не моке мати класичного розв’язку Дійсно, класичне рішення - це функція класу . В си- ,

лу того, що граничні умови / 4 / змінюють свій характер при переході через границю ділянок »Ойг > • то неможли-

во гарантувати неперервність перших похідних рішення на Зі? • Однак має місце наступна теорема. •

Теорема Ї.І. Існує єдине узагальнене рішення задачі ЇЛ. \

Величина впливу для .лінійних задач, які розглядаються, не відноситься до числа якісно ватливих факторів. Напрям вектора ір' в реальних ситуаціях може бути різним: від нормального до дотичного. Пощ для вектора V можна приймати наступні вирази :

«Г* ИМ) сояЛ С , А'" Нм ,.%•%&), 1% 1*1 .

Функція 4.сі) описус обвідну впливу. Можна прийняти для простоти

Якщо , то вплив випромінювача на тіло носить не-

модульований гармонічний характер. В цьому вшадку знаходиться рішення задачі в вигляді: .

. » де Ї?В . Рівняння./ 2 / переходить у рівняння

(-^)І ■ / б /

■РІВНЯННЯ / б / утворює системі' рівнянь еліптичного типу. Однорідні умови сікдаоння зберігають свій вигляд:

' ^.

Таким чином, переходиш до наступної задачі. ^

Задача 1.2. ЗиаПм; ъекторну функцію іГ(-с) , яка задовольняв в областях /2. рівняниг. / б /, а на їх границях -граничним умовам / 5 / та / 7 /.

Далі, розглядаються різні характеристики хвильових чполів, зокрема, кінематичні та енергетичні.

Найпростішо» кінематичною характеристикой е поле вектора переміщень, тобто векторна функція л:—?и(х$) при фіксовано-

му і . Наііізагливішою енергетичною характеристикою хвильового поля є вектор потоку енергій. Його роль витікає із наступної леш. .

Л е м а 3.1. Нехай 52 -довільна область, заіінята пру::шим тілом, білїніііна форма ' &(Цлу) задається рівнянням

&&?) = $ П£.,,С<7) £,.,„($)ні*

я

та, відповідно, вираз -

представляє собою суі/іу кінетичної та потенціальної енергії тіла в цьому об"смі. Якщо об"еша сила дорівнює нулю, то

>

Вектор ^ носить назву вектора потоку енергії.

Друга .глава дисертації присвячена обдаслювальншл результатам рішення зад,ач про дифракцію пружних хвиль на включеннях.

В §3 розглянуто введений безрозмірних змінних. Д’ія практичної побудови рішення сформульованих задач Необхідно ваести безрозмірні зміни/. їх введення показується на прикладі конкретної задачі, яку мохна вважати частинним випадком за^ач •і/І та І.2.

З а д а ч а 2Л. Знайти векторну функцію ¡¿(х,і- ) , яка

задовольняє рішикші

/ /8/ прн 1-0 а О.0 .та при і--А з Р,4 , їїрч цьому повяі-.кі бути рнчопа.'іі- підлоВідні початкові та грзшічні уиоеи. ■ Початкові уно?:і прті'тши’ься нульовими:

&ХС)*0 , Ъ$(Ъ°)-0. ■ /9/

. є

Граничні умови складаються із. співвідношень на зовнішньому контурі прямокутника та співвідношень спряження на

контурі прямокутника ^ . Вони полягають в наступному.

Нишя_сторона тіла передбачається закріпленою:

Z(£f,0;¿)=rO lO¿XA Í -/} . / ЇО /

Бокові сторони тіла передбачаються вільюши від напружень:

> І'Щ' -t. \ , л

, Qkt „ f rr .t / II /

Вільні від напружень також ділянки верхньої кромки тіла, які не знаходиться ка ділянці :

\ Г,*<t' л-Ґ2І[г ^ J. ч її fí>¿4 - >

/ Î2 /

=° Oá^<í(, S^iâ-ic/} .

<7*4.

На ділянці випромінювач розвивав заданий силовий

чппяз. Це приводить до граничних умов: (

Л(Ш^ 'if ) - ¿ces ;

{; я, i*, ¿í\ } . •

/ їз /

Умови спряження на контурі прямокутника ¿2 А витікають із Д?М1 і .1. 1 . . '

Пі вертикальних- підрізках вони мають вигляд: -

ї r$¡Tt ) , 3¿ qui _ )■ ¡tâ sû'li

ї'ІТЩ '-гТГ, ) 4 ■Г‘0ЇІ~ЛЛ5% + ,Щ)* №

її J її , ?§і ) -, рі^А t-^Л )

u ' Т>*~ ;7 Т; / ^ І /

/14 /

на гориіоігтальмих ділянках «мвм спряження «зюіь вигляд:

W, v* • W <sr\ = л'(^ +¿Sj J+ *A 5gj ,

... / -15 /

, . ¿(JS'ty) ■

Співвіднотення / 9/-/45 / складають сукупність початковий та граничних умов в розглядуваній задачі 2.1.

Далі, розглядається стаціонарний аналог цієї задачі, який можна називати задачею 2.2. Система диференціальних рівнянь в задачі 2.2 замість / 8 / відповідно з / б / набуває вигляду:

£а:б#Л, '

(-4 ifro fres?, З • . / іб /

Початкові умови в цііі задачі ігноруються. Всі Однорідні граничні умови задачі 2.1 зберігаються. Граничні умови / ІЗ / замінюються наступними: •

) = ki¡’0 Ьії.'А;, j . 17 7

Таким чином, переходимо до наступної задачі .

Задача 2,2. Знайти векторну функцію І, яка задовольняла б співвідношення /І6/,/І0/,ДІ/,/І2/,Д4/,/І5/, /17/. . ,= ... ......._ в

' И §§¿,3 проведено побудову та обгрунтування різницевих схем на нерівномірній сітцірозв’язання шейх дає нш.шівість .одержати н«бля;.;і'ШіЛ розв’язок нестаціонарної задачі 2.1 та 2.2, яка в стаціонарним аналогом задачі 2.1. ■

Г'я віпиулаЕшл уззгальїґ’гного розв’язку стаціонарної задачі У,2 скледавтесл тріаційна-тотокність:

ф) $)?$ ?Л і Й '|| + у2£ 2£| +ЛШ и* -

0( ^ /-гг, г;і>і " "*

.Р •

V-rt -v-í, - - - ^

Дня- побудови різницевої схеші, яка апрокешдує дану задачу, скористаємося метолом переходу від / 18 / до сумарної тотожності. Такий і.;е?од побудови різницевих схем знаходить широке застосування в різних задачах математичної фізики та, зокрема, в задачах теорії предметі.

В скороченій иораі її молна записати в такому вигляді:

Ch<*)= А„-УВЬ . / 19 /

Тут мається на увазі, ідо сіткоііа векторна функція пред-

ставлена в вигляді VWV£). а компонентами і/і та ТА. є значення "j/J та -¡j" в вузлах сітки, природним чином пєрану- ■ меровані. Аналогічно представляється . Матриці

та В і, представлять собою *//&+<) 'рівнянь відносно ¡í AÍ+vj невідомих. - ,

Матриці Д ^ та gh е позитивно визначеними. Корені рівнян-

ditc^) s Ы(Аь-бхпь} - о / го /

представляють собою наближені значення частот власних коливань. Вони утворюють сукупність із tLj/lj-Ц у А^+і} позитивних чисел. Позначимо цю сукупність через , а сукупність точних значень частот власних коливань - через ^ .

Теорема ?-Л. Нехай h-(4*іїхҐ }

Мають місце наступні твердекення:

і / при любому 0¿ R рівняння / ІЗ / представляв собою ап~

■ роксимацію, яка сходиться при h-'O • іі/ якщо іОф.g та U>£Sh ти будь-яких A>U.V¿£R* > т0 Чя апроксимація е стійкою. ,

Дші розв’язання: нестаціонарної задачі 2.1 такоя застосовувався різницевий кзтод. Для цього рівняння / 8 / заяисуоію у вигляді

' П>3>'/9’ . ñr? - . / 21 /

а диференціальні опоратори визначаються рівністю

--[(Їі +$■ +& Ь]г

(Рівнядаш / 21 / апрокси.мується наступним різницеві;» рівнянням:

' ^ її ^ ^ О ' ! ^

Тут /Ц різницева апрогесмі/ація диференціального матричного виразу Л з врахуванням граничних умов. При цьому функції ці, які визначаються рівностяки ■

«Г|ВРЛ* (я-Гб^й,) , Г Ьм*# ¿эг^О ,

[о Є (ъфЪ**) ,

замінюються наступними ; _

х$г{)саз3£-4с , І*У,•?. .

Таким чином, залеотіть від і, .

Використовується індексна форма запису, в якій верхній індекс Ь) означає і-пгс . В даній індексній формі рівнянім /АХ / має вигляд: ' . ■

%**"= ^-мГ#"0- Xі”'? / 23 /

Д(3 гп- і,г ... ,

Пєша початкова-умова / 9 / зводиться до рівностей * ’ , /24/

яісі, очевидно, апроксицують її точно. Дія апроксимації з другим порядком другої початкової умови використовуються рівняння / 2-І /. Для цього відмітимо, що /У. . Т*«ПсГ . лгунл

и* -< -гЦ + Т ТгР + ; ' Л

Затгяем цю рівність для моменту часу "ЛгО. Дл.т визначення^ скористаємося другою початковою умовою, а дяя визначення '2-у - рівнянням / 2-і /. Тоді од.-рпшо

^ • . /25/

Співвідношення / 23 / - / 25 / утворюють шукану різницеву схему. .

Т.<? оре м а 2.2. Схга® /23/-/25/ стійка, якщо крок

■о чяосм задооольняз умову - ■ .

ґ<,„;„{[■£]’* ,[£Ґ}гі-

Де

іО

h = л» [ wí_n Ь,,к , 5 *

/«да £ /»л/ (Xi -3/-r) , /^д/,у2'3

&h Rh ' '

В § 4 наведені результати ряду пророблених чисельних експериментів. їх метою було вивчення особливостей хвильових полсй в області дефекту при різних уїло в ах збудження. Програш, складена на мові Tul&o-?íácíi¿ , передбачала виведення на екран наступної графічної інформації;

■ І/ вектора аі.шлітуди переміщень в вузлах сітки ;

. 2/ вектора"амплітуди потоку енергії в вуалах сітки ;

З/ "діаграм"направленості ", які характеризують властивості дефекту, пов"язані з випромінюванням ;

V аналогічні вектори, пов"язані з ",цоздоб:льою" та "поперечною" складовими вектора переміщень, '

Аналіз подібних -графічних результатів дозволяє зробити ряд конкретних висновків про особливості розповсюдження хвиль при наявності дефектів різного типу. . % . • ,v . ,

Користуючись нагодою, мелошіш адру вдячність науковому керівнику, доктору фізико- математичних наук Валентину Михайлович Гончаренку за постійну увагу до роботи та підтримку.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах: .

1. Гончаренко В,М.,Орг:згулыев А. Математическое моделирование в задачах о дифракции волны в упругои теле применительно

і: проблема!,! неразрушашцзго УЗ-коптроля .// Моделирование к исследование. уото йчиъ ости процессов і Тез.докл.кааференЦиь.-Киев, 26-28 мая IS98 г. - Киев, іууй.- 0. 4I-4:¿. -

2. Гончаренко ВД!.,Оразгулиев А. и др.Разностные катода в некоторых нелинейных задачах механики // Надо- ■ >.. ¿ - :>

Не Иные краевое, задача .матеттичзсксй физики и их. приложения,, Киев; ЇІН-Т математики АН Украшш, ІУ93. - 32-23.

3. Оразгулыез А,Решение задачи о дифракции волны в упругой