Нелинейная теория резонансного взаимодействия волна-частица в свободных сдвиговых течениях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

? V ^ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

\\0fl ^

гъ

ИНСТИТУТ КОСМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи.

УДК 532.526} 551.466; 551.511

ЧУРИЛОВ Семен Михайлович

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОНАНСНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛНА-ЧАСТИЦА В СВОБОДНЫХ СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ

Специальность С 1.04.02 - теоретическая физика

У

А

Автореферат

дассер'.зшш на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Институте солнечно-земной физики Сибирского отделения РАИ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ДОЛЗШЮКШ Феликс Витальевич (ИФА РАН, г. Москва)}

доктор физико-математических наук, профессор ЕРОХИН Николай Сергеевич (ИКИ РАН, г. Москва)!

член-корреспондент РАН РАБИНОВИЧ Михаил Израилевич (ИПФ РА1{, Р. Шший Новгород).

Ведущая организация - Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе,

г. Санкт-Петербург

Защита состоится 1994 г, в 10 чесов

на заседании Специализированного совета Д 002.94.01 Института космических исследований РАН по адресу! г. Москва, ул. Профсоюзная 8Д/32, ИКИ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИКИ РАН.

Автореферат разослан "

1994 г.

Учены'! секретарь Специализированного сонета

к.т.н. В.Е.Нестеров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Устойчивость сдвиговых течений жидкости служит предметом интен :ивного експершенталыгого и теоретического изучения на протяжении более ста лет. Неиссякаемый интерес к втой проблеме имеет две основные причины. Первая из них - вто огромное прикладное значение теории гидродинамической устойчивости, поскольку в рамках ее представлений изучается и описывается весьма обширный круг явлений буквально во всех областях естествознания и техники. Вторая же причина состоит в крайней математической сложности теоретического описания столь простого, на первый взгляд, явления, как развитие возмущений в сдвиговом течении. В результате теория устойчивости сдвиговых течений долгое время представляла собой набор разрозненных результатов и методов, носящих, как правило, довольно частный характер.

Главную трудность представляет сингулярность невязких уравнений на так называемом критическом уровне - поверхности, где фазовая скорость волны совпадает со скоростью течения. Путь к регулярному построению линейной теории устойчивости сдвиговых течений был 'открыт Линем (1945;, который, о помощью тщательного анализа рей-нольдсовых напряжений в объемлющем критический уровень тонком критическом слое (КС), получил правило обхода етой особенности. Ко все-таки переломным моментом в развитии теории было установление Кейзом (1960) и Диким (1960) того факта, что за устойчивость и неустойчивость сдвиговых течений отвечает резонансное взаимодействие волна-чзстица, понятие о котором ввел Ландау (1946) в своей классической работе о затухании плазменных волн, и, следовательно, правила обхода Линя и Ландау тождественны не только по форме, но и по физическому содержанию.

Работы Кейза и Дикого тюломим начало применении и развитии пл&зменно-гидродинамичеекой аналогии (Андронов и Фабрикант, 1979), позволившей сформулировать теорию гидродинамической устойчивости на обладающем высокой универсальностью языке коллективных: явлений (Тимофеев, 19?0, 1989), и ее теперь следует рассматривать в едшюм контексте общей теории коллективных процессов (Галееи и Сагдеев, 1973;Кадсмцев, 1976). Переход на новый качеотйен*шй уровень еткры'л

широкие возмоиюсти использования в теср'ди устойчивости сдвиговых течений идей и методов,•разработанных в других областях, и ускорил ее развитие. В результате линейная теоряя устойчивости на сего,дня в основном построена, к уне ее методы и результаты с успехом применяются, например, в физика плазмы (Тимофеев, 1979, 1985).

Сопоставляя теорию резонансного взаимодействия волна-частица в плазме и кидкости, необходимо отметить, кроме хорошо вырзиенного сходства, принципиальные отличия. Пожалуй, основное из них в том, что если в плазме волна резонирует о настоящими частицами (электронами к ионами), распределенными из-за теплового разброса в пространстве окорост.Й, то в жидкости в роли частиц выступают так называемые жидкие частицы, распределение которых по .скоростям "развернуто" в обычном пространстве. В результате в плазме простейшие задачи одномерны, а в кидкости - минимум двумерны, и уке в рамках линейной теории плазменному дисперсионному уравнению, полученному с помощью фурье-аналагза, соответствует в жидкости краевая задача на собственные значения с сингулярным оператором.

Что касается нелинейной теории развития неустойчивых возмущений, то трудности, обусловленные сингулярностью на критическом уровне, здесь еще больше, и успехов пока немного. Значительным шагом вггерад стало решение для так называемого стационарного нелинейного КС,' полученное Винни и Беркероном (1969) и независимо Дэ-висоы (1969) и детальное исследование его свойств и структуры (Ха-берман, 1972),которая оказалась полностью аналогичной структуре "плато", образующегося на функции распределения електронов по скоростям в результате их резонансного взаимодействия о монохроматической плазменной волной (Захаров и Карпман, 1962). К оожалению, относящийся к теории устойчивости результат втих исследований удалось сформулировать в виде правила обхода КС, и впоследствии немало усилий было потрачено на попытки построить нелинейную теорию устойчивости по примеру линейной, т.е. пользуясь каким-либо правилом обхода и не вникая в устройство КС. Лишь совсем недавно наметилось понимание того, что главная нелинейность создается как раз внутри КС, т.е. непосредственно в области резонанса волна-частица, и поэтому именно стой областью должна заниматься в первую очередь нелинейная теория.

Таким образом, большое значедие - с фундаментальной и практической точек зрения - проблемы нелинейной устойчивости сдвиговых течений и нынешнее состояние ее теории предопределяют актуальность теш диссертационной рг"5отн.

Цель работы - построение слабо-нелинейной теории резонансного взаимодействия волна-частица в свободных (без стенок) сдвиговых течениях с. большими числам Рейнольдса на основе последовательного эволюционного подхода, т.е. путем изучения развития неустойчивых возмущений первоначально очень малой амплитуды. Это включает в себя следующие задачи:

1. Провести качественный анализ общей двумерной задачи и построить на его основе классификацию сценариев вволюции двумерных возмущений.

2. В течениях с медленной эволюцией:

- вычислить уровни насыщения неустойчивости в зависимости от • надкритичности, изучить динамику возмущений, структуру и эволюцию КС с учетом различных факторов (0-в$фект, вкмановское трение, кривизна КС, вязкое уширениа течения);

- исследовать возможные пути дальнейшего развития возмущений в результате уь.личения надкритичности течения посла насыщения первичной неустойчивости.

3. В течениях с быстрой (взрывной) эволюцией вывести нелинейные эволюционные уравнения, построить и изучить их решения.

4. Исследовать возмущения в виде косой бегущей волны в трехмерном и "слабо-трехмерном" случае с целью изучения перехода между двух- и трехмерными задачами.

5. Проанализировать все возможные случаи эволюционного изменения режима КС и его следствия.

Иаунцая_Н2ШаЕ. диссертации определяется достижением поставленной цели. На основе качественного анализа развития двумерных возмущений в сдвиговых точениях, подкрепленного решением конкретных задач, впервые установлена связь между характером вволюции в целом и поведением нейтральной моды линейной теории ка КС. Показано, что: 1) в общем случае сингулярной на КС нейтральной моды вво-люция быстрая, т.е. после перехода на стадию нелинейного развития амплитуда возмущения растет взрывным образом, а оежим нелинейного

КС а ходе эволюции не образуется. Описывающее етот процесс нелинейное еволюционное уравнение имеет нелокальную (обладающую "память»") нелинейность. 2) Медленная эволюция, завершающаяся переходом а резшм не.такейного КС (перемешиванием захваченных волной ¡гадких чаатиц) и/или стабилизацией неустойчивости, реализуется либо при малой надкритичностн, либо в вырожденном случае регулярной на КС нейтральной моды, либо в тех течениях, где роль КС ослаблена.

В течениях о медленной эволюцией обнаружен и исследован' новый механизм стабилизации в режиме нелинейного КС, обусловленный конечностью ширкни области неустойчивости на профиле абсолютной завихренности. Изучен«, влияние вкмановского трения на структуру дис-еипативного и нелинейного КС, а также ка развитие возмущений в етих режимах. Проведен последовательный учет вязкого ушрения течения и его влияния на пространственную эволюцию неустойчивых волн На основе простой двухмодовой модели предложена елабокелинейная интерпретация наблыдающегося в эксперименте изменения симметрии течения при дальнейшем повышении надкритичностн после стабилизации первичной неустойчивости.

,Быстрая эволюция двумерных возмущений изучена на практически важном примере стратифицированного течения. Выведено нелинейное ¡эволюционное уравнение с нелокальной (обладающей "памятью") нелинейностью и впервые исследовано поведение решений уравнений такого типа. Показано, что независимо от "стабилизирующего" или дестабилизирующего знака нелинейности уравнения этого вида дают взрывной рост амплитуды возмущения.

Исследована вволюция возмущений, сингулярность которых обусловлена трехмерностью, и установлен ее взрывной характер. Проанализированы условия "трехмерности" возмущен"« в виде одиночной бегущей косой волны, изучено развитие слабо-трехмерных возмущений этого типа, и тем самым впервые в теории устойчивости сдвиговых течений установлен непрерывный переход между эволюционными задачами разной размерности.

На регулярной основе изучено изменение режима КС в ходе развития возмущения и его следствия. В частности, впервые исследована редукция нелинейности в вволюционном уравнении при переходе в решим нелинейного КС и проанализирована роль внешних диффузионных

слоев как в формировании нелинейности, так и в ее реду!сции. Обнаружен и изучен новый тип эволюции о переходом (по мере роста амплитуды) в ремы нелинейного КС из стадии взрывного роста в режиме нестационарного КС.

оертации в том, что она оодеркит систематическое построение с единых позиций слабонелинейной теории развития как двумерных, так и трехмерник неустойчивых возмущений в свободных сдвиговых течениях при больших числах Рейнольдса с учетом большинства существенных для етого процесса факторов. Ранее в данной области были известны лишь отдельные разрозненные и зачастую противоречивые результаты. При этом обнаружена важная взаимосвязь между линейными и нелинейными свойствами, принципиальная как для понимания изучаемой з диссертации проблемы, так и для общей геории коллективных явлений, и совершенно неизвестная ранее.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы в приложениях к различным разделам астрофизики, планетарной геофизики, гидро- и аэромеханики и уже используются в работах советских я зарубежных авторов.

давались на сешнарах ИСЗФ СО РАН, ИА РАК, ККИ РАН, ИФА РАН, ИО РАН, ИПФ РАН, ИАиЭ СО РАН, на Всесоюзной конференции "Проблемы стратифицированных течений" (Юрмала, 1988), VI и VII Школах-семинарах "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Колюбакино, 198Ö; Звенигород, 1990) на III и IV Школах-семинарах "Метода гидрофизических исследований" (Светлогорск, 1989 и 1992), XVIII Международном Конгрессе по теоретической и прикладной механике (Хайфа, Иараи;' !, 1992), Рабочем совещании по гидродинамике (Триест, Италия, 1994).

пяти глав, заключения и трех приложений. Она содержит 199 страниц текста, 38 рисунков. Список литературы включает 159 наименований. Общий объем диссертации 257 страниц.

¡a&rnu Научное значение дио-

Излокенные в диссертации результаты докла-

Л Диссертация состоит из введения

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический ококурс в проблему, обосновывается актуальность темы дасоертацяи, сформулированы конкретные цели работы, очерчен круг задач, решаемых в каждой из глав.

Глава 1 посвящена, во-первых, обогащению выбора моделей течения и применимости к их исследованию елабонелинейной теории и, во-вторых, качественному анализу общей задачи эволюции двумерных возмущений и вытекающей из него классификации возможных сценариев эволюции [1,8].'

Е §1 кратко рассмотрены модели течений, обосновывается необходимость учета различных реально важных факторов (р-еффекта, стратификации, вязкого уширения профиля и т.д.), а таете пределы применимости слабо-нелинейной теории к изучению этих моделей в случае временной и пространственной постановок задачи об еаолюции возмущений.

В §2 введены основные поки'.ля, связанные о наличием облаоти резонаноа волна-частица (т.е. КС), обосновано существование трех различных режимов КС и получены модельные нелинейные эволюционные уравнения (НЭУ) для каждого из этих режимов.

Из линейной теории хорошо известно, что в сдвиговом течении и(У) неустойчивыми могут быть только возмущения с длиной волны больше или порядка ширины сдвигового слоя. Пограничным между устойчивыми и неустойчивыми является тек называемое нейтральное возмущение, или нейтральная мода, синусоидальная по я и имеющая "мо-довую" структуру по у, определяемую профилем и(у). Применение в качестве инструмента исследования слабонелинейной теории делает невязкую нейтральную моду исходным пунктом анализа: воя нелинейная теория отроится как теория возмущений по 1) малой амплитуде, 2)ма-лой надкритичности и 3) малой вязкости. С-.азываетоя, что структура ■ашеЯной нейтральной моды определяет характер нелинейного эволюционного поведения возмущений.

Описывающие нейтральную моду линейные невязкие уравнения (например, уравнение Редея или уравнение Тейлора-Голдстейна) оингу-л рны на критическом уровне у=у0, где скорость потока совпадав г о фазовой скороогыо с возмущения: и0а и(у0) - с; в общем случае син-

гулярна сама нейтральная мода. Физически это означает необходимость учета внутри КС либо вязкости, либо нестациоиаркости, либо нелинейности. Какой из етах факторов главный, определяющий структуру КС, зэеисит от топо, какой из масштабов •

z„= I =■ 7 s \A'ióJ/á^ |, l* A4 (0<tjs2/3)

к t N

больше - вязкий 1„, нестационарный I или нелинейный 7. ,. Соответо-

к i и

твенно КС будет вязким, нестационарным или нелинейным и будет иметь соответствующую толщину I. Здесь-о « 1 - обратное число Рей-нольдса, - амплитуда, £ - ВЕОдюциснная переменная (í при временной и ж при пространственной постановке задачи);все величины обез-размерены на характерные скорость и ширину течения. Значение о определяется характером особенности нейтральной мода при у ~ yQ.

Пока амплитуда А достаточно мала, возмущение растет о линейным инкрементом )L в режима вязкого (vL< У1'3) или нестационарного (VL> Vl/3) КС, а НЭУ представляет собой уравнение Ландау (1944)

' = ilA + а\А1гА .

в правой части которого нелинейный член пока еще мал по сравнению с линейным (неконкурентоспособная нелинейность). Режим же нелинейного КС, реализующейся лишь при достаточно•большой амплитуде, означает формально ZN» Zt), а физически - что скорость нарастания волны (и захвата ею новых «едких частиц) стала меньше скорости перемешивания уже захваченных частиц. Такая задача уже решалась в физике плазмы (Онищенко и др., 1970; Сагдееа и др.,1970), и известно, что в атом случае правая чаоть НЭУ - сложная функция .4. Рассматривая уравнение Ландау как разложении, этого НЗУ при 1^/1 « « 1, получаем:

а

> 2 / (f ^ | Á' Л 4+ + + v0*1* (1)

Константа Ландау ja( =» |bl/l2/q\ » 1, и вто прямое следствие резонанса волна-чвотица.

ПЗУ (1) является точным в режиме вязкого КС (I*t>1''3} и лить символической записью НЭУ в режиме, нестационарного КС OZ ):

Л i ~ Ф 1 _

Ц « + bjd? С fM K(ff)A(5-cMU-ffCM(5-( 1+°)С) + ••• (2)

Главная особенность (2) - нелояльность по £ нелинейного члена: он обладает "памятью", т.е. определяется всей предысторией развития возмущения. Ядро K(ff)=0(1) отражает специфику кошсретнсй задачи; в "пределе неконкурентоспособной нелинейности (It»y.) ПЗУ (2) переходит в (1).

Уравнение (1) выведено в предположении сингулярности нейтральной моды на КС. В ряде течений (например, практически во всех течениях однородной несжимаемой жидкости о монотонным профилем скорости) нейтральная мода регулярна на КС (q=1/2) и из-за отого нелинейна член НЭУ редуцируется-'в Z3 раз. Соответственно, константа Ландау а»Ь /X. LjryT быть и другие случаи редукции. Так,' в задаче о ветровых волнах нейтральная мода сингулярна, но КС находятся в воздухе, и редуцирующий фактор равен отношению плотностей воздуха и воды (Реутов, 1980,1982). Эти случаи названы вырожденными.

Есть также течения с частичной редукцией нелинейности (например, только ее кубического члена); один такой пример рассмотрен в главе 3.

' В S3 строятся сценарии эволюции возмущений в общем и вырожденном случаях. В общем случае нелинейность в (1) становится конкурентоспособной (т.е. одного порядка с у А) уже при очень маленькой амплитуде (когда все еще lH « , Z ), а именно

соответственно, после чего развитие возмущений переходит на нелинейную стадию (но КС по-прежнему остается линейным - вязким ила нестационарным). В рэкиме вязкого КС волна либо стабилизируется (при Rebt<0), либо (при йеЬ >0) растет дальше взрывным образом, А ~ (CQ-C); в рекиме нестационарного КС рост всегда взрывной, А ~ (?0-С)"1/а"1/ч, и настолько быстрый, что I » 1}1 вплоть до л~-0( 1), где слабонелшейная теория уже неприменима. Подчеркнем, что отот взрывной рост обусловлен нелинейным.оамонлздайгхгвием вол-ш (Моисеев и др., 1963). Такая эволюция названа быстрой.

В вырояденном случае нелинейность в (1) конкурентоспособна лишь щм очень малой кадкритичности (?L< 1>в/3), в остальной же облети изменения происходит (с ростом амплитуды) переход в р-чким нелинейного КС; при втом вксноненциалыгай рост сменяется степенным, А ~ |-а/3 (Уерре и Скотт, 1980). Такая вволюция названа мед-

ленной.

Обсуждение и выводы даны в § 4.

Результаты главк 1 получены совместно о И.Г. Шухманом (1,8).

Глава 2 посвящена анализу развития возмущений в конкретных течениях с медленной вводящей.

В 91 на примере зонального сдвигового течения на ^-плоскости изучен новый механизм стабилизации в реазше нелинейного КС, обусловленный конечной Афиной области неустойчивости на профиле абсолютной завихренности. Следует отметить, что задача о зональном сдвиговом течении почти идентична задаче о раскачке монохроматической плазменной волны пучком электроноз (Онкщенко и др., 1970; Сагдеов и др., 1970), причем роль функции распределения играет абсолютная завихренность 0 » слагающаяся га планетарного

вихря {-(>у) и завихренности собственно течения (и^), а раскачка неустойчивости происходит, если й'(ус) з и^-р > О, и ведет, после перехода в режим нелинейного КС, к формированию плато на профклз й (Чурилов и Шухмэн, 1985). В отличие от плазмы, области й'<0 и й'>0 не разделены широкой "долиной" А'« 0; а находятся совсем рядом, и при малой надкритичнооти 0' « 1) промежуток настолько мал, что плате перекрывает его у»е при А =» н рост волны прекращается.

Большинство результатов §1 получено автором самостоятельно [5,6]; переход в реаям нелинейного КС изучен совместно о И.Г. Шухманом [2].

В §2 рассмотрены изменения структуры дкссшатквного и нелинейного КС и вычислены уровни насыщения неустойчивости а случае, когда вкмаковокое (донное) трение "работает" наравне о обычной вязкостью или даже является-главным механизмом диссипаций [5,73, что часто бывает в геофизике и лабораторном эксперименте (Долкан-скийидр., 1990).

Результаты £>2 получены автором самоетоятельнс. [5,7].

Роль кривизны Ки и вязкого ушкрения профиля течения изучается в §3 на примере аксиалыю-епшетркчкой струи. Основное веяние на эволюцию возмущений оказывает уширеняе струи, за счет которого грашща устойчивости смещается в длинноволновую область, а линейный (пространственный) инкремент неустойчивого в месте генерации

(®=0) возмущения убывает вниз по течению, 7L=7LO(1-аУж), коэффициент а = 0(1), и на некотором расстоянии awe меняет знак. При

W Tft

амплитуда волны максимальна. Выводятся соответствующие НЭУ и рассматриваются случаи достижения х в режиме как вязкого, так и

Hi

нелинейного КС.

Результаты §3 подучены автором самостоятельно и опубликованы в виде приложения к совместной с И.Г. Шухманом работе [11].

Наконец, §4 посвящен исследованию перестройка структуры возмущения. при изменении, надкритичнооти течения после стабилизации первичной неустойчивости. На основе рассмотрения простой двухмодо-вой модели дана слаболшейная интерпретация закономерностей наблюдающегося в экспериментах (Неэлин, 1986; Долмзнский и др., 1990) изменения вихревого узора в круговых сдвиговых течениях при увеличении и уменьшении надкритичнооти.

Результаты §4 получены совместно с И.Г. Шухманом [9,10].

В главе 3 подробно изучается быстрая еволюция двумерных возмущений на примере слабонадкритического стратифицированного сдвигового .зчешя [3,4].

§1 поспящен качественному анализу и постановке задачи, а такие построению решения во внешней области (вне КС).

Подробное построение полного внутреннего решения в ре»мме нестационарного КС дано в § 2. Выясняется, что внутренняя задача имеет определенную симметрию, нарушаемую диссипацией (вязкостью и теплопроводностью). В результате кубическая нелинейность приобретает множитель (Iу/1)3, совершенно несущественный в режиме вязкого КС (1=1у), но редуцирующий кубичеокую нелинейность в режиме нестационарного КС (X ~ I » гу), так что в уравнении (2) необходимо учитывать еще и нелинейность ~ Лъ. Приводится детальный вывод соответствующего НЭУ»

В § 3 изучаются и подробно обсуждаются решения полученного НЭУ. С помощь» асимптотического анализе и прямым численным рассче-том показано, что еволюция, описываемая НЭУ типа (2) с нелокальной нелинейностью, носит взрывной характер дече при Ь(<0 (в рассматриваемой эадвче все коеффмциенты в НЭУ и ядро К(а) вещественны). На начальной стадии нел1шейного развития такая "стабилизирующая" нелинейность вызывает не только замедление роста, но даже убывание

А. Однако, когда А обращается в нуль, нечлнейный член, благодаря "памяти", все еще отрицателен, и А меняет знак и увеличивается по модули до тех пор, пока нелинейный член (точнее, правая часть) не сменит знак. Точно так же "проскакивается" положение /«О в обратном направлении, и эволюция представляет собой колебания, размах которых растет и стремится к бесконечности за конечное время. Вступление в игру нелинейности Л5 несколько меняет эту картиьу, не меняя результата - взрывного роста возмущения. Сценарии взолицик в разных диапазонах яздкритичнооти уи детально проанализированы.

Результаты главы 3 получена совместно с И.Г. Шухмонсм [3,4].

Глава 4 посвящена исследованию пространственной эволюции трехмерного возмущения в виде косой волны на примере винтовых возмущений акоиально-оземетричной струи однородной несжимаемой кпд-кости [11]. Е рассматриваемом течении эволюция двумерной (к=0) волны медленная. Трехмерные возмущения, хотя и не являются (согласно теореме Сквайра, 1933) самыми неустойчивыми в линейном приближении, имеют сингулярность и поэтому могут эволюционировать быстро, а следовательно, могут играть главную роль в развитии течения.

В §1 подробно обоснованы постановка задачи и выбор модели, исходя из того, что не всякая косая волна эволюционирует быстро. В частности, косое возмущение вида /=/(з,у,£), где хоо&Ф + гзгпф, в течении их= и(у) ведет себя так же, к&„ч двумерное, в

течении и(у)ооаф, на чем и основана теорема Сквайра. Возмущение в виде стоячей по г волны сингулярно и растет взрывным образом как при пространственней (Голдстейн и Чой, 1989), так и при временной (Ву и др., 1993) постановке задачи об вволюции. Возмущение же в виде косой одиночной волны будет сингулярным, по крайней мере, в двух случаях: если его амплитуда эволюционирует вниз по течении (по х, а не по з), т.е. /=Л(а?)е1к5"'а1 в линейной теории, или если направления х и 2 неравноценны, как, кап; :ыер, в случае' прямых линий тока и искривленного (окажем, цилиндрического) КС. С целью охвата обеих яоэмоккосте»! рассматривается эволюция вниз по течению-винтового возмущения гмсиально-симметричной струи, создаваемого при 2^0 внешним иоточкг-.ом, частота которого подобрана так, чтобы оно было слабонйдкритичесшм.

В §2, как необходим*.-: подготовка, рассмотрена идейная теория, с акцентом на свойства слабонадкритичее'ких мод.

В §3 выводится единое ПЗУ для линейных (вязкого и нестационарного) рекимов КС. Нелинейный член в нем пропорционален кЪт^/г'^ (г - радиус КС, п - азимутальное число),4 т.е. главная нелинсй-нооть обусловлена трехмерностью возмущения, причем "эволюционный" вклад в нее равноправен со вкладом за счет кривизны КС.

В §4 получены предельные формы ГОУ для реязаюв вязкого (уL <•{ у1/3) к нестационарного (у » КС и проанализирована описываемая ими вволюция возмущений. В ревиме нестационарного КС НЭУ имеет вид (2) с q=1/2 и взрывные решения. В режиме вязкого КС при гс= 0(1) главный нелинейный член локален (КЭУ имеет вид уравнений Ландау), но он определяется исключительно кривизной и при г0"\} исчезает. Тогда главной становится (в режиме вязкого КС!) нелокальная нелинейность с "памятью"

flj^)la = 2yLM(«)|a - C'VU-Ol3! ь>°.

что объя зяется особой ролью так называемых внелних диффузионных слоев в формировании нелинейности трехмерных возмущений (см. главу 5). Нелинейность стабилизирующая, но ие останавливает, а только замедляет рост амплитуды: экспоненциальный рост при ¿=Q(ywV3/4) сменяется степенным, Л ~ £ , который продолжается вплоть до перехода в режим нелинейного КС при А = 0(¿>2/3).

Результаты главы 4 получены совместно с И.Г. Шухмэном (11).

В Главе 5 изучается нелинейная пространственная вволюция слабо-трехмерных возмущений в виде косой бегущей волны (|fc l«|fc |) в плоском слое смешения. Трехмерная нелинейность в НйУ (пропорциональная б втом случае ослаблена к двумерная моьдаг с ней конкурировать. Таким образом, представляется возможность исследовать, во первых, новые элементы в картине развития возмущений, такие как переход в режим нелинейного КС из нелинейной стадии развития, в том числе и взрывной, и, во-вторых, трансформацию сценариев эволюции в целом при непрерывном переходе от дрчмерной задачи к трехмерной [12].

Качественному анализу конкуренции двух- и трехмерной нелинейности посвящен §1.

В §2 проблема сформулирована математически, выведены основнш уравнения для внешней и внутренней задач и представлены результаты решения внешней задачи.

Содержание §3 составляют построение решения во внутренней об-' ласти, состоящей из квазистационарного нелинейного КС и прилегающих к нему с дзух сторон внешних диффузионных слоев (в которых эффекты вязкости и нестационарнооти одного порядка), и вывод иУ в режме нелинейного КС. Задача принципиально отличается от рассматривавшихся ранее тем, что перед переходом в режим нелинейного КС нелинейность в НЭУ у:т конкурентоспособна, и при переходе происходит не только у:ке известная редукция днкремекта (Хабврман, 1972), но и не исследовавшаяся еще трансформация нелинейного члена. Тщательный анализ вклада в формирование нелинейного члена как самого КС, так и диффузионных слоев, показывает, что при переходе в режим нелинейного КС он редущфуется .дважды (т.е.,' грубо говоря, если » Фу^, то N1 —» Ф2Д1, где Ф - редуцирующий фактор, III -нелинейный член НЭУ).

В §4 на основе эволюционных уравнений для всех трех режимов КС строятся сценарии эволюции возмущений в зависимости от и у^, прослеживается и анализируется трансформация этих сценариев при переходе от двумерной задач:! к трехмерной. Обседаются тягаче другие задачи, где может наблюдаться (о изменением управляющего параметра) переход от медленных сценариев вводят, к смешанным и быстрым.

Результаты главы 5 получены совместно о И.Г. Шухманом [12].

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложениях приведены некоторые вспомогательные вычисления и формулы.

Основные результаты диссертации заключаются з следующем.

1. Выработана и последовательно реализована концепция эволюционного подхода в задаче о слабонелкнейном развитии возмущений в течениях с большими числами Рейнольдса, включающая самосогласованный учет смены режима критического слоя з ходе эволюции.

2. Установлена связь между наличием и типом сингулярности нейтральной моды линейной задачи и характером нелинейно? эволюции неустойчивых двумерных оз'мущений ь свободных сдвиговых течениях. Предложена классификация сценариев эволюции, основанная на сьойст-

вех нейтральной мода.

3. Обнаружен и исследован механизм стабилизации неустойчивых возмущений в режиме нелинейного критического слоя за счет конечности ширины области положительного наклона профиля абсолютной завихренности. Изучено формирование нелинейного критического слоя в случае, когда основным механизмом диссипации является вкмановское (донное) трение. Выведены уравнения и получены их решения, 'описывающие эволюцию'неустойчивых возмущений в режимах как диссипатив-ного, так и нелинейного критического слоя о учетом ¡}-вффекта и при произвольно« соотношении внутреннего и внешнего (донного) трения.

4. Предложена и исследована слабонелинейная двухмодовая модель для интерпретации вкопериментально наблюдаемого изменения симметрии кругового сдвигового течения при вариации (увеличен™ и последующем уменьшении) надкритичности течения после насыщения первичной неустойчивости.

5. На примере стратифицированного сдвигового течения выведено нелинейное эволюционное уравнение с нелокальной (обладающей "памятью") нелинейностью, получены и проанализированы его решения. Показано, что описываемое уравнениями этого типа развитие возмущений носит характер взрыва независимо от знака нелинейного члена.

6. В модели аксиально-симметричной струи получено нелинейное, уравнение, описывающее еволюцию трехмерных возмущений типа бегущей волны (винтовых) с учетом кривизны критического слоя. Показано, что, в отличие от двумерного случая, нелинейность в нем обладает "памятью" даже в режиме вязкого критического слоя. Установлено, что такая нелинейность обусловлена особой ролью внешни*, диффузионных слоев в динамике трехмерных возмущений.

7. Выведены уравнения, описывающие нелинейное развитие трехмерных и слабо-трехмерных возмущений в свободном слое смещения. Изучена смена сценариев еволюции в процессе непрерывного перехода от двумерных к трехмерным возмущениям. Обнаружен и проанализирован переход в режим нелинейного критического слоя из стадии нелинейного развитие возмущения, в том Числе из строки взрывного роста. Получены формулы, описывающие трансформацию нелинейного члена еволю-щю^лого уравнения при переходе в режим нелинейного критического слоя.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Churilov S.M., Shukhman 1.0. Note on гсезк1у nonlinear stability theory of a ire? mixing layer. // Proo. itoy. Soo. London. 1937. Vol. A409. P. 351-36?.

2. Churilov S.M., Shukhmn I.G. The nonlinear development of . disturbances in a sonal shear flow. // Geophys. Astrophys. rluid Dyn. 1987. Vol. 38. P. 145-175.

3. Чурилов c,M.. Шухман И.Г. Нелинейна/ теория возмущений для слабоиадаритического стратифщированяого сдвигового течения. // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293. С. 1372-1378.

4. Churilov S.M., Shukhman I.G. Nonlinear stability o£ a stratified shear flow in the regime with unsteady critical layer. // J. Fluid Keoh. 1983. Vol. 194. P. 187-216.

5. Чурклов C.M. О нелинейном насыщении баротропной неустойчивости зонального сдвигового речения. // Третья Всесоюзная школа-семинар "Методы гидрофизических исследований". Тезисы докладов. Калининград. 1989. Т. 1. С. 112-113.

6. Churilov S.M. The nonlinear stabilisation of a aonal shear :'low instability // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1989. Vol. 46. P. 159-175.

7. Churilov S.M. The influence of Ekman dissipation on the development of perturbations in a zonal ойваг flow. // Geophye. Astrophys. Fluid Dyn. 1989. Vol. 4b. P. 177-190.

8. Churilov S.M., Shukhman I.G; Critical layer and nonlinear evolution of disturbances in weakly supercritical ehear flows. // XVIII-th International Congress of Theoretical and Applied lieohanioe. Abstracts. Haifa, Israel. 1992. P. 39-40. Препринт ИСЗФ CO РАН. Иркутск. 1993. N 4-93. 36 с.

9. Churilov S.M., Shukhman I.G. On a weakly nonlinear interpretation of mode alternation in a circular shear £1M.jf XVIII-th International Congress of Theoretical 3nd Applied Mechanics, Abstraote. Haifa, Israel, 1992. P. 39.

10. Churilov S.M., Shukhman I.G. Weakly nonlinear tneory of the alternation of mode", in a circular ehear flow.// J. Fluid ■iecii. 1992. Vol. 243. P. 155-169.

11. Чурилов С.М., Щухман И.Г. Нелинейная пространственная эволюция винтовых возмущен;® аксиально-симметричной струи, // Препринт КСЗФ СО РАН. Иркутск. 1993. И 3-93* 45 с.

12. Чурилов С.М., Шухман И.Г. Трехмерные возмущения в слое смещения: новый тип еаолкции в режиме нелинейного критического слоя. // Препринт ИСЗФ СО РАН. Иркутск. 1953. N 6-93. 38 о.

Множительный участок ИСЗФ Заказ * 368 от 10.06.94 Объём 18 с. Тираж 100 екз. Бесплатно.