Нелинейная устойчивость многозвенных систем с качением, дивергентные бифуркации и катастрофы стационарных состояний тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

НАЦГОНАЛЬНА АКАДЕМ1Я НАУК УКРАШИ ШСТИТУТ МЕХАН1КИ ím. С.П. ТИМОШЕНКА

На правах рукопису

ВЕРБИЦЬКИЙ Володпмир Григорович

УДК 531.011

НЕЛ1Н1ЙНА СТ1ЙК1СТЬ БАГАТОЛАНКОВИХ СИСТЕМ 3 КОЧЕННЯМ, ДИВЕРГЕНТН1 Б1ФУРКАЦ1Т ТА КАТАСТРОФИ СТАЩОНАРНИХ CTAHIB

01.02.01 - теоретична мехашка

АВТОРЕФЕРАТ дисертацп на здобуття наукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук

Khïb 1998

Дисертащею е рукопис. Робота виконана в

Науковий консультант -

Офщшш опоненти:

Гнституп мехашки iM. С.П. Тимошенка Нащонально1 академп наук УкраТни i в КиГвському шституи зал1зничного транспорту, доктор ф1зико-математичних наук, професор Лобас Леошд Григорович, Кшвський шститут зашзничного транспорту, завщувач кафедри.

доктор фхзико-математичних наук, професор Берб'юк BiKTOp Свгенович, 1нституг прикладних проблем MexaHiiai i математики iM. Я.С. Гйдстригача HAH УкраТни, зав)дувач вщдшу;

доктор ф13ико-математичних наук, професор Горр Геннадш Вйсторович, Донецький державний ушверситет, зав1дувач кафедри;

доктор техшчних наук, професор Гуляев Валерщ 1ванович, Украшський транспортний ушверситет, завщувач кафедри.

Пров1дна установа - 1иститут прикладних проблем математики i

мехашки HAH Укра'ши.

Захист вщбудеться «2.9» ?<)) 1998 р. о 10 годин! на засщанш

спегиашзовансн вчено! ради Д 26.166.01 при 1нстшуй мехашки im.С.П. Тимошенка Нащонально1 академи наук Украши за адресою: 252057, Кшв, вул. Нестерова, 3. 3 дисертащею можна ознайомитись в б1блютещ 1нституту мехашки ¡м.С.П. Тимошенка HAH Укра'ши (Кшв, вул. Нестерова, 3).

Автореферат розклано «2.Ч » )()_1998 р.

Вчений секретар спещал1зованоТ вчено1 ради доктор техшчних наук, професор

. 1.С.Чернишенко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертацшна робота присвячена розробщ нових метод1В дослщження ликостс багатовим1рних дина\пчних систем, що моделюють багатоланков1 колкш (¡паж!, в критичному за О.М. Ляпуновим випадку одного нульового кореня, эбудов1 гранищ облает! стшкост! в простор! параметр1в та з'ясуванню мехашзму «ни характеру безпеки гранищ в простор! параметр1в.

Актуалыисть 1 ступшь дослщженосп тематики дисертаци. Необхщшсть в роведенщ дослщжень з тематики дисертацП' викликана, в першу чергу, широким ютосуванням в практищ проектування колшних еыпаж!в (в тому числ1 в системах зтоматичного проектування) метод1в анагпзу стшкост1 та керування, а також в здостатнш розробщ ввдповдаих теоретичних засад та програмного забеспечення шал1з стащонарних стан ¡в при змЫ керованих параметров, вилив р1зного роду гфект1в, визначення набору характерных внутр1шшх параметрт, змша яких може ризвести до яюсних змш динам1чно1 поведшки системи) - особливо щодо згатовимфних нел1ншних систем з неединим стащонарним станом, якими \ е эзглянуп в дисертащйшй робеш модел! багатоланкових систем з коченням.

Об'ектом дослщжень е плоска п-И-ланкова шаршрно з'еднана система, що вляе собою узагальнену модель багатоланкового автоповду. Перша (ведуча) ланка ухае п ведених ланок. На кожну з них в точщ контакту з опорною поверхнею через фиведене) колесо дк слщкуюча сила, що вщповщно до концепцп Г.Рокара шежить вщ так званого кута бокового вадведення ( пружне колесо може без овзання перекочуватись шд малим кутом до свое'1 площини — явище бокового [дведення).

I. Рокар схематизував кочення пружного пневматика таким чином, щоб воно ходило у рамки теоретичноТ мехашки: колесо розглядаеться як абсолютно тверде 1ло, що мае властив1сть бокового выведения; до активних сил додаються сили пору боковому вщведенню, тобто мехашчна система голоном!зуеться.

В дисертацшнш робот використовуеться нелшшна гшотеза вщведення, що ¡дбивае основш властивост сили опору боковому вщведенню як функцп кута ¡дведення: лшшшеть для малих купв вщведення; характер функцп насичення для еликих значень куп в вщведення.Це дозволяе провести анал1з динам1чних якостей :oдeл¡ у широкому кол! можливих значень керованих параметр1в.

Одним з визначальних фактор1в при побудов! конструктивно'1 схеми агатоланкового автопоТзду е його "керовашеть", складовими яко! е: шляхова тшисть в прямолшШному та кругових стащонарних режимах, а також здатшеть вписуватися" у вщведений габаритний коридор. Наявш системи втоматизованного проектування ще далею в1д досконалосп 1 потребують

розвинення програмного забеспечення щодо розв'язання задач "глобальн< керованосп та стабшзацп, розробки алгорит.чпв всеколкного керування i 3aco6iß тестування.

Вперше KopeKTHi розгорнул нелшшш диференщальш р1вняння ру "узагальнено'1 модел1 п+1-лайкового автопо'Гзду отримат вщносно недавно (1984 ] Л.Г. Лобасом. Дослщженням керованосп багатоланкових систем у малому оке прямолшшного руху (де придатна лшшна гшотеза вщведення) займали Лобас Л.Г., Гродко Л. H., £че1стов Ю. А., Лев in Н.Е., Аюпов В.В., Малашн B.I Хачатуров A.A., Фаробш Я.Е., Безбородова Г.Б.,Сахно В.П., В акул ¡ч А.И., Ellis Vlk F., Slibar A., Mallikarjunarao С., Fancher P., Wong J.V. та mini. ГПдсумкс анашзу шляховси стшкосп та вписувамосп для найбшыл узагальнено'1 моде автопо!зду виявився вираз критично!' швидкосп прямолшшного руху i значен] фазових змнших, що вдаювщають стацюнарним круговим рухам достатн] великого pafliycy (Лобас Л.Г.).

При нелшшному розгляд1 критичному значению параметра швидкосп i б1фуркацшнш fliarpaMi вщповдае точка розгалуження стацюнарних стан (б1фуркац1я "виделки"). 3 огляду на загальш положения Teopiï особливостей (Уга Р. Том), ц реал!защя при змш одного параметра можлива лише за умови симетр системи. Порушення симетрн призводить до il зникнення - натомють з'являетьс точка "звороту". Наочну геометричну картину цих змш дае катастрофа "зборки яка неусувыа в npocTopi двох параметр1в ( у загальному випадку - узагальнег зборка УТтш, яка потребуе вщповщного збшьшення вишрносп простор параметр1в ).

Задача про тополопчну структуру розподшення фазового простор траектор1ями нелшшноТ динашчноТ системи (нелшшна ппотеза вщведенн? розглядалася лише для модел! одша ведучо\' "щеально'Г ланки ( Pacejka H.B Kane T.R., Man G.K., Sachs H.K., Chou C.C., Singh M.). Знаходження кругови стацюнарних сташв, що вщповщають еюнченним значениям кута поворот керованих колю, та aнaлiз ïx стшкосп спирались на граф!чний метод (Певзне Я.М.). Були вщеутш явщ аналгтичш умови стшкост1 кругових стацюнарних сташв .

Еволющю стацюнарних сташв нелшшно'1 дволанково'1 та триланково! модели автопоУзду при змМ одного параметру (кута повороту керованих колю) чисельшо методом продовження по параметру анал!зували Zeman К., Тарнопольська T.I. Ващенко Ю.Л., Барилович Е. Л. Точкам "звороту" на гшщ стацюнарних стат) вщповщае змша стшкост1 кругового режиму, яка вщбуваеться через б1фуркацш "згортки", типово1 при 3MÎHÎ вже одного параметра.

Побудова б1фуркацшно'1 множини - множини точок на площиш керовани^ параметров, наприклад, поздовжнъо! швидкосп центру мае (v) i куга поворо'

серованих кол1с (0), яким вщповщають точки "звороту", дала б повну картину ¡мзтхи шляхово! стшкосп кругових стащонарних сташв.

Залишались нерозвинеш також методи ягасного анал!зу, яю дозволяли б фахувати вплив конструктивно! схеми, ¡снуючих дефекпв и симетрп та зовшшних :илових збурень на одну з суттевших в есплуатацшщй практиш характеристик -лножину стащонарних cтaнiв та умови !х стшкосп.

Втрата шляхово! стшкосп прямолшшного руху - частковий 1 найбшыц тростий для анал1зу (в1дповщна матриця лшшного наближення легко може бути эдержана 1 визначеш умови кнування нульового власного значения) випадок втрати гпйкосш кругових стащонарних рух1в достатньо великого рад1усу. В останньому шпадку необхщно ще визначити значения фазових змшних вщповщних ¡тащонарних сташв. Ясно, що значения критичней' швидкосп, якому вщповщае 1трата шляхово! стшкосп кругового режиму при малих кутах повороту керованих солю, знаходиться в малому окол! критично! швидкосп прямолшшного режиму. Зизначення ще! залежное™ на площиш керованих парамстр1в (у, 0) дало б локальну сартину згадано"! вище б1фуркацшно1 множини в окол1 критично! швидкосп грямолшшного руху. Найпростшшй випадок ще! залежноеи - швкуб!чна парабола Тп^ег Н., 8сЬе1(11 Я.).

Б1фуркацп стащонарних сгашв в окол1 прямолшшного руху дволанково! .годсл! дослщжували Лобас Л.Г., Хребет В.Г., Ковальчук В.В., Тго§ег Н., 8сЬе1с11 Я., ^пЬегеку А., Касаш V., 2ешап К. та шип. Та по цей час вщеутш загальна летодолопя aнaлiзy дивергентних б1фуркацш 1 рецепта побудови б!фуркацшних люжин в анаитичному вигляд1 хоча б для випадку одше! ведучо! ланки.

Наведений вище анатз характеризуе стан проблеми 1 ступшь розробки по :ематищ дисертащ'!.

Таким чином, як з теоретично!, так I з практично! точок зору тема [исертацшно! роботи, що присвячена розробщ метод1в анал1зу к-параметричних :1мей стащонарних сташв багатоланкових систем з коченням, е актуальною.

Роботи ¡з зазначено! тематики належать до планових дослщжень, що фоводяться в 1нсплуп мехашки ¡меш С.П. Тимошенка Нашонально! академп наук /краши.

Мета роботи полягае в побудов1 областей статично! стшкосп к-парамет->ичних с1мей стащонарних сташв багатоланкових систем з коченням 1 визначенш ;арактера безпеки границ! (по М.М. Б аул ну), а саме: 1) визначення характерних особливостей (катастроф максимально можливого рангу) поверхонь р1вноважних сташв в окол! кратно! особливо! точки, що виникае в критичному за О.М. Ляпуновим випадку одного нульового кореня;

- 62) побудова вщпов1дних ш б!фуркацшних множин та виявлення мехашзму зм!ни

характеру безпеки границ] облаем стшкост! в простор! параметр!в. Наведет положения реализован! особисто дисертантом.

Наукова новизна результате роботи полягае: в щентифшацп катасгро! поверхонь стащонарних сташв на основ! анализу порядку точки дотику кривих, щ визначають стацюнарш стани системи, на початку координат та в проведет аналоги м1ж порядком виродження нелшшних члешв по критичнш змшш. (критичний за О.М. Ляпуновим випадок одного нульового кореня) ! ранга вщпов1дно1 катастрофи Ак; у розробщ регулярного методу анал1тично1 побудов: б!фуркацшно1 множини в окол! трикратного стащонарного режиму (швкуб1чн парабола на площит двох параметр!в); у виявлеш мехашзму зм!ни характер; безпеки (за М.М. Баутшим) у критичному за О.М. Ляпуновим випадку одног< нульового кореня на основ! анал1зу перебудови особливостей поверхон: стащонарних сташв - вщповщних катастроф; у реашзацп наведених метод!в дл: певного класу динам!чних систем, що моделюють багатоланков! системи : коченням аж до побудови б!фуркац!йних множин в явшй або параметричнн формах, IX в!зуал!защ'1 в простор! двох та грьох параметр1в , визначення явних : точки зору анатзу впливу параметр!в сп!вв!дношень, що в!дповщають за характе{ безпеки границ! обласп стшкосп в простор! параметр!в - результата отриман вперше для данного класу задач.

Теоретичне та практичне значения одержаних у робоп результат« полягають:

- у спрощенш алгоритму знаходження умов стйкост! в критичному випадк> одного нульового кореня при деяких обмеженнях на систему ! можлияоет] одержанпя явних, з точки зору впливу параметр!в, умов спйкост!;

- у виявленш закономерностей побудови б1фуркацшних множин в окол] симетричного розв'зку в критичному випадку одного нульового кореня та змш! характеру безпеки границ! стшкосп в простор! параметр!в за М.М. Баутшим;

- у розробц! метод1В побудови б!фуркащйних множин дво- та трипараметричних с!мей стащонарних сташв (знайдеш у явшй або параметричнш форм! б!фуркац1йн! множини можуть слугувати тестами при апробацп наближених метод!в);

- у можливост! застосування розвинутих метод!в анал!зу при проектуванш, прогнозуванн! динам1чноТ поведшки та оштпзаци (з точки зору ст!йкост! та поворотное^) параметр!в багатоланкових автогамздв, транспортних робопв для автоматизованого виробництва, а також робототехшчних систем спещального виду;

- 7- розроблеш програми, що реашзують чисельний метод побудови б!фуркацшних ножин для моделей одноланкового та дволанкового екшаж1в, можуть бути исористат для тестування ефективност1 алгоритм1в всеколкного управлшня. ;зультати дослвджень , що проведен! в дисертацй", ув1йшли складовою частиною ) звтв про науково-дослщт робохи в1дяъту стшкосп процеав 1нституту гхашки iM. С.П. Тимошенка HAH УкраТни з таких тем:

jroaip № 274 "Досладження керованостс, стабшзовносп та поворотност! ¡гатоланкових автопо'1здв", строк виконання 1985р.; догов!р № 317 "Досладження iflKOCTi багатоланкового автопоУзду в режим1 гальмування", строк виконання )86 - 1989 pp.

Апробащя результатов дисертацй. Матер1али дисертацй доповщались на :ких наукових конференциях: Респ. конф ."Динамка твердого тша"(Донецьк, >90 р.), "Моделювання складних мехашчних систем" (Ташкент,1991 - р.), Мшнародна наукова конференщя im. академика М. Кравчука (Кшв, 1996р.), краТнська конференщя " Моделювання та дослщження стшкосп систем (Кшв, >94 р., 1995 р., 1997 p.), II М1жнародна науково - техшчна конференщя " Актуальш юблеми фундаментальних наук" (Москва, 1994 р.).

У завершеному вигляда дисертацшна робота доповщалась i обговорювалась i ceMiHapi вщдшу динамки та cTiiiKocxi багатовим1рних систем 1нституту ггематики HAH Укра'ши (кер1вник - чл,- кор. HAH Украши I.O. Луковський, Кшв, >98 р.), на загально-шститутському ceMiHapi з механики деформ1вних систем i гальнш механпд 1нституту мехашки iM. С.П. Тимошенка HAH Украши (кер1вник академис HAH Украши О.М. Гузь, Кшв, 1998 р.), на ceMiHapi вщдшу динамки [стем Гнституту прикладних проблем математики i мехагпки HAH Укра'ши epiBHHK - чл,- кор. HAH Украши С.П. Харламов, Донецьк, 1998 р.), на ceMiHapi {инамжа та оптимЬацы керованих систем" 1нституту прикладних проблем :хашки i математики HAH Украши iM. Я.С. ГПдстригача (кер5вник - д.ф.-м.н., >оф. B.G. Берб'юк, JlbßiB, 1998 p.) i здобула позитивну оцшку.

Публжацп та особистий внесок здобувача. За результатами дисертацй' [ублшовано 51 наукову працю. Основний 3MicT робоги вщображено в публжащ'ях - 22], в тому числ! одн^й монографп (у сшвавторет). В po6oTi [1] (глави III - IV) працях [6-20], яьа написаш у ствавторств! з науковим консультантом, доктором з,- мат. наук, професором Л. Г. Лобасом, ствавтору належать теоретичт ложення, що покладеш в основу постановок задач, переварка та обговорення зультата. Здобувач розробив шдходн i розв'язав задач^ побудував алгоритми i римав чисельш результата. В робот! [21] Л.Г. Лобасу належить загальний задум оведення дослщжень, вивщ р1внянь руху, вираз для критично! швидкосп, автору лежить аналггичне дослщження умов виникнення флаттерно!' втрати стшкость

проведення чисельного моделювання. В робст [22] Л.Г. Лобасу належип загальний задум проведения досл1джень, вираз для критично'1 пшидкост] n+1-ланково! система, дослщження б!фуркацШ граничного циклу, В.П. Сахно та С.Л. Барилов!чу належить екслериментальна перев1рка та обговорення результата , автору належить анашз давергентних бхфуркацш.

Структура роботи. Дисертацшна робота складаеться ¡з вступу, шести роздшв, висновюв i списку використано! лггератури !з 183 наймснувань, включае 58 рисунгав, розмпцених на 54 сторшках. Загальний об'ем дисертацп 252 сторхнки.

Автор висловлюе щиру подяку своему науковому консультантов!, завщувачу кафедри теоретично! i прикладно! мехашки Кишського шстатуту зашзничного транспорту доктору ф!з.-мат. наук, професору Л.Г. Лобасу за постшну увагу до роботи i корисш поради при и написании

Короткий 3M1CT роботи У встуш подано загальну характеристику дисертацп: розкрито сутшсть i стан науково! проблеми; обгрунтовано необхщшсть проведения дослщжень i вщзначено актуальшсть теми дисертацп; сформульована мета роботи; вщзначено новизну одержаних результата та ix теоретичне i пракгичне значения.

У першому роздш! проведено огляд лигератури за темою дисертацп. Вказано на /итературш джерела, що стосуються основных напрямт дослщжень багатовимгрних дииам'тшх систем !, зокрема, багатоланкових систем з коченням. Заюнчуеться роздш коротким резюме стосовно необхщносп розв'язання поставлених в дисертацц питань i сформульоват основт задач!.

У другому роздш! подано метод приведения системи скшченних р1внянь, як! визначають стащонарш стани n-И -лайкового автопо!зда до етвалентно! системи, що дозволяе декомпозиццо на п+1 шдсистем, незалежних в лшшному наближенн! (його реашзащя мае мкце в окол! прямолшшного руху). Р!вняння, що визначають стацюнарн! стани n+1-ланково! системи е моментними умовами р^вноваги ведених ланок вщносно вертикально! oci (ось проходить через точку зчеплеяня з попередньою ланкою). До кожно'! ланки прикладеш вщповщш реакци YtfS) опорно! поверхн! , поздовжня сила шерцн Jk = -ik Jk, Jk = mkco щ , бокова сила шерци J к= -jkJ k,Jk= mkcovk, сила реакци з боку слщуючо! позаду ланки . При визначешн поперечних складових сил реакцШ, прикладених в точках зчеплення позаду в!дпов!дно! ланки, не враховуються складов!, розклад яких в ряди за ступенями змшних и, со, <рпочинаеться з члешв вище третього порядку: Y„-i= Jnsinq>K Y п.2=- с„ / dn_f' cos<pn.i + (Jncos q>n-+ Jsin<pn-i, Y n-3~ - Yn 2 cn.2 d„.2! cos<pn.2 + [(Jn cos <pn+ Jn.iJcOS<p +Jn.2] sin<pn_2,...

Починаючи з Уп_, (в точц1 Оп), послщовно визначаються ва У п.к . Для поперечно!' ;кладово'1 сили реакц11 Г -/оУ, вточщ О;,одержимо вираз :

к к-1

Головна частина розкладу функди У (о\и,ф\,...,<р„ ) у ряд Тейлора в окол1 точки ;0,0,...,0) еИ1""2 мае вигляд

Г=е>Х(-1)к+1 С.'С]-У (ткик + тыиы+...+тпип)щ+ОЫ) (2.1)

к-1 а1а2...ак_,

3 точшстю до члешв першого порядку знаходимо

В лш5иному наближенш сила реакци опорно'1 поверхш У^2(8ь-лЛ що д\с на к-ту ¡едену ланку, вр!вноважуеться поперечною складовою сили шерца I к , Отже, в :тащонарному рус! = + 0(|х|3) (5= 1,...,«). (2.3)

Зираз (2.1) набувае вигляду

V = V 2«']Г(-1Г> С/ГУ + + 0(1*1') • (2.4)

Зраховуючи (2.3), з (2.2) знайдемо

=-т~! -т^к]1 ]® + 0(\х\3 ),

Ь = [(с;-1 + ¿/Х' + ^Щ-1*м - «Л+2>7® + °(\х I3) (» 2>~>п)

Поставивши (2.5) в (2.4), одержимо У'= У (и, а>)+...

)тже, задача про стащонарт стани ( п +/)-ланково1 системи з точшстю до члешв ретього порядку зводиться до аналогично!' задач! для приведено! ведучоУ ланки, на ку в точщ <9; д5с сила Г = /0 У: -М'Й> + ВД)соз^+У2(52) + Г=0 ;

а,¥1(31)со59-Ь'У2(32)-с'Г = 0 . (2-6)

)тже, необх1дн! умови ст1Йкост1 нульового розв"язку системи (2.1) - (2.3) порядку (п+1) св!впадають з умовами стШкоот нульового розв'язку для модел1

(2.5)

приведеного ведучого звена (система другого порядку). У симвсшчному запи б^фуркацц на початку координат при неперервюй 3míhí швидкост! поздовжньо руху n+1 -ланковоГ системи можно представити

02(пИ)'° +(0!2п+1д , 022п+и )—> о2пЧ>!,

Q2(n+I),0 Q2n+l,l ^Q^Cn+O.O Q22(n+1),0 -J

де 0м - особлива точка системи. Характеристичне р1вняння в и omrci мае Коренев з вщ"емними дшскими частинами i q з додатшми (p+q = 2(п+1)) .

Критичному значению параметра швидкосп на б!фуркацшнш fliarpa в1дповхдае точка розгалуження стащонарних стан1В (б^фуркащя "виделки' Вщповщно до загальних результат i в Teopii особливостей, П реал'шщя при 3MÍ одного параметра можлива при наявносм симетри системи. Втрата симет^ призводить до 1Í зникнення - з'являються натомкть точки "звороту". Наоч! геометричну картину змш, що виникаюгь, дае катастрофа зборки.

У третьому роздШ подаеться регулярний метод побудови б!фуркацшн множини в окол! трикратного стащонарного режиму динам1Чно'1 системи dx/dt =f(x, v, в), (3.1)

де х eR2, f: R2 xR+ x R ->R 2 и v , 0 e R, причому f(-x, v, -в) = - f(x, v, в) при bcíx v e R+ ,

Якщо f(x, v, в) - достатньо гладка функщя по змшнш стану х, то x¡ -ax¡+bx2+a30xis+a2ixi2x2+a!1x1x22+a 0зХ23 Jl-a¡ox¡5+...

Х2 =CXi+dX2+b3óXi3+b2lX2X2+bi2XiX22 + b03X23+b50X¡5^...

Хай при у -Vkp матриця системи равнянь лшшного наближення мае одне нульоЕ власне значения. Показано, що множина стащонарних сташв в окол1 симетричног розв'язку системи (3.1) визначаеться "укорочении" р1внянням

ух3 + р х + а^О, (3.2)

де 7 ф О, р = P(v ); фунюця а(9) характеризуе асиметр1ю системи при G Змш характера безпеки границ! облает! стшкосп симетричного розв'язку може в!дбутис лише при 3míhí знаку коефвденту у (вираз для у в!др1зняеться вщ g¡ постшни] множником).

Загальний вигляд коефвденпв визначального р!вняння системи (3.2) такий: Р = (c-da/b),

у = [b3(bb¡o - da¡o) + ab2(da2¡ - bb2¡) + + a2b(bb12 - dan) +a3(da0} - bb03)]/b4.

Якщо в осташпй вираз гпдставити сшввщношення d = cb / а, що мае мюце в критичному випадку, то з точшстю до постшного множника результат сшвпаде з 83 :

Укр=[Ь3(аЬзо -ca¡0) +ab2(ca2¡ - аЪ21) + +a2b(ab)2 - caiz) +а3(са0з -аЬ0з)]/аЪ3 .

Щоб визначити мехашзм змш у випадку у = О ( тод! g¡ = 0), треба до системи (3.2) додати члени п'ятого порядку. В кратних точках поверхш катастрофи (критична множина катастрофи) якоб1ан системи (3.1) перетворюеться в нуль - мае мюце статична змша стшкосп. Рис.3.1, а, б та рис.3.2 , а, б ¡люструготь побудову поверхш р1вноваги i ввдповщп ím б1фуркацшш множини (члени п'ятого порядку можуть вносити нову ягасгь навлъ при у Ф 0). Попри все, локальна картина б1фуркацшно1 множини (у ^ 0) буде вщповщати дискримшантнш множит куб1чного р1вняння (3.2).

Дал1 наведено аналггичний пцрад, що розвивае суто геометричний метод шал1зу стащонарних сташв модел1 "¡деального" поодинокого екшажу Я.М. Певзнер). Стацюнарним станам ввдповщають точки перетину "нерухомо'Г' ;ривоТ (у розглянутому вище метод! щею "нерухомою" кривою було и наближення -:уб5чне або до члешв п"ятого порядку) 1 прямоТ, положения якох залежить вщ начень параметр1в поздовжньо'1 швидкосп та кута повороту керованих кол ¡с:

—ь—1—= а (33)

&

Вперше в робот1 [ 31 ] встановлено, що многовидом стащонарних сташв при змш параметр!в е глобальна зборка (рис.3.1, а ). В окол1 прямолшйного руху юнуе тршка стащонарних сташв, малим змшам параметру (кута повороту керованих кол ¡с) може вщповщати шнцевий стрибок стащонарних сташв на поверхш р1вноваги - "катастрофа" стащонарних сташв . Геометричне шсце тонок в площит параметр1в, яким вщповщають щ катастроф1чш змши, е швкуб^чна парабола з точкою повернення (рис.3.1, в). Е аналггичне представления розглядаеться дат (роздш 4).

Функщю 5г- 81 = 0(Т), обернену функци - одержимо як р1зницк>

двох функций 62 = та 6; = обернених початковим функщям У¡=¥¡(81)

та Уг-ЩЗя)- Тод} визначальне р1вняння (3.3) перейде в таке:

^У-0=С(Г). (3.4)

На вщмшу В1Д геометричного методу, "нерухома" крива може знаходитись в анагптичному вигляд1, що дае можлив1сть одержати точш розв"язки при анад!з1 кругових стащонарних сташв. Так, в анаштичшй форм1 значения радиусу повороту мае вигляд

де

У: в(Г) + в = Щ-У

V

Останне р1вняння може мати три розв'язки, яким вщповвдатимуть як стщи, так I нестши стацюнарш стани. У випадку лиийно! постановки рад!ус задаеться сшввщношенням

'кР

Нелшшний аналггичний тдхщ приводить до останньоТ формули, яыцо прийняти лшшну гшотезу вдаеденя

5,= в,(У)= У/к,, 52-61=-в(У)=[(к,-кг)/к1к2]У.

Даш визначаеться мшмальний рад1ус повороту, якому вщповщае сийкий круговий стацюнарний стан на р1вноважшй поверхш зборки. В параметричнш форм! (- ф <Y< < ф) розв'язок мае вигляд (ф - коефнцент кулонового тертя)

(v<vkp) =

Вщповщш йому значения параметров швидкосп та кута повороту колю лежать саме на згаданш вище швкуб!чнш параболь

Роздш завершуе яюсний анашз стацюнарних сташв модел1 симетричного "¡деального" ею пажу при довшьних значениях кута повороту колк. Встановлено кнування двох плок стацюнарних craniB. Максимальна гальюсть стацюнарних сташв дорпшюе п'яти; залежно вщ початкових умов може реатзовуватись один з трьох стшких кругових режимов.

Четверти« роздш присвячено розвитку графоанаштичного методу на випадок модел! екшажу з дефектами симетрп: наявшсть стало! боково! сили, сталого момента сил вщносно верикально! oci, асиметрй розподщу мае. На ocHoei розробленого методу розв"язана в нелшшнШ постановщ задача про парирування дп стало! боково! сили та момента, задача про роз поди стацюнарних сташв модел1 екшажа з асиметр1ею центру мае. Розв'язок задач1 про парирування стало! сили та момента сил поворотом керованих колк при лшеаризацп ствпадае з вщомим розв'язком, що був одержаний для лшшно! модель

Узагальнеш р1вняння, що визначають стацюнарш стани екшажу при наявносп дефекта симетри, мають вигляд

g l I

— ■+?1(&)~?2(Ъ) + М=0, М -М{(mgaby1. (4Л)

gab

Тут 8 - бокове змшення центру мае; Q - сила; М - момент сил. Визначимо кутову швидюсгь со та бокову швидккть центру мае и через кути вщведення:

0)=vr\e+S2 -(5,), и=vl~\b0~b8x -aö2).

Розглянемо послщовно три випадки, коли з трьох параметр ¡в Q, М i s ненульовим е лише один.

I. Q Ф 0. При наявносп сили стацюнарш стани е розв'язками системи:

y = 4re+8r-5i;-ß,r=ir8i-sJj.

gl

-1а площшй зм1нних 5j . öj та Y стацюнарним станам вщповщають точки перетину нерухомо!" криво! та прямо!, положения яко! залежить в!д трьох параметров v, 9, v. Прямолшшному стану вщповщае розв'язок

у(82.5,)=-<г.

Для його реал1заци необхадно повернути колеса на куг 6о (пряма 2), причому 0о > ( (поворот в сторону дп сили) у випадку к! > кг (рис.4.1, в) 1 9о < 0 (поворот I сторону, протилежну дп сили) у випадку ^ < к2 (рис.4.1, г). Значения кута 8, визначаеться виразом

0о--(82-§1)о>

де (62.0] )0 - розв'язок р1внянняУ(5г- 61) = - р. Розв'язокможе бути одержаний 1 аншптичному вигляд1 теля переходу до обернених функцш 62 = 02(У) тг

е0= (6-¿Уо = <?<£).

Розв'язок мае цшаву геометричну штерпретацпо - сшвпадае з функщао, оберненою до функца ¥=У(32- <?/). Максимальна сила, яку можливо парирувати таким чином, не повинна перевищувати максимально можливу силу зчеплення з опорною поверхнею. У дьому раз1 ц>я боково1 сили не зм^нюе картини

стацюнарних стан ¡в системи (кшьюсть стацюнарних стаи'1 в може доргвшовати 3 або 1), але може суттево впливати на IX сгшюсть.

II. М^О. У раз1 дп сталого моменту сил вщносно вертикально! ос! з'являються яысш змши - залежно вщ величини момента змшюеться нерухома крива. Кшьюсть стацюнарних сташв може дор1внювати 4 , 2 або О Рис .4.1 (рис.4.2).

Основш сшвшдношення мають вигляд:

¥^{6 + 8,-5,)-М^-, % = 1

7У= У,(¿2- 8,): 1,(62-

Значения ва визначаеться ргвняшшм 90 = -(62-61)0, де (52-81)0 - розв'язок р1вняння У¡(32-60= -МаГ'. В

термшах обернено! функцп маемо в о =- О(-МаГ') .

Рис.4.2

У2 _ 7+89-85;

Ш.е^О. Якщо а=Ь, го в р^внянт у ~ ^ + е§ змшш61 и 52 легко

р0зд1лити. Введемо нову функццоУ= ¥(62-61) таку, щоб

У2 (1 + е5г) = Г, (1 + ев - е«5»,) = У{8г - 81).

3 першого р1вняння системи (4.2) одержимо визначальне р1вняння:

Б1фуркацп згоргки в окол1 у=л'кр визначаються членами не вшце другого порядку:

8, = к^У + гкГ2у2. Вщповщний вщриок ряду мае вигляд:

' §1

, 2

¿2

У 4

у / 1 Ц 1

К К

7 = 0.

К

У= О,

V £

Кореш визначального р1вюгння вказують на б1фуркащю згортки при у=у+ , але стащонарш стани при цьому не зникають.

У п'ятому роздш! наводиться геометрична штерпретагця умов стШкога в критичному випадку одного нульового кореня при деяких обмеженнях на лшшну частину. Це дозволяв перейти вщ глобального анализу стагцонарних сташв до локального: k-кратному стацюнарному стану вщповщае k-кратний дотик кривих, що Ух визначають, а змша стшкосп симетричного розв'яку пов'язуеться 13 змшою порядку кривих в докритичному i критичному положениях. Анализ максимально можливого порядку дотику на початку координат кривих, що визначають стащонарш стани системи, вказуе на ступшь визначадьного полшому 'га множину "сутгевих" парамстр1в, що внливаюгь на характер (м'який - жорсткий) втрати стшкости Друга частина присвячена побудовг б1фуркацшних множин стащонарних сташв як для симетричног модел! екшажу, так i з дефектами симетрЙ.

dx/dt = f(x, v, в), (5.1)

де х е R2, f: R2 xR+ х R ->R 2 и v еЛ+ , 9 б R, причому f(-x, v, -в) = = -f(x, v, б) при scix v е R+ . В координации форм1

Х1=ах!+Ьх2+азоХ i3+a2iXiX2+ai2XiX22+a озхг3

X2=CXi+dX2+b3oXj3+b2iX,2X2 + bj2XiX22+ ОЗХ23+Ь5ОХ/+...

Стшкють симетричного розв'язку визначаеться знаком величина g3 = Afa2 +bc)'3, де

Л =а3(а b0s - са03) +a2b(ca!2- ab12)+ ab2(ab21 - ca2i)+ b3(ca30- ab30)-Хай виконуються умови, за яких р1вняння /¿(х;, Х2)— 0 (i=l, 2) визначають на площин1 Xi х2 в окол1 точки (0,0) крив!

= F/XjJ = F^(0)Xl +LFi(31(0)x13 +...,

хз = W,) = F2(i)(0)x, -f jF/3)(0)x,3 +... . (5,2>

Kyroei коефоденти кривих e

= у 2 = F2m(0) = --j. b d

В^дносне положения кривих (5.2) при критичному значенш парамеру визначають

коефоденти при нелшшних членах ряду

i;(3)(0) =4-(-а30Ь3 +3anab2 -3алагЬ + а^аъ), b

^2i3)(0) = -3bl2c1d -ьЬ03с3).

a

В критичному випадку yi = y2 d = cb/a . Умовою бгфуркащ! народження або збереження порядку сл!дування кривих (5.2) в докритичному i критичному положениях е ( g3 £ 0), де

g*= СгГТ2)О[^(3)(0)-Л(3>(0)]<0 , (5.3)

* >

яка сгавпадае з умовою стшкосп в критичному випадку (доведено, що g3 g > 0).

Це дае можлив!сть одержати явш, з точки зору впливу параметрв, умови

стшкост! для розглянутого класу задач i з'ясувати мехашзм змши характеру

безпеки границ! облает! стШкост! в npocTopi параметр!в. А саме, змша характеру

безпеки супроводжуеться змшою порядку дотику лпж кривими на початку

координат i змшою порядку i'x слщування. Так, для прост1шого випадку (gs^O)

5!фуркащя народження двох стацюнарних сгашв з симетричного розв'язку е

умовою м'якоГ втрати стшкост! ( безпечна границя облает! стшкост! в простор!

rrapaMerpie); б1фуркац!я злиття двох стац!онарних стан!в з симетричним розв'язком

: умовою жостко1 втрати стшкост! (небезпечна границя облает! стщкоеп в простор!

тараметр!в). Дал! цей механ!зм пов'язуеться з перебудовою б!фуркац!йних множин

з окол1 симетричного розв'язку - зм!на характеру безпеки, наприклад, з gj< 0 на

> 0 вздбуваеться через реал!зашю особливост!, що пов'язана з п'ятикратною

зеобливою точкою ("butterfly"). 3 симетричним розв'язком при цьому зливаються

дв1 пари особливих гочок; б!фуркащйна множина при докритичних значениях

параметра мае характерний nepepi3, показаний на рис.3.2 , б.

Бизначення умов м'яког-жорсткоi втрати cmiiiKOcmi прямолЫйного руху

'ктажу при v = Уф. Р!вняння стац!онарних статв мають вид:

v Y2{52~)a n

—ю + - -- + 2V = 0,

g I I '

Y,{5,)-Y2(S2) = 0. Покладемо со &v(S2 - <5; +S2/3 - S*/3 )/1,

Y^ кД- k?S?f(2<p?),

e £,-безрозм!рний коеф!ц!ент бокового вщведення, ср~ коефЩент кулонового ртя. Р!вняння, що визначають стацтнарш стани системи в окол1 прямолшшиого )ГХу,С

ад] +bS2 + asoSi +CI0382 +...= О,

сд1 Ш2 + Ь308/ +Ь03823 +...= О, у2 = к1/к2,

П = Ф) = - (к]Ь + у2/^ / (к2а -Кутов! коеф!шенти У11 у2 сшвпадаюгь при

Л172

ККё1

При v = у^ - 0 маемо (/, ) при v = Уф знаходимо

6/4(АГ! - £2)4

(3) ,

2 '(0)- /у (0) =

к2 (к^Ь + ¿2а)'

-А ,

А =

к2 {кхЪ+к2ау

к\ к2 2(к1 кг

2 2 „2, 2 \<р2 <РХ 3^! кг у

2(кг-к2УР

Границя обласп стшкосп в простор! параметр ¡в безпечна, якщо

1 12

-у--

к, ф; £2ф2 3

1с ^ к-

Л

'2 )

>0

Коли кI»1 (тод! можливо користуватися спрощеним виразом (О ~ у(д2 - 8])А попередня умова зводиться до к/(р/ < к2(р2 ; а к]> кг е умовою юнуваш критично! швидкосп. Отож для забезпечення м'яко1 втрати стшкосп необхщ! умова <Р1 < <р2 .

Побудова локалъноИ бхфуркацшноХ множини в окол1 прямолшшного рух Покладемо ю~(8 + 62 - 6]) + ... . Рхвняння для визначення особливих тонок »;гкг вигляд

а00 + аё1 + Ь52 + а3083 + а03823 +...= 0, (5.4)

с8\ + аё2 + Ьзо8]3 + ъ0383 +... = 0.

Визначимо величину У р!внянням

Г=

Тод1 з другого р^вняння (5.4), враховуючи, що

одержимо

-197 = к^ - к!3Я13/(2<р12)+... , Г = к2д2 - к23823/(2<р/)+... . Обернет залежносп

5, =ЙУ+/З,'¥3 +... , §2 +... ,

р;=щ2к1(р?) (ни)

дозволяють вилучити д[, 82 з першого р1вняння (5.4), теля чого приходимо до куб!чного р1аиянпя вщносно У:

73+ЗрГ+2д=0.

В окол! точки (0,0) площини а» б!фуркацшна крива апроксимуеться швкуб!чною параболою

в2 = рV3 +..., XV = у^/у2 - 1,

де

у = 8 Мг^^У^

27 (кх<р* - '

Залежно вщ знаку у маемо зборку або двоГсту зборку, цей результат (змша знаку у ) сшвпадае з визначеною вище умовою м'яко! втрати стшкость

Прямий метод побудови 61фуркацшног множите в околг прямолшйного руху при иатностг дефекпив симетри.

Метод базуеться на розробленому в четвертому роздш графоаналкичному шдходь Б1фуркац1йним значениям параметр! в ввдповдае дотичне положения рухомоТ прямо? вщносно "нерухомо!" криво?

У, -ъо-м^-й, Г7 = Т2-м,

81 I

або

(Т7 -МаГ1 )(<д+Ь2 -Ъ1У1 = /й(Ъ2

dY1/d(Ь2-Ь1)=v2(glГ1. Зв5дси

Р1вняння б1фуркацшно! множини в параметричшй форм! ((3(У= 32 -5\) €

в = (7, + МаГ1 )0'{¥,)-О {¥,) = 9{¥х), V = [г//е'(У,)]1/2 - К7,), У,

Б1фуркац1Йна множина - крива, двоГста до "нерухомоГ: точкам перешну останньо! вщповщають точки загострення б1фуркацшно! множили. Змша характеру безпеки траншу области стшкосп в цьому випадку мае цшаву геометричну картину - Ш в!дпов1дае змша опуклосп "нерухомоГ' криво! в окол1 початку координат (примд пари тонок перегину або i'x народження i вих1д з початку координат; для б1фуркацшно1 криво! це вщповщае приходу двох точок загострення або !х ВИХ1Д з початку координат - реал^защя особливост! "butterfly"). Цей метод дае можливють в1зуал1зувати б1фуркащйну множину в npocTopi трьох параметр1в.

а б

Рис.5.1

М£0

лмк

У шостому роздал» дослужено еволюцда стацюнарних сташв дволанково! модел1 при змш! двох параметр1в 9 та V, причому вплив ведено! ланки на ведучу (танку моделюеться силою I моментом (розглядалося в четвертому роздш), що залежать вщ положения ведено! ланки (куга складання). Встановлено, що ор1ентащя ведено! ланки у внутршню сторону кругово! траекторп пщвшцуе стшюсть системи з пор!внянш з окремою ведучою ланкою, а ор!ентащя у зовншшю сторону Д1е дестабшзуюче. Для приведено! дволанково! системи характерним параметром, що зпливае на характер змии стшкосп прямолшшного руху, е вщстань В1Д центру мае ведено! ланки до точки зчеплення. В анал!тичному вигляд1 знайдено б1фуркащйну лножину в окол1 критично! швидкост! прямолшйного руху (швкубхчна парабола з точкою загострення (0,\+)), тобто знайдено вираз для критично! швидкосп фугових стацюнарних сташв як функци кута повороту керованих колю. Цей споаб юбудови б!фуркацшно! множини з огляду на результат другого роздшу зозповсюджуеться на довшьну п+1 -ланкову систему.

Многовиди стацюнарних сташв дволанковоI системи.

Р1вноважн1 значения змшних и, со, (р задовольняють систем! р!внянь -шусос1ха>вт<р)со +со$д-\-¥г+Уъ соэср = 0 ; щссо{у-<1]о}%тф) + ¥уасо$9-Ь¥г-с¥г соэ^э = 0 ; ^ ^

-тхс1хоз[уо,05(р-{и-со})%т(р\ + = 0 .

В [ 33, 34 ] дослщжено бифуркацн стащонарних сташв окремо взято! ¡едучо! ланки, в [85, 4.4.] - ведено!. В [37] оцшюються динам'шш якосп автопо!зда I пор1внянн! з вщповщними якостями поодинокого тягача. Перш! два р1вняння 6.1) можна розглядати як р1вняння стацюнарних стан ¡в окремо взятого тягача, на кий В1д твпричепа у точщ зчеплення О! д'1е сила Л^оХ+ЬУ (у р1вняння входить ише и поздовжня проекщя У):

гт>со= ^соз/9+У2 + 7 , ¥хасъъ6-Ъ¥1 -сУ = 0 . (6.2)

Координата вектора И вязначаються виразами X ^т^и-со(с+dlcos<p)~\+Y:¡sm(p , У= ~т1 со(у- еос1х эт^) + 73 соъ<р .

В залежносп в1Д величини та знака нового параметру У можна оцшити гацюнарш режими вс!е! системи.

Систему (6.2) можливо привести до вигляду, якому буде вщповщати деяк приведений тягач та швпричеп з новим розподшом мае. Це дозволяе провес ягасний аналгз стацюнарних сташв системи за визначеним вище планом (зн нового параметру Y буде визначатися кугом складання ф):

- Mva + Yx cos б + Y2 + Y' = 0 ; mxlco) + Yxa cos в - bY2-cY'=0 ; ~ m12co [v cos p - (u - + J3 = 0 ;

M = m + mu , mu = mlblLx'x, mxl = mxdxLx~x, Y' = - mldlL~XG> (v - coL1 sin^) + F3cos(<? .

Позначимо

x=muM~1c ,a'=a+x ,b'=b-x ,c'=c-x ,

G/=MgbTJ,G2'=MgaTJ,Y '*=Y 'АТУ', riepmi два р1вняння приймають вигляд

vcog'1 =YI'*+(]~c'/b')Y'* , Y/*=Y2'* +Y'*c'l(db'

Y *= mxdlL^lG)[-vsv!\(p+(d^ - (и -c£»)cos^]sin#> Тим самим маса швпричепу розподитяеться на дв1 точков1 маси, одну з яке (гпц) можна вважати надежною тягачу, а друга (trijj) вщповщае бшьш легкое швпричепу, центр мае якого лежить над вксю кол!с.

В кругових стацюнарних станах характерними значениями швидкосп е

v»«, v», яким вщповщають змши конфпураци системи (opieHTauia nienpi чепу вщносно круговоТ траекторп внутр!шню або зовшшню сторон вщповщно). Маемо (рис.6.1)

v < V**

(<Рз gLi)

112

ф + Аср > О

Дф = arctgK-u+cajv1] . v>v* = (кг rgLj)1/2 => ф + Аф < О Дер = arctg[(-u+cg>)v'] . Залежно вщ значения параметр' рис g 1 швидкост1 в окол1 v < v.. або v> v

будемо мати pi3Hi картини яиснс поведшки стацюнарних стан!в (рис.6.2 , а, б, в; рис.6.2 , г, д, е - ведуча ланка н мае критично! швидкосп, рис.6.3, а, б, в; рис.6.2 , г, д, е, ж - ведуча ланка ма критичну швидкють).

Чисельний метод продовження за параметром шдтверджуе одержан! яюсш результата.

Перейдемо В1д змшних со, и дозмшних£/, 5г 1 позначимо

а=тУ(тк^213)[у2(к,-к2)(к2к^у1 +с + е/, -Ь)] к^крг'М^кр-', С] = mgb0

в2 = mga0,_G3 = т^, а0=а1 1 Ь0=ЬГ\ Г' = Т'(тЕГ1

Запишемо вказаш р1вняння так:

_. _ _ 1 —' я —

-vg ® + к1Ь0Ь,+к2а0Ь2-к]Ь0Ь1 -к2а0Ъ2 +74... = 0

к1Ь1-к2Ь2-к',Ь,3 +к2Ъ2 -са0~1Ь~1¥' + ... = 0, де

У' = а1\-3(йъ+...,<>о = уГ'\в-8х 4-Уъ{в-д,)ъ + <52 +У362Ъ+.

Стштсть прямолтШного руху (9=0) дволанково! системы при критичнт швидкостг [41]. Критична швидюсть

у+*=к1кг&{к1-к2Г\к,=к,/0, вх =т%ЪГ1 -щеМс-ЪУ^Ь;1 С?2 = тngaГг +• /и^Ь] (а +

Тут к( - коефщенти опору боковому вщведеню. В розглянутому випадку ¿7=0. Оскшьки

У;

к^+у ¿Г!

к,

ау к2

к2аё~у2

то при v = v +-0 маемо (/! -/2)^ > Умова Р2(3)(0) - Р/^(0) < Овиконуеться т0д1 1 ТШЬКИ тод1, коли

с?, >с?1 , а?, = Ь-с +----—^

к|

2щк^к^ I с(кр ч- к2а) к2к

тк3У+2 (к* + + &22)

(£, - ¿2)а6

(6.3)

Зщкх кг ё 1 | с{кр + к2а) Ск:-к2)аЬ

На початку координат фазового простору мае мюце б!фуркащя народження, £ границя V = V- обласп стшкога в простор! параметр1в безпечна. При (1, < с1* мае мюце б1фуркащя злитгя - жорстка втрата стшкость

Б1фуркацШна множина стацюнарних сташв дволанково! системы [43J визначаеться стввцдаошенням:

), ш = ^—1, у=—

V2 27

Ьё

2 '

Vе; -

ь г

(к]с2+к2с3) + к]к2с2с3, Р5 - -

у-1. С1 -2 3

а4Ь4(к1 -к2)

к1к2[к1Ь(а+с)-к2а(Ь-с)] с -г г- \

к] к 2

2 2 2 Ф/ )

а (к] -к2)4

к1 к2

] , С\(к]Ъ + к2а)

Ь(к]-к2) .

У висповках сформульоваш основш результата теоретичного та прикладного характеру.

1. В дисертацшнш робой вперше розв'язаш задач! побудови областей статично! стшкосп к-параметричних амей стащонарних сташв багатоланкових мехашчних систем з коченням, що включають

- розробку метода анатзу стткоеп в критичному за О.М. Ляпуновим випадку одного нульового кореня;

-визначення особливостей (катастроф) поверхонь р!вноважних сташв;

- побудову в окол1 кратного стацюнарного стану б!фуркац!йних множин та встановлення механизму змши характеру безпеки границ! обласп ст!йкост1 в лростор! параметр!в.

II. Основш результата робота полягають у тому, що:

1.3апропоновано метод декомпозицп п+1-ланково1 системи з коченням на тезалежш в л!н!йному наближенш пщсистеми.

2.Розроблено метод дослщження незбуреного руху в критичному випадку одного нульового кореня в системах з найпростшою симетр^ею при деяких )бмеженнях на лшйну частину.

3.Встановлено мехашзм змши характеру безпеки границ! облает! стшкост1 у 1ростор! параметр1В.

4.Розроблено графоанал!тичний метод анал1зу незбурених рух1в )дноланкового екшажу з дефектами симетр!'! такими, як:

а) бокова сила, що д^е на еюпаж;

б) момент сил , що д!е в площин! руху;

в) ексцентриситет центру мае;

г) моментна гшотеза бокового вщведеня.

5.1дентиф1ковано катастрофи к-параметричних амей стащонарних сташв |дноланково1 ведучоТ ланки та розроблено метод побудови глобальних пфуркащйних множин у явному чи параметричному видах для вказаних вище адач.

б.Розроблено "регулярний" метод побудовн б1фуркашйних множи двопараметричних с1мей стацюнарних станов в окол1 трикратного стацюнарног режиму.

7.0писана еволющя стащонарних сташв дволанкового екшажу; визначег значения швидкосп, яга суттево впливають на конфпуращю системи та и стшюст

8.Розглянута задача стшкосп прямолшшного руху екшажу з керованш колосним модулем ( враховано вплив жорсткосп рульового керування та винос переднього колеса).

9.Розглянута задача чисельноо побудови глобально! б1фуркацойноо множини ; площиш керованих параметров дволанково! системи.

Ю.Розроблено метод побудови локально? б!фуркацшно! множини в окол прямолшшного руху п+1-ланково! системи ! визначення критично! швидкост кругового руху залежно вщ значения кута повороту керованих колос. Вказао алгоритм знаходження сшвопдношення мож параметрами модел1, що вщповадают) за характер безпеки гранищ обласп стшкосп.

Теоретинне та практичне значения одержаних у робота результаты полягають у:

- розвитку нового алгоритму визначення умов стойкоста в критичному випадку одного нульового кореня при деяких обмеженнях на систему, який да« можливють одержати явш, з точки зору впливу параметров, умови стшкосто, щс неможливо при традицойному шдходо;

- виявленш законолорностей побудови б!фуркащйних множин в окол симетричного розв'язку у випадку одного нульового кореня та змони характеру безпеки (по М.М. Баутону) гранйцо обласп стШкосто в простор! параметров на основ зв'язку м1ж порядком виродження нелшшних члешв по критичшй змшшй кратностю к симетричного розв'язку I рангом вщповдао! катастрофи Аы ( змшг характеру безпеки гранищ пов'язана з реал1защею особливостей вищого рангу);

- розробщ мегод1в побудови б!фуркащйних множин дво- та трипарамет-ричних имей стацюнарних сташв в явному або параметричному видо, щс дозволяють ох в}зуал1зац1ю;

- можливосто використання розвинутих методов анал1зу при проектуванно 1 оптишзацц (з точки зору стшкосп та "керованностГ') параметр!в багатоланкових автопо'{зд1в, транспортних роботов для автоматизованного виробництва, а також робототехшчних систем спещального виду;

- розробщ програм чисельноо побудови б1фуркацойних множин, я ко можуть бути використаш для тестування алгоритмов всеколосоюго управлоння.

III. При aHani3i розглянутих у робот нелишпшх моделей еипаж1в були одержан! HOBi результата яхшного та кшькюного характеру, що пов'язаш з суттевою в експлуаташйшй практищ характеристикою - розподшом стацюнарних стан!в та умовами i'x стшкость Конкретн! результата для р:зних тип!в ск!паж!в таю -

а) сгшетричний ектаж ( одна ведуча ланка):

- знайдено аналпичний вираз критичноТ швидкосп кругових стацюнарних сташв достатньо великого рад!усу (в о кол! прямолшшного руху icHye два кругових стацюнарш стани - випадок загального положения);

- в нелшшнш постанови! розв'язана задача визначення мшмального pafliycy, що вщповщае стшкому стацгонарному стану;

- знайдено явне, з точки зору впливу параметра, сшввщношення, що вщповщне за характер безпеки гранищ облает стшкост! в простор! параметр1в;

- при незмшнш коструктивнш cxeMi еюпажу характер змши стшкосп 'м'який-жорсткий) прямолшшного руху залежить вщ одного внутр!шнього параметра - коефвдента кулонового тертя передн!х кол!с з опорного поверхнею; того мехашзм пов'язаний з "вивертанням" зборки в двоГсту т зборку через зеалгзащго особливост1 "butterfly" - в окол1 прямолппйного руху icHye чотири фугових режими;

б) ектаж з дефектами егшетри:

- бокова сила не змшюе числа стацюнарних сташв модел!, вносячи асиметрпо i i'x положения на фазовш площиш; в нелшшнш постанови! знайдено розв'язок адач! про парирування стало! сили поворотом керованих колю i умови стшкост! в!дновленого" прямолшшного руху;

- зовшшний момент сил навколо вертикально!' oci суттево змшюе картину озпод!лу стац!онарних сташв - з'являються облает! з 4 та 2 режимами та области е вони вдаутш; остання е м1рою "заносонебезпечност!"; в нелшшнш постановщ тримано розв'язок задач! про парирування дп моменту поворотом керованих onic i умови стшкосп" в!дновленого"прямол!шйного руху;

-асиметр!я центру мае за впливом на картину стацюнарних сташв под1бна до пливу моменту сил;

- у Bcix трьох випадках асиметри втрата стшкост! прямолшшного руху мае орсткий характер.

в) дволанковий ектаж:

- встановлено можливкть юнцевого стрибка стац!онарних стан!в при малих пнах параметра (породжуеться веденою ланкою);

-28- визначено характеры! значения параметра поздовжньо! швидкосп руху, щ впливають на ор!ентащю ведено!" ланки в поворот! (у внутршню або зовшшш сторону траекторп);

- на основ! яюсного анал1зу встановлено, що ор!ентацш ведено! ланки внутр!шню сторону кругово! траекторп шдвищуе стшюсть системи пор1вняно окремою ведучою ланкою ! дестабшзуе систему при ор!ентац!1 ведено! ланки зовшшню сторону;

- характерним параметром приведено! дволанково! системи, що впливае н стшюсть кругових стац1онарних рух1в та на характер безпеки границ! облает стшкоси прямолшшного руху в простор! параметр1в , е вщетань ввд центру ма ведено! ланки до точки зчеплення - при проходженш критичного значенн параметру реал1зуеться особлившть "ЬиИегПу"( мехашзм перебудови вже описан для випадку одше! ведучо! ланки);

- знайдено в аналггачному вигляд! вираз критично! швидкоста кругови стац!онарних сган!в достатньо великого рад!усу;

г) п+1-ланковий ектаж:

- зааб анал!тичного представления б!фуркацшноТ множини (його графк п!вкуб!чна парабола з точкою загострення (0,у+) ) для дволанкового еюпаж розповсюджуено на випадок довшьного п+1-лайкового екшажу.

Достов1рн1Сть одержаних результапв та висновив забезпечуетьс коректшетю постановок задач, строго обгрунтованими методами б!фуркацшног анал!зу, !х тестуванням на прикладах з вщомим аналиичним розв'язкол пор!внянням б1фуркац!йних множин, одержаних анал!тично, з результатами 5 незалежно! чисельно! побудови методом продовження за двома параметрами т погоджен!стю з результатами, одержаними в частинних випадках шшим авторами.

Отриман1 в дисертац!йн1й робот результата та висновки, а також розробле! програми можуть бути рекомендован! для використання в науковш та ¡нженерш практищ при описуванн! динам1чних якостей нових конструктивних схем колкни машин.

Осповннй зм1ст дисертацшно! роботи в достатн!й вщображено таких публжацшх:

1. Лобас Л.Г., Вербицкий В.Г. Качественные и аналитические методы в динамю колесных машин. - Киев: Наук, думка, 1990. - 232 с. 1

2. Вербицкий В.Г. Бифуркационные множества и катастрофы в многообразиях стационарных состояний пневмоколесных машин // Прикл.механика.-1995. - 31, №3.-С. 89-95.

3.Вербицкий В.Г. Особенности многообразий стационарных состояний динамических систем при изменении управляющих параметров Н Пробл. управления и информатики.- 1998,- № 4,- С. 10 - 16.

4. Вербицкий В. Г. Особенности многообразий стационарных состояний управляемого колесного робота с дефектами симметрии // Пробл. управления и информатики,- 1998,- № 5,- С. 148 -153.

5. Вербицкий В. Г. О многообразиях стационарных состояний колесного экипажа с асимметричным расположением центра масс // Прикл. механика.- 1998,- 34, №9,- С. 104-106.

6. Вербицкий В. Г., Лобас Л. Г. Бифуркации и устойчивость стационарных состояний связки катящихся упругодеформируемых тел// Прикл. механика.- 1987,23, №8.- С. 101-106.

7. Вербицкий В. Г., Лобас Л. Г. Бифуркации стационарных состояний ведомых звеньев колесных экипажей // Прикл. механика.- 1987.- 23, №9,- С. 110 -116.

8. Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Бифуркации и устойчивость стационарных движений колесного экипажа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.-1988.-№ 1.- С. 57- 63.

9. Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. К теории курсовой устойчивости колесных машин И Прикл. механика,-1989. - 25, № 5. - С. 109 - 116.

Ю.Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Бифуркации стационарных состояний колесных машин при внешних силовых воздействиях // Прикл. механика,- 1990. -26, № 6. -С. 88- 95.

П.Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Влияние силовых воздействий на стационарные движения колесных машин // Прикл. механика,- 1990. - 26, №7. - С . 97-102.

12.Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Многообразия стационарных состояний двух-звенного автопоезда и их устойчивость // Прикл. механика.- 1990.- 26, № 12. -С. 97-104.

13.Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Бифуркации и устойчивость стационарных движений пневмоколесных машин в постоянных силовых полях // Изв. АН СССР. Механика твердого тела,- 1991.-№1. - С. 28 -33.

14.Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Бифуркации стационарных состояний связки абсолютно твердых и катящихся упругих тел // Изв. АН СССР.Механика твердого тела.-1991,- №3. - С. 30 - 37.

1.5.Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Существование и реализуемость стационарных состояний пневмоколесных машин // Прикл.механика.- 1993,- 29, № 7. - С. 81- 89.

16.Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Бифуркации стационарных состояний в системах с качением при постоянных силовых возмущениях // Прикл. математика и механика.-1994.- 58, №5. - С. 165 - 170.

17.Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Вещественные бифуркации динамических систем с простейшей симметрией при изменении управляющих параметров // Пробл. управления и информатики-1995.- № 6. - С. 47- 62.

18.Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Вещественные бифуркации двухзвенных систем с качением // Прикл. математика и механика. - 1996. - 60, № 3. - С. 418 - 425

19.Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Нелинейная устойчивость и бифуркационные множества стационарных состояний колесных роботов при изменении управляющих параметров // Пробл. управления и информатики.- 1996.- № 3.-С. 35 -51.

20.Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Бифуркации стационарных состояний многозвенных систем с качением // Изв.РАН.Механика твердого тела.-1997.- № 5, с.46 - 52.

21.Лобас Л.Г., Вербицкий В.Г. Об устойчивости движения транспортных машин с учетом колебаний управляющего колесного модуля// Прикл.механика-1995,- 31, №4. - С. 86 - 93.

22.Лобас Л.Г.,Сахно В.П.,Вербицкий В.Г., Барилович Е.Л. Бифуркации и катастрофы в динамических системах с симметрией: приложения к транспортной механике // Труды Второй Межд. научно-технической конф."Актуальн.проблемы фундаментальных наук".-1994.-т.2, ч.1.Симпозиум "Теор. и прикл. механика".-М.: Техносфера-Информ., -180 с; С.(А-35)-(А-38).

Вербицький В.Г. Нелшшна стшисть багатоланкових систем з коченням, дивергентш б1фуркацп та катастрофи стацшнарних сташв. - Рукопис.

Дисертащя на здобуття наукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук за спещальшстю 01.02.01 - теоретична мехашка. - 1нститут мехашки iM. С.П. Тимошенка HAH Украши, Кшв, 1998.

Дисертащя присвячена розробщ методов анал1зу k-параметричних с1мей стац1онарних сташв багатоланкових систем з коченням. Подаються нелшшш постановки задач динам!ки систем з коченням, яи дозволяють врахувати вплив конструктивно'! схеми, ¿снуючих дефеьспв н симетрп та зовшшн1х силових збурень на одну з найбшьш сутгевих в експлуатац1йн1й практиц1 характеристик - множину стацюнарних CTaniß та умови ix ст1Йкост1; розвиваються аналпичш та чиселып алгоритми побудови гранищ статично!' ст1йкост1 в npocTopi двох та трьох параметр1в, визначаеться характер безпеки гранищ та мехашзм його змши на основ! анал)зу перебудови особливостей поверхонь стащонарних сташв (катастроф).

Ключое1 слова: нелшшна спйюсть, багатоланков1 системи з коченням, тащонарш стани, дивергенгш б1фуркацп, катастрофи.

Вербицкий В.Г. Нелинейная устойчивость многозвенных систем с качением, дгаергентные бифуркации и катастрофы стационарных состояний. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических гаук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт механики им. Ш. Тимошенко НАН Украины, Киев, 1998.

Диссертация посвящена разработке методов анализа к-параметрических емейств стационарных состояний многозвенных систем с качением. Приводятся [елинейные постановки задач динамики систем с качением, которые позволяют ■честь влияние конструктивной схемы, имеющихся дефектов симметрии и силовых озмущений на одну из существенных в эксплуатационной практике характеристик ■ множество стационарных состояний и условия их устойчивости; развиваются налитические и численные алгоритмы построения границы области статической стойчивости в пространстве двух и трех параметров, определяется характер пасности по Н.Н. Баутину границы области устойчивости в пространстве арамегров и механизм его изменения на основе анализа перестроек особенностей оверхности стационарных состояний.

Ключевые слова: нелинейная устойчивость, многозвенные системы с ачением, стационарные состояния, дивергентные бифуркации, катастрофы.

Verbitskii V.G. Nonlinear stability of multilink systems with, rolling, divergent ifiircation and catastrophe of stationary state - Manuscript.

The Thesis on competition of a Doctor's Degree of Physical and Mathematical fences by the Speciality 01.02.01 - theoretical mechanics. - S.P. Timoshenko Institute f Mechanics of National Academy of Sciences of the Ukraine, Kyiv, 1998.

The dissertation is devoted to the development of methods of analysis of k-irameterical families of stationary state of multilink systems with rolling. Non-linear atements of problems of dynamics of systems with rolling are considered which allow i take into account influence of the constructive circuit, available defects of symmetry id disturbance of forces on one of the essential characteristics which are the set of ationary state and conditions of their stability; analytical and numerical algorithms of lilding border of domain of static stability in two, three-dimensional space of irameters are being developed, N.N. Bautin's character of danger of border of domain ' stability in space of parameters and mechanism of its change have been determined on e basis of the analysis of reconstruction of singularities of a surface of stationary state.

Key words: nonlinear stability, multilink system with rolling, stationary state, vergent bifurcation, catastrophe.