Нелинейная задача теории упругости о плоскости с клиновым вырезом

Гончарова, Анастасия Борисовна

Нелинейная задача теории упругости о плоскости с клиновым вырезом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Гончарова, Анастасия Борисовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Нелинейная задача теории упругости о плоскости с клиновым вырезом»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейная задача теории упругости о плоскости с клиновым вырезом"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ГОНЧАРОВА АНАСТАСИЯ БОРИСОВНА

НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О ПЛОСКОСТИ С КЛИНОВЫМ ВЫРЕЗОМ (ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ)

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

АВТОРЕФЕРАТ

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела Санкт-Петербургского государственного университета.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Черных Климентий

Фасдосьевич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Колпак Евгений Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Филиппов Сергей Борисович

доктор технических наук, профессор Господариков Александр Петрович

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита диссертации состоится рклшл^ир 2006 г. в часов па заседании диссертационного совета Д 212.232.30 по защите диссертаций па соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский проспект, 28, Математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета. •

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9.

Автореферат разосланХОСШТлЪ^Д 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.232.30,

Доктор физико-математических наук, профессор^ ^^ С.А. Зегжда

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы об исследовании концентрации напряжений и деформаций в окрестности вершины выреза при помощи соотношений теории упругости возникает в связи с все более частым использованием новых материалов, работающих при больших деформациях. В связи с все более широким применением эластомеров в современном машиностроении, в механике деформируемого твердого тЬла получили развитие нелинейная теория упругости и нелинейная теория оболочек. Четкая и обозримая теория, позволяющая решать задачи нелинейной теории упругости, развивалась постепенно и, со временем, в рамках различных научных школ появились различные ее варианты. Наиболее полные из них представлены в монографиях В.В.Новожилова, А.Е.Огееп и \У. 7егпа, А.И.Лурье, К.Ф.Черныха.

Необходимость дальнейшего развития нелинейной теории упругости обусловлена тем, что в настоящее время, в частности, строительные конструкции содержат элементы, работающие при больших деформациях. Недостаточные теоретические и экспериментальные исследования часто оборачиваются катастрофами (с большими человеческими жертвами). Теоретические исследования также позволяют оценивать степень точности «машинных» методов расчета, используемых в проектных организациях.

Несмотря на то, что фундаментальные работы по нелинейной теории упругости были опубликованы в течение последних пятидесяти лет, число построенных аналитических решений конкретных задач в нелинейной теории упругости невелико. Для задач, содержащих особые точки, такие решения фактически отсутствуют. Также отсутствуют и экспериментальные результаты для случая больших деформаций растяжения образцов с клиновыми вырезами.

Цель диссертационной работы в построении решения задачи о растяжении плоскости с клиновым (прямолинейным) вырезом из нелинейно-упругого материала.

Для достижения указанной цели необходимо:

1. показать, что при условии несжимаемости можно использовать метод инвариантного / - интеграла;

2. получить асимптотику условных напряжений в вершине выреза (прямолинейного разреза и клинового выреза) для плоскости из следующих потенциалов: неогуковского, несжимаемого стандартного редуцированного и Бартенева-Хазановича;

3. исследовать форму раскрытия выреза;

4. провести экспериментальные исследования по плоскому растяжению образцов, содержащих прямолинейный разрез и клиновидный вырезы;

5. сравнить экспериментальные результаты с теоретическими решениями.

Методы исследования. В работе использовались как теоретические методы исследования напряженно-деформируемого состояния в окрестности особых точек (метод инвариантного 7 -интеграла и метод разложения в ряд), так и экспериментальные (исследование поля деформаций реальных резиновых образцов на опытной установке).

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Построены асимптотики условных напряжений в плоскости с клиновым вырезом для случая нелинейно-упругого материала при силовых граничных условиях, граничных условиях жесткого края и смешанном типе граничных условий.

2. С помощью метода инвариантного интеграла решена задача поиска асимптотики условных напряжений в вершине клинового выреза плоскости из материалов: неогуковского, Бартенева-Хазановича и несжимаемого стандартного редуцированного.

3. Исследовано распределение напряжений в окрестности вершины разреза (прямолинейного и клинового) для неогуковского материала и материала Бартенева-Хазановича.

4. Впервые поставлены эксперименты по одноосному растяжению резиновых образцов с клиновыми разрезами.

5. Экспериментально исследована форма деформированного выреза при различных углах раствора, глубинах выреза. Произведена оценка максимальной кратности удлинения, при которой происходит разрушение образцов.

Практическая ценность. Полученные решения могут быть использованы для предсказания поведения различных конструкций из эластомеров при больших нагрузках и деформациях на стадии проектирования. Предложенный метод J - интеграла может быть использован при исследовании асимптотики напряжений в окрестности особых точек при решении нелинейных задач.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математической постановки задач, сопоставлением авторских решений с решениями, опубликованных в литературных источниках, экспериментальной проверкой теоретических результатов, в том числе и экспериментами автора.

Апробация результатов работы. Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела Санкт-Петербургского государственного университета. Содержание диссертационной работы было доложено на конференции «Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела» СПбГУ (Санкт-Петербург, 2001, 2003, 2004, 2005, 2006); на VI Международной конференции «Assessment of reliability of materials and structures: problems and solutions» СПбГПУ (Санкт-Петербург, 2005); на Международной конференции «Stability and Control processes», СПбГУ (Санкт-Петербург, 2005).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 8 работ, которые содержатся в списке публикаций по теме диссертации на стр. 14-15.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 120 страницах, содержит 37 рисунков и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 157 наименований.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определена концепция работы, обосновывающая ее научную новизну и практическую значимость, сформулированы цели и задачи, указаны методы исследования, приведена краткая аннотация всех глав диссертации, перечислены основные тезисы, выносимые на защиту.

В первой главе представлен обзор публикаций по тематике данной диссертации и приведены основные соотношения нелинейной механики деформируемого тела, как в традиционной, так и в предложенной К.Ф.Черныхом, комплексной форме.

В литературном обзоре отмечается вклад в развитие нелинейной теории упругости отечественных и зарубежных ученых. Особое внимание уделено монографии В.В.Новожилова. Нелинейная теория, предложенная им, свободна от предположений, ограничивающих величину удлинений, сдвигов и поворотов. Это

позволило подойти к решению важных задач, которые из линейной теории, в силу ее ограниченности, выпадали.

Теоретической основой предложенной диссертации являются работы К.Ф. Черныха. Им получен оригинальный комплексный вариант основных соотношений нелинейной механики деформируемого тела, который позволил получить достаточно большое количество аналитических решений нелинейных задач, в том числе и плоских.

Из работ по нелинейной теории упругости выделяют работы следующих отечественных авторов: С.А. Алексеева, И.А.Бригаднова,

A.П.Господарикова, A.C. Григорьева, Л.М.Зубова, С.А.Кабрица,

B.А.Крысько, С.Н. Коробейникова, А.И.Лурье, Б.Е.Мельникова, Е.И.Михайловского, Н.Ф.Морозова, В.В. Новожилова, В.А. Пальмова, А.Н.Руднева, И.Г. Терегулова, П.Е.Товстика, В.И.Усюкина,

C.Б.Филиппова, Г.П.Черепанова, К.Ф.Черныха, Л.А. Шаповалова. Среди зарубежных исследователей следует отметить B.Budiansky, J.D.Eshelby, J.Rice, A.M. Tarantino.

При решении задач о плоскости с вырезом используется метод инвариантных интегралов1 — контурных интегралов, не зависящих от пути интегрирования. Разработку и практическое использование метода связывают с именами Г.П.Черепанова, J.D.Eshelby, J.L.Sanders, J.R.Rice, B.Budiansky. К задачам о трещине J.R.Rice первым применил J - интеграл.

Черных К.Ф. привел вывод комплексных инвариантных интегралов непосредственно из комплексных зависимостей для нелинейной плоской задачи и обобщенной антиплоской деформации. Такой подход позволил уточнить традиционно используемые интегралы, расширить их область применимости и получить новые результаты (жесткие включения, клиновые вырезы). Примененный к плоской задаче метод комплексного инвариантного J - интеграла, дал возможность получить асимптотику условных напряжений для плоскости с клиновым вырезом из сжимаемого (немодифицированного) стандартного редуцированного материала.

По экспериментальным исследованиям образцов из резин при больших деформациях существует мало данных (В.В. Елисеев, K.Minoshima, A.Fatemi, C.B.Biicknall; K.Oie, К. Komai; G.Song, K.Chandrashekhara, W.V. Mars, Г.Н.Албаут, Г.М.Бартенев, Т.Н.Хазанович, Е.П.Колпак, А.Надаи). Что касается линейных задач, то здесь следует выделить работу L.P.Pook, где он дал обзор задач о

1 Path-independent integrals

плоскости с разрезом и частично сопоставил результаты с экспериментом.

Так же в первой главе приведены определяющие соотношения нелинейной теории упругости, как в традиционной постановке, так и в постановке, использующей комплексные координаты: С = х1 = +*х2 > гДе ( х1,х°2 ) и ( х{,х2 ) декартовы координаты материальной точки до и после деформации, соответственно. Уравнения движения в комплексных координатах для случая плоской задачи в отсутствие массовых сил имеют вид

где ^ - тензор градиент движения, 7 - деформационное изменение объема, Е - тензор напряжений Коши. Связь между напряжениями и деформациями задается с помощью упругого потенциала Ф :

случай р = О соответствует сжимаемому материалу. В работе в качестве упругих потенциалов используются стандартный редуцированный и потенциал вида

включающий в себя неогуковский ( п = 2 ) и Бартенева-Хазановича ( п = 1 ), здесь ¡л - модуль сдвига, п - «параметр нелинейности»,

Л1,Л2,Л3 - главные кратности удлинения.

Во второй главе диссертации показана возможность и эффективность применения комплексных инвариантных интегралов в задачах о концентрации напряжений вблизи вершины выреза в плоскостях из несжимаемых материалов.

Указанный метод применен к решению задачи о плоскости с клиновым или прямолинейным вырезом (рис.0.1) при силовых граничных условиях, при граничных условиях жесткого края и при комбинированных граничных условия. Получена асимптотика условных напряжений в вершине разреза в зависимости от упругого потенциала. В частности, для плоскостей из стандартного редуцированного несжимаемого материала, неогуковского материала и материала Бартенева-Хазановича найдены значения асимптотики напряжений.

Рис. 1. Плоскость с клиновым вырезом

Решение проводиться по методу нелинейного инвариантного 3 - интеграла:

7 =

дг

Фе1у -(ст^ + /сг^)-^-(о-! + /о\>2)-=■

сь дС

= 0 .

Получена асимптотика условных напряжений в вершине разреза в зависимости от упругого потенциала Ф : • при статических граничных условиях

. 2(л-2/}° ф зт -— —

и^' 2

(т

дФ

д\дф£\

+ Я

Эг

сое

ат

я-2Р° £ л~р° 2

{ я-2 Р° Л <Р сое ( п-г р° •Л 9

1 х-РГ 1 я-Р°

при условиях жесткого края

-сое

'<Р9

К'"-41

сое

<р

вш

Х-Г

<р

при смешанных граничных условиях

Г<Р

дФ

д\дг1д£\

+ 4

дг

дФ

-ч

дг

2<Г

сое

-2 /Г Л-/3'

<Р

-СОБ

вт

-20°

2 р°

<Р

где £ = г°е1<р

- комплексные полярные координаты, (5° - половина угла выреза, X - кратность удлинения, р - функция типа гидростатического давления, q = 2рХ .

Для плоскостей из стандартного редуцированного несжимаемого материала, неогуковского материала и материала Бартенева-Хазановича найдены значения асимптотики напряжений.

Показатель сингулярности т' определяется формулой

1-у? /яг

В третьей главе поставлена задача теории упругости для бесконечного тела, содержащего разрез. Рассматривается случай силовых граничных условий. Деформационными соотношениями, описывающими напряженное состояние пластины с разрезом, являются компоненты тензора номинальных напряжений, уравнение равновесия в случае отсутствии массовых сил и силовые граничные условия.

При решении задачи используется стандартный способ представления решения в виде разложения в ряд по малому параметру:

-г-^ + ^г-) (/=1,2),

при г 0 и -в <9 <9 , т , 0 < т < 1 - определяемый из решения задачи параметр, ^ (9) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, принимающая вещественные значения, не стремящаяся к нулю тождественно на интервале [-0,0 J .

При решении используются методы теории функций комплексного переменного. Решение нелинейной задачи получено для неогуковского потенциала и потенциала Бартенева-Хазановича. Определяются форма раскрытия выреза (парабола) в окрестности вершины и функции напряжений (нормального и касательного) для неогуковского потенциала и потенциала Бартенева-Хазановича.

Для неогуковского потенциала результатом решения являются перемещения

1 71

x¡ (r,0)~ = rmA¿ sin тв, т = ,

2 0

где A¡ - компоненты ортогонального тензора поворота. Отсюда определяется форма раскрытия выреза (парабола) в окрестности вершины:

1 л

Для материала Бартенева-Хазановича

т—1 /71+1

(т-1)-^2(

(m-l)-^2(m2+l)

т +1

2(т-1)т

2(т—1)т ^ т+1 '

т2+1)

т + 1

т+1

(m-l)n

2 ю+1

Vj_ (6>) = j(f v2' (6>)cos6w)cosm_1 (0)¿0 + с2, где СрС2 - произвольные постоянные и

((m2 +l)m±m(m-l)^2(m2 +l)J(m + l)

Л1,2

C = _m(m + 1)>D==_

2(m2+l)' ш + 1

(m2+l)' (m2+l)'

В четвертой главе приводятся обобщенные экспериментальные результаты автора по исследованию поведения при больших деформациях при одноосном растяжении резиновых образцов, не содержащих или содержащих вырезы. В качестве экспериментального материала использовались различные марки резин (марок 2130 и 3012, ГОСТ 7338-90), изготовленные в НИИРПе и на Ярославском заводе шинной промышленности. Для экспериментов подготавливались образцы, ширина которых была 55 мм или 110 мм, толщина 0,8 мм или 0,4 мм, длина рабочей части изменялась в

диапазоне от 100 до 300 мм. При таких линейных размерах на опытной авторской установке достигались деформации от 100% до 600%. На образец в недеформированном состоянии специальным штампом наносилась квадратная сетка (рис. На). Для определения относительных деформаций наносились специальные метки, расстояние между которыми измерялось до и после нагружения. Вырезы на образце вырубались специальными штампами. Края образца зажимались в зажимы, после чего производилось растяжение образца. Нагрузки измерялись пружинным динамометром. Одновременно проводилась и съемка деформированного образца цифровой камерой. Погрешность измерений не превышала 10% при малых деформациях и 5% при больших. Основные экспериментальные результаты (форма выреза (рис.2), образование складки, количественные зависимости) приведены на рис. 2-7.

а) Исходный образец Л = 1 Клиповой вырез

б) Деформированный образец Л = 1,8

* /П

4 V У*

а = 16%

ЩПШШПМ

Рис. 2. Раскрытие выреза с углом /? = 90° и глубиной а - 16% .

В экспериментах на тонких мембранах при больших деформациях наблюдался эффект выхода края материала, содержащего вырез, из плоскости. На рис. 3 (вид со стороны торца образца) представлен выход края образца наверх относительно

рабочей плоскости. ...........................

рЯРШр:;; Складка на образце,, выход

Ш^^шт^шт^^^^^. мщмтттттиШ 113 плосгосш

/"М/ \ ', 1 1?юекосг ь.

ИШНЙПМНШН .... —III II......11111111111

Рис. 3. Пример выхода образца из плоскости.

По результатам эксперимента исследованы зависимости между различными углами и глубинами выреза и кратностями удлинения образцов (рис. 4, рис. 5); исследовано, как при различных нагрузках раскрывается вырез на образце; найдены коэффициенты концентрации деформаций для растягиваемого образца с различными по глубине и углу вырезами (рис.6); приведены зависимости

относительное раскрытие выреза от кратности удлинения образца (рис. 7); зависимости кратность удлинения в вершине от кратности удлинения образца при различных глубинах выреза (рис. 8).

36.5 62

Угол разреза, градусы

Рис. 4. Зависимость: максимальное удлинение - угол выреза.

Л **

5 8- 30

X « .л. * 8.5-3

3 1в 27

Глубина рззреза.% -

Рис. 5. Зависимость: максимальная кратность удлинения в вершине - глубина выреза в % при различных углах выреза.

9 18 27

ГлуОииа рдзреза,%

Рис. 6. Зависимость: коэффициент концентрации

деформаций - глубина выреза в % при различных углах выреза.

Кратность удлинения образца

Рис. 7. Зависимость: кратность удлинеиия образца - относительное раскрытие выреза.

Кратность удлинений

Кратность удлинения образца j

Кратноаъ удлинении в лоне разреза ]

Рис.8. Зависимость: нагрузка - кратность удлинения образца, кратность удлинения в зоне выреза (глубина выреза 10%)

По экспериментальным исследованиям опубликована работа [8]. Диссертанту в этой работе принадлежат результаты, связанные с растяжением полосы с клиновым вырезом. Остальные результаты принадлежат соавторам.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

На защиту выносятся следующие положения:

1. применение метода инвариантного J -интеграла при решении нелинейной задачи о концентрации напряжений вблизи вершины выреза в плоскостях из несжимаемых материалов (неогуковского, Бартенева-Хазановича и стандартного редуцированного) при статических (силовых) граничных условиях, граничных условиях жесткого края, и смешанном типе граничных условий;

2. исследование асимптотики напряжений в вершине прямолинейного выреза при помощи метода инвариантного 7 -интеграла;

3. исследование поведения математического выреза в окрестности вершины в мембранах из неогуковского материала и материала Бартенева-Хазановича по методу, основанному на использовании разложения в ряд;

4. экспериментальные результаты по одноосному растяжению плоских резиновых образцов с клиновым вырезом при больших деформациях.

4. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гончарова А.Б. Простой сдвиг нелинейной пластины// Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Тр. Научной школы акад. В.В. Новожилова). СПбГУ, СПб. 2001. Вып.4. с. 124-129.

2. Гончарова А.Б. Метод нелинейных инвариантных интегралов для плоской задачи с клиновым вырезом// Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Тр. Научной школы акад. В.В. Новожилова). СПбГУ, СПб. 2003. Вып. 7. с. 52-69.

3. Гончарова А.Б. Нелинейная теория трещин. Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). Санкт-Петербург: изд. «Соло». 2004. Глава 17. с. 307-323.

4. Гончарова А.Б. Плоская задача с клиновым вырезом из стандартного редуцированного несжимаемого материала// Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Тр. Научной школы акад. В.В. Новожилова). СПбГУ, СПб. 2004. Вып. 8. с.39-48.

5. Гончарова А.Б. Нелинейная задача о цилиндрической пластине с клиновым вырезом из неогуковского материала// Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Тр.

Научной школы акад. В.В. Новожилова). СНбГУ, СПб. 2005. Вып.9. с.45-52.

6. Гончарова А.Б. Нелинейная плоская задача с клиновым вырезом из материала Бартснева-Хазановича// Труды VI Международной конференции «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения» («Assessment of reliability of materials and structures: problème and solutions»). СПбГПУ, СПб. 2005. с. 193-497.

7. Гончарова А.Б. Нелинейная плоская задача с клиновым вырезом// Устойчивость и процессы управления, т. 3, секция 8: Труды междунар. конф. (СПб, 29 июня - 1 июля, 2005). СПб: СПБГУ, НИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ. 2005. с. 1270-1275.

8. Гончарова А.Б., Колпак Е.П., Жук А.С. Экспериментальные исследования мембран при больших деформациях растяжения.// Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела (Тр. Научной школы акад. В.В. Новожилова). СПбГУ, СПб. 2006. Вып. 10. с. 17-29.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 19.09.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз., Заказ № 415/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Гончарова, Анастасия Борисовна

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

1.1. Литературный обзор.

1.2. Основные соотношения нелинейной механики деформируемого тела.

1.2.1. Движение и деформация.

1.2.2. Напряжения. Уравнения движения.

1.3. Деформационные зависимости и уравнения движения в комплексном виде.

1.4. Комплексная форма законов упругости.

1.5. Инвариантные интегралы в нелинейной теории упругости.

2. Нелинейная задача механики деформируемого тела для плоскости с вырезом.

2.1. Плоская задача для несжимаемого материала. Вывод инвариантных интегралов.

2.2. Решение задачи о плоскости с клиновым вырезом с использованием комплексного инвариантного У-интеграла.

2.2.1. Плоскость с клиновым вырезом при статических (силовых) граничных условиях.

2.2.2. Плоскость с клиновым вырезом при граничных условиях жесткого края.

2.2.3. Плоскость с клиновым вырезом при комбинированных граничных условиях.

2.3. Плоскость из стандартного редуцированного несжимаемого материала с клиновым вырезом.

2.4. Плоскость из неогуковского материала с клиновым вырезом.

2.5. Плоскость из материала Бартенева-Хазановича с клиновым вырезом.

3. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ С ВЫРЕЗОМ ПО МЕТОДУ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ.

3.1. Нелинейная задача о пластине из неогуковского материала с клиновым вырезом.

3.2. Нелинейная задача о пластине из материала Бартенева-Хазановича с клиновым вырезом.

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛАСТОМЕРОВ.

4.1. Проблемы исследования больших деформаций.

4.2. Экспериментальная установка.

4.3. Резина марки 2130.

4.4. Образцы из высокоэластичной резины (марки 3012).

4.5. Выводы по экспериментальным исследованиям.

Введение диссертация по механике, на тему "Нелинейная задача теории упругости о плоскости с клиновым вырезом"

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы об исследовании концентрации напряжений и деформаций в окрестности вершины выреза при помощи соотношений теории упругости возникает в связи с все более частым использованием новых материалов, работающих при больших деформациях. В связи с все более широким применением эластомеров в современном машиностроении, в механике деформируемого твердого тела получили развитие нелинейная теория упругости и нелинейная теория оболочек. Четкая и обозримая теория, позволяющая решать задачи нелинейной теории упругости, развивалась постепенно и, со временем, в рамках различных научных школ появились различные ее варианты. Наиболее полные из них представлены в монографиях В.В.Новожилова [119], А.Е.Сгееп и \У. гегпа [20], А.И.Лурье[105], К.Ф.Черныха[152].

Для достижения указанной цели необходимо:

1. показать, что при условии несжимаемости можно использовать метод инвариантного У - интеграла;

3. исследовать форму раскрытия выреза;

4. провести экспериментальные исследования по плоскому растяжению образцов, содержащих прямолинейный разрез и клиновидный вырез;

5. сравнить экспериментальные результаты с теоретическими решениями.

Методы исследования. В работе использовались как теоретические методы исследования напряженно-деформируемого состояния в окрестности особых точек (метод инвариантного J - интеграла и метод асимптотического разложения), так и экспериментальные (исследование поля деформаций реальных резиновых образцов на опытной установке).

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

4. Впервые поставлены эксперименты по одноосному растяжению резиновых образцов с клиновыми разрезами.

Практическая ценность. Полученные решения могут быть использованы для предсказания поведения различных конструкций из эластомеров при больших нагрузках и деформациях на стадии проектирования. Предложенный метод J- интеграла может быть использован при исследовании асимптотики напряжений в окрестности особых точек при решении нелинейных задач.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 8 работ, которые содержатся в списке использованных источников на стр. 115-116, 120.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты и выводы

1. В работе показана эффективность применения метода инвариантных интегралов в плоской задаче нелинейной теории упругости для несжимаемых материалов.

2. С помощью применения метода инвариантного J - интеграла решена задача поиска асимптотики условных напряжений в вершине клинового выреза плоскостей из неогуковского, стандартного редуцированного несжимаемого и Бартенева-Хазановича материалов. Частными случаями решения являются асимптотика условных напряжений в вершине прямолинейного выреза и асимптотика в вершине клинового выреза плоскостей из сжимаемых материалов. Для неогуковского материала, материала Бартенева-Хазановича и стандартного редуцированного материала асимптотика получена при силовых граничных условиях (2.60, 2.70,2.73, соответственно).

3. В случае упругого потенциала типа Огдена (1.31) асимптотика условных напряжений в вершине клинового выреза имеет особенности в решении, зависящую от «параметров нелинейности», в отличие от линейной теории с особенностью уг.

4. По методу асимптотического разложения, осуществлен поиск компонент тензоров деформации и напряжений в окрестности вершины выреза (прямолинейного и клинового) плоскости из неогуковского материала. Показано, что для некоторых материалов решение может не содержать особенность.

5. Впервые проведены экспериментальные исследования по одноосному растяжению резиновых образцов с клиновым вырезом и дано их сопоставление с теоретическими результатами. Деформации в испытуемых образцах в окрестности вершины выреза в два раза больше, чем деформации образца (рис. 4.24).

6. Построены зависимости предельной кратности удлинения образца в зависимости от угла клинового выреза и глубины выреза (рис. 4.15, 4.16). Сделан вывод, чем меньше угол клинового выреза, тем меньше предельная кратность удлинения образца.

7. Эффект выхода края выреза из плоскости при одноосном растяжении тонких мембран наблюдался при проведении экспериментов.

8. Показана форма раскрытия клинового выреза (3.15) с использованием метода асимптотического разложения. Эта форма соответствует экспериментальным данным рис. 4.10-4.13. В процессе растяжения клиновой (Г -образный) вырез переходит в U-образный.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Гончарова, Анастасия Борисовна, Санкт-Петербург

1. Amestoy М, Ви, H.D. Labbens, R. On the definition of local path independent integrals in three-dimensional crack problems. Mechanical Results of Continuum. Vol. 8,1981, p. 231-236.

2. Atkinson C., Leppington F.G. The effect of couple stresses on tip of a crack. International Journal of Solids Structure. Vol. 13, 1977, p. 1103-1122.

3. Banks-Sills L and Sherman D. On the computation of stress intensity factors for tree-dimensional geometries by the stiffness and J -integral methods. International Journal of Fracture, vol. 53, 1992, p. 1-20.

4. Bucknall C.B. Applications of microscopy to the deformation and fracture of rubber-toughened polymers. Journal of Microscopy, Vol. 201, Pt 2, February 2001, p. 221-229.

5. Budiansky В., Rice J. Conservation laws and energy release rates. ASME (American Society of Mechanical Engineers) Journal of Applied Mechanics, vol. 40, 1973, p. 201-203.

6. Bui H.D. Associated path independent J -integral for mixed modes. Journal of Physic Solids, vol. 31, 1983, p. 439-448.

7. Chen G.X., Wang C.H., Rose L.R.F. A perturbation solution for a crack in a power-law material under gross yielding. Fatigue Fract Engng Mater Struct, 2002, V. 24, p. 231-242.

8. Cherepanov G. P. Mechanics of Brittle Fracture. McGraw-Hill, New York, 1979.

9. Cherepanov G. P. The Propagation of Cracks in a continuous media. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol. 31, 1967, p. 503-512.

10. Christopher D. Wilson, Prabhu Mani. Plastic J-integral calculations using the load separation method for the center cracked tension specimen. Engineering fracture Mechanics. Vol. 69, 2002, p. 887-898.

11. W.deLorenzi H.G. On the energy release rate and J -integral for 3-D crack configurations. International Journal of Fracture, vol. 19, 1982, p. 183-193.

12. Dowling, N.E., Geometry effects and J integral approach to elastic-plastic fatigue crack growth. ASTM STP 601,1976, p. 19-32.

13. Eriksson K. A domain independent integral expression for the crack extension force of a curved crack in three dimensions. Journal of Mechanics and Physics of Solids. Vol. 50,2002, p.381-404.

14. Eshelby J.D. The continuum theory of lattice defects. Solid State Physics, v.3, Academic Press, NY, 1956.

15. Eshelby J.D. The elastic energy-momentum tensor. Journal of Elasticity. Vol. 5. ,1975, p. 321-335.

16. Fraisse P and Schmit F. Use of J-integral as fracture parameter in simplified analysis of bonded joints. International Journal of Fracture, Vol. 63, No. 1, 1993, p. 59-73.

17. Gao H., Rice J.R. Shear stress intensity factors for a planar crack with slightly curved front. ASME (American Society of Mechanical Engineers) Journal of Applied Mechanics, vol. 53, 1986, p. 774-778.

18. Gdoutos E. E. and Papakalialakis G. Study of crack growth in solid propellants. Fatigue Fract Engng Mater Struct, 2001, V. 24, p. 637-642.

19. Gomoll A., Wanich T., Bellare A. J-integral fracture toughness and rearing modulus measurement of radiation cross linked UHMWPE. Journal of orthopedic research, Vol.20,2002 p. 1152-1156.

20. Green A.E., Zerna W. Theoretical elasticity, Oxford,1954.

21. Gu. I. Finite element analyses of deformation around holes near a crack tip and their implications to the J-resistance curve. Fatigue Fract Engng Mater Struct, 2000, V. 23, p. 943-952.

22. Irwin G.R. Analysis of stress and strains near the end of a crack traversing a plate. ASME (American Society of Mechanical Engineers) Journal of Applied Mechanics, vol. 24,1957, p. 361-364.

23. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. ASME (American Society of Mechanical Engineers) Journal of Applied Mechanics. Vol. 24, 1957, p.361-364.

24. Jeferey W. Eischen. Fracture of nonhomogeneous materials. International Journal of Fracture. Vol. 34, 1987, 3-22.

25. Jeferey W. Eischen. In improved method for the J2 integral. Engineering fracture Mechanics, Vol. 26, No. 5, 1987, p. 691-700.

26. Jono M., SugetaA. and Uematsu Y. Atomic force microscopy and the mechanism of fatigue crack growth. Fatigue Fract Engng Mater Struct, 2001, V. 24, p. 831— 842.

27. Kanninen M. E. (1973): An Augmented Double Cantilever Beam Model for Studying Crack Propagation and Arrest. International Journal of Fracture, vol. 9, 1973, p. 83-92.

28. Khludnev A.M., Sokolowski J. The Griffith formula and the Rice-Cherepanov integral for crack problems with unilateral conditions in nonsmooth domains. European Journal of Applied Mathematics, Vol. 10, No.4, 1999, p. 379-394.

29. Lorentzon M. and Eriksson K. A path independent integral for the crack extension force of the circular arc crack. Engineering fracture Mechanics. Vol. 66, 2000, p. 423-439.

30. Minoshima K., Oie Y., Komai K. Nanoscopic fatigue and stress corrosion crack growth behavior in a high-strength stainless steel visualized in situ by atomic force microscopy. Fatigue Fract Engng Mater Struct 2005, V.28, p. 951-961.

31. Nishioka T., Atluri S. N. Path-Independent Integrals, Energy Release Rates, and General Solutions of Near-Tip Fields in Mixed-Mode Dynamic Fracture Mechanics. Engineering fracture Mechanics, vol. 18,1983, p. 1-22.

32. Nishioka T.; Murakami, R.; Takemoto, Y. The Use of The Dynamic J Jntegral (J) in Finite-Element Simulation of Mode I and Mixed-Mode Dynamic Crack Propagation. International Journal of Pressure Vessels and Piping, vol. 44, 1990, p. 329-352.

33. Okada H., Atluri S.N. Further studies on the characteristics of the J integral: Plane stress stable crack propagation in ductile materials. Computational Mechanics 23 (1999), Springer-Verlag 1999, p. 339-352

34. Paranjpe, S. A. and Banerjcc S., Interrelation of crack opening displacement and J-integral. Engineering fracture Mechanics, Vol. 11,1997, p. 43-54.

35. Parks DM. A stiffness derivative finite element technique for determination of crack tip stress intensity factors. International Journal of Fracture. Vol. 10, 1974, p.487-502.

36. Rahman S. and Brust F.W. Approximate methods for predicting J-integral of a circumferentially surface-cracked pipe subject to bending. International Journal of Fracture 85: 111-130, 1997.

37. Rahman S. Probabilistic fracture mechanics: J-estimation and finite element methods. Engineering fracture Mechanics, Vol. 68, 2001, p. 107-125.

38. Rahman S., Kim J.S. Probabilistic fracture mechanics for nonlinear structures. International journal of pressure vessels and piping. Vol. 78, 2001, p. 261-269.

39. Rice J.R. A path independent and the approximate Analysis of strain concentration by notches and cracks. ASME (American Society of Mechanical Engineers) Journal of Applied Mechanics, 1968, Vol. 35, p.379-386.

40. Rice J.R., Cotterell B. Slightly curved or kinked cracks. International Journal of Fracture, vol. 16,1980, p.155-169.

41. Rice J.R., Rosengren G.F. Plane strain deformations near a crack tip in a power-law hardening material. Journal of Physic Solids, Vol. 16, 1968, p. 1-12.

42. Rice, J.R., The mechanism of crack tip deformation and extension by fatigue. ASTM STP 415,1967, p. 247-311.

43. Sanders J.L. On the Griffith-Irwin Fracture Theory. ASME (American Society of Mechanical Engineers) Journal of Applied Mechanics, 1960, Vol. 27, p.352-359.

44. Sokolowski J. and Khludnev A.M. The derivative of the energy functional along the crack length in problems of the theory of elasticity. ASME (American Society of Mechanical Engineers) Journal of Applied Mechanics, 2000, Vol. 64, No. 3, p.449-456.

45. Song G., Chandrashekhara K, Breig W.F., Klein D.L., Oliver L.R. J-integral analysis of cord-rubber serpentine belt using neural-network-based material modeling. Fatigue Fract Engng Mater Struct, 2005, V. 28, p. 847-860.

46. Sternberg Eli, Knowles J.R. On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics. Archive for rational mechanics and analysis, 1972, Vol. 44, p.187-211.

47. Takamoto ltoh. J-integral estimate for biaxially stressed Mode I cracks based on COD strain Trans, of the Japan Society of Mechanical Engineers, Ser.A, 1997, 63, No.599,2-26.

48. Taranlino A.M. On extreme thinning at the notch tip of a neo-hookean sheet, Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, Vol.51, Pt.2, 1998, p.179-190.

49. Tatantino A.M. Nonlinear fracture mechanics. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, Vol.50, Pt.3,1997, p.435-456.

50. Treloar L. Stress-strain data for vulcanized rubber under various of deformation// Rubber.Chem.Tech. 1944, Vol. 17 №4, p.817-825.

51. Vukobrat M., Sedmak A. Conservation law of J-integral type for multilayered shells// The scientific journal FACTA UNIVERSITATIS, Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics Vol.2, No 8, 1998, p. 703 708 (http://ni.ac.yu/Facta).

52. Weerls {J., Kossira H. Mixed mode fracture characterization of adhesive joints. ICAS 2000 Congress.

53. Алексеев СЛ. К теории мягких оболочек. 4-я Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин. Баку, 1966, Москва, Наука, 1966, с. 945-947,

54. Алексеев С.А. Расчет круглой мембраны под равномерной нагрузкой. Инженерный сборник, 1956,т.25, с. 64-80.

55. Бартенев V.M. К теории двумерного растяжения резины. Коллоидный журнал, 1955, т. 17, №1, с. 18-23.

56. Бартенев Г.М., Вакорина М.В., Ерченков А.И. О деформационных характеристиках плоских резиновых мембран. Каучук и резина, 1968, №5, с. 42-43.

57. Бартенев Г.М., Хазановнч Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров // Высокомолекулярные соединения, 1960, т.2 №1, с. 20-26.

58. Бирштейн Т.М., Птыцын О.Б. Конформация макромолекул, Москва «Наука», 1964, с. 183.

59. Бригадное H.A. Теоремы существования для краевых задач гиперупругости, Математический сборник, 1996, 187, №1, с.3-161Ъ.БроекД. Основы механики разрушения, //www.mysopromat.ru.

60. А. Вакорина М.В. Исследование некоторых факторов, определяющих работоспособность резиновых диафрагм. Каучук и резина, 1966, №12, с. 31-32.

61. Вакорина М.В. К Вопросу о деформационных характеристиках плоских резиновых мембран. Каучук и резина, 1968, №5, с. 42-43.

62. Глинка H.JI. Общая химия: Учебное пособие для вузов. Изд-во Химия, 1983, 704 с.

63. Гончарова А.Б. Глава 17. Нелинейная теория трещин. Монография Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). Санкт-Петербург: изд. «Соло», 2004-с. 307-323.

64. Гончарова A.B. Простой сдвиг нелинейной пластины.// Сборник трудов третьей конференции молодых ученых научной школы академика В.В. Новожилова. Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела, выпуск 4, 2001, СПбГУ, СПб, с. 124-129

65. Госпадариков А.Б., Терентьев В.Ф., Черных К.Ф. Численное исследование некоторых прикладных задач упругой статики осесимметричных мембран вращения. Механика деформируемых сред. Куйбышев, 1979, №4, с. 6-10.

66. Григорьев A.C. Исследование работы круглой мембраны при больших прогибах за пределами упругости Инженерный сборник, 1951, т.2, с. 99105.

67. Губенко А.Б., Зубарев Г.Н., Кулаковский А.Б. Пневматические строительные конструкции. Москва, Госстройиздат, 1963,127 с.

68. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб, Издательство СПбПУ, 2002, 341 с.

69. Зубов JIM., Руднев А.Н. О неустойчивости растянутого нелинейпо-упругого бруса, ПММ, 1996, 60№ 5, с. 786-798.

70. Зубов Л.М., Руднев А.Н. О признаках выполнимости условия Адамара для высокоэластичных материалов, МТТ, 1994, №6, с. 21 -31.

71. Кабриц С.А., Колпак ЕЛ., Крылатчанов K.M., Прасникова С.С., Черных К.Ф. Нелинейная теория оболочек из эластомеров. XIII Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек. Таллин, 1983, ч.З, с. 7-12.

72. Кабриц CA., Колпак Е.П., Черных К.Ф. Квадратная мембрана при больших деформациях. Известия АН СССР, МДД, 1985, №1, с. 175-179.

73. Кабриц СЛ., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. Санкт-Петербург: изд-во Санкт-Петербургского университета, 2002,388 с.

74. Каргин В.А., Слонимский Г.Я. Краткие очерки по физике-химии полимеров, 2 изд., Москва «Наука», 1967, с. 323.

75. Ковтуненко В.А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов.// Прикладная математика и механика. Т. 67, № 1,2003, с. 109-123.

76. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости, Гостехтеоретиздат, 1934.

77. Колпак Е.П. Устойчивость безмоментных оболочек при больших деформациях. Санкт-Петербург: изд-во Санкт-Петербургского университета, 2000, 248 с.

78. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Монография. Издательство Новосибирск: Новосибирского отделения Российской академии наук, 2000, с. 262.

79. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Монография. Издательство Новосибирск: Новосибирского отделения Российской академии наук, 2000, с. 262.

80. Крысько В.А., Мирумян A.A. К устойчивости пластин из нелинейно упругого материала, лежащих на упругом основании. Расчет напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек, Саратов, 1981, с.45-47

81. Литвиненкова 1Н., Черных К.Ф. Теория больших упругих деформаций. Ленинград: изд-во Ленинградского университета, 1988, 256 с.

82. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. Москва, Наука, 1980, 512 с.

83. Мазья В.Г., Назаров С.А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях вблизи угловых и канонических точек.// Труды московского математического общества, 1987, с. 79-129.

84. Малышев А.И., Помогайбо A.C. Анализ резин, Москва «Химия», 1997, с.232.

85. Михайловский Е.И., Торопов A.B. Математические модели теории упругости. Суктывкарский университет. Сыктывкар, 1995, 251 с.

86. Морозов Е.М. Введение в механику развития трещин. Москва: МИФИ, 1977, 91 с.

87. Морозов Н. Ф. Математическое изображение реальных трещин и вопросы хрупкого разрушения.// Математические вопросы механики деформируемого твердого тела. Москва: Наука, 1986, с. 91-95.

88. Морозов Н.Ф. Математические вопросы механики трещин. Москва: Наука, 1984.

89. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. Москва: Наука, 1984.

90. Морозов Н.Ф. Проблемы хрупкого разрушения и их исследование методами теории упругости.// Механика и научно-технический прогресс. Т.З. Механика деформируемого твердого тела. Москва: Наука, 1988, с. 5463.

91. Мусхелишвили H.H. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

92. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. (Пер. с англ. под ред. Г.С.Шапиро) в 2-х томах. Изд. Иностранной литературы, Москва, 1954.

93. Назаров С.А., Полякова O.P. Весовые функции и инвариантные интегралы высших порядков.// Известия РАН. МТТ. 1995, с. 104-119.

94. Новожилов В.В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах.// Прикладная математика и механика, 1969, Т. 33, Вып. 5, с. 797-812.

95. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Москва. Гостехиздат, 1948., 212 с.

96. Новожилов В.В. Теория упругости. Издательство СУДПРОМ ГИЗ, 1958, с. 375 с.

97. Новожилов В.В. Теория упругости. Ленинград: Судпромгиз, 1958, 370 с.

98. Новожилов В.В., Толокопииков JI.A., 11ерных К.Ф. Нелинейная теория упругости. //Механика в СССР за 50 лет. Москва. Наука, 1972, т.З, с.71-78.

99. Новожилов В.В., Черных К.Ф. Об «истинных» мерах напряжений и деформации в нелинейной механике. //Известия АН СССР №5, 1987, с.73-79.

100. Пальмов В.А. Колебания упругопластических тел. Москва, 1976, 328 с.

101. Папасюк В.В., Саврук М.П., Дацышии А.П. Распределение напряжений около трещины в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976,443 с.

102. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около трещины.// Прикладные вопросы вязкости разрушения. Москва: Мир, 1968, с. 64-142.

103. Партой В.З., Перлип П.И. Методы математической теории упругости. Москва «Наука», 1981, 688 с.

104. Парфеев В.М., Грушецкий И.В., Дробышев A.A., Гайдамакииа Г.В. Механические свойства эластомеров для искусственных клапанов сердца лепесткового типа. Механика композиционных материалов, 1983, №1, с.110-117.

105. Петерсои Р. Коэффициенты концентрации напряжений (пер. с англ.), М. «Мир», 1977, с. 304.

106. Покровский В.Н. К теории вынужденной высокоэластичной деформации полимерных материалов. Механика полимеров, 1968, №2, с. 255-262.

107. Постное В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л., Судостроение, 1977,279 с.

108. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения.// Разрушение. Т.2. Москва: Мир, 1975, с. 204-233.

109. Рудой Е. М. Асимптотика интеграла энергии при возмущении границы. //Динамика сплошных сред, №116, 20006 с. 97-103.

110. Рудой ЕМ. Инвариантные интегралы для задачи равновесия пластины с трещиной.// Сибирский математический журнал, Март-Апрель. Том 45, №2, 2004, с. 466-477.

111. Рыжанков В.Г. Упругие степенные потенциалы для ненаполненных эластомеров. Вестник ЛГУ, сер.1,1987, вып.4, с. 102-104.

112. Сангалов Ю.А., Миискер К.С. Полимеры и сополимеры изобутилена: Фундаментальные проблемы и прикладные аспекты. Уфа: Гилем, 2001, 384 с.

113. Слеши JI.И. О деформациях в окрестности особой точки.// Известия АН СССР. МТТ, 1972, №4, с. 70-79.1. Д;

114. Соколовски Я., Хлуднсв А.М. О дифференцировании функционалов энергии в теории трещин с возможным контактом берегов.// Доклад РАН, Т. 374, №66 2000, с. 776-779.

115. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений под ред. Мураками Ю. (перевод с английского Даниленко В.И.) в 2-х томах, издательство «Мир», 1990.

116. Стыцына В.К. Определение функции упругого потенциала латексных пленок. Известия вузов, Машиностроение, 1972, №2, с. 12-14.

117. Терегулов И.Г. К построению соотношений напряжения деформация для тонких нелинейно-упругих оболочек, - Механика деформируемого твердого тела. Тула, 1983, с. 122-129.

118. Технология резиновых изделий: учебное пособие для вузов/ Ю.О. Аверко-Антонович, Р.Я. Омельченко, H.A. Охотина, Ю.Р.Эбич/ Под ред. П.А. Кирпичникова. JI.: Химия, 1991, с. 352.

119. Товстик П.Е. Осесимметричные деформации тонких оболочек вращения из нелинейно упругого материала. ПММ, 1997, т.61, №4, с.660-673, Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. Москва, Наука, 1995,320 с.

120. Трелоар JI. Физика упругости каучука, пер. с англ., Москва «Наука», 1953, с. 221.

121. Усюкип В.И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких оболочек, Известия АН СССР, МДД, №1, с.70-75.

122. Филиппов С.Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. Санкт-Петербург: СПбГУ, 1999,195 с.

123. Черепанов Г.П. Инвариантные J -интегралы и их приложения// Прикладная математика и механика, 1977, т.41, №3, с.399-412.148. 11ерепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде. ПММ. 1967, т. 31, №3, с. 476-488.

124. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. Москва: Наука. Физматлит. 1996,288 с.

125. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. 4.1. Теория. Санкт-Петербург: 1999,276 с.

126. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Ленинград: Машиностроение, 1986, 336 с.

127. Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). Санкт-Петербург: изд. «Соло», 2004,420 с.

128. Черных К.Ф., Шубина ИМ. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов. Феноменологический подход.- Механика эластомеров, Краснодар, 1977, с.54-647.

129. Шаповалов Л.А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек Известия АН СССР, МДД, 1968, №1, с.56-63.

130. Энциклопедия полимеров. Ред. коллегия A.B. Каргин и др. в 3 томах, Изд-во: Москва, Советская энциклопедия, 1972.