Нелинейные колебательные процессы в полуоткрытых трубах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

'6

од

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

"На правах рукописи

БУРНУСЕНКО Елена Николаевна

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУОТКРЫТЫХ ТРУБАХ -

01.05. - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995 г.

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук.

профессор Филиппов Борис Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Коузов Даниил Петрович

доктор физико-математических наук, *• ■ * доцент, Мирошин Роман-Николаевич. _

Ведущая организация: Санкт-Петербургский -Балтийский

университет

"Защита состоится 1996г. ъ часов

на заседании диссертационного совета К 063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Ст. -Петергоф, Библиотечная пл., д. 2, СПбГУ, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке им. М.Горького СПбГУ но адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан

199

Ученый секретарь диссертационного -совета, доцент

М. А.Барбут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

.Актуальность темы. Нелинейные резонансные колебания как объект исследования.являются важным элементом в различных технологических устройствах: в камерах сгорания, заглушающих устройствах для двигателей внутреннего сгорания, аппаратах для распыления аэрозолей, газодинамических излучателях звука и т.д. Существует обширная литература по предмету вопроса. В частности, в Санкт-Петербургском университете подобные задачи рассматривал Дулов В.Г., в Казанском-университете Ильгамов М.А., Галлиулин Р.Г., РевваИ.П.. Пермяков Е.И. и т.д. Однако, в настоящее время не существует универсальной теории, позволяющей решать подобного типа задачи. Поэтому развитие аналитических и-особенно численных моделей для расчета нелинейных колебаний представляет несомненный практический интерес.

Цель работы:

- развить вычислительную схему неустановившихся нелинейных колебаний газа в полуоткрытом резонаторе, описываемых газодинамическими уравнениями и нелинейными граничными условиями;

- провести аналитический и численный анализ (на основе решений системы газодинамических уравнений) полуоткрытой трубы как термоакустической системы.

Научная новизна:

- развита вычислительная схема и получены новые численные результата, описывающие процесс установления нелинейных колебаний газа в полуоткрытой трубе;

- вычислительная схема оперирует с точными газодинамическими ураЁнениями без дополнительных предположений и учитывает нелинейные граничные условия;

- проведен аналитический и численный анализ полуоткрытого резонатора как термоакустической системы:

- на основе полученных данных проведен количественный анализ возможности использования полуоткрытого резонатора как акустической охлаждающей системы.

Результаты, выносимые на защиту и вывода:

1.. Вычислительная схема для расчета неустановившихся вынужденных нелинейных колебаний газа в полуоткрытых резонаторах псевдоспектральным методом, оперирующая точными газодинамическими уравнениями без дополнительных предположений с учетом нелинейных граничных условий.

2. Программа на языке Фортран-77.

3. Численный и аналитический анализ полуоткрытого резонатора как термоакустической системы. Аналитическое решение' приближенной модели.

4. Выводы о возможности и условиях использования полуоткрытого резонатора как акустической охлаждающей системы (акустический холодильник). -

Степень обоснованности результатов работы. Полученные в диссертационной работе результаты проверялись сравнением с уже известными как численными, так и теоретическими данными, что подтвердило их обоснованность.

Апробация работы и публикации. Результаты работы неоднократно докладывались на кафедре физической механики Санкт-Петербургского университета. Был сделан доклад в Санкт-Петербургском Балтийском университете. Результаты данной работы были частично представлены на конференции "Sitzung des DEGA - Physikalische Akustik", Bad Honnef, November 1993, а также на семинаре в Institut der Technische Akustik, TU Berlin. По материалам диссертации опубликовано три работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения i пяти глав. Общий объем работы составляет 152 страниц, включая 31 рисунков и список литературы,- содержащий 71 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цель и результаты исследования Приведено краткое содержание диссертации по главам.

В главе 1 §1 представлен обзор литературы отечественных -

зарубежных авторов по теме "Вынужденные колебания газа в полуоткрытых и замкнутых объемах (трубах)". Основной интерес для нас представляли колебания в полуоткрытых трубах. Одна из главных трудностей, возникающая при рассмотрении данной задачи - выбор граничного условия на открытом конце трубы. Если амплитуда колебаний мала, то для определения значений таких параметров газа, как скорость, давление, можно использовать результаты линейной теории звука. Если амплитуда установившихся колебаний порядка 0.1 атм или превышает данное значение, существенную роль начинают играть нелинейные эффекты, особенно по отношению к граничным условиям на открытом конце трубы. Нелинейность обуславливает существенно более высокую скорость затухания колебаний, чем в линейной теории. В данной главе мы рассмотрели и проанализировали граничные условия на открытом конце трубы, предложенные отечественными и зарубежными авторами.

В главе 2 сформулирована постановка задачи о нелинейных вынужденных колебаниях газа в полуоткрытой трубе. Описаны численные методы, которые мы использовали при решении данной задачи.

В §2 сформулирована постановка задачи. Мы рассмотрели вынужденные колебания'столба газа в полуоткрытой трубе (рис.1). На закрытом конце трубы поршень совершает колебания по гармоническому закону. Открытый конец свободно сообщается с окружающей средой. В точной постановке задача об интенсивных колебаниях газа в цилиндрической трубе описывается уравнениями вязкого теплопроводного газа с граничными условиями прилипания на стенках трубы: Таким образом, реальная задача является двумерной и дис-сипативной. Тем не менее, в большинстве физически интересных ситуаций хорошим приближением к реальности является упрощенная одномерная постановка, пренебрегающая вязкими эффектами. Данные упрощения были обоснованы в начале параграфа.

Для описания процесса возникновения и установления колебаний газа в трубе мы использовали полную систему уравнений газовой динамики (одномерный случай):

ш * + -о,

где р. v, р соответственно плотность, скорость и давление газа .в .трубе, Ъ - время, г - пространственная переменная, ^ - показатель адиабаты. ' Граничные условия. Закрытый конец (поршень г=0):

= • (2) у0 - амплитуда колебаний скорости поршня, ш - циклическая частота.

На открытом конце мы использовали нелинейные граничные условия. предложенные »ИЗгугаагАеп* ■ .

/>-/>о=-/>о 4Г* , *г <.€>,- (3)

= о, ' & а,

Ро. Ро ~ атмосферное давление и плотность невозмущенного газа соответственно.

Начальные условия:

f~fa> (4)

Система уравнений (1), граничные условия (2),(3) и начальные условия (4) есть начально-краевая задача, описывающая развитие и установление колебаний газа в трубе.

В §3 мы привели систему уравнений (1)-(4) к безразмерному виду. Поскольку нас интересовали колебания газа на резонансной частоте, при обезразмеривании мы осуществили подстановку

ло ~ ~ Ж Где с% - частота первого линейного резонанса, с0 - скорость звука, I - длина трубы.-

■ В §4 были рассмотрены основные положения чебышевских спектральных методов и- псевдоспектрального метода. Приближенное решение задачи Ш-(4) искалось в виде разложения по полиномам Чебы-шева первого рода

Р (п +) X . Ы)^ О) , (5)

л.-О ^

* Wljngaarden L. ' On the oscillations near and at resonance in open pipes. - J. Eng. Math., 1968, v. 2, N3, p. 225-240.

где рп - коэффициент дискретного преобразования Чебышева функши р. Для ру и р записываются аналогичные выражения. В результате была получена система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно значений функций в узловых точках, которую далее мы решали методом Адамса типа "предиктор-корректор" третьего порядка точности.

В §5 Рассмотрены экстраполяционные и интерполяционные методы Адамса. Сформулировано определение методов Адамса типа "предиктор-корректор". Приведены примеры интерполяционных методов Адамса. для которых начальное приближение вычисляется экстрапо-лянионным методом. Сделан вывод, что методы Адамса типа "предиктор-корректор" в некоторых случаях применимы для решения жестких систем уравнений.

В главе 3 объяснен смысл явления жесткости. - Дано математическое определение жесткости. Рассмотрен вопрос устойчивости. Приведены примеры численных методов для решения такого рода уравнений.

В §6 объяснён смысл явления жесткости. Вопрос о жесткости зозник в нашей работе, поскольку имели место трудности при попытке численного интегрирования системы ОДУ (уравнения (1) после применения псеЕДоспектрального метода) явными методами типа Рун-ге-Кутты. Так как именно с "жесткими" дифференциальными уравнениями возникают такого рода сложности, мы посчитали необходимым рассмотреть данный класс уравнений.

В §7 дано математическое определение жесткости. Рассмотрен вопрос численной устойчивости, поскольку это основная проблема, возникающая при попытке получить численное приближение к точному решению "жесткой .задачи".

В §8 представлено несколько полунеявных методов Рунге-Кут-ты для решения "жестких" задач. Одним из данных методов, методом Михельсена, мы решали нашу систему ОДУ. Метод Михельсена оказался менее эффективным для получения численного решения нашей системы дифференциальных уравнений, чем метод Адамса. Вычисления методом Адамса занимали в четыре раза меньше времени, чем методом Михельсена,- Сравнивая результаты вычислений, полученных двумя данными методами.- мы смогли убедится в верности численного решения, полученного методом Адамса.

В главе 4 мы представили и проанализировали результаты численного расчета начально-краевой задачи (1)-(4) псевдоспектральным методом Бубнова-Чебышева с использованием метода Адамса типа "предиктор-корректор".

В §9 приведены результаты расчета для случая линейных колебаний - рис.2,3 (колебания газа в трубе описываются линеаризованными уравнениями движения, но граничные условия при этом нелинейные) и случая нелинейных колебаний - рис.4,5 (уравнения движения и граничные условия - нелинейные). Мы рассмотрели оба случая с целью продемонстрировать степень влияния нелинейности на колебательные процессы в трубе. Расчеты с использованием псевдоспектрального метода велись по девяти узловым точкам. Безразмерную амплитуду колебаний скорости поршня мы варьировали' на промежутке ДО. 001,0.1].

Численные результаты, полученные нами, сравнивались с асимптотическим решением шипяаагйеп (при решении он использовал лианеаризованные уравнения движения и нелинейные граничные условия):

где 5 - амплитуда смещения поршня.

Серия проведенных численных экспериментов показала, что ли-анеризованная система уравнений хорошо описывает колебания газа в трубе лишь до безразмерных амплитуд колебания скорости поршня у0/с0=0.005. Далее пренебрегать нелинейностью в уравнениях, описывающих колебательные процессы уже нельзя.

Важным моментом является правильный выбор числа узловых точек в псевдоспектральном методе. Для получения более точного решения необходимо брать большее число узловых точек. Уже при N=9 достигается хорошее совпадение результатов. Однако, при N^11 наша вычислительная программа претерпевала сбой. Для преодоления этой трудности в программу был включен'сглаживающий фильтр "приподнятый косинус".*

* Hussalni M.Y., Kopriva D.A., SalasM.D., Zang Т. A. Spectral methods for the Euler equations.//AIAA Journal.parti.-1985.-v. 23, N1, p. 64-70, part2. -1985. -v. 23. N2, p. 234-240.

>, (6)

В §10 описаны сглаживающие цифровые фильтры лля спектральных методов и результаты применения фильтра "приподнятый косинус" в нашей программе.

'В главе 5 был проведен аналитический и численный анализ распределения средней, по BpeiV.eHH температуры вдоль трубы.

В §11 представлена схема аналитического вывода средней по времени температуры при использовании уравнения состояния идеального газа и уравнения для потока импульса. Были получены выражения для средней по времени температуры на поршне и на открытом конце трубы. Наименьшая средняя температура наблюдается у открытого конца. Кроме того, аналитические расчеты предсказали охлаждение газа на открытом конце трубы.

В §12 затронут интересный, но до настоящего времени малоизученный вопрос об охлаждении газа у открытого конца. Термин "охлаждение" означает.что в процессе всасывания в трубу поступает газ нормальной температуры Т0. а в процессе истечения образуется струя газа с пониженной температурой. Таким образом, получается своего рода термоакустический холодильник, идея которого в последнее время нередко обсуждается в технической литературе. В качестве примера приведены расчеты охлаждения газовой струи для к = 1.4 и ] = 3 и амплитуд скорости газа в трубе 0.1с0. Расчеты показали, что для получения существенного понижения температуры необходимо увеличивать амплитуду колебаний газа. Однако в этом случае в трубе возникает процесс образования ударных волн и дополнительное тепловыделение, что препятствует, в принципе, осуществлению идеи акустического холодильника.

В §13 представлены результаты численного расчета средней температуры в трубе. Температуру мы представляли как функцию р и р. Плотность и давление вычислялись при решении задачи (1)-(4) псевдоспектральным методом (по 9 расчетным узлам) с использованием метода Адамса. Однако, так как при расчетах мы считали течение изэнтропичкым, вместо третьего уравнения (1) для давления мы использовали уравнение баротропы jb//30~(p/f>a) ** . Среднюю избыточную температуру мы искали как интеграл по времени

i

где Т0«=273°К. Интеграл (7) вычисляли методом трапеций.

На рис.6-9 показаны результаты численного расчета для безразмерной амплитуды скорости поршня 0.01 и к=1.4 и 7=3.

Далее приведена сравнительная таблица результатов, полученных аналитически и численно, для средней избыточной температуры на открытом конце.

Теория Числ. результат

М=0. 001 7=1. 4 -0.07 -0.05

7=3 -0.35 -0.32

М=0.005 Tf-l. 4 -0.35 -0.36

7=3 -1.74 -1.66

М=0. 01 Tf-l. 4 -0.7 -0.66

7=3 -3.48 2

Численщге результаты достаточно хорошо совпадают с теорией. Однако, даже для больших амплитуд скоростей и показателя адиабаты 7=3 теория и численный эксперимент предсказывают незначительное понижение температуры. Дальнейшее же увеличение амплитуды колебаний скорости, как уже говорилось выше, влечет за собой процесс образования ударных волн и дополнительное тепловыделение.

Заключение.

Предложенную в диссертации численную схему можно распространить на случай ударных волн в трубе, а также на сферические и цилиндрические одномерные резонаторы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: •1. Макаров С.Н., Бурнусенко E.H. Уравнения нелинейной акустики 3-го приближения и их приложения.- ИТПМ,Новосиб., Моделирование в механике,Hl,т.7(24).с. 114-120.1993.

2. Макаров С.Н.. Бурнусенко E.H. О численном расчете средних по времени величин звукового поля на базе псевдоспектрального метода Бубнова-Чебышева. - Вестник ЛГУ, 1994, серия1,выпЗ,К 15. с.81-88.

3. Бурнусенко E.H. О граничных условиях на открытом конце полуоткрытой трубы.-Депонировано в ВНИИТИ,N 550В95 от 28.02.95.

- Ii -

nopuieHD

/ z

r=0

r= L

Puc. 1

ЛИНЕЖЬЙ СЛУЧАЙ . чис/ю Маха Н= 0.005 N=9

МасишаБ 1-230

Масштаб 1>70

Избаточное давление на закритом конце отруба на временном промежутке

1 - 16-Н0

2- 80-84

3- 160-164

4 - точное решение .

5 - избыточное давление на открытом конце ет. Времо 160-164

нммнш

Рис£

ДО Ж 134 1Ы 100 юг

/мнсжыи случай

число Маха М=0.ГО N-9

Масштаб 1Д50

1 г.з

Нисытаб 1'50

Избыточное давление на

закратом конце труба на временном лропеиупке

1 - 16-20

2 - 80-84

3 - 160-164

4 - почное решение

5 - изостоиное давление на открытом конце »0, Время 160-164

шшт

Рис.3

и е* аь 4в

96 «я ев 1эг ид ш ш ш юг

НЕЛИНЕЙНЫЙ СЛУЧАИ иисло Маха И=0.005 N-9

Маеита.В ЬВЗО

Масштаб Ь70

Иг5мтоиное давление на закрытом конце пру5а но Временном прсиекч'гке

I - 16-20 В - 80-84

3 - 160-164

4 - «тачное решение

5 — избыточное баВлени? на открытием конце зо Время 160-164

Щ

и а» к лв и »

Ш М Ш Ш !Ш №

Рис.4

НЕЛИНЕЙНЫЙ СЛУЧАЙ иисло Маха М=й03

N=9.

Масштаб 1И50

ИаситаБ Ъ50

Игбыточное давление на запретом конце шру5в на временном промежутке

1 - 16-20

2 - 80-84

3 - 160-164

4 - почное реиение

5 - из5отоиное йавление но опхрегаом конце во Время 160-164

ИШ««1111И

и 34 а 7г ш ъиажышшиашюб

Рис.5

ПОКАЗАТЕЛЬ АДИАБАТЫ = 1.4

М= ОШ N= 9

МАСШТАБ 1:25000

so i?» 1Ы1 ста г<о ста зго зво -too «о «во 5го Збо ьоо

СРЕДНЯЯ ТЕМПЕРАТУРА 1 - НА ОТКРЫТОМ КОНЦЕ г - НА СЕРЕДИНЕ ТРУЬЫ 3 - НА ЗАКРЫТОМ КОНЦЕ

МАСШТАБ 1-400

■•лаягоаговизятвзткзсзз

4е ео 1гв 1ьо еоо г4о гзо зго зьо 4ио 4чо 4во 520 зво боо

ИЗБЫТОЧНОЕ ДАВЛЕНИЕ НА ОТКРЫТОМ КСНИЕ •

Рис.6

ПОКАЗАТЕЛЬ АДИАБАТЫ = 3 М=0.01 N=9

КАСЕТА5 1-.7СС0

■то ао tgp ib» гчо г<о евд зго зьо -<оо ч-то чзо гго ъсх ела

К 1 Pipare г кюшк 3

СРЕДНЯЯ ТЕМПЕРАТУРА 1 - НА ОТКРЫТОМ КОНЦЕ г - НА СЕРЕДИНЕ ТРУБЫ 3 - НА ЗАКРЫТОМ КОНЦЕ

МАСШТАБ Ъг70

4« В 121 IU 2И 240 £80 320 3£0 400 440 4Й0 5£0 SÉ0 Ш

ИЗБЫТОЧНОЕ ДАВЛЕНИЕ НА ОТКРЫТОМ КОНЦЕ

Рис.7