Нелинейные краевые задачи для эллиптических систем первого порядка на плоскости в дробных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН.

" НЕЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ' СИСТЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ В ДРОБНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

АУЕЗБАЕВА ТАЛЬМИРА ЕСИМХАНОВНА

Алматы, 1993

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики Национальной Академии наук Республики Казахстан

I

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор, член-корр НАН РК Блиев Н.К.

Ведущая организация •- Тошкентский Государственный

Университет

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Темирбулатов С.И.

кандидат физико-математических наук, доцент Токибетов И.А.

Защита состоится ¿А " (¡еЛаЯрЛ 19 93 г. в_ час. на заседании специализированного совета Д 53.04.01 при Институте теоретической и прикладной математики НАН РК по адресу:480021, г.° Алматы, ул. Пушкина, 125

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИТПМ НАН РК. '

Автореферат разослан "_"_19_г.

Ученый секретарь специализированного совета

I

КУЛАХМЕТОВА А.

Актуальность темы . Многие важные задачи современной физики и механики приводят к нелинейным краевым задачам для линейных или же квазилинейных эллиптических систем первого порядка. Такие задачи возникают, например, в теории непрерывных изгибаний регулярных выпуклых поверхностей с кусочно-гладким краем, в задачах гидрогазодинамики, механики сплошной среды со свободными границами.

Особый интерес, с точки зрения пр'илоиений, имеет обобщенная задача Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка, как приведенных, так и не приведенных к каноническому виду.

Линейные и нелинейные случаи этой задачи в пространстве "^^р , Р>2. » О < Л & о* , £ - целое подробно изучены в работах И.Н.Вокуа, В.С.Виноградова.Ф.Д.Га-хова, Н.И.Мусхелишвили, Г.Ф.Манджавидзе, В.Н.Монахова, Е.В.Тюрикова, В.Погорвельского, З.Буко, Г.Любовича, В.Венд-ланда и др. .

В дробных пространствах Никольского-Весова &.

1. с р «о , ¿.¿9л »а , & > О - любое целое или дробное число, линейная задача Римана-Гильберта к другие задачи рассмотрены з работах-Н.К.Блиева и его учеников.

Выбор дробных классов'для реоения краевых задач,в ряде случаев позволил получить более полную и точную картину зависимости свойств рэиений от гладкости данных задач, получить условия существования как непрерывных обобщенных, так и классических рсоеннЗ, расширить классы данных изучаемых задач.

Случаи, когда параметр £ 4 2 ' , нелинейный краевые задачи Римзнз-Гильберта для эллиптических систем первого порядка до сих пор не изучены.Поэтому исследование таких

р

задач в шкале пространств Никольского-Бесова «

I )

1<Р< т>о , I ± 9 й , 'Ст'О является актуальные

Цель работы. Исследование в дробных пространствах

в^е1 ' 1-<Р<вв • ,0<*<±

нелинейных краевых задач Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка на плоскости.

Общие методы исследования. В работе применяется метод двумерных интегральных уравнений И.Н.Векуа, возмокность применения которого восходит к работам Н.К.Блиева. Используется метод сведения краевых задач к сингулярным интегральным уран нениям, а также современные методы теории функций и функционального анализа.

Научная новизна. Исследуемые в работе вопросы впервые изучаются в дробных пространствах Никольского-Бесова, что позволяет получать решения краевых задач при более слабых условиях на исходные данные. Найдены достаточные условия.существования решений нелинейных краевых задач. Выделен класс непрерывных коэффициентов уравнений, более широкий чем класс непрерывных по Гёльдеру функций, для которых рассматриваемые задачи имеют решения в классическом смысле.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, её результаты могут быть использованы при решении различных Нелинейных краевых задач для эллиптических систем, а такие в задачах гидрогазодинамики, в теории непрерывных изгибаний регулярных выпуклых поверхностей с кусочно-гладким краем и при чтении спецкурсов.

Апробация результатов.Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах лабораторм дифференциальных уравнений под руководством д.ф.-м.н., проф.

.И. Умбетианова, лаборатории уравнений-математической физики од руководством член-корр. НАН РК Е.И. Кима, к.ф.-м.н., доц. .И, Орынбасарова, д.ф.-м.н., проф. С.Н. Харина, лаборатории еории функций и функционального анализа, под руководством лен-корр МАН РК Н.К. Блиева.

Публикации По теме диссертации опубликовано 4 работы, пчсок которых приводится в конце автореферата.

•Структура и объем работы. Диссертация изложена на 80 • траницах машинописного текста, состоит из введения, двух лаз и списка литературы, содеркащего 54 названия.

Содержание работы. Во введении дан краткий обзор лите-атуры. относящейся к теме диссертации и. приведены её основные езультаты.

§ 1 главы I содержит сведения об основных функциональных ространствах и некоторые, часто используемые в работе, известие результаты.-

• В § 2 рассматривается следующая краевая задача. Пусть - единичный круг с границей Г1 : I £ I ** £

Задача 1 (случай неотрицательного индекса О- ). Найти змплекснозначную функцию удовлетворяющую в

(г уравнению

на границе Г услловию

• £ К-2«.

- (j -

Задача 2 (случай отрицательного индекса). Найти решение

уравнения (1) */(г) £ и 1 вещественных

константы Л, А,. .,,, , таких, чтобы на границе

К! 1 ' Х|(ц*з.

области выполнялось условие

' * « 4

р О)

Здесь U, f>, В определены одним из условий

б) Li ¿¿¿l

в) ¿¿©¿оо,

А. такие имеют место следующие условия на коэффициенты:

I. (з Ьр^е (,£) , как функции от £ при фиксированном vj .По v» она удовлетворяет следующему-условию •

ci C2,W> а c/cii;w) + c(t W * ^(e(W)W где ) , i» ограничены равномерно по w ,

т.е.

II. y^tta, w), как функции от С , при фиксированном W принадлекат (£-) , где , при Q«. £. и

Л р' > £ • при 0 ? L .а такке удовлетворяют условию

1 + I Jiz i Jio < i

равномерно по w

III. Коэффициент A(-t) исходного краевого даловия

есть ЛС-Ь) «оI ± >

Г= - £ • ^

Задачи 1 и 2 в пространстве > р > & , с

коэффициентами краевого условия из С^СО, 0<.|Ъб4. и коэффициентами уравнения из р>£ рассматривались-в

и, аз •

С помощью представления виде интегрального

оператора, задача 1 (задача 2) сводится к эквивалентному нелинейному сингулярному интеральнсму уравнению '

Ар = ¿>" /и (а, ^ >с((а.Т«р>0(4)

где Т!^ л. . ограниченные вЬр^С&'З операторы, которые имеют следующий вид __

«*/(«) « < , - в"

1. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Краевая задача Римана-Гильберта с разрывными граничными .условиями для квазилинейных эллиптических уравнений.// ДАН СССР. 1967. Т. 175, №3. С. 511 - 513.

2. Виноградов B.C. О некоторых краевых задачах для квазилинейных эллиптических систем первого порядка на плоскости.//

Существование решения уравнения (4) доказывается по принципу неподвижной точки Шаудера. Тем самым доказана

Теорема 1.1 Если имеют место условия I - III, функция ^[а) принадлежит шару

ll$t*>!| a-t > R.

где £ = , .

Нг а II А-1 II

то существует в области о• по крайней мере одно решение н(г) € Ь^^ (задачи 1 (задачи 2).

В случае а), коэффициенты уравнения (1).принадлежат пространству , которое вложено в

Л, (О- , но не

вложено в .ни при каком С^ >£ > и коэффициенты

исходного краевого условия принадлежат пространству (Г), которое вложено в С (Г) , но не.вложено в ^^(Г) у

Осрс 1. [3] . Но при этом в рамках Теоремы 1.1, суще-

ствует хотя бы одно непрерывное решение задач 1 и 2 из класса (£)■• Так ка1С известно, что А^е* <* С(&) [Д]. В случаях б) и в) имеет место вложение при некотором . . Но утверждение Теоремы 1.1 в прост-

ранствах ' является новым. Кроме того в случае в)

ПРИ 92 ± , * С (I) , но

&ГА Ф ':, 0*1Ь 41 .-'приэтом

Из этого следует, что для любых непрерывных (не обязательно гельдеровых) коэффициентов и уравнения и краевого условия,задачи 1 и 2 имеют решения в классическом смысле.

ДАН СССР.1958.Т.121, №4. С. 579-582.

3. Бесов О.В.,Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления и теоремы вложения. М., 1975. 480 с.

В главе II § 1 рассматривается следующая задача. Пусть Р* { Po » множество (к + L замкнутых кри-

вых, ледащих в комплексной плоскости так, что Р0 охватывает все остальные, т.е. область , ограниченная контуром Г - есть ("» + 1) -связная область. Предполо-

в- .

жим, что начало координат лежит внутри

Задача. Найти решение v/(a) £ BpV'CO уравнения

Карлемана-Векуа

lg W + Q(2) W + $(.*) (5)

удовлетворяющее в каждой точке -i контура Г условию

fce LM w(4)j|r (ifW)

(6)

Относительно коэффициентов задачи (5),(6) сделаем следующие предположения

I. Комплексные функции а{г)# £(3), .где

0 определены одним из условий а) -в).

II. Mt)'JU)*i(b(i), , где ¿0:)t(bU) определенные на Z7 действительные ограниченные функции üiacca р ,

III. $ есть действительная, определенная в >бласти Lief7,- Л s ^ Gl ] функция, при-1адлежаиая ߣ9 1Г) и удовлетворяющая условию

1авномерно по S , где С^. , - положительные кон-

танты. По второй.переменной функция является неп-ерывной.

Аналогичная задача в пространстве ((т)} f>Z

где коэффициенты уравнения были из ЫО. Л>2 , а краевого условия из к £ и $ (Ь»^) удовлет-

воряла условию Гельдера-Липшица) рассматривалась в [4,5].

Задача 15),(6) сводится к системе нелинейных сингулярных-интегральных уравнений

Пч е*№>-&(а) _ __

♦ а#Гк <*,*> 4Х - $ Ха/С2,Т; ^оАг,

Г . Г . ^ (7)

Tía) » í М ^ . р

Далее доказывается следующая ;

Теорема 2.1. Если 1) имеют место условия I-III,. 2) однородное уравнение, соответствующее третьему уравнению в системе (7) имеет только тривиальное решение, 3) индекс задачи ЭЙ неотрицательный, 4) выполняются некоторые достаточные условия длягконстант, фигурирующих в исходных данных задачи, то существует в области (г хотя бы одно решение wCa)£ (&) уравнения (5),, удовлетворяющее краевому условию (6).

В § 2 главы II рассматривается следующая задача.

Найти в единичном круге m {z : 1*1 é L^ комплексной

4. Pucko Z. Ugolnione nieliniowe zagadnienie Hilberta ze wspo-lzyn nikami zaleznymiod wortosci brzegowych funkcji.// Zesz. Nauk. Politehn. Warsz. 1968, N 183. S. 47-65.

5. LubowiczH. Nierliniowe uogolnione zagadnienie Riemanna-Hilberta w obzorze wielospojinum.// Zesz Nauk. Politehn. Warsz. Matematyka. 1968. Ñ 118 S. 217-234.

плоскости функцию 6 вр^(б-) , которая является реше-

нием уравнения

- ИхСи,*^ -КС*,*)^*/ + о

' . • ' • (8)

удовлетворяющего условию эллиптичности

(9)

,с краевым условием

. Йь [ ДТГ)у/(4>3 I

■ (10)

При этом имеют место следующие предположения'

I. , как функция от в. при фиксированном V/ принадлежит > где удовлетворяют одному из условий а) - в), а также удовлетворяет следующему условию ' : .-'.•'- •

/.(г,*) + г с/г£г,,*/)«Г

где 0(1(3,^) ограниченные равномерно по V/ .т.е.

. 10 - положительная константа. И являются непрерывными функциями по

II. , как функции от г , при фиксированном V«/ принадлежат. где ¿р'-тД , при

о^р >£_ , при 8 > 1. , непрерывна по . и равно-

мерно по V«/ удовлетворяет условию

Ь

где ^ и положительная константа.

III. A(t) •Mti+ifli); IMt)hi, где Jlü,(>(i)

действительные ограниченные функции класса ^¡olfy ^-«¿W- p.

IV. Действительная функция у li,S) . определенная в области ¿i € Г 7 /I-S ^ J принадлежит классу

С,) и УЛовлетворяет условию

равномерно по S , где Ci7 М^ положительные константы, по второй переменной iнепрерывна.

В пространстве Vj,* , p^fi. задача (8)-(10) рассматривалась в работе 16] , где граничные данные были кусочно непрерывны по Гельдеру, а свободный член краевого условия принадлежал классу Погоржельского L?3 коэффициенты же уравнения классу р>& .

Так же как в § 1 главы II, задача (8)-(10) сводится к системе нелинейных сингулярных интегральных уравнений ~vU») » Toy t 4P '

s-f*Snf-(»/fy^X?-

" d4 d3i»Xs>f^ - c/o

(jw.-j^a^ en)

6. Тюриков E.B, Нелинейная задача Римана-Гильберта для квази-линейных""эллиптических систем.//ДАН СССР. 1979.Т.247, №5.

С. 1068-1070.

7. Pogorzelskl W. Rovnanla catkowe i ich zastosovania.// 1960. T. 3.

Далее, используя принцип неподвижной течки Шаудера, будет доказана следующая .

Теорема 2.2. Если 1) имеют место условия 1-1У, 2) однородное кравнение, соответствующее третьему уравнению в системе (11) имеет только тривиальное решение, 3) индекс 'Л* задачи неотрицательный, 4) выполняются некоторые равенства для констант исходных данных задачи, то существует в области £г по крайней мере одно решение (г) £ Ь|> д ((г) уравнения (8), удовлетворяющее краевому условию (10). •

Из Теоремм 2.1 и 2.2 следует, что в случае а), для коэффициентов уравнения из Ь^ (£) и коэффициентов краевого условия из (Г) С С ( Г) , существует хотя бы одно непрерывное обобщенное (из ' решение рассматриваемых задач. А так как • 1 (£) <+■ Х^, (С) ни при каком у >2 и , то из сказанного следует, что нами охватываются новые классы коэффициентов уравнений и краевых условий, для которых мы получаем необходимые результаты.

В случаях б) и в) имеет место вложение Ь^д ¿«^ при некотором , но утверждение теорем являются но-

выми. Более того, в случае .в), при ир , в силу

вложения 6Й ' (£) С С(£) , .коэффициенты уравнения и краевого условия непрерывны в терминах О^ Щ классов, и так как имеет место вложение

то можно говорить о существовании классического решения задач (5),(6) и (8)-(10). '

Таким образом, для непрерывных, не обязательно гельде-ровых коэффициентов из (£) , задачи (5), (6).

и (8)-(10) имеют обобщенные решения, которые являются и клас-

сическими решениями.

При некоторых значениях параметров f>, 6 , для разрешимости исследуемых задач, от свободного члена % (4,^) ,краевых условий (6) и (10) мы требуем условие непрерывности по совокупности переменных, что является новым свойством наших задач. В работах (4>63 Достаточным условием для разрешимости задач являлось обязательное выполнение условия Гельде-ра-Липшица по совокупности переменных функции % (i, v/) .

Основные результаты опубликованы р работах:

1. Ауезбаева Т.Е., Задина Х.У. О задаче Римана-Гильберта для одного квазилинейного эллиптического уравнения первого порядка в: Ъ- классах на плоскости.//Изв. АН Каз ССР. Сер. Физ. мат. 1991, № 3. С.З - 7

2. Ауезбаева Т.Е. Существование решения одной нелинейной системы интегральных уравнений.// Деп. в ВИНИТИ 10.07.92.

№ 2259 - В92 .

3. Ауезбаева Т.Е. Нелинейная обобщенная задача Римана-Гильберта в дробных пространствах.// Изв.' HAH PK Сер. физ,-мат. 1993, № 1 С. 7 - 11.

4. Ауезбаева Т.Е. Нелинейная задача Римана-Гильберта для одного квазилинейного эллиптического уравнения в дробных пространствах на плоскости.// Деп. в КазНИИНКИ 03.05.93.

№ 4242 - Ка93. -

Кцскаша мазмувдама

Диссертациялик ттю белшектш кешстпсгорде Oiplimti дарожелх жаз'шстыктагы оллиптшсалшс есепторию арпалган. Вул осоп каллы турдог1 CipiMiii дэроколх квазисызиктык эллиптикалык этйолор мои Карлеман-Векуа тевдеулер1 ушш карастырыладо.

Зертгелт отирган осоптерд^ц узд1кс1з шешгмдершщ бар болушшц жеткхлпт шартгары табылган

Summary

The dissertation devotes to,, the nonlinear generalised noundari Rlemarm-ILIlbcrt problems for the first order elliptic systems In the fractional срасез on the plane. This problem both for the general first order quaallihear elliptic system and for the (linear) Earlemann-Vekua equation is considered.

The aafflclent conditions for existence of continuous and xlnr.slcal (in the fractional spaces terra) solutions of investigated problems are obtained.