Нелинейные краевые задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения в областях с известными и неизвестными границами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Г '

'А к А* Д Е М И Я НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

На правах рукописи

КАДИРОВ «ахрэддин Эркинявич

НЕЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧЛ ДЛЯ СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ С ИЗВЕСШЬШ И НЕКЗВЕСТНШй ГРАНИЦАМИ.

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ дассэртадш на соискаша ученой стеаани кандидата физико-иатеиатическах наук

Ташкент - 1996

Работа наполнена в ТлшГУ имени Улугбака и в Институте мчг»'матики имени В.И.Ромаповского Академии Наук Республики Узбекистан.

Нпучнмй руководитель

окадомик АН F.Ys, доктор физике-математических наук, профессор Т.Д.ДОТ&ЕВ

■фщиэльные оппонента:

доктор фскико-иптемэтических наук, профессор М.АРШЮВ

кандидат физго^ь-мэт'-'мятич-^'.г.и? паук, доцент М.МНРСАРУРОВ

Ведущая организация - Глшо-Казшетаяокий

Технический Ун иве р< -итет

Защита диссертации состоится "¿L' - ___1<)ч<,г.

К. г-н

в /У часов на мевдяаии объединенного специялизировашг'!'-совета Л 015.17.01 в Институте математики имени б.И.Ромяноье. -кого Академии Наук Республики Узбекистан по «од<е<;у: 7'" >ьг:. г.Ташквпт-14Э, ул.Ф.Ходжмевз, 29.

С диссертациой wi-mo озиэкошп.ся в библиотеке йн-тт;?* мпгемзтики имени Р. И. Романове ко г'о Академии h-i/k {••"•иу>1иь,л •Узбекитта.

Автореферат разослан Moeff A.. . i?y<u'.

Ученый секретарь

':n)i!r,'i-'i;-ji!p'jBaaiiof(j то Лг/Т> ✓

^гз'.-нот.и.зук. лрбф. CyLMt,LL ' -<-РИХОИГ:И

СЗДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность таиы.. В настоящее

время теория уравнений смешанного типа значительно расширилась. Это объясняется как внутренними потребностями теоретического обобщения уравнения математической физики, так и шс прикладным значением. Разрабатывались новые методы исследования задач для уравнения смешанного типа. Сейчас имеется хорошо разработанная и в некоторых ее аспектах завершенная теория линейных задач для смешанных уравнений. Обзор имеющихся методов и результатов содержится в работах А.В.Бииадзе, М.М.Смиркова, М.С.Салахит-динова, Т.Д.Джураева, В.Н.Врагова, Ч.Ш.Кальыенова, М.М.Мередова Е.И.Моисеева и др.

Известно, что математическое описание физических процессов объязательно предполагает некоторые упрощения. Более точное описание физического явления привело бы к нелинейным задачам (задачи для нелинейных уравнений, или же с нелинейными граничными условиями, а также задачи с■неизвестными границами).

Исследование нелинейных задач осложняется теа, что в них отсутствует принцип суперпозиций, природа решений может быть разнообразной. Поэтому в настоящее время нелинейные задачи являются одним из актуальных и бурно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Нелинейные задачи {в той, числе задачи с неизвестной границей) относительно . полно развиты в случае уравнений эллиптического и параболического типов. Основные результаты в этом направлении содержатся в работах А.1.Самарского, А.Рг1в<1таг1., Л. Разам, О.А..Олейш©:, . О.А. Ладыженской, Ь.1.ШЫпз^е1п, Н.И.Дашшка, С.Н.Крузкова, . А.М.Мвйрыанова, М.Арипова, Е.В.Радкевича, А.Б.Бегаатова, В.А.Солонникова, Г.И.Бижановой и др. ^

Т.Д.Джураевом и его учениками рассмотрены ряд краевых задач для смешанных параболо-гиперболических уравнений с

известными и неизвестными границами.В этих работах впервые сформулированы и исследованы аналоги известных задач Стефана, Веригина и Флорина для смешанных парабало-гкперболических уравнений. Изучено влияние гиперболической части и установлены достаточные условия однозначной разрешимости задач. Доказаны необходимые условие для свободной границы, которые обеспечивают корректность поставленных задач. Но, краевые задачи для смешанных параболо- гиперболических уравнений с нелинейными граничными условиями или же задачи для нелинейных уравнений не рассматривались. Особый класс среди задач стефановского типа занимают задачи нелинейность которых обусловлена наличием не только свободной границы, но и нелинейностью граничного условия. Поэтому в настоящей работе изучаются нелинейные краевые задачи с известными и неизвестными (свободными) границами для параболо- гиперболических уравнений.

Ц 8 я ь работы. Рассмотреть вопросы единственности и существование решения поставленных задач, а такке изучить поведение неизвестной границы в заданном промежутке времени. Исследовать свойства искомых функций, установить априорные оценки, которые необходимы для корректности и глобальной разрешимости задач.

Методика исследования. При изучении свойств искомых функций и доказательстве единственности решения рассматриваемых задач, в основном, используются принципы экстремумов для параболических и гиперболических уравнений, теоремы сравнения для параболических уравнений, свойства решений гиперболических уравнений, интегральные неравенства типа Беллмана-Гронуолла. Теорема существования доказывается с помощью теории линейных и нелинейных интегральных уравнений с применением теоремы о неподвижной точке.

Научная новизна, В работе изучается ряд ранее неисследованных задач в областях с известными и неизвест-пши границами для смешанного параболо-гишрболического уравнения. Во всех исследуемых задачах с неизвестными границами

изучено поведение неизвестных границ в рассматриваемом промежутке времени. Доказаны одназначная разрешимость поставленных задач. Установлен!! априорные оценки для решения уравнений и неизвестной границы, которые . обеспечивают глобальную разрешимость поставленных: задач.

Теоретическая и практическая

значпиость . Результаты, полученные в диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы при дальнейшей разработке теории нелинейных краевых задач для смешанных уравнений. -Задачи, рассмотренные в диссертации являются обобщением конкретных задач математической физики и могут иметь практическое применение при решении прикладных' задач, приводящихся к уравнениям смешанного типа.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на общегородском семинаре по дифференциальным уравнениям института математики АН РУз им. В.И.Романовского (руководители: акаде"ики Т.Д.ДЖУРАЕВ и М.С.САЛАЗОТДИНОВ), на семинаре к,эфедры теории оптимального управления механико-математического факультета ГяшГУ (руководитель: член-корр. АН РУз Н.Ю.САТИМОВ), на Международных научных конференциях "Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической флзики" (г.Новосибирск, 1995 г., сентябрь), "ДийРеренциальныэ уравнения • и их приложения" (г.Ашгабат, 1995г., ноябрь), "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, ' 1993 г..ноябрь), на конференциях молодых ученых г.Тэшкента, посвященных . памяти В.И.Ромзповского (1993-1995 гг.), на конференции "Молодые физики и математики", посвященной 75-летию ТашПГ (1995 г., май).

Публикации . Основное содержание диссертации опубликовано в 5 работзх, указанных в конце автореферата.

Объем и структура диссертации.

Диссертационная работа изложена на 112 страницах машинописного текста и состоит из введения и двух глав, разделении на 6 параграфов. Библиография содержит 60 наименований.

- 6 -

ОСНОВНОЕ СОДЕР2ШШ РАБОТЫ

Во введение дается краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность теш исследования и сформулированы основные результата.

Первая • глава посвящена исследованию кравши задач с пеизв-эстной границей. Во второй главе рассматриваются нелинейные краевые ¡задачи с известными 1раницами.

Сначала опишем области, в которых изучаются задачи.

В §1 гл.1 задача рассматривается" в области D^J ®2, где а^ид): О<х<з(£), 0<t<y¡

íD2=|(x,í)! s(í)«<i+l, 0<í<T

T,ü - положительные постоянные, s(í )-двзжды непрерывно диффэронцируемзя функция, причем s(0)=с, о<с<1, o<síí)<i. В гл.Г задача рассматривается в области 0,1/ Ü¿, где

Q^jíX.t): О <X<3(t),

0,-={(x,f)i -t<x<h(t), x+2T~<t<0 },

5Cf- ПОСТОЯНЛЫ9 числа, (Р+>0, ОГЧ- | <0, 7l(í) - двэжды, a(t)~ один раз непрерывно дифференцируемые функции, причем s(n)=nio)=c, o<á(t)<H, i>o, -n<A(í)<-i, Ш. Задачи изучаемые в 51 и 53 главы П рассматриваются в области f?,U Р?, где

Яг*{(.г,П: 0<x<Z, 0<UT J.

D Ja гл.П задачи рассматриваются в области у,и о,, где

- 7 -

<},=[(*,П: Х^Хххо, оа<г },

(^[(х^)-. ОсгхХ^Г). оа«зе ].

Здесь г=Х((:), 1=1,2 заданные функции, причем Х,(0)=-1, Х^оМ. Предполагается, что функция Х^Г) монотонна и непрерывно дифференцируема, а ^(С) - непрерывна на [одЧ и, кроме того, эти функции не имеот общих точек с прямой х-о на отрезке

Все эти предположения о гладкости и свойствах границ изучаемых областей в задачах с известной границей считаем выполненными, а в задачах с неизвестной границей эти свойства доказываются.

Всвду в диссертации под решением уравнения в некоторой области понимается функция, - обладающая непрерывными производными, входящими в уравнение и удовлетворяющая ему, в рассматриваемой области. Краевые ■ условия .выполняется по непрерывности извнутри области. '

Задача. Требуется нейга дважды непрерывно доМеренцируеыую функцию з<£), 8(0)=с, о<с<1, о<з{*)<10

решения и(х,1), уравнений

= и^х.г), (х,г; с Я),. (1)

= и^Дя.о, - (х,г) € аз2, (г)

удовлетворлвдие начальным .

и(д\О) = о $ х «£ с', (3)

У(Х.О) = срг(Д), У|(Г,0) = с $ х $ I (4}

и граничным условиям

и^о,о = (^око,п,«), оа^п, (5)

ux(e(t),t) = vx(a(t),t) = o,

vx{M,t) = ti)2(u(i+i,t).t). oasr, (6)

(7)

а такхе условию для неизвестной границы

s(t) = a(i)«(a(i).i) + p(t)v(3(t>,t) + y(i), (а)

где функции <р,(D-трювды, ч>2(х)-деакды, а <р3(х), ((),(•), Фг< ■), а (О. P<t), f(t) - непрерывно дифференцируемы, причем

03i(i), p(t), 7(Г)<1, a(r)+p(t)>o, Предполагаются выполненными условия согласования

ф,с^(0J.0) = <PJ(О), <|>2(<рга>,0> =Щ(2), <р;(с)^(с)=о,

Ф]"(0) = фш(<р|(0),0)1р'!'(0) + ^¿(^(оьо). Сначала изучается поведение неизвестной границы, а затем доказывается единственность и существование решения задачи. Введем обовначения: я = mi {ja|, ¡pj, ffjj

н = 4 t *■ |(|)и|]едр[га],

где

1

к =

|Л = Шг|/(Г)|,

6(2+t) =

(р£ (x+t)+(p3U+t), С < X < -i + г

aj„f £i|il , ЩЛ ]J)+ip (i), -meritИ

H,=<p2(c;t|gjf, Hg^'iC f (^(c).

t в о p e ы а 1.1. Пусть (^(.rjxj, tpj(x)co, <p"(r)>o;

<)>,(• Ко, Ф1ц(-)>0, Ф14(-)<0; <рг(.-)х>; Уг(с)ю, ф^(гНф3(я)£0, <Р3(1)'-Ф£(1)М), т < . Тогда и(х,£)>о, их(х,г)&),

ия(1,Л>о В И 0<3( £ )<1 .

Теореме доказывается с помощью принципа максимума для параболического уравнения и с использованием неравенства Беллмана Гронуолла.

Далее доказывается теорема единственности.

1 е о р о ц а 1,2. Пусть выполнены условия теоремы

1.1 и ф^(х)+ф£(хКО, фг„(')«о, Тогда решение

задачи (1)-(8) единственно.

Существование решения задачи доказывается сведением ее к системе нелинейных интегральных уравнений и применением к ной принципа Шаудера.

В §г гл.1 изучена задача: Требуется найти соответственно

один и два раза непрерывно дифференцируемые функции з(0 и

Л(1), где а(о)=Л(0)=с, с>о, о<з(£)<а, г^о, -н<А(£)<-1, £*о, в

также решения ц(х,£), и(х,£)

ц^х.П = и^хД), (1,1) {О,, (9)'

ии(г,£) = «^(х.П, (х,П е О,, (10)

удовлетворяющие условиям

и.,,(0,£) - ф(и(0,£),£), (Х£«Р+, (11)

1^(3(1),£) = О, д(£>-<ш(з(£),£). СК£«К\ ' (12) va.(h(t),t) » £(£), Т~< | ЗГ< £ ф, (13)

h(t) = Pü(h(t),t), т"< § + í~< í «>, C14)

i»(-t,i) = Ф(0, (15)

Ы(Х,0) = V(.X,0), Ut(.X,0)=Vt(X,0), Osjríc, (16)

гдч Ф(,£дважды, <p(-), g(t) - один, раз непрерывно дифференцируемы, причем |g(í)|^7=const, g(0)-0, а,р - положительные

иоотоянние. иоочнячим

X с

г,(D=«f)(0)-J rigj ^ jeapIÍ-T}] (Jtj, osrüc, о £ с

гг(х)»4' [- f ] ср* [- I Jeap[jr-U de, ocríc, х

t ,, t I

pJ*<i}Mi| i^i^Jeíp -pJeW*?

í(í)=fterp

m *

+ rf(c)

t $ o

Доказаны следующие теоремы о поведении неизвестных границ и о единственности решения задачи.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (|>(£)<о, <t>'UXO{ ip{-)X>. %(-)>0. Ф£С■ )>0; g(iKO, г,(а:)<0, г\,(хко.

(г.СгЯ^^МФЧЖЬ Р> l^pQ=ccmst>o, Тогда о.я(1)<н.

Си;« «г* к -ГкАики, lf< £ +T~<t«0. Здесь -Ы ~ т(п Kit),

л t

-flu. - mix KU), Н-шгчисляямая постоянная. 1 t

о

с

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теорема 2.1 и Тогда решение задачи единственно.

Затем доказывается тэорейа существования. В 5э гл.1 область Ф1 та же, что и в gl гл.1, а область ®г имеет вид

= ^(х,t ): Sit) <Х <1, OCtCîj.

Задала. Требуется найти непрерывно дифференцируемую функцию ait), o^îçp, s(0)=c, о<с<1, o<â(i)<H и реи?ния

и<x,t), u(r,t) уравнения

u^x,t)-ut(x,t)=--/, (x,t,u), (J.î)€Dt, (17)

vxt(x,t) = ff{X,t,V), (X,t) Ç Я)г, (18) удовлетворяющие условиям

и(х,0) - <р,(:г), (Kzwî, (19)

uxw,î) = t|i(u(o,i).i>, (20)

W(J.O) = (21)

uO(i).t) = w(3(t),i)=--a. оа«?П, (22)'

s(î) = a(t)ui.(e(î)>t)4p(x)«a;(s(t>,î)tT(î), 0(23)

Пусть выполнены следующие условия:

1) функции (р^я), <р?(з)- даакдо, a <£(■). a(t), |3(t), ?(t) - один раз непрерывно дифференцируемы, причем a (t), f$(t). T(t)*0, O(t)+P(t)>0.

г) Функция f (x,t.v) пепрорнвяз по Литаищу в области

|(.т,£) ç ®3, |и| lij, а функции ^(x.t.u), /JXU,t,u).

/xu(x,t,u) непрерывно да!ференцируемы в области

[t'i.i) f S,> |u| $ Ilj.

3) Выполнены условия согласования

(р(ф1 (0),0)=<pj(o), Ф1 (c)=q>a(c}=o Xoopeus 3.1. Пусть выполнены условия 1 )~э) и '^(СГКО, <р^(Х)>0, /,(1, /g(X,t,У)г!0,

/,(3:,i,0)*=0, /1Jf(i,t,u»0, /tu(i.'t,u»o, m<H/(mt4m2fl), где п=( 2-с)/т, R^ar{|aJ, jp|,j7|},' «,=mr{|<p1,},|(}>|}fb.!i?< т,жсг|/1;г(г,(,и)|, яг=|/г|!Е+|«р|!. Tocjj*! 0<k(V< H Существование и единственность решения поставленной задачи доказывается с помощью теоремы о неподвижной точке.

В 51 гл.II изчена задача: Требуется найти решение v(x,t), u{x,t) уравнений

■ vxt(x,t) - fx(x,t,vx), (X,t) £ fi1( (24)

u^Cx.tbUjCi.t) = f^x.t.Uj.), (x,t) t it,, (25)

удовлетворяющие следующим условиям

u(i,o) = (^U), -Isy^o, (26)

u(i,0) = <p2(x), <Kc*a, (27)

' Ux(l,i) = <j)(U(l,t),t), (28)

а такхе условиям сопряжения

«(0,t)=U(0,t), • 1^(0,0=11^(0,0. iKtil1. (29)

Пусть выполнены следующие условия!

1 ! Функции <р,(.г), ■)-непрерывно дгэд<фенцирутл.

г) Функция fs(x,t,vx) непрервня по Липшицу в области

- 13 -

е Я,, * |ог| $ и], а функции /г(х,г,их), /гх(х,1,их), (х,£,и„) непрерывно дифференцируемы в области

гих

((х,£) е й2. 1^1 * н].

3) Выполнены условия согласования

Теореыа 1.1. Пусть ф(и, £) - строго убывает по и, а также выполнены условия 1ьз). Тогда решение задачи единственно.

Затем, при выполнении условий 1)-3), доказано существование решения этой задачи.

В §2 гл.П изучается две краевые задачи в области 0=0,11

для уравнений

vз:tU,t)+a(.x,t)vt(.v,t) = (хг£) е сц, (30)

и^(х,£)-и{(х,£) =/2(хД,и), (х,£) е «2» (31)

в зависимости от поведения границы Х,(£).

Задача . Требуется найти решение и(х,£), и(х,£) уравнений (30), (31), удовлетворяющее условиям

и(х,0) = <рэ(Г), (32)

^(Хг(£),£) = фШ(Хг(П, £),£). <К£«Р, (33)

а) если З^аЖ), х,(5)<0, то

и(х,0) = ^(х), -Ю^О, (34)

б) если Х1(£)<о, то

= ф2(Г), Х1(Ф)^0, (35)

а также условиям сопряжения ,

ЩОД) = и(0,£), «х(0, £)=ид;(о, £), 0$£«Р. (Зв)

относительно данных задач сделаем следующие допущения:

1) Функция <pj(ос), 1=Т73, ф('), afcr.î)- непрерывно дифференцируемы;

2) Функции (x,t,u) и /2(r,t,u) непрерывно дифференцируемы соответственно в областях {(z,t) € Q,, |и| ( К) и ( (x,t ) € Q2 |U| « N>.

3) Выполнены условия согласования в соответствующих

ТОЧК-.Х.

На основе принципов экстремума для гиперболических и параболических уравнений доказывается теорема единственности. А также доказана теорема существования решения.

В §3 гл.П. изучена задача: Требуется найти решение u(x,t), и u(x,t) уравнения

= vtt(x,t),. (x.t) е Я,, (37)

^(r.t) = ut{x,t), (x.t) € R,, (эв)

удовлетворявшее услощш

и(х, 0) = «p^Cjr), vt(x,0) = Цг(х), (39)

u(i,0) = <?3(х), osrsi, (40)

f^(-l,t) - Ф, (u(-ï,t),t), (41)

lyï.t) = <J)2(U(l,t),t), (42)

a также условиям сопряжения

u(o,t) = u(o,î), vx(o,t)=ux(.o,t), oasc. (43) Пусть выполнены следующие условия:

1) Функции ф,(х), <р3(х) - двакды, ф^Ш, ф,(-) фР(-) -одш раз непрерывно дифференцируемы.

2) Выполнены условия согласования. Доказаны следущие теоремы

Теорема 3.1. Пусть ф^и,!) - строго возрастает по V, фг(а,1) не возрастает по и, а также выполнены условия 1 )-

2). Тогда решение задачи (37) - (43) единственно.

Т а о р е и з 3.2. фи выполнении условий 1)-2) решение задачи (37)-(4Э) существует.

Во всех задачах установлены необходимые оценки обеспечивающие глобальную разрешимость поставленных задач.

Пользуясь случаем, выряжаю глубокую благодарность научному руководителю академику АН Республики Узбекистан, заслуженному деятелю науки Узбекистана, профессору Тухтамураду Дяураевичу ДЖУРАЕВУ и кандидату физико-математических наук Жазилу Остановичу ТАХИРОВУ за постановку задач, постоянное внимание и за ценные советы при выполнении настоящей работы.

Основные результата диссертации опубликованы в следупдих работах:

1. Тахиров Ж.О.. Кадиров Ф.Э. Задача для параСоло-гипер-болического уравнения с нелинейными граничными условиями.// Узб. Матем.Журнал. 1994. № 4. -С. 66-71.

2. Кадаров Ф.Э. Задача для полулинейного пзраболо-гипер-болического - уравнения./' .Узб.Матем.Журнал. 1995. Й> 2. - 0. 62-68.

3. Кадиров Ф.Э. Краевые задачи для полулинейного смешанного уравнения.// Тозисн докладов Мезд. науч.конференции "Сибирская конференция по неклассическим уравнениям математической физики". Новосибирск. 12-15 сентября 1995 г. -С. 52.

4. Кадиров Ф.Э. Задача типа Стефана для параболо-гипер-болического уравнения с нелин«1йыми граничными условиями.// Тр. Ин-та математики и компьютерных технологий.Алгабат: Ылым.1995. Etoi.lv.-C. 121-1255. Кадиров Ф.а. типа Стефана для нелинейного пара-

боло-гиперболичоского урппцоя*/:;..'/ Тезистд докл.вауч.конф."Молодые физики и математики", Тятееят. 1995г. -С.152.

АРАЛАШ ПАРАБОЛА-ГШЕРБОЛИК ТЕНГЛАМАЛАР УЧУН МАЪЛУМ ВА НОМАЪЛУМ Ч2РАРШРГ4 ЗГА СОХАЛАРДА ЧИЗИКСИЗ МАСАЛАЛАР.

Диссертация нкки Собдан ибораг. Биринчи бобда номаълум чегарали масалалар ургашшган. Иккинчи бобда маълум чегарали чизшда булмаган масалалар царалган.

И$йилган масалаларшшг бир кийматли ачилидга курсатилган. Барча номаълум чегарали масалаларда царалабтган вак;т оралигада нсмзълум чэгараларнинг табиатн урганилган.

Излаааётган функция хоссадарини урганишда ва масала ечимининг ягокзлигЕни исботлаода, асосан, параболнк ва гипэрболик тенгламаляр учун максимум принципидан, пароОолик тенгламалар учун такдослаш теорсааларидан гиперболик тенглама ечимининг хоссаларидан, Болдман-Гронуолла типадаги тенгсизлнклардан &?йдалашлггш. '¡кглдсиз интеграл тенгламалар пазариясвдан ва адзгалмас нуцга тэоремасини куллзш ердамида ечимнинг мавж,/длиг!1 иеботлаяган.

Излвнайтган функция ва ушнг хосидадари учун масалашшг глобал ечилкЕкни тглмшшйдаган априор бадолар олинган.

Диссертацляда олинган натихалар аралап типдаги тенгламалар учун чизикли булмаган масалалар назариясида ва шу масзлаларга олиб кэлувчи амалий муаммоларни ечишда кулланшшши мумкин.

HOmDfEAR BOUNDARY VALVE PROBLBIS FOR EJIXED TYPE OP PRARABOLIC-HYPERBOLIC EQUATIONS IN COM4INS 9ITH KNOWN AND UNKNOWN BOUNDARIES.

The dissertation consists of two chapters.

In the first ohapter boundary value problems with unknown boundaries have been investigated. In the second one nonlineer boundary value problems with known boundaries have been oonsidered.

Many-one solvability of the problems has been proved. And for all problems with unknown boundaries the behaviour of the boundaries in the considering time interval has also been studied.

Under studying the properties of the assumed funotions and proving the uniqueness of the problems, mainly, the extremum principle for parabolic and hyperbolio equations, comparison, theorems for parabolio equations'" properties of solutions of hyperbolio equations, Belljnan-Gronuolla's type integral inequality are used. The existenoe theorem is proved by using the theory of nonlinear Integral equations and the immovable point theorem.

A priori estimators for the solutions of the equations and unknown boundaries have been obtained, which provide the global solvability of the problems. .

The obtained results of the dissertation, are new and of theoretioal nature. They oan be used in future investigations of the theory of nonlinear boundary value problems and for solving some applied problems resulting in mixed* type equations.