Нелинейные преобразования и слабая сходимость мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение и краткое содержание диссертации.

1 Нелинейные преобразования мер и параметризация Скорохода

1.1 Параметризация мер непрерывными отображениями

1.2 Параметризация мер борелевскими отображениями.

1.2.1 Открытые отображения вероятностных мер.

1.2.2 Параметризация Скорохода в метрических пространствах

1.2.3 Параметризация Скорохода в неметризуемых пространствах.

2 Топологические свойства пространства Скорохода

2.1 Некоторые вспомогательные результаты.

2.2 Связь пространств D\(E) и 2£.

3 Нелинейные преобразования мер и геометрические неравенства

3.1 Характеризация диффузионных полугрупп, сохраняющих логарифмически вогнутые функции.

3.2 Другие классы функций.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одно из центральных направлений теории меры, находящееся на стыке с теорией вероятностей и функциональным анализом, а также с топологией, — изучение слабой сходимости мер. Это направление органично связано и с исследованием преобразований мер — другой важной составляющей современной теории меры. Оба этих направления играют значительную роль и в приложениях.

В последнее десятилетие круг приложений, которые и раньше охватывали случайные процессы, динамические системы, статистическую физику, расширился в результате интенсивных исследований в теории нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейном стохастическом анализе.

Такое взаимодействие характерно уже для классических работ А.Д. Александрова [1], [2], Л.В. Канторовича [15], Ю.В. Прохорова [80], А.В. Скорохода [26], а впоследствии оно еще более усилилось.

Основные результаты диссертации связаны с исследованием нелинейных преобразований мер, позволяющих меры из заданных классов представлять в виде образов каких-либо простых мер (например лебеговской или гауссов-ской), причем требуется, чтобы это представление обладало некоторыми дополнительными свойствами. В качестве таких дополнительных свойств в диссертации выступают либо определенные свойства непрерывности, либо некоторые свойства инвариантности, связанные с функциональными неравенствами и экстремальными задачами.

В главе 1 исследуется параметризация пространства вероятностных мер на топологическом пространстве X отображениями из отрезка с мерой Лебега в это пространство. В классической работе А.В. Скорохода [26] было доказано, что для всякой последовательности вероятностных мер р,п на полном сепа-рабельном метрическом пространстве X, слабо сходящейся к мере /jlq, можно найти такие борелевские отображения п = 0,1,., из [0,1] в X, что £п —> почти всюду и образ меры Лебега при отображении совпадает с \in при всех п = 0,1. Эта теорема имеет многочисленные приложения.

Позднее Д. Блэкуэлл и J1. Дубине [35], а также К. Ферник [51] обобщили теорему Скорохода, показав, что такую параметризацию можно осуществить одновременно для всех вероятностных мер, а не только для одной фиксированной последовательности. Различные обобщения теорем Скорохода и Бл-экуэлла и Дубинса были даны в работах [59], [86]. В работах [45], [66] был развит интересный подход, основанный на решении известной в теории оптимального управления задачи Монжа-Канторовича об оптимальном отображении мер (подробное изложение этой тематики дано в книге [81]). Выяснилось, что параметризующие отображения являются градиентами выпуклых функций. Отметим, что первые результаты в этом направлении были получены в работах В.Н. Судакова [27] и А.Д. Александрова [1], [2].

В работе введен и исследован класс топологических пространств, для которых справедливы аналоги теоремы Блэкуэлла-Дубинса. В частности с этой точки зрения рассмотрены многие важные для приложений локально выпуклые пространства. Исследована связь свойств Скорохода и Прохорова и построены примеры неметризуемых пространств, для которых имеет место полный аналог теоремы Блэкуэлла и Дубинса. Наконец, обнаружена связь с открытостью отображений пространств вероятностных мер. На этом пути дано новое, чисто топологическое доказательство теоремы о параметризации для универсально измеримых подмножеств полных сепарабельных метрических пространств. Точнее говоря, показано, что общий случай вытекает из непосредственно проверяемого случая мер на отрезке с помощью известных фактов топологии. Вопрос об этом ставился А.Н.Ширяевым.

Параметризации мер в случае метрических компактов, построенные в главе 1, принадлежат известному в теории вероятностей пространству Скорохода Di(X). В последнее время в теории случайных процессов все чаще возникают связанные с ним задачи. Важность таких пространств проистекает из того, что многие типичные марковские процессы, пространство состояний которых — топологическое пространство Е, имеют траектории из пространства Скорохода (см., например, [71], [49]). В связи с этим полезно было бы знать, какие топологические свойства, которыми обладает пространство Е, сохраняются также для пространства D\(E). Отметим, что подобного рода вопросы возникают даже для числовых процессов, если в качестве фазового пространства брать не всю числовую ось IR, а какие-либо борелевские или суслинские подмножества пространства IR.

Пространство Di(IR) было введено в упомянутой выше работе А.В. Скорохода. А.Н. Колмогоровым [16] было доказано, что Di(IR) — польское пространство. Явный вид метрики, превращающей Z?i(]R) в полное пространство был указан Ю.В. Прохоровым [80]. Известно (см.[78]), что если пространство Е — польское, то таковым является и D\(E).

В главе 2 получены результаты об измеримости и топологической структуре Di(X), где X — подмножество некоторого польского пространства Е. Оказывается, если множество X является коаналитическим (и, как следствие, универсально измеримым), то таковым является и пространство Di(X). Однако если X — аналитическое множество, то (при некоторых дополнительных теоретико-множественных предположениях) пространство D\(X) может даже не быть универсально измеримым. Независимо от каких-либо теоретико-множественных предположений пространство Di(Q), где Q — множество рациональных точек отрезка [0,1] не является суслинским.

Глава 3 носит более аналитический и геометрический характер. В ней рассмотрены преобразования мер, задаваемые стохастическими дифференциальными уравнениями. Этот вид преобразований в последнее время часто эффективно применяется для доказательства чисто аналитических неравенств. Для некоторых неравенств это пока что единственный известный способ доказательства. Здесь доказано, что свойство диффузионых полугрупп сохранять класс так называемых логарифмически вогнутых функций равносильно тому, что эти полугруппы имеют гауссовские переходные вероятности. Класс логарифмически вогнутых функций играет важную роль в бесконечномерном анализе, теории вероятностей, стохастике, теории гауссовских мер (см. [10], [68], [69]). Мотивацией задачи послужила известная проблема, появившаяся на стыке теории гауссовских мер и теории выпуклых множеств — так называемое гауссовское корреляционное неравенство. Это неравенство активно изучается с помощью методов теории вероятностей, геометрии и анализа. Основной прогресс был достигнут в работах [77], [83], [56]. Наиболее плодотворными методами исследования этого неравенства являются метод полугрупп и метод оптимальных отображений мер. Метод оптимальных отображений мер (метод Монжа-Канторовича) имеет многочисленные приложения в различных областях математики. Он уже упоминался в первой главе в связи с задачей параметризации мер. Его применение к корреляционному неравенству было предложено в работе [44].

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

I. Введен и исследован класс топологических пространств, названных пространствами со свойством Скорохода, вероятностные меры на которых обладают параметризацией Скорохода. Обсуждена связь этих пространств с пространствами Прохорова. Доказано, что в случае компактных метрических пространств параметризация может быть произведена отображениями из пространства Скорохода. Описан класс мер, являющихся непрерывными образами меры Лебега.

2. Доказано, что пространство Скорохода Di(X), где X — коаналитическое множество, является коаналитическим. В то же время показано, что для суслинского X пространство D\(X) может не быть универсально измеримым.

3. Доказано, что свойство диффузионных полугрупп сохранять логарифмическую вогнутость равносильно гауссовости полугруппы.

Методы исследования.

В работе применяются методы общей топологии, дескриптивной теории множеств, функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории уравнений в частных производных и теории гауссовских мер.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно - исследовательском семинаре "Бесконечномерный анализ и стохастика "под руководством профессора В.И.Богачева, на семинаре отдела теории вероятностей Математического института РАН имени В.А. Стеклова, на международной конференции "Stochastic calculus and mathematical physics"(Билефельд, Германия, 2000 г.), на международной конференции "Stochastic calculus and related topics" (Санкт-Петербург, 2001 г.), на международной конференции "Stochastic inequalities"(Барселона , 2002 г.) и на семинаре по стохастическому анализу университета города Билефельда (Германия).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора (одна из них в соавторстве с научным руководителем).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 99 наименований. Общий объем диссертации составляет 73 страницы.

1. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел 1.IV.— Мат. Сборник, т. 2(44):5,6, (1937); т. 3(45):1,2, (1938).

2. Александров А.Д. О поверхностной функции выпуклого тела.— Мат. Сборник, т. 6(48): 1, (1939), с. 167-174.

3. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973.

4. Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

5. Банах Т.О. Топология пространств вероятностных мер. — Математичш Студп, Pratsi Lviv, Mathem. Collective, 1995, t. 5, с. 65-87.

6. Банах Т.О., Богачев В.И., Колесников А.В. О топологических пространствах со свойствами Прохорова и Скорохода. — ДАН, т. 380, н. 6, 2001, стр. 727-730.

7. Банах Т.О., Радул Т.Н. Геометрия отображений пространств вероятностных мер. — Математичш Студп, 1999, т. 11, no. 1, с. 17-30.

8. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

9. Богачев В.И. Меры на топологических пространствах. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современная математика и ее приложения. 1996. Т. 36.

10. Богачев В.И. Гауссовские меры. М.:Наука, 1997.

11. Бураго Д.М., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. JI.: Наука, 1980.

12. Бахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1984.

13. Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Управляемые марковские процессы. М.: Наука, 1975.

14. Ершов М. П. Продолжения мер и стохастические уравнения. — Теория вероятн. и ее примен., 1974, v. 19, по. 3, р. 457-471.

15. Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР., 37 (1942), 227-229.

16. Колмогоров А.Н. О сходимости Скороход. — Теор. вер. и ее прим. Т. 1 (1956).

17. Кругова Е.П. О сдвигах выпуклых мер. — Мат. Сборник 188 (1997), н. 2, 57-66.

18. Куратовский К. Топология. Т. 1-2, М.: Мир 1966, 1969.

19. Новиков П. С. О непротиворечивости некоторых положений дескриптивной теории множеств. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 38 (1951), 279-316.

20. Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения к линейной топологической классификации пространств непрерывных функций. М.: Мир, 1970.

21. Парамонов П.В., Управление при сканирующем поиске неподвижного объекта. — Автоматика и телемеханика. 1988. No.11, С. 102-112.

22. Парамонов П.В., Исследование на экстремум интегрального функционала, связанного с задачей оптимального поиска. — Тезисы докладов Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам. Нижний Новгород. Июнь 1997. С. 55-56.

23. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. — Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177— 238.

24. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

25. Садовничий Ю.В. О норме Канторовича для знакопеременных мер. — ДАН, 1999, т. 386, в. 4, с. 459-461.

26. Скороход А.В. Предельные теоремы для случайных процессов. — Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 3, с. 289-319.

27. Судаков В.П. Геометрические проблемы теории бесконечномерных вероятностных распределений. — Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1976, т. 140, с. 1-190.

28. Хеллман О. Введение в теорию оптимального поиска. М: Наука, 1985.

29. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

30. Энгелькинг Р., Общая топология. М: Мир, 1986.

31. Albeverio S., Ma Z.M., Rockner М. A remark on the support of cadlag processes. BiBos Preprint Nr. 498/91

32. Anderson R.D. Monotone interior dimension-raising mappings. — Duke Math. J, 1952, v. 19, p. 359-366.

33. Bakry D., Michel D. Sur les inegalites F.K.G. — Seminaire de Probabilites XXVI., Lecture Notes in Math. 1526, (1990), 170-188. Springer, Berlin.

34. Banakh Т.О., Bogachev V.I., Kolesnikov A.V. Topological spaces with the strong Skorokhod property. — Georgian Mathematical Journal, vol. 8 (2001), no. 2, 201-202.

35. Blackwell D., Dubins L.E. An extension of Skorohod's almost sure representation theorem. — Proc. Amer. Math. Soc., 1983, v. 89, no. 4, p. 691692.

36. Bobkov S.G. Isoperimetric and analytic inequalities for log-concave probability measures. Ann. Probab. 27 (1999), no. 4, 1903-1921.

37. Borell C. Convex measures on locally convex spaces. — Ark. Math. 12 (1974), no. 2, 239-252.

38. Borell C. A note on parabolic convexity and heat conduction. — Ann. Inst. Henry Poincare', Vol. 32, no. 3, 1996, 387-393.

39. Borell C. Brownian motion with negative drift and convex level sets in space-time. Probab. Th. Rel.Fields, no. 87, 1991, 403-409.

40. Borell C. Geometric properties of some familiar diffusions in IRn. — Ann. Probability, Vol. 21, no. 3, 1993, 482-489.

41. Borell C. Greenian potential and concavity. — Math. Ann., no. 272, 1985, 155-160.

42. Brascamp H., Lieb E.H. On extensions of the Brunn-Minkowski and Prekopa-Leindler theorems, including inequalities for log concave functions, and with an application to the diffusion equation. — J. Funct. Anal. 22 (1976), 366-389.

43. Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued functions. — Comm. Pure Appl. Math., 44 (1991), 375-417.

44. Caffarelli L. A. Monotonicity properties of optimal transportation and the FKG and related inequalitie. Commun. Math. Phys., 214, n.3, (2000), 547563.

45. Ditor S., Eifler L. Some open mapping theorems for measures. — Trans. Amer. Math. Soc., 1972, v. 164, p. 287-293.

46. Dudley R.M. Distances of probability measures and random variables. — Ann. Math. Stat., 1967, v. 39, p. 1563-1572.

47. Ershov M.P. The Choquet theorem and stochastic equations. — Analysis Math., 1975, v. 1, no. 4, p. 259-271.

48. Ethier S.N., Kurtz T.G. Markov processes. Characterization and convergence, John Wiley к Sons, New York, 1986.

49. Fernique X. Processus lineaires, processus generalises. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1967, v. 17, p. 1-92.

50. Fernique X. Un modele presque sur pour la convergence en loi. — C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1, 1988, t. 306, p. 335-338.

51. Friedman F. Partial Differential Equations. New York, Holt, Reinhart and Winston, 1969.

52. Godel K. The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis. — Proc. Nat. Acad. Sc., 24 (1938)

53. Godel K. The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory. — Ann. Math. Studies 3, Prinston, 1951.

54. Barge G. A particular case of correlation inequality for the Gaussian measure. Annals Probab. 27 (1999), 1939-1951.

55. Нагдё G. Inequalities for Gaussian measure and an application to Wiener space (to appear).

56. Hunt G. A. Semi-groups of measures on Lie groups. — Trans. Amer. math. Soc., 81 (1956), 264-293.

57. Jakubowski A. On the Skorokhod topology. — Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist., 1986, v. 22, no. 3, p. 263-285.

58. Jakubowski A. The almost sure Skorokhod representation for subsequences in nonmetric spaces. — Теория вероятн. и ее примен., 1997, т. 42, no. 1, с. 209217.

59. Khatri, C.G. On certain inequalities for normal distributions and their applications to simultaneous confidence bodies. — Ann. Math. Statist. 38 (1967), 1853-1857.

60. Kawohl B. Starshapedness of level sets for the obtacle problem and for the capacitory potential problem. — Proc. Amer. Math. Soc., Vol. 89, no. 4, 1983, 637-640.

61. Kawohl B. When are superharmonic functions concave? Application to the St. Venant torsion problem and to the fundamental mode of the clamped membrane. Z. Angew. Math. Mech., Vol. 64, 1984, 364-366.

62. Kennington A. Power concavity and boundary value problems. — Indiana Univ. Math. Jour., Vol. 34, no. 3, 1985, 687-704.

63. Korevaar N. J. Convex solutions to nonlinear elliptic and parabolic boundary value problem. — Indiana Univ. Math. Jour., Vol. 32, no. 4, 1983, 603-614.

64. Krylov N.V. On SPDEs and superdiffusions. — Ann. Probab., 1997, v. 25, p. 1789-1809.

65. Ledoux M. Isoperimetry and Gaussian Analysis, Lecture Notes in Math., v. 1648 (1996), 165-294.

66. Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach Spaces. Isoperimetry and Processes, Springer-Verlag, Berlin — New York, 1991.

67. Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Mathematical Surveys and Monographs 89. AMS (2001).

68. Lembcke J. On simultaneous preimage measures on Hausdorff spaces. — Lecture Notes in Math., 1982, v. 945, p. 110-115.

69. Ma Z.M., Rockner M. An introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet Forms, Springer, Berlin, 1992.

70. McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving maps. Duke Math. J. 80 (1995), 309-323.

71. Michael E. A selection theorem. — Proc. Amer. Math. Soc., 1966, v. 17, p. 1404-1406.

72. Michael E. A linear mapping between function spaces. — Proc. Amer. Math. Soc., 1964, v. 15, p. 407-409.

73. Mitoma I. Tightness of probabilities on C(0,1]; S') and D([0,1]; S'). Ann. Probab. 11 (1983), n.4, 989-999.

74. Monge G. Memoire sur la theorie des Dedlais et de remblais, Histoire de l'Acad'emic Royale des science (1781).

75. Pitt L. D. A Gaussian correlation inequality for symmetric convex sets. — Annals Probab. 5 (1977), 470-474.

76. Pollard D. Convergence of stochastic processes, Springer, Berlin-New York, 1984.

77. Preiss D. Metric spaces in which Prohorov's theorem is not valid. — Z. Wahrsch. theor. verw. Geb., 1973, B. 27, S. 109-116.

78. Prekopa A. On logarithmic concave measures and functions. — Acta Sci. Math. 34 (1973), 335-343.

79. Rachev S. Т., Riischendorf L. Mass Transportation Problems. V I, II, Springer (1998).

80. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness, New York, Academic Press, 1975.

81. Schechtman G., Schlumprecht Т., Zinn J. On the Gaussian measure of the intersection of the symmetric, convex sets. — Annals Probab. 26 (1998), 346357.

82. Schief A. Almost surely convergent random variables with given laws. — Probab. Theory Relat. Fields, 1989, v. 81, p. 559-567.

83. Schief A. An open mappings thoerem for measures. — Monatsh. math. 108 (1989), no.l, 59-70.

84. Schwartz L. Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. London, Oxford Univ. Press, 1973.

85. Sherman S. A theorem on convex sets with applications. — Ann. Math. Statist. 26 (1955), 763-766.

86. Sion M. On uniformization of sets in topological spaces. — Trans. Amer. Math. Soe., 1960, v. 96, p. 237-245.

87. Sidak Z., Rectangular confidence regions for the mean of multivariate normal distributions. — J. Amer. Statist. Assoc. n. 62(1967), p. 626-623

88. Talagrand M. Transportation cost for Gaussian and other product measures.- Geom. Funct. Anal. n. 6 (1996), p. 587-600.

89. Tops0e F. Topology and measure. Lecture Notes in Math., 1970, v. 133.

90. Tuero A. On the stochastic convergence of representations based on Wasserstein metrics. — The Annals of Probab., 1993, v. 21, n. 1, p. 72-85.Список работ автора по теме диссертации.

91. Колесников А. В. О топологических свойствах пространства Скорохода.- Теория вероятн. и ее примен., 1998, т. 43, в. 4, с. 781-786.

92. Колесников А. В. О непрерывных образах меры Лебега. — Матем. заметки, 1999, т. 65, в. 5, с. 790-792.

93. Колесников А.В. О полугруппах, сохраняющих логарифмическую вогнутость функций. ДАН, 2001, т. 376, в. 4, с. 449-450.

94. Kolesnikov А. К On the diffusion semigroups preserving the log-concavity.- J. Funct. Anal., 2001, v. 186, p. 196-205.

95. Kolesnikov A. V. On diffusion semigroups and log-concavity. — Тезисы докладов международной конференции "Stochastic calculus and related topics", Санкт-Петербург, 2001, с. 43.

96. Kolesnikov A. V. Correlation inequality and diffusion semigroups. — Тезисы докладов международной конференции "Stochastic inequalities", Барселона,2002, с. 22-24.