Нелинейные волны в стратифицированной и флотирующей жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕРА ЛЕНКА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕЮЛКВД ' К ОРДЕНА ТРУДОЮГС КРАСЮН' ЗНАМЕНИ 1\ЮУДАРСТЕЕ1№Я

«

ЛМЕЕРСИТЬТ mem М.Н.Ломоносова

Физический факул^тз:-

11а правах рукописи 1.33рекой .'iiixsH.". Борисович

УДК 5J7,95tit532.5

КШНЕЛННК ЗЭЖ 3

С1?лтаащ!1говА!йой к злотирущей ыдасти

Спзцналыгагсгь 01.С1.03 i гагямг т.'гчестсая фтз ика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на псионаниа ученой степени кандидата физики- -.¡атэкатичесянх наук

Москва - ШХ

. - 2 -

Работа выполнена на кафгдре штематики физического факультета .ГУ им.М.Б. Ломоиооопа.

Научный руководитель :доггор фтико-матеайтическжс наук, профессор Свешников А.Г.

(Чициалыте шпоиентн:доктор фиико-матемйтических наук,-профессор Надсеев Б.й. доктор физико-иате магических наук, Секерх-Зекиссвич С,й,

Ведуцая организация: Московский институт электронного маиикестрс ения.

Защита даоссртацлй состоится " ' " ^¿т.

% , [С часов ко заседании Специализированного совета № 2 отделения эксггерим?нт&льнся л теоретической физики Фиаичесхаге ф»худ».геха МГУ А СбЗ^СЗ.Ш по адресу»

117234, М»сква,.25нинекие горн,МГУ,физический факультет,

аул;* с* л. С дагсертацией млн о ознакомился в библиотеке физичасквго факулигга МГУ,

Автореферат разослан " /Г- Х99 2х.

УченчП се кр? тар«- Специынзировгшногс совета кпндадат биэйко-математическю наук

Поляков П.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА Р/БОТЛ

Актуальность таны.В настощее вракя * связи о потребностями геофизиюьокеанологаи,физики атмосферы и гидротехники значительно возрос интерес к изучению волнозих двгаеяий различных неоднородных жадкоотей.Прежде всего это относится 1 изучений динамики так называемой стратифицированной жидкости,т.е.кмдкоск1,?изическ# характеристики которая.нопрнивр.шклнэеть.п стационарном состоянии менягто* тольха вдоль некоторого выделенного направления. Этот илтерсо обусловлен как боаьанн практическим значением рас-Быатризаекых проблем,так и их теоретической новизной.

Основная линейная надел* стратифицированной жидкости -- уравнения ЗЛдера в прибикгнии Буссиягска - известна давно, ее исследованию посведен.ред м он ог ?а<|м и, б о л ыг ое число статей, в которых рассматривается оакые различный задачи :двумьрше и трехмерные,! ограниченных и неограниченных областях,стацконарныв' и нестационарные.№*аче обстоит дело с нелинейным;; задачами теории стратифицированной жадности.На сегсднндний день все относился к отой области строгие математические исследования основывается на так называемом. урлзнении Дюбрейль-£акотен,которое было выведено в 1937 году и описызсет только узкий класс плоскопараллел^ ьнлх стационарных течения стратифицированной жидкости.достаточно широкие классы решений уравнения Дибрейль-Елкотен были получена э работах Л.В.Еицадзе и С.А. Габова,однако они далеко не исчерпывает всего многообразии стационарных течений стратифширотакной аэдкости чего вытекает необходимость проведения дальнейшие исследований в этом направлении. "

В последние годи возникло и быстро развивается другое награвлекие современной гидродинамики - теория так называемой

~ ч -

^¿отируил.ей хндкосгн,/г.г. .кядкости.на свободной поверхности :отг.роЯ плагкт1 невзличолеястл^щ^е друг о другом весомые частицы tk .¿второго хедеотзь/в зарубежной литературе такую липкость »lÄox-o нлзыгаэт жиккостьй о инерцгюийо!< поверхность!) » tym'ai witk ал ifi.ex.tiaC- ,5"и.г/асе /.Оц<им из

пврвш исследогатсдей rc opus» йлотирущеЕ жидкости является

роботах хоторого расо.мпг'риьеинсь .¡сак лине йике/гак и нелинейные задач* и на многочисленны* примерах <5ыла показана пдодотзорносц» моделироявннс флотирующей кед копти клх нщкости с лвоомой свободно! гогерхчостьп.При т«яеи подход« наличие флотация скизнзаетйл только на /ада дивамчеокого гршияаот-о условия,прсчи* же уравнения сохраняет $орну,хпргистернто для клаосичгсиоа гидрадиибккк^.Эго обегоягельстзо аозволяег рюсца-

■ гривам задачи с вол»оных язижеяиях ^¿стирухщей яидчссти как «(¡обтаял аооузггет.тущюг блдя.4 д« ;>0ичйой тйжмоЯ жнекооти.

Среди точных нглиивЕнл; постановок последних .чпиЗолвией известностью пользуется так пазнэасчйк,задача Некрасова о свободных уогеноънлаюсся ьоднк на позерхноота таелой аидке-ти ,а твкке ее разданное соойч^ния,связанные ,нйпрк«ер,с ньличнек периодического знеонйге воздсЯотзик,, .

Целью настоящей дисоергацни яиляегся изучение в рамках

строгого математического рлсохосреняп ряда тпчкых нелкнейш« пос-?ааовс»: зпдг-ч георми стратк^циро»анпой и флогируздей гидкостиг

Научная КОВИ1НП рлбога еоотоиг в построгнки и коследокааки явных реиения некоторых звдьч ей обтекании ир-зпг ;тшй потеками герм-кёйцармазноЯ яздаостя «а также г результата!,Полуниных прч ичучггши нелинейных усяакозмзшжея волк чи понятности флотирущей яда.койтк.Среди последних часть являются нозымн р том числ?. я для случаи обычной тязъелоя жадкоетг.

Практическая ценность.Полученные результаты представляет как прикладной,так и математический иятерю.О« могут бигь при-денепи для реяеник задач геофизики и океанологии .связаннее со стратифицированными течениями или с проиосами распространения »оли оо поверхности жидкости,локритоИ слоем флогируялого матери гиа или ледовой кроной.

■ I

Апробация работа.Результаты работа неоднократно докладывались на различных семинарах физачзского факультета МГУ,Института Проблем Механики,а также на XXУГ1 Всесоюзной студенческой научней конференции "Студент и НТП"/НоЕооибирск.1989/,Х Всесоюзном , Сишозиуме по дифракции и раопростр-чеиию волн /Винница, 1990/, Конференции "Проблемы стратифицированных течения" /Кькез, Г991/.

, Оонозккг результаты диссертации опубликованы в работах

[1-тО. ......

Структура диссертации,Лиссертация состоит из введения, трах глаз л заклочения,содержит Ю1 страницу, Г2 рисунков .Список цитируемой литературы вклвчает 60 робот.

СЩЕШШЯЕ РАЕОШ ■

Ви. введений выделен круг- проблем,спредедящих тему диссертации л дая об?от> литература.Злесь яе кратко излагаются постановки раеснатраваемых задач и от»«чается метода их исследованная

В первой главе рассматривается задача о стационарном обтекьнш препятствий двумерным потоком стратифицированной ивдйости - одна, из основных зада« классической гидродинамики. Огмечпгтсй неприменимость к стратифицированному потоку стандартна методов,основанных теории функций, комплексного пвркен-ногэ и необходимость разработки иных подходов к реиени» задачи. Глаъа состоит из четырех параграфов.

Б 5 ГЛ /точяяетоя вид 064его ур9тнений ЛибреР.м-Хаьогеч, . лшеигащего ллоокопараллельннг стационарны! поток,скорость которого 1 нме^мучгнкем состоянии реша ^ , а направлдкь вдоль горизонтальной оси X лччартовой системы координат X % Здесь же знз.щятоя дополнительные условия .необходимые для коррегтной постановки * ад гни, которая в конечном счете пшнимает гид:

*)}**,

Ф/п - 'К-

Здесь .У^* - фуакшя тока, £ - функция плотности,

.елкзаннпя ухманьки обраясм с плоти сеть л (у) потока в невозчу^еиком иостйКник.Первоз уравнение; - уравнение Дпбрлиль--¿¿ькотг.н ~ должно сыть гыполнгне» »саду ъо ьнгьяеЯ но отношению к прглятсттов сбластиЛа границ? области л* поставлено услогий (Ьн^отькьния/ьтпрэе уравнение/.Наконец,третьс уравнение «мест снасл условия кезозмуценности потока на бесконечности

Б формулируются две. дои учения, суть которых состоит

г> тс,что вддкость считаемся пкипоненциально-стратифацирсллнкой IС'е'^У , о / и невесомой / £-0 /.при отих до^удендях после ойезразмгркз.ъькя и специальной нелинейной зьгены н&изесстнсЯ фукшш мы приходим к пергой ¿нешнай креелой гедечг для линейного уравнения Кирхгофа,в результате чего уда-етсу! показать зднозначнув разрешимость плэтэтиенной выве задачи ъ классическом сиуслс для достаточно произвольных ко;;турор ,

3 § 1:3 стронгся яанод речение задачи сбте:иния конг.ретногг контура П - окружности единичного радиуса / Та/ / а проводится «го анализ £ случае слабо-етратии'ицкровшшой жидкости , -ксгдл о'еэра?мерный пзрк.мзтр стриисикаши ¡4/3 , кал /.В частности,пестрое^ асимптотики для циркуляции

С вектрра скорости по ксктуру Г и для псдя.чиоЯ сьв Р 3 результате устансзлгна следующая саязь «аду этмн ъеличшамч-

которую моет о раоскагрквагь scan оо'об-.^ние кьвесотоЯ формул«

iynoBcxoto для подъеи^Я пиль и денном случае кругового контура.

»

Случая сильно-страти^цированной жодк.ост1:,КАгда плрак.ч-р jl

се лик / fCyJ i ! иллюстрируется мечнташшмм чл ЭВМ глртингук

' * Ф

линий тока для различных значеьий параметра. Л» ,которий,по сути

дела,задаст циркуляции Ç .

Последний § I.-'i помяли изучении задачи обобте.чския систеш точечных препятствий,т.с.препятствия,характерные размера которых значительно меньше HOC2TPi3a страткфчхлции,потоком стра-ткфшлреаашмя mwk ости. Здесь формулируется условие обметания T04î4îioro препятствия.состоящее s требовали» конечности пассы дцдксоти в его окрестности,строится яыюе решение задачи по нему находится ояязь прдделъних значений подъемной ';или и специально вэодичой обойцг.шэй циркуляции.

Зо второй глагс рассматривается зод'Л'!а оЗ устелогивнихоя вол.-ta:; коне чк о а ш-яитуди на поверлйостн Сескочс-чнс-глуболоП <5acrnpywaefl падкости,хэторъя яь;,яете» обобщением из№с?ноЧ задачи И? к рас os а. С noyât е1-1 перехода л связанную с л-ллиой псдЕ.чхну^

. _ 6 -

систему координат задача сводится к задаче о нетривиальном тгаюшнарном течении флотирувде!* кадкоати.

Б § .;*Г дан вывод динамического граничного условия кь поверхности флотируадей жидкости,принадлежащий С.А.Гайову.В плоском стационарной случае это уолопие имеет влд:

С2 1 ¡v9llL = con&iг

г ^^

где через б?' обозначена поверхностная плотность флотирующего

зещссма.предполагаемая полахительнсй и постоянной,

- дву»:р!шй потенциал скорости, - производим по внешней

- - . i

нормали к свободной поверхности р .уравнение которой имеет

В § 2.2 приводится постановка задачи,которая за исключением динамического греиичного условия целиком повторяет постановку задачи Некрасова,гклюгая рад догтолнигсхьнах предположений. Цдсоь л>е отмечается ее специфичность как задачи с неизвестной границей я даетск се интертрет&одя в терминах кенфорших ото-йрежзний.:

Следусдий § Н;3 посвяцен редуквди задачи % гистеме оператор^ V уравнения для вспомогательной функции ci(S).определявшей профиль волны,которое рассматривается в гильбертовом пространстве Я] алгебраического уравнения,которая имеет вгад:

— В>о) , 1 ~ &

(*> Ъй+г^ре -5iht¿ +

/Jf А= iᣣ je2«

c¿ г ■■■ 1

* .«а

£ \ ё" тиз(9)49 =1

-1? . Здесь Ь и - некоторые линейные операторы, Ъ и С -

длина и схорость установившейся взлиз, Д - поле< гтеньный параметр,.. возникший на некотором этапе рассуадениЯ как постоянная интегрировании и по?»легаций определенно из алгебраичезкого уравнения,называемого по другому услогмек иориировкм.В зтонка параграфе доказываемо лемма о тождественном взполпеяии условия нормировки для Н* при ¡¿к £ для бесконечно-глубокой яидкести,что позволяет судестве- ; ннс упростить дальнейшее исследование задачи,так хек она сводится к изучению одного уравнения^*) ,где следует ¡толскить . .V

В § на основе методов' теории ветвлзкия решений нелинейных операторных уравнений доказана теорема существования малых нетривиальных ревений уравнений * значит решен положительно вопрос о существований установившихся волн на поверхности фютиругцей •

ЯИДКОСТИ.

Следущий 2.5 существенно опирается на результат § 2Л. Здесь строятся приближенные формулы для'профиля волны и выводится ' • нелинейное дисперсионное соотнозсяие»которое имеет вид: ,

г)г= (■*+ Же«)*2 + о (а*))

ттзгюн)--;---

гае г«/ , К и ¿г. - частота,волновое число и гмгслктудл волны соотво'» отвелно. Отметим,что при б""О ,т.е.в отсутствие фютации, все полученные результаты переходят л известные результаты теории нелинейных волн на поверхности обычиоя тялгадой хизкости. Например, гак как Ц(о)ш.4 ,70 дисперсионное соотношение примет вид;

ие рк. ( + б

•совпадащиП с известной формулой Станса.

В заключительном параграфе данней главы проведено обоАдениа всех результатов ка случай флотирующей »идкости конечноЧ глубины, Покааенэ,что это обобщение с?одится к чисто коли4 ест венком/ изжнгииа ряда коэффициентов.

Третья глава диссертации г.освядена рассмотрению вин узде н:шх нелинейных волн установившегося ведь на поверхньсти флотируадей яцйкг.стшрн наличии периодических постоянных вкешн;к воздействий.

В § 3-1 ставит Ч задача о волнах не поверхности текущего со скоростью С потока флотирующей жидкости, вызванных периодически распределенным по поверхности с периодом ^ давлением ' ро • Эта ладачл об о очаг т на случай флотации рассмотренную хЧ.Ч.Секзрк--Зенлковкчам аналогичную задачу для тяжелой -надкости,Дииакиче cr.es гранлчнег условие икает евд:

у 2 + + г* ¿дгх) »

где сохранен все обозначения из второй глвгы.

В § 3.2 привадится операторное уравнение .отличащееся от урагкения (А наличием в -чеьсП части члена:

о Ых 3

£ ¿р*схге» . е и,

$ Мл

зизвд .сглгорего еполнь 1нысгг.ч*л) прсваде.ипку * $ Дальнейшее

исследаъсние зедечи судествекно змисит от сэбствечнзд зно.ч'иий оператора линеаризованного по и> ацкородйого уравнятя Гч) , которые определяются параметрам задачи С, А, (Г л 4 .где #

^ ' г*

- рлсхэд жидкости л рассматриванием гечекяи.и икеют вид;

Д„з - в*.'*--

^ ' ■

А*

Случай,когда лее называется регулярным и рассы-

; то из« тех ь § 3.3, где на основе функциональных методой покмдно . существование реаения и!(&) ,пред стьв'/кого в виде ряда:

£ ¿*ак (9)

с

сходящегося по норма г/у при достаточно калах ё / <£■ -- 'гера-

.метр,характеризующий перепад давления в предел« период?./,Здесь хе

вычисляется приближенные уравнения для профчля велкн и обнаруживается

интересный эйфекггогепзагмгел.чте при ,1 к — '-Е!?2. сЛ^Л^О .

1 7ТСЁ А

макет иьягь мгето "сномелюнья" ситуация,когда максимум давления приходятся на гребен.» пэлиы .Предложенное в § 3.2 рассмотрение являетоя, непмикк.так как во-первых ом не позволяет опксьвлть ситуации, когда параметры задачи такоги.чте,например, 'Х*^ С ,а во-вторах, если ,где & - малый параметр,то радиус £0 экргстносгк,

в которой справедливо представление для О,"£) будгт- зависеть от О причем £(%) о при .Ото обстоятельство обусловило

необходимость отдельного ресокотренкя случая А} е 5] ¿Г/< > мало, который мы назовем окдлорезоначскь'м/случай . = о , , . назегем чиогс резон ейским/.

Рвоонзтренну о^олорезеналсногв случая посвящен 5 3.4,где с помзды) оригинальней методики исследование уравнения типа ¿'к ) сводится к изучении диухпираметрического уравнения разветвления вида:

¿■гее* О,

где Ф аналитическая функщш ,ь £ - амплитудный параметр волны, который педиеяит определеннга.Дадное уравнение.наследуется на основе подготовительной теоре*м Еьйерятрасса.в результате чего выясняются условия судестЕввакля от еднэго до трех его малых решения £ ,

п^гдотавимых,аовбче говори неакалитическими функциями параметров $ .который соответствуют различные тип в волн.,в том чис^е аномальные „В в?ом же параграфе расемсгрены реэонансы на кратных частотсх. хегерые возникает в случае,когда в спектре вненнего воздействия отсутствует основная резонансная гармоника.В згок случае наряду о предсказываемой линейной теорией волной емплитуды парадка <Г мзжет существовать волна о амплитудой порядксь^^"* ¿Большинство результатов §_ являются оригинальными в том числе и в случао обычной тяжелой жвдлости,т;е.при О „так лак ранее выполненное исследования так называемых состазных голн базировались на искусственно вводимой связи ■ параметров ¿Г и £ ,которые на самом деле являвтея принципиально независимыми в соответствии с физической сутыс задачи .так как характеризует се5тве»'стгенно частоту и л мяли т уд у гнеияего воздействия.

3 последней параграфе третьей главы рассмотрена в ьколорезояа-нснйм случае задач* об ойтеклнии потонем й ¡отиругнеп, яздкости нерсзнсгэ перив,".л!Ч5СК9го дна,Исследование проводите« не основе предложенной гызе методиг.и с небачьииаа видвизиеиенияка.

-13В заключении в сжатой фор»« примдптзк основиьз внвсды диссгр-тацкояной работа.

Оснввкимй ногкми реэул».'1аташ,пол^чег,ныки в диссертации яиляится след узд ке:

I. По ставлен а нелинейная яздача об обтеханич пргпятс-гзий стадэнарным дгумерныи потокам страткфищ'ремшной твдхостк.Лля случая знопоненаиал*но» стратификации она редупкрэгана к гимЕней краевой зада-'в для урлшения Ккрхгсн|л,прм этом исйлекы к исслмогшы з различны* предельных случаях точние язнуе реяения двух конкретных зада'?: об &бтзкании кругового контура и об обтекглик конечной слоте ж точечных препятствий.

2Лсследсвгна задача об устаневимихся золнох «оязчноя ьшлтеудм на потлрхкостй ФлотирущеЯ zwi'xcvn.C Пймас.ю методо* таорки функций ' комплексного переменного онл сиедет к зпотере операторного уравнения '

(% ) ti услотч псрм кроем, для ксторой доказана теорема сучв'стмганкя нетривиальных рлзний.опиоыгакцух с кобол nue лолни .Для •эти/ "мст каРдеяы прио'лйжскаьс урагнеяип профиля л челинейкпе дистеусионное свегчояеяив,

З.Иоследэгана задача о тг.укгсшкх уетановнш/лся голках конечной «мплигуд« на поверхности флотирующей ггцд.соетт'.В кочестгм ъы:;уяда«дей пщчлаи рассмотрена переменно'; давление на <;r¡e>(íспиo»í поверхности,a "'okjíí неровности дяа.Задача сведена s системе неоднородного с приторного урвзнения тиле. (V-к условия .нормировки.И регулярном случае доказана теорема еуцестьог&ния р-тйений данной система;r¡"Строен;;• бормулы для профиля огг-ечарцзИ этому peieHw велн^ и гкясчекн уолс,зг»я, при : эторцу'иигет мйстояекоийльвая"ситуация догла максимум давлен/л приходится, на гребень яолкь'.В ооэсом,о:солсреяоагкском¿случае .гн.^скекл уололия судесггзов&ния от одной до трех различных зола в завийнног.ти '

от значений параметров задачи.Изучены также резенансы на кратных частотах (Возникающие при отсутствии J спектре ансинего ввздгйствия основной pes нанонек гармоьики.Предельном переходои 6 О где (f - поверхностная плотность дчготируидего вещества,все результат лвтэмл-ги ¡ески переносятся на случая обычьей тягелой ходкости,где большинство из них также являются новыми.

Основное резул1таты диосертац/и опублш; ванн в следущих работах; ТД'абоэ С.А.,Тверской М;В«0б обтечлнии препятстг-ий потоком стратифицированной пвдк ос ти //¿i. гн ч; й л. м а re м. и матем.фиэ.-19в6.Т.2в,Ж k.C. 608-¿613.

■ 2.Тверской Ü.F.K вичислопив падъемнэя силы »действулдеа на цилиндр в стационарном' >токе л^тифьшроваяноР квдкостк. Материалы ¡3 Всесвп-5Н0Я ксчфереиции"Про0ле*«1 сараыуйЦирлганных т<5чсчи:5я.ЧЛ.С. ГГ7-1ГЗ.

. З.ТверокоН М.В,Сб обтекании точечных препятствий потоком страгиФици-ревеннэЯ яцл:сости/Д.вы"исл,»<атем.и иатеи.фкз ./в. печати/ ^.Габсв 0.А.,Тверская М.Б.О аычкелекиь периметров устсновишкхся волн конечной амплитуды на псвархнооти флотируюдей жи5иости//Иатем.маде-лирозекие, Ш9. Т. I.í 2.С. 109-118.

5.Габав С. А. .'Гаерской M.F.Течение флотирусцей жадности конечной глубинь при наличии переменного давления hi свободней погерхнвсти/'/Матем. модедироганис, Ш°<.Т. I.№ З.С. 11С-122.

6.ТзерскзЯ М.Б.Течение флотирущей жидкости K-онечной глубины при наличии пгременкого давления на свободней поверхнорти.Материала ХХУ11 Есесо<о?неД научно:1, стулсаческой конкуренция,Новосибирск, 1932: (Математик* с.66-72.

7.Тверской М.Б.К задаче об определении овеЗсгных и вынужденных волн гонечноя амплитуд»» на поверхности тяжелей «адкостн/'/Матем. моделирование. Г* 83. Т. I.» 9.С. 64-72.

- Б -

8,Г&бов С.А..Ттерскоя М.Е» Сб ичследовации ге'-ени* тяжелой жцзкостя при наличии периодического внеанего «оздейсгвлл/А.йычиол.матеы.и матем? физ.ШаТ.ЭО.» 4.С.50Г-512.

9Г,Тверской .V.E.0 стационарном течении тяжелей жидкости над неровным периодически иеняпцнноя днои/Д.зычисл.матем.к матем.физ,В90.Т,30. » ГО.С.Б26-5Э).

Ю.Твврсклй М.Б.Оногнх классах решений нежнечкого операторного уравнения .опиеива&зего ста ни он арнье течение флотируете» гкдг;остк кяд неровнымлном//Я.внчисл.м1гем.и ыатем.физ. 1991.Т.Э1.Й I.C.Í6I--Т65. •

ГГ.Тверсхвй M,E.Okojopeзеначоное течение флотчрущея жидкости о образованием стоящих волн ке свободней пвверхнооти.У-териелы X Всесевзиого симпозиума по дифракиии я распространению bsjh,'?¿?.