Немодельные гиперболические уравнения с сингулярными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ТАДЖИКСКОЙ ССР ТАдаИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.И.ЛЕНИНА

Специализированный совет К 066.01.02

На прарах рукописи УДК 517.944.55

АДЕЯЬ НАСИМ АДИБ ХОНЕН

НЕМОДЕЛЬНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе - 1991

Работа выполнена в Таджикском государственном университете им. В.И.Ленина ,

Научный руководитель - член-корр.АН Тадк.ССР, доктор

физико-математических наук,. профессор Радкабов Н.Р.

_ Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Бойкатов К.Х., кандидат физико-математических наук Брлтайв К.С.

• Ведущая организация - Физико-технический институт АН

Туркменской ССР.

, Защита состоится " ЗЧ. •0Л.СЛМ/> 1991 г. на заседания специализированного совета К 065.01.02 по при; суждению ученой степени кандидата физико-математических наук э Таджикском госуниверситзте. им; В.И.Ленина (734025, Душанбе, , . / проспект Ленина 17). ' ' ' .•".

С диссертацией полно ознакомиться в научной библиотеке . Таджикского гоеуниьерситета им. В.И.Ленина

Автореферат разослан " " н№иС'М/,?> 1991 г.

/чекый секретарь спг;циализирс- м/• " ■ ;

• ванного совета, к.ф.м.н., доцеит О.Х.Хосайеков

; з

" ; ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами являются одним из важных разделов в теории дифференциальных уравнений с частными производными. К рассмотрению таких уравнений приводят многие задачи описывающие физические процессы математической физики. В частности задачи из теорий упругости, гидродинамики и других разделов математической физики.

Фундаментальные результаты в теории дифференциальных уравнения с сингулярными коэффициентами или вырождающихся дифференциальных уравнений эллиптических и гиперболических типов полученные в работах М.В.Келдыша, А.В.Бицадзе, М.М.Смирнова, И.Л.Карачь, В.Ф.Волкодавова, С.П.Пулькина, А.М.Нахуше-Еа, А.'Л.Янушаускаса, Л.Г.Михайлова, А.Д.Дкураева, З.Д.Усма-нова, Д-В.^пзи.п , (?,(?Ьег1: Я. V- , Я.. Са*г06 у йЬоию-^Ьег Мередова М.Н.,

М.М.Салохидцинова, Н.Раджабова и многих других авторов и их учеников.

Имеются ряд работ посвященные гиперболическим уравнениям с сингулярными- коэффициентами, но в основном многие работы посвящены изучению модельных гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами.

В последние- годы появились ряд работ посаженные линейным немодельным гиперболическим уравнениям. В частности в случае конечной области, для линейных гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами, а также для уравнений со сверх сингулярными коэффициентами и системы таких видов были получены представления многообразия решения через произвольные функции одного переменного. Эти представления были применена для выяснения корректных постановок задач я их исследования. Заметим, что к рассмотрении гиперболического уравнения второго порядка с двумя сингулярными линиями приводят ■ задачи виэникающихся в теории электрических цепей и описывает трансформацию спектра электрических сигналов длинных линиях с переменными параметрами.

Настоящая работа посвящена получению новых интегральных представлений для некоторых немодельнкх гиперболических уравнений с двумя сингулярными линиями, распространение известных интегральных представлений для бесконечных областей и использования этих представлений для исследования краевых задач.

Кроме того, в работе для одного не^одельного уравнения четвертого порядка на плоскости с двумя сингулярными линиями получены различные представления многообразия решений, через четыре произволение функции одного переменного. Эти представления применяются для выяснения постановок задач и их исследования.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состой? в получении новых интегральных представлений для некоторых немодельньгх гиперболических уравнений с двумя сингулярными линиями, распространение'известных интегральных представлений для бесконечных областей и использования этих представлений для исследования краевых задач. '

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ, 3 работе используется метод интегральных представлений, метод интегральных уравнений и метод Фурье. На этой основе для некоторых немодельных гиперболических уравнений с двумя сингулярными линиями найдено решение представимое в виде интегралов к рядов. Найдено ряд аналогов формулы Лаламбера. Кроме того широко используются методы разработанные в работах Н.Р.РядиабОЕа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Используя связь немодельного гиперболического уравнения второго порядка с обыкновенными дифференциальными уравнениями, получено представление многообразия решений через две произвольные функции одного переменного, а также при помощи способов разработанных в работах Н.Раднабова найдено интегральные представления содержащие . более чем два произвольных функций Одного переменного. Получено интегральные представления в,областях содержащих, бее-конечно-удаленную течку. На{&ено условия на коэффициенты

рассматриваемых уравнений, при выполнении которых общее решение находится в я ином виде. Полученные интегральные представления дают возыоаность рыяснить корректные постановки ряда граничных задач а конечных и бесконечных областей.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕШЯ Iyi"IHOC'Ib РАБОТЫ. Исследования, содержащиеся в диссертации, носят теоретически?, характер. Эти результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории немодельных дк<И>сренциплытх уравнений с сингулярными и сверхсингулярчыыи коэффициентам!, а также п различных прикладных вопросах,например, в задачах возника-кдихся в теории электрических ценен и описываю'",их трансформацию спектра электрических сигналов длинных линиГ| с переменными параметрами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации О'нли долокены: на республиканской научно-првктнчс-сгоГ; гои$ерен-ly.и молодых учет-х и специалистов, I-4-I4 апреля 1989 года, р.Дуг'ггк';©; пг. р«спубд:ш«нскоИ на^чно-практипеокоЯ коиФ'орэн-цин молоту ix ученых и сг.етглплчстов Тедгигмстанп, 12-15 .треля 1530 года (г.Лекйнебед) ; на республиканской научной кон-Фзрснции госш-денной памяти Т.Сабирова, Дуыан 5е 1090; на ПсесойэноП научно:! конференции "Краевые задачи и их спект ральные вопросы для ди ЭДзреицнальнкх уравнений", Ал.-.и-Ата, 22-2Ь мая 1991 г.; на Апрельской профессорско-преподавательской конференции посвященной Д|го рождения i3.II.Ленина, 19Э1 г. на научно-нсслсдоватсльсксм семинаре кафедры математического анализа и теории функций "1{омплексныП анализ и его приложение d теории дифференциальна равнений с частными производили" (руководитель профессор Н.Радяабов), I988-I99I гг. Основные результаты диссертации опубликованы.

ПУБШГАЦМ. Основные результаты диссертации опубликованы о статьях, список которых приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 120 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 34 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении к диссертационной работе дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы. Приводится также Краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

В первой главе рассматривается уравнение:

^ = (I)

где с<(4) 0(у), С (У.) - заданные функции, "Ш-е, а; - искомая функция. Используя метод Фурье, задача о нахождение решения этого уравнения приводит к нахождению обыкновенных дифференциальных уравнений.

На этой основе найдено решение представимое в виде рядов, а также в виде интегралов.

Далее используя принцип соответствия найдено ряд таких представлений. Это составляет содержание § I.

В § 2 рассматривается неоднородное уравнение вида

Ь Ъх х у х у '

Предполагая, что правая часть разлагается в степенной ряд по переменному .эс . В этом случае, задача сводится к нахождению решений обыкновенных дифференциальных уравнений видов:

И^Ш+^/и^у) = Оп(а) , (3)

У

П = 1,2.э

где

Как установлено для уравнения-'ЪхЬЗ У С)х. х У ; ха

существует решение видов:

■И, ¿M)«! ^.V, (5)

1*V . {б)

В § 3 доказано, что уравнение (4) имеет решете предста-■ вимое в виде:

lie*.«"«. VA . (7)

Ранее в области D для решения

+ + bíx,yJ.al^i. + C(x/«tU Ре*,» (8)

было получено представление многообразия решений, через две произвольные функции одного переменного, но как известно из теории эллиптических уравнений с сингуляюными коэффициентами (например, для уравнения Эйлора-Пуассона-Дарбу) существуют решения содержащие несколько аналитических функций. Поэтому представляет интерес для уравнения (I) получить интегральные представления содержащие более чем два произвольных функ-' ций одного переменного.

■Одним из основных результатов является следующая ЛЕММА I. Любое решение уравнения (I) из класса С^CD) представимо в виде:

<f ■ ■ и«,я> = Z Q¿ (<рг) , ■ ■

где С(а)

-fu»,*«, в

> v. >?«(о> - с to ,

п г?«» i -г*« nc<"-"í&*Z0 i

ё^. |агл(<? .О,.*» (*,>,

.Qtl4, иг"".

, С^Ч)- С(У) + о(Ш р.'У) _ ()(У) _ oí(o) £(о) ,

- Af Д%- сса) - <*(у»Л?

' Í С

tpj.- с Л i ^ i é ¿ -t ¿f - произвольные непрерывные функции на U^oé^ii'J .

Выше через С^ (О) обозначено класс решения уравнения (I), U а) имеющий в

с^ос^чг , , :

непрерывные произвольные первого порядка и зависящие от четырех произвольных функций одного переменного.

• В этем же парагря^е изучено свойство интегральных операторов jflj. и свойство полученного решения. Л

В главе П получены интегральные представления п областях содержащих бесконзчно-удаленную точку. В частности в четвертом кгадранте - ог^^у':

в треугольной области лежащей в первом квадранте .

Oi = £ ; О -¿У - <--+<*.}

В частности.в первом параграфе этой главы доказано следуотее утверждение: . v ' V; ■ . • -

Т-ГОРёМ I. Пусть i' уравнении (I) функция еЦу/ удов-ло^зоряет следующим условиям: V"; ; ; У ,

j ^ísj -<y(o) J ¿r ¿ .ч. ¿MA i \- при у;_^ с ,

: _ ос(оЛ • S <: о при -л'.._

е<(о) Ь- - 1 , (Иу)л.0, Р(^Ч) = оСл"^1 . ) .

о) "Р" *-^-

Тогда любое решение уравнения (I) при СЛУ.) = оаа).р>(у) из класса с1 С 0*> представим в виде

11сх>У>= ^((рсх), <4>суь О ; ' (Ю)

где а

- 1>3

-сЛ ЬС

<РСх)ццу) - произвольные функции соответственно из классов СЧг"1> 15 0(1%) • Причем,

1№ = о (I а Г^) га > 1 + «со при з_^ _ „ .

ТЕОРЕМА. 2. Пусть с уравнении (I) а окрестности

точзи — о удовлетворяет условию Гельдера а в окрэст-• ности бесконбчно-удаяегошх точек условия

I £Х(Ц)-*(со| » о(|У.ГГ) , , р^есЧг*),

й(в) А. О , е С(Од)

ц

при зс—> во у —>. _ со . Тогда любоо решение уравнения (I) при ССШ ».е«а>.р(..й + аф'оо из класса СА( Рг) представило о виде:

г1и.У> = кд(, ч»А«ч>. Р) 3 хг[Ф^

л о А х

Д.0

где Ц(9) - произвольные функции соответственно из

классов С(1}>- и С1<Е>., причем,

при х

В § 2 получено представление многообразия решений через произвольные функции одного переменного для общего уравнения \8) в области •

= • -со л-ч -¿о , о¿х^-оо} .

Приводим одну из этих утверздений: ,

ТЕОРЕМА. 3. Пусть в уравнении (8) а(х,ч) € С^СОа) .

ССх^л , Р<х,ч) £ С( Од) . Кроме того допустим,

что функции а (х, ь>Ь Ы&) удовлетворяют следующим ус-' ловням: -'■•"'.'•-'".'.';''•

{ асх,ъ> _ & а) 1 , о при у о , ;

I - ооы |* А,. , ,'■ 31 >о V при ь-

_ СЮ;

| _ Ь(о,е>| ил И!^9, о л. ь3 ¿.1

при л_О ,

1 Ьи^'У _ Ь(Г^З) к- » > О . при х—;

И3 |У| 3 л ^ 1 1фИ о /

) п г -г*. ./■.•• /;■:'■•".•■-•-.•'.•

I А Д» ■ >0 при ь.—

'»Х- ^Тс 1 , I?, . * ••'■■ :.

. 11 Функция у> .при х—»~юоИ а-—>._«> имеет порядок:

= 0(|х|-Ч| »

> Ь(С/У) ^ О , Я* ± Ы.Х-,0) \ о

Функции , между собой связаны следующим

образом:

Ъх.

Тогда любое решение уравнения (8) из класса С (предс-тавимо в виде: ч

■ СО

|€|аи%лг><юл кг™.¿с.

1 -ре

_ .¡¡^Ъа*)

-» -С . х 1 ■ '

где 1р'<*у» *»»(з>.- произвольные функций, принадлежащие классам сЧг;) и Г. С (5) .причем

¿>-1-+ О (л, о.) • При У->. — оо

Аналогично утверждение получено и в случае когда е С* {о2) > «Ц« ; С(х^а) Р<*,у) с С ( Ба)

В § 3 ранее полученные интегральные представления распространяется в области О л = {(*>!А> > о^кла^-« 4 •

; В параграфах 4-8 исследуются различные граничные задачи для уравнения \3) в неограниченных областях. Приводим постановку этих задач.

• ЗАДАЧА . Требуется кайт'и решение уравнения (1) из класса • С*"( по граничным условиям:

Т^х; . хс!.С; + ао) ;

и условиям:

lim = Г(а) , ÜG(t«,o)

Л ■ ■■■f со

C-4)"icd. 'U3(XJ , ¿ccLo,**)'

a—^ .

где j j fcs) j gcxj - заданные функции на

Г1 n г, .

ЗАДАЧА Ba : Требуется найти решение уравнения LCJ ß И = из класса С*Ч О*) по граничным

J р х у

условиям:

iim 2_Г( VW). )] = л

х—-t со 'feu -

Sim ( t-VUic>. HC^J) = Pix) . xeLj^

У—*. _ «o

где f(j=> и - заданные функции точек Ii и fc .

ЗАДАЧА ß3 . Требуется найти решение уравнения (I)

из класса CiCD3) по граничишь условиям:

tUx,-*:.) xeC-cojo)

О Э У- jc

, ЗАДАЧА 6» • . Требуется найти реяегош'уравнения (I) из класса cl(Dj) по грашчшм условиям:

iicxi. • хс(-еоуо)

ч «X •

где Тг<х>, д>г(х> - заданные функции на ft .

ЗАДАЧА Ву Требуется найти решение уравнения (I) в области Df. , удовлетворяющее краевым условиям:

., Ь.« С (-*>«со>. (w» + т Ol)] = ,

Ж—».-ей ÖJC -X

L t Ъ(х^})=

X —-> + со 4

где ft (-*>.> 3iis) - заданные функции на и П

ЗАДАЧА Gg Найти решение уравнения (8) из класса Cl( Q) по условиям:

(-4)°^. OIM) = . о ^jcz.00 ,

У—>• -оо

где f(iOj Кь) - заданные функции.

ЗАДАЧА В ч . Требуется в области Dj. найти решение уравнения (8) из класса Ci(Oi) по граничным условиям:

1A(:C,JO= , ХеГо, оо)

Clljc-Hy) ' = л>Оол xe[,со)

где €( jm J - заданные функции на Гд

Эти задачи решаются на основе ранее полученных интегральных представлений.

Приводим некоторые из них.

ТЕОРЕМА' 4. Пусть в задаче Вл: Т^Сс) € СА(П), 4(0 с С(гу и в уравнении (8) коэффициенты c<ejj / удовлетворяют следующему условию:

р(а> с сЧцУ', ссооессп; / j c*ie> I fltw )

j сны _c(to) I ¿с j75* , o^-HLi. i при у—>0.

Тсгда задача За имеет единственное решение, котороз даётся при помощи яв-ой формулы 'Не*/«® Кз (ч>(з) , F) .

ТЕОРЁГ^Д 5. Пусть коэффициенты уравнения (В) удовлетворяют условиям теоремы 4 и в задаче в- : f(*j e C1f0 00)j

i.'We С (-^c-J » при 0(|чГ9'),г>1.

Тогда единственное решение задачи 6д даётся при помощи формулы (10) и <P(JC>= f<*) .

Vt^ = <-s.r"le>. e Wi(S)- 4(S> , 51 €(-«,,03 : }

'ГЕ0РЕМА 6. Пусть в задаче ^(-»оеС^ПХ 4(*>eC(rA) и в уравнении (0) коэффициенты л р<ч>; удовлетворяют следующему условию:

СС*(гр , сЦх.> е С( r¡) , fii*)¿o , о«о> V I |«((»-ocoo Hi , о ¿ ri ¿ i при Ч—+ с.

Тогда задача В*, имеет единственное решение, которое даётся при помощи явной формулы: (<pw>> Vi»,P)

ТЕОРЕМА 7. Пусть коэффициенты уравнения (I) удовлетворяют условиям теорены 2 и в задаче В5 » fi(joеС(еcNq. Причем, ?<х> =. о ( ) , Гь btifiiw при х—> + ос .Тог-

да единственное решение задачи даётся при помощи фор-

мулы 1Д K¿( fi(*j, Oils)j Р) • гДе интегральный one- .

ратор K¿ , определяется по формуле (10).

ТЕОРЕМА 8. Пусть в уравнении (8) коэффициенты удовлетворяют условиям теоремы 3 и в задаче 6с;Fcxiec'cii),gwíeOífj), 9(4) - о( I a I""*") , v > i при. з . Torga задача

имеет единственное решение, которое даётся при помощи формулы (12), где . ,

<f(jc)=i P(jc>/

VC33. uv-ac*ioi. : -О .

В главе Ш получено интегральное представление многообразия решения через четыре функции одного переменного для уравнения четвертого поредка следующего вида

, (13)

где

Lo*- l• Ь^жий'Э" . (14)

¿■-1,2, ' '

а.1(х^ьЬ;(*,у>., СНхлЛ., а^у^Ь^У)., Сг(х,у) - заданные функции в б , - искомая функция.

В § I уравнения (13) рассматривается в области О = [ о х <х л о у «с р .В зависимости от коэффициентов , Ьус^уь сцъ*), и значений ; ^ч-^о)., <•>, у) , получены интегральные представления через четыре произвольные функции одного переменного.

В случае когда, коэффициенты меаду собой связаны при помощи формулы:

"ЭХ ■>

"Эх "Э а

-ЪЧ Т>н

у и X

найдены явные формулы для решения.

При помощи полученных интегральных представлений исследуется следующие граничные задачи

ЗАДАЧА А.1 . Требуется найти решение уравнения (13) из класса С}(0) по граничным условиям:

Окх^.з0*^) = р1(Л) ,

) (Л1)

где <&(у) - заданные функции точек

П. и Г2, . .

( Г1=. { а, , *"-« , о^Уь^),

Я, 7» - д(*Л) ^ . вКх,У) . "Ьу у 1 "-аа а

ЗАДАЧА А д . Требуется найти решение уравнения (13) из класса по граничным условиям:

('реи) . х

.< г. -С г.

ид

2)

где , 'цен)) , ^(х; чек ^ и гг

ЗАДАЧА А з . Требуется найти решение уравнения (13)

из класса С1 (О) 110 граничит.! условиям:

заданные функции то-

= Ъ-ЛМ ,

1 V

— - -*» о

(х; ^ _ заданные функции точек Гс и Гг •

ЗАДАЧА А и . Требуется найти решение уравнения (13) из класса С3(О) по граничны-! условиям:

(ЬХ^СО). =

1»= Ь с

Юд -( Ь^ гио . в а 15»)

* ' А ЛС _ Г. '

где 02 = 7)_ „ о1 'га у

, Че14) , ^(Х)^ _ заданные функции точек

П. И Гг •

Все эти задачи исследованы использованием полученных интегральных представлений. В частности, если коэффициенты мезду собой связаные одним из равенств 1),2),3),4) решения рассматриваемых задач найдены в явном виде. Приводим одну из полученных утверждений: ТЕОРЕМА 9. Пусть коэффициенты уравнения (13) удовлетворяют условию

1) Яа (*.у)6 с}(б; , Ь^х.у), с^х.э) ес^(б),

2) | °<.<ху)-* I Э|Ч , с^Ь^г.! ,

рМлч) 'ца,(х,г, I л [-1 , о/ ^а ,

'йлг г8х 1

в окрестности Г} и

И*

Ь^Я- Ь^г,^ | 4 Нб 1х| , о ¿Ь^ А , в окрестности Гд ;

3) о <и<х,с) ¿1 , о г. Ьх(о,у).гЛ ,

4) Гд2^*^ 14, . I Ъх* Ъ Х.2 !

при ч _> о , а1 < л,ч> £ Су ( 0) ,

рЬ^ч)- л. Нг|х|11б) при

аил) б ; Ьс^э), еС(Е)) и удовлет-

воряют условиям:

в окрестности fj , в окрестности Гя .

5) о г. ^ L ^ ,

6) Функция Cj(x.yy- -t x^q^«.

•"bJC

в окрестности и f^ соответственно имеет нулевой порядок о( и р , т.е.

= 0(1X1*) , Ы. л о при х—о ,

= 0(lalp) , Р > О при JJ-» О ,

7) Функция Сд (х^у) = о ! ( xjfi). (х, ч) хс) ^^^ - Сл ( х, у

в окрестности fi и £ имеет нулевой порядок и ^ , т.е.

с\ (х.,9) = о(|х|^) , при —

С* - 0( IM ) , ^ При а-О j

(4 ше сЧг4), ^(Фе с'ш , f(x)GC'(n.) , aweary.

Тогда задача Ал имеет единственное решение, которое даётся при помощи формулы

где

fxU-» > j > - известный

интегральный оператор .

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

I. Н.Раддабов, Адель Насим Адиб Хонен. К теории одного класса немодельных линейных гиперболических уравнений с двумя сингулярными линиями, ДАН Тадж.ССР, 1990, Т.33, № 12, С.

2. Адель Насим Адиб Хонен. К теории уравнения гиперболического типа с двумя сингулярными линиями, конф. молодых ученых и специалистов, 13-14 апреля 1989 г., Душанбе,

. с. з-4. :.

3. Адель Насим Адиб Хонен. Об одной задаче для линейного гиперболического уравнения второго порядка с двумя син-

> гулярными линиями. Респуб. научной конф. посвященной памяти Т.Сабирова, 1990 г., Душанбе, С. 6-8.

4. Адель Насим Дциб Хонен. Граничные задачи типа Дарбу для одного класса некодельных гиперболических уравнений с двумя сингулярными линиями для неограниченных областей.. Конф. молодых ученых и специалистов Таджикистана 12-15 апреля 1990г., Ленинабед, С,4-7.

5. Адель Насим Адиб Хонен, Н.Радаабов . Об одном классе линейного уравнения четвертого.поредка гиперболического типа с двумя сингулярными линиями. Конф. молодых ученых и специалистов 18-21 апреля 1991 г., Курган-Ткэбе,

•;■ с. л=: • /•■;■;/.

6. Н.Радаабов, Адель Насим Адиб Хонен. .Краевые задачи для

; ' одного класса гиперболического уравнения четвертого порядка с дЬумя сингулярными линиями, Алма-Ата , 22-25'мая, 1991 г., С.78. -7'-.у..

В заключении автор выршает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору члену кэрреспседенту АН Тадя.ССР Раджабову Н.Р. за постановку задачи и псстоянноз внимание к работе. . •••■;

Т17. Зшмэ 104. Тирса ХСЬ экз. ..:'• :•'•.■'■' (