Необходимые условия оптимальности второго порядка в задачах оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6

00

■О НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖеЫ НАРОДОВ .

На правах рукописи

АДАНлУНМЕ Вилл в во

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТШАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНІ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1993

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений к функционального анализа Российского университета дружбы народов

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор А.В.Арутюнов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Б.И.Елагодатеки*

доктор физико-математических наук, профессор

Н.А.Бобыгев

Ьедуцая организация - Вычислительный центр РАН

Защита состоится2.5" \ЛШ^ХІХ 1993 г. в 15 час.30 мин. на чседании специализированного совета К 053.22.23 в Российском университете друибы народов по адресу:

ІІОДЗ, г.Москва, ул.Орджоникидзе.З, ауд.485

| С диссертацией мо^но ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов г.Москва, у .Миклухо-Маклая,6

Автореферат разослан22 ^>ЄІ^ШЛ(2.І993

Ученый секретарь специализирчванного совета кандидат физико-математических наук, "°"н;

Общая характеристика работы і

і ' Актуальность темы. Центральное место в современной тео-^ рип экстремальных задач и оптимального управления в частности занимает разработка методов получения необходимых условий і первого порядка и необходимых и достаточных условий второго : порядка. В основу необходимых условий в теории оптимального j управления положен принцип максимума Л.С.Понтрягяна. ¡

Первые схемы исследования вариационных задач были разработаны классиками вариационного исчисления и привели к открыв тіш уравнения Эйлера, правила множителей Лаграняа, необходи- !

I мых условий Лежандра и т.д. В связи с необходимостью изучения ; необходимых условий для задач оптимального управления, в ко~

! торых характерны смешанные ограничения на управления, концэ-| вые ограничения, наличие запаздываний в дифференциальной свя-; зи, возникла необходимость разработки принципиально новых ме-! тодов исследования. Большой вклад в их создание внесли ученые:

I Л.С.Понтрягин, В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мащенко, ; i S.Р.Аваков, А.А.Аграчев, А.В.Арутюнов, В.И.Благодатских, '

; А.Я.Дубовицкий, А.А.'і.іилатин, А.М.Тер-Крикоров, В.Ы.Тихомиров,

! И.Т.Тннянский, Г.Л.Харатишвили и другие. •

! При исследовании необходимых условий (в особенности вто— i poro порядка) в теории экстремальных задач особое место зани-I мает предположение нормальности. Если, например, в задача ма—

| тематического программирования с ограничениями типа равенств j 1 условия нормальности на выполняются, то правило множителей !

: Лагранжа содержательной информации не несет, а классические : необходимые условия второго порядка просто не выполняются. !

, Днссортационнал работа посвящена получешш необходимых ;

| условий оптимальности второго порядка в задачах оптимального і : управления обыкновенными дифференциальными уравнениями и урав-: нениями с запаздывающим аргументом, а также в минимаксной за— і даче оптимального управления. Вывод необходимых условий опти-і мальпости второго порядка основан на развиваемом в диссерта- і ¡ ции методе конечномерной аппроксимации. '

' Среда последних работ по методам конечномерной аппрокси-

! нации для задач оптимального управления, на которых основан ;

: вывод необходимых условий оптимальности второго порядка, ¡

; отметим исследования А.В.Арутюнова, Б.Ш.Мордуховича. ¡

• Поль паботн. Разработка катода конечномерной аппроксима-ши для задач оптимального управления, пригодного для вывода'

’ новых необходимых условий оптимальности второго порядка, I

( справедливых без априорных предположений нормальности. <

I Qtfcifl метод исследования. В работе использованы теория ■

| обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с запаз-1 дававщш аргументом, разделы функционального анализа, теория ; • экстремальных задач. ;

: Научная новизна. Разработан метод конечномерной аппрок-!

1 симацил для задач оптимального управления. На основе этого метода, для задач оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями я уравнениями с запаздывания!«! получены необходимые условия оптимальности второго порядка, а дм минимаксной задачи оптимального управления получены '

. необходимые я достаточное условия второго порядка, справедли-

! виз без априорных предположений нормальности. Полученные результаты являются новыми и проиллюстрированы на примере.

Ппилог.енне. Диссертация носит теоретический характер. Её ’ результаты могут быть применены при обосновании выводов, полученных при использовании формальных методов в задачах оптимального управления.

Апгробапия работа. Результаты диссертационной работы до.ладшзалнсь на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН в 192092 гг., на конуре ншях молодых ученых, проводимых з РУДН, на заседаниях научного семинара ка-Тедры дифференциальных уравнения и функционального анализа РУДН под руководством профессора Арутюнова A.B. и в институте математики им.Стеклова. (

Пу6лпкапии. Основные результаты диссертации опубликованы в работах /I/-/J/, список которых приведен в конце авторефе-'рата.

’ Стпуктура и об:-п;.| диссертации. Диссертация состоит из

введения, трех глаз, разбитых на параграфы и сплс;а литературы, содержащего 42 наименования. Диссертация изложена на ИЗ страницах ма^тнописного текста.

-'г

(І)

(2)

(3)

Содержание работы I

!

Глава I посвящена задачо оптимального управления о ! дифференциальной связью, концевыми ограничениями я ограничениям:! на управления. |

В § І.І. приведена постановка задачи и сделаны осповшо предположения ■ . I

Рассматривается задача: I

± - ї(>. £ £ [,07у]

^¿(Т,х^х<) 0. • ^(т, сс]эс<) =. О

Г і = 0 ; /“=2 .

Я0(г>х'>х9------------>тмі (4)

' $ ' • где ОС € £!\ а £ , Х'=. Х(0) ,Х1-00(Т). .

Функции- С^- с=0,3г дважды непрерывно дифференцируемы

по ( Г£в, сеу), а ^ ш^*(І4і>-;'і4&4),ІіІг*(гіг,>”',*г£і) :

дважды непрерывно диффорепцируемы по ( ОС, СС), СС соотвот-: ствэнно, измеримы по І и ограничены имеете СО СВОИМИ про- | изподнымя по (СС , ІІ) л Ц на всяком ограничением мпст.ост-

I |

і Е9, 1

1 Будем рассматривать оптимальную пару { 3Cj.it), )),

! Ь« #,£7 ,Т>Т0.

| В качество допустимых управлений мы выберем класс

! мерных измеримых существенно ограниченных функций Ц,{ і ),

\ Т.е. ЩІ) & (ЕоаСО ,Тд] .

і Следующее продполат.енио считается выполненным: ограничо-

I пил , а = 1,2 регулярны, т.е.

! " 'дМ' ' “діЛ.

! лшіо&то независимы вблизи множества точок, в которых

І 1лі І а ? І-) = о . А п л О ,. 7 І

І Пустьі/Іі) -^аеЕ.: К^(и;£)^-0 , Кг(и>£)=<^> _ 0(3лпсть |

І управления, а 7и££(£) - касательноо подпространство к і

Ш) в ТОЧКО (Ь .

!.-->• _______________________________________________________!Ґ

Пусть - множество активных индексов ограничений Cj^

т.е.

1={С: U s, ; (Г, UÜ:V1<Ua

пусть H(*>«>t>V)=<f(*,u,4)/ил, ^ ¿Г'

-функция Гамдльтона-Понтрягина и ' г/» усд -

ê (~Г,Х°>Х<;Ю — Xу (Т; Х°, ççf) _ Машй Лагранжиан.

Будем говорить, что пара ( .%( £), ¿/0( t)), tejo,T0] удовлетворяет принципу максимума, если существуют не равные | одновременно нулю вектор Q <£ ^, функции ’

faoE?>Tc] » с - i 2 и абсолютно непрерывная функция 4^ ( t ), і Є Го 7 70^1 • удовлетворяющие следующим COOTuO- , шениям:

ГІЛІ/І.И ■ al

"u°&u ’u't; ^ ~ Щ

9Îfe

т.і,-фт,М/віІ> "

^ ~ Ш^т°’ x°ic1, x‘(v>e)

Qt ^ о ; С = 0, Sj 5 ¿(ТогЭС^ф), x0(l) )- 0

і n ■ L^A,Sl -

В L-colP/Xj* E определи:.! подпространство , . состоящее

из таких пар (i(X( t ),Û), ™ /U(t) eTucUlt) для почти всех é и если ¿X( Û ) ~ соответствующее fll( t ) решение уравнения .

Sx —^£['X0\t))Uo4),t)Sx +r^J:('^it),Uclt)/t)fult)

- 'ôX

d:C{0) =. cx ,

^,л>т*(»)^й)&(0и_'Ж(|.,х.щ,:й |г))(ГхЛ)=о эдесь « = й,...%)

Определение. Пара , Ц¡Д)), "£• £ называется

невырожденной, если существуют функции 1\а {0,1в_^ к

векторы а^, ¿=МТГ. чт0 функции Ц) являются реленняни

УР^ ■= ||-^«^))иЛШйсс+^(г0(^ио(Ь)/-Ь)и(.7е) ^■¿о)-аьУ а '

и/ для почти всех

о /2/- мерные зекторы .

/^.сь, х>(о)^(т4+^^^^здас> *. (Млт),Ь

^ ЗХ° V ОДУ " 1 " ' ^

¿- ■ШТ 'Ъх< ‘ 4

линейно независимы. ' /

Здесь СЫ£)- фундаментальная матрица уравнения

^ссс = ^(хе№),ио/£)^)<Яг:

Предположим такие, что пара {%,Ц.0) оптимальна и удовлетво- • ряст.принципу максимума. Обозначим через |-{:), \^(Ь)>

|А = 1,2, О- соответствующие, в силу принципа максимума, множители Лагранжа. Тогда на уГ можно определить квадратц-^дую

4 2,£а) = «И») ¡&Ю,Яф

+ 1~&г(о)> ^х{То]^г

1“~ Ам'-,<аи>.

ЗД9Со И

Теорема I. Пусть пара ( OCo ■, U-o) оптимальна я невцроя-дона. Тогда существуют такие, отвечающие ВЙ В силу принципа максимума, множителя Лагранжа 6 , U= 1,2,

t ), te [0,X], пто^>01т .

Теорема 2. Пусть ( ТЛ t ). !L(t )).t&/Ö,Tl- оптимальная пара в задачо (I)—(4), а управление t Интег-

рируемо по Риману.

Тогда существуют такие, удовлетворяющие ой в силу принципа максимума б- Ди It)* /И» 1.2^ t), что индокс квад-

ратячиоЯ формы С?. на подпространстве , пэ провыпает

числа, П- *

В § 1.2. разработан Kg'; ,д конечномерной аппроксимации.

В § 1.3. приведеіш вспомогательные утверждения использованные для доказательства теорем 1,2. ,

I В § 1.4. доказан принцип максимума.

В § 1.5. доказаны теоремы 1,2.

Б )рая глава посвящена задаче оптимального управления с запаздываниями, концовьс.я ограничениями и ограничениями на ,

.управления. ' ,

і В § 2.1. приведена постановка задачи и сделаны основные ;

¡предположения. |

I Рассматривается задача (Iі), (2)'- (4), гдо управляемая I

|сист -;а (Iі) имеет вид: ’ |

; oc{t) - aA(t), u(t)-a2lt),t<o. (Ii} ;

la (2), (3) -'ограничения, (4) - минимизируемый іункционал из

первой главы.

Запаздывания ~С£ • ) непрерывно-да££еренцзруо:.ш, а it) t , ~Ci(t) >- 0 ¥ t ; начальная функгля

Clji ~t) копраривка, агі t измерима и ограничена.^ ^ ¿ункгзія i удовлетворяет условию гладг.ост;і по ('X , LL ),

^ I /V

|гдо я и=(и<,-, Uni)’3 ЯсІй-яксШ)'’

! Ui(t) - и (zeit)) .

I '

Пусть (X(t), Uclt)) , t e Е°>Ъ] - оптимальная пэра. Будом прэдполагатъ, что существует такое £0 >- О » что

Г;

С Ио

о ?

¿-¿(t) ф-^-ùlt) ^ О ф С дяя* почти всех t ПОЛОЯЯМ Г 7- >- У /

Д iiu, t, f) = &Щът«,Ь№ф..,

Afe-, (

L - /».Tjx £* определим подпрос . .

тагах пар (5(ХС t )<U)> ™ <5u( t) 6=7цлЦ[Ь) :: вслх Ù я о ели 5"эс(.{г) ~ соответствуй:#!

ЯЦОС ИЗ та ДЛЯ ПОЧТ

OU(t ) ропэнле уравнения

S'DC(t)

ли,

?>

DX

4л/>

¿=-1 = а.

ЗД

А

^Q_(t, зцДО, ojrtjfe; ¿Jâ ^ «; М ^(ÏÏ)£ïtihù_

DCCc

Здесь и далее

it) =лрш м») •

■î'xt -SCO; ' "SU; -0UL

Предположим, что пара ( йй, Ко) -оптимальна и удовлетворя-f ет принципу максимума. Пусть (2. , Х^( t ), f1 = 1,2, IfJ (t

- соответствующие множители Лагранжа. Тогда на можно

а. > |?

определить квадратичную форму JO :

£г(&,а)=. РЧ Ÿ Шмшм0>€хш,&(её

4 lipr^y Wi L W i И

W 2 *

jjiRiilmt) \fcm),Su(Mtjij!j>cfc+

Э и,г

4- ^ И.(То,'хь(о)1о^ (То), q) Ещ¿х(Х)]г

^ r7*

Теорема 3. Пусть пара ( i£, , (l'D) оптимальна и навырождена. Тогда существуют такие, удовлетворяющие ей в силу принципа !

максимума Q, }„(£), JU= 1,2, f ( t), что S?z^0 !

Ha ^r~ ~rl '

Теорема 4. Пусть ( СО, ( ~t ), Ц0к ~t )), Ù ё [Of >0J - оптя- j

ыальная napatB задача (I1) (2) - (4), a управление U0{ t ) \

интегрируемо по Рлману. Тогда существуют такие, удовлетворяю-: щпо eu в силу принципа макслмука G , \и( t), у*= 1,2, .

ф( t ), что индекс квадратичной формы на подпростран- ,

стве ^2но превышает числа- 71 . Г

Теоремы 3, 4 являются обобщением теорем I, 2. - j

В § 2.2 я § 2.3 доказаны принцип максимума и теоремы 3,4., Третья глава посвящена минимаксной задаче оптимального управления с дифференциальной связью, концевыми ограничениями и смазанными ограничениями на управления. ;

й 5 3.1. рассматривается задача (I), (2), (З1), (41), где смотанные ограничения ка управления (З1) и функционал (4-1) ,

(3і)

т Щу %[ос(Ь),иЮ;Ь)—>упип . (41)

В качестве допустимых управлений мы выберем измеримые существенно ограниченные функция и, (Ь) & / /('Т[{} Ь) Д71Я почтя ¡всех ± , где й п ^1

| '¿¿(^¿)-с[ае о : Кг{эс,а}с)=о1'

¡Установлено, что задача (I), (2), (З1), (41) эквивалентна ¡задаче (I), (2), (З1), (5), (6), (7), где (5), (6), (7) имеют вид:

. (5)

и(і), Ь)- хпн/е)+ о

ОСпн(г) --------->- >по>г

(6)

(7)

где в Е-.г -7

Пусть У(£, Ь)^и 6 им): I/о(х, и^)~хп%о}^

- область правления для задачи (I), (2), (З1), (5)-(7), а

Та !Ш касательное подпространство к точке ¿1 , где сс — (ос > х^0 £ .

Сглэзанкае ограничения , г\/ц, ]и= 1,2 обобщенно регулярны, то есть существует такое £0 2> 0 : £а

У"(ЭГ, и, £),'?& (і{ ОС , ІС, t ) - максимальні:": по модуса лз всех .теноров порядка До (ОС?11>£)|+ К, матриц!.: стгоками кеторо": язяязтся взг.топк-т- , о* - /",•/■) < Iі,

тік(Л,а/с) ,і & 2^(?>«,$} ‘ ■

Гдзсь - •' О^Сї?. ^ ■ V/^и’V-

для £ ^ 0 .

В 5 3.2. изложены основныэ результата. „

Рассмотрим оптимальную пару- ( ССо( ~Ь)% ~Ь)),

ы [О, То] .ъ1*оСо,Ю* ^ опрэдалим подпрострап-1 СТВО , состоящее из таких пар ( <Ги{ t ),а), чта_

0U.lt) <£ 1ц0 У(рЮ;Ь)мя почти всех и если

- соответствующее. ди( ) решение ураг'ения

$± = + ^(Ь)6а{Ь); <$зс(о) =. а,

/Ч • А

¡ТО

ТЙСГр, тЧТ*№ас{0)+Ш.Ь,ЪЮ/Ъ®)&(То]~0 \ чх0 ЪХА

¡Предположим, что ( ССс, Ц#) оптимальна и удовлетворяет-¡принципу максимума; пусть О, , А/л ( ‘¿г ), /л = 0,2, Ц!0.)-;соответствуйдне множители Лагранжа. Тогда на ~~р^~ определиы| ¡квадратичную.форму

2г№,а)--]

2

+

2_д а^ш, тУ&ш, уи щгЪ+1

Тоорома 5. Прэдположм, что функция I и ^ .ТЯН9ЙІШ ПО перемешгой И пря любих ( X , ), а функция

випуклії по переменной Ц . Пусть пара ( СЦ, С(0) оптимальна. Тогда существуют такие, удовлетворяющие ей в силу принципа максимума <2. , і; ), ^ = 0,2, ЦІ( ~Ь ), что индекс квадратично;* формы на подпространстве Н9 превышает числа, 'Ц. ^ ^

Предположи, что в задаче (I), (2), (3і), (41), функции ^{о < 1\ц • ^ = 1.2 на зависят от переменной 12 .

Теопсма С. Пусть пара (Зо, 1Ь) оптимальна и обобщенно нови-роздана. Тогда существуют такие, удовлетворяющие ей в .силу принципа максимума <2 . Х«( 1Ь ), М = 0,2, (і/( І ), что

? і ■ . -г

Теорема ?. Пусть ( % , Но ) - оптимальная пара в задаче , (I), (2), (3 ), (41), а управление ¿/й( ~Ь ) интегрируемо по Роману. Тогда существуют такие, удовлетворяющие ой в силу принципа максимума О., {Л = 0,2", Ц/{{г),чт-

индекс квадратичной формы £2^ на подпространстве у? но.

превышает число, Уі

3

Б § 3.3 и § 3.4 применена конечномерная аппроксимация из первой глави для минимаксной задачи и призедзно доказатель-; стео теогем 6,7. |

і * | і і; 3.5. содерглт достаточно ) условие оптимальности. Продпо-і їло-п.", что м:іо,7.ества У( ЗС ( ІГ ), ІГ ) огр?чячеш равномерно |

1 по ~Ь. . \

Определение. Пара ( ХА Ь ), С(с( t )) ,Іє ^ ^¿называ- ! етсл слабим „жтльгаг минимумом в задаче (I), (2), (3і), (4і), если существует такое УО , что эта пара оптимальная в за-

Т т

даче (I), {'?.), (З ), (4і) с допол!Г'тзль:їу.м огракичо:сігм:

¡и-КоІОІ ^ І~ Ье[І0,То]. ■

Торгу? 8. Пусть дет па;;: ( , 11с) > удовлетворять и прг£р-

. -не:-;': а, с-ест-уат тл-се С > 0 , что ^(¿иіЦа) Зз(£и>й) — С’£і|іГхй)||‘f¡І<Гог(Т0)Іс

Тогдл ( ЗГр , &) дсс?^г”гтлг слэб::”: лсг*„л:>:',тЧ .-у:.* и

з:аг:о С), (.2), (3х), (40.

!:3 3^. ЛГчТПТЬ!

л;:ссзрта

1. Аданхунме В. Необходимое условие второго порядка в задаче оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнения}«!. - М., 1991 - 38 с. - Деп. в ВИШИ 17.02.92,

‘ё 530 - В 92.

2. Аданхунме В. Необходимые условия второго порядка в минимаксной задаче оптимального управления. - М., 1992, - 22 С - Деп. в ВИНИТИ 03.07.92, № 2155 - “ 92.

- 3. Аданхунме В. Необходимое условие второго порядка в задаче оптимального управления // Тезисы докладов ХХУ1 научной конференции факультета физико-математических и естественных наук РУДН. - М. : Изд-во УДН, 1990. СЛ03-104. '

Г УУ/ Подписано к печати. Объем 1,0 п.л. Тир. 100, зак. ви

..I_ - - - ----------- „ .1 и ..........-.....

ТИПОГРАФИЯ РОССИЙСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ДРУЖБЫ НАРОДОВ