Непертурбативные эффекты в квантовой хромодинамике при конечной температуре тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

□03479008

Федеральное Государственное Унитарное Предприятие Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики им. А.И. Алиханова

Лущевская Елена Викторовна

Непертурбативные эффекты в квантовой хромодинамике при конечной температуре

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

АВТОРЕФЕРАТ

Москва 2009

003479868

УДК

Работа выполнена в ГНЦ РФ "Институт Теоретической и Экспериментальной Физики" им. А. И. Алиханова г. Москва.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук Кербиков Б. О.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Захаров В. И., (ГНЦ РФ ИТЭФ, г.Москва)

доктор физ.-мат. наук Боголюбский И. Л. (ОИЯИ, г.Дубна)

Ведущая организация:

Институт Физики Высоких Энергий, г. Протвино.

Защита состоится 3 ноября в 11 часов на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 при ГНЦ РФ ИТЭФ, расположенном по адресу: г. Москва, ул. Б. Черёмушкинская, д. 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГУП ГНЦ РФ ИТЭФ.

Автореферат разослан 2 октября 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук Васильев В. В.

1. Общая характеристика работы

В диссертации изучаются непертурбативные эффекты в Эи(2) глюодинамике и Квантовой Хромодинамике при конечной температуре на решётке, как в фазе конфайнмента, так и в фазе деконфайнмента. В случае 311(2) глюодинамики с помощью киралыю-инвариантного оператора Нойбергсра вычисляется спектр безмассового оператора Дирака, соответствующего пробному кварку, помещённому в фоновое калибровочное поле.

Исследуется зависимость кирального конденсата от температуры и внешнего абелевого магнитного поля. Знание спектра точных нулевых и околонулевых мод оператора Дирака позволяет изучать локализационные свойства собственных мод оператора Дирака и топологические характеристики вакуума неабелевой калибровочной 811(2) теории при различных значениях внешнего магнитного поля и температуры.

В данной диссертации на решётке приводятся доказательства существования кирального магнитного эффекта в 811(2) глюодинамике. Изучаются флуктуации киралыюсти, электрического заряда и тока в различных пространственных направлениях в зависимости от температуры и магнитного поля.

В Квантовой Хромодинамике с двумя лёгкими кварками вычисляется пространственное натяжение струны в фазах конфайнмента и деконфайнмента. Полученные результаты сравниваются с различными теоретическими предсказаниями.

В отдельной главе исследуется переход из ядерной материи в кварковую при значении кваркового химического потенциала 0.4 ГэВ и низкой температуре, оцениваются различные параметры, характеризующих данный переход. Обсуждется применимость функционала Гинзбурга-Ландау для описания поведения материи в рассматриваемой области параметров.

1.1. Актуальность работы

Структура фазовой диаграммы в последнее время вызывает огромный интерес научной общественности, поскольку в настоящее время существует возможность экспериметальной проверки существующих теоретических и решёточных предсказаний относительно рода фазового перехода, положения трикритической точки и линии фазового перехода из фазы конфайнмента в фазу деконфайнмента. Предполагаеся, что установка LHC предоставит необходимую информацию об устройстве фазовой диаграммы при нулевом химическом потенциале и высокой температуре. Эксперименты по столкновению тяжёлых ионов RHIC и FAIR в GSI позволят исследовать структуру фазовой диаграммы при промежуточных значениях химического потенциала и температуры. Кроме того, в ближайшее время в г. Дубна планируется строительство установки NIGA для исследования материи при более низких температурах и конечных значениях химического потенциала. Актуально изучать поведение различных физических величин во внешних магнитных полях адронного масштаба, поскольку такие магнитные поля могут быть получены в нецентральных тяжёло-ионных столкновениях на установках RHIC, FAIR и в будущем эксперименте NICA. Изучение поведения сильно-взаимодействующей материи в очень сильных магнитных полях также актуально для понимания физики нейтронных звёзд.

Значительная часть диссертации посвящена изучению различных наблюдаемых в SU(2) глюодинамике на решётке в фазах конфайнмента и деконфайнмента. Считается, что SU(3) глюодинамика является достаточно хорошим приближением Квантовой Хромодинамики для расстояний меньших 1.3 фм. Мы изучаем SU{2) калибровочную теорию, так как она более простая и легко обобщается до группы SU(3). На качественном уровне SU(2) глюодинамика ничем не отличается от SU(3) теории и позволяет быстро получить качественное представление о существующих явлениях.

Изучение зависимости кирального конденсата от температуры и магнитного поля представляет интерес, поскольку киральный конденсат связан с голой массой кварка и обе величины представляют интерес для модельных предсказаний. Исследование топологических свойств вакуума важно, поскольку предполагается, что за нарушение киральной симметрии ответственны топологически нетривиальные объекты. Нарушение киральной симметрии объясняет малость масс пионов и каонов. Знание спектра оператора Дирака даёт нам информацию о поведении кирального конденсата,

которое можно сопоставить с поведением топологической восприимчивости. Исследование локализационных свойств вакуума также весьма актуально, так как позволяет понять, какие объекты в вакууме ответственны за явление конфайнмента, объяснение которого является чрезвычайно важным.

Изучение кирального магнитного эффекта на решётке в SU(2) глюодинамике - очень актуальная задача, так как совсем недавно в эксперименте на установке RHIC коллаборацией STAR были получены указания на существование этого эффекта в нецентральных ионных столкновениях. Важно также найти теоретическое объяснение наблюдаемому эффекту.

Исследование пространственного натяжения струны с двумя кварками в полной КХД является важной задачей, так как позволяет понять, при каких температурах теория размерной редукции начинает хорошо описывать физику кварк-глюонной плазмы. Кварк-глюонная плазма является высокотемпературным состоянием, в котором кварки не образуют бесцветные состояния, а физика такой системы является псртурбативной. Пространственное натяжение струны является одной из фундаментальных величин, характеризующих, как пертурбативные, так и непертурбативные свойства горячей КХД среды. Предполагается, что при температурах намного больших пссвдо-критической Трс температуры перехода основной вклад в непертурбативные наблюдаемые вносят только магнитные моды, а число сортов кварков определяет только бегущую константу связи и не влияет на величину наблюдаемых. Однако неизвестно верно ли это непосредственно рядом с Трс. Данные вычисления также позволяют проверить, насколько хорошо описывают физику в фазах конфайнмента и деконфайнмента различные теоретические модели.

Понимание механизма перехода из ядерной материи в кварковую имеет большое значение для физики нейтронных звёзд. Предполагается, что данная область фазовой диаграммы, соответствующая низким значениям температуры и промежуточным значениям кваркового химического потенциала, может быть достигнута в экспериментах по тяжёло-ионным столкновениям в GSI и ELI. Определение рода фазового перехода из ядерной материи в кварковую также представляет интерес.

1.2. Цели диссертационной работы

С помощью вычислений на решётке мы решаем следующие задачи:

1. Изучение топологических свойств вакуума ви(2) глюодинамики, спектра собственных мод оператора Дирака и их локализационных свойств при конечной температуре.

2. Исследование поведения спектра низко-лежащих собственных мод оператора Дирака и кирального конденсата, как в фазе конфайнмента, так и в фазе деконфайнмента.

3. Вычисление спектра оператора Дирака и кирального конденсата в зависимости от внешнего абелевого магнитного поля.

4. Изучение кирального магнитного эффекта на решётке в ви (2) глюодинамике.

5. Вычисление пространственного натяжения струны в зависимости от температуры в КХД с двумя лёгкими кварками.

Интерес представляет феноменологическое исследование переходной области из ядерной материи в кварковую, проверка применимости формализма Бардина-Купера-Шрифера и функционала Гинзбурга-Ландау для описания перехода, который происходит при низких температурах и промежуточных значениях кваркового химического потенциала.

1.3. Научная новизна и практическая ценность

Все представленные к защите результаты являются оригинальными и (на момент опубликования) новыми разработками автора диссертации. Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях и представлены в виде тезисов в трудах этих конференций. Работы известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов. Среди новых результатов следует отметить следующие:

1. Впервые изучено поведение спектральной плотности, щели в энергетическом спектре и локализационных свойств собственных мод оператора Дирака с помощью кирально инвариантного оператора перекрытия и улучшенного действия Симанчика, как в фазе конфайнмента, так и в фазе деконфайнмента в (2) глюодинамике .

2. Впервые изучено поведение спектра низко-лежащих собственных мод оператора Дирака и кирального конденсата в широком интервале температур от 0.91ГС < Т < 2Тс в 5(7(2) калибровочной модели. Найдено, что поведение спектра согласуется с теорией случайных матриц в области конфайнмента и не описывается ни одной из известных теорий в фазе деконфайнмента.

3. С помощью вычислений на решётке впервые показано, что внешнее магнитное поле приводит к увеличению плотности низко-лежащих собственных мод оператора Дирака и росту кирального конденсата. Найдено, что локализационные свойства околонулевых мод существенны для нарушения киралыгой симметрии во внешнем абелевом поле.

4. Впервые найдены доказательства существования кирального магнитного эффекта на решётке в SU (2) калибровочной теории. Было обнаружено усиление флуктуаций зарядовой плотности и продольного тока в направлении внешнего абелевого магнитного поля.

5. В вычислениях с двумя динамическими кварками впервые на решётке было показано, что пространственное натяжение струны остаётся постоянным в фазе конфайнмента, а при нулевой температуре оно совпадает с физическим натяжением струны.

6. Выла исследована область перехода из ядерной материи в кварковую с помощью формализма Бардина-Купера-Шрифера и функционала Гинзбурга-Ландау, впервые было показано, что для описания данного перехода функционал Гинзбурга-Ландау слабо применим. В рассматриваемой переходной области была обнаружена взаимосвязь между физикой кварковой материи и локализацией Андерсона в сильно разупорядоченной среде. Научная и практическая ценность представляемой диссертации заключается в возможности применения полученных результатов в дальнейших исследованиях физики сильных взаимодействий.

1.4. Апробация работы

Основные результаты, представленные в диссертации, обсуждались на внутренних семинарах решёточной группы ИТЭФ, докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ (Москва), Университета Гумбольдта (Берлин), на крупнейших международных конференциях Lattice 2007 (г. Регенсбург, Германия), Lattice 2009 (г. Пекин, Китай), на конференции, посвящённой 100-летию Н. Н. Боголюбова в г. Дубна в 2009 году. В основу диссертации легли результаты исследований, опубликованные в рецензируемых журналах.

1.5. Структура и объем диссертации

Диссертация включает в себя Введение, 6 глав основного текста и

Заключение. Объём диссертации -141 страница, включая 47 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 222 ссылки.

1.6. Содержание работы

Во введении описывается актуальность проблемы, формулируется тема исследования и вводятся основные понятия.

В первой главе диссертации вычисляется спектр точных нулевых и околонулевых мод оператора Дирака на решётке с помощью кирально-инвариантного оператора Нойбергера с улучшенным действием Симанчика в интервале температур от 0.91 Тс до 2Тс. Знание спектра точных нулевых мод позволяет вычислить топологическую восприимчивость вакуума 811(2} глюодинамики. Вычислив спектральную плотность околонулевых мод, нетрудно оценить величину кирального конденсата с помощью соотношения Банкса-Кашера. Исследуются локализационные свойства собственных мод оператора Дирака. Проверяется зависимость полученных результатов от типа граничных временных условий, т.е. от знака петли Полякова для данной калибровочно-полевой конфигурации. Вычисляется также спектральная щель для различных температур и секторов петли Полякова. Найдено, что топологическая восприимчивость в фазе конфайнмента является почти постоянной величиной; в фазе деконфайимеита она начинает медленно уменьшаться и её поведение не зависит от знака среднего значения петли Полякова в отличие от всех остальных рассматриваемых величин.

Плотность собственных значений и, следовательно, киральный конденсат сильно отличаются в секторах петли Полякова с I > 0 и < 0. В секторе с положительной петлёй Полякова при некоторой температуре, выше критической, происходит восстановление киральной симметрии; спектральная щель становится существенно отличной от нуля. В секторе с Ь < 0 спектральная щель остаётся близка к нулю, а киральная симметрия нарушенной для всех температур Т > Тс, как и предсказывает модель Стефанова.

Таким образом, наблюдается влияение типа граничных условий в операторе Дирака, или, что эквивалентно, знака петли Полякова, на спектр собственных мод и, как следствие, восстановление киральной симметрии.

Во второй главе мы представили результаты по измерению спектра низко-лежащих собственных значений А оператора Дирака в 677(2) глюодинамике на решётке, как в фазе конфайнмента, так и в фазе

деконфайнмента. При всех температурах выше Тс мы используем калибровочио-полевые конфигурации с положительным значением петли Полякова.

Сопоставив наши данные при конечной температуре с результатами теории случайных матриц при нулевой температуре, мы обнаружили, что в фазе конфайнмента при Т < Тс киральпые ортогональные ансамбли случайных матриц замечательно описывают распределеня низко-лежащих собственных значений оператора Дирака. При температурах Т > Тс, т.е. в фазе деконфайнмента, спектр не описываться распределениями, полученными из теории случайных матриц; необходимо использовать другую модель.

Распределения собственных значений с различными топологическими зарядами и разным числом собственных мод мы фитировали функциями из теории случайных матриц и из фитов определили киральный конденсат. Значения кирального конденсата, полученные из распределений с различными топологическими зарядами и числом собственных мод, согласуются друг с другом. Значения кирального конденсата, найденные с помощью экстраполяции к нулевым А по Банксу-Кашеру, при тех же температурах оказались немного завышенными по сравнению со значениями конденсата, полученными из теории случайных матриц.

Изучив поведение кирального конденсата во всём доступном интервале температур 0.91 Тс < Т & 1.5 Тс и 480 МэВ с помощью соотношения Банкса-Кашера, мы обнаружили два интересных эффекта. Первый -это то, что киральный конденсат быстро меняется вблизи фазового перехода в деконфайнмент, но не обращается в нуль. Второй - это ещё одно быстрое уменьшение конденсата при Т и 1.5 Тс и 480 МэВ.

Наши результаты подтверждают, что в зависимости от температуры теория может находится в трёх режимах. Первый режим - это общепринятая фаза конфайнмента при 0 < Т < Тс « 320 МэВ, для которой среднее значение петли Полякова равно нулю и киральный конденсат не равен нулю. Вторая область - это фаза при Т > 1.5 Тс ~ 480 МэВ, для которой линия Полякова не равна нулю и киральный конденсат либо очень маленький, либо равен нулю, и которая, следовательно, очень похожа на фазу деконфайнмента. И третья -• что-то типа переходной области при Тс < Т < 1.5 Тс, где линия Полякова не равна нулю и киральный конденсат всё ещё сравним с типичным адронным масштабом. Однако при температурах выше примерно 1.5 Тс плотность маленьких собственных значений быстро убывает до величины,

которая очень близка к нулю. Из-за ограниченной статистики очень трудно измерить эту плотность и установить, равно ли нулю или нет её точноое значение.

В третьей главе исследуется влияние внешнего абелевого магнитного поля на около-нулевые моды оператора Дирака и на их локализационые свойства, вычисляется зависимость кирального конденсата от внешнего магнитного поля. Полученные результаты сравниваются с теоретическими предсказаниями.

Мы обнаружили, что фоновое абелево магнитное поле приводит к усилению спонтанного нарушения киральной симметрии в неабелевой калибровочной теории. Киральный конденсат растёт линейно с величиной магнитного поля, что находится в количественном согласии с предсказаниями киральной теории возмущений.

Также найдено, что локализационные свойства околонулевых мод существенны для усиления нарушения киральной симметрии во внешнем постоянном магнитном поле. Делокализация околонулевых собственных мод и центральных вихрей увеличивается с ростом магнитного поля, таким образом, увеличивая вырождение околонулевых мод.

В четвёртой главе мы получили доказательства в пользу существования кирального магнитного эфекта в £>(У(2) глюодинамике на решётке с кирально-инвариантным оператором Дирака.

Была вычислена электрическая зарядовая плотность при нулевой температуре и различных значениях магнитного поля. Найдено, что внешнее магнитное поле усиливает локальное разделение электрического заряда, а в фазе деконфайнмента в достаточно сильном магнитном поле флуктуации электрической зарядовой плотности оказываются значительно подавленными по сравнению с флуктуациями при нулевой температуре.

Исследовано поведение локальных флуктуаций киральной плотности кварков в зависимости от внешнего магнитного поля при нулевой температуре, а также при ненулевой температуре в фазах конфайнмента и деконфайнмента. Мы обнаружили, что при нулевой температуре киральные флуктуации значительно (на два порядка величины) усилены во внешнем магнитном поле. По мере того, как температура растёт, киральные флуктуации увеличиваются и становятся менее чувствительными к силе магнитного поля. В фазе деконфайнмента локальные флуктуации киральности намного сильнее по сравнению с флуктуациями при нулевой температуре, хотя сами флуктуации практически не зависят от силы

магнитного поля.

Изучены зависимости всех компонент электрического тока от внешнего магнитного поля, как при нулевой, так и при конечной температурах. При нулевой температуре продольные, направленные вдоль магнитного поля, токи растут с увеличением силы магнитного поля. При этом усиление поперечных токов оказывается намного более слабым по сравнению с продольными. Эффект объясняется сжатием уровней Ландау.

При ненулевой температуре, но ещё ниже фазового перехода, Т = 0.82ТС, наклон, как продольного, так и поперечного тока, становится меньше. Однако продольный ток увеличивается заметно сильнее по сравнению с увеличением поперечного тока. В фазе деконфайнмента при Т = 1.12Тс флуктуации продольных токов почти не зависят от магнитного поля. Более того, поперечные компоненты электрического тока слегка уменьшаются, в то время как магнитное поле становится сильнее.

Были изучены флуктуации электрического тока в зависимости от внешнего поля в фоновом поле инстантоно-подобной конфигурации. Исследовалась зависимость продольного тока от величины топологического заряда.

Как и в случае равновесной ("реальной") глюонной конфигурации, так и в поле инстантоно-подобной конфигурации с ненулевым топологическим зарядом глгоонного поля продольный ток в напрвлении магнитного поля усиливался. Наличие ненулевого глобального топологического заряда в реальных глюонных конфигурациях слабо влияет на продольные токи.

В пятой главе в полной КХД с двумя лёгкими кварками вычисляются пространственное натяжение струны стДТ) и пространственный потенциал в интервале температур от 0.78 Трс до 1.36 Трс. Для вычислений используется действие Вильсона для калибровочных полей и непертурбативно улучшенное действие Вильсона для фермиопов. Пространственный статический потенциал исследуется в зависимости от расстояния между карками для различных температур. В фазе конфайнмента потенциалы для различных температур согласуются друг с другом очень хорошо и нет ярко выраженной зависимости от температуры. Это утверждение верно и для пространственного натяжения струны.

Найдено, что пространственное натяжение струны при нулевой температуре совпадает с физическим натяжением струны. При ненулевой температуре в фазе конфайнмента пространственное натяжение струны постоянно в пределах ошибок, совпадает с предыдущими расчётами на

решётке, а также с теоретическими предсказаниями, полученными из различных моделей, а именно с помощью метода полевых корреляторов и подхода АДС/КХД. При температурах в фазе деконфайнмента наши результаты согласуются с предеказанями метода полевых корреляторов и расходятся с предсказаниями АДС/КХД, пространственное натяжение струны начинает плавно возрастать при Т > Трс. Соотношение, полученное из трёхмерной теории ^/ст3(Т) = сд2(Т)Т, где д(Т) - контанта связи в зависимости от температуры Т, также находится в хорошем согласии с нашими результатами.

В шестой главе рассматривается переход из ядерной материи в кварковую при малых температурах и значениях кваркового химического потенциала 0.4 ГэВ, оцениваются параметры кроссовера и Гинзбурга-Леванюка. Показывается, что система находится не в состоянии цветовой сверхпроводимости, а в переходной области, и, что переход из ядерной материи в кварковую сопровождается сильными флуктуациями.

С помощью функционала Гинзбурга-Ландау для случая дополнительной цветовой симметрийной группы выводится выражение для свободной энергии кварков в рамках трёхмерной эффективной теории среднего поля. Далее мы переходим к рассмотрению флуктуаций калибровочного поля. Рассматривается производящая функция флуктуирующей системы дикварков с учётом флуктуаций калибровочного поля. Вычисляется свободная энергия системы, оценивается сдвиг критической температуры перехода первого рода из фазы конфайимента в фазу деконфайнмента. Также приводится оценка на верхнюю границу доя средней величины глюонного конденсата в этой области параметров. В результате оказывается, что подход Гинзбурга-Ландау слабо применим к этой области. Маленькая корелляционная длина глюонного поля приводит к тому, что локальное приближение становится неприменимым, флуктуационные поправки оказываются большими, а влияние антикварков пренебрежимо малым. Следовательно, исследование физики нейтронных звёзд с помощью подхода Гинзбурга-Ландау не является правильным. Также в рассматриваемой переходной области была обнаружена взаимосвязь между физикой кварковой материи и локализацией Андерсона в сильно разупорядоченной среде.

В Заключении ещё раз кратко сформулированы основные результаты работы.

1. Была исследована 81/(2) глюодинамика при конечной температуре на решётке с помощью кирально-инвариантного оператора перекрытия. В

интервале температур от 0.91 Тс до 2 Тс были вычислены: топологическая восприимчивость, спектральная плотность, локализационные свойства фермионной системы собственных векторов. Найдено, что топологическая восприимчивость в фазе конфайнмента остаётся приблизительно постоянной, а в фазе деконфайнмента она медленно уменьшается. Поведение топологической восприимчивости не зависит от знака среднего значения петли Полякова. Плотность собственных значений и, следовательно, киральный конденсат сильно отличаются в секторах Поляковской петли с Ь > 0 и Ь < 0. В секторе с положительной петлёй Полякова при некоторой температуре, выше критической, происходит восстановление киральной симметрии; спектральная щель становится существенно отличной от нуля. В секторе с Ь < 0 спектральная щель остаётся близка к нулю, а киральпая симметрия нарушенной да я всех температур Т > Тс, как и предсказывает модель Стефанова. Таким образом, наблюдается влияение типа граничных условий в операторе Дирака, или, что эквивалентно, знака петли Полякова на спектр собственных мод и, как следствие, восстановление киральной симметрии.

2. Найдено, что при температурах Т < Тс спектр низко-лежащих собственных значений оператора Дирака в Б и (2) глюодинамике прекрасно описывается теорией случайных матриц,а при Т > Тс согласия между результатами численных вычислений и предсказаниями теории случайных матриц не наблюдается; необходимо использовать другую модель. Значения кирального конденсата, найденные с помощью экстраполяции к нулевым Л по Банксу-Кашеру при тех же температурах оказываются немного завышенными по сравнению со значениями конденсата, полученными из теории случайных матриц. Изучив поведение кирального конденсата во всём доступном интервале температур 0.91 Тс < Т & 1.5 Тс ш 480 МэВ с помощью соотношения Банкса-Кашера, мы обнаружили два интересных эффекта. Первый - это то, что киральный конденсат быстро меняется вблизи фазового перехода в деконфайнмент, но не обращается в нуль. Второй - это ещё одно быстрое уменьшение конденсата при Т ы 1.5 Тс « 480 МэВ.

3. Установлено, что фоновое абелево магнитное поле приводит к усилению спонтанного нарушения киральной симметрии в неабелевой калибровочной теории. Наши решёточные результаты подтверждают линейный рост кирального конденсата с величиной магнитного поля, что находится в количественном согласии с предсказаниями киральной теории возмущений. Обнаружено, что локализационные свойства околонулевых мод существенны

для усиления нарушения киральной симметрии во внешнем постоянном магнитном поле. Наши результаты подтверждают, что микроскопический механизм состоит в усилении делокализации околонулевых собственных мод и центральных вихрей, который увеличивает вырождение околонулевых мод.

4. Получены возможные доказательства в пользу существования кирального магнитного эфекта в £[/(2) глюодинамике на решётке с кирально-инвариантным оператором Дирака. С ростом температуры киральные флуктуации увеличиваются и, одновременно, становятся менее чувствительными к силе магнитного поля. В фазе деконфайнмента локальные флуктуации киральности намного сильнее по сравнению с флуктуациями при нулевой температуре, хотя сами флуктуации практически не зависят от силы магнитного поля. При нулевой температуре продольные (т.е., направленные вдоль магнитного поля) токи растут с увеличением силы магнитного поля. Эффект сопровождается более слабым усилением поперечных токов, которое мы приписываем поперечному сжатию уровней Ландау. При ненулевой температуре, но ещё шгже фазового перехода (Т = 0.82ТС) рост как продольного так и поперечного токов становятся меньше. Однако продольный ток растёт сильнее по сравнению с увеличением поперечного тока. В фазе деконфайнмента при Т = 1.12ТС флуктуации продольных токов почти не зависят от магнитного поля. Более того, поперечные компоненты электрического тока слегка уменьшаются, в то время как магнитное поле становится сильнее. Флуктуации электрической зарядовой плотности оказываются значительно подавленными в фазе деконфайнмента в достаточно сильном магнитном поле. Мы также обнаружили, что наличие ненулевого глобального топологического заряда в реальных глюонных конфигурациях слабо влияет на продольные токи. Таким образом, КМЭ возникает в областях локальных концентраций топологического заряда в глюонной конфигурации.

5. В полной КХД с двумя лёгкими кварками исследован на решётке пространственный статический потенциал в зависимости от расстояния между кварками для различных температур. В фазе конфайнмента потенциалы для различных температур согласуются друг с другом очень хорошо. Найдено, что пространственное натяжение струны при нулевой температуре равно физическому натяжению струны. При ненулевой температуре в фазе конфайнмента пространственное натяжение струны постоянно и в пределах ошибок совпадает с предыдущими расчётами

на решётке, а также с теоретическими предсказаниями, полученным из различных моделей. При температурах в фазе деконфайнмента наши результаты согласуются с предсказанями метода полевых корреляторов и расходятся с предсказаниями АДС/КХД, пространственное натяжение струны начинает плавно возрастать при Т > Трс. Найблюдается согласие с предсказаниями трёхмерной теории для поведения сг„(Т) в зависимости от температуры и константы связи.

6. В области перехода из ядерной материи в кварковую даны оценки параметрам кроссовера и Гинзбурга-Левашока; показано, что система находится не в состоянии цветовой сверхпроводимости, а в переходной области, а переход из ядерной материи в кварковую сопровождается сильными флуктуациями. Обнаружено, что подход Гинзбурга-Ландау слабо применим к рассматриваемой области. Также в рассматриваемой переходной области была обнаружена взаимосвязь между физикой кварковой материи и локализацией Андерсона в сильно разупорядоченной среде.

1.7. Благодарности

В первую очередь я хочу выразить благодарность тем людям, под руководством которых я работала, а именно Юрию Антоновичу Симонову, Борису Олеговичу Кербикову, Михаилу Игоревичу Поликарпову и Виталию Геннадьевичу Борнякову за моральную и финансовую поддержку, за проявленный профессионализм в работе со мной. Спасибо Максиму Чернодубу и Павлу Буйвидовичу за активную работу и многочисленные обсуждения наших совместных результатов. Также хочу выразить благодарность людям, с которыми мы обсуждали наши работы, а именно, С.М. Морозову, В.И. Захарову, В.И. Шевченко и Ф.В.Губареву. Большое спасибо И.Л. Боголюбскому и В.И. Захарову, взявшим на себя труд быть официальными оппонентами этой работы.

1.8. Список публикаций автора по теме диссертации

[1] В. Kerbikov, E.V. Luschevskaya, "Toward the Understanding of Quark Matter Formation", Phys. Atom. Nucl. 71, 2008, pp.364-373

[2] V.G. Bornyakov, E.V. Lushchevskaya, "Spatial string tension in N(f) = 2 lattice QCD at finite temperature", Phys. Atom. Nucl. 72, 2009, pp.257-260

[3] V.G. Bornyakov, E.V. Luschevskaya, S.M. Morozov, M.I. Polikarpov, E.-M.

// / ,

Ilgenfritz, M. Muller-Preussker, "The Topological structure of SU(2) gluodynamics at T > 0: An Analysis using the Symanzik action and Neuberger overlap fermions", Phys. Rev. D79, 2009, 054505

[4] P.Y. Buividovich, E.V. Luschevskaya, M.I. Polikarpov, "Finite-temperature chiral condensate and low-lying Dirac eigenvalues in quenched SU(2) lattice gauge theory", Phys. Rev. D78, 2008, 074505

[5] П.В.Буйвидович, Е.В.Лущевская, М.И.Поликарпов, М.Н.Чернодуб, "Киральный магнитный эффект в решеточной SU(2) глюодинамике при нулевой температуре" письма в ЖЭТФ, том 90, стр.456-461

[6] P.V. Buividovich, M.N. Chernodub, E.V. Luschevskaya, M.I. Polikarpov, "Numerical evidence of chiral magnetic effect in lattice gauge theory", Phis. Rev. D, 2009, 10665

Подписано к печати 30.09.09 г. Формат 60x90 1/16

Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 0,7 Тираж 100 экз. Заказ 556

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25

1. КХД в непрерывном пределе, как теория сильных взаимодействий

2. Основные определения КХД на решётке

3. Калибровочное действие Вильсона на решётке

4. Улучшенное действие Симанчика

5. Оператор Дирака в непрерывной теории

6. Оператор Дирака на решётке

7. Фермионное действие на решётке

8. Оператор перекрытия.

Глава 1. Исследование топологической структуры SU(2) глюодинамики при Т > 0 с улучшенным действием Симанчика и оверлап фермионами Нойбергера.

1.1. Введение

1.2. Детали вычислений

1.3. Топологическая восприимчивость х-юп(Т)

1.4. Спектральная плотность

1.5. Локализация в различных частях спектра

1.6. Сравнение с Т=

1.7. Выводы.

Глава 2. Киральный конденсат и околонулевые собственные значения оператора Дирака в SU(2) глюодинамике на решётке

2.1. Введение

2.2. История вопроса.

2.3. Сравнение полученных результатов с теорией случайных матриц

2.4. Зависимость кирального конденсата от температуры

2.5. Выводы.

Глава 3. Численное исследование нарушения киральной симметрии в SU(2) калибровочной теории во внешнем абелевом магнитном поле

3.1. Введение

3.2. Теоретические предсказания.

3.3. Зависимость кирального конденсата от внешнего магнитного поля при Т ~ 0.

3.4. Локализационные свойства околонулевых фермионных мод

3.5. Выводы.

Глава 4. Численное исследование кирального магнитного эффекта в SU(2) глюодинамике.

4.1. Введение

4.2. Численные вычисления.

4.3. Наблюдаемые и топология

4.4. Электрическая зарядовая плотность: иллюстрация

4.5. КМЭ и флуктуации киральности в холодной материи

4.6. Флуктуации электромагнитного тока

4.7. Киральный магнитный эффект на инстантоно-подобной конфигурации

4.8. Выводы.

Глава 5. Пространственное натяжение струны в КХД с двумя кварками при конечной температуре

5.1. Введение

5.2. Детали вычислений

5.3. Результаты.

5.4. Выводы

Глава 6. О формировании кварковой материи.

6.1. Введение

6.2. БЭК - БКШ кроссовер и число Гинзбурга-Леванюка

6.3. Функционал Гинзбурга-Ландау

6.4. Флуктуационный диамагнетизм

6.5. Андерсоновская локализация.

6.6. Выводы.

1. КХД в непрерывном пределе, как теория сильных взаимодействий

В настоящее время считается, что квантовая хромодинамика (КХД) - это единственная теория, которая может претендовать на описание физики сильных взаимодействий. Эти взаимодействия связывают атомное ядро, а их энергия снабжает топливом Солнце и звёзды. КХД - это неабелева калибровочная теория с кварками в фундаментальном представлении, взаимодействие между которыми переносится с помощью векторных частиц. Теория была построена на основе имеющихся экспериментальных данных.

В 1961 году Гелл-Манн и Нееман в своих работах сделали вывод, что адроны обладают внутренней SUp(3) симметрией ("F" - от английского слова flavour - "аромат" обозначает виды кварков) [1, 2]. При добавлении группы спиновых вращений SU(2) к группе SUp(3) эти частицы должны были образовывать представления группы SU(6) [3, 4]. •Однако, в природе до тех пор не наблюдались ни SUp{3), ни- SU(6) фундаментальные представления частиц.

Тогда Гелл-Манн [6] и Цвейг [7] предложили модель, которая объясняла спектр сильно взаимодействующих частиц, к которым относятся протоны и нейтроны, составляющие ядра, а также широкое разнообразие частиц, возникающих в ускорителях и в астрофизических источниках. Согласно этой модели мезоны являются связанными состояниями кварка и антикварка, а барионы - это связанные состояния трёх кварков. Для того чтобы объяснить наличие у реальных адронов электрических зарядов и других квантовых чисел, Гелл-Манн и Цвейг постулировали существование трёх видов кварков: up(u) (верхний), down(d) (нижний), strange(s) (странный). Сейчас нам известно о существовании ещё трёх видов кварков: charm(c) (очарованный), beauty(b) (прекрасный) и top(t) (верхний). Иерархия масс кварков представлена на рис.2. Оказалось, что можно объяснить разности масс адронов, предположив, что массы кварков удовлетворяют соотношениям: т^ — ти « 4 МэВ, т3 — та « 150 МэВ. Дробный электрический заряд для w, с, t кварков равен +2/3 для и, с, t, а для d, s, b кварков он равен —1/3. Протон оказывается связанным состоянием uud, а нейтрон связанным состоянием add. На рис.1 показана упрощённая структура протона, окружённого вакуумом КХД. q: кварки,

Рис. 1. Внутренняя структура протона.

Гипотеза адронов, образованных из кварков, позволила также объяснить величину магнитного момента протона. Но эта модель имела очень серьёзный недостаток: с помощью неё невозможно было объяснить спектр некоторых возбуждённых адропных состояний. Например, резонанс Д1 1 является возбуждённым состоянием нуклона и в основном состоянии имеет спин 3/2 с зарядом +2, следовательно, он должен состоять из трёх и кварков. Кварк - частица со спином равным 1/2 (фермион), а согласно принципу Паули в состоянии с некоторым спином может находится не более одной частицы. Таким образом, упомянутый резонанс не должен существовать, но тем не менее он наблюдается на эксперименте. Вскоре было предложено решение возникшей проблемы.

В 1964 году Гринберг предположил, что кварки на самом деле подчиняются парастатистике ранга 3 [11]. Такая парастатистика получается из статистики Ферми-Дирака введением третьего квантового числа. А в 1965 М.Хан, И.Намбу и др. постулировали существование нового квантового числа, которое они назвали цветом [12, 13|. Согласно их модели каждый кварк может находится в одном из трёх цветовых состояний (красный, жёлтый или голубой), а все физически наблюдаемые адроны бесцветны, т.е. являются сип глетам и по отношению к группе SUC(3) цветовой симметрии. Эта калибровочная группа имеет 8 генераторов, каждый из которых соответствует

6 кварковых ароматов 8 глюонов , . 174.3 Гэв 75-170 Мэв

1-5 Мэв | спин=1 u S t спин=1/2 deb

3-9 Мэв

1.15-1.35 Гэв

4.0-4.4 Гэв m=0 Мэв, SU(3) цветовой октет

Рис. 2. Известные типы кварков. кванту векторного калибровочного поля - глюону. Глюоны являются безмассовыми частицами спина 1 и поэтому подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

К тому времени была построена единая теория электро-слабых взаимодействий, Стандартная Модель (СМ), включающая также квантовую хром од и нам ику. Если предположить, что глюоны взаимодействуют с полями кварков через их квантовое число - аромат, то чётность в СМ нарушается уже в первом порядке по константе связи. Вайпберг и Нанопулос выдвинули предположение [14, 15J, что глюоны взаимодействуют только с цветом, а кварки взаимодействуют через их цветовой заряд благодаря обмену глюонами, которые также имеют цвет.

Квантовая хромодинамика определяется действием, которое имеет следующий вид:

5кхд ^ — к

Л + ^i,(x)(ilflDft(x) - тч)^(х) J . (1)

В выражении (1) тензор напряжённости неабелевого поля

F£M = д.ЛЦх) - дуАЦх) + gsfabcAfa)At(x) (2) с неабелевой ковариантной производной

D^j = - гд^^ЛЦх), (3) а где tfj = Xfj/2 - генераторы группы SU(3)с ("с" - от английского color -цвет), A"j - матрицы Гелл-Мана, i,j = 1,2,3 - цветовые индексы, = 1,2,3,4 -лоренцевы индексы, gs -универсальная константа взаимодействия КХД.

Полностью антисимметричный тензор /аьс представляет структурные константы цветовой SUC{3) калибровочной группы. Для них выполнены соотношения: ta,tb\ = ij2rbctc. (4) с

Каждому кварковому полю трёх цветов и аромата q поставлен в соответствие четырёх-компонентный спинор Дирака ф3д (х). Восемь глюоонных полей Аа^(х) являются элементами присоединённого представления SUC{3) алгебры Ли.

Разложение плотности Лагранжа в ряд Тэйлора имеет вид:

С = —(дрАХх) - дЛЦх)?

1 2 gsfabc&AXx) ~ д^х^А^АЦх) + ^ШаЬсА^АЦх))'

Шх) 7

Шх). (5) а

Полученное разложение представляет сумму слагаемых, включающих различные степени константы связи. Слагаемые нулевого порядка дают глюонные и кварковые пропагаторы, в первом порядке мы получаем трёх-глюонную вершину и кварк-глюонную вершину. Второй порядок даёт четырёх-глюонную вершину. Соответствующие диаграммы Фейнмана представлены на рис.3.

Глюоны взаимодействуют друг с другом также как с кварками, что существенно отличает КХД от квантовой электродинамики (КЭД). Следствием этого отличия является свойство асимптотической t

-*- гтшшшж

Кварковый пропагатор Гпюонный пропагатор

Кварк-глюонная вершина

Трёх-глюонная вершина

Четырёх-глюонная вершина

Рис. 3. Пропагаторы. свободы. Это означает, что па малых расстояниях константа связи уменьшается, а на больших она растёт. Последнее утверждение доказано в неопубликованной работе т'Хофта, работе Политцера [17] и независимо от них Гроссом и Вильчеком [18, 20].

При малых величинах константы связи КХД можно изучать, используя обычную технику диаграмм Фейнмана. Однако при больших величинах д3 эта техника не работает, так как она основана на разложении в ряд соответствующего лагранжиана по малой константе связи.

Для изучения КХД в непертурбативном низко-энергетическом режиме существуют различные методы: решёточные из первых принципов, различные полуаналитические методы, среди которых можно отметить метод Швингера-Дайсона и ренормализационную функциональную группу, правила сумм. Из перечисленных наиболее эффективно работает решёточный метод К. Вильсона [21]. В 1974 г. Вильсон предложил заменить непрерывную калибровочную теорию статистической системой на дискретной евклидовой решетке. Осуществив соответствующий переход, он доказал, что при большой константе связи материя должна находится в состоянии цветового конфайнмента, т.е. в эксперименте возможно наблюдать только синглетные по цвету состояния.

6.6. Выводы

Очевидно, что дальнейшая работа необходима, поскольку механизм, ответственный за образование кварковой материи, до конца не понят. В данной главе были рассмотрены три важных свойства этого процесса: переход из области сильной связи и низкой плотности в область слабой связи и высокой плотности, режим сильных флуктуаций, локализация Андерсона [218]. Было установлено, что между этими явлениями существует взаимосвязь.

С определённостью можно утверждать, что не существует прямого перехода из области ядерной материи в кварковую сверхпроводящую фазу Бардина-Купера-Шрифера. Между этими двумя фазами существует непрерывный переход с сильными флуктуациями и, возможно, с частичной локализацией Андерсона. Ненулевое натяжение струны между кварками в этой области также невозможно объяснить (см. [176]).

В этой главе представлен подробный вывод функционала Гинзбурга-Ландау в рамках трёхмерной эффективной теории среднего поля. Было обнаружено, что подход Гинзбурга-Ландау слабо- применим к этой области. Маленькая корелляционная длина глюонного поля приводит к тому, что локальное приближение становится неприменимым, флуктуационные поправки оказываются большими, а влияние антикварков пренебрежимо малым. Следовательно, исследование физики нейтронных звёзд с помощью подхода Гинзбурга-Ландау (см. работу [219]) не является правильным.

Мы обнаружили интересную взаимосвязь между физикой кварковой материи и локализацией Андерсона в сильно разупорядоченной среде. Поведение кварковой петлевой диаграммы в фоновом калибровочном поле, показанной на рис.47, должно быть более детально изучено. В заключении стоит упомянуть, что положение перехода из ядерной материи в кварковой на фазовой диаграмме КХД обсуждалось в недавней работе [220-222].

Глава 7

Заключение

В диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на зашиту:

1. Была исследована SU(2) глюодипамика при конечной температуре на решётке с помощью кирально-ипвариантного оператора перекрытия. В интервале температур от 0.91 Тс до 2 Тс были вычислены: топологическая восприимчивость, спектральная плотность, локализационные свойства фермионной системы собственных векторов. Найдено, что топологическая восприимчивость в фазе конфайнмента остаётся приблизительно постоянной, а в фазе конфайнмента она медленно уменьшается. Поведение топологической восприимчивости не зависит от знака среднего значения петли Полякова. Плотность собственных значений и, следовательно, киральный конденсат сильно отличается в секторах Поляковской петли cL>0hL<0. В секторе с положительной петлёй Полякова при некоторой температуре, выше критической, происходит восстановление киральной симметрии, спектральная щель 'становится существенно отличной от нуЛя. В секторе с L < 0 спектральная щель остаётся близкой к нулю, а киральная симметрия нарушенной для всех температур Т > Тс, как и предсказывает модель Стефанова. Таким образом, наблюдается влияние типа граничных условий в операторе Дирака, или, что эквивалентно, знака петли Полякова, на спектр собственных мод и, как следствие, восстановление киральной симметрии [106].

2. Найдено, что при температурах Т < Тс спектр низко-лежащих собственных значений оператора Дирака в SU(2) глюодинамике прекрасно описывается теорией случайных матриц, при Т > Тс согласия между результатами численных вычислений и предсказаниями теории случайных матриц не наблюдается, необходимо использовать другую модель. Значения кирального конденсата, найденные с помощью экстраполяции к нулевым А по Банксу-Кашеру, при тех же температурах оказываются немного завышенными по сравнению со значениями конденсата, полученные из теории случайных матриц. Изучив поведение кирального конденсата во всём доступном интервале температур 0.91 Тс < Т « 1.5 Тс та 480 МэВ с помощью соотношения Банкса

Катера, мы обнаружили два интересных эффекта. Первый - это то, что киральный конденсат быстро меняется вблизи фазового перехода в деконфайнмент, но не обращается в нуль. Второй - это ещё одно быстрое уменьшение конденсата при Т « 1.5 Тс « 480 МэВ [74].

3. Установлено, что фоновое абелево магнитное поле приводит к усилению спонтанного нарушения киральной симметрии в неабелевой калибровочной теории. Наши решёточные результаты подтверждают линейный рост кирального конденсата с величиной магнитного поля, что находится в количественном согласии с предсказаниями киральной теории возмущений. Обнаружено, что локализационные свойства около-нулевых мод существенны для усиления нарушения киральной симметрии во внешнем постоянном магнитном поле. Наши результаты подтверждают, что микроскопический механизм состоит в усилении делокализации около-нулевых собственных мод и центральных вихрей, который увеличивает вырождение около-пулевых мод.

4. Получены возможные доказательства в пользу существования кирального магнитного эфекта в SU (2) глюодинамике на решётке с кирально-инвариантным оператором Дирака. С ростом температуры киральные флуктуации увеличиваются и, одновременно, становятся » менее чувствительными к силе магнитного поля. В фазе деконфайнмента локальные флуктуации киральности намного сильнее по сравнению с флуктуациями при нулевой температуре, хотя сами флуктуации практически не зависят от силы магнитного поля. При нулевой температуре продольные (т.е., направленные вдоль магнитного поля) токи растут с увеличением силы магнитного поля. Эффект сопровождается более слабым усилением поперечных токов, которое мы приписываем поперечному сжатию уровней Ландау. При ненулевой температуре, но ещё ниже фазового перехода, Т = 0.82Тс, рост как продольного так и поперечного токов становятся меньше. Однако, продольный ток растёт сильнее по сравнению с увеличением поперечного тока. В фазе деконфайнмента при Т = 1.12ТС флуктуации продольных токов почти не зависят от магнитного поля. Более того, поперечные компоненты электрического тока слегка уменьшаются, в то время как магнитное поле становится сильнее. Флуктуации электрической зарядовой плотности оказываются значительно подавленными в фазе деконфайнмента в достаточно сильном магнитном поле. Мы также обнаружили, что наличие ненулевого глобального топологического заряда в реальных глюонных конфигурациях слабо влияет на продольные токи. Таким образом, КМЭ возникает в областях локальных концентраций топологического заряда в глюонной конфигурации [145], [146].

5. В полной КХД с двумя лёгкими кварками исследован на решётке пространственный статический потенциал в зависимости от расстояния между карками для различных температур. В фазе конфайнмента потенциалы для различных температур согласуются друг с другом очень хорошо. Найдено, что пространственное натяжение струны при нулевой температуре совпадает с физическим натяжением струны. При ненулевой температуре в фазе конфайнмента пространственное натяжение струны постоянно и в пределах ошибок совпадает с предыдущими расчётами на решётке, а также с теоретическими предсказаниями, полученным из различных моделей. При температурах в фазе деконфайнмента наши результаты согласуются с предсказанями метода полевых корреляторов и расходятся с предсказаниями АДС/КХД, пространственное натяжение струны начинает плавно возрастать при Т > Трс. Найблюдается согласие- с предсказаниями трёхмерной теории для поведения aS(T) в зависимости от температуры* и константы связи [170].

6. В области» перехода из ядерной материи в кварковую даны оценки параметрам кроссовера и Гинзбурга-Леванюка, показано, что система находится^ не в состоянии цветовой сверхпроводимости, а в переходной области, а переход из ядерной материи в кварковую сопровождается сильными флуктуациями. Обнаружено, что подход Гинзбурга-Ландау слабо применим к рассматриваемой области. Также в рассматриваемой переходной области была обнаружена взаимосвязь между физикой кварковой материи и локализацией Андерсона в сильно разупорядоченной среде [218].

1. М. Gell-Mann, Caltech preprint CTSL-20, 1961.

2. Y. Ne'eman, Nucl. Phys., vol. 26, p. 222, 1961.

3. F. Gursey, L.A. Radicati, Phys. Rev. Lett., vol. 47, p. 1792, 1981.

4. A. Pais, Phys. Rev. Lett, vol. 13, p. 175, 1964.

5. H. Kluberg-Stern, J.B. Zuber, Phys. Rev., vol. D12, p. 467, 1975.

6. M. Gell-Mann, Phys. Lett., vol. 8, p. 214, 1964.

7. G. Zweig, CERN preprints Th. 401 and 412, 1964.

8. M. Gell-Mann, R.J. Oakes, B. Renner, Phys. Rev., vol. 175, p. 2195, 1968.

9. S.L. Glashow, S. Weinberg, Phys. Rev. Lett., vol. 20, p. 224, 1968.

10. H. Leutwyler, Nucl. Phys., vol. B76, p. 413, 1974. » •

11. O.W. Greenberg, Phys. Rev. Lett., vol. 13, p. 598, 1964.

12. M.Y. Han and Y. Nambu, Phys. Rev., vol. 139, p. B1006, 1965.

13. N. Bogolubov, B. Struminsky, A. Tavkhelidze, JINR Preprint D-1968, Dubna, 1965.

14. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett., vol. 31, p. 494, 1973.

15. D.V.Nanopoulos, Nuovo Cimento Lett., 8, 873, 1973.

16. A. De Rujula, H. Georgi, S.L. Glashow, Phys. Rev., vol. D12, p. 147, 1975.

17. H.D. Politzer, Phys. Rev. Lett., vol. 30, p. 1346, 1973.

18. D.J. Gross, F. Wilczek, Phys. Rev. Lett., vol. 30, p. 1323, 1973.

19. D.J. Gross, F. Wilczek, Phys. Rev., vol. D8, p. 3635, 1973.

20. D.J. Gross, F. Wilczek, Phys. Rev., vol. D9, p. 980, 1974.

21. K.G. Wilson, Phys. Rev., vol. 010, p. 2445, 1974.

22. K. Symanzik, Nucl. Phys., vol. B226, p. 187, 1983.

23. P. Weisz, Nucl. Phys., vol. B226, pp. 187-205, 1983.

24. M. Luscher, P. Weisz, Comm. Math. Phys., vol. 97, p. 59, 1985; Phys. Lett., vol. B158, p. 250, 1985.

25. Mark G. Alford, W. Dimm, G.P. Lepage, G. Hockney, P.B. Mackenzie, Phys. Lett., vol. B361, pp. 87-94, 1995.

26. F. Karsch, Lect. Notes Phys., vol. 583, pp. 209-249, 2002.

27. T. Banks and A. Casher, Nucl. Phys., vol. B169, p. 103, 1980.

28. J.B. Kogut et al, Phys. Rev. Lett., vol. 50, p. 393, 1983; Nucl. Phys., vol. B225, p. 326, 1983.

29. S. Chandrasekharan and N. Christ, Nucl. Phys. Proc. Suppl., vol. 47, p.527, 1996.

30. S. Chandrasekharan, Dong Chen, N. Christ, W. Lee, R. Mawhinney, and P. Vranas, Phys. Rev. Lett., vol. 82, p. 2463, 1999.

31. M.A. Stephanov, Phys. Lett., vol. B375, p.249, 1996.

32. Ch. Gattringer, P.E.L. Rakow, A. Schafer, and W. Soldner, Phys. Rev., vol. D66, p. 054502, 2002.

33. M. Luscher, Nucl. Phys., vol. B200, p. 61, 1982.

34. D.J.R. P.ugh, M. Teper, Phys. Lett., vol. B224, pp. 159-165, 1989.

35. V.G. Bornyakov, E.V. Luschevskaya, S.M. Morozov, M.I. Polikarpov, E.-M. Ilgenfritz, and M. Muller-Preussker, PoS LAT2007, vol. 315,

36. V.G. Bornyakov, E.-M. Ilgenfritz, and M. Muller-Preussker, Phys. Rev., vol. D72, p. 054511, 2005. 2007.

37. V.G. Bornyakov, E.-M. Ilgenfritz; B.V. Martemyanov, S.M. Morozov, M. Muller-Preussker, and A.I. Veselov, Phys. Rev., vol. D76, p. 054505, 2007.

38. L. Giusti,C. Hoelbling, M. Luscher, H. Wittig, Comput. Phys. Com-mun., vol. 153, pp. 31-51, 2003.

39. H. Neuberger, Phys. Lett., vol. B417, p.141, 1998.

40. ARPACK source: http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/.

41. A.V. Smilga, To be published in the Festschrift in honor of B.L. IofFe: At the frontier of particle physics, vol. 1*, pp. 317-358.

42. S. Capitani, M. Gockeler, R. Horsley et al., Phys. Lett., vol. B468, pp. 150-160, 1999.

43. F. Niedermayer, Nucl. Phys. Proc. Suppl., vol. 105, p. 73, 1999.

44. P. Hasenfratz, V. Laliena, and F. Niedermayer, Phys. Lett., vol. B427, p. 125, 1998.

45. D.H. Adams, J. Math. Phys., vol. 42, p.5522, 2001.

46. Ch. Gattringer and R. Pullirsch, Phys. Rev., vol. D69, p. 094510, 2004.

47. B. Alles, M. D'Elia, and A.Di Giacomo, Phys. Lett., vol. B412, p. 119, . 1997.

48. R.G. Edwards, U.M. Heller, J.E. Kiskis and R. Narayanan, Phys. Rev., vol. D61, p. 074504, 2000.

49. E. Witten, Nucl. Phys., vol. B156, p. 269, 1979.

50. G. Veneziano, Nucl. Phys, B159, pp. 213-224, 1979.

51. E.-M. Ilgenfritz, K. Koller, Y. Koma, G. Schierholz, T. Streuer, and V. Weinberg, Phys. Rev, vol. D76, p. 034506, 2007.

52. M. Golterman, Y. Shamir, Phys. Rev, vol. D68, p. 074501, 2003; M. Golterman, Y. Shamir, and B. Svetitsky, arXiv: hep-lat/0407021, hep-lat/0503037.

53. P.W. Anderson, Phys. Rev, vol. 109, p. 1492, 1958.

54. F.V. Gubarev, S.M. Morozov, M.I. Polikarpov, and V.I. Zakharov, JETP Lett, vol. 82, p. 343, 2005; Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz, vol. 82, p. 381, 2005.

55. Y. Коша, E.-M. Ilgenfritz, К. Roller, G. Schierholz, T. Streuer, and V. Weinberg, PoS LAT2005, vol. 300, 2006.

56. V. Weinberg, E.-M. Ilgenfritz, K. Koller, Y. Koma, G. Schierholz, and T. Streuer, PoS LAT2006, vol. 078, 2006.

57. V. Weinberg, E.-M. Ilgenfritz, K. Koller, Y. Коша, G. Schierholz, and T. Streuer, PoS LAT2005, vol. 171, 2006.

58. V. Weinberg et al. (DIK Collaboration), PoS LAT2007, vol. 236, 2007.

59. Ch. Gattringer, M. Gockeler, P.E.L. Rakow, St. Schaefer, and A. Schafer, Nucl. Phys., vol. B617, p. 101, 2001.

60. Ch. Gattringer, M. Gockeler, P.E.L. Rakow, St. Schaefer, and A. Schafer, Nucl. Phys., vol. B618, p. 205, 2001.

61. C. Aubin et al., Nucl. Phys. (Proc. Suppl.), vol. 140, 2005 arXiv:hep-lat/0410024].

62. Ch. Gattringer, Phys. Rev. Lett., vol. 97, p. 032003, 2006.

63. F. Bruckmann, Ch. Gattringer, and Ch. Hagen, Phys. Lett., vol. B647, p. 56, 2007.

64. Ch. Hagen, F. Bruckmann, E. Bilgici, and Ch. Gattringer, PoS LAT2007, vol. 289, 2007.

65. E. Bilgici, F. Bruckmann, Ch. Gattringer, and Ch. Hagen, Phys. Rev., vol. D77, 094007, 2008.

66. F. Synatschke, A. Wipf, and K. Langfeld, Phys. Rev., vol. D77, p. 114018, 2008.

67. H. Leutwyler, Ann. Phys., vol. 235, p. 165, 1994.

68. J.J.M.Verbaarschot, T. Wettig, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., vol. 50, p. 343, 2000.

69. A.M. Polyakov, Phys. Lett., vol. B72, p. 477, 1978.

70. F. Karsch and E. Laermann, Phys. Rev., vol. D50, p. 6954, 1994.

71. J. Kogut, H. Matsuoka, M. Stone, H.W. Wyld, S. Shenker, J. Shigemit-su and D.K. Sinelai, Phys. Rev. Lett., vol. 51, p. 869, 1983.

72. V.G. Bornyakov, E.V. Luschevskaya, S.M. Morozov, M.I. Polikarpov, E.-M. Ilgenfritz and M.Miiller-Preussker, Phys. Rev., vol. D78, p. 054505, 2009.

73. M.E. Berbenni-Bitsch, A.D. Jackson, S. Meyer, A. Schafer, J.J.M. Ver-baarschot, T. Wettig, Nucl. Phys. B-Proc. Suppl., vol. 63, p. 820, 1998.

74. P.V. Buividovich, M.N. Chernodub, E.V. Luschevskaya and M.I. Polikarpov, Phys. Rev., vol. D79, p. 054505, 2009.

75. J. Kiskis and R. Narayanan, Phys. Rev., vol. D64, p. 117502, 2001.

76. E.V. Shuryak and J.J.M. Verbaarschot, Nucl. Phys., vol. A560, p. 306, 1993.

77. H. Leutwyler, Phys. Rev., vol. D46, p. 5607, 1992.

78. P.H. Damgaard and S.M. Nishigaki, Phys. Rev. D63, p. 045012, 2001.

79. P.H. Damgaard, Nucl. Phys., vol. B608, p. 162, 2001.

80. C. Gattringer, Phys. Rev. Lett., vol. 97, p. 032003, 2006.

81. E. Bilgici,F. Bruckmann, C. Gattringer and C. Hagen, Phys. Rev., vol. D77, p. 094007, 2008.

82. O. Aharony,J. Sonnenschein and S. Yankielowicz, Ann. Phys., vol. 322, p. 1420, 2007.

83. E. Antonyan, J.A. Harvey, S. Jensen and D. Kutasov, arXiv: hep-th/0604017.

84. T. Vachaspati, Phys. Lett., vol. B265, p. 258, 1991.

85. R.C. Duncan and C. Thompson, Astrophys. J., vol. 392, p. L9, 1992.87. http://www.gsi.de/forschung/phelix/indexe.html.88. http://www.extreme-light-infrastructure.eu/.

86. J. Rafelski, L.P. Fulcher and A. Klein, Phys. Rep., vol. 38, p. 227, 1978.

87. D.E. Kharzeev, L.D. McLerran and H.J. Warringa, Nucl. Phys., vol. A803, p. 227, 2008.

88. I.V. Selyuzhenkov, Rom. Rep. Phys., vol. 58, p. 049, 2006.

89. E.S. Fraga and A.J. Mizher, arXiv:0810.3693.

90. N.O. Agasian and S.M. Fedorov, Phys. Lett., vol. B663, p. 445, 2008.

91. V.P. Gusynin, V.A. Miransky, I.A. Shovkovy, Phys. Lett., vol. B349, p. 477, 1995.

92. I.A. Shushpanov and A.V. Smilga, Phys. Lett., vol. B402, p. 351, 1997.

93. D. Ebert, K.G. Klimenko, M.A. Vdovichenko and A.S. Vshivtsev,

94. Phys. Rev., vol. D61, p. 025005, 1999. • * »

95. A.V. Zayakin, JHEP, vol. 0807, p. 116, 2008.

96. L. Labun and J. Rafelski, arXiv:0811.4467.

97. L. Labun and J. Rafelski, arXiv:0810.1323.

98. S.P. Klevansky and R.H. Lemmer, Phys. Rev., vol. D39, p. 3478, 1989.

99. M.H. Al-Hashimi and U.-J. Wiese, arXiv:0807.0630.

100. P.H. Damgaard and U.M. Heller, Nucl. Phys., vol. B309, p. 625, 1988.

101. S.J. Hands and M. Teper, Nucl. Phys., vol. B347, p. 819, 1990.

102. C.B. Lang, P. Majumdar and W. Ortner, Phys. Lett., vol. B649, p. 225, 2007.

103. J. Gattnar, C. Gattringer, K. Langfeld, H. Reinhardt, A. Schafer, S. Solbrig and Т. Ток, Nucl. Phys., vol. B716, p. 105, 2005.

104. V.G. Bornyakov, E.M. Ilgenfritz, B.V. Martemyanov, S.M. Morozov, M. Muller-Preussker and A.I. Veselov, Phys. Rev., vol. D77, p. 074507, 2008.

105. R. Hollwieser, M. Faber, J. Greensite, U.M. Heller and S. Olejnik, Phys. Rev., vol. D78, p. 054508, 2008.

106. M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, in "Confinement, duality, and nonperturbative aspects of QCD", p. 387, ed. by P. van Baal, Plenum Press, 1997.

107. J. Greensite, Prog. Part. Nucl. Phys., vol. 51, p. 1, 2003.

108. P. de Forcrand and M. D'Elia, Phys. Rev. Lett., vol. 82, p. 4582, 1999.

109. M.I. Polikarpov, F.V. Gubarev, S.M. Morozov and V.I. Zakharov, PoS LAT2005, vol. 143, 2005.

110. C. Aubin et al. MILC Collaboration], Nucl. Phys. Proc. Suppl, vol. 140, p. 626, 2005.

111. B.C. Tiburzi, Nucl. Phys., vol. A814, p. 74, 2008.t- ^

112. N.O. Agasian and S.M. Fedorov, Phys. Lett., vol. B663, p. 445, 2008; E.S. Fraga and A.J. Mizher, Phys. Rev., vol. D78, p. 025016, 2008; Nucl. Phys., vol. A820, p. 103C, 2009.

113. D. Kharzeev, R.D. Pisarski, M.H.G. Tytgat, Phys. Rev. Lett., vol. 81, p. 512, 1998.

114. D. Kharzeev,Phys. Lett., vol. B633, 2006.

115. D.E. Kharzeev, L.D. McLerran, H.J. Warringa, Nucl. Phys., vol. A803, p. 227, 2008.

116. K. Fukushima, D.E. Kharzeev and H.J. Warringa, Phys. Rev., vol. D78, p. 074033, 2008.

117. S.A. Voloshin, Phys. Rev., vol. C70, p. 057901, 2004.

118. S.A. Voloshin for the STAR Collaboration, Probe for the strong parity violation effects at RHIC with three-particle correlations, published in Proceedings of Quark Matter 2008, 2008, arXiv: 0806.0029.

119. H. Caines, The RHIC beam energy scan STAR's perspective, published in Talk at Rencontres de Moriond: QCD and High Energy Interactions, 2009.

120. E. Witten, Nucl. Phys., vol. B156, p. 269, 1979.

121. G. Veneziano, Nucl. Phys., vol. B159, p. 213, 1979.

122. L.D. McLerran, E. Mottola and M.E. Shaposhnikov, Phys. Rev., vol. D43, p. 2027, 1991.

123. H.B. Nielsen and M. Ninomiya, Phys. Lett., vol. B130, p. 389, 1983.

124. M.A. Metlitski and A.R. Zhitnitsky, Phys. Rev., vol. D72, p. 045011, 2005.

125. G.'t Hooft, Phys. Rev., vol. D14, p. 3432, 1976.

126. A.I. Vainshtein, V.I. Zakharov, V.A. Novikov and M.A. Shifman, Soviet Physics Uspekhi, vol. 25, p. 195, 1982.

127. P.V. Buividovich, M.N. Chernodub, E.V. Luschevskaya and M.I. Po-likarpov, arXiv: hep-lat/0906.0488.

128. V.G. Bornyakov, E. Ilgenfritz, B.V. Martemyanov, S.M. Morozov, M. Miiller-Preussker, and A.I. Veselov, Phys. Rev., vol. D76, p. 054505, 2007.

129. V.G. Bornyakov, E.V. Luschevskaya, S.M. Morozov, M.I. Polikarpov, E. Ilgenfritz and M. Miiller-Preussker, Phys. Rev., vol. D79, p. 054505, 2009.

130. C. Aubin, K. Orginos, V. Pascalutsa and M. Vanderhaeghen, arXiv: 0809.1629.

131. F.X. Lee, R. Kelly, L. Zhou and W. Wilcox, Phys. Lett., vol. B627, p. 71, 2005.

132. R.J. Crewther, Phys. Lett., vol. B70, p. 349, 1977.

133. I. Horvath et al., Phys. Rev., vol. D68, p. 114505, 2003;

134. С. Aubin et al. MILC Collaboration], Nucl. Phys. Proc. Suppl., vol. 140, p. 626, 2005;

135. V.I. Zakharov, Phys. Atom. Nucl., vol. 68, p. 573, 2005;

136. F. V. Gubarev, S.M. Morozov, M.I. Polikarpov and V.I. Zakharov, JETP Lett., vol. 82, p. 343, 2005;

137. A. V. Kovalenko, S. M. Morozov, M.I. Polikarpov and V.I. Zakharov, Phys. Lett., vol. B648, p. 383, 2007.

138. Landau and Lifshitz, vol. 3.

139. R.D. Pisarski and L.G. Yaffe, vol. 97, p. 110, 1980.

140. B. Alles, M. D'Elia and A. Di Giacomo, Phys. Lett., vol. B412, p. 119, 1997.

141. L. McLerran, E. Mottola and M.E. Shaposhnikov, Phys. Rev., vol. D43, p. 2027, 1991.

142. P.W. Anderson, Phys. Rev., vol. 109, p. 1492, 1958.

143. P.V. Buividovich, M.N. Chernodub, E.V. Luschevskaya and M.I. Polikarpov, JETP lett., vol. 90, pp 456-461, 2009.

144. P.V. Buividovich, M.N. Chernodub, E.V. Luschevskaya and M.I. Polikarpov, Phis. Rev., vol. D80, p. 054503, 2009.

145. Y. Aoki, Z. Fodor, S.D. Katz and K.K. Szabo, Phys. Lett., vol. B643, p. 46, 2006.

146. M. Cheng et al., Phys. Rev., vol. D74, p. 054507, 2006.

147. C. Bernard et al, Phys. Rev., vol. D75, p. 094505, 2007.

148. A.Ali Khan et al. CP-PACS Collaboration], Phys. Rev., vol. D63, p. 034502, 2001.

149. Y. Maezawa, N. Ukita, S. Aoki, S. Ejiri, T. Hatsuda, N. Ishii and K. Kanaya WHOT-QCD Collaboration], Phys. Rev., vol. D75, p. 074501, 2007.

150. V.G. Bornyakov et al., PoS LAT2005, vol. 157, 2006.

151. V.G. Bornyakov, S.M. Morozov, Y. Nakamura, M.I. Polikarpov, G. Schierholz and T. Suzuki DIK Collaboration], arXiv: hep-lat/0711.1427.

152. V.G. Bornyakov et al. DIK Collaboration], Phys. Rev, vol. D71, p. 114504, 2005.

153. K. Jansen and R. Sommer ALPHA collaboration], Nucl. Phys, vol. B530, p. 185, 1998.

154. S. Booth et al. QCDSF-UKQCD collaboration], Phys. Lett, vol. B519, p. 229, 2001.

155. C.R. Allton et al. UKQCD Collaboration], Phys. Rev, vol. D65, p. 054502, 2002.

156. M. Gockeler et al., arXiv: hep-lat/0610071.

157. R. Sommer, Nucl. Phys, vol. B411, p.839, 1994.

158. G.S. Bali et al. TXL Collaboration], Phys. Rev, vol. D62, p. 054503, 2000.

159. G.S. Bali, J. Fingberg, U.M. Heller, F. Karsch and K. Schilling, Phys. Rev. Lett, vol. 71, p.3059, 1993.

160. G. Boyd, J. Engels, F. Karsch, E. Laermann, C. Legeland, M. Lutge-meier and B. Petersson, Nucl. Phys, vol. B469, p. 419, 1996.

161. M. Albanese et al. APE Collaboration], Phys. Lett, vol. B192, p. 163, 1987.

162. A. Hasenfratz and F. Knechtli, Phys. Rev, vol. D64, p. 034504, 2001.

163. N.O. Agasian, Phys. Lett, vol. B562, p. 257, 2003.

164. O. Andreev and V.I. Zakharov, Phys. Lett, vol. B645, p. 437, 2007.

165. C. Schmidt and T. Umeda RBC-Bielefeld Collaboration], Nucl. Phys, vol. A785, p. 274, 2007.

166. R. Liddle Bielefeld Collaboration], arXiv: hep-lat/0710.2011.

167. A. Di Giacomo, H.G. Dosch, V.I. Shevchenko and Yu.A. Simonov, Phys. Rept., vol. 372, p.319, 2002.

168. V.G. Bornyakov, E.V. Luschevskaya, Phys. Atom. Nucl., vol.72, pp. 257-260, 2009.

169. D. Balin and A. Love, Phys. Rep., vol. 107, p. 325, 1984.

170. M. Alford, K. Rajagopal and F.W ilczek, Phys.Lett., vol. B422, 247, 1998;

171. R. Rapp, T. Schafer, E.V. Shyryak and M. Velkovsky, Phys. Rev. Lett., vol. 81, p. 53, 1998.

172. K. Rajagopal and F. Wilczek, In: At the Frontier of Particle Physics. Handbook of QCD, ed. M.Shifman (World Scientific, Singapore, 2001), vol.3, p.2061;

173. M. Alford, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci, vol. 51, p. 131, 2001; G. Nardulli, Riv. Nuoro. Cim., vol. 25, p. 1, 2002.

174. D.T. Son, Phys. Rev., vol. D59, p. 094019,' 1999;

175. T. Shafer and F. Wilczek, Phys. Rev., vol. D60, p. 114033, 1999; R.D. Pisarski and D.H. Rishke, Phys. Rev., vol. D61, p. 051501, 2000.

176. O. Philipsen, Journal-ref: PoS LAT2005, vol. 016, 2005, arXiv: hep-lat/0510077.

177. Yu.A. Simonov, arXiv: hep-ph/0605022.

178. J. Berges and K. Rajagopal, Nucl. Phys., vol. B538, p. 215, 1999.

179. M. Buballa, Phys. Rept., vol. 407, p. 205, 2005;

180. Mei Huang, Int. J. Mod. Phys., vol. E14, p. 675, 2005; W. Bentz et al., AIP Conf. Proc., vol. 756, pp. 422-424, 2005.

181. G.W. Carter and D. Diakonov, Phys. Rev., vol. D60, p. 016004, 1999.

182. E.S. Fraga et al., arXiv: nucl-th/0301062.

183. N. Agasian, B. Kerbikov and V. Shevchenko, Phys. Rept., vol. 320, p. 131, 1999.

184. В. Kerbikov, arXiv: hep-ph/0106324.

185. Т. Matsuura, К. Iida, Т. Hatsuda, G. Baym, Phys. Rev., vol. D69, p. 074012, 2004.

186. B. Kerbikov, arXiv: hep-ph/0110197.

187. B. Kerbikov, Phys. Atom. Nucl., vol. 65, p. 1918, 2002)

188. D.M. Eagles, Phys. Rev., vol. 186, p. 456, 1969;

189. A.J. Leggett, in Modern Trends in the Theory of Condensed Matter (Springer-Verlag, Berlin, 1980);

190. P. Nozieres and S. Schmitt-Rink, J. Low Temp. Phys., vol. 59, p. 195, 1985;

191. P.W. Anderson and W.F. Brinkman in: Proceeding of the 15th Scottish University Summer School in Physics, Acad. Press, New York, 1975.

192. M.R. Schafroth, Phys. Rev., vol. 96, p. 1442, 1954.

193. C.P. Enz, A. Course on Many-Body Theory Applied to Solid-State

194. Physics, World Scientific, Singapore, 1992.»

195. N. Andrenacci et ah, Phys. Rev., vol. B60, p. 12410, 1999.

196. M. Marini, F. Pistolesi and G.C. Strinati, Eur. J. Phys., vol. Bl, p. 151, 1998;

197. E. Babaev, Phys. Rev., vol. B59, p. 12089, 1999.

198. B. Kerbikov, Phys. Atom. Nucl., vol. 68, p. 890, 2005.

199. R. Haussmann, Z. Phys., vol. b91, p. 291, 1993;

200. Meera M. Parish et al., Phys. Rev., vol. B71, p. 064513, 2005; V.M. Loktev, R.M. Quick and S.G. Sharapov, Phys. Rept., vol. 349, p. 1, 2001.

201. M. Cristoforetti et. al., Phys. Rev., vol. D71, p. 114010, 2005.

202. T. Schafer, Nucl. Phys., vol. A642, p. 45c, 1998.

203. H. Abuki, T. Hatsuda and K. Itakura, Phys. Rev., vol. D65, p. 074014, 2002.

204. G. Ortiz and J. Dukelsky, Phys. Rev., vol. A72, p. 043611, 2005.

205. Qijin Chen et al., Phys. Repts., vol. 412, p. 1, 2005.

206. A. Larkin and A. Varlamov, in: The physics of Conventional and Unconventional Superconductors. Eds. K.H. Bennermann, J.B. Ketterson, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2001.

207. I. Giannakis and Hai-cang Ren, Phys. Rev., vol. D65, p. 054017, 2002.

208. A.S. Patashinski and V.L. Pokrovski, The Fluctuation Theory of Phase Transitions, "Nauka Moscow, 1982.

209. Yu.A. Simonov, Phys. Usp., vol. 39, p. 313, 1997.

210. N.G. VanKampen, Phys. Repts., vol. 24, p. 171, 1976); Physika, vol. 74, pp. 215-239, 1974.

211. V.N. Popov, Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics, Reidel, Doorrrecht, 1983.

212. L.P. Gorkov, Zh. Exp. Teor. Fiz., vol. 36, p. 1918, 1959.

213. S.P. Klevansky and R.H. Lemmer, Phys. Rev., vol. D35, p. 2866, 1987.

214. B.I. Halperin, T.C. Lubensky and Shang-Keng Ma, Phys. Rev. Lett., vol. 32, p. 292, 1974.

215. T. Matsuura, K. Iida, T. Hatsuda and G. Baym, Phys. Rev., vol. D69, p. 074012, 2004.

216. I. Giannakis, D. Hou, H-c Ren and D. Rischke, Phys. Rev. Lett., vol. 93, p. 232301, 2004.

217. F.V. Gubarev and V.I. Zakharov, Phys. Lett., vol. B501, p. 28, 2001.

218. F.V. Gubarev, L. Stodolsky and V.L Zakharov, Phys. Rev. Lett., vol. 86, p. 2220, 2001.

219. M.A.L. Capri et al, Phys. Rev., vol. D73, p. 014001, 2006.

220. D.H. Rischke, Phys. Rev., vol. D62, p. 034007, 2000.

221. B.Kerbikov, Talk at the INT Program 04-1, http:// www.int.washington.edu/talks.

222. M.V. Sadovskii, Phys. Repts., vol. 282, p. 225, 1997.

223. A.F. Ioffe and A.R. Regel, Progr. Semiconductors, vol. 4, p. 237, 1960.

224. Yu.A. Simonov, Nucl. Phys., vol. B307, p. 512, 1988.

225. D.I. Diakonov and V.Yu. Petrov, Nucl. Phys., vol. B245, p. 259, 1984.

226. B. Kerbikov, E.V. Luschevskaya, Phys. Atom. Nucl., vol.71, pp. 257260, 2008.

227. D. Blaschke and D. Sedrakian, arXiv: nucl-th/0006038.

228. E.V. Shuryak, arXiv: nucl-th/0606046.

229. Y. Nishida and H.Abuki, Phys. Rev., vol. D72, p. 096004, 2005.

230. N. Itoh, Prog. Theor. Phys., vol. 44, p. 291, 1970.