Непрерывные решения эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами и краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ '-{АЗАХСТАН Институт теоретической и прикладной математики

На правах рукописи

тунгатаров алиаскар

/7

НЕПРЕРЫВНЫЕ ИШШ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА

плоскости с сингулярным коэзддошмп и

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

01.01.02 - Дифференциальиые уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-иатематическич наук

Алматы, 1993

Работа выполнена в ¡'нетитуте теоретической и прикладной математики HAH Республики Казахстан.

Научны? консультант - член-корреспондент HAH Республики

¡Сааахстан, доктор физико-математических наук, профессор Елиев Н.К.

Ведущая организация - Новосибирски? Государственный Университет

Официальные оппоненты - академик АН Республики Тадшжстан,

доктор физико-математических наук, профессор Усыанов З.Д.

доктор физико-математических наук, профессор Януаауекас А.И.

доктор физико-математических наук, профессор Апдашеь С,А.

Защита состоится " № " ^^Ü^f3) 199%.

в часов на заседании специализированного совета Д 53.04.01 d Институте теоретической и прикладной математики HAH Республики Казахстан по одросу: 480021, г. Алматн, 21, ул. Пушкина, 125.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической н прикладной математики HAH Республики Казахстан.

Г-

Автореферат разослан "Ы-" 1993 г.

Учений секретарь

специализированного совета JJ^_____ йулажетова А.Т.

кандидат фюико-ютематшескях наук

ОБЩАЯ XAPAKTEFUCmiiA Р/БОГН

Актуальность теми. Лшзйныо эллиптические уравнения и системы с непрерывными коэффициентами подробно изучены в работах Г.."!иро, Ю.Шаудера, К.О.Фридрихса, Г.ЕоПля, С.Г.Михлина, М.И.Випика, O.A. Ладшонокой, С.Агмона, А.Даглиса, Л.Ниренберга, В.А.Солонникова и др. В процессе исследопаиил нелинейных задач возникала необходимость изучения краем« задач и дифференциальных свойств решений линейных уравнений н систем с разрывными коэффициентами. Анализу этих вопросов для сдучал двух независиг;ых переменных посвящэны работы С.В.Иорри, Л.Борса, Л.Ниренберга, И.Н.Векуа, М.А.Даврен-тьепа, Б.В.Боярского и др. Их довольно содержательные результаты получены с поморья теории квазиконформных отображения и теории обобщенных аналитических функций. Основы теории обобщенных аналитических функций были заложены И.Н.Векуа в 1952 г. Несколько другой подход к теории обобщенных аналитических функции представлен в работах Л.Борса. Теория обобщенных аналитических функции имеет глубокие связи со ьзюгими разделами анализа, геометрии и механики* Аналитический аппарат этой теории позволил значительно расширить и углубить исследования геометрических и механических задач, воз-никакцих при изучении бесконечно малых изгибаний поверхностей положительное кривизны и состояния безмоментного напряженного равновесия выпуклых оболочек. Теория обобщенных аналитических функции получила дальнейсез развитие и напяа многочисленные приложения я работах И.Н.Векуа, Б.Боярского, B.C.Виноградова, И.И.Данилкжа, А.Даураева, Н.К.Блиева и др. С точки зрения приложения (теории босхоночно нэлих изгибании поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения, квазиконформна отображений, безмоментная теория оболочек, осоошмотрическая теория упругости, гидро и газодинамики, квантовая механика я т.д.) представляет большой интерес исследования эллиптических систеы на плоскости, когда коэффициенты имеет особенности п отдельных точках или на целых линиях. Таким системам уравнений поевтцеки ряд работ А.В.Бицадзе, А.И.Янупдускаса, Л.Г.Нихайлова, З.Д.Усманова, С.А.Терсенопа, Н.Радгабова и их учеников. В частности, в теории бесконечно палых изгибании поверхностей положительной кривизны с точкой уплоцения возникает необходимость доказательства существования и изучения сэойстз непрерывных реезний эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами.

Целью работы являются построение аналитического аппарата для изучения непрерывных решений эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами и краевых задач для них, исследование вопросов разрешимости,, свойств непрерывных решений указанных систем и краевых задач, применение полученных результатов к изучении задачи бесконечно малых изгибании поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения общей структуры»

Методика исследования. Б диссертации используются методы теории интегральных уравнений, функционального анализа и теории функций комплексного переменного.

Научная новизна. Б диссертации подучены следующие основные результаты:

I. Построены в явном виде многообразия непрерывных решений уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой.

2„ Репена в классе непрерывных функций задача Римана-Гильберта с начальным условием для уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой.

3. Подучены достаточные условия существования непрерывных по Гельдеру решений эллиптических систем на плоскости с сингулярными точками и задачи Ришна-Глльберта для них.

4. Построены непрерывные в области с разрезом решения уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой через заданные голоморфные функций.

5. Получены достаточные условия существования непрерывных решений уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой через заданные голоморфные функций и при выполнении этих условий построены указанные решения,

б» Получены интегральные представления непрерывных по Гельдеру решений эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами.

7» Построена теория непрерывных решений модельной системы эллиптических уравнений на плоскости с сингулярной точкой. В частности, получены обобщенные формулы Коши, аналоги форьсулы Сохоцкого--Племеля, разложения решений в ряды Тейлора и Лорана» доказаны теоремы единственности и Лиувилля, решены задачи сопряжения» Дирихле м построено непрерывное по Гельдеру решение сингулярного интегрального уравнения типа Кошм.

в. Построен аналитический аппарат и разработана методика для изучения разрешимости, свойств и построения непрерывных решений

эллиптических систем на плоскости с сингулярными -.очками. Для исследования этих систем введены новые интегральные >ператорн, изучены их свойства.

9. Некоторые результаты диссертации применены к режению задачи о бесконечно малых изгибаниях поверхностей положительной кривизны с общей структурой в точке уплощения. Выявлено семеРство поверхностей положительной кривизны с общей структурой в точке уплоце-ния, локально жестких а пространстве бесконечно дифференцируемых функций.

Теоретическая 1И практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, ео результаты могут служить для дальнейшего развития теории обобщенных эчалитических функции и теории эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами. Методика исследования и результаты работы могут быть использован« для изучения эллиптических систем на плоскости с сингулярная коэффициентами, в теории бесконечно «алых изгибании поверхностей положите:ь-ной кривизны с точкой уплощения и в теории выпуклых оболочек.

Апробация работа. Результаты диссертации докладывались на сьми-нярах академиков АН России В.С.Владимирова, В.П.Ильина, члена-корр. АН России А.В.Бицадэе, профессоров В.П.Михайлова, А.К.Г^яи-на, А.А.Деэина (МИ РАН), Э.Г.Позняка и доц. И.Х.Сабитова (МГУ), проф. З.Н.Врагова (НГУ>, академинов АН Республики Таджикстан З.Д. Романова и Л.Г.Мкхайлова (ИМ с ВЦ.АН Респ. Таджикстан^, академика HAH Республики Казахстан В.И.Аыербавва (ИТ и ПМ HAH Респ. Казахстан), членов-корр. HAH Республики Казахстан НД.Блиева, М.О.Отел-басва, Т.Ш.Кальменова и К.А.Касыиова (ИТ и ПМ HAH Респ. Казахстан, КаэПУ), профессоров Д.У.Уыбетжанова, С.НЛарина (ИТ и ПМ HAH Респ. Казахстан), на 8-« к 9-м Республиканских ыеивузосских конференциях по математике и механике (Алматы, 4-26 сент., 1984; 1215 сент., 1989), на Всоссвзном семинаре по аналитическим методам исследования пллиптических уравнений (5-8 ипяя, 1984, г. Уфа, Уфимский авиац. институт, ИМ 00 АН СССР, рук. А.И.Яцупаускас), на Всесоюзном семинаре молодых ученых "Актуальные вопросы комплексного анализа" (16-23 сент., 1985, г. Ташкент).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора I - 23.

Структура диссертации. Диссертация объемом 201 сор. машинопис-

ного текста состоит из введения, вести глав и списка литературы. Библиография содержит 112 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дан краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации и приведены основные результаты диссертации. Первая гласа посвящена исследованию уравнения

(I)

где МЫ ,Мгг);Р(*) Ц(о) ) .

Здесь - "ограниченная область комплексной плоскости точек ■& я = ХгО!*^ с .границей Сй. С*-1'1' > 0< <> 1, содержащая внутри точку Е =. О . Пусть - класс измеримых и существенно ограниченных в $ функций £(с) с нормой Ц £//_. = Эи^-У-£.«<•* }£(£)) ,

МОу - класс Функций , лредставимых в в виде о

- /а!"*". (ъ) I где 9 (О" « У - действительное число. Норма в' определяется по формуле Ч^И^ ^а II £,>(&) ¡1 £ (ау

Предполагается, что существует некоторая окрестность точки Ъ—О : = (?„С С| , в которой Ш , ,

Р(&) 6. $ (О ) и справедливо неравенство

где М - Sw-P ' и )) - . Имеет место неравенство

Р IWI

j^l • Уравнение (I) возникает в теории бесконечно

малых изгибании поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения, где требуется доказательство существования непрерывных решений уравнения. В главе I доказывается существование решений уравнения (I) в классе

Здесь - пространство С.Л.Соболева, Как следует из теоремы

влояения АЛ^ (^^^(й) , Л= 1- . В 5 I при условии (2) найдены решения из класса

уравнения (I) п виде

W(г)-TrC> tг■ф[г)) , (5)

гдо ф (*)С V, (*) - (Тс *) (*) - (тс*) 10)

$ 3-1~ , 1/(4)- решение из класса

7 с

• о<р<.± уравнения

&в (6)

с

Здесь (&) - класс голоморфных в О- функций. С помощью форцу-пи (5) построено интегральное представление 2 го рода решения уравнения (I) из класса (4), В § 2 изучены свойства непрерывных ■ресекий уравнения (I) при О в о1фесгности сингулярной точ-

ки. Рестенил отыскивается а классе

л Ъ^Со.)(?)

гдо - целое число. При выполнении условия (2) найдены решения

из класса (7) уравнения (I) при F(ï)S.O по формуле:

VrCaj-a^T^*)*^1 е., се)

где Ф(2ь)6 Vc L<ja) , - решение из уравнения

- -Ас*)- (Л^ш*) + +e"cf ь в*(г) = Vîс-^*f>• вfe).

Из формулы (8) вытекает

Следствие I.I. Для любого целого числа К70 существует решение уравнения (I) при P(b) = О , имеющее в точке S» О нуль кратности & .

Пусть J^fë") = А fr) • * • m î ** Фя ^ , ес-

ли и + » если fib)30« Как извест-

но из теории обобщенных аналитических функций, любое решение уравнения (I) при Pli) 2 О предетавимо в виде

"Wte) а е^ О)

где § (t) <i (0о) , 00 (г) =-Т&о ( W . С помощью

этой формулы доказывается

Теорема 1.3. Пусть W/2) - решение из класса (7) уравнения (I) при р fi) = О . Тогда оно представимо в виде (9), где

Следствие 1.2. Если непрерывное в Qc решение ~W(ë) уравнения (I) при ТШО имеет цуль бесконечного порядка в точке 2 = 0, то WÎè)5 0 в С0 .

В § 3 решена задача Римана-Гильберта с начальным условием для

уравнения (I). Цуст^ » > о ; р= i-V+cvj, если CVJ^Vh o<p<i, если СМ 7 в у ;

, f _)

Г Co

Предполагается, что Л Ш, 6fe)S S(G») , FC«0* S^Cg,) и Задача : Найти решение уравнения (I) из класса

, ¿«frtljp, 0<{<L > Удовлетворяющее услсзиям:

WW-Oftei'),

(U C-t-^WitO-gft^ (Ш

где . , - целое число, "t е С© •

При Ц-М.р.'-! и ft^CQ построено решение задачи R - С-9 v. доказана

Теорема 1.4. При К ?CVJ неоднородная задача всегда ра-

зрешима, а соответствующая однородная задача имеет ¿(n-C\ij)-i линейно независимых решений над полем вещественных чисел. . При наедены достаточные условия разрешимости задачи

R. - С° • решения задачи при выполнении этих условии и доказана

Теорема 1.5. При для разрешимости задачи R.-Q0 дос-

таточно выполнения 2 (£>>Э-и.) +1 условий. В § 4 доказана

•Лемма I.I. Любое решение из класса (3) уравнения (I) при Ff г) э. 3 0 представимо в веде (9), где $>(ъ) бЦ,(с) П &m(Ge>

*>(*) =-(TGW*)£*>. '

j w=рс i (о ■- ?с f (о), pQ fit) =т0 /мЩ

{i : Ш = € к; К^К^Ы^Ю), 5fr".

В § 4 также построено решение уравнения (I) из класса (3) в виде

* Г > если .

= - 1 _ (13)

^Х^) ' если Ь^Сд, » с^-й-й. С (с,) А сЧго) и -

I- » решения уравнений

* (14)

Т° + ,аей «б)

Здесь Л С* (б) , «1=1-2/^,17(с)- решение из

Уравнения (6), где АДГ(£) • ДаЛее в этом параг-

рафе доказаны 0

Лемма 1.2. Для любых решений С Л С^(Г0) и

) ' о-4-^! УРавнений <14> и (15) имеет

место равенство (в € Г0 .

Теорема 1.6. Пусть ¿/^р^-рУ^}. Тогда уравнение

(I) имеет решения в классе функций (3). Эти решения могут быть найдены по формуле (13), где\У"(£) ^(п) решения уравнений (14), (15) соответственно из классов С(С? )/1 С Ц*0) и

В § 5 исследована задача Римана-Гильберта для уравнения (I). Пусть £=•{>•• |2|<15 , Г= К1-1} .

Задача & - (£ : Найти решение уравнения (I) из класса (3), удовлетворяющее граничному условию (II), где К. - целое число,

§&)еС ЧГ), Л*. и

В этом параграфе построены эквивалентные задаче & - О системы интегральных уравнений, получены достаточные условия разрешимости задачи при не положительном индексе и доказано

Теорема (1.7 - 1.9). При ¡1-7О неоднородная задача Я - С* всегда разрешима, а соответствующая однородная задача имеет 2.Н.-1 линейно независимых решений над полем вещественных чисел. При

для разрешимости задачи ¡^ - (з достаточно выполнения + 1 условий.

Изучение бесконечно малых изгибании поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения общей структуры приводит к необходимости доказательства существования непрерывных решений уравнения

^Лу - = о * £ е, (16)

где В12)£ССа-0); Ъ^

ах-ырсг*), Ш) е С С• Здесь С ~ кР*г

с центром в начале координат. В главе II построены явные виды непрерывных решений уравнения (16) при Ъ{.Ъ) ~ Т.1^?), гдо

¿(\42jr) бССО^НГ] , )?0 . При этом на

коэффициент уравнения не налагаются так называемые условия мал. (например, выполнения неравенств (2) я /'

■П' <1 ). Пусть

= 5 т € с!и> у9 с?) т € т т ¿г о--^;

о * О 11С"1* >

д1°)=Vм> е

В 5 1 получено тоэдоство (?) ) -1 .С помо-

у 1«

цью этого товдества доказывается, что уравнение

имеет в каадом отрезке , (1С^ о - целое) репенле и для уравнения

(17)

ед А ¿1

доказана

Теорема 2.1. Уравнение (17) имеют решение в виде V?) ~ = "3 класса (а. Любые та-

- 12 -

кие решения находятся по формулам

если ^tVl-A. (.V>=° .

. если

где \ - решение уравнения (MCfi)-^ÄtS))- 1 из от-

резка ; - произвольное комплексное число.

Пусть Q0 - область G с разрезом вдоль положительной подуоси

• i*io="HCCVJO • С1^"класс ций, допускающих в Q непреривнуп производную по 2 . В § 2 через голоморфные в G функций построены многообразия решений из класса C(Ce)n CS(G-о) П W^fo) , lcfca , уравнения (16) при

ß(fc) = ¿WjttVft'J • В-5 3 найдены достаточные условия существования решений из класса С (С ) Л V/p4(G) Л С- (С - oj этого уравнения и при этих условиях построены явные виды решений из указанного класса. Глава III посвящена исследовании уравнения

\W + A + W= Fte) > ъе G, (18)

n п

j-t ' м

с у

(J - ограниченная область комплексной плоскости точек

с границей Г € С , о 1 и содержащая внутри точки

(¡=Г^ ). Цусть O^fi + i (J = d. м ), а= мл/ {?.) t

/ ) lsj&m. '

S j У) _ КЛасс функций , представимых в О в виде

— У'

• , где • Норм' в S(q г^г)

определяется по формуле .¡г

115-11,, = II . Пусть £.70 0=170.

Предполагается, что существуют некоторые окрестности ^ =

и-} ) соответственно точек 2 в котор!« > и справе-

дливы оценки

1

■ ft^Ate/"6''1'^/<j*V4 1191

Здесь /) (ц» ¡1-а;М(гО, í^íi) » ¡i-iil-í(¿Jj

* ZeGj r Oj IS-Zjl • |b-2r/

В главе III доказывается существование решений уравнения (18) в классе

С) А Л S Со,, , Р.-О > < А/> (20)

Пусть ¿ одно из чисел I, 2, и в (3^ имеет место оценка

(19). В § I найдены решения из класса

l<l<X/f, (21)

уравнения (18):

Wít)=T¿V(b) +

где f )(*) ~

, - решение из } а.) уравнения

- Ы- ( л? + р С- с суг^ Сь- *;))

(22)

Г я ехр Сс^ £ь- 4.)). ( 7 (V

> ^

В § 2 построено интегральное представление 2 го рода для решений уравнения (18) из класса (21) и доказана

Леша 3.1. Любое решение из класса (20) уравнения (18) при

представимо в взде (9), где ф^еЦ, (Сг) Л

Л Д Б> * /у!^*), « Ы) =-

Кг Далее в § 2

построено решение уравнения (18) из класса (20) в виде

, если гес^- (23)

, если "сей^ , где б,,-(У О- , С^О-^ , а СЛЦ)

м

и

______ (»и 1

и П С (г,)* решения

уравнений

с! ¿ = 1 <}

т. и*

Здесь (/(г) - решение из класса БбЗ.-.^.Р.) уравнения (22), где

а (г)- П

функция из класса Цо(0') Л с/Чй) < <>- = . удовлетворяющая

условиям = 0 (¿ = 1^. ). В § 2 такхе доказаны

Лемма 3.2. Для любых решений £ С(Д-) Л СЧП) (^¿/^ )

и Л^) • 0<<1<1 Уравнений (24), (25)

тлеют место равенства М , £ 6 ^ и3*»"1).

Теорема 3.2. Пусть р. < {и/М-, А ) ^ = Тогда

уравнение (18) имеет решения о классе функций (20). Эти решения

могут быть найдены по формуле (23), где (■'£') ) и

J

решения уравнений (24) и (25) соответственно мэ классоо

с(а.)лсЧг-) а=у;)иС(сОпП с {г;) ,1-¿/г.

«I 4 ^

В § 3 исследована задача Римана-Гильбергз для уравнения (18).

Пусть С = и Г= 1*1-1} , £¿<.1 = ^ ).

. Задача ^ - С : Найти решение уравнения (18) из класса (20), удовлетворяющее граничному условию (II), где к.- целое число,

СХ(Г), , Г.

В этом параграфе построены эквивалентные задаче £ - О системы интегральных уравнений и некоторые однородные интегральные уравнения. При условии, когда эти уравнения имеют только тривиальные решения в (20), доказана

Теорема (3.3 и 3.4). При т ¿и. неоднородная задача й. - О разрешима, а соответствующая однородная задача имеет JLn.-2.m-ii линейно независимых решений над полем вещественных чисел. При П<м$ я.к для разрепимости задачи К,-С достаточно выполнения

3 и А. 1

С условий, а соответствующая однородная задача не имеет

не тривиального решения.

Предметом изучения главы 1У является уравнение

Э- V/"- Р -I А (ь) -V/ +• & (*) = РСгг) с (26)

где

Здесь (3 - ограниченная область комплексной плоскости Е с границей С^.С1'^' , о<Л< 1 , содержащая внутри точку 2 = 0 . В работе З.Д.Усманова использован гомеоморфизм А^й) = ъ |-£1в, е -=■ ■= /(-¡.-р) уравнения (26) при >4 Сь) а & (ъ)з = 0 для построения сопряженно изометрической системы координат в окрестности

точки уплощения поверхности положительной кривизны. Уравнение (26)

е

подстановкой ыоено привести к уравнению Карлемана-Векуа

с сингулярной точкой. Но в этом случае может происходить уменьшение степени гладкости коэффициентов и свободного члена уравнения (в диссертации приведен пример). При р>~о уравнение (26) становится уравнением Карлемана-Векуа, полная теория которого построена И.Н.Векуа. Основу этой теории составляет соотношения, связанные с операторами и ( П^ ) (.2-) =

= -' посРеДством которых исследования реду-

<3

цируются к аналитическим функциям одного комплексного переменного. Из работ Б.Боярского следует, что уравнение (26) разрешимо в клас-

06 ' & > ^ € - достаточно малое положит-

ельное число, удовлетворяющее неравенству • Здесь

Лг - норма сингулярного оператора в , точное

значение которой неизвестно. Результаты главы 1У используется в главе У для исследования эллиптической системы на плоскости с сингулярной точкой. Решения уравнения (26) мы будем искать в классе

> /(рр+ь-р) . Для исследования уравне-

ния мы используем операторы вида

(ТМг) „ = Ч/и-г>

0 в '

- 17 -

£> л \ / . -12:1* (Г ЯОо/С-

С помощью операторов (Т^ и (П ^ -{■)уравнение (26)

приводится к интегральному уравнению типа Фредгольма, устанавливается связь меоду решениями из класса (С?) уравнения (26) и функциями ф , аналитическими в О' по 2Нг|э , исследуется

задача Римана-Гильберта. В § I изучается необходимые для исследования уравнения (26) свойства операторов (Т^^)^) и (Л-^)^^ в частности, доказаны ниже приведенные теореш и легаш. Всюду в дальнейшем через Б обозначим число, удовлетворяющее условию: ■ 5 = £ , если и ■ , если ро , а

через/1 - различные постоянные, зависящие только от £2 , £ и р , ■ точные значения которых нас не интересуют.

Теорема 4.2. Если ^(г)бАДГ^ССг) » $-72» то имеет место следующее интегральное представление для £ (а) :

_+ (±Ш£— +

ги-ртс ¡12М& /

Леша 4.2. Если (а) , с^уь , то ([} ?£)(*)£ С^С) >

причем

Теорема 4.3. Если , , то (Т^ ] 60

íWsi Со) • пр>,чем

и следовательно,^ (Т^О) ~ '

Леша 4.3. Если £ "^(Ст) , § в С* , то в

Q фикция ^(ъ) гредставиме в виде 4? ) , где

(с')> О' ~ образ области С1 при отображении ¿'=

Теорема 4,4. Если существуют в О обобщенные производные по £ и £ функции в смысле С.Л.Соболеза и

, ТО = . где

<р(г.')еив(а') , ¿'-ад0.

В § 2 с помощь» результатов § I исследуется уравнение (26). Уравнение (26) оператором (.Т^ •£•) (%) приводится к уравнению

Ы) « (т/р; О, (27)

где С?<?£)(&) = + Со6

£ С/0 (с') с 12:1° , выведена формула

Л, - _(М)

и доказана

Таореыа 4.6. Любое решение уравнения (26) из класса удовлетворяет интегральному уравнению (27), причем голоморфная в функция однозначно определяется по формуле (28) через

заданное решение уравнения (26). И обратно, если при некот-

орой голоморфной в функции интегральное уравнение (27)

имеет своим решением функции \?/[-2=) из С ((»^ , то она принадле-яит классу й) и /.„ (б) , » а такяе будет

- 19 -

удовлетворять почти гзозде в £ уравнении (26).

Лемма 4.5. Пусть V/- решение из уравнения .(26) при

Р (г-) = О . Тогда представило в в аде \V~ia)

= Ф(4|а|')-е.хри}(*) , , где = 6

^ С.(£); ф(а') .

Георема 4.7. Уравнение (26) разрешимо в классе

В § 3 исследуется задача Римана-Гильберта для уравнений (26) при Л(гО= О и С = { г : < I 3 •

Задача £-<3 . Найти рекение уравнения (26) из класса \Д^4(о) > Удовлетворяющее граничному .условию (II), где п. - целее число, £ (*) £ С' (Г), О <£ л) <. 1 Г =

Построены эквивалентные задаче $.-£} интегральные уравнения, подучены достаточные условия разрешимости задачи' при отрицательном индексе и доказана

Теорема 4.9, При и.7/0 неоднородная задача Ц - (} всегда рэзре-штга, а соответствующая однородная задача имеет ¿п + Л линейно независимых решений над1 полем вещественных чисел. При и<0 для разрешимости задачи необходимо и достаточно выполнения Л|к\-1 условий.

Глава У посвящена исследованию уравнения

ъ¡У- - РФ (29)

¿. '¿с: > ->

где ; ё ¿<^(с) причем Нъ) удовлет-

зоряет в точке 2=0 условию Гельдора с показателем о<г<± и О • Здссь (3 - многосвязная область плоскости £ , ограниченная конечным числом простых замкнутых контуров Г и содержащая внутри точку г = 0. Уравнение (29) при £ О использова-

но в работах З.Д.Усманова при построении сопряп-сшго изометрической системы координат в окрестности точки уплощения поверхности положительной кривизны, а при О описывает бесконечно

малые наги батя поверхностей положительной кривизны с точкой уп-

- 20 -

лощения. Решения уравнения (29) будем искать в классе

^(с^л^Чс-О, (зо)

где 2.<.£<<),1<?<

+ • 0.0 ~ некоторая достаточно

малая окрестность точки С , такая, что О, С О . Если Р > , то Р и поэтому р<ь<<^, . В силу теоремы

влохения 6.С*1' ^0) » ^- 1-2,/р. В главе У получено интег-

ральное уравнение, посредством которого установлена связь мевду решениями из , Р>Ъ уравнения (Я9) и уравнения вида

-Э_у-в|-ЪУ-Шу^о (31)

г г г ¿г. '

а также доказана разрешимость уравнения (29) в классе (30). В § I - § 3 изучены свойства репений модельного по отношении к (29) уравнения

= , (32)

€ £ £ %ъ > >

где - одаосвязная область плоскости Е , ограниченная гладким замкнутый контуром С0 и содержащая внутри точку £ = О ; о<-р<.

В 5 I доказывается, что если Ц, (О) » и решение уравнения (31) , р>2. , то уравнение (32) имеет решенио из того ко класса, которое имеет вид

"с '

где

Явные виды и приведены в § I. Они обладают

следующими свойствами.

Лемма 5.1. Функции Ч 1*1®-г и

, где

и(|*11Ы'\^ ,15М * " 1 , в = Ч/И--^

непрерывны по совокупности переменных Ъ и 3 в Е всюду за исключением 2-= 1=0 и 2-я $-со . Для фиксированного 5 (или 2 )»

в а

не равного нулю или бесконечности, и при 2=0 и а = (соответственно при У-0 и "5=оо ) имеют нуль порядка \)в=» IX 1/(1-р). Для обоснования формулы (33) доказана

Теорвлма 5.1. Цуоть £ (ь) 6 ¿^ (о0) и Р - числа, удов-

летворяющие условиям: д.-ср<а(1-+р)/С^*"

Тогда 1)[<э| £ )(ъ) » причем в а, имеет, место равенство . _

2) (S^-f )(й) 6 cHg ) , 1-л/Р И справедлива оценка

Go

. Х-

где ft. - максимальное расстояние от ¿-О до точек границы области G0 ; - постоянное.

Цусть С0 = -О: и Г„ = {-t 1 + 1-Л "¡j, где R. - чис-

ло такое, что Q^C. Q • Для дальнейшего исследования введены one-' раторы вида •

- я ^ ^ т

Сг„

Р/

J Ь T t P

f» f

Явныз б иди ядер SL. и Д. приведены в § I. Для них справедлива

«

Леша 5.3. 4ункций (*,j) и äjC^S)* ХД(и-р) . £vu (l-

_ Щ- изпрерышц в G0 по совокупности переменных , 3 .

В § I такие доказаны ,

Тооре&ш (5.3, 5.4). Пусть ¡ffe) * , и дфсС (Г.),

o<JL<i . Тогда функций , (jC^)te) и (К?5)(г)

решекмши уравконкл (31) из масса V/pl(<?.) , ¿<r<nuln.{l/(i-

Деим 5.4. Цуоть , с^а м £ сЧГ.) • •

Тогда при e-€iCr<, iü3Bt часто равенства ( К*( ífr)) (i) -

. (К°(-С^у . где

В 5 2 подучена обобщенная форцула Кош для решений из класса Cfc) nw^tc.), (34)

уравнения (32):

при 2: £ & О при 2:^" (5 +;

при 2: £ &

(35)

О при о + г

Здесь (5 - м-югосЕязная область плоскости'£ , ограниченная конечным числом простых замкнутых контуров Р и содержащая внутри точку 2 —- О , а с!ЛГ- внутренний угол контура в точке £ . В

§ 3 с помощью формулы (35) доказаны теоремы единственности и Лиу-вилля для непрерывных решений уравнения (31) и рассмотрен интеграл типа Ксши

и

где с^ (Д) < • Интеграл (36) определяет две само-

стоятельные функций и Ч'Щ соответственно в областях

Са и Е • Доказывается, что кападая из них является решением уравнения (31), причем С ((Т9) Л"\Л£1(бв)Л

Л о), а УС*) е с(с-) п 0 с/ Гс=) ±</><*

- иг = ' .

и.У" = О • Здесь С- - класс функции ¿ф , для ко-

£

Р г /_■

торых ""З- * С С СО) • Далее, выведен аналог известных фор-чул Сохоцкого-Племеля

- УЫ - ¿г - Щ&лв*

Гл

и доказаны

Теорема 5.7. Задача нахождения кусочно-непрерывного решения уравнения (31), исчезающего на бесконечности по условию У"+(-0-

= Со-• г*е аюес«Чгв), «»<¿.<4,

имеет единственное решение, определяемое по формуле (36).

Теорема 5.8. Для того, чтобы $ ("У была граничным зна-

чением функций , Б С. О о > являющейся решением уравнения

(31) из класса ССй«,) ЛП С5 • необходимо и

Р ^

достаточно выполнения условия

£с7 - -у-^о/? = о, *€<г

Также формулируется утверждение для того случая, когда функция

д ({•) , заданная на [а , продолжается в области О" функцией,

являющейся решением уравнения (31) (теорема 5.9). В § 3 также ■рассмотрено интегральное уравнение

I (&*(*. __

(37>

^ о

где Г0 , ^ (£) - искомая, а заданная функции, удовлет-

воряющие условию Гелвдера и доказана

Теорема 5.10. Уравнение (37) имеет единственное решение, определяемое по форцуле

В § 4 уравнение (29) в Сг0 приводится к интегральному уравнению относительно :

А^ь (Рс> ж) сщ = С Р) (иг) * уф ,»«е.,

(38)

- 25 -

> У(1)- решение уравнения (31) из класса \А/р1(С0). Далее установлена форь^ла

о + -ь

Го

21Г(1-РК £ * ' <39)

и доказаны

Теорема 5.11. Любое решение уравнения (29) из ^ (О„) удовлетворяет интегральному уравнению (38), причем соответствующее решение уравнения (31) из ^ ( Со) однозначно определяется формулой (39) через заданное решение уравнения (29). И обратно, если при некотором решении С0) уравнения (31) интеграль-

ное уравнение (38) имеет решение из С((Г„) » т0 оно принадлежит классу ^(б.) и будет удовлетворять почти везде в уравнению (29).

Теорема 5.12. Существует некоторая достаточно малая окрестность нуля С0 , в которой всегда существует решение уравнения (29) из класса ^/^(йо).

В § 4 также построено решение уравнения (29) из класса (30) в виде (13), где'У^б*) и \А/"0- решения соответственно из классов С.(СУ « С(С-а„) уравнений

ч м- с? >А иу (*) = С ) (*) - (к'V.) (*) -

ф - (ТЧ<х Ч )) Га-/= (Т'' Р) N- (К'(* 1*Г/0+

1 > -» (41)

где ^О^!8") £ ССС ^Сь^еидсО ,

(Р (*) - (Т^) (»)= (т/^*) Ц

Далее приведено уравнение

= . (42)

и доказаны

Леша 5.6, Для любых решений € С (ов3 Л С^СГ, ) и

ее (с-с.) С\ СХ(Р.)« о<х«.1 • системы уравнений (40) и (41) имеет место равенство (-е) = ("О , £ £ Го •

Лемма 5.7. Любое решение уравнения (29) из удовлетво-

ряет уравнению (42). И обратно, любое ропение уравнения (42) из а&,)ЛСЧГ.) • о«. 1 , принадлежит классу С,,) и почти везде в С-„ удовлетворяет уравнению (29).

Теорема 5.13. Система уравнений (40), (41) всегда имеет ресэикя ^/^(Л) и У^(г-) соответственно из классов С(С.) и С

Используя лемцу 5.6, теореиы 5.II - 5.13 и 4.6, приходим к выводу, что уравнений (29) всегда имеет решение из класса (30). Эти

решения находятся по форадле (13), где и (ъ) - ресония

системы (40), (41) соответственно из классов С(&в)Л 11

СС5-&.)П С"Чг.).

В главо У1 применяется некоторые результаты главы I к исследованию бесконечно малых изгибании поворхностеП положительной кривизны с точкой уплощения. Речь идет о положительное?;) кривизны во!фуг точки уплощения, поскольку в сомой точке гоуссова кривизна равна нулю. Изучение влияния точки уплоцения но деформацию поверхностей берет своо начало с работ Н.В.Ефимова. Он доказал существование аналитических поверхностей с точкой уплощения, но допускающих непрерывных изгибании даг.о сколь угодно малой окрестности

этой точки (изгибания рассматриваются в классе аналитических функций). В роботах З.Д.Усманова не требуется йналитичность поверхности и се деформации, но при этом исследование ограничено рассмотрением поверхностей специального вида. Основное внимание З.Д. Усманопкм уделено исследованию разрешимости задачи о бесконечно малых изгибаниях поверхности, подчиненных краевому условию

<Г|<& ♦ [А СЬ) = , (43)

где Л< и &- соответственно вариации нормальной кривизны и

геодезического кручения края; ~ заданные функ-

ция длины дуги граничной кривой. З.Д.Усмановым доказано, что наличие точки уплощения рассматриваемой поверхности повышает сопротивляемость ее бесконечно малым изгибаниям, усиливает её пест-кость. В гласе У1, опираясь на результаты главы I, мы изучаем бесконечно малые изгибания поверхностей положительной кривизны с более общей структурой в точке уплощения. А именно,' объектом' наших исследовании является поверхность $ , заданная в прямоугольной декартовой системе координат уравнением

2=- + Н , (44)

где к. 7 2, , = 'С'^рССч) , £(?) - бесконечно дифференцируе-

мая Х^ - периодическая функция, Н (Ь 3) - достаточно регулярная функция, для которой |{ Ь^) ~ ОСх"^) »'С.-уо > . а частные

производные I го и 2 го порядков имеют при нули соответст-

венно порядков и. а + о1 - % . Кроме того предполагается,

что поверхность з р- (о,о) имеет положительную гауссову» кривизну. Здесь Ю - некоторая окрестность точки (о,о). § I посвящен построении -сопряженно изометрической системы координат на 5 « В § 2 для описания бесконечно малых изгибании поверхности вводится комплекснозначная функция ^/Г-) , определяемая по формуле =Г (ъ) -(«ГМ +£ 1~ ) , где КС5)- гауссова кривизна, а

¿1 , т

- вариации коэффициентов второй квадратичной формы.

Здесь же доказывается, что интересующая нас геометрическая задача с краевым условием (43) приводит к решению граничной задачи

W = О , lal <R ■ (45)

2 121 ' •»

и с v(t>3 = Ut), iti = îj (46)

где b(i)«c(c-o) И = £ ê(f) + 0{\ьП о ,

g(f+L*)*tb)e ССо,лзr) > Г = £ , * = 23ГГЦИ-0 :

гт_,

: [ SàlB> - c/9 Ale)=Cn-t)(-C«-i)+ H

о £(•) '

ha. _ целое число; Сравнение (45) для поверхности S , заданной по фор»<уле (44), приведено в работе З.Д.Усыанова (7}ifftxt*.{io.t G-to-бви-aci. Ceti-ttx Pugf«:ca-<ipks. Waxiav/. J.9Î^.V. Ii. P. IVt-- J.?!^ но тдм не имеются вывод этого уравнения и естественные ограничения на искомую функцио W(a) . В 5 3 изучается влияние точки уплощения на деформацию исходной поверхности. Цусть к >/ 3 -фиксированное число, N* - конечное ынохество вещественных чисел »г ? г , которые вычисляются по форцуле ^

» A/» U A4 .

г«>

Следуя З.Д.Усманову, конкретную поверхность 5 отнесем к множеству поверхностей вида S » если . В б 3 для поверхности (44) рассматриваются изгибащие похя из классов регулярности Cf • Р Э . Устанавливается, что »то влечет за собой дошшительное ограничение на поведение искомой функции "W(e) в точке уплощения :

(47)

Цуоть S - поверхность S , уравнение которой (44) принадлежит классу с'(С) , Св {г: 1г l< R} . В 5 3 доказаны

Теорема 6.1. Поверхность вида $°° локально яоетка и классе Теорема 6.2. Цусть а - число такое, что 1 при А

Тогда а) при т > С любая поверхность вида допускает

Л (и. -С р]}-1 параметрическое семейство бесконечно малых изгибаний, удовлетворяющих краевое условии (43). б) при т. ^

СК« 3 поверхность вида Б, является жесткой, если её дефор-нации на край подчинена однородному условия (43) ( й(5)Н£? ) и имеет единственное бесконечно малое изгибание, если Ь (<>) ф О удовлетворяет Д ( С К „ + 1 вещественным условиям.

Из теоремы 5.2 следует, что повышение требования к гладкости изгибающего поля (т.о р->е«> ) привода? к возрастанию числа ограничений ( Кц ~~> с*3 ), налагаемых на существование бесконечно мао

лих изгибаний поверхностей вида . Итак в общих чертах влияние точки уплощения проявляется в том, что её наличие повышает сопротивляемость поверхности бзеконочно малым изгибаниям, усиливает её яееткасть.

В заключение автор вирадает глубокую благодарность члену-корр. Н/Н Росцублики Казахстан Н.К.Блиову за его нооценицуа помощь и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: I. Тунгатаров А. О непрерывных решениях уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой//ДАН СССР. 1991. Т. 319, !? 3. С. 570-573. 2» Тунгатаров А. К теории уравнения Карлемана-Вэкуа с сингулярной гочкой/УМатематический сборник. 1993. Т. 184, ДО 3. С. Ш-120.

3. Тунгатаров А. Об одном классе обобщенной системы Коии-Римана с .конечным числом сингулярных точек//Дифференц. уравнения. 1986. Т.22, № II. С.2014-2015. Дел. в ВИШПИ № 4152-85 от 13.06.85.

4. Тунгатаров А, 0 некоторых интегральных операторах в теории обобщенных аналитических функции//Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 2. С. 345-347.

5. Тунгатаров А. Об одном уравнении Карлемана-Векуа с сингулярной точкой//Дифференц. уравнения. 1989. Т.25, № 6. С. 1024-1028. .

6. Тунгатаров Л. Об одном клоссо эллиптических систем на плоскости с сингулярной точкой//Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26,

* 10. С. 1805-1816.

ч ф» г» »1г»л •»» л г\к лш»л1» лплллкл плаиплгти« илп^лтм шш »v пвтпигдч

1 с Л^уП! щи^и Л< ^((и^^ии 11 ^ Ч» Гк^и^^^иыиил и.»^* »• ч.-

уравнения Карлсмана-Бе1Суо о сингулярной точкой//Диффоренц. уравнения. 1992. Г. 28, Я 8. С. 1427 - 1434.

8. 1^нгагаров А. Об одной' классе уравнении ¿Сарлсманп-Векуа с полярной особенносгью//Сиб. матсм. журнал. 1990. Т. 31, № 5. С. 206. Дсп. в ВИНИТИ » 5668-Бед от 29.03.89.

9. фнгатаров А. Об одной выроядовцойся в точно эллиптической системе на плоскости//Из»естия АН КазССР, сср. фнз.-мат. 1984, У. 3. С. 84. Дсп. в ВШИ Р 934-84 от 16.02.84.

10. 'Сунгатаров А. Интегральное уравнение для одного класса эллиптической систсиы с сингулярной точкой//11звосгия АН КазССР, сер. физ.-мат., 1985, Р 5. С. 63-64. Дэп. в ВИНИТИ » 4181-85 от 14.06.85.

11. Т^унгптароп А. 0 свойствах одного интегрального оператора в классах суммируема функций/Л1зтстия АН КазССР, сор. физ.-мот., 1985, # 5. С. 58-62.

12. Тунгатаров А. Обобщенная форцупа Коим для одной эллиптической системы с сингулярной точкой/ТИзооотия АН КазССР, сер. физ,-мат., 1985, £ 5. С. 42-45.

13. Тунгатаров А. 0 применения некоторых интегральных операторов

в теория обобщенных аналитических функцнй/ЛЬвсстия АЧ КазССР, сср. физ.-иат., 1987, Р I. С. 51-51.

14. 1^нгаторов А. Задача Рииана-Гильберто для обобщенной сисгешы Коши-Римано с коиочнш числом сингулярных точок//Избсстил АН КаэССР, сер. физ.-ыа*., 1983, 5? I. С. 52-55.

15. З^нгатаров А. Об одной клессо уравнений Карлеыана-Вог^уа с с»и<-гулярной точксй//Иэвсстия /Л КоэССР, сор. фиэ.-сат., 1938,

Р 5. С. 53-60.

16. Тунгатаров А. 0 непрерывных росониях одного уравнения Карло-мана-Водуа о сингулярной точкой/ТИзбсстия АН КазССР, оор, физ.-иат., 1989, !? 3. С. 55-57.

17. Тунгатаров Л. 0 непрерывных решениях одного уравнения Карле-«аиа-Воцуа о полярной особе1Шостьо//Извостия АН ¡{азССР, оор. физ.-шт., 1989, РЗ. С. 88. Доп. в ВИНИТИ Р 6265-В88 от 4. 09.88.

18. Тунгатсров Л. Об одном классе непрерывных роионий уравнения Кпрлемано-Вокуа с сингулярной точкой/АЬвестня АН КазССР, сер. .физ.-иат., 1990, }? 5. С. 53-55.

19. Тунгатпров А. Задача Римэна-Гильберта для одной эллиптической системы на плоскости с сингулярной точкой//ИэЕестия All ¡{аз. ССР, сер. фнз.-нат., 1992, № I. С. 77-60.

20. Хунгатаров А. О существовании непрерывных решений уравнения Карлемана-Векуа с сингулярной точкой//Вастник АН Республики [Казахстан. IS92, V> 7. С. '15-50.

21. 1^нгатарол А. Об одной система уравнений эллиптического типа с сингулярной точкой/ Исследования по многомзрнпм эллиптическим системам уравнений в часишх производных. АН СССР, Снб. отделение. Новосибирск. 1986. С. 105-114.

22. фигатзров А. 0 граничите свойствах обобщенных аналитических фуняциП с иеподоиягоЛ особой точкой /Обобщеннее аналитические «дикция и их прг\-?ненгл. Кэрпганда, 1991. С. 22-28.

23. Тунгатароп А. К теории обобщэнноП с истеки Кояп-Римана с сингулярной точкой//Скб. патом, журнал. 1993. Т. 34, £ 4. С. 207-216.

KyciiiJiua Mti3MYimaMfl

/[Hccti{)TauHiT ataauKTUKTa CHuryjiflpjiH koo®&huhohttopi Oap lumnirviiciiji-uk cHCTOMajiapwJH xoiio ojiap yuiih uioicapajauc ecenrepsm y;vuitc;i3 liioaiiMiiopni aopTToy yuiih uiiaffiiTiiKajMK arinapar iwpyra, ocu c,Jtc,ruMa.mp,m;n lUoiaiNyjopiiiiu Oap Cojiymi souo onap^uu KacuoTTopiH jieprwyre opjianraii.

Cmiryjuipjiu KoatxjMUHOHTTopl dap oMiinTKKajiuK CHCTOMa,nap,iuin Y3aiKci3 iiioiiunnopijim roopiificu KvpuJiran, uettOip Y3^iKcio iBoiuiMnop aftKuii TYp;(o xadiJJU'iM. lojibflop Marunacwwaru yoaikci3 mouiMAop^iu nap Oo.nynin.in jkotkijiikti uiaprrapu, icrrorpaji^u opiioKTopi ajwuran. Yn;uiicia liiyiiKHiuuiap KJiaccuima Kocumna uiapru Oap PitMan-FiuibCopr ocoot rigmi.nr0n.ihc00ptuuhjiflarh KOilOip ajmnran hdtmkojiop ailupuKUia ih'ktoci Oap OH KHCUKTUK OOTTOpfliH ukikcis KIWI HIJiy ocoOih uiurapy yuim KOJuaiMJiran.

Summary

The dissertation devotes to the construktlon of finalytic moans Jor the study of continuous solutions of clllptlc systems on the plane with singular coefficients and of boundary problems, and to the Investigation of solvebllyti find properties of continuous solutions of indicated systems find boundary problems. The Theory of contiguous solutions in explicit view of variety of continuous solutions are constructed and the sufficient conditions for existence, the Integral representations of continuous (in Colder sense ) solutions' of elliptic systems on the plune with singular coofficlcnts and of boundary problems aro obtained. The Rlcmann-Hilbert problem wiht the initial condition for Karlemann-Vekua equation with singular point In the class of continuous functions la solved. Som results of the dissertation to the solution of the problem about Infinitesimal bendlng3 of surfaces of positive curvature with a planar point of general structure are adopted.

floamioaao e n.oiosi, 02.11.93. Copai 60s84Vl6. Eyu.tun. J3 I. Ilsqa«. c&cosisafi. ywx.-n.Ji. 1,68. y<«i.-i;p.-0T2.I,68. ys.-H3ji.ja.I,89 Itapas 100, Sanaa 580

Tunorpc£a.<i uaftaioiajotia "Euarj*. 480021, Acjasu, ya.I!Iodhoiso, 28