Несамосопряженный сингулярный оператор Дирака с дискретным спектром тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

-министерство образования азербайджанской республики

бакинский государственный университет

им. лл. Э. расул-ЗЛДЕ

I" ^ 0Д На правах рукопис

( ; КУЛИЕВ НАМИК ГУСЕЙН оглы

удк ' .98

НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЙ СИНГУЛЯРНЫЙ ОПЕРАТОР ДИРАКА С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ

(01.01.01. — математически!"! анализ)

автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математичсскнх наук

БАКУ — 1994

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Бакинского Государственного Университета им. М. Э. Расулзаде.

Научные руководители:

— доктор физико-математических наук, профессор

Габиб-заде А. Ш.

— доктор физико-математических наук, профессор Велиев О. А.

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук, академик АН

Азерб. Республики Гасымов М. Г.

— кандидат физико-математических наук, доцент

Оруджев А. Д.

Ведущая организация: Институт математики и механики

АН Азербайджанской Республики

}• 0°

Защита состоится « 1-9-1 г. г, час.

на заседании Специализированного Соиета К. 054.03.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в БГУ им. М. А. Расулзаде -но адресу: 370073 г. Баку, ул. 3. Халнлова, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ им. ;М. Э. Расулзаде.

Автореферат разослан « » ¡Лл^С&^^ХХ,

1994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доктор физико-математических наук,

профессор П М. А. ЯГУБОВ

ощая характер:-:си1ка работы

Актуальность теми : Как известно,мнэгяе задачи.розкг-'каэ-сте в приложениях и математической и теоретической физике,приводят к граничным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений со спектральнимп параметрами. Такие уразпс.тая яла спектральные задачи в так называемом,спкосопряявкнсу случае подробно исследованы, и главным npi лятствисм ( до 1951 года ) исследоы-нкя несаыосопрянелного случал было отсутстаяо адпкого акагатг,-чоского аппарата.

В 1951 году ситуация резко изменялась благодаря о с навила""--гашей работы .М.В.Келдиша. С тех пор начались иктонегт -<о гс-.-лй-дования во' всех стрр^ах з области несамосопрязокннх /<.; .•l9pr.tr-альных операторов (регулярных я сингулярных). В этой облаем, после работ1..- М. В. Кадета следует ответить.заслуги русских и азерЗайдда-i cisix матекатзкоБ- - В.Б.Ладсхого, М.А.Каимарка, 15.1% Гаскмова, Дд.Э.Аллахпордааса, Ы.Г.ХроШш, нх учеников з инсгах других математиков,

В самосопряженной случае дат .уравнения Етурка-Лг.увиля пай-дсни достаточквэ гКектаЁны.? уезезая; коэ$$зз&ек?, ига которых спектр зтах операторов "даскрвтяи.1.' Далоо, тагис ¿здогод по^ луче ян для спетом;.: Дяраха з самосопрягешю.».! случал в работах U.Б.Леватака, А.Г.йостэтонкэ и др„

В дальнейимг, нес-чиосоггржешп/З сингулярна оператор Птур-ыз-Лйуяиля с дяспретнш спектром гссладовзн з роботе Б.ВДядо»-го. КаЯдоны достаточнее условия яа возивших »tips* гог-эпухoncv~ ратор Шт^тла-Лйувхля ойлялаот .^гсгфетк/л сп-зкт£у;-й, а так?» вия, прл которых гше? место па^вда сйст&мк сооиг^тстзуааа

корнет ас поддрос'сранста.

Несамосоиряхенннй сишгулярнкй оператор Дирака с дискретным спектром до счя пор не исследовался. Поэтому настоящая работа ирудраавляег научный интерес.

. ^вль работы : Исслодояанде спектра и полноты собственных и' прасоедаяеа'апс фук5здяй для системы Дирака, как ш канонического, так-к ддя скотом* Дирака в пространство вектор-функции.

Научная новизна : Найдены достаточные условия на ко»Млщи-внт оператора Дирака,по ро-кдешгы.З каноническим и векторным уравнением с коьшекснозначнымн косйфицнента'.к на всей оси,при которых он имеет дискретный слекур .н получены теоремы о полноте еистеи» собственных и присоодиненвых элементов. '

. Уеотеттл'аская у. графическая г^он^ос'гь: Результат« работы М01У1 аркмонени для изучения конечных "и бесконечных систем да^адройзеалышх уравнений с кохчяекснозначкши кЪэХфищюн-тамЕ. " -

./иптюбазш: ряСог-п:' Синовии?; результаты докладывались на

семинарах кафедра теория ^ущади к функционального анализа

сГУ им. М.А.Расулзадв, на научной конференции преподавателей

"> .. _ - .

«охшшко-ч..лтеадтйческого факультет» БГУ.

(Уе;* набаты : Диссертационная работа изложена н^ 95 страницах и состоит из введения,двух глав к списка литературы,вклю-'"яанаай 47 шиайноватй работ- отечественных к зарубежных гтеороз.

Ду.Ялчкуд.пн : Опубликованы 5 статей, из тис 3 по теме диссертации.'

Вс-. лпсдотгик ддг.теа крапая'харс-кторвстлка работа,истор-щ •.опроса л плойлакатвгл работы. Хжава I состоит рз 7-ми парагра-

фов.

Параграф I посвяшон пэста'ШБХе основной задачи : рассматривается нес гл- о с о п рял е и н ая система Дирака вида

%<.*■) + Рс*-)^) = л А(х^^-с^) ,

(I)

в гильбертовом пространстве

.»Л

Н'-Сч-69»'^

двухко.мпонентннх вектор-функций

^ № ? | Ь ^ • ¿^Л > -00 * ^ *

0£»

где Л -числовой параметр (играющий роль спектра?;,- 'ого чя-рамэтра) '

Ч,С*> О

о

А(*э=

€ЦС=^> О

о <4^1

о

о

о ■

$ - иососяш-е'И&ша-'к Ь"*~**1 {«яяяячная - иатрхгя); вдеюдавше йгнхош 1~) г ¡<."4,1 ярадшвевоте*

суампруеыые в.каяххи* кшчиок ам»вт»ок;«»Й чел,

■ч

- абсолютно непрерывная (функция, для которой

^(-«^^{г/нкцзш сц (.-г.) , К - А, 3* - вешрствьнные и нггприрывкне о каадоа конечной интервале вещественной оси и пололсительно определена при какдом X (г 60} + ос>) и урседненио формы , ^(х)) положительно при всех

»т.е.

О

ь со

и*

3

№ 1Я любого нетривиального решения уравнения ( I ), -

— оо

зйак скалярного произведения в двумерном комплексном пространстве .

Основная цель состоит в 'том, чтобы описать структуру спектра ураЕнегая ( I ) при определенных условиях на 4 со и найти услолия полноты систему соответствующих корневых элементов.

В параграф 2 даитс- «редвар;;тольяьо формула,сеяэшише с Формулдки Грина и случае комплексного потенциала рС*) .Эти формулы яграягс роль при правильной постановке граничных условий для уравктя ( I ).

* »

В гяраграЬе 3 даются классификаций-г.еометрии предельной точки и предельного круга у^шения ( 1 ) при \"= 0 .

Ол-'етик, что в отличии от самосопряженного случая, т.о. случая ^-бщссгвоккь-х (х) , I =:1 здесь появляются следую-'4!'й ноамияшетв, которые о^юрг.-уллруе.': к виде основных результатов : •

Трогг 1р I Пусть нг.':р!ща Удовлетворяем условию :

Ч^^-г £> 0 '>0. Т0гда ерэяв решенлй уравнения (I) най-

д?тсл геп,е:'ае X (*) £ ^ (- ,г. роиенде

у • —

Теоре.'.-а 2. Пусть (}(*} суг/шруслйя матрица, для которой ^(>>■>^>0 , <. - Ь С О . Тогда среди реязнзП

уравнения (I) найдутся решения и Ч'С*-) принадлокдаие

пространствам (-оо^ о) , . соответственно. .

Теотю.та 5 . Пусть в уравнении ( I ) для лгхЗого X £ (-00^

>О^(.х) о > У (со + -С $ С») -

-решений уравнения ( I ), построенное в геороме I, причал п случае предельного круга С выбрано .ка его граница. Тогда

Аналогичное утгорздспно спрасеятаво и для раненая X Сф •

Теорема '4. Предположим, что выполняются условия т ^реь-.у 2 н + построенное там решение урап.-.сшж

Тогда спрапедишо предельное равпнетво

а->оо 1 .

Такое же утверлдолле справедливо для ропязния ^Х. (Га) 1!РЛ

Откотим, что доказательство' этих теорем существенно опз- . рчстся на результаты параграфа 2 к своЗстеа лробно-дияойнух функций. - "

В параграф о 4 исследуются свойства интегрального олэраго-» ра,полученного обращением несашсопретс.чной сясто.'лн „'¿Фага (I). Пр-.'.че;.: предполагается, с.го елравадагои сл вдутая о уиоггл ;

1. *ц <*>>£■> о ,чк(?с)?Т->р ■ хе у

^Дх>?г>0, ЗС.(-во,*«»)

В краше опкшои процедуру сведоная уравнения ( I ) к кнгсл'ралыюцу уравноквв.

¡¡усть ^ ф), 0 (х) ' - решения уравнения ( I ),построенные в параграфе 3 ври "Х = 0 (см. теоремы I и 2 ) и

произвольно заданная функция, Оператор ^ определяется следующим образом : *

да

- двухкомпонентная вектор-

фуньцая впда . •■ ■ •

я

.1 «ы» "

•ж»

Тогда л-гм пгсзаряз'гся, что фушецдя Удовлетворяв?

уравлвшш _ '

$ 6' ^ н- ?сх> = Р (*>'

к т-\-1 сакиа ог--у:.тог> В с^рьаез* эрокуи^гькый оиератс;; и :

? л

ггд тшзе ьрападлеа:? пространству '' I» 'V" >"* ) ......^-»-д^-А-Ый: ои^уошр, ¿з огра—-

чей з гильбертовом ¡¡ростра.чотЕО С' (- 00, + ) •

Доказательство существенно спирается на элсрготачоскоо неравенство,сзязанлоо с Ьператором .

Теперь о<5"яс;шм структуру оператора В • Область г.ч!ру»~ч~ лсния оператора состоит из вс -X (Тункци:! ^(Ц), удоелотгор;а ■ ■лих условиям^:

1) С'-О61-' ^ и , ^ - абсолютно кЕ:;рэр»?лю на каждом интервале шсестаешгой оси 1ч °° ; ^ ^Я) •

2) сунвдш

"Л-ъ^оо . 4

где "X (х). псстроенякз вышп' фушстз Этйездло,

вместо функшш ХСФ ь-'озгко взять пункта О (х) ►

На ^унгаишх ^ , удсилеп'оршудая условиям I) - 3), задается дкфйорогазд.тльнрв Бырг^-бкяе ■

Таким обраэоя,оператор "# порекдел т'^кт&влтияг выраи-кияем ^ п «¿уккцм&а.уповлатЕорясагга услявзяи IV« 3)».

От.мог'м, -«о л саузоосряжоилсм случяо у<«сяг«'&),,дедаэдя с«здст!ясм услов?.И I), 2} к позтеь-у г згой случае к« 1* ¿дО' '' дреш'тегаизв гуашкцз услсаял не кпзддоо&гкя'«

С'21уа/-й/>,опгсйакуг/- услоьйлда I) - 3) в- яга». «^ййркяяшгс «гуча? аазчвея? окрададв:»1»М1

В этом случае однородное уравнение ( I ) не имеет нетри-вяальние решения .принадлежащие пространству I.' (- 00 5 + , где параметр Л вибкраетск так, чтобы выполнялось одно из следующих условий : . либо ЧД^^^О^СхЪ^О

Отметям., что такая класскфшация не зависит от "Л , т.е. если оно тлеет место при некотором "Л , то такое ко справедливо при всех Ту ..'.Этим фактом ми не пользуемся, и п. дальнейшем без лишних напоминания.

Пярагг>зЬ 5 пеявящен исследовании условии отсутствия нзтрквкалышх решений в пространство (-.Оо^Оо) у уравнения С !•). На этет счет здесь дсг-сазаны следующие тсореш при /\ - О

ТпоР'.ч?'п 5. Бали в уравнений ■( I ) ¡ватпица С^ С?^ удовлетворяет yc.no л:-.» : > о 40 » то око яри нроиз- • 1.слг.ком Я(х)но нетривиальных резенпй,нрлвад»ежэдпх

пространству ©о ^ с<Л , т.е. имеет ¡>;есто определенный • Ч > / ^ ^

случаи.

Теперь онроделгм слекугтае А'логообразне -¡.ииятивх

(¡уинцт.!1 , хоздоя из котошх абсолютно иолрер»-ана. Онро-

Г.влкм н*. «Во оператор по {»pt.fy.uo :

Ц г = Й в. со

■ Г)

■'. 'роз 'Л о оеоьпг.чпи ¿то? собдззке, на гс/орое ^не^-тер

о /г> Ь

о-гой^.^ц,;- ( т.о. с0 {<¿>4 у ~ n0 .

?•• >?<.'-.У> 7. ДЯ.-2 ТОГО,, ЧТОби .«'Ноуооопазиэ бнло. плотно . , ноослор.уо к достаточно, чтоОы у однородного

уравнения

огсуетвовали нетривиальные рс:::оння, прннядло.'гачлс .

Теорема 8. Пусть ^о - могообрззио финитных (:.улщиЯ у » :со'гоР"о абсолютно непрерывны и пусть ^ (о) >Г?0> ^ г, О . Тогда многообразно '.¿.ушаш.£

плотно в пространстве V.' .

В параграфе 6 определяются условия полкой непрор/шоотп резольвенты оператора и > построенного и параграф Л. Получены слодущио результаты : Теорема 9. Пусть выполнены условия

. а . гх) - -ю? , ( )

, со '

'Алиа' (х) = - ( ! )

со »1.

и кроме того ^ .{•аф ограничена снизу, а ^С*) ог^яничеда оугрху в каждом конечном интервале оса ¡^ . Тогда гдкога Си нп Сила функция , оператор ЗДС*} 1

имеет вполне нейрорлшую рйполы-.с нту, ■ а слодо.^тош» дяск.пот-

*

¡гай спектр.. - . "

Тг'ог^.уа 7р. Пусть 1,1т) >Г> О , >Г-> О я '

йь'пол'ьтлтся уелог.т

П, С<> - с» , (5)

пхсО - +

Тог/л -/¿кора би т'- была матрица (^Сх) » оператор

имеет вполне иог.рерч'Б1Гуп резольвенту и следовательно, дислсрет-Ч«А спектр.

# ячий 7 кайдейы условия на коэффициент Р(?с), при которых си стала собстввнкнх я присосдинош.их элементов полно. При этом воспользуемся теоремой Келдыша.

Тсокема ( Н.Б. 1фщиа )/ Пусть в уравнении

Ц-полннй самосопряженный оператор,некоторая сяег.онь которого обладает абсолютной нормой, а Р •• произвольный,вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространство. Тогда система собственных и пргсоедансчных элементов уршзиения ) полна и глг.'.берговом иространатго.-.Обозначим'чероз /\ самосопряженную ч^сть оператора Ц.

^Й " ЗД * ^>"* 00 4,х<00>

/.аомэтроркет слсду» условкя.м : I) лл1

г / Д.«->0 . 0< - г;оол-чш'ко ч;;одя. а \\ (Н*х>\\

к«* кес;..

3

Ой t^V'4 A, - ъфУ*

где Аг>0 ~ постоянное число ;

3) для >1

где . О < Со ^ 4 - постоянные числа ;

4) для достаточно больших | ЭсД

с ос* < ^ (*"> ^с^ < С. х* где С> О, С><? и oi"> 3L — постоянные числа ; 5) выполняются следующие Тауберовы условия ;

где 'b и ^з логсталты, достаточно большое число и

i \ ^ - ^ , О

II. "■-'В- ^поллятйся усло"'.;я I) - Б), -го су-

у V v , тго

К со

покецьз этой теорекн к теоремы Кэддаша дсказыаавуся ело. -

дувдая

пишется б виде

Теорема 12. Если выполняются условия теоремы II и

то система собственных и присоединенных функций оператора полка в + При доказательстве сначала оператор .

А =А

где - есть оператор умножения на

Гя^ 0 "А

. У О V«]

Потом доказывав.ся, что оператор ^ ш/лактннй, то пс творкме II выполняется условие теоремы Келдш& и тем самим ' получаек требуемое.

Глава 2 состоит из трех паг^рз^'.-в. Параграф I посвящен постанизкз задачи. Рассматривается система Дирака вида ■ "

в пространстве.

к** ... ;; ■; И Л спвктралышй^^ораметр^

Здесь с* матрицы порядка N , удовлетзорявпгах

следующим условиям : ' ■■

1) ври > . . .

2) £ , при ^См) , гдэ £ - единичная матрица :

функции ^(рО » действитель-

нее и суг.шруешв в каадом конечном интервале вещественной оси.

5(№)-» число Ы - мерных матриц, удовлетворяющих условиям I) - 3). Матрицы о^ действуют аз

■с в е.

В параграфе 2 исследуется оператор Дирака. Находятся достаточные условия для полной лейрернвноета резольвенты. Скачата рассматривается неоднородное" уравнение

(в)

гда £ С-00^00) • ",

Доказкыгется слодушая ' .

. ЛКЛА-1. Для любой фуниш . «^Ц^*^3 па •ж5ом

'интерпало (с* ; имеет ¡\-:еого соотно'локне

^ С1Я ¿С. г-*

!г'ол',.г.т онг.:' о "i в ££70 г л ^ ют "'.'"г" : ' '

.... .......... ,............. Г .„ "

д'У " "" ........... I "• 1г. ' :' "•'' : Л ^

1 + ♦ не совпадет со веай гомпленечо'-* г;лс-:г.ости?.!,

г.сгло :?у ст.:гзт:> огрлапчии::•:: 1 опсг-.ср

дифференциального оператора во всех еэкных случаях ке совпадает с плоскостью Есследования спектра С если к? выполняется1 это условие, то ничего исследовать спектр - оно есть (Л- ). Итак, пусть л €5 СО , где через обозначим спектр опера-

тора и Ке нарушат общность можно предполагать, что О0^3 поскольку вкеого оператора качено рассматривать оператор и - ^ £ еяекгр которого' есть просто сдвиг спектра оператора X. на '

Есла для какого-либо индекса выполняются

О (х")—»о

I ^

то оператор имеет вполне зепрьрювную резольвенту,следова-

тельно дискретный. спектр.

Заметим,'-что теореме ¡¡к\лош?я ^(Ф 00 мохно

брать а ^ (тОт-^ — ы ¿уот случай доказывается аяаяо-

ч

гично.

В. параграфе .3'найдет.' условия на- коа£/1здмвнта = ^^С^) Г

• ¡Л^ВД > пра которых система собственных и присое-

диненных элементов.полно. .. _ .. . ■

ОЗОоЛачт; чорэз А • саьмсопряхжннуЕ часть оператора I- , т.е." оператор,сорогданкьй ьирршием ' < •

л.■: ■ ■ ■ Ч ^ '

;щк>с??анстна. м )V ». этого от:е;д~

•>ор& ставятоа. ^дьую-^'&ФяЩ

и I^ С?-") \\ - есть норма Гильберта-Шмвдза Q (.сс.) , т.е.

В данном случае нетрудно вычислит^, что Положим •

В этих обозначениях выполняются следующие неравенства :

1) при

гдэ /\"?0 ,0< Й-СЗ. - постоянные числа ;

2) аля \-х-} \ <: \

где ^>>0 - постоянны« числа % игл "> .1 имеет место

-до 0; 0 -хз--' - постоянный чиата ;

4) есля \*эс\ достаточно большое ^ясло, ?.<». » 4

' ч- -"> О С." • О , 7 о - ■' -

4

Г . г> V

- ч < 1 , ^ с—' - 1.4 г ' ,

то

- ¿о

где 0<СсС » - постоянные числа.

Известно, что если (^^удовлетворяет условиям I) -'4) тогда спектр оператора Д дискретный.

Теорема 14. Пусть удовлетворяет условиям 1)-5), а

функция • .

оЗЧрОО1

и (Я) , при удовлетворяют условию :

существуют числа С О , & "«> О и О такие, что при \х\>Ы имеет иесто '

• г . С (%)*'- С

..Тогда, рра V» ¿'^озсско следующее соотношение :

Здесь С*1/ ознц^: зт, что —С-—- -> \

~ - г- , - , ^^

V N-<^=¿1/1;

' ШШ 2. Если выполняются условия 1)-5) и условие Н), тогда некоторад' стодД. обладает абсолютной яормой, с. е. - сущесзуеУ&Зюй число';- Р^ , что.

- ее*. - ■'

I •

С номсцыо этой лем/я доказывается следующая теорема :

Теоте.та 15. Если выполнены условия Г)-5) и для какого-; \ »г

либо индекса I п Х^Ом

<5 Р^ - -О

то собственные и присоединенные функции оператора образую"

щв + ^

дачную систему

В заключении, автор вырагает глубокую благодарность научным руководителям - профессору Габяб-заде А.Ш. и профессору ■ Еолаев., O.A.- за постановку задач и внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА . .

^ ......

1. Гадеисв Г.А. .Бу.тпев Н.Г, Об аппрокскмзциа функций многах переменных собстзэндкаа 'функциями ккргопараметрическлх спектральных задач. -Сб. "Приблнхэкпэ обобшенннми аналатаческаш а сфзра-чвЫшл (^нкадша" .Баку: Изд-во АГУ,1983 , 7 страшщ.

2. Кулпев Н.Г. К, спектральной теораа ыногопарататрлческах" кнтогрялыялс операторов с осцилляцяошшмл ядрами. -Матерпаяы У1 республиканской конференции молодых учеякх по м^твчатигл в v.exarniKö, посвященной 40-летию побили. Баку —ЭЖ -.TS85.3 стр.

У. 1^лиев Н.Г. Классификация продельного круга л точки BcfLüi для опараторно-даф^еренцкалышх уравнений. -Сб. "'Лсследо-р-гтас по тес-тст лпплГгг.п: операторов. £аку:11зл-во АГ7ДЭ87, 5 странна.

4. Каляев Н.Г. Спектральный анализ пэсамосодрлт^тг'ого "о^.о-етлесксго оператора Да рака с рас*ущвш коэффициентами -Сб. "Ля-

нейные операторы и их приложения". Баку: Изд-во АТУ,1989,' 6 страниц. -

5. Кулиев Н.Г. Система Дирака в пространстве вектор-щунк-ций. Дев. в Аз НйИШИ. "Депонированные научные работы", £ Щ&16/.1989, 0.165,21 стр.

Гулиj ев Наьшг îrrcejs .огд? ДИСКРЕТ СПЕЮТЛИ вЗ-ОШЭ ЮШ QJSiAJ-Ш СШГШАР ДИРАК ОПШТОРУ- .

I Ч Л к С 3

ДассергасаЗа дгптада Евяюр'фунясаЗалар <5эзаскняа hc,M яанонак пзлннда.Ьйл дэ Дирак спсзеь-л ччтл спсктрпп характер во кэхсуса во гоюа фуняолЗалар .ело геадняз гаял-уя ..:соэлэлэра тэдгаг едял-капдар.

Ишдэ вшшив вз бггга охда комплекс гаЗиэма гксаллы вектор тэшшэшшн догурдугу Дирак операторупуа амоала узорлгао гоэулан вафа Еэрглэр мпылмнт вэ мэхсуса..2э гош.'.а фуяясаЗадар онстеманин гамлнгн Ьаггынд! георе.млэр ясбат едидаящцар.ГеЗд едая н.а,<5е.тэ опара юр дискрет спевтрэ иалиядир. ■

GULU5V BAKES KOSEIH OGLU

EOH SELT'-AIIUOHS SIXGCLAE. DjOUC' OPERATOR TCEH DISCRETE SPECIRUH

Thesis for Degree of Cazicliaate of Science in Physics cnfl iiatheisiticB by speciality 01.01.01 - Ilathecatical Aaslysio

s v u m a ar

la. this work the author i£rvesti£6tes the character of ths epectxun end the eonpleteneGs of the system of eigan and fcfiJoint functions of'Dir&c systecs and also Sci- canonic cad Pirec cvv.ten acting in the space of vector-Sanction.

®h& sufficient conditions on the coefiicient of Birao -operator vrith : ctrun on the r.hr. lo line

lixs obtained and the it: rexs of completeneBS of tiio njstsn of ei^en «ad cC.joint iunctions ere pro^od.