Неустойчивость и катящиеся волны в наклонных каналах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Шапарь Елена Михайловна

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И КАТЯЩИЕСЯ ВОЛНЫ В НАКЛОННЫХ КАНАЛАХ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Кубанском государственном университете (г. Краснодар)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Демехин Евгений Афанасьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, ст. н. с.

Трифонов Юрий Яковлевич кандидат физико-математических наук, доцент Бунякин Алексей Вадимович

Ведущая организация:

Пермский государственный университет

Защита состоится "19" октября 2005 г. на заседании диссертационного совета Д 003.053.01 Института теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. ак. Лаврентьева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТ СО РАН.

Автореферат разослан "С&^Я^у^ЧЮ05 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Кузнецов В.В.

yfß&B

Общая характеристика работы. Диссертация посвящена изучению линейной первичной неустойчивости слоев вязкой жидкости в наклонных каналах и исследованию вторичной неустойчивости катящихся волн в наклонных каналах при турбулентном и ламинарном режимах течения. Актуальность проблемы. Исследование волновых течений с поверхностью раздела является одним из важнейших направлений гидродинамики Основу его развития в своих фундаментальных работах заложили С.В Алексеенко. Р. Дресслер, П.Л. Капица, В. Левич, X. Лэмб, В Е. Накоряков, A.A. Непомнящий, Б.Г. Покусаев, В.В. Пухначев, Л.Н. Сретенский, Дж. Уизем, В.Я. Шкадов. Интенсивное изучение этой проблемы связано с ее широким применением в технике и технологии, исследованием русловой гидродинамики рек и каналов.

При больших числах Рейнольдса (Re > 200), когда силами поверхностного натяжения можно пренебречь, течение жидкости в наклонных каналах характеризуется квазидвумерными катящимися волнами, имеющими на фронте стабилизирующий вихрь из водо-воздушной смеси, "бору", рис. 1. Причем режим течения может быть как ламинарным, Re < Re* ~ 1000, так и турбулентным, Re > Re*. Толщина слоя при разных наклонах может меняться от миллиметров до метров. Такие течения встречаются как в технологических установках, так и в природных условиях. В отличие от капиллярных волн при малых и умеренных числах Рейнольдса, Re < 200. катящиеся волны и неустойчивости, приводящие к их образованию. Re > 200. исследованы в гораздо меньшей степени. В большинстве таких течений, Re > 1000, режим течения турбулентный, что приводит к значительным сложностям исследования. Вышесказанное определяет актуальность проблемы.

Цель работы. Целью работы является теоретическое исследование неустойчивости и катящихся волн в турбулентных и ламинарных "толстых" слоях жидкости в наклонных каналах в случае, когда силы поверхностного натяжения неважны. Исследование включало 1) построение полной теории линейной устойчивости плоского турбулентного слоя на основе уравнений с турбулентной вязкостью: нахождение критических параметров смены режимов течения; получение волновых характеристик в начале канала, исследование влияния поверхностного натяжения и топографии дна на волновые режимы; сравнение с экспериментами; 2) построение теории сильно нелинейных решений типа солитонов на основе гидравлического подхода- построение решений типа двумерных солитонов для турбулентного и ламинарного течений; обощение системы Дресслера на трехмерный случай:

РОС. НАЦИвНАЛЬНл БИБЛИОТЕКА

исследование устойчивости катящихся волн типа солитонов к трехмерным возмущениям

Научная новизна работы. Режимы волн и неустойчивость в наклонных каналах при малых и умеренных числах Рейнольдса. когда силы поверхностного натяжения важны, хорошо исследованы как экспериментально, так и теоретически Такие волны называются капиллярными, а слои, где они реализуются. - "тонкими" или пленками.

Режимы ''толстых" слоев при достаточно больших числах Рейнольдса гораздо менее изучены и требуют более углубленного исследования. Даже критические параметры появления катящихся волн при турбулентном режиме получены из грубого гидравлического приближения и явно завышают критические параметры. Такое углубленное исследование на базе уравнений с турбулентной вязкостью проведено в данной работе. Получено хорошее соответствие с экспериментом

В работе впервые катящиеся волны рассмотрены не как периодические волны, а как уединенные волны или солитоны. С одной стороны, такой подход гораздо ближе к экспериментальным наблюдениям, с другой стороны - резко упрощает исследования и впервые делает возможным полный анализ задачи. Построение спектров и вторичная устойчивость катящихся волн также получены впервые.

Практическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при анализе поведения течения жидкости в рус пах рек и каналов и определения параметров перехода и влияния топографии дна на режимы течения. Кроме того, теория может быть использована в аюмной. химической и пищевой промышленностях, где в качестве рабочей среды используется течение 'толстых" слоев вязкой жидкости, при конструировании средств, обеспечивающих выработку и транспорт теплоносителя в нефтяной пласт.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов достигается применением как асимптотических, так и численных методов и их сравнением, а также сопоставлением с экспериментальными данными. Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на ''XXVII Сибирском геплофизическом семинаре" (г Новосибирск 2004 г.). VII Всероссийской конференции молодых ученых "'Актуальные вопросы теплофизики и физической iидрогазодинамики" (г Новосибирск 2004 г.). где работа получила диплом фетьей степени, а также докладывались на научном семинаре Института Теплофизики СО РАН под руководявом чл -корр РАН C.B. Алексеенко.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в отечественной научной нечаги. [1-6] В этих работах научному руководителю профессору Демехину Е.А. пренадлежит постановка задачи и основные идеи. Автору диссертации пренадлежит реализация этих идей, вывод основных соотношений и формул получение численных результатов и их анализ. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 105 наименований и приложения В ней всего 119 страниц, 50 рисунков и одна таблица.

Содержание работы. Во введении кратко описаны специфические особенности задачи о катящихся волнах и сказано о двух постановках задачи для турбулентного течения, сформулирована цель рабоаы.

В первой главе, п.1.1 дается обзор экспериментальных и теоретических данных по теории катящихся волн. В вертикальном слое режим капиллярных трехмерных подковообразных волн при Ее т 200 — 400 (для воды) сменяется квазидвумерными катящимися волнами при ламинарном течении, при Яе и 1000 (это число Рейнольдса дается как оценочное) режим течения меняется на турбулентный. при котором также существуют поверхностные катящиеся волны.

Для наклонных ламинарных потоков плоско-параллельное течение теряет устойчивость относительно поверхностных мод при Яе. = 5/6ctg(9, а по отношению к волнам Толлмина-Ш лихтинга при /?р « 1000. Если углы наклона достаточно малы, то неустойчивость Толлмина-Шлихтинга и ламинарно-турбулентный переход наступают раньте поверхностной неустойчивости. В таком случае поверхностная неустойчивость и катящиеся волны возникают при турбулентном режиме течения, рис. 2

В своей пионерской работе Дресслер рассмотрел турбулентный режим течения, он пренебрег влиянием поверхностною натяжения и вязкими членами второго порядка. При этих условиях он вывел упрощенную систему гидравлических уравнений Иногда эту систему называют сис!емой Сен-Венана. Дресслер показал, что при РУ > /*>* = 2 система имеет разрывные решения типа стационарных бегущих волн.

В п 1.2 дастся постановка задачи для турбулентного и ламинарного потоков. Рассматривается двумерное нестационарное течение жидкости по наклонной плоскости с углом наклона в Для хурбулентною режима течения использовалась известная гипотеза Буссинеска. согласно которой напряжения Рейнольдса пропорциональны градиенту скорости

и турбулентной вязкости:

й - п(й + Г^)(дйг + дйз) йхУ - Р\— + дЪ\ ихх - У2\дЬ\ - vyy 1/у - р(у + + —), »т -1\щ + »т - 2/ \щ\ - ^г

Здесь v - молекулярная вязкость. Щ- - тензор компонент турбулентной вязкости. I - длина перемешивания Прандля.

Система приведена к безразмерному виду, в качестве базовых величин пзяты • hs — толщина слоя невозмущенной жидкости; Uk - невозмущенная скорость на поверхности слоя- р - плотность жидкости. Система описывается двумя безразмерными параметрами' числом Рейнольдса Яе и числом Фруда Fr

D 2 _ йЩ, _ gsme~3 2 _ Û2K sin0

rte — —z7i— — —;-ijy j r r — —?---

V2 VCf ghN Cf

Здесь Cf - коэффициент i рения на стенке. Для сравнения с экспериментальными данными использовались числа Рейнольдса и Фруда, основанные на среднерасходной скорости, < Re >, < Fr >.

Во второй главе рассмотрена линейная неустойчивость плоскопараллельного течения при турбулентном режиме В п. 2.1 найдено тривиальное решение, соответствующее плоско-параллельному течению, проведено сравнение профиля U(у) с экспериментальным, получено хорошее соответствие.

В п 2.2 рассмотрена линейная устойчивость найденного тривиального решения к малым возмущениям вида:

и = U (у) + eû(y)E, v = sv(y)E, h= 1 + ehE

Е = ¿.{ax-act) _

Вводится функция тока ф. û = ф', v = —гоф. В конечном итоге, получена задача на собственные значения для системы:

га [{U - с){ф" - а2ф) - и"ф) = а4ф1У + а3ф"' + а2ф" ахф' + а0ф

а4 = 4- + 2 l2U', а3 = 4 (2ll'U' + l2U") Re

а2 = -2а2+ 4 \(Г)2 + + a2l2] U' + 8ll'U" + 2

Re L 1

ai = 4a2(2ll'U' + l2U") aa = a«(J- + 2l2U') + a2 {4 [(Г)2 + II"] U' + 8IÏU" + 2l2U"'}

У= 1:

ф'" - За2ф' + шйе(с - 1 )ф' - + - 2/2Ле3с} = О

</?" + а2<р = с/Яек, ф = (с —

у = 0 . (^ = ^>' = 0

где I - длина турбулентного перемешивания, которая бралась по формуле Ван-Дриста. Эта система является задачей на собственные значения с. Параметрами являются волновое число а. число Фруда Рг и угол наклона в (или число Рейнольдса Не). Синусоидальное возмущение с некоторым волновым числом а будет расти во времени, если мнимая часть с положительна и затухать - если с, отрицательно. Нейтральная устойчивость и нейтральное волновое число щ определяются соотношением с, = 0.

Система решалась численно, с помощью метода конечных разностей она свелась к проблеме собственных значений для матриц-

¿еЬ\\А + сВ\\ = 0

где А и В матрицы N + 1 порядка, если число узлов равно N В спектре присутствуют две поверхностные моды, описывающие возмущения, распространяющиеся вверх и вниз по потоку.

Малые возмущения на входе растут вниз по потоку согласно теории линейной устойчивости. Согласно этой теории выживает узкий диапазон частот около максимума асг = ас™. Волновое число, при котором имеет место максимум. ат. дает частоту волны и>т = атсг вблизи точки возникновения волн и период, Тт = 27г/о;т. которые можно пересчитать на размерные. Обычно период волны является консервативным и не меняется сильно вниз по потоку. В конечном итоге, он предсказывает временной интервал и рассхояние между соседними катящимися волнами в самом начале нелинейной области.

На рис. 3 дано сравнение периода волны Т, полученного теоретически из теории максимального роста, и из экспериментов Брока.

Были также проведены расчеты для ненулевого поверхностного натяжения \¥е ф 0, для воды, и получено заключение: для турбулентных режимов волновое число максимального роста ат не зависит от поверхностного натяжения И^е, и его влиянием можно пренебречь.

Наиболее важные и интересные результаты могут быть получены в предсказании условий, когда поток впервые теряет устойчивость, называемых критическими параметрами В п. 2 3 они были получены

аналитически Гидравлическая теория Дресслера предсказывает Fr = 2 в качестве критического параметра Имеется значительное расхождение между этим классическим результатом и экспериментальными данными хотя количественных экспериментальнрлх данных по переходу Hei

Около критической точки область неустойчивости сжимается к началу координат, а —> 0. При а —> 0 решение находилось в виде асимптотического разложения

ip ~ Lpu + impi, с ~ со + гас\

После подстановки данного соотношения в полную линейную систему получено решение для ¡р^. которое выражается через квадратуры В конечном итоге, взяв в качестве критического условия с\ = 0. было получено соотношение, правая часть которого зависит только от Be. в то время как левая nacib зависит только от угла в:

ctg e = f(Re), co = l+cf(fo

Подобным разложением были также получены кришческие параметры для "квазиламинарной'' модели, в которой берется турбулентный основной профиль скоростей и пренебрегается турбулентной вязкостью в возмущенном потоке. Иногда такая моделт. может дать достаточно реалистические результаты

Кри1ическими условиями являются. = |Щ и 1 033, сц = |cjRe 'Квазиламинарный" подход даст и два раза меньшее число Фруда. чем i идравлический подход При < Rc Rer,,t >~ 1000 имеет чегю

ламинарный режим < Re >* = !?ctg0, (Fr")2 = гсочб Для малых vi.юв {Fr)2 и 0 4 и G' = = 2.3.

Комбинируя результаты для ламинарною и турбулентного режимов получены "карты режимов' Для малых чисел Рейпольдса и ламинарною режима Fr2/сочв = 0.4 и после ламинарно-турбулентного перехода имеекя скачок до значения примерно равного Fr1 /соъв — 1 3 и зарем происходит монотонный рост величины, рис 4

К сожалению, не сущес 1вует экспериментальных работ, ьде находятся критические параметры коюрые можно было бы сравнить с предсказаниями описанной выше теории Однако, во многих работах к примеру СопивЬ V Ocean waves. Cambridge Univ Ргеьь 1934 206 P.: Foley M.G , Vanoni V.A '.J. Hyd. Div Am. Soc. Siv Eng. 1977 N 8 P 843-849 . авторы упомянули о существовании волн при числах Фруда меньших 2. но больших 1

Вл 24 рассмотрено влияние топографии дна на волновые режимы.

В ряде экспериментальных работ найдено, что для специальных условий топографии дна (в реках это осадки, песок и глина) поверхность оказывается покрыта очень большими стоячими или медленно движущимися волнами Иногда авторы этих работ связывают волны с началом неустойчивости. Существует также другое объяснение явления' присутствие отложений делает жидкость неньютоновой и меняет механизмы неустойчивости. Тот факт, чю обычно волны на поверхности являются стоячими или медленно перемещающимися в комбинации с фактом, что такое явление случается при Fr ~ 0 7—1. предлагает возможность другого объяснения явления. Отложения рассматривались как род волнистого дна с характерной длиной волны и волновым числом. Из экспериментов, описанных в работе Bonto-zoglou V. Papapolymerou G. Laminar flow down a wavy incline plane. // Int J Multiphase Flow. 1997 N 23, P 69-79 известно, что для ламинарного потока возможно очень сильное взаимодействие между волнистым дном и поверхностными волнами. Амплитуда получающихся стоячих волн может быть в несколько раз больше, чем амплитуда волнистости дна. Можно допустить, что такая необычная реакция связана с частотным резонансом. Имеются две поверхностные моды. В случае горизонтальной плоскости для мелкой воды они соответсвуют волнам, распространяющимся со скоростями ±^/gh. Если плоскость слегка наклонена, появляется сдвиговое течение, которое переносит обе моды вниз по потоку. В этом случае одна из мод всегда положительна, в то время, как вторая может сменить знак. Когда два эффекта в точности балансируют друг друга, когда результирующая скорость в точности равна нулю, как и частота, имеется резонансное условие между волнистым дном, которое также имеет нулевую частоту, и этой модой. Это объяснение также подходит для аурбулентных потоков в реках и каналах. На рис. 5 приведены результаты теории вместе в результатами экспериментов Хорошее соответствие с экспериментами подтверждает предложенный резонансный механизм взаимодействия.

В главе 3 рассмотрены двумерные катящиеся волны и их устойчивость к трехмерным возмущениям.

В п. 3.1 обсуждается подход Дресслера и гидравлическая система Сен-Венана. В конечном итоге эволюция малых возмущений приводит к установлению так называемых катящихся волн. Решение в нелинейной постановке наталкивается на очень сложную задачу в окрестности вихря на фронте волны, где имеется воздухо-водяная смесь. Поэтому дальнейшее исследование проводится в рамках системы Сен-Венана.

Уже в постановке задачи в рамках гидравлического приближения

Дреес юра спалось много нерешенных проблем В частности оку]Ств\ст систематическое исследование двумерных ка1ящихся волн типа уединенных вели как для ламинарного так и для турбулентного течений' обобщение системы уравнений и условий на скачке на фехмррный случай исследование устойчивости катящихся воит к двумерным и трехмерным возмущениям В данной главе исследованы вышеуказанные и связанные с ними проблемы Для случая длинных волтг д/дх ^^ д/ду система уравнений движения

принимает вид:

ди ди ди др дтху sin t + и— + V— = --Í- + -Р- +

д t дх д у дх ду Fr2

dp cos в ди dv ду Fr2' дх ду у = h(x, í) : р — const, тху = О

dh д hr ,

m + d-xludy = 0> v = 0: u = v = 0

Эксперименты показывают, рис. 1. что катящиеся волны являются длинными, кроме короткой зоны вихря, которая, следуя Дресслеру, рассматривается, как скачок параметров течения или слабое решение системы. Эти уравнения м01ут быть применимыми как для ламинарного, так и для турбулентного случая. Первое уравнение системы проинтегировано поперек слоя от у = 0 до у = h(x, t) Для ламинарною течения, предположен полупараболический профиль скоростей получен закон трения на стенке.

q 3 _ sinfl

'h2'

Для турбулентного течения saKOii трения формулируется в виде пропорциональности силы трения квадрату средней скорости В конечном итоге этих рассуждений можно пелучить так называемую формулу Шэзи

i i i и = Cfu\u\ =

где сj - должно быть некоторой функцией числа Рейнольдса полученной m тех или иных соображений

В конечном итоге, выводится система уравнений для ламинарною течения

Оз. i \ ros в l dh _ sin в (i__

at 5 üx h Fr2 'cIt ~ 77П" h2> dh i Oq _ n

!¿1L £i di T dx

и для турбулентного течения

& + *£ + «¡»Л^ = - £)

от Аг л Рг2 <Аг Рг^ V

- -г

3е'

От! 21 т 9х

Здесь д всегда положительно, т.е. = д2. После растяжения временной и пространственной переменных. £ = кт х = 9 ф 0: к = = система имеет только один параметр б и принимает вид

I б а , п— ь — Я. 8к + За — п

йт + ^ и

Оз. + + с/- к - 4 дт + а? и

В п. 3.2 исследуются бегущие катящиеся волны типа двумерных солитонов Катящиеся стационарные бегущие волны можно рассматривать как цепочку слабо взаимодействующих солитонов, для которых ^ = ~СШ> К —> 1 при х —► ±оо. Получается обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка,

¿Н _ /г3 - (с/г - с + 1)

~ б [/г3 - ^Г

которое имеет особенность, когда знаменатель равен нулю:

условия отсутствия особенности выводится знаменитое решение Дресслера

для солитона,

\[с+1 + ^с + 3)(с - 1)](с - 1) = ^¡^

которое дает зависимость с = с(С). После избавления от особенности был получен профиль волны К(х). Амплитуда волны была найдена из условия на скачке,

^шах^тах + 1) = 2(с - I)2 В случае вертикального стекания ламинарного слоя. С = О

(Нг _ И,3 - с/1 + (с - 1) И ~ \С2Ь? - \{с - \)2

Пугем избавления от особенности найдены три корня уравнения, из которых только один имеет физический смысл

с = 3

3

| + 3\/б » 7.6669

Подставляя с и 7.6669 при С = 0 в условие на скачке, находится /гтах и 4 5369 Профили Н{х) для гурбуленхною случая показаны на риг 6 Профили для ламинарного случая качественно имеют тот же вид.

В п 3 3 система Сен-Венана и условия на скачке обобщены на трехмерный случай Для ламинарного случая

+ 22. + Ё2 = Г) I й г й т Л "

1де р расход в направлении г. Для турбулентною режима. ' | + + + =

ёк + + Ф - п

Ж ^ Д.г ^ г?г ~~ и

Условия на скачке обобщены на трехмерный случай При турбулентном течении они имеют вид

[ + [Ч]пх + [р]пг = О

I -ОИ + [^пх + [^ + АС/г2К = 0

Для ламинарного течения:

[ -Д[Л] + + [р]пг = О

I -ои + ^К + Ц^ + ^К^о

Разрыв считается расположенным вдоль некоторой кривой х = г(гА)

В п 3 4 рассмотрены спектр и устойчивость уединенной кашщейся волны Решение нестационарной линеаризованнной около двумерного солитона задачи может быть представлено как суперпозиция собственных функций задачи на собственные значения В силу бесконечной области линейного оператора в дополнение к дискретной части спектра добавляется непрерывная часть спектра Собственные функции дискретного спектра локализованы около горба, а функции непрерывного спектра только ограничены при х = ±ос. где они ведут себя синусоидально.

Иi всех этих элементов спектра были рассмотрены только дискретные собственные функции и соотвегсвующие собственные значения, ответственные за устойчивость или неустойчивость катящихся волн

Предполагается что существует стационарная бегущая го скоростью с двумерная катящаяся волна типа солитона. с некоторой толщиной h(x) и расходом q = 1 + c(h — 1).

Предполагается что разрыв расположен при £ = х — ct = 0 Возмутим разрыв трехмерным малым возмущением так, что его расположение сместится в х — ct — г (z. t) = 0 Шляпка означает возмущенную величину На ''положительной" стороне (слева) скачка

<7f = Qmsx + q'maxf + q+, hv = hmax + h'maxf + h+, p1 = p+

На "отрицательной" стороне (справа). где невозмущенные движения плоскопараллельны, р~ = р~, q~~ = 1+9"". h~ = 1 +h~. Далее, воспользовавшись соотношением q = ch , можно подсчитать скачки величин [g] [р], [h] В силу линейности возмущенной системы и того факта, что коэффициенты этой системы не зависят от t и 2. решение находилось в форме г —* fe'az+xt- h —> hel,iz+M. Здесь ¡3 - волновое число в направлении 2 и А - коэффициент роста (затухания) являющийся собственным значением задачи. При Аг > 0 -двумерная волна неустойчива, для Хт < 0 - устойчива Условие на скачке для трехмерных возмущений это! о решения имеет вид

-c(h+ - h~) - Ar{hmax - 1) + (q+ - Г) = 0 -c(q+ - q~) - Ac(/w - l)r - + h~ +

Л max "max

(c-1)2 --2q--—2-h'maxf + Ghmaxh'maxr + GhmaKh+ - Gh =0

"max

-c(p -p~) + Qf^p+ -Г- hflGh^r = 0

"max ^

Система для q~, p~ и h~ , при 0 < x < +эс является линейной системой t постоянными коэффициентами, решение ищется в форме ехр(сгх). где сг описывается дисперсионным соотношением

(-Зг2 + G - 1 - cG + Зс + с3)сг! + (5с + AG - ЗА + 6Ас - 3 - ЗАс2 - 2с2)<т2+ +(ЗА2с + 4Ас - ЗА2 + 82Gc - 5А - /32G)ct - 2А2 - ,32GA - А3 - 202G = 0

Подходящими являются только решения, тухнущие при х —> +ос Решение в области перед разрывом — 00 < х < 0 описывается системой

Aq + fx(2-fh- cq) + гв\р + G(hh)x = h + ■ \p+£dp-cp)+if3Ghh = Q Xh + £(q - ch) + г/Зр = 0

При т —► —оо решение описывается дисперсионным соотношением. Путем введения функции тока ф для двумерных возмущений, ¡3 — р = О

- дф р „ ? р 7

п = — — ф ; 9 = с—--\ф = сф - лф

ох ох

получено уравнение

—оо < £ < 0 :

Цй^ - (с - 1) V + {[(7/13 + 2(с - 1)2]/4 - /г3 + 2А(с - 1)/г2+

2с(с - 1)Л - 2(с - 1)2}^' + [—А2/г3 - 2Л(с - 1)ШХ-

—2 Хек2 + 2Лс/г2 + 2А(с - 1)/г]^ = О

При С/г3 = (с — I)2 коэффициент при старшей производной обращается в ноль, и уравнение имеет особенность. Это тот самый тип особенности, который имеет место в случае двумерной стационарной волны, "особенность" Дресслера. В окрестности особой точки £ = х — х\ = 0 уравнение принимает вид

£ф" + аф' + йф = О,

где а. (1 — постоянные. Это уравнение имеет два независимых решения: одно из них - регулярное. ф\, другое - сингулярное, Ф2. Регулярное решение имеет разложение в окрестности точки £ = 0.

? , > , .9 д с1 ¿Ак

а (к + 1)(к + а)

в то время, как разложение для сингулярного решения,

й-1-«Г-Р+1М+*,+-1. ".-Л,, +

Решение есть линейная комбинация ф\ и

Ф = Сх(А)101 + С2(А)-02

При А < 0 дисперсионное соотношение имеет действительные корни разных знаков. сг\ > 0, <72 < 0. При х —> —оо. ф -> ехр^з;). Интегрируя численно уравнение от этой асимптотики в сторону скачка, А подбиралось таким образом, что Сг(А) = 0 и решение не имеет особенности

В исследованиях катящихся волн не найдено неустойчивых мод А > 0. Одна из мод А1 = 0 происходит 01 трансляционной симметрии, другая мода - А2 < 0.

В п 3 3 рассмотрена устойчивость катящихся волн к трехмерным во?мущениям Сфатегия вычислений та же что и для случая двумерных возмущений. При р = 0 и р = 0 возмущения двумерны и имеется одно устойчивое Л2 < 0 и одно нейтральное = 0 собственные значения рис 7 8 Нулевая мода "погружена'' в непрерывный спектр При ненулевом в ф 0. увеличивая его от нуля оба корня начинают сближаться и при 0 = в, они сливаются и становятся комплексно-сопряженной парой Спекф для ламинарною течения качественно имеет тот же вид что и для турбулентного случая.

Основные результаты диссертациионной работы заключаются в следующем:

1) Впервые на базе уравнений Рейпольдса была исследована устойчивость турбулентных потоков в каналах относительно поверхностных возмущений. Были получены критические параметры, когда это течение теряет усюйчивость Найдены частота и волновое число возмущении с максимальным коэффициентом роста, и оценено расстояние между катящимися волнами в начале канала Исследовано влияние поверхностного натяжения на устойчивость и найдено, что его влияние пренебрежимо мало Результаты проведенного анализа устойчивости хорошо согласуются с экспериментальными данными.

2) Предложен новый механизм влияния топох рафии дна на поверхностные волны. При условии резонанса показано существование стоячих волн большой амплитуды. Получено хорошее соответствие с экспериментами.

3) Развита полная теория двумерных катящихся уединенных волн для турбулентных и ламинарных потоков как слабых решений гидравлической системы уравнений.

4) Система гидравлических уравнений Дресслера была обобщена для описания трехмерных возмущений. Идея Дресслера об отсутствии сингулярности была обобщена для исследования устойчивости двумерных катящихся волн к двумерным и трехмерным возмущениям и построены спектры Получены результаты устойчивости двумерных катящихся волн к двумерным и трехмерным возмущениям.

Основные результаты диссертации изложены в работах:

1. Демехип Е А . Калайдин Е.Н ТТТапарь Е М К теории катящихся волн в наклонных руслах. // ДАН. 2005, Т 401. N6, С. 762-764.

2. Демехип Е.А.. Калайдин Е Н . Шапарь Е.М. Определение критических параметров устойчивости плоско-параллельного течения тонкой пленки

жидкости // ТиА ИТ СО РАН 2005 Т И N2, С. 249-257.

3 Демехин Е А. Калайдин Е Н . Шапарь Е.М Солитонные решения и их спектр в теории катящихся волн // Эколо[ич. вечтник н. ц. ЧЭС. 2005, N 1. С 23-28.

4. Демехин Е.А . Калайдин Е Н Шапарь ЕМ О новом нелинейном решении в теории гидравлических волн /1 XXVII Сибирский теплофизичсский семинар. - Н - Изд-во ИТП СО РАН, 2004 - С. 131132

5. Шапарь Е М. Первичная неусюйчивость катящихся волн в наклонных каналах // VII Всероссийская конференпия молодых ученых: Тезисы докладов. - Н.: Изд-во ИТП СО РАН, 2004 - С 84.

6. Шапарь Е М.. Калайдин Е Н.. Демехин Е А Резонансное влияние дна на волновые режимы // Изв вузов. Сев -Кавк регион Приложения, 2005. N 5. С. 24-27.

а)

1 вихрь смеси

УЧ-JL .

У////////////

1 1

/ 7 / /////////" /

Рис 1 Структура катятцейся волны а) Реальная катящаяся волна б) модельное рафывное течение 1-длинный экспоненциально тухнущий хност волны, 2-короткий вихрь водо-воздушной смеси, 3-скачок, мoдeJшpyющий вихрь

Рис 2 Кашщиеся волны в слабонаклоненноч канале (Cornish V Ocean waves Cambrige Lmv Press 1934).

050-05

?

^ -15 e

■C

I -2'

-2 5-3-

1000 2000 3000 4000 5000 x/lr,

Рис 3 Эволюция амплитуды волны вниз по потоку Сравнение с экспериментами Brock R. R Development of roll-wave trains in open channels ,J of Hydraulics Division Proc Am Soc Siv Eng 1969 \" 4 p 1401-1427 при < Fr >-4 96, < Re >=10825

<1?е>

Риг 4 Критические параметры поверхностной неустойчивости при ламинарном и турбулентном режимах Критическое число Фруда как функция числа Рейнольдса

Рис. о. Резонансный размер волнисюсти дна. сравнение с экспериментом Foley M G , Vanoni V A. I Hyd Div Am Soc Siv Eng 1077 \ 8 1-Re = 1000, 2-Rt = Ю0П0

1

G=0 1 /

0 12

0 14

0 16

0 18 ______/

Рис б' Профили волн для турбулентного потока

,и

У

-1 0 1

Рис 7 Непрерывный и дискретный спектр при (7 = 015, течение турбулентно

-0 1 -02 ^ -03 --04 -05 --06 ^ -0 7 -

05 1

15

25

Рис 8- Устойчивость к трехмерным возмущениям, б = 0.05, течение турбулентное

Подписано в печать 20 08 05 Тираж 100 экз Заказ №123

Отпечатано- ООО «Перспектива» с оригинал-макета заказчика, г Краснодар, ул Дзержинского 3/2, офис 42, тел /факс 22-44-126

»15704

РНБ Русский фонд

2006-4 12739

4 Введение.

0.1 Цель работы

1 Современное состояние проблемы и постановка задачи

1.1 Обзор экспериментальных и теоретических исследований

1.2 Основные уравнения для турбулентного и ламинарного потоков

2 Неустойчивость плоско-параллельного течения

2.1 Безволновое решение для турбулентного потока.

2.2 Неустойчивость плоско-параллельного течения для турбулентного потока.

2.3 Критические параметры двумерного перехода.

2.4 Резонансное влияние топографии дна на волновые режимы

3 Сильнонелинейные волны

3.1 Обсуждение системы Сен-Венана.G

3.2 Стационарные бегущие катящиеся волны типа солитонов

3.3 Обобщение системы Сен-Венана и условий на скачке на трехмерный случай.

3.4 Спектр и устойчивость уединенной катящейся волны в двумерном случае.

3.5 Устойчивость катящихся волн к трехмерным возмущениям

4 Основные результаты и заключения

Исследование волновых течений с поверхностью раздела является одним из важнейших направлений гидродинамики. Основу его развития в своих фундаментальных работах заложили С.В. Алексеенко, П.Л. Капица, В. Левич, X. Лэмб, В.Е. Накоряков, А.А. Непомнящий, Б.Г. Покусаев, В.В. Пухначев, Л.Н. Сретенский, Дж. Уизем, В.Я. Шкадов [2], [22], [84], [81], [27], [28], [94], [31], [100], [38], [39], [40]. Обзор экспериментальных и теоретических работ и методов можно найти в монографиях [41], [63]. Интенсивное изучение этой проблемы связано с ее широким применением в технике и технологии. Обзор приложений приведен в [41], [63].

Несмотря на то, что к настоящему времени достигнут значительный прогресс в понимании проблемы и разработке теоретических методов ее исследования, многие вопросы остались недостаточно изученными, в частности, волновые течения по наклонному каналу при достаточно больших числах Рейнольдса, когда силы поверхностного натяжения неважны, рис. 1. Такие режимы могут встречаться как в технологических установках [41], [63], так и в природных условиях [66].

Бора или катящиеся волны в каналах и реках существенно меняют динамику русла и поэтому исследования их важны с практической точки зрения. В^934^году Корнин^бб^наблюдал и описал эти волны. Согласно его наблюдениям, когда вода стекает вниз по наклонному открытому каналу, течение характеризуется квазидвумерными катящимися волнами или борой. Эти волны существуют на всей ширине канала и распространяются вниз по течению. Тип волн не завист от поверхностного натяжения, и они могут существовать как для турбулентного, так и ламинарного режимов течения. Толщина слоя меняется от миллиметров до метров, то есть более, чем в 1000 раз, хотя природа катящихся волн остается той же самой. Для возникновения этих волн важны два фактора: а) угол наклона должен быть достаточно велик для проявления неустойчивости; б) влияние поверхностного натяжения, которое стабилизирует поток, должно быть пренебрежимо малым. При выполнении первого условия малые поверхностные возмущения экспоненциально растут вниз по потоку. В случае отсутствия стабилизирующих капиллярных сил (наше второе условие), волна достаточно большой амплитуды опрокидывается, и на фронте ее возникает вихрь водовоздушной смеси. Этот вихрь предохраняет волну от дальнейшего разрушения и делает возможным существование бегущих стационарных волн с длинным хвостом и коротким фронтом с вихрем на нем. Такая волна распространяется вниз по потоку с постоянной скоростью. Для некоторых режимов область вихря может визуально проявляться в виде белой пены на фронте.

Спустя 15 лет Дресслер [67] вывел упрощенную версию гидравлических уравнений, которые описывают к^тащиеся волны. Эта система также называется системой ^Сен-Венана^ До настоящего времени эта система являлась единственной для теоретического изучения такого рода волн. Существенным упрощением задачи Дресслером явилось то, что область вихря была аппроксимирована разрывным решением, или слабым решением гиперболической системы Сен-Венана.

Мы будем исследовать волны при достаточно больших числах Рейнольдса, "толстые слои", когда силы поверхностного натяжения не важны. При этом режим течения может быть как ламинарным, так и турбулентным. Несмотря на длинную историю исследования катящихся волн, остается множество теоретических открытых вопросов, таких как: их развитие из малых естественных возмущений, устойчивость катящихся волн, эффект влияния дна на волновые режимы и т.д. Даже задача о линейной неустойчивости плоского течения при турбулентном режиме течения была рассмотрена только на базе упрощенных гидравлических уравнений и поэтому требует более углубленного исследования.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка

4 Основные результаты и заключения

1) Впервые на базе уравнений Рейнольдса была исследована устойчивость турбулентных потоков в каналах относительно поверхностных возмущений. Были получены критические параметры, когда это течение теряет устойчивость. Найдены частота и волновое число возмущения с максимальным коэффициентом роста, и оценено расстояние между катящимися волнами в начале канала. Исследовано влияние поверхностного натяжения на устойчивость и найдено, что его влияние пренебрежимо мало. Результаты нашего анализа устойчивости хорошо согласуются с экспериментальными данными.

2) Предложен новый механизм влияния топографии дна на поверхностные волны. При условии резонанса показано существование стоячих волн большой амплитуды. Получено хорошее соответствие с экспериментами.

3) Развита полная теория двумерных катящихся уединенных волн для турбулентных и ламинарных потоков как слабых решений гидравлической системы уравнений. Найдены две новые ветви нелинейных решений типа отрицательных солитонов (типа впадины). Эти волны появляются в результате жесткой бифуркации от тривиального решения, в то время как положительные катящиеся уединенные волны ответвляются в результате мягкой бифуркации. Найдено экспериментальное подтверждение существования отрицательных катящихся волн.

4) Система гидравлических уравнений Дресслера была обобщена для описания трехмерных возмущений. Идея Дресслера об отсутствии сингулярности была обобщена для исследования устойчивости двумерных катящихся волн к двумерным и трехмерным возмущениям и построены спектры. Получен важный результат об устойчивости положительных стационарных волн и неустойчивости отрицательных волн.

1. Алексеенко С.В., Накоряков В.Е., Покусасв Б.Г. Волнообразование при течении пленки жидкости на вертикальной стенке // ПМТФ. 1979. N6. с. 77-87.

2. Алексеенко С.В., Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г. Волны на поверхности вертикально стекающей пленки жидкости. // ИТФ СО АН СССР. Н. 1979. Препринт N3G-79. с.52.

3. Бунов А.В., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. Устойчивость течений с поверхностью раздела. // Отчет Ин-та мех. МГУ. 1982. N2745.

4. Вайнберг М.М., Треногин В.А. // Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М. Н. 1969. 528 с.

5. Варграфтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М. ФМ. 1963. 788 с.

6. Воронцов Е.Г., Танайко Ю.М. Теплообмен в жидкостных пленках. Киев. 1972. 196 с.

7. Ганчев Б.Г., Козлов В.М., Лозоветский В.В., Никитин В.М. Экспериментальное исследование гидродинамики пленок жидкости, стекающей под действием силы тяжести по вертикальным поверхностям . // ТЭМ. 1973. т.7. N5. с.727-733.

8. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М. Н. 1972. 392 с.

9. Гешев П.И., Ездин Б.С. Расчет профиля скорости и формы волны на стекающей пленке жидкости. //В кн. Гидродинамика и тепломассообмен жидкости со свободной поверхностью. Новосибирск. ИТФ СО АН СССР. 1985. с. 49-58.

10. Гольдштик М.А., Правдина М.Х. О взаимодействии внешнего возмущения с турбулентным потоком. // ПМТФ. 1976. N1. с. 61-65.

11. И. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск. Н. 1977, 368 с.

12. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапарь Е.М. К теории катящихся волн в наклонных руслах. // ДАН. 2005. т.401. N1. с. 1-3.

13. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапарь Е.М. Определение критических параметров устойчивости плоско-параллельного течения тонкой пленки жидкости. // ТиА. ИТ СО РАН. 2005. т. 11. N2. с. 1-9.

14. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапарь Е.М. Солитонные решения и их спектр в теории катящихся волн. // Экологич. вечтник н. ц. ЧЭС. 2005. N1. с. 23-28.

15. Демехин Е.А., Калайдин Е.Н., Шапарь Е.М. О новом нелинейном решении в теории гидравлических волн. // XXVII Сибирский теплофизический семинар, Новосибирск. 2004. тез. докл. с. 131-132.

16. Демехин Е.А., Каплан М.А., Шкадов В.Я. О математических моделях теории тонких слоев вязкой жидкости. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. N6. с. 73-81.

17. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. О нестационарных волнах в слое вязкой жидкости. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. N3. с. 151-154.

18. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. Режимы двумерных волн тонкого слоя вязкой жидкости. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. N3. с.63-67.

19. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. К теории солитонов с диссипацией энергии. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. N3. с. 91-97.

20. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. О солитонах в диссипативных средах. // Гидродинамика и тепломассообмен течений жидкости со свободной поверхностью. Новосибирск. ИТФ СО АН СССР. 1985. N1 с. 32-48.

21. Демехин Е.А., Шкадов В.Я. О трехмерных нестационарных волнах в стекающей пленке жидкости. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. N5. с. 2127.

22. Капица П.Л. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости // ЖЭТФ. 1948. т. 18. вып.1. с. 3-28.

23. Капица П.Л., Капица С.П. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости. // ЖЭТФ. 1949. т.19. вып.2. с. 105-120.

24. Кулов Н.Н., Воротилин В.Н., Малюсов В.А., Жаворонков Н.М. Свободное стекание турбулентной пленки жидкости. // ТОХТ. 1973. т.7. N5. с. 717-726.

25. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М. ФМ. 1962. 480 с.

26. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Часть 2. М., Н. 1967. 720 с.

27. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Алексеенко С.В. Стационарные двумерные катящиеся волны на вертикальной пленке жидкости. // ИФЖ. 1976. т.ЗО. N5. с. 780-785.

28. Покусаев Б.Г., Алексеенко С.В. Двумерные волны на вертикальной пленке жидкости. // В сб. Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск. ИТФ СО АН СССР. 1977. с. 158-172.

29. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М. Н. 1978. 592 с.

30. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М. Н. 1973. т.1. 536 с.

31. Сретенский J1.H. Теория волнового движения жидкости. Н. М. 1977. 816 с.

32. Стокер Дж. Волны на воде. М. ИЛ. 1959. 618 с.

33. Танайко Ю.М. Воронцов Е.Г. Методы вычислений и исследования пленой жидкости. Киев. Техника. 1977. 312 с.

34. Таусенд А.А. Структура потока с поперечным сдвигом. М. ИЛ. 1959. 400 с.

35. Федявский К.К., Гиневский А.С., Колесников А.В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Лен. Судостроение. 1973. 256 с.

36. Шапарь Е.М. Первичная неустойчивость катящихся волн в наклонных каналах. / / VII Всероссийская конференция молодых ученых. Новосибирск. 2004. тез. докл. с. 84.

37. Шапарь Е.М., Калайдин Е.Н., Демехин Е.А. Резонансное влияние дна на волновые режимы. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Приложения. 2005. N5. с. 24-27.

38. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. N1. с. 4351.

39. Шкадов В.Я. К теории волновых течений тонкого слоя вязкой жидкости. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. N2. с. 20-25.

40. Шкадов В.Я. Некоторые методы и задачи гидродинамической устойчивости. Науч. тр. Ин-та мех. МГУ. 1973. N 25. 192 с.

41. Alekseenko, S.V., Nakoryakov, V. Е., Pokusaev, B.G. Wave formation on vertically falling liquid film. // AIChE. J. 1985. v. 32. p. 1446-1460.

42. Andreussi P., Asali J.C., Hanratty T.J. Initiation of roll waves in gas-liquid flows. // Ch. Eng. J. 1985. v.31. N 1. p. 119-126.

43. Belkin H.H., Macleod A.A., Monrad C.C. Turbulent flow of liquid falling on vertical surface. // AJChE. J. 1959. v.5. N 2. p. 245-248.

44. Benjamin T.B. Wave formation in laminar flow down an inclined plane. // J. of Fluid Mech. 1957. N2. p. 554-574.

45. Benjamin T.B. Shearing flow over a wavy boundary. // Fluid Mech. 1959. v. 6. p. 161-205.

46. Benney D.J. Long wave on liquid films. //J. Math, and Phys. 1966. v. 45. p. 150-155.

47. Binnie A.M. Experiments on the onset of wave formation on a film of water flowing down a vertical plate. // J. Fluid Mech. 1957. N 2. p. 551-553.

48. Binnie A.M. Instability in a slightly inclined water channel", J. Fluid Mech. // J. Fluid Mech. 1959. N 5. p. 561-570.

49. Bontozoglou V., Papapolymerou G. Laminar flow down a wavy incline plane. // Int. J. Multiphase Flow. 1997. N 23. p. 69-79.

50. Bontozoglou V. Laminar film flow along a periodic wall. // CMES. 1997. N 1 p. 129-138.

51. Brauner N., Maron D.M. Modeling of wavy flow inclined thin films. // Chem. Eng. Sci. 1983. v. 38. N 5. p. 775-788.

52. Brauner N. Roll wave celerity and average film thickness in turbulent wavy film flow. // Chem. Eng. Sci. 1987. v. 42. N 2. p. 265-273.

53. Brock R. R. Development of roll-wave trains in open channels. // J.of Hydraulics Division Proc. Am. Soc. Siv. Eng. 1969. N 4. p. 1401-1427.

54. Brock R. R. Periodic Permanent roll waves. // J. of Hydraulics Division Proc. Am. Soc. Civ. Eng. 1970. N 12. p. 25G5-2580.

55. Brock R. R. Development of roll waves in open channels. Report NKNR16. 1967. 226 p.

56. Chang H.-C., Demekhin E. A. Solitary Wave Formation and Dynamics on a Falling Film. // Adv. in Applied Mech. 1995. N 32. p. 1-58.

57. Chang H.-C., Demekhin E. A., Kalaidin E. N. Interaction dynamics of solitary waves on a falling film. // J. Fluid Mech. 1995. N 294. p. 123-154.

58. Chang, H.-C., Demekhin, E. A. and Kalaidin, E. N., "A Simulation of noise-driven wave dynamics on a falling film", AIChE J., 42(6), 1553-1568 (1996).

59. Chang H.-C., Demekhin E. A., Kalaidin E. N., Y. Ye. Coarsening dynamics of falling-film solitary waves. // Phys. Rev. E. 1996. N 54. p. 1467-1471.

60. Chang H.-C., Demekhin E. A., Kalaidin E. N. Generation and suppression of radiation by solitary pulses. // SIAM J. App Math. 1998. N 58. p. 12461277.

61. Chang H.-C., Demekhin E. A., Kalaidin E. N. Coherent structures, self-similarity and universal roll-wave coarsening dynamics. // Physics of Fluids. 2000. v. 12. N 9. p. 2268-2278.

62. Chang H.-C., Demekhin E. A., Kopelevich D. I. Nonlinear Evolution of Waves on a Vertically Falling Film. // J. Fluid Mech. 1993. N 250. p. 443480.

63. Chang H.-C. and Demekhin E.A. Complex wave dynamics on thin films. Elsevier. 2002. 402 p.

64. Chu, K.J. and Dukler, A.E., "Studies of the substrate and its wave structure",AIChE J., 20, 4, 695-706 (1974).

65. G5. Chu К.J., Dukler A.E. Structure of large waves and their resistance to gas films. // AIChE J. 1975. v. 21. N 3. p. 583-593.1. G6 G768