Неустойчивость, когерентные структуры и коллапс с приложением к нелинейной оптике, гидродинамике и биофизическим системам тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ООЗ 1-72248

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ имени Л. Д. ЛАНДАУ

На правах рукописи

Лушников Павел Михайлович

Неустойчивость, когерентные структуры и коллапс с приложением к нелинейной оптике, гидродинамике и биофизическим системам

Специальность 01 04 02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

16 п:.]2::з

Москва - 2008

003172248

Работа выполнена в Институте теоретической физики им Л Д Ландау Российской Академии Наук

Официальные оппоненты Доктор физико-математических наук, Член-корреспондент РАН Зыбин К П

Доктор физико-математических наук Иногамов Н А Доктор физико-математических наук Фрайман Г М

Ведущая организация

Институт автоматики и электрометрии

Сибирского отделения Российской Академии Наук

Защита состоится 27 июня 2008 года в И часов 30 минут на заседании Диссертационного Совета Д 002 207 01 Института теоретической физики им Л Д Ландау по адресу

142432, г Черноголовка, Ногинского района, Московской области,

проспект академика Семенова, 1а,

Институт теоретической физики им Л Д Ландау РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им Л. Д Ландау РАН

¿¡Г

Автореферат разослан "_" мая 2008 г

Ученый секретарь Диссертационного Совета, Доктор физико-математических наук

Гриневич П Г

Общая характеристика работы Актуальность темы

Нелинейные когерентные структуры - это структуры, в которых когерентность, к примеру, согласованность фаз волновых процессов, обусловлена нелинейными взаимодействиями в системе Нелинейные когерентные структуры имеют большое значение практически во всех областях физики Их исследования в настоящее время активно развиваются [1-5] В то же время, при всем разнообразии физических систем и эффектов, лежащих в основе образования нелинейных когерентных структур, они имеют много сходных свойств, позволяющих рассматривать нелинейные когерентные структуры с единых позиций нелинейной физики Нелинейные когерентные структуры могут возникать на нелинейной стадии развития линейной неустойчивости или вследствие наличия внешнего воздействия на систему К примеру, развитие модуляционной неустойчивости в нелинейной оптической среде или гидродинамическая неустойчивость могут приводить к образованию уединенных волн - солитонов Примером образования солитонов за счет внешнего воздействия является их формирование в нелинейной оптической среде под воздействием лазерной накачки с формой импульсов, близкой к солитонной, что является распространенным экспериментальным приемом в нелинейной волоконной оптике Если образовавшиеся когерентные структуры устойчивы, то они зачастую определяют динамику системы на больших временах Однако, нелинейные когерентные структуры могут и не существовать или быть неустойчивыми В этом случае возможно образование сингулярности за конечное время, называемое коллапсом

В диссертации анализируется широкий класс систем, где нелинейные когерентные структуры играют важную роль Нелинейная оптика представляет собой широчайшую область изучения поведения нелинейных когерентных структур Так, в квадратичных нелинейных средах, большую актуальность в последние годы приобрело изучение свойств сред с искусственно наведенной периодической

модуляцией коэффициента нелинейности на длине, близкой к четверти длины волны первой световой гармоники [6, 7], что позволяет добиться условия фазового синхронизма между первой и второй гармониками света при их распространении навстречу друг к другу Важное значение в этом случае приобретает изучение абсолютной неустойчивости по отношению к излучению волн под малыми углами - т е поперечной неустойчивости, что рассмотрено в диссертации В то же время абсолютная неустойчивость для встречного распространения волн в средах с кубической нелинейностью не требует модуляции коэффициента нелинейности и поэтому была исследована намного раньше [8, 9] Другим классом материалов, где поперечные неустойчивости между встречными волнами играют важную роль, являются фоторефрактивные среды [10,11] В данном случае нелинейность в первом порядке малости приводит к ускорению развития линейной неустойчивости - взрывной неустойчивости, характеризуемой образованием сингулярностей за конечное время, что является одним из основных явлений в нелинейной физике Стабилизация взрывной неустойчивости происходит за счет следующих порядков нелинейности и приводит к формированию нелинейных когерентных структур гексагонального типа [12] Активные исследования посвящены образованию сингулярности за счет волновых коллапсов, т е обращения амплитуды волны в бесконечность за конечное время, сопровождаемое драматическим уменьшением ширины волнового пакета Термин "волновой коллапс"был введен В Е Захаровым в 1972 г [13] В диссертации изучается возникновение волнового коллапса в нелинейных резонаторах с накачкой [14] и в конденсате Бозе-Эйнштейна с диполь-дипольными взаимодействиями [15-17]

Коллапсы играют большую роль и в практически важной задаче по достижению управляемого термоядерного синтеза за счет инерционного сжатия мишени с помощью лазерного излучения [18, 19] Распространение света в плазме, окружающей термоядерную мишень, сопровождается столь сильным нелинейным оптическим взаимодействием, что может приводить к множественному образованию коллапсов В настоящее время в США в Национальной Лаборатории Лоуренс Ливермор ведется строительство Какопа! ^шЬоп

Facility (NIF) - крупнейшей в мире установки по лазерному термоядерному синтезу с пиковой мощностью лазеров в 400 тераватт [19], что означает возможность одновременного формирования более Ю5 коллапсов Коллапс в данном случае является крайне нежелательным эффектом, поскольку он приводит к потере контроля над лазерными пучками и их рассеянию В результате может упасть степень обжатия мишени и не произойти зажигания самоподдерживающейся термоядерной реакции Поэтому, существенные усилия предпринимаются для подавления коллапсов путем обеспечения частичной некогерентности лазерных пучков Актуальным вопросом является определение максимально допустимой интенсивности лазерного пучка, позволяющей сохранить контроль над его распространением при увеличении частичной некогерентности В этом случае возможна как медленная диффузия угловой ширины пучка, так и возникновение неустойчивости за счет вынужденного рассеяния Манделыптама-Бриллюэна (ВРМБ) вперед, приводящей к коллапсу, а также могущей вызвать существенное рассеяние лазерного пучка в обратном направлении

Другой нелинейной оптической системой, в которой нелинейные когерентные структуры играют важную роль, являются оптические волокна Нелинейное распространение света в оптических волокнах описывается нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) с периодической пространственной вариацией дисперсии групповой скорости вдоль волокна [7] Роль времени в этом случае играет дистанция вдоль волокна, а время, наоборот, играет роль пространственной координаты Динамика уединенных импульсов, каждый из которых несет один бит информации, на коротких расстояниях (порядка нескольких десятков километров) практически линейна и сводится к периодической вариации амплитуды и ширины импульсов На ббльших расстояниях учет нелинейности необходим Для типичных трансокеанических расстояний в несколько тысяч километров нелинейность является основным ограничивающим фактором скорости передачи информации по оптическим кабелям В этом случае возможны две стратегии для увеличения пропускной способности оптических волокон Первая стратегия заключается в максимальном

подавлении нелинейных эффектов Однако эта стратегия практически достигла своих пределов, поскольку, в силу квантовых шумов в оптических усилителях, мощность оптических импульсов должна оставаться достаточно большой для поддержания ошибок от шумов на приемлемом уровне Вторая стратегия заключается в том, чтобы не пытаться бороться с нелинейностью, а использовать нелинейные когерентные структуры как носитель информации для увеличения пропускной способности оптических волокон В качестве носителя информации может выступать как солитон с управляемой дисперсией (dlsperslon-managed эоМоп), так и его различные обобщения В последние годы эта вторая стратегия привлекает большое внимание В компании Люсент была достигнута рекордная скорость передачи информации на основе этой стратегии [20]

В гидродинамике жидкости со свободной поверхностью исследования неустойчивостей и нелинейных когерентных структур имеют большую историю [1, 21, 22] и остаются областью активных исследований [23-25] Существенным вызовом для теории и численного моделирования служит формирование особенностей на поверхности жидкости Одним из важных и активно развиваемых теоретических подходов является описание этого процесса через движение сингу-лярностей в пространстве вне жидкости [26-28] Образование особенности на поверхности жидкости соответствует моменту времени, когда сингулярность касается поверхности жидкости Численное моделирование динамики свободной поверхности представляет большие трудности Актуальной задачей является вывод редуцированных уравнений, более удобных для численного моделирования Недостатком существующих редуцированных моделей является их некорректность - они имеют неустойчивость на малых масштабах вследствии нарушения условия применимости теории возмущений, используемых для вывода этих редуцированных моделей Поэтому задача построения корректных моделей является чрезвычайно актуальной

Биофизические исследования динамики бактерий и биологических клеток привлекают в настоящее время огромный интерес [2933] и имеют большое прикладное значение для биологии и меди-

цины Нелинейные когерентные структуры возникают в этом случае при усредненном макроскопическом описании, когда динамика бактериальных колоний или клеток моде иируется через распределение плотности клеток в пространстве и времени Одним из наиболее распространенных механизмов взаимодействия бактерий является хемотаксис, когда каждая бактерия реагирует на присутствие градиента химического вещества Это вещество называется хемоат-трактантом (хеморепеллентом), если бактерия стремится двигаться в направлении градиента (против градиента) Бактерии выделяют это химическое вещество в окружающее пространство, где оно испытывает диффузию, что обеспечивает нелокальное взаимодействие между бактериями Малая концентрация бактерий часто приводит к образованию нелинейных когерентных структур в виде спиралей и их медленной эволюции, в то время как большая концентрация приводит к быстрой агрегации бактерий В рамках макроскопического описания агрегация соответствует коллапсу плотности бактерий Асимптотическое поведение решений вблизи коллапса имеет общие черты с коллапсом в нелинейном уравнении Шредингера, хотя уравнения являются негамильтоновыми Большой интерес представляет задача о выводе макроскопических уравнений, учитывающих размеры и форму клеток, и регуляризации коллапса за счет контактных взаимодействий между бактериями или клетками

Цель диссертации

Целью диссертации является исследование образования нелинейных когерентных структур на нелинейной стадии развития линейной неустойчивости, анализ устойчивости нелинейных когерентных структур, их динамики на больших временах, а также их разрушения с образованием сингулярностей и коллапсов в применении к ряду нелинейных оптических, гидродинамических и биофизических систем

Научная новизна и достоверность

Все результаты, выносимые на защиту, являются оригинальными Достоверность полученных результатов обосновывается надежностью использованных аналитических и численных методов Результаты диссертации согласуются с данными экспериментов и численного моделирования, полученных другими авторами

Научная и практическая ценность диссертации

Результаты диссертации могут применяться в целом ряде оптических устройств, включая генерацию сверхкоротких импульсов за счет коллапсов в нелинейных оптических резонаторах, увеличение пропускной способности оптических систем путем использования предложенного устройства для компенсации нелинейности, использования бисолитонов, а также путем периодической компенсации случайной компоненты дисперсии в оптических волокнах

Ряд результатов, полученных в диссертации, имеют большое практическое значение для NIF Предсказано, что дальнейшее уменьшение времени корреляции лазерных пучков NIF (что является дорогой и технически сложной задачей) не является целесообразным, поскольку не сможет увеличить максимально допустимую интенсивность лазерных пучков Это предсказание было подтверждено экспериментально Результаты диссертации по максимальной допустимой интенсивности лазерного излучения в условиях плазмы инерционного лазерного термоядерного синтеза в настоящее время включены в программное обеспечение, используемое в Национальной Лаборатории Лос-Аламоса (США) для расчета и дизайна NIF Предсказано, что изменение максимально допустимой интенсивности может быть достигнуто путем изменения композиции плазмы, что также позволит контролировать ВРМБ назад, являющейся серьезной проблемой для NIF

Подходы, развитые в диссертации, могут и уже активно применяются для анализа нелинейных оптических, гидродинамических и биофизических систем Общие принципы формирования гексагональных структур в фоторефрактивных кристаллах позво-

ляют объяснить существующие и предсказать новые эксперименты Доказательство возможности образования коллапса в конденсате Бозе-Эйнштейна за счет одних диполыю-дипольиых взаимодействий предлагает возможность формирования коллапса в других системах с нелокальной нелинейностью и сингулярным взаимодействием на коротких расстояниях Исследование коллективных неустойчивостей в плазме при наличии частичной некогерентности лазерного излучения открывает возможности новых направлений исследования коллективных неустойчивостей В гидродинамике со свободной поверхностью анализ движения сингулярностей предлагает путь к поиску новых точных решений и точно интегрируемых моделей, включая динамику сверхтекучих жидкостей В биофизике предложенный подход предлагает возможность вывода макроскопических моделей динамики клеток, исходя из микроскопической динамики отдельных клеток

Ряд результатов, полученных в диссертации, имеют важное значение для численного моделирования Так, предложенный алгоритм эффективного распараллеливания для многоканальных оптических систем, позволяет осуществлять суперкомпьютерное моделирование оптических линий на трансокеанических расстояниях Предложенный переход к оптимальным каноническим переменным для гидродинамики жидкости со свободной поверхностью позволяет избавиться от численных неустойчивостей, вызванных некорректностью стандартных переменных, а также осуществлять моделирование при большем уровне нелинейности (угле наклона поверхности) поверхностных волн Выведенная система макроскопических уравнений для динамики бактерий и клеток, с учетом контактных взаимодействий между ними, позволяет выполнять численное моделирование больших колоний ~ 106 — 107 клеток, что является чрезвычайно трудной задачей при моделировании на уровне микроскопического описания динамики флуктуаций формы каждой клетки

Апробация работы

Материалы диссертации многократно докладывались на заседаниях Ученого совета Института теоретической физики им Л Д Ландау (1998-2008 гг), на российских конференциях, включая ежегодные Научные сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, институт Океанологии РАН), конференциях Landau Days (Черноголовка, Московская область), на международных конференциях "Soliton, Collapses and Turbulence Achievements, Developments and Perspectives (1999, Черноголовка, Московская область), "Seventh Topical Meeting on Photorefractive Materials, Effects, and Devices (1999, Elsinore, Denmark), "Conference on Lasers and Electro-Optics"(CLEO) (2000, San Francisco, USA), Workshop "Duke Days"(2000, Duke University, USA), Conference "Soliton Equations Applications and Theory (2001, Colorado Springs, USA), Workshop "Statistical and Nonlinear Physics of Fiber Communications (2001, Los Alamos, USA), Optical Society of America (OSA) meeting (2001, Long Beach, California, USA), Second Workshop "Soliton, Collapses and Turbulence (2002, Черноголовка, Московская область), Conference "Arizona Days 2002"(2002, Los Alamos, USA), "Nonlinear Optics Workshop"(2002, Brown University, USA), Workshop "Advances in Raman-Based, High-Speed Photonics"(2003, Los Alamos, USA), Conference "Los Alamos Days 2003"(2003, The University of Arizona, USA), The THIRD IMACS International conference (2003, Athens, Georgia, USA), University of Arizona (2004, USA), Ameircan Mathematical Society (AMS) meeting (2004, Evanston, Illinois, USA), AMS meeting (2006, University of Notre Dame, USA), Conference "Non-equilibrium Statistical Mechanics and turbulence" (2006, University of Warwick, UK), SI AM Conference on Nonlinear Waves and Coherent Structures, (2006, University of Washington, USA), AMS meeting (2007, Tucson, USA), Third Workshop "Soliton, Collapses and Turbulence(2007, Черноголовка, Московская область), 6th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (2007, Zurich, Switzerland), AMS meeting (2007, Albuquerque, USA) Также результаты диссертации многократно докладывались на коллокви-

умах и научных семинарах Los Alamos National Laboratory (USA, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004), Brown University (USA, 2001), Bell Labs (USA, 2001) Rensselaer Polytechnic Institute (USA, 2001), University of North Carolina at Chapel Hill (USA, 2002), Columbia University (USA, 2002), California Institute of Technology (USA, 2003), Georgia University (USA, 2003), University of St Andrews (UK, 2003), University of Arizona (USA, 2004), University of Illinois at Urbana-Champaign (USA, 2004), University of Houston (USA, 2004), University of Notre Dame (2004, 2005), University of Wisconsin-Madison (USA, 2005), University of Chicago (USA, 2005), University of New Mexico (USA, 2006), North Carolina State University (USA, 2006), Southern Methodist University (USA, 2007), University of Toronto (Canada, 2007)

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 20 научных работ Список этих работ приведен в конце автореферата

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, пяти Глав, Заключения и Списка литературы

Содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, приведена ее структура, сформулированы основные объекты исследования и поставленные задачи, обсуждены методы их решения, а также новизна, практическая и теоретическая ценность полученных результатов

В Главе 1 диссертации исследована взаимосвязь между поперечной неустойчивостью, образованием нелинейных когерентных структур и коллапсом В Разделе 1 1 рассмотрена поперечная

неустойчивость при распространении навстречу друг к другу первой и второй гармоник в квадратичных средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости х^ В обычных пространственно однородных средах фазовый синхронизм возможен (за исключением экспериментально практически недостижимого очень сильного двулучепреломления) только при распространении первой и второй гармоник света (пучки с частотами Wi и 2wi, соответственно) в одном направлении, поэтому поперечная неустойчивость может иметь только конвективный характер Однако, если х^ промодулирова-на в пространстве с волновым вектором кт, соответствующим пространственному периоду порядка А/4, где А = 2n/ki - длина волны основной гармоники, то возможен квази-фазовый синхронизм (quasi-phase-matchmg) между распространяющейся вдоль оси 2 основной гармоникой с амплитудой волны Е\ = (А\/2) exp{i(kiz — t)\ -fee (се обозначает комплексно сопряженные члены) и распространяющейся в противоположном направлении второй гармоникой Е2 = (Aj/2) ехр[i(—k2z — 2ojit)] + с с Малость расстройки (Ак = 2к\ + к2 — кт) по сравнению с к\ обеспечивает применимость обезразменных уравнений для амплитуд гармоник

(Ot + dz-iVDA! = ze~lAkzA1*A2l {dt-dz-(i/2)v()A2 = ге^Аг2, (1)

где - Лапласиан в поперечных координатах г = (х, у) и к2 = 2ki Уравнения (1) имеют плоские стационарные решения А\ = aiexp [гагг], А2 = а2ехр [г(2а2 + Afc)z], Ак = —(2+ с действительными амплитудами а\,а2 Учет слабых поперечных возмущений в виде

А! = Ai (l + f+(z)e'kl r 4- f-(z)e~tk± r) ev\

A2 = A2 (1 + b+(z)elkl r + b~(z)e~lk± r) evt (2)

приводит, в линейном приближении по амплитудам поперечных возмущений /±, Ь±, с граничными условиями на противоположных краях кристалла /±(0) = 6±(1) = 0, к краевой задаче на собственные значения и Минимальный порог поперечной неустойчивости дости-

гается при |аг| — 1 7, что соответствует, в условиях экспериментально часто используемого кристалла ГлМЬОз, интенсивностям порядка нескольких мегаватт на см2, легко достижимых для современных импульсных лазеров Неустойчивость является абсолютной и должна приводить на нелинейной стадии к формированию поперечных нелинейных когерентных структур

В Разделе 1 2 рассмотрена нелинейная стадия развития поперечной абсолютной неустойчивости в фоторефрактивных материалах Фоторефрактивная нелинейность возникает в несколько этапов [10, И] Вначале интерференция световых пучков создает пространственно неоднородную интенсивность света в среде, что приводит к неоднородной генерации носителей (электронов или дырок) за счет фотопереходов с примесных уровней в зону проводимости В результате неоднородного распределения зарядов они испытывают дрейф и диффузию, а также рекомбинируют, создавая при этом электростатическое поле В свою очередь электростатическое поле вызывает изменение показателя преломления за счет электрооптического эффекта Дифракция света на изменениях показателя преломления служит последним этапом Нелинейность является медленной, но при этом в типичных фоторефрактивных кристаллах ВаТЮз и 1л№)03 она может достигать гигантских значений

Фоторефрактивная нелинейность не требует волн с разными частотами, поэтому встречное распространение волн может обеспечиваться за счет зеркала обратной связи, что и рассматривается в диссертации Показано, что встречные световые пучки в фоторефрактивных кристаллах неустойчивы относительно возбуждения боковых волн под малыми углами к накачке В диссертации выведена общая система уравнений, описывающая эволюцию амплитуд боковых волн и поля пространственного заряда (электростатического поля) при произвольном уровне нелинейности При анализе линеаризованной краевой задачи используется замена, сходная с уравнением (2), где амплитуды А\ и Ач заменены на точные значения стационарной задачи, абсолютные значения которых зависят от 2 Отдельно решаются уравнения для электростатического поля Это позволяет найти порог поперечной абсолютной неустойчивости и собственные векто-

ры прямой и эрмитово сопряженной линейных краевых задач При малых надкритичностях, когда боковые пучки неустойчивы только в узком кольце вблизи максимума инкремента линейной неустойчивости, общее решение нелинейной краевой задачи сведено (с помощью разложения по собственным функциям линейной задачи) к системе амплитудных уравнений

дтАк = р0Ак + {1/2)и £ Ак1Ак2-к!+к2=к

(1/3!) £ Т_кк1к2кзАк1Ак2Акз, (3)

к!+к2+к3=к

где Ак - амплитуды собственных мод линейной задачи при данном значении волнового вектора, лежащего в плоскости, перпендикулярной пучкам накачки Система (3) представляет собой разложение Ландау по амплитудам растущих линейных мод Таким образом, вся зависимость от продольной координаты г дает вклад только в матричные элементы и, Ткк1к2кг трех- и четырехволновых взаимодействий, соответственно

Матричный элемент II трехволнового взаимодействия отличен от нуля, что приводит к возникновению взрывной трехволновой неустойчивости и корреляции боковых пучков под углами, кратными 7г/3 Все подобные скоррелированные возмущения образуют гексагон в плоскости поперечных волновых векторов к При этом, корреляция между различными гексагонами отсутствует, а взаимодействие между ними мало Стабилизация неустойчивости, а также подавление других гексагонов с меньшей амплитудой обеспечивается четырехволновыми и более старшими волновыми процессами Таким образом, возбуждение гексагонов происходит жестким образом до амплитуды, при которой происходит их стабилизация за счет четырехволновых и старших нелинейностей Жесткое возбуждение гексагонов является аналогом фазового перехода первого рода Исходная система (до возникновения поперечной неустойчивости) однородна и изотропна в плоскости, перпендикулярной направлению распространения пучков накачки Жесткий переход к гексагональным структурам приводит к нарушению трансляционной инвариантности системы в этой плоскости Проведено сопоставление тео-

ретических результатов с экспериментами для фоторефрактивных кристаллов КЫЬОъ и ВаТгОз

В Разделе 1 3 рассмотрено спонтанное формирование гексагональных поперечных структур в фоторефрактивном кристалле при отсутствии встречной волны накачки В экспериментальной системе присутствует зеркало обратной связи, которое отражает боковые пучки назад в кристалл (но отражение пучка накачки блокировано с помощью системы линз) На первый взгляд экспериментальное наблюдение спонтанного образования гексагональных структур в этой системе является парадоксом Причина этого явления состоит в рассеянии пучка накачки на дефектах кристалла Это рассеяние мало, однако, как показано в Разделе 1 3, при наличии случайного рассеяния, которое можно рассматривать как внешний затравочный источник света, в системе возможны два типа стационарных нелинейных решений Одно решение является слабо-нелинейным и пропорциональным интенсивности затравочного пучка Однако, имеется порог по интенсивности затравочного пучка и слабо-нелинейное решение не существует выше порога Вместо этого, интенсивность боковых волн эволюционирует за конечное время ко второму сильнонелинейному решению Сильно-нелинейное решение практически не зависит от интенсивности затравочного пучка Для параметров, использованных в эксперименте, этот порог равен ~ 1 б х 10~6 в единицах волны накачки для максимального значения действительной части фоторефрактивной константы связи 7Г Столь малое значение порога связано с очень большой силой фоторефрактивной нелинейности в использованном кристалле

Экспериментально удобно менять 7Г путем изменения поляризации волны накачки В дополнительном эксперименте 7Г выбиралось ниже порога возбуждения сильно-нелинейного решения После этого лазерный пучок малой интенсивности освещал кристалл под малым углом к пучку накачки и измерялось, при какой интенсивности дополнительного пучка происходило формирование сильнонелинейной гексагональной структуры После формирования гексагональной структуры дополнительный пучок мог быть выключен, однако, как и предсказывает теория, гексагональная структура про-

должала существовать и после этого Измеренные значения порога затравки оказались в согласии с теорией Таким образом, система с одной волной накачки оказывается линейно устойчивой относительно формирования гексагональных структур по отношению к сколь угодно малым значениям затравки, но нелинейно неустойчивой, если интенсивность затравки превышает пороговое значение

В Разделе 1 4 исследуется коллапс в НУШ с внешней возбуждающей силой

гдг'ф — Ъф — Ч2ф - \ф\2ф + Е, (4)

где Ь = Ьг + гЬг - комплексная константа, Е - действительная функция координат и Лапласиан V2 соответствует размерностям Б = 2 или Б = 3 Уравнение (4) описывает формирование нелинейных пространственно-временных структур в нелинейном оптическом резонаторе с постоянной накачкой (И = 2) или с периодической по времени накачкой с периодом, кратном времени движения света через резонатор (И = 3) Коллапс в уравнении (4) может служить эффективным механизмом формирования ультракоротких импульсов в нелинейном резонаторе В Разделе 1 4 показано, что коллапс действительно может возникать Найдены достаточные условия возникновения коллапса и проведено сравнение с численным экспериментом

В Разделе 1 5 изучается коллапс в НУШ с нелокальной нелинейностью (также называемое зависящим от времени уравнением Гросса-Питаевского), описывающего Бозе-Эйнштейновский конденсат с диполь-дипольным взаимодействием

гПд^ = { - (Й2/2ш)У2 + + х22 + -у2х23)

+<?Ж2 + {У(т- г'))Ф(г')|2^г'}Ф, (5)

где г = (х1,х2,хз), Ф -волновая функция конденсата, константа связи д = 4я"Ь2а/тп соответствует короткодействующим силам, а - длина рассеяния б-волны, т - масса атома, шо -частота ловушки в плоскости Х1Х2 и 7 - фактор анизотропии ловушки Ф(г, ¿) нормировано на полное число атомов в конденсате N = /|Ф|2с?3г Даль-нодействующий потенциал У (г) соответствует диполь-дипольному

взаимодействию

_ |d,(r) d2<r-))-3[d,(r) n][da(iQ-M)^ ц _

Ii:-i'r

Предполагается что все диполи ориентированы в направлении оси ловушки хз, те di = с1г = dx3, что является хорошим приближением, если типичное расстояние между атомами превышает несколько радиусов Бора В Разделе 1 5 найдены достаточные условия коллапса конденсата Бозе-Эйнштейна и проведено их сравнение с результатами вариационного анализа

В Главе 2 диссертации исследованы неустойчивость, диффузия и коллапс лазерного пучка при нелинейном распространении в плазме лазерного пучка с частичной некогерентностью в условиях высокотемпературной плазмы для экспериментов по лазерному термоядерному синтезу Распространение лазерного пучка в плазме вдоль оси z с частотой lüq и волновым вектором ко описывается уравнением для пространственной и временной огибающей электрического поля

£ — (1/2)Ее1ко*~Шо* + с с , где огибающая Е подчиняется уравнению {t9z + ¿V2 ~ \Р)Е = V = {9х'9у) (6)

Здесь пе - средняя плотность электронов, которая считается намного меньше критической электронной плотности пс = теи2/47ге2, те - электронная масса и е - заряд электрона В отсутствии среднего потока в плазме обезразмеренная флуктуация плотности электронов р = 5пе/пе распространяется со скоростью ионно-звуковых волн cs

{dl + 2Ddt - c2V2) ln(l + p) = <?У{1 + STe/Te), (7)

где I = \E\2 - интенсивность лазерного излучения, v - интегральный оператор, преобразование Фурье которого есть игакс3, vm - коэффициент затухания Ландау, 5Те -флуктуации электронной температуры Те В Разделе 2 1 предполагается, что Те достаточно высока, так что можно учитывать пондемоторные эффекты (член с/в правой части уравнения (7)) и пренебрегать 8Те

Если флуктуации плотности малы |/з| 1 и можно пренебречь временными производными, те \dtp\ <С cä|Vp|, уравнения (6) и

(7) сводятся к двумерному НУШ {idz + ^V2 + ^\Е\2)Е = О НУШ описывает коллапс на конечном расстоянии распространения лазерного пучка вдоль г при мощностях лазерного импульса Р — J Idxdy, превышающих критическую мощность Рс — 68 В каждый коллапс захватывается приблизительно одна критическая мощность В условиях плазмы National Ignition Facility (NIF) (:пе и 1021/cm3, Те и 5keV, о>0 « 5 х 1015sec_1) критическая мощность в размерных единицах Рс = 1 6 х 109 Вт В тоже время NIF будет иметь 192 лазерных пучка, распределенных по 48 четверкам (beam quads) с пиковой мощностью каждой четверки порядка 8 х 1012 Вт, т е каждая четверка может производить одновременно ~ 5 х 103 коллапсов А все пучки вместе могут производить более 2 х 105 коллапсов Коллапс является крайне нежелательным явлением для NIF, поскольку приводит к рассеянию лазерного излучения под широкими углами и потерю контроля над распространением лазерных пучков

Для борьбы с коллапсами применяются случайные фазовые пластины (random phase plates), которые делают лазерные пучки частично некогерентными в пространстве с корреляционной длинной спел-поля 1С в поперечной плоскости (х, у) Однако, этого оказывается недостаточным для подавления коллапсов, поэтому лазерным пучкам также придают частичную некогерентность во времени с корреляционным временем Тс Идея использования частичной временной некогерентности состоит в том, что при малом Тс члены с производными по времени в уравнении (7) будут доминировать и флуктуации плотности плазмы р будут подавлены, поскольку они не будут успевать реагировать на изменения амплитуды Е Это произойдет, если безразмерное корреляционное время Тс = csTc/lc (отношение времени корреляции ко времени движения ионно-акустической волны поперек спекла) мало Гс < 1 Однако, идея подавления р за счет малого Тс не учитывает возможности существования неустойчивости, которая найдена в Разделе 2 1

В диссертации граничные условия для поперечных Фурье гармо-

ник в плоскости (кх, ку) на границе плазмы задаются в виде

Ё{k, z = 0,t) = |Я(к)| exp [гфк{1)}, {exp г[фф) - Mt')}) = 5кк, exp ( - |i - t'\/Tc) (8)

Амплитуды |J5(k)| распределены в виде "Hiano4KH"("top-hat"), чтобы аппроксимировать оптику NIF

)£(k)j = const, к < кт, |£(k)| = 0, к > кт, (9)

где 1 /1С = кт ~ ko/(2F), F - оптическое /-число (отношение фокусного расстояния и диаметра линзы)

Поскольку уравнение (6) линейно по Е, то оно может быть разложено при любом z, в конечную сумму Е = Е? Emj(x, z, t), где каждый член имеет характерный волновой вектор т^ Emj (х, 2 = О, i) ~ ехр(гт_, • х) Недиагональные члены EmjЕ^ (, т., ^ т^ в интенсивности изменяются на временном масштабе Тс, так что их вклад в уравнение (7) подавлен при Тс< 1 В этом случае правая часть уравнения (7) может быть заменена на

c^V2/ = c?V2EI^|2 = с2 V2 J dvF(x, v, z, t), где функция F(x, v,z, t) = ¡drEdm,m .Emj(x - r/2,z,t)E*mi(x- +

33'

r/2,z,t)elvr/(2n)2 является аналогом Вигнеровской функции, что позволяет получить замкнутое выражение для нее и решить задачу об устойчивости для распространения лазерного пучка относительно вынужденного рассеяния Манделыптама-Бриллюэна (ВРМБ) вперед Неустойчивость зависит только от одного параметра - обез-размеренной средней интенсивности пучка /о = и не зависит

от Тс Неустойчивость является коллективной, поскольку зависит не от отдельных спеклов лазерной интенсивности, а только от интенсивности /о, усредненной по флуктуациям спекл-поля

Коллективная неустойчивость не имеет порога, однако становится существенной только при /о > 2 В этом случае развитие неустойчивости на нелинейной стадии приводит к сильной самофокусировке и развитию коллапсов, вызывая дезинтеграцию лазерного пучка

на множество малых пучков (beam spray) Однако, достижение лазерного термоядерного синтеза в NIF требует контролируемого распространения лазерного пучка без потери его целостности Таким образом, условие То = 2 дает предельно допустимую интенсивность лазерного пучка для использования в NIF Это ограничение на интенсивность справедливо при сколь угодно малых Тс Поэтому одним из основных практических предсказаний Раздела 2 1 для NIF заключается в нецелесообразности дальнейшего уменьшения Тс (что является технически весьма сложной и дорогостоящей задачей), по сравнению с тем, что уже достигнуто (Тс ~ 4 пс) Это предсказание было подтверждено экспериментально [34]

При /0 < 2 неустойчивы только Фурье моды l-E^k)! с < km, лежащие внутри распределения top-hat, поэтому на нелинейной стадии развития неустойчивости происходит только небольшая перенормировка формы распределения, не производящая качественных эффектов Вместо этого устанавливается статистическое квазиравновесие и происходит медленная диффузия лазерного пучка в Фурье пространстве Уравнения, описывающие эту диффузию, могут рассматриваться как аналог теории слабой турбулентности [1] В Разделе 2 1 также проведено сравнение с численными экспериментами, подтверждающими наличие неустойчивости

В Разделе 2 2 предполагается, что 6Те ф 0 Уравнение для öТе подчиняется уравнению теплопроводности с источником из-за нагрева электронов за счет обратного тормозного поглощения энергии лазерного поля и нелокальной теплопроводностью, возникающей вследствие того, что длина свободного пробега Аег для электрон-ионных столкновений ~ 1С

В условиях NIF необходимость учета 6Те в уравнении (7) возникает при добавлении к стандартной плазме с малым числом ионизации Z (обычно в NIF это смесь гелия и водорода) небольшого количества атомов с высоким Z К примеру, добавление 1% ксенона к плазме с низким Z (50% Не и 50% of Н) увеличивает эффективное число ионизации Z* с 1 7 до 15 5, при этом практически не меняя иш Здесь Z* = ЕnlZf/'EnlZu пг и Zt - плотность и степень иониза-

I г

ции (число ионизованных электронов по отношению к числу атомов) г-ой компоненты плазмы, соответственно Под действием флуктуа-ций 6Те коллективная неустойчивость и предельная интенсивность, введенные в Разделе 2 1, приобретают зависимость от Z* На этой основе в диссертации предложено манипулировать предельной интенсивностью путем изменения композиции плазмы, что находится в согласии с экспериментом [34]

В Разделе 2 2 также предложен путь контроля ВРМБ назад, что является еще одной опасностью для ШР Идея состоит в том, что ВРМБ назад подавляется за счет уменьшения 1С В тоже время, в режиме нелинейной диффузии пучка, происходит уменьшение /с тем более значительное, чем ближе интенсивность приближается к предельно допустимой интенсивности. Поэтому наиболее оптимальным представляется работа N1? при интенсивностях на границе между режимами нелинейной диффузии и дезинтеграции пучка

В Главе 3 диссертации рассматривается применение когерентных структур для передачи информации в оптических коммуникациях В Разделе 3 1 вводятся базовые понятия нелинейных оптических линий Нелинейное распространение света в оптических волокнах описывается НУШ с периодической пространственной вариацией дисперсии групповой скорости вдоль волокна

ги2 + с1(г)ии + ф) |«|2« = 0, (10)

где дисперсия <1(г) и коэффициент нелинейности с{г) > 0 являются периодическими функциями координаты г вдоль оптического волокна, t связано с физическим временем Т как £ = Т—г/с и с - групповая скорость света в оптическом волокне Дисперсия й(г) может быть изменена в достаточно широких пределах путем изменения поперечного профиля оптического волокна, поэтому уравнение (10) называют НУШ с управляемой дисперсией (dlspereюn-managed)

Как правило, в коммерчески используемых оптических линиях й(х) является кусочно-постоянной функцией <1(г) = (4) + где ¿(г) = й\ при 0 < 2 + пЬ < Ь\ и ¿{г) — ¿2 при Ь\ < г + пЬ < Ь,п - произвольное целое число, Ь = Ь\ + Ь2- пространственный период вариации дисперсии, {¿) - средняя дисперсия, ¿ь^г - амплитуды

изменения дисперсии с нулевым средним ¿1^1+^2-^2 = 0 Первое волокно имеет d\> 0 - такое волокно называют обычно стандартным, в то время, как второе волокно с ¿2 < 0 называют дисперсно нно-компенсирующим Средняя дисперсия выбирается близкой к нулю |{d)| -С |di|, Технологически возможно производить оптическое волокно не только с кусочно-постоянной, но и с практически любой зависимостью d(z), но в настоящее время это экономически нецелесообразно

Оптические волокна используются для передачи информации в виде последовательности оптических импульсов кодирующих биты информации Каждому биту выделяется определенный временной интервал (слот) К примеру, единице информации может соответствовать наличие импульса в данном слоте, а нулю - его отсутствие Если пренебречь нелинейным членом в уравнении (10), то временная ширина оптического импульса при постоянном d(z) будет увеличиваться с расстоянием за счет дисперсии, а амплитуда будет уменьшаться, так что после достаточно большого расстояния ширина импульса превысит ширину слота и станет невозможно выделить биты информации из различных слотов, т е информация будет потеряна

Идея управляемой дисперсии развилась из исходной идеи компенсации дисперсии - периодическая вариация знака дисперсии при (d) = 0 (полностью компенсированная дисперсия) приводит к осцил-ляциям ширины и амплитуды импульса с периодом L, но в среднем они остаются постоянными на сколь угодно больших расстояниях без учета нелинейности Однако, при типичных мощностях оптических импульсов порядка 1мВт, учет нелинейности необходим на расстояниях, превышающих несколько десятков километров Для трансокеанических расстояний в несколько тысяч километров нелинейность является основным ограничивающим фактором для скорости передачи информации

Возможны две стратегии для увеличения пропускной способности оптических волокон Первая стратегия заключается в максимальном подавлении нелинейных эффектов, однако, эта стратегия практически достигла своих пределов, поскольку, в силу квантовых шумов в оптических усилителях, мощность оптических импульсов

должна оставаться достаточно большой для поддержания ошибок от шумов на приемлемом уровне Вторая стратегия заключается в том, чтобы не пытаться бороться с нелинейностью, а использовать нелинейные когерентные структуры как носитель информации для увеличения пропускной способности оптических волокон Характерной особенностью второй стратегии является используемое ненулевое значение {d) ф О

В Разделе 3 2 рассматриваются свойства наиболее широко применяемой из подобных нелинейных когерентных структур - соли-тона с управляемой дисперсией (СУП), что является переводом с английского языка термина dispersion-managed sohton. Использование термина "солитон"в данном случае не является строгим и возникло исторически, поскольку амплитуда и ширина СУП испытывают периодические осцилляции как функции z с периодом L СУП приобретает, однако, значение обычного солитона при усреднении уравнения (10) по быстрым линейным осцилляциям с переходом к новой переменной ф ф = йе^Ай*'^', Где ф(ы) = fxx ф(1)ешЧЬ - преобразование Фурье от ф и аналогично для й Идея усреднения состоит в том, что ф является медленной переменной от z на масштабе L, поскольку вся быстрая зависимость по z включена в быстро меняющуюся экспоненту е~ш ^i/2^1 ">dz Усредненное уравнение при c{z) = со = const является интегродифференциальным уравнением Габитова-Турицына [35]

гфг + - 1 + tWh + t)x

P(ti+t2 + t)dtidt2 = 0, (И)

где s = d\Li - сила дисперсии (dispersion map strength) СУП для уравнения (11) имеет обычную солитонную форму ф = A(t)etXz, где A(t) - действительная функция, убывающая при |£| —► оо

Трудности в анализе уравнения (11) связаны с нелокальностью нелинейности, однако преимуществом является медленность (11) по сравнению с периодом L В Разделе 3 2 найдены амплитуда и ширина СУП как функция параметров (d), Л, Со, s Показано, что при малых t форма СУП близка к гауссовой рехр (— |i2), а на

больших t имеет экспоненциальную огибающую с квадратичным поведением фазы Aasymp(t) = /(i)cos(|j + Oi|i| + a2)exp(-b|i|), где f(i) - алгебраическая функция t В силу экспоненциального убывания хвостов СУП, взаимодействие между соседними солитонами может быть достаточно сильным (по сравнению с предполагавшейся ранее гауссовой асимптотикой), что ограничивает пропускную способность оптических волокон Также в Разделе 3 2 найдена граница области существования СУП при (d) < О

В Разделе 3 3 построен эффективный численный алгоритм для моделирования как уравнений типа (10),(11) и их обобщений, учитывающих дисперсию третьего порядка Учет этой дисперсии необходим для моделирования многоканальных систем, где через одно волокно одновременно передаются десятки последовательностей оптических импульсов, промоделированных на разных частотах (wavelength division multiplexing) Прямое численное моделирование этой системы на однопроцессорном компьютере труднореализуемо, поскольку необходимо учитывать несколько сотен тысяч Фурье гармоник при очень малом численном шаге по 2 Алгоритм основан на приближении слабой нелинейности и позволяет производить вычисления быстрых преобразований Фурье одновременно и независимо на параллельных процессорах Алгоритм обеспечивает ускорение более, чем в М/ 2 раз (М - число параллельных процессоров)

В Разделе 3 4 предложен новый оптический прибор - интерфе-рометрический компенсатор нелинейного сдвига фазы (ИКНСФ) ИКНСФ, являясь нелинейным аналогом интерферометра Маха-Зендера, позволяет получать отрицательный нелинейный сдвиг фазы (дефокусирующую нелинейность) и обеспечивать точечную компенсацию нелинейности в оптическом волокне Найден новый тип СУП в системе с ИКНСФ, который может быть использован для увеличения пропускной способности оптического канала

В Разделе 3 5 найдено новое бисолитонное решение уравнения (11) Это решение имеет форму двух антисимметричных пиков с нулем в центре решения Решение зависит только от одного безразмерного параметра (d)/s\ и имеет две ветви решения Расстояние между пиками зависит от безразмерного параметра, что позволяет

менять общую ширину решения и достигать большей пропускной способности оптического канала по сравнению с СУП

В Разделе 3 6 рассматривается влияние случайности в d(z) на распространение импульса в оптическом волокне В промышленно выпускаемом оптическом волокне случайная компонента (как функция z) может быть весьма существенна Удобно представить полную дисперсию волокна как сумму детерминистической части и случайной компоненты с нулевым средним Характерная корреляционная длина флуктуаций мала по сравнению с другими масштабами системы, поэтому ее можно считать дельта-коррелированной по z Основной эффект случайной компоненты дисперсии состоит в статистическом уширении и неизбежном разрушении импульса поскольку тонкий баланс между нелинейностью и дисперсией, имеющий место в чисто детерминистическом случае (при нулевой случайной компоненте), оказывается нарушен Однако, если интеграл вдоль волокна от случайной компоненты дисперсии принимается за нуль (запин-нингован) периодически или квазипериодически, то распространение импульса претерпевает качественные изменения Пиннинг случайной компоненты дисперсии приводит к существенному уменьшению уширения импульса

Также исследовано влияние случайной анизотропии и d(z) вдоль оптического волокна ira нелинейное распространение оптических импульсов при (d) = 0 Показано аналитически, что среднеквадратичная ширина оптического импульса подвержена случайной диффузии по мере распространения импульса произвольной амплитуды вдоль оптического волокна, причем нелинейность в этом случае не может качественно изменить диффузию ширины оптического импульса

В Главе 4 диссертации рассматривается динамика жидкости со свободной поверхностью и границы раздела двух жидкостей В Разделе 4 1 изучается динамика границы раздела между идеальной жидкостью (жидкость 1) и легкой сильно вязкой жидкостью (жидкость 2) Все полученные в Разделе 4 1 результаты применимы для динамики сверхтекучей жидкости со свободной поверхностью, у которой масса нормальной компоненты намного меньше массы сверх-

текучей компоненты Динамика сверхтекучей жидкости может быть описана двумя независимыми уравнениями гидродинамики для обеих компонент, которые связаны друг с другом только через давление на свободной поверхности

Предполагается, что обе жидкости несжимаемы, вязкость легкой жидкости достаточно велика, так что течение в ней может быть рассмотрено как Стоксово течение, а плотность легкой жидкости р% мала по сравнению с плотностью идеальной жидкости р\ р2/Р\ "С 1 Тогда инерцией вязкой жидкости можно пренебречь по сравнению с инерцией идеальной жидкости и считать, что возмущения в вязкой жидкости быстро затухают В таком случае отклик вязкой жидкости на движение границы раздела является статическим и жидкость 2 адиабатически следует за медленными движениями тяжелой идеальной жидкости, а число Рейнольдса в жидкости 2 остается малым на всех временах

На границе раздела должны выполняться кинематические и динамические граничные условия Динамические граничные условия сводятся к обращению тензора вязких напряжений в нуль на границе с идеальной жидкостью, а давление должно быть непрерывным (в пренебрежении капиллярностью) Поэтому статический отклик вязкой жидкости определяет связь между нормальной компонентой скорости и давлением на границе раздела двух жидкостей Течение в тяжелой идеальной жидкости предполагается потенциальным, поэтому для него можно ввести потенциал скорости, который удовлетворяет уравнению Лапласа с граничными условиями, определяемыми статическим откликом вязкой жидкости

Предположим, что течения жидкостей двумерны и граница раздела определяется уравнением у — т)(х), где у = 0 соответствует невозмущенной поверхности В диссертации показано, что при условии малости типичного угла наклона поверхности |У7?|, горизонтальная компонента скорости идеальной жидкости V на границе раздела и т)(х) подчиняются следующим уравнениям

- (1/2)дх[(Йу)2 - V2] =

дм = —Яг),

(12) (13)

где i> = Ivipijpx - эффективная вязкость вследствие статического отклика вязкой жидкости, - вязкость жидкости 2, #/(х) = ~PV Qz^dx' - преобразование Гильберта Уравнение (12) не зависит от г] и его решение может быть сведено к решению двух независимых комплексных уравнений Бюргерса

dtv{±) + = ¿>d>(±), (14)

где и 1)4 - функции, которые могут быть аналитически продолжены в верхнюю и нижнюю комплексные полуплоскости с реальной оси х, соответственно, причем v = + гД~)]/2 Уравнения (14) сводятся к комплексному уравнению теплопроводности с помощью преобразования Коула-Хопфа г/*' = Таким образом, за-

дача является точно интегрируемой

Нули uW в комплексной плоскости соответствуют полюсам г/*' В отличие от действительного уравнения Бюргерса, полюса комплексного уравнения Бюргерса могут достигать действительной оси за конечное время, что соответствует формированию особенности поверхности Имеются решения в виде движения конечного и бесконечного числа полюсов

В Разделе 4 2 рассматриваются редуцированные уравнения, описывающие трехмерные течения идеальной жидкости со свободной поверхностью Уравнения Эйлера для потенциальных течений идеальной жидкости со свободной поверхностью могут быть представлены в канонической гамильтоновой форме [22, 23]

dt ~ SV' dt ~ St] { }

Здесь уравнение z = г](т) определяет форму поверхности, z -вертикальная координата и г = (х, у) - горизонтальные координаты, Ф = Ф|2=7; - потенциал скорости Ф на поверхности и скорость жидкости v = УФ Гамильтониан Я совпадает с полной (кинетической и потенциальной) энергией жидкости Численное моделирование динамики свободной поверхности для трехмерных течений представляет большие трудности, поскольку гамильтониан не может быть

представлен в замкнутом виде как функция канонических поверхностных координат г], Ф, однако он может быть записан в виде бесконечного ряда теории возмущений по степеням малого параметра - типичного угла наклона поверхности | Ут?|

Н = Н0 + Н1+Н2+ (16)

Здесь Щ, Н\, Н2 являются квадратичным членом, кубическим членом и членом четвертого порядка, соответственно Щ, #1 имеют следующий общий вид Я0 = ^¡{Ак\Фк\2 + Вк\т]к|2}сЛс, Ак =

кЬтЦЩ, Вк = д + ак2, Щ = ¿/4?,к^ФкАз5^! + к2 + кз)йк^к2^кз, где к = |к|, Фк,??к - пространственные Фурье гармоники от Ф, г), к - глубина жидкости, д - ускорение свободного падения, а - коэффициент капиллярности

Ограничившись членами вплоть до четвертого порядка в (15), (16), получаем редуцированные уравнения, которые широко используются в численном моделировании поверхностных волн Если же рассмотреть первую поправку к линейному гамильтониану Н = Но + #1, то при д = а = 0 решение системы (15) для двумерных течений сводится к паре комплексных уравнений Хопфа

сШ^) = -(1/2)(дхПМ)\ (17)

где Ф = , П(+) и П^ - аналитические функции в комплекс-

ной полосе 0 < /то(х) < И и —к < 1т(х) < 0, соответственно Комплексные скорости = ФеП^' подчиняются уравнениям (14) из Раздела 4 1 при и = 0, т е невязким комплексным уравнениям Бюргерса (й = О означает отсутствие вязкой жидкости) Недостаток уравнений (17) заключается в их некорректности в силу наличия неустойчивости на малых масштабах В этом состоит их принципиальное отличие от уравнений (14) с ненулевой вязкостью, которая обеспечивает корректность уравнений (14) Уравнения (15) с гамильтонианом Н = Но + Щ + Н2 являются некорректными при а = О В силу этого в численных экспериментах приходится вводить искусственное затухание на малых масштабах, поскольку разрешение капиллярного масштаба одновременно с гравитационным мас-

штабом требует очень больших вычислительных ресурсов Некорректность редуцированных уравнений связана с нарушением применимости теории возмущений на малых масштабах В Разделе 4 2 предложен путь преодоления этих трудностей путем введения канонического преобразования к новым гамильтоновым переменным, для которых отсутствует коротковолновая неустойчивость, т е уравнения становятся корректными

Новые канонические переменные определяются с помощью производящей функции, разложенной по степеням нелинейности В первом нетривиальном порядке нелинейности комплексное уравнение Хопфа заменяется на действительное уравнение Хопфа

= -(1/2 )(УД)2, (18)

которое является корректным в силу отсутствия коротковолновой неустойчивости Здесь Я - новый канонический импульс В следующем порядке нелинейности каноническое преобразование позволяет устранить неустойчивость для членов гамильтониана четвертого порядка Это каноническое преобразование не единственно, однако оно выбирается однозначным образом, если потребовать отсутствие коротковолновых неустойчивостей при максимально возможном значении нелинейности. Высказана гипотеза, что оптимальный выбор канонических переменных позволит осуществлять численное моделирование поверхностных волн при большем значении нелинейности

В Главе 5 диссертации рассматривается динамика бактерий и биологических клеток и выводятся макроскопические уравнения для динамики плотности бактерий (клеток) Все результаты этой Главы применимы и к бактериям, и к клеткам В Разделе 5 1 изучается коллапс бактериальных колоний за счет хемотаксиса Хемотаксис является одним из наиболее распространенных механизмов взаимодействия бактерий, когда каждая бактерия реагирует на присутствие химического вещества называемого хемоаттрактантом (хе-морепеллентом), если бактерия стремится двигаться в направлении градиента (против градиента) Каждая бактерия выделяет это химическое вещество в окружающее пространство, где оно испытыва-

ет диффузию, что обеспечивает нелокальное взаимодействие между бактериями При наличии хемоаттрактанта бактерии притягиваются друг к другу В тоже время бактерии совершают случайное блуждание, которое препятствует агрегации Поэтому происходит непрерывная конкуренция притяжения и диффузии бактерий Малая концентрация бактерий часто приводит к образованию нелинейных когерентных структур в виде спиралей и их медленной эволюции, в то время, как большая концентрация бактерий приводит к их быстрой агрегации

В пренебрежении размерами бактерий, их макроскопически усредненная динамика описывается уравнением Келлера-Сегела [2932]

dtp = DV2p-V[kpVc] + ap, (19)

dt с = DcV2c + ap, (20)

где p(r, t) - плотность бактерий в точке с координатой г в момент времени t, с - концентрация хемоаттрактанта, D - коэффициент диффузии бактерий за счет случайного блуждания, к > 0 - коэффициент силы хемотаксиса, Dc - коэффициент диффузии хемоаттрактанта, а - вероятность деления (смерти) бактерий в единицу времени и а - скорость производства (поглощения) хемоаттрактанта бактериями Агрегация бактерий соответствует коллапсу в уравнениях (19), (20) В типичных экспериментальных условиях (к примеру для бактерий Е coli) диффузия хемоаттрактанта происходит гораздо быстрее, чем диффузия бактерий, поэтому временной производной в уравнении для с можно пренебречь, а также положить к = const и а = 0, что приводит к редуцированному уравнению Келлера-Сегела (РКС)

dtp = V2p — V[pVc],

V2c = -p, (21)

где все переменные были приведены к безразмерному виду

РКС является негамильтоновой системой градиентного типа с функционалом Ляпунова РКС имеет много качественно сходных свойств с фокусирующим НУШ

«¿>iV> + V20 + \ф\2ф = 0 (22)

В пространственной размерности D = 1 решения существуют на всех временах Размерность D = 2 является критической и в ней имеется сильный коллапс (те количество бактерий, захваченных в коллапсирующую область практически постоянно при приближении ко времени достижения сингулярности to) Коллапс при D = 2 возникает, если число бактерий N = fpdr превышает критическое значение Nc = 87т Размерность D = 3 является сверхкритической и в ней имеется слабый коллапс (те количество бактерий, захваченных в коллапсирующую область, приближается к нулю при t —> ¿o) Далее в Разделе 5 1 рассматривается критическая размерность D = 2, в которой РКС, как и НУШ (22) масштабно инвариантно если p(r,t), c(r,t) - решение РКС, то ¿"^(r/L^í/L), c{r/L^2,t/L) также является решением при любом L — const > О РКС имеет статическое решение ро = 8/(1+г2)2, со = — 21п(14-г2), с критической массой N(po) = 87Г, что является аналогом основного солитонного решения НУШ (22) с критической массой

Вблизи коллапса решение РКС приближается к автомодельному цилиндрически симметричному решению в форме стационарного решения с зависящим от t масштабом р = Ь~хръ{г/Ьх1г), с = Co(r/¿1//2), где L(t) —> 0 для i —> fo Поэтому можно ввести цилиндрически симметричную переменную m(r,t) = i J\r'\<rP{r', t) dr', которая позволяет переписать РКС в виде замкнутого уравнения для т dtm = гдгг~1дгтп 4- r_1mörm В этом уравнении можно перейти к автомодельным переменным у = r^L, т = f¿ 1/L{t')2dt', а также использовать замену m(r, t) = т) В новых пере-

менных удобно произвести разложение решения РКС на коллапси-рующее автомодельное решение 4e~*v и поправки v(y,r) к нему ф = + и, что приводит к уравнению

dTv + £av = F, (23)

где самосопряженный оператор Са имеет вид сферически симметричного оператора Шредингера с потенциалом в размерности D = 4, F включает поправки, зависящие от v, и неоднородные члены, связанные с тем, что автомодельное решение не является точным решением РКС , а = —LdtL Самосопряженность оператора Са поз-

воляет разложить v по собственным функциям этого оператора и использовать уравнение (23), в результате чего в диссертации получена следующая зависимость от времени для масштаба автомодель-

2+7 , _ /_1об(^р— О

ного решения Ь(Ь) = 2е ^ - ¿е V- 2 , где 7 = 0 577216 - постоянная Эйлера Это решение имеет в главном порядке ту же зависимость Ь({) ~ как и хорошо известное автомо-

дельное коллапсирующее решение критического НУШ в виде основного солитонного решения с зависящим от времени масштабом Щ = т/йГ^ (2тг/1п1п[1/(^ -¿)])1/2 [36, 37]

В Разделе 5 2 приведен вывод уравнения Келлера-Сегела из микроскопической модели движения бактерий и клеток эукариотов Классическая модель Келлера-Сегела была выведена для бактерий прокариотов, к примеру Е со1г, двигающихся за счет вращения жгутиков [29] Случайное блуждание подобных бактерий возникает из-за периодической случайной переориентации направления движения (тамблинга) Механизм движения эукариотов, рассмотренный в Разделе 5 2, иной - эти клетки имеют значительно больший размер и движутся за счет случайных флуктуаций формы клеток При наличии хемотаксиса вероятность флуктуаций выше в направлении градиента для хемоаттрактанта или в противоположном направлении для хеморепеллента

Одной из основных микроскопических моделей, используемых для моделирования такого движения, является клеточная модель Поттса (КМП) [38] КПМ определена на решетке. В каждом узле решетки (пикселе) задается целочисленное значение - индекс (значение "спина") Клетки представляются как наборы пикселей с одними и теми же значениями индекса Индекс 0 соответствует внеклеточной среде (матрице) Индексы эволюционируют в соответствии с алгоритмом Монте-Карло с эффективной энергией и температурой Окружение клеток имеет большую вязкость, поэтому клетки двигаются таким образом, чтобы минимизировать свою энергию Клетки могут взаимодействовать через прямой контакт, когда они касаются друг друга, а также путем хемотаксиса Поэтому, в эффективной энергии имеются члены, феноменологически описывающие хемотак-

сис, прилипание или отталкивание между поверхностью клетки и внеклеточной средой, прилипание мембран клеток друг к другу (эти члены пропорциональны площади контакта,), а также члены с .множителями Лагранжа, ответственные за поддержание формы клетки На каждом шаге случайным образом выбирается один пиксель и в нем случайным образом предлагается изменить значение индекса в соответствии с алгоритмом Монте-Карло Если предложенное изменение индекса пикселя вызывает перекрытие разных клеток, то это изменение не принимается вследствие принципа исключенного объема В диссертации предполагается, что клетки имеют прямоугольную форму, так что они могут изменять свою форму, добавляя или удаляя ряд или колонку пикселей Обобщение на трехмерный случай, так же как рассмотрение одномерного случая, не представляет трудностей

В Разделе 5 2 выведено управляющее уравнение (master equation), соответствующее всем возможным изменениям пикселей (переворотам спинов) в пренебрежении контактными взаимодействиями между клетками и эффектами исключенного объема Разложение этого уравнения по малому е приводит к уравнению Фоккера-Планка для Р(г, L, t) - плотности вероятности для клетки с центром масс в пространственной точке г иметь размеры L = (Lx,Ly) В этом уравнении происходит разделение временных масштабов и P(r, L,i) быстро сходится при каждых г, t к распределению типа Больцмана по L на фоне равновесных размеров клетки В результате уравнение Фоккера-Планка может быть проинтегрировано по L, что дает уравнение Келлера-Сегела (19) для плотности вероятности р(г, £) найти клетку с центром масс в г, где коэффициент диффузии D и константа хемотаксиса к определяются из параметров КМП, а плотность вероятности нормирована на полное число клеток N Jp(r)dr = N Численное моделирование уравнений (19),(20) дает очень хорошее согласие с моделированием Монте-Карло динамики КМП

В Разделе 5 3 получено макроскопическое уравнение для р при учете контактных взаимодействий между клетками и эффекта исключенного объема Необходимо учитывать три типа процессов на

каждом шаге алгоритма Монте-Карло (а) прилипание двух клеток друг к другу, (Ь) диссоциация двух прилипших клеток, (с) предотвращение проникновения одной клетки в другую В приближении среднего поля получено уравнение, обобщающее уравнение Келлера-Сегела (19) на случай контактных взаимодействий между клетками

дф = БЧ2р -кЧ-[р Vc(r, г)] + Д^У, (24)

где константа определяется энергией прилипания клеток, а также эффектами исключенного объема

При умеренных плотностях клеток (клетки занимают не больше трети общего объема среды) уравнения (20) и (24) дают хорошее согласие с моделированием Монте-Карло динамики КМП Однако, член при £>3 в уравнении (24) предотвращает коллапс не при всех значениях начальных условий При больших плотностях клеток можно принять во внимание, что клетки испытывают диффузию только в объеме, свободном от других клеток В этом случае, пренебрегая энергией прилипания клеток, получается нелинейное диффузионное уравнение, которое заведомо предотвращает коллапс, т е служит регуляризацией уравнения Келлера-Сегела

1

дф = 1>У •

¡чр

-кЧ-\рЧс{ г,*)],

[(1 - 4тт)4тт)(1 - А^»2

где Ь^"гп\ - равновесные размеры клетки Это уравнение при больших р дает лучшее, чем (24), согласие с прямым расчетом методом Монте-Карло, а в пределе малых р сводится к уравнению (24) В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации

Основные результаты диссертации

1 Найдена поперечная абсолютная неустойчивость при встречном распространении первой и второй гармоник в квадратичных средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости

2 Представлена нелинейная теория формирования гексагональных световых структур в фоторефрактивных средах в схеме с зеркалом

обратной связи Гексагоны формируются в результате конкуренции между взрывной трехволновой неустойчивостью и старшими волновыми процессами, стабилизирующими неустойчивость

3 Показано аналитически и экспериментально, что спонтанное формирование гексагональных поперечных структур в фоторефрактив-ном кристалле возможно при отсутствии встречной волны накачки, если учесть рассеяние света на дефектах кристалла

4 Исследован коллапс в НУШ с внешней возбуждающей силой Найдены достаточные условия возникновения коллапса

5 Найдено достаточное условие коллапса в НУШ с нелокальной нелинейностью, описывающего конденсат Бозе-Эйнштейна с диполь-дипольным взаимодействием Проведено сравнение с результатами вариационного анализа

6 Исследованы неустойчивость, диффузия и коллапс частично некогерентного лазерного пучка при его нелинейном распространении в условиях высокотемпературной плазмы, соответствующей экспериментам по лазерному термоядерному синтезу Найдена коллективная неустойчивость относительно ВРМБ вперед в пределе малого времени корреляции Неустойчивость зависит только от одного безразмерного параметра, который включает интенсивность света, затухание Ландау и корреляционный масштаб лазерного излучения, но не зависит от времени корреляции При больших значениях безразмерного параметра неустойчивость приводит к развитию коллапсов и дезинтеграции лазерного пучка на множество мелких пучков При малых значениях безразмерного параметра неустойчивость несущественна и динамика пучка определяется его нелинейной диффузией Нелинейная диффузия способствует подавлению ВРМБ путем уменьшения корреляционного масштаба лазерного пучка Добавление веществ с высокой степенью ионизации, таких как ксенон, приводит к необходимости учета флуктуаций температуры В результате, коллективная неустойчивость приобретает зависимость от композиции плазмы. Предложено использовать изменение композиции для оптимизации прохождения лазерного пучка через плазму

Результаты подтверждены численно и путем сравнения с экспериментом

7 Найдены ширина и амплитуда солитона в оптической системе с управляемой дисперсией, как функция параметров системы Получена экспоненциальная асимптотика огибающей солитонного решения с квадратичной фазой Построен эффективный численный алгоритм для суперкомпьютерного моделирования многоканальных оптических систем

8 Разработана конструкция нового оптического прибора - интерфе-рометрического компенсатора нелинейного сдвига фазы Предложено использование этого прибора для увеличения пропускной способности оптического канала

9 Исследован новый тип решений в системах с управляемой дисперсией - бисолитоны Предложено использовать это решение для увеличения пропускной способности оптических каналов

10 Рассмотрено влияние случайности в коэффициенте дисперсии на распространение импульса в оптическом волокне Периодическая компенсация случайной компоненты дисперсии приводит к существенному уменьшению уширения оптического импульса с расстоянием Исследованы эффекты случайной анизотропии, нелинейности и случайной вариации дисперсии вдоль оптического волокна на распространение оптических импульсов в оптическом волокне со средней нулевой дисперсией

11 Показано, что двумерная динамика границы раздела между тяжелой идеальной жидкостью и легкой сильно вязкой жидкостью является точно интегрируемой в приближении малых углов и сводится к решению двух комплексных уравнений Бюргерса Исследована динамика решений в виде полюсов На границе раздела формируется особенность, когда полюс впервые достигает ее Все эти результаты применимы для динамики сверхтекучей жидкости со свободной поверхностью, у которой масса нормальной компоненты намного меньше массы сверхтекучей компоненты

12 Найдено, что стандартные редуцированные уравнения, описы-

вающие трехмерные течения идеальной жидкости со свободной поверхностью, являются некорректными в силу наличия коротковолновой неустойчивости Построена производящая функция, позволяющая совершить переход к новым каноническим переменным, в которых редуцированные уравнения являются корректными Предложен выбор оптимальных канонических переменных, при которых уравнения являются корректными при максимально большом уровне нелинейности

13 Исследованы коллапсирующие решения уравнения Келлера-Сегела для макроскопически усредненной динамики бактерий и биологических клеток Автомодельное решение вблизи коллапса имеет вид стационарного решения с зависящим от времени масштабом Произведен анализ возмущений на фоне автомодельного решения путем разложения по собственным функциям самосопряженного оператора, который имеет форму сферически симметричного оператора Шредингера в четырехмерном пространстве с потенциалом Найдена временная зависимость автомодельного решения

14 Выведено макроскопическое уравнение для динамики плотности бактерий и клеток за счет хемотаксиса и контактных взаимодействий между бактериями из микроскопической модели, которая учитывает случайные флуктуации формы клеток При отсутствии контактных взаимодействий уравнение сводится к уравнению Келлера-Сегела Контактные взаимодействия приводят к регуляризации бактериального коллапса Проведено сравнение численных решений макроскопической модели с расчетом микроскопической модели методом Монте-Карло

Публикации по теме диссертации

1 РМ Lushmkov, Р Lodahl, and М Saffman Transverse modulational instability of counterpropagating quasi-phase-matched beams in a quadratically nonlinear medium Optics Letters, 23, 1650-1652 (1998)

2 П М Лушников Гексагональные световые структуры в фо-торефрактивных кристаллах с зеркалом обратной связи ЖЭТФ, 113, 1122-1146 (1998)

3 Р М Lushmkov, and А V Mamaev Spontaneous hexagon formation m photorefractive crystal with a single pump wave. Optics Letters, 24, 1511-1513 (1999)

4 PM Lushnikov, and M Saffman. Collapse in a forced three dimensional nonlinear Schrodmger equation Phys. Rev E, 62, 5793 (2000)

5 П M Лушников On the boundary of the dispersion-managed sohton existence Письма в ЖЭТФ, 72 , 163-167 (2000)

6PM Lushnikov Dispersion-managed sohton in optical fibers with zero average dispersion Optics Letters, 25, 1144 (2000)

7PM Lushmkov Dispersion-managed sohton in a strong dispersion map limit Optics Letters, 26 , 1535 (2001)

8 IR Gabitov, and PM Lushnikov Nonlinearity management in dispersion managed system Optics Letters 27, 113 (2002)

9PM Lushnikov Fully parallel algorithm for simulating wavelength-dwision-multiplexed optical fiber systems Optics Letters, 27, 939 (2002)

10 PM. Lushnikov Collapse of Bose-Emstem condensate with dipoledipole interactions Physical Review A 66, 051601(R) (2002)

11 M Chertkov, I. Gabitov, PM Lushnikov, J Moeser, and Z Toroczkai Pinning method of pulse confinement m optical fiber with random dispersion J of the Optical Society of America В 19, 2538 (2002)

12 P M Lushnikov Oscillating tails of a dispersion-managed sohton J of the Optical Society of America B, 21, 1913-1918 (2004)

13 PM Lushnikov Exactly Integrable Dynamics of Interface between Ideal Fluid and Light Viscous Fluid Physics Letters A, 329, 49 (2004)

14 P M Lushnikov and H A Rose Instability versus equilibrium propagation of laser beam in plasma Phys Rev Lett 92 255003 (2004)

15 P M Lushnikov Diffusion of optical pulses in dispersion-shifted randomly birefrmgent optical fibers Optics Communications 245, 187 (2005)

16 P M Lushnikov, and V E Zakharov On optimal Canonical Variables in the Theory of Ideal Fluid with Free Surface Physica

D, 203, 9 (2005)

17 M Alber, N Chen, T Glimm ,and PM Lushnikov Multiscale dynamics of biological cells with chemotactic interactions from a discrete stochastic model to a continuous description Phys Rev

E, 73, 051901 (2006)

18 P M Lushnikov, and H A Rose How much laser power can propagate through fusion plasma? Plasma Physics and Controlled Fusion 48, 1501-1513 (2006)

19 M Alber, N Chen, P M Lushnikov, and S A Newman Continuous macroscopic limit of a discrete stochastic model for interaction of living cells Physical Review Letters, 99, 168102 (2007)

20 I Gabitov, R Indik, PM Lushnikov, L Mollenauer, and M Shkarayev Twin Families of Bisohtons m Dispersion Managed Systems Optics Letters, 32, 605-607 (2007)

Список литературы

[1] V E Zakharov, V S Lvov, and G Falkovich Kolmogorov Spectra of Turbulence I. Wave turbulence (Springer-Verlag, New York, 1992)

2] С Sulem, and P L Sulem Nonlinear Schrodmger Equations Self-Focusing and Wave Collapse (World Scientific, 1999)

3] A Scott Nonlinear Science Emergence and Dynamics of Coherent Structures (Oxford University Press, 2003)

4] J V Moloney, and А С Newell Nonlinear Optics (Westview Press, 2004)

5] E A Kuznetsov, and V E Zakharov (Eds ) Wave Collapse (World Scientific Publishing Company, 2007)

6] G D'Alessandro, P. St J Russell, and A A Wheeler Phys Rev A 55 3211 (1997)

7] G P Agrawal Fiber-Optic Communication Systems (Wiley-Interscience, 2002)

8] С H Власов, E В Шенина Известия Вузов Радиофизика 26, 20 (1983)

9] W J Firth and С Paré Opt Lett 13, 1096 (1988)

10] Б И Стурман, В М Фридкин Фотогалъванический эффект в средах без центра симметрии и родственные явления (М Наука, 1992)

llj P-Gunter, and J-PHuignard (Eds ) Photorefractive Materials and Their Applications 1 Basic Effects (Springer, 2005)

12] T Honda, and P Banerjee Opt Lett 21, 779 (1996)

13] В E Захаров ЖЭТФ 62, 1745 (1972)

14] M Tlidi, M Haelterman, and P Mandel Europhys Lett 42, 505 (1998)

15] F Dalfovo, S Giorgini, L P Pitaevskn, and S Strmgari Rev. Mod Phys 71, 463 (1999)

16] J D. Weinstein et al Nature (London) 395, 148 (1998)

[17] R Wynar et al Science 287, 1016 (2000)

[18] R L McCrory et al Nature 335, 225 (1988)

[19] J D Lindl et al Pliys Plasmas 11, 339 (2004)

[20] L F Mollenauer et al Opt Lett 28, 2043-2045 (2003)

[21] JIД Ландау, E M Лифшиц Гидродродинамика (M Наука, 1988)

[22] В Е Захаров, Н Филоненко ДАН СССР 170, 1292-1295 (1966)

[23] V Zakharov Eur J Mech B/Fluids 18, 327 (1999)

[24] M Onorato et al Phys Rev Lett 89, 144501(4) (2002)

[25] A I Dyachenko, A О Korotkevich, and V E Zakharov Phys Rev Lett 92, 134501 (2004)

[26] E A Kuznetsov, M D Spector, and V E Zakharov Phys Rev E 49, 1283 (1994)

[27] L J Cummings, S D Howison, and J R King Phys Fuids 9, 477

(1997)

[28] M Mineev-Weinstein, P В Wiegmann, and A Zabrodin Phys Rev Lett 84, 5106 (2000)

[29] E F Keller, and L A Segel J Theor Biol 26, 399 (1970)

[30] M P Brenner, L Levitov, and E О Budrene Biophys J 74, 1677

(1998)

[31] M P Brenner, P Constantin, L P Kadanoff, A Schenkel, and S С Venkataramani Nonhneanty 12 1071 (1999)

[32] J J L Veläzquez SIAM J Appl Math 62, 1581 (2002)

[33] С J Weyer Science 300, 96 (2003)

[34] С Niemann et al Phys Rev Lett 94 085005 (2005)

[35] И Габитов, С К Турицын Письма в ЖЭТФ 63, 814-819 (1996)

[36] r M $paHMan )K3T® 88, 390 (1985)

[37] B J LeMesurier, G Papanicolaou, C Sulem, and P L Sulem Physica D 31, 78 (1988)

[38] F Graner, and J A Glazier. Phys Rev Lett 69, 2013 (1992)

Введение

1 Поперечная неустойчивость, спонтанное образование нелинейных когерентных структур и коллапс

1.1 Поперечная неустойчивость в квадратичных оптических средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости.

1.2 Гексагональные световые структуры в фоторефрактивных кристаллах с зеркалом обратной связи.

1.2.1 Основные уравнения

1.2.2 Линейная теория неустойчивости.

1.2.3 Трехволновое взаимодействие боковых волн.

1.2.4 Четырехволновое взаимодействие боковых волн.

1.2.5 Динамика формирования гексагонов и их устойчивость

1.2.6 Численный эксперимент

1.3 Спонтанное формирование гексагональных световых структур в фоторефрактивном кристалле при отсутствии встречной волны накачки.

1.4 Коллапс в нелинейном уравнении Шредингера с внешней силой

1.5 Коллапс в конденсате Бозе-Эйнштейна с диполь-дипольным взаимодействием

2 Неустойчивость, диффузия и коллапс частично некогерентного лазерного пучка в высокотемпературной плазме

2.1 Распространение лазерного пучка в высокотемпературной плазме в пренебрежении тепловыми эффектами.

2.1.1 Основные уравнения

2.1.2 Вероятность возникновения коллапсов.

2.1.3 Коллективная неустойчивость.

2.1.4 Нелинейная диффузия лазерного пучка.

2.2 Распространение лазерного пучка в высокотемпературной плазме с учетом флуктуаций электронной температуры

Нелинейные когерентные структуры в оптических коммуникациях

3.1 Нелинейные оптические линии.

3.2 Солитон с управляемой дисперсией

3.2.1 Ширина и амплитуда солитона с управляемой дисперсией

3.2.2 Осциллирующие хвосты солитона с управляемой дисперсией

3.2.3 Граница области существования солитона при отрицательной средней дисперсии.

3.3 Параллельный алгоритм для моделирования многоканальных оптических линий.

3.4 Точечная компенсация нелинейности в оптических волоконных линиях

3.5 Бисолитоны в системе с управляемой дисперсией

3.6 Влияние случайных флуктуаций параметров системы с управляемой дисперсией на распространение оптических импульсов

3.6.1 Случайная дисперсия.

3.6.2 Диффузия оптического импульса при наличии случайной анизотропии и дисперсии в дисперсионно-смещенном оптическом волокне.

Динамика сингулярностей и регулярность уравнений гидродинамики жидкости со свободной поверхностью и границы раздела жидкостей

4.1 Точно интегрируемая динамика границы раздела между тяжелой идеальной жидкостью и легкой сильно вязкой жидкостью

4.2 Оптимальные канонические переменные для динамики идеальной жидкости со свободной поверхностью.

4.2.1 Основные уравнения и гамильтонов формализм.

4.2.2 Приближение слабой нелинейности.

4.2.3 Анализ коротковолновой устойчивости в гамильтониане четвертого порядка.

4.2.4 Некорректность гамильтониана четвертого порядка

4.2.5 Каноническое преобразование.

4.2.6 От комплексного к действительному уравнению Хопфа

4.2.7 Устранение неустойчивости из членов четвертого порядка

Макроскопическая динамика и коллапс бактериальных колоний и биологических клеток

5.1 Коллапс бактериальных колоний.

5.2 Макроскопические уравнения для движения бактерий за счет случайных флуктуаций их формы.

5.3 Макроскопическое описание динамики клеток с учетом контактных взаимодействий.

Нелинейные когерентные структуры - это структуры, в которых когерентность, к примеру, согласованность фаз волновых процессов, обусловлена нелинейными взаимодействиями в системе. Нелинейные когерентные структуры имеют большое значение практически во всех областях физики. Их исследования в настоящее время активно развиваются [1-5]. В то же время, при всем разнообразии физических систем и эффектов, лежащих в основе образования нелинейных когерентных структур, они имеют много сходных свойств, позволяющих рассматривать нелинейные когерентные структуры с единых позиций нелинейной физики. Нелинейные когерентные структуры могут возникать на нелинейной стадии развития линейной неустойчивости или вследствие наличия внешнего воздействия на систему. К примеру, развитие модуляционной неустойчивости в нелинейной оптической среде или гидродинамическая неустойчивость могут приводить к образованию уединенных волн - солитонов. Примером образования солитонов за счет внешнего воздействия является их формирование в нелинейной оптической среде иод воздействием лазерной накачки с формой импульсов, близкой к солитонной, что является распространенным экспериментальным приемом в нелинейной волоконной оптике. Если образовавшиеся когерентные структуры устойчивы, то они зачастую определяют динамику системы на больших временах. Однако, нелинейные когерентные структуры могут и не существовать или быть неустойчивыми. В этом случае возможно образование сингулярности за конечное время, называемое коллапсом.

В диссертации анализируется широкий класс систем, где нелинейные когерентные структуры играют важную роль. Нелинейная оптика представляет собой широчайшую область изучения поведения нелинейных когерентных структур. Так, в квадратичных нелинейных средах большую актуальность в последние годы приобрело изучение свойств сред с искусственно наведенной периодической модуляцией коэффициента нелинейности на длине, близкой к четверти длины волны первой световой гармоники [6, 7], что позволяет добиться условия фазового синхронизма между первой и второй гармониками света при их распространении навстречу друг к другу. Важное значение в этом случае приобретает изучение абсолютной неустойчивости по отношению к излучению волн под малыми углами - т.е. поперечной неустойчивости, что рассмотрено в диссертации. В то же время абсолютная неустойчивость для встречного распространения волн в средах с кубической нелинейностью не требует модуляции коэффициента нелинейности и поэтому была исследована намного раньше [8, 9]. Другим классом материалов, где поперечные неустойчивости между встречными волнами играют важную роль, являются фоторефрактивные среды [10, 11]. В данном случае нелинейность в первом порядке малости приводит к ускорению развития линейной неустойчивости - взрывной неустойчивости, характеризуемой образованием сингулярностей за конечное время, что является одним из основных явлений в нелинейной физике. Стабилизация взрывной неустойчивости происходит за счет следующих порядков нелинейности и приводит к формированию нелинейных когерентных структур гексагонального типа [12]. Активные исследования посвящены образованию сингулярности за счет волновых коллапсов, т.е. обращения амплитуды волны в бесконечность за конечное время, сопровождаемое драматическим уменьшением ширины волнового пакета. Термин "волновой коллапс"был введен В.Е.Захаровым в 1972 г. [13]. В диссертации изучается возникновение волнового коллапса в нелинейных резонаторах с накачкой [11] и в конденсате Бозе-Эйшптейна с диноль-дипольными взаимодействиями [15-17].

Коллапсы играют большую роль и в задаче по достижению управляемого термоядерного синтеза за счет инерционного сжатия мишени с помощью лазерного излучения [18, 19]. Распространение света в плазме, окружающей термоядерную мишень, сопровождается столь сильным нелинейным оптическим взаимодействием, что может приводить к множественному образованию коллапсов. В настоящее время в США в Национальной Лаборатории Лоурепс Ливер-мор ведется строительство National Ignition Facility (NIF) - крупнейшей в мире установки по лазерному термоядерному синтезу с пиковой мощностью лазеров в 400 тераватт [19], что означает возможность одновременного формирования более 105 коллапсов. Коллапс в данном случае является крайне нежелательным эффектом, поскольку он приводит к потере контроля над лазерными пучками и их рассеянию. В результате может упасть степень обжатия мишени и не произойти зажигания самоподдерживающейся термоядерной реакции. Поэтому, существенные усилия предпринимаются для подавления коллапсов путем обеспечения частичной некогерентности лазерных пучков. Актуальным вопросом является определение максимально допустимой интенсивности лазерного пучка, позволяющей сохранить контроль над его распространением при увеличении частичной некогерентности. В этом случае возможна как медленная диффузия угловой ширины пучка, так и возникновение неустойчивости за счет вынужденного рассеяния Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ) вперед, приводящей к коллапсу, а также могущей вызвать существенное рассеяние лазерного пучка в обратном направлении.

Другой нелинейной оптической системой, в которой нелинейные когерентные структуры играют важную роль, являются оптические волокна. Нелинейное распространение света в оптических волокнах описывается нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) с периодической пространственной вариацией дисперсии групповой скорости вдоль волокна [7]. Роль времени в этом случае играет дистанция вдоль волокна, а время, наоборот, играет роль пространственной координаты. Динамика уединенных импульсов, каждый из которых несет один бит информации, на коротких расстояниях (порядка нескольких десятков километров) практически линейна и сводится к периодической вариации амплитуды и ширины импульсов. На больших расстояниях учет нелинейности необходим. Для типичных трапсокеанических расстояний в несколько тысяч километров нелинейность является основным ограничивающим фактором скорости передачи информации по оптическим кабелям. В этом случае возможны две стратегии для увеличения пропускной способности оптических волокон. Первая стратегия заключается в максимальном подавлении нелинейных эффектов. Однако, эта стратегия практически достигла своих пределов, поскольку, в силу квантовых шумов в оптических усилителях, мощность оптических импульсов должна оставаться достаточно большой для поддержания ошибок от шумов на приемлемом уровне. Вторая стратегия заключается в том, чтобы не пытаться бороться с нелинейностью, а использовать нелинейные когерентные структуры как носитель информации для увеличения пропускной способности оптических волокон. В качестве носителя информации может выступать как солитон с управляемой дисперсией (dispersion-managed soliton), так и его различные обобщения. В последние годы эта вторая стратегия привлекает большое внимание. В компании Люсент была достигнута рекордная скорость передачи информации на основе этой стратегии [20].

В гидродинамике жидкости со свободной поверхностью исследования неустойчивостей и нелинейных когерентных структур имеют большую историю [1, 21, 22] и остаются областью активных исследований [23-25]. Существенным вызовом для теории и численного моделирования служит формирование особенностей на поверхности жидкости. Одним из важных и активно развиваемых теоретических подходов является описание этого процесса через движение син-гулярностей в пространстве вне жидкости [26-28]. Образование особенности на поверхности жидкости соответствует моменту времени, когда сингулярность касается поверхности жидкости. Численное моделирование динамики свободной поверхности представляет большие трудности. Актуальной задачей является вывод редуцированных уравнений, более удобных для численного моделирования. Недостатком существующих редуцированных моделей является их некорректность - они имеют неустойчивость на малых масштабах вследствии нарушения условия применимости теории возмущений, используемых для вывода этих редуцированных моделей. Поэтому задача построения корректных моделей является чрезвычайно актуальной.

Биофизические исследования динамики бактерий и биологических клеток привлекают в настоящее время огромный интерес [29-33] и имеют большое прикладное значение для биологии и медицины. Нелинейные когерентные структуры возникают в этом случае при усредненном макроскопическом описании, когда динамика бактериальных колоний или клеток моделируется через распределение плотности клеток в пространстве и времени. Одним из наиболее распространенных механизмов взаимодействия бактерий является хемотаксис, когда каждая бактерия реагирует на присутствие градиента химического вещества. Это вещество называется хемоаттрактантом (хемореиеллентом) - если бактерия стремится двигаться в направлении градиента (против градиента). Бактерии выделяют это химическое вещество в окружающее пространство, где оно испытывает диффузию, что обеспечивает нелокальное взаимодействие между бактериями. Малая концентрация бактерий часто приводит к образованию нелинейных когерентных структур в виде спиралей и их медленной эволюции, в то время, как большая концентрация приводит к быстрой агрегации бактерий. В рамках макроскопического описания агрегация соответствует коллапсу плотности бактерий. Асимптотическое поведение решений вблизи коллапса имеет общие черты с коллапсом в нелинейном уравнении Шредингера, хотя уравнения являются негамильтоиовыми. Большой интерес представляет задача о выводе макроскопических уравнений, учитывающих размеры и форму клеток, и регуляризации коллапса за счет контактных взаимодействий между бактериями или клетками.

Целью диссертации является исследование образования нелинейных когерентных структур на нелинейной стадии развития линейной неустойчивости, анализ устойчивости нелинейных когерентных структур, их динамики на больших временах, а также их разрушения с образованием сингулярностей и коллапсов в применении к ряду нелинейных оптических, гидродинамических и биофизических систем.

Все результаты, выносимые на защиту, являются оригинальными. Достоверность полученных результатов обосновывается надежностью использованных аналитических и численных методов. Результаты диссертации согласуются с данными экспериментов и численного моделирования, полученных другими авторами.

Результаты диссертации могут применяться в целом ряде оптических устройств, включая генерацию сверхкоротких импульсов за счет коллапсов в нелинейных оптических резонаторах, увеличение пропускной способности оптических систем путем использования предложенного устройства для компенсации нелинейности, использования бисолитонов, а также путем периодической компенсации случайной компоненты дисперсии в оптических волокнах.

Ряд результатов, полученных в диссертации, имеют большое практическое значение для NIF. Предсказано, что дальнейшее уменьшение времени корреляции лазерных пучков NIF (что является дорогой и технически сложной задачей) не является целесообразным, поскольку не сможет увеличить максимально допустимую интенсивность лазерных пучков. Это предсказание было подтверждено экспериментально. Результаты диссертации по максимальной допустимой интенсивности лазерного излучения в условиях плазмы инерционного лазерного термоядерного синтеза в настоящее время включены в программное обеспечение, используемое в Национальной Лаборатории Лос-Аламоса (США) для расчета и дизайна NIF. Предсказано, что изменение максимально допустимой интенсивности может быть достигнуто путем изменения композиции плазмы, что также позволит контролировать ВРМБ назад, являющейся серьезной проблемой для NIF.

Подходы, развитые в диссертации, могут и уже активно применяются для анализа нелинейных оптических, гидродинамических и биофизических систем. Общие принципы формирования гексагональных структур в фоторефрактив-ных кристаллах позволяют объяснить существующие и предсказать новые эксперименты. Доказательство возможности образования коллапса в конденсате Бозе-Эйнштейна за счет одних диполь-дипольных взаимодействий предлагает возможность формирования коллапса в других системах с нелокальной нелинейностью и сингулярным взаимодействием на коротких расстояниях. Исследование коллективных неустойчивостей в плазме при наличии частичной некогерентности лазерного излучения открывает возможности новых направлений исследования коллективных неустойчивостей. 13 гидродинамике со свободной поверхностью анализ движения сингулярностей предлагает путь к поиску новых точных решений и точно интегрируемых моделей, включая динамику сверхтекучих жидкостей. В биофизике предложенный подход предлагает возможность вывода макроскопических моделей динамики клеток, исходя из микроскопической динамики отдельных клеток.

Ряд результатов, полученных в диссертации, имеют важное значение для численного моделирования. Так, предложенный алгоритм эффективного распараллеливания для многоканальных оптических систем, позволяет осуществлять суперкомпьютерное моделирование оптических линий на трансокеанических расстояниях. Предложенный переход к оптимальным каноническим переменным для гидродинамики жидкости со свободной поверхностью позволяет избавиться от численных неустойчивостей, вызванных некорректностью стандартных переменных, а также осуществлять моделирование при большем уровне нелинейности (угле наклона поверхности) поверхностных волн. Выведенная система макроскопических уравнений для динамики бактерий и клеток, с учетом контактных взаимодействий между ними, позволяет выполнять численное моделирование больших колоний ~ 106 — 107 клеток, что является чрезвычайно трудной задачей при моделировании на уровне микроскопического описания динамики флуктуации формы каждой клетки.

Диссертация состоит из Введения, пяти Глав, Заключения и Списка литературы. В Главе 1 исследована взаимосвязь между поперечной неустойчивостью, образованием нелинейных когерентных структур и коллапсом. В Разделе 1.1 рассмотрена поперечная неустойчивость при распространении навстречу друг к другу первой и второй гармоник в квадратичных средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости. В Разделе 1.2 рассмотрена нелинейная стадия развития поперечной абсолютной неустойчивости в фото-рефрактивных материалах. В Разделе 1.3 рассмотрено спонтанное формирование гексагональных поперечных структур в фоторефрактпвном кристалле

Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Найдена поперечная абсолютная неустойчивость при встречном распространении первой и второй гармоник в квадратичных средах с периодической модуляцией нелинейной восприимчивости.

2. Представлена нелинейная теория формирования гексагональных световых структур в фоторефрактивных средах в схеме с зеркалом обратной связи. Гек-сагоны формируются в результате конкуренции между взрывной трехволно-вой неустойчивостью и старшими волновыми процессами, стабилизирующими неустойчивость.

3. Показано аналитически и экспериментально, что спонтанное формирование гексагональных поперечных структур в фоторефрактивном кристалле возможно при отсутствии встречной волны накачки, если учесть рассеяние света на дефектах кристалла.

4. Исследован коллапс в НУШ с внешней возбуждающей силой. Найдены достаточные условия возникновения коллапса.

5. Найдено достаточное условие коллапса в НУШ с нелокальной нелинейностью, описывающего конденсат Бозе-Эйнштейна с диполь-дипольным взаимодействием. Проведено сравнение с результатами вариационного анализа.

С. Исследованы неустойчивость, диффузия и коллапс частично некогерентного лазерного пучка при его нелинейном распространении в условиях высокотемпературной плазмы, соответствующей экспериментам по лазерному термоядерному синтезу. Найдена коллективная неустойчивость относительно ВРМБ вперед в пределе малого времени корреляции. Неустойчивость зависит только от одного безразмерного параметра, который включает интенсивность света, затухание Ландау и корреляционный масштаб лазерного излучения, но не зависит от времени корреляции. При больших значениях безразмерного параметра неустойчивость приводит к развитию коллапсов и дезинтеграции лазерного пучка на .множество мелких пучков. При малых значениях безразмерного параметра неустойчивость несущественна и динамика пучка определяется его нелинейной диффузией. Нелинейная диффузия способствует подавлению ВРМБ путем уменьшения корреляционного масштаба лазерного пучка. Добавление веществ с высокой степенью ионизации, таких как ксенон, приводит к необходимости учета флуктуаций температуры. В результате, коллективная неустойчивость приобретает зависимость от композиции плазмы. Предложено использовать изменение композиции для оптимизации прохождения лазерного пучка через плазму. Результаты подтверждены численно и путем сравнения с экспериментом.

7. Найдены ширина и амплитуда солитона в оптической системе с управляемой дисперсией, как функция параметров системы. Получена экспоненциальная асимптотика огибающей солитонного решения с квадратичной фазой. Построен эффективный численный алгоритм для суперкомпьютерного моделирования многоканальных оптических систем.

8. Разработана конструкция нового оптического прибора - интерферометриче-ского компенсатора нелинейного сдвига фазы. Предложено использование этого прибора для увеличения пропускной способности оптического капала.

9. Исследован новый тип решений в системах с управляемой дисперсией - би-солитоны. Предложено использовать это решение для увеличения пропускной способности оптических каналов.

10. Рассмотрено влияние случайности в коэффициенте дисперсии на распространение импульса в оптическом волокне. Периодическая компенсация случайной компоненты дисперсии приводит к существенному уменьшению уиш-рения оптического импульса с расстоянием. Исследованы эффекты случайной анизотропии, нелинейности и случайной вариации дисперсии вдоль оптического волокна на распространение оптических импульсов в оптическом волокне со средней нулевой дисперсией.

11. Показано, что двумерная динамика границы раздела между тяжелой идеальной жидкостью и легкой сильно вязкой жидкостью является точно интегрируемой в приближении малых углов и сводится к решению двух комплексных уравнений Бюргерса. Исследована динамика решений в виде полюсов. На границе раздела формируется особенность, когда полюс впервые достигает ее. Все эти результаты применимы для динамики сверхтекучей жидкости со свободной поверхностью, у которой масса нормальной компоненты намного меньше массы сверхтекучей компоненты.

12. Найдено, что стандартные редуцированные уравнения, описывающие трехмерные течения идеальной жидкости со свободной поверхностью, являются некорректными в силу наличия коротковолновой неустойчивости. Построена производящая функция, позволяющая совершить переход к новым каноническим переменным, в которых редуцированные уравнения являются корректными. Предложен выбор оптимальных канонических переменных, при которых уравнения являются корректными при максимально большом уровне нелинейности.

13. Исследованы коллапсирующие решения уравнения Келлера-Сегела для макроскопически усредненной динамики бактерий и биологических клеток. Автомодельное решение вблизи коллапса имеет вид стационарного решения с зависящим от времени масштабом. Произведен анализ возмущений на фоне автомодельного решения путем разложения по собственным функциям самосопряженного оператора, который имеет форму сферически симметричного оператора Шредингера в четырехмерном пространстве с потенциалом. Найдена временная зависимость автомодельного решения.

14. Выведено макроскопическое уравнение для динамики плотности бактерий и клеток за счет хемотаксиса и контактных взаимодействий между бактериями из микроскопической модели, которая учитывает случайные флуктуации формы клеток. При отсутствии контактных взаимодействий уравнение сводится к уравнению Келлера-Сегела. Контактные взаимодействия приводят к регуляризации бактериального коллапса. Проведено сравнение численных решений макроскопической модели с прямым расчетом микроскопической модели методом Монте-Карло.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность И.Р. Габитову, В.Е. Захарову, К.П. Зыбину, H.A. Иногамову, Е.А. Кузнецову, A.B. Мамаеву, Б.И. Стурману, Г.М. Фрайману, М. Черткову, а также членам Ученого совета ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН за полезные обсуждения и ценные замечания.

Публикации по теме диссертации

1. P.M. Lushnikov, P. Lodahl, and M. Saffman. Transverse modulational instability of counterpropagating quasi-phase-matched beams in a quadratically nonlinear medium. Optics Letters 23, 1650-1652 (1998).

2. П.М. Лушников. Гексагональные световые структуры в фоторефрак-тивных кристаллах с зеркалом обратной связи. ЖЭТФ 113, 1122-1146

1998).

3. P.M. Lushnikov, and A.V. Mamaev. Spontaneous hexagon formation in photorefractive crystal with a single pump wave. Optics Letters 24, 1511-1513

1999).

4. P.M. Lushnikov, and M. Saffman. Collapse in a forced three dimensional nonlinear Schrodinger equation. Phys. Rev. E, 62, 5793 (2000).

5. П.М. Лушников. On the boundary of the dispersion-managed soliton existence. Письма в ЖЭТФ 72 , 163-167 (2000).

6. P.M. Lushnikov. Dispersion-managed soliton in optical fibers with zero average dispersion. Optics Letters 25, 1144 (2000).

7. P.M. Lushnikov. Dispersion-managed soliton in a strong dispersion map limit. Optics Letters 26 , 1535 (2001).

8. I.R. Gabitov, and P.M. Lushnikov. Nonlinearity management in dispersion managed system. Optics Letters 27, 113 (2002).

9. P.M. Lushnikov. Fully parallel algorithm for simulating wavelength-division-multiplexed optical fiber systems. Optics Letters 27, 939 (2002).

10. P.M. Lushnikov. Collapse of Bose-Einstein condensate with dipole-dipole interactions. Physical Review A 66, 051601(R) (2002).

11. M. Chertkov, I. Gabitov, P.M. Lushnikov, J. Moeser, and Z. Toroczkai. Pinning method of pulse confinement in optical fiber with random dispersion. J. of the Optical Society of America В 19, 2538 (2002).

12. P.M. Lushnikov. Oscillating tails of a dispersion-managed soliton. J. of the Optical Society of America B 21, 1913-1918 (2004).

13. P.M. Lushnikov. Exactly Integrable Dynamics of Interface between Ideal Fluid and Light Viscous Fluid. Physics Letters A 329, 49 (2004).

14. P.M. Lushnikov, and H.A. Rose. Instability versus equilibrium propagation of laser beam in plasma. Phys. Rev. Lett. 92, 255003 (2004).

15. P.M. Lushnikov. Diffusion of optical pulses in dispersion-shifted randomly birefringent optical fibers. Optics Communications 245, 187 (2005).

16. P.M. Lushnikov, and V.E. Zakharov. On optimal Canonical Variables in the Theory of Ideal Fluid with Free Surface. Physica D 203, 9 (2005).

17. M. Alber, N. Chen, T. Glimm ,and P.M. Lushnikov. Multiscale dynamics of biological cells with chemotactic interactions: from a discrete stochastic model to a continuous description. Phys. Rev. E 73, 051901 (2006).

18. P.M. Lushnikov, and H.A. Rose. How much laser power can propagate through fusion plasma? Plasma Physics and Controlled Fusion 48, 1501-1513 (2006).

19. M. Alber, N. Chen, P.M. Lushnikov, and S.A. Newman. Continuous macroscopic limit of a discrete stochastic model for interaction of living cells. Physical Review Letters 99, 168102 (2007).

20. I. Gabitov, R. Indik, P.M. Lushnikov, L. Mollenauer, and M. Shkarayev. Twin Families of Bisolitons in Dispersion Managed Systems. Optics Letters 32, 605607 (2007).

Заключение

1. V.E. Zakharov, V.S. Lvov, and G. Falkovich. Kolmogorov Spectra of Turbulence 1. Wave turbulence (Springer-Verlag, New York, 1992).

2. C. Sulem, and P.L. Sulem. Nonlinear Schrodinger Equations: Self-Focusing and Wave Collapse (World Scientific, 1999).

3. A. Scott. Nonlinear Science: Emergence and Dynamics of Coherent Structures (Oxford University Press, 2003).

4. J.V. Moloney, and A.C. Newell. Nonlinear Optics (Westview Press, 2004).

5. E.A. Kuznetsov, and V.E. Zakharov (Eds.) Wave Collapse (World Scientific Publishing Company, 2007).

6. G. D'Alessandro, P. St. J. Russell, and A. A. Wheeler. Phys. Rev. A 55 3211 (1997).

7. G.P. Agrawal. Fiber-Optic Communication Systems (Wiley-Interscience, 2002).

8. C.H. Власов, E.B. Шейнина. Известия Вузов. Радиофизика 26, 20 (1983).

9. W. J. Firth and C. Pare. Opt. Lett. 13, 1096 (1988).

10. Б.И.Стурман, В.М.Фридкин. Фотогальванический эффект в средах без центра симметрии и родственные явления (М. Наука, 1992).

11. P.Giinter, and Л.-P.Huignard (Eds.) Photorefractive Materials and Their Applications 1: Basic Effects (Springer, 2005).

12. T.Honda, and P.Banerjee. Opt.Lett. 21, 779 (1996).

13. В.Е.Захаров. ЖЭТФ 62, 1745 (1972).

14. M. Tlidi, M. Haelterman, and P. Mandel. Europhys. Lett. 42, 505 (1998).

15. F. Dalfovo, S. Giorgini, L.P. Pitaevskii, and S. Stringari. Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999).

16. J.D. Weinstein et al. Nature (London) 395, 148 (1998).17 18 [19 [20 [21 [22 [23 [24 [25

17. A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, and V.E. Zakharov. Phys. Rev. Lett. 92, 134501 (2004).

18. E.A. Kuznetsov, M.D. Spector, and V.E. Zakharov. Phys. Rev. E 49, 1283 (1994).27 2829 30 [3132 33 [34 [35 [36 [37

19. J. Cummings, S.D. Howison, and J.R. King. Phys. Fuids 9, 477 (1997).

20. M. Mineev-Weinstein, P.B.Wiegmann, and A. Zabrodin. Phys. Rev. Lett. 84, 5106 (2000).

21. E.F. Keller, and L.A. Segel. J. Theor. Biol. 26, 399 (1970).

22. M.P. Brenner, L. Levitov, and E.O. Budrene. Biophys. J. 74, 1677 (1998).

23. M.P. Brenner, P. Constantin, L.P. Kadanoff, A. Schenkel, and S.C. Venkataramani. Nonlinearity 12 1071 (1999).

24. J.J.L. Velazquez. SIAM J. Appl. Math. 62, 1581 (2002).

25. C.J. Weijer. Science 300, 96 (2003).

26. В.Е. Захаров, A.M Рубенчик. ЖЭТФ 65, 997 (1973).

27. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Физическая кинетика (M. Наука, 1979).

28. G. Grynberg. Opt. Commun. 66, 321 (1988).

29. R. Chang, W. J. Firth, R. Indik, J. V. Moloney, and E. M. Wright. Opt. Commun. 88, 167 (1992).

30. G. Grynberg, E. Le Bihan, P. Verkerk, P. Simoneau, J.R.R. Leite, D. Bloch, S. Le Boiteux, and M. Ducloy. Opt. Commun. 67, 363 (1988).

31. D. W. McLaughlin, J. V. Moloney, and A. C. Newell. Phys. Rev. Lett. 54, 681 (1985).

32. L.A. Lugiato, and R. Lefever. Phys. Rev. Lett. 58, 2209 (1987).

33. A.J. Scroggie, W.J. Firth, G.S. McDonald, M. Tlidi, R. Lefever, and L.A. Lugiato. Chaos, Solitons & Fractals 4, 1323 (1994).

34. G.-L. Oppo, M. Brambilla, and L. A. Lugiato. Phys. Rev. A 49, 2028 (1994).

35. K. Staliunas. J. Mod. Optics 42, 1261 (1995).

36. S. Longhi, J. Mod. Opt. 43, 1089 (1996).

37. C. Etrich, U. Peschel, and F. Lederer. Phys. Rev. Lett. 79, 2454 (1997).

38. R. A. Fuerst, D.-M. Baboiu, B. Lawrence, W. E. Torruellas, G. I. Stegeman, S. Trillo, and S. Wabnitz, Phys. Rev. Lett. 78, 2756 (1997).

39. S. E. Harris, Appl. Phys. Lett. 9, 114 (1966).

40. A.Petrossian, M.Pinard, A.Maître, J.-Y.Courtois and G.Grynberg, Europhys. Lett. 18, 689 (1992).

41. R.Macdonald and H.J.Eichler, Opt.Comm. 89, 289 (1992).

42. M.Tamburrini, M.Bonavita, S.Wabnitz and E.Santamato, Opt.Lett. 18, 855 (1993).

43. J.V.Moloney and A.C.Newell. Nonlinear Optics (Addison Wesley, Reading, MA, 1992).

44. T.Honda, Opt.Lett. 18, 598 (1993).

45. P.P.Banerjee, H.-L.Yu, D.A.Gregory, N.Kukhtarev and H.J.Caulfield, Opt. Lett. 20, 10 (1995).

46. T.Honda, and H.Matsumoto, Opt.Lett. 20, 1755 (1995).

47. N.V.Kukhtarev, T.Kukhtareva, H.J.Caulfield, P.P.Banerjee, H.-L.Yu, and L.Hesselink, Opt.Eng. 34, 2261 (1995).

48. М.П.Петров, С.И.Степанов, А.В.Хоменко. Фотпорефрактивиые кристаллы в когерентных оптических системах (С.-П., Наука, 1992).

49. Б.И.Стурман, А.И.Черных, ЖЭТФ 111, 1611 (1997).

50. B.I.Sturman, S.G.Odulov and M.Yu.Goulkov, Phys.Rep. 275, 197 (1996).

51. M.Saffman, A.A.Zozulya and D.Z.Anderson, J. Opt. Soc. Am. В 11,1409 (1994).

52. Е.А.Кузнецов, М.Д.Спектор. ЖЭТФ 71, 262 (1976).

53. Е.А.Кузнецов, М.Д.Спектор, ПМТФ 2, 76 (1980).

54. С.Н.Власов, В.А.Петрищев, В.И.Таланов, Изв.ВУЗ. Радиофизика 12, 1353 (1970).

55. Е. A. Kuznetsov, Chaos 6, 381 (1996).

56. Е. A. Kuznetsov, А. М. Rubenchik, and V. Е. Zakharov, Phys. Rep. 142, 103 (1986).

57. E. A. Kuznetsov, J. J. Rasmussen, K. Rypdal, and S. K. Turitsyn, Physica D 87, 273 (1995).

58. K. Stewartson and J. T. Stuart, J. Fluid Mech. 48, 529 (1971).

59. G. J. Morales and Y. C. Lee, Phys. Rev. Lett. 33, 1016 (1974).

60. N. R. Pereira, and L. Stenflo, Phys. Fluids 20, 1733 (1977).

61. D. J. Каир, and A. C. Newell. Phys. Rev. В 18, 5162 (1978).

62. H. T. Moon, and M. V. Goldman, Phys. Rev. Lett. 53, 1821 (1984).

63. K. J. Blow, and N. J. Doran, Phys. Rev. Lett. 52, 526 (1984).

64. K. Nozaki, and N. Bekki, Phys. Lett. A 102, 383 (1984).

65. G. Terrones, D. W. McLaughlin, E. A. Overman, and A. J. Pearlstein, SIAM J. Appl. Math 50, 791 (1990).

66. I. V. Barashenkov, and Yu. S. Smirnov, Phys. Rev. E 54, 5707 (1996).

67. В некоторых случаях E соответствует параметрическому возбуждению: Е ->• ф*Е. См. например К. Staliunas, Phys. Rev. Lett. 81, 81 (1998).

68. W. J. Firth, A. Lord, and A. J. Scroggie, Phys. Scripta T67, 12 (1996).

69. П.М.Душников. Письма в ЖЭТФ 62, 447-452 (1995).

70. М.Н. Anderson et al. Science 269, 198 (1995).

71. K.B. Davis et al. Phys Rev. Lett. 75, 3969 (1995).

72. C.C. Bradley et al., Phys. Rev. Lett. 78, 985 (1997).

73. A. Griesmaier ct al. Phys. Rev. Lett.94, 160401 (2005).

74. J. Stuhler et al. Phys. Rev. Lett. 95, 150406 (2005).

75. J. Werner et al. Phys. Rev. Lett. 96, 183201 (2005).

76. A. Griesmaier ct al. Phys. Rev. Lett. 97, 250402 (2006).

77. T. Lahaye et al. Nature (London) 448, 672 (2007).

78. T. Koch et al. Nature Physics 5, 218 (2008).

79. S. Yi and L. You, Phys. Rev. A 61, 041604 (2000).

80. K. Góral, К. Rz^zewski, and T. Pfau, Phys. Rev. A 61, 051601 (2000).

81. L. Santos et al. Phys. Rev. Lett. 85, 1791 (2000).

82. S. Yi and L. You, Phys. Rev. A 63, 053607 (2001).

83. S. Yi and L. You. Phys. Rev. A 66, 013607 (2002).

84. J.-P. Martikainen, M. Mackie, and K.-A. Suominen, Phys. Rev. A 64, 037601 (2001).

85. H. Pu, W. Zhang, and P. Meystre. Phys. Rev. Lett. 87, 140405 (2001).

86. W. Zhang et al. Phys. Rev. Lett. 88, 060401 (2002).

87. S. Giovanazzi, D.O'Dell, and G. Kurizki. Phys. Rev. Lett. 88, 130402 (2002).

88. E.A. Donley et al. Nature 412, 295 (2001).

89. C.K. Турицын, ТМФ 64, 797 (1985).

90. V.M. Pérez-García, V.V. Konotop, and J.J. Garcia-Ripoll, Phys. Rev. E 62, 4300 (2000).

91. В.Е.Захаров, Е.А.Кузнсцов, ЖЭТФ 91, 1310 (1986).

92. L. Santos et al. Phys. Rev. Lett. 88, 139904(E) (2002).

93. M.I. Weinstein, Commun. Math. Phys. 87, 567 (1983).

94. C.H. Still et al. Physics of Plasmas 7, 2023 (2000).

95. R. H. Lehmberg and S. P. Obenschain. Opt. Commun. 46, 27 (1983).

96. J. Garnier. Phys. Plasmas. 6, 1601, (1999).

97. H.A. Rose, and D. DuBois. Phys. Fluids В 5, 3337 (1993).

98. H. A. Rose, D. F. DuBois, and D. Russell, Sov. J. Plasma Phys. 16, 537 (1990).

99. A.A. Веденов, Л.И. Рудаков. ДАН СССР 159, 767 (1964).

100. A.M. Rurenchik. Radiophys. Quant. Electron. 17, 1249 (1976).

101. V.E. Zakharov, S.L. Musher, and A.M. Rubenchik. Phys. Rep. 129, 285-366 (1985).

102. C. Niemann et al. Phys. Rev. Lett. 94 085005 (2005).

103. A. J. Schmitt, and В. В. Afeyan, Phys. Plasmas 5, 503 (1998).

104. С. H. Still et al. Phys. Plasmas 7, 2023 (2000).

105. G. Bai, G. Papanicolaou and L. Ryzhik. Nonlinearity 15, 513 (2002).

106. H. A. Rose, and D. F. DuBois. Phys. Rev. Lett. 72, 2883 (1994).

107. E.M. Epperlein, and R.W. Short, Phys. Plasmas 1, 3003 (1994).

108. W.L. Kruer. The physics of laser plasma interactions Addison-Wesley, New York, 1990).

109. E.M. Epperlein, and R.W. Short. Phys. Fluids В 4, 2211 (1992).

110. A.V, Brantov et al. Phys. Rev. Lett. 93, 125002 (2004).

111. R.L. Berger, E.J. Valeo, and S. Brunner. Phys. Plasmas 12, 062508 (2005).

112. R.L. Berger, and E.J. Valeo. Phys. Plasmas 12, 032104 (2005).

113. G.M Fraiman, V.A. Mironov, and A.A. Balakin. Phys. Rev. Lett. 82, 319 (1999).

114. G.M Fraiman, A.A. Balakin, and N.J. Fisch. Письма в ЖЭТФ 81, 3 (2005).

115. L.Jr. Spitzer, and R. Harm. Phys. Rev., 89, 977 (1953).

116. E.M. Epperlein. Phys. Rev. Lett. 65, 2145 (1990).

117. A.B. Максимов, В.П. Силин. ЖЭТФ 103, 73 (1993).

118. D.S. Montgomery, R.P. Johnson, H.A. Rose, J.A. Cobble, and J.C. Fernandez. Phys. Rev. Lett. 84, 678 (2000).

119. D. Pesme, W. Rozmus, V.T. Tikhonchuk, A. Maximov, I. Ourdev, and C.H. Still. Phys. Rev. Lett. 84, 278 (2000).

120. Determined by simulation, results provided by N.B. Meezan, private comm. (2005).

121. L.J. Suter et al. Phys. Plasmas, 11, 2738 (2004); R.M. Stevenson et al. Phys. Plasmas 11, 2709 (2004).

122. H.A. Rose, and D.F. DuBois. Phys. Rev. Lett. 72, 2883 (1994).

123. J.C. Fernandez et al. Phys. Rev. E 53, 2747 (1996).

124. Ph. Mounaix. Phys. Plasmas 2, 1804 (1995).

125. C. Lin, H. Kogelnik and L.G. Cohen. Opt. Lett. 5, 476-478 (1980).

126. C. Kurtzke. IEEE Phot. Tech. Lett. 5, 1250-1253 (1993).

127. A.R. Chraplyvy, A.H. Gnauck, R.W. Tkach, and R.M. Derosier, IEEE Phot. Tech. Lett. 5, 1233-1235 (1993).

128. N.J. Smith, F.M.Knox, N.J. Doran, K.J. Blow and I. Bennion, Electron. Lett. 32, 54-55 (1996).

129. I. Gabitov and S.K. Tnritsyn. Opt. Lett. 21, 327-329 (1996).

130. И. Габитов, C.K. Турицын. Письма в ЖЭТФ 63, 814-819 (1996).

131. S. Kumar, and A. Hasegawa. Opt. Lett. 22, 372-374 (1997).

132. T. Lakoba and D.J. Каир. Electron. Lett. 34, 1124-1125 (1998).

133. P.V. Mamyshev and N.A. Mamysheva. Opt. Lett. 24, 1454-1456 (1999).

134. L.F. Mollenauer, P.V. Mamyshev, J. Gripp, M.J. Neubelt, N. Mamysheva, L. Grüner-Nielsen, and T. Veng. Opt. Lett. 25, 704-706 (1999).

135. S.K. Turitsyn, T. Schäfer, N.J. Doran, K.H. Spatschek, and V.K. Mezentsev. Opt. Comm. 163, 122-158 (1999).

136. B.E. Захаров, C.B. Манаков. Письма в ЖЭТФ 70, 573 (1999).

137. A.B. Михайлов, В.Ю. Новокшенов. Письма в ЖЭТФ 73, 287 (2001).

138. S.B. Medvedev, O.V. Shtyrina, S.L. Musher, and M.P. Fedoruk. Phys. Rev. E 66, 066607 (2002).

139. A.B. Михайлов, В.Ю. Новокшенов. ТМФ 137, 433 (2003).

140. X. Wei, X. Liu, С. Xie, L.F. Mollenauer. Opt. Lett. 28, 983 (2003).

141. M.J. Ablowitz and G. Biondini. Opt. Lett. 23, 1668-1670 (1998).

142. B.E. Захаров, A.B. Шабат. ЖЭТФ 61, 118 (1971).

143. D.E. Pelinovsky. Phys. Rev. E 62, 4283-4293 (2000).

144. V.I. Petviashvili, and O.A. Pokhotelov, Solitary Waves in Plasmas and in the Atmosphere (Gordon and Breach, Philadelphia, 1992).

145. V. Zharnitsky, E. Grenier, S.K. Turitsyn, C.K.R.T. Jones, and J.S. Hesthaven. Phys. Rev. E 62, 7358 (2000).

146. V. Zharnitsky, E. Grenier, C.K.R.T. Jones, and S.K. Turitsyn. Physica D 152, 794-817 (2001).

147. S.K. Turitsyn, J.H.B. Nijhof, V.K. Mezentsev, and N.J. Doran. Opt. Lett. 24, 1871 (1999).

148. A. Hasegawa, and Y, Kodama. Solitons in optical communications (Oxford. Univ. Press, New York, 1995).

149. Yu.L. Lvov, and I.R. Gabitov, chao-dyn/9907007 (1999).

150. S.B. Medvedev, and S.K. Turitsyn. JETP Lett. 69, 499 (1999).

151. C. Paré, A. Villeneuve, P.-A. Bélanger and N.J. Doran. Opt. Lett. 21, 459-461 (1996).

152. C. Quemard, F. Smektala, V. Couderc, A. Barthélémy, and J. Lucas. J. of Phys. and Chemistry of Solids 62, 1435 (2001).

153. N. Kashima. Passive Optical Components for Optical Fiber Transmission (Artech House, Boston, 1995).

154. A. Maruta, T. Inoue, Y. Nonaka, and Y. Yoshika, IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. 8, 640 (2002).

155. M. Stratmann, T. Pagel, and F. Mitschke. Phys. Rev. Lett. 95, 143902 (2005).

156. L.N. Trefethen, and D. Bau. Numerical Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997).

157. L.F. Mollenauer, P.V. Mamyshev, and M.J. Neubelt. Opt.Lett.21,1724 (1996).

158. L.F. Mollenauer, P.V. Mamyshev, J. Gripp, M.J. Neubelt, N. Mamysheva, L. Gruner-Nielsen, and T. Veng. Optics Letters 25, 704 (2000).

159. W. Feller. An introduction to probability theory and its applications (New York, Wiley, 1957).

160. C.D. Poole. Opt.Lett. 13, 687 (1988).

161. L.F. Mollenauer, К. Smith, J.P. Gordon, and C.R. Menyuk, Opt. Lett. 14, 1219 (1989).

162. C.R. Menyuk. IEEE J. of Quantum Electronics QE25, 2674 (1989).

163. C.D. Poole, J.H. Winters, and J.A. Nagel. Opt.Lett. 16, 372 (1991).

164. N. Gisin, and J.P. Pellax, Opt. Comm. 89, 316 (1992)).

165. P.K.A. Wai, and C.R. Menyuk. IEEE J. of Lightwave Technology 14, 148 (1996).

166. J. Yang, W.I. Kath, and C.R. Menyuk. Opt.Lett.26, 1472 (2001).

167. T.I. Lakoba, and D.J. Каир. Phys. Rev. E 56, 6147 (1997).

168. M. Matsuinoto, Y. Akagi, and A. Hasegawa. IEEE J. of Lightwave Technology, 15, 584 (1997).

169. M. Chertkov, I. Gabitov, I. Kolokolov, and V. Lebedev, Письма в ЖЭТФ 74, 608 (2001).

170. M. Chertkov, I. Gabitov, I. Kolokolov, and T. Schafer, J. of the Optical Society of America B, 21, 486 (2004).

171. A.JI. Берхоер, B.E. Захаров. ЖЭТФ 58, 903 (1970).

172. C.J. Xie, M. Karlsson, H. Sunnerud, and P.A. Andrekson. Opt. Lett. 26, 672 (2001).

173. H. Sunnerud, C.J. Xie, M. Karlsson, R. Samuelsson, and P.A. Andrekson. IEEE J. of Lightwave Technology 20, 368 (2002).

174. A.I. Dyachenko, V.E. Zakharov, and E.A. Kuznetsov. Plasma Physics Reports 22, 829 (1996).

175. E.A. Kuznetsov, M.D. Spector, and V.E. Zakharov. Phys.Lett. 182A, 387, (1993).

176. P.G. Saffman, and G.I. Taylor. Proc. R. Soc. London A 245, 312 (1958) .

177. M. Mineev-Weinstein. Phys. Rev. Lett. 80, 2113 (1998).

178. Е.А.Кузнецов, П.М.Лушников. ЖЭТФ 108, 614-630 (1995).

179. V.E. Zakharov. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2, 190 (1968).

180. E. Hopf, Comm. Pure Appl. Math. 3, 201 (1950); J.D. Cole, Q. Appl. Math. 9, 225 (1951).

181. D. Senouf, SIAM J. Math. Anal. 28, 1457 (1997); D. Scnouf, ibid., 28, 1490 (1997).

182. D.V. Choodnovsky, and G.V. Choodnovsky, Nuovo Cimento, 40, 339 (1977).

183. U. Frisch, and R. Morf. Phys. Rev. A 23, 2673 (1981).

184. F. Calogero. Classical Many-Body Problems Amenable to Exact Treatments, (Springer-Verlag, Berlin, 2001).

185. A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, and V.E. Zakharov. Письма в ЖЭТФ 77, 572 (2003).

186. A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich, and V.E. Zakharov. Phys. Rev. Lett. 92, 134501 (2004).

187. A.N. Pushkarev. Eur. J. Mech. B/Fluids 18, 345-352 (1999).

188. A.N. Pushkarev, and V.E. Zakharov. Phys. Rev. Lett. 76, 3320-3323 (1996).

189. A.N. Pushkarev, and V.E. Zakharov. Physica D 135, 98-116 (2000).

190. M. Tanaka, J. Fluid Mechanics 444, 199-221 (2001).

191. V.E. Zakharov, A.I. Dyachenko, and O.A. Vasilyev, Eur. J. Mech. B/Fluids 21, 283-291 (2002).

192. В.П. Красицкий. ЖЭТФ 98, 1644 (1990).

193. M.A. Herrero, and J.J.L Velazquez. Math. Ann. 306, 583 (1996).

194. P. Bilear, and W.A. Woyczinski. SIAM J. Appl. Math. 59, 845 (1998).

195. E. Ben-Jacob, I. Cohen, and H. Levine. Adv. Phys. 49 4, 395 (2000).

196. M.D. Betterton, and M.P. Brenner. Phys. Rev. E 64, 061904 (2001).

197. R. Erban, and H.G.Othmer. SIAM J. Appl. Math. 65, 361 (2004).

198. T. J. Newman, and R. Grima. Phys. Rev. E 70, 051916 (2004).

199. Г.М. Фрайман. ЖЭТФ 88, 390 (1985).

200. B.J. LeMesurier, G. Papanicolaou, C. Sulem, and P.L. Sulem. Physica D, 31, 78 (1988).

201. M. Landman, G. Papanicolaou, C. Sulem, P.L. Sulem. Phys. Rev. A 38, 38373843 (1988).

202. S. Dyachenko, A.C. Newell, A.Pushkarev, and V.E. Zakharov. Physica D 57, 96 (1992).

203. G. Fibich, and G. Papanicolaou. SIAM J. Appl. Math. 60 , 183 (1999).

204. F. Merle, and P. Raphael. J. Amer. Math Soc. 19, 37 (2006).213. http://www.personal.dundee.ac.uk/~cjweij er/dictyweb/proj ects.htm

205. F. Graner, and J.A. Glazier. Phys. Rev. Lett. 69, 2013 (1992).

206. J.P. Rieu et al. Biophys. J. 79, 1903 (2000).

207. A.B. Bortz et al. J. Comp. Physics 17, 10 (1975).

208. C.W. Gardiner. Handbook of stochastic methods for physics, chemistry, and the natural sciences (Springer-Verlag, 2004).

209. M. Alber, N. Chen, T. Glimm, and P. Lushnikov. Phys. Rev. E. 73, 051901 (2006).

210. R.A. Kanaan and L.A. Kanaan. Med. Sei. Monit. 12, RA164 (2006).