Невылетание цвета и монополи в решеточных калибровочных теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

На правах рукописи

Белавин

Владимир Александрович

НЕВЫЛЕТАНИЕ ЦВЕТА И МОНОПОЛИ В РЕШЕТОЧНЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЯХ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва- 2004

УДК 530.1

Работа выполнена в Государственном научном центре РФ Институт теоретической и экспериментальной физики, г.Москва.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук

М.И. Поликарпов, ГНЦ РФ ИТЭФ, г.Москва.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук

А.Л. Катаев, ИЯИ РАН, г.Москва.

доктор физ.-мат. наук

В.А. Новиков,

ГНЦ РФ ИТЭФ, г.Москва.

Ведущая организация:

Объединенный Институт Ядерных Исследований, г. Дубна.

Защита состоится 1 июня 2004 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д.201.002.01 в Государственном научном центре РФ - Институт теоретической и экспериментальной физики по адресу: 117259, Москва, Б. Черемушкинская, 25, ИТЭФ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ.

Авторефератразослан " 2 9 "АПРЕЛЯ6004г.

"Ученый секретарь

диссертационного совет доктор физ.-мат. наук

В.В.Васильев

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена рассмотрению проблемы невылетания цвета в глюодинамике. Основное внимание уделено изучению свойств непертурбативных флуктуации, которые естественно называть магнитными монополями. Магнитные монополи возникают в максимальной абелевой проекции и наблюдаются на решетке в виде замкнутых траекторий. В модели невылетания 'т Хоофта-Мандельстама монополи сконденсированы в вакууме глюодинамики, что приводит к сжатию электрических полей кварков в трубку, подобную струне Абрикосова. Поэтому невылетание цвета может быть интерприти-ровано как эффект дуальной сверхпроводимости и эффективной низкоэнергитической моделью является дуальная абслева модель Хиггса. При увеличении температуры в глюодинамике происходит фазовый переход, разделяющий фазу невылетания цветных зарядов (низкие температуры) и фазу вылетания цвета.

В настоящей работе изучаются динамика и структура монополей в эффективной абелевой теории. Полученные результаты подтверждают справедливость данной эффективной низкоэнергитической модели. Помимо этого исследуется температурный фазовый переход глюодинамики. Рассматриваются различные определения оператора рождения монополя, вакуумное среднее которого выступает в качестве параметра порядка. Исследуются свойства оператора рождения монополя, а также свойства монополей при конечных температурах.

Одной из важных проблем современной квантовой теории поля является объяснение невылетания цвета в пеабелевых калибровочных теориях. В рамках КХД никто еще не сумел доказать, что микроскопическая, фундаментальная теория кварков и глюонов действительно приводит к невылетанию на больших расстояниях. Теоретическое доказательство подразумевало бы описание КХД длинноволновых свойств, однако, в связи с ростом константы связи, теория возмущений становится неприменимой на масштабах сравнимых с размерами адронов..

Предполагается, что физический вакуум КХД устроен так, что распространение хромоэлектрических полей на большие расстояния энергетически невыгодно. Вместо этого поле пары цветных зарядов сжимается в трубку. Интересным подходом к исследованию этого явления является метод абелевых калибровок, предложенный 'т Хоофтом. Если топологические возбуждения,-возникающие в связи с компактностью абелевой подгруппы и называемые монополями, сконденсированы, то невылетание можно объяснить по аналогии с эффектом Мейснера в сверхпроводнике. Точнее говоря, так как КХД — теория релятивистская, то аналогия существует скорее между КХД и релятивистским обобщением теории сверхпроводимости — абелевой моделью Хиггса (АМХ).

Поэтому важно исследовать различные свойства монополей. С этой задачей связана настоящая диссертационная работа.

Актуальность темы

Цель работы

Основные цели диссертации:

• Обоснование модели дуального сверхпроводника в глюодинамике.

• Изучение взаимосвязи монополей, возникающих в эффективной абелевой модели, с фундаментальной КХД.

• Исследование структуры и динамики монополей.

Научная новизна

• Показано, что характерные длины монопольных траекторий измеряются в физических единицах и не зависят от шага решетки. В то время как толщина этих траекторий определяется в терминах распределения неабелева действия. Совокупность монопольных траекторий, определенных для каждой полевой конфигурации, распадается на кластеры, один из которых существенно отличается от остальных. Предполагается, что именно этот кластер несет ответственность за возникновение конфайкмента, в то время как остальные кластеры не существенны для проблемы невылетания.

• В контексте исследования температурного фазового перехода КХД и изучения свойств монополей при конечных температурах, предложена решеточная формулировка оператора рождения монополя в абелевой проекции глюодинамики. С помощью измерения эффективного потенциала для монополей показано наличие конденсата монополей в фазе невылетания цвета и его отсутствие в фазе вылетания. Положение минимума потенциала соответствует значению монопольного конденсата. Этот результат является явным подтверждением гипотезы дуального сверхпроводника. Приводятся несколько явных формулировок для оператора рождения мононоля. Рассматриваются различия между ними. Исследуются различные абелевые проекции.

• Изучается возможность определения потенциала между двумя статическими цветными зарядами, находящихся в синглетном, либо присоединенном состояниях. В решеточных калибровочных теориях важно уметь строить калибровочно инвариантные операторы, соответствующие двум каналам независимо. При конечной' температуре численно исследуется зависимость от калибровки предложенных ранее кандидатов на эту роль. Показано, что утверждение о единственности син-глетного и присоединенного потенциалов в любой локально-временной калибровке является слишком жестким.

Практическая и научная ценность

Полученные результаты свидетельствуют в пользу новой картины вакуума КХД. А именно в вакууме присутствуют монопольные траектории, толщина которых определяется в терминах распределения неабелева действия и оказывается меньше шага решетки о, имеющего минимальное доступное значение . Сделана оценка

радиуса монополя, Лт « 0.065 фм. Другие размерные величины, характеризующие вакуум глюодинамики, значительно больше по порядку величины. Например, среднее

расстояние между моноподими Rmm 0.5 фм, средний радиус инстантона Ri а 0.3 фм. Таким образом, нетривиальный факт заключается в том, что в вакууме КХД существует дополнительный масштаб, 0.065 фм. Существование подобною явления предполагается и в Стандартной модели, где масса хиггсовской скалярной частицы может быть много меньше ее обратного радиуса. В случае мононолей решение проблемы тонкой подстройки лагранжиана скалярных частиц заключается в том, что монопольные траектории ассоциированы на самом деле с поверхностям, а не со всем четырехмерным пространством.

Аппробация диссертации и публикации

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах теоретического отдела ИТЭФ; на международных конференции Lattice в 2001 г. (Берлин, Германия), в 2002 г. на конференции NATO Advanced Research Workshop on Confinement, Topology, and other Nonperturbative Aspects of QCD, (Стара Лесна, Словакия). Так же результаты диссертации докладывались в различных научных центрах (МИАН, МИФИ, ИЯИ). По материалам диссертации опубликовано 8 работ перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и приложения, список литературы содержит 127 наименования. Общий объем - 81 страницы.

2 СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, делаются вводные замечания о предмете исследования.

Во второй главе коротко изложены основные понятия решеточных теорий поля.

Действие решеточной КХД формулируется в явно калибровочно инвариантном виде и приближается к действию КХД в континууме при стремлении к нулю шага решетки. Евклидовые вакуумные средние различных наблюдаемых 0]U, Ф], где U(x,fi) SU(N) матрицы, соответствующие калибровочным полям, а Ф^) - полям материи (х - узел решетки, - направление), определяются стандартным способом через фейнмановский интеграл по путям.

(1)

где Z статистическая сумма

(2)

D[U] обозначает кратную меру мера Хаара по SU(N) группе) и

о б о з н a nd0i(s) ' Пол^ю)этветствуют компонентам ноля Ф(х).

х

Решеточная формулировка квантовой теории поля обеспечивает математически хорошо определенную регуляризацию теории. Среднее (1) может быть вычислено с помощью метода Монте-Карло. Основная идея этого метода состоит в генерации посредством стохастического процесса репрезентативного ансамбля полевых конфигураций

(О) = ± ¡Щи\Ъ[ф\0[и/Це-5[им

Z = j D[£/j е_5'{/,ф'

{(Уп|Ф>»1» п = 1,2,...,//}. Репрезентативный означает, что конфигурации в ансамбле распределены в соответствии с больцмановским весом Вакуумные сред-

ние (1) вычисляются как средние по ансамблю

(3)

К сожалению, методом Монте-Карло значение определяется с ошибкой Д(О), более того, в большинстве случаев интерес представляют не непосредственно измеряемые , а некоторые функции этих величин.

Основной метод решеточных вычислений сочетает в себе алгоритм тепловой ванны с алгоритмом сверх-релаксации. Оба метода локальны, в том смысле, что на каждом шаге меняются переменные поля соответствующие определенному элементу решетки (линку для калибровочного поля и узлу для поля материи). Изменение полевых переменных на каждом шаге основано на вероятностном подходе, например, новая переменная принимается в соответствии с амплитудой перехода

Чтобы обеспечить больцмановское распределение вероятности равновесных конфигураций с весом exp(—S)/Z, где S действие, а Z статистическая сумма (2), необходимо, чтобы алгоритм обновления конфигурации удовлетворял условию детального равновесия и эргодичности. Детальный баланс гарантирует, что

где лишь часть действия, зависящая от переменной Требование эргодичности эквивалентно условию, что каждая полевая конфигурация может быть получена за конечное количество шагов.

В алгоритме тепловой ванны новое значение переменной поля принимается независимо от начального значения в соответствии с вероятностью перехода

По аналогии с термодинамикой, можно представить, что полевая переменная приводится в контакт с термостатом.

В алгоритме сверх-релаксации, новое значение ф' не меняет действие Б(ф)

Б(ф') = ЗД. (6)

Цель сверх-релаксации заключается в ускорении процесса обновления конфигураций путем выбора новых полевых переменных ф' расположенных как можно дальше в конфигурационном пространстве от начальных переменных .

Важной составляющей процесса обновления полевых конфигураций является генерация случайных чисел. Необходимо генерировать огромное количество независимых случайных чисел, чтобы обеспечить стохастичность процесса. Обычно используют генераторы случайных чисел выдающие значения равномерно распределенные в интервале [0,1). Далее эти значения используются для получения случайных чисел распределенных с вероятностью, необходимой для данного процесса обновления конфигураций.

На решетке калибровочные поля ставятся в соответствие ориентированным линкам £ Би^) (а, 6 = 1,2,цветные индексы), соединяющим два узла решетки Калибровочное преобразование задается матрицами

иА(х,М) = ^(х)и(х,цЩх + (7)

Для чисто калибровочной теории обычно используется вильсоновское действие

где, так называемый, плакет /%,(х) определяется как

Р„»(х) = и(х,1л)и(х + аД, »)и\х + ай.^и^х, и),

(9)

и сумма в (8) ведется по всем плакетам решетки. В пределе бесконечно малой длины ребра и гладких калибровочных полей, Sw воспроизводит действие Янга-Миллса если голая константа связи g на решетке удовлетворяет соотношению

(10)

При симуляциях методом Монте-Карло оценка ошибок вычисления наблюдаемых играет существенную роль. В дополнение к обычным статистическим ошибкам, связанным с конечным числом измерений N и пропорциональным 1/ -/И, существуют дополнительные ошибки, основанные на объективных недостатках используемых ал-горитмои. Перечислим возможные источники возникновения дополнительных ошибок. Во-первых, существуют автокорреляции в равновесии, связанные с тем, что равновесные конфигурации в процессе обновления остаются закоррелированными между собой некоторое "время". Это приводи к дополнительному фактору 2т,а1(0), увеличивающему значение статистической ошибки при вычислении С5 (3). Величина 1^(0) называется интегральным временем автокорреляции для наблюдаемой О. Во-вторых, алгоритму необходимо определить начальная конфигурацию. После достижения теплового равновесия, в котором полевые конфигурации распределены с больцмановским весом ехр(—8), зависимости от начальной конфигурации быть не должно. Поэтому, требуется определенное "время", чтобы "забыть"начальную конфигурацию, которое также можно оценить вычисляя В диссертации описаны методы вычисления ошибок закоррелированных величин.

В третьей главе рассматриваются методы определения потенциала между двумя статическими цветными зарядами, находящимися либо в синглетном, либо в присоединенном состояниях. В соответствии с разбиением тензорного произведения представлений на неприводимые представления

ЛГ®ЛГ = 1 + (ЛГ2-1).

(И)

В теории возмущений обычно фиксируется калибровка и тогда раздельное описание двух каналов становится возможным в пределе малых расстояний между зарядами. В лидирующем порядке имеется следующее соотношение

(12)

Из-за растущей колстанты связи, теория возмущений работает только на малых расстояниях, в то время как в режиме конфайнмента необходимы непертурбативные методы, такие как решеточные симуляции.

При нулевой температуре статический потенциал обычно извлекается из петли Вильсона, спроектированной на синглетный канал. При конечной температуре единственный известный способ получения калибровочно инвариантного потенциала связан с

оператором поляковской линии. Этот потенциал выражаегся через взвешенное среднее синглетного и присоединенного каналов. Таким образом при нулевой температуре существует два различных калибровочно инвариантных оператора, соответствующих синглетному и усредненному потенциалу. Отсюда следует, что октетный канал также существует непертурбативно.

Рассмотрим БЩ(К) теорию Янга-Миллса в 1 измерениях с вильсоновскнм действием на решетке. Пусть NT и Nr - количество узлов решетки вдоль времени и пространственно-подобных направлений, соответственно, и а - шаг решетки. Мы возьмем 0 < < N„<1 — а (1 = 1,2,3) и 0 < х4 < Ыта — а .

Для фиксированного Nт , нас интересует состояние со статическим кварком в точке у и антикварком в точке х, Синглетное и присоединенное состояния этой

пары получаются с помощью проекционных операторов

(13)

где Применяя эти

операторы к кварк-антикварковой паре, можно получить тензорное разложение

{РлФкШ у))

с0

у)

= 4'с

= -27?,

■цФуМФЛу)

(14)

Проекционные операторы действуют в пространстве матриц представления и не зависят от прострапства-времени. Поэтому, при локальных калибровочных преобразованиях выражения (14) ведут себя как синглет и N — 1)-плет для х = у.

Распространение статического кварка в евклидовом времени описывается поляков-ской линией,

■Фа{х, ta + t) = Ь(х)адф/}{х, ¿о), Цх) = П и«(х' О.

(15)

тогда как кварк-антикварковая пара задается матричной корреляционной функцией двух вильсоновских линий разделенных В соответствии с тензорным разложением представлений

С*{г, I) = = е-'™)*, + (1.6)

Применяя проекционные операторы находим

(17)

Очевидно, что коррелятор поляковских петедь определяет калибровочно-инвариантный, усредненный по цвету потенциал И,* (Л) . Не так давно были высказаны соображения

в пользу, того, что синглетный и присоединенный потенциалы тоже можно определить калибровочпо-инвариантным образом, если воспользоваться так называемыми "оде-тыми"поляковскими линиями. Одевание источника можно рассматривать, как калибровочное преобразование, поэтому этот подход равносилен определению синглетного и присоединенного потенциалов в некоторой определенной калибровке. Утверждалось, что в качестве такой калибровки можно использовать любую локальную во времени калибровку, т.е. калибровку не меняющую спектр трансфер-матрицы. Следовательно для получения необходимо усреднить выражение в выбранной (локальной во времени) калибровке.

Интересно исследовать зависимость Ц(пг(Г1) и 1^(11) от выбора конкретной калибровки в 4й 811/(2) решеточной калибровочной теории. Для этого вычисляются калибровочно-инвариантный коррелятор (и Ь{И,)- и ¿'(О)) и среднее (и в различных локально временных калибровках.

В случае SU(2) решеточной калибровочной теории, усредненный потенциал задается выражением

(18)

где Т = 1 /аЫт - температура. Цветные синглетный и присоединенный потенциалы можно ввести в следующем виде

_ "-(•'„„т/г _ I е-ът,(ю/т

Уравнения (19),(20) имеют смысл, только при наложении какого-либо условия, фиксирующего калибровку. Если калибровка не фиксирована, то = = В данной главе описываются результаты, полученные для следующих локально-временных калибровок.

1. 3D максимальная аксиальная калибровка.

В этом случае калибровка фиксируется в каждый временной отрезок независимо, следующим образом

(a) сначала мы фиксируем {/,1 = 1 для всех х\,хг,х$ кроме х1 = Ыаа — а ;

(b) затем фиксируем = 1 для XI = N„4—а и все х^хз кроме х2 = Д,а-а;

(c) и наконец, фиксируем ихз = 1 для х\ = хъ = N„0, — а и все хз кроме

2. Обобщенная кулоновская калибровка.

Чтобы зафиксировать эту калибровку, необходимо найти максимум функционала

(21)

но отношению к калибровочным преобразованиям П , где а А - некоторый параметр, принимающий значения между нулем и единицей. Очевидно, что при А = 1 мы приходим к обычной кулоновской калибровке

в-У„(К)/гв 1(1г дк.). 1г ¿1(0))

= £ \ и + А £ и + \ и (/?,]

Результаты решеточных симуляций заключаются в том, что в кулоновской калибровке, на маленьких расстояниях синглстный потенциал лежит ниже, а присоединенный выше усредненного цветного потепциала Vev(R), и приближаются к нему с ростом .

Особенный интерес представляет сравнение синглетного и присоединенного потенциалов в разных локально-временных калибровках. Оказывается, что синглетный потенциал Кич(^) > определенный в максимальной древесной калибровке, далеко не совпадает с синглетным потенциалом , определенным в кулоновской калиб-

ровке.

В случае ОСО, фиксирующий калибровку функционал (21) зависит от параметра О < А < 1 . Очевидно, что выбор Л =• 1 соответствует обычной кулоновской калибровке. Оказывается, что в этой калибровке оба потенциала: синглетный и присоединенный нетривиально зависят о т . Результаты компьютерных

вычислений показывают, что эта зависимость нетривиальна. Тем не менее данные указывают на то, что при А > А,. (Ас сг 0.6) нет какой-либо ощутимой зависимости от А , и следовательно У^пв(11) = . При А < Ас это уже не верно, и отклонение

У^(Н) от растет с убыванием А . Таким образом имеется класс калибровок,

а именно: GCG для А > Ас , которые приводят к такому же сипглетпому потенциалу, что и кулоновская калибровка. С другой стороны, мы также видим подтверждение в пользу калибровочной зависимости коррелятора.

Можно сделать вывод, что утверждение относительно единственности синглетно-го и присоединенного потенциалов, определяемых выражениями (19) и (20), в любой локально-временной калибровке вероятно является слишком жестким. Поэтому имеет смысл и далее изучать определение синглетного и присоединенного потенциалов при конечной температуре.

В четвертой главе рассматривается глюодинамика в максимальной абелевой проекции. В общем случае абелевая проекция определяется диагонализацией произвольного калибровочно не инвариантного оператора преобразующегося по присо-

единенному представлению калибровочной группы:

Х^ХЛ = П+(х)ХП(х) = с^(А,(х).....А„,(х)). (22)

где а «= 1,...,/^ — 1 — генераторы в фундаментальном представлении.

После того, как X диагонализирован в каждой точке, остается абелевая калибровочная симметрия по подгруппе £/(1)"с-1, так как Хл инвариантен при преобразованиях (22) с -

П(х) = «Кг^е*1^.....е*"««) е и{ 1)ЛГ'"1

Абелевая проекция позволяет свести неабелевую калибровочную теорию к абелевой, при этом недиагональные глюоны становятся заряженными полями материи.

Существует доказательство того, что при фиксации любой абелевой калибровки неизбежно появляются монополи. Основано это доказательство на том факте, что группа остаточной калибровочной симметрии всегда компактна.

На решетке калибровочные поля для ЗЩЫ^ хромодинамики определяются заданием матриц УДх) 6 Зи{Ыс) на каждом ребре {х, . Связь решеточного поля с непре-

рывным потенциалом дается соотношением Uh{x) = е'"3^1^, где через а обозиачен шаг решетки и д — константа связи.

Калибровочное преобразование определяется заданием в каждом узле {х} матрицы üx € SU{NC); закон преобразования калибровочных полей имеет вид £/"(х) = Sl+lfM(x)Qx+ll. Для простоты мы будем говорить о случае Nc = 2.

Максимальная абелевая проекция SU(2) глюодинамики определяется следующим образом. Статистическая сумма SU(2) глюодинамики,

Z = f[dV]exp{-ßS(U)}, (24)

имеет следующую форму в МаА проекции:

гшл = /(df/| exp{-/?S(£0} • ¿in^ecpf-AS./itO} bFT{U\ Л), (25)

Детерминант Фадеева-Попова (FP), Afp, определяется с помощью соотношения,

1 = &Fp{U; А) |[<Ш]exp|-A5,/(f/(ii))}, (26)

где i/j"* = iix это Si/(2) калиб{>овочное поле У преобразованное калибровоч-

ным вращением П. Фиксирующие калибровку действие S9t,

S9,{U) = - J2Tr(U,o3Ufo3), (27)

<

инвариантно под действием £/(1) калибровочных преобразований из диагональной U( 1) подгруппы, Slud) = exp{ia3or/2}.

Используем стандартную параметризацию Sl/(2) линковых матриц: У» = cos^e'»-; = sinУ» = U» = -Ц»*; 0 < ф < тг/2, -тг < х < 7г. Остаточные 17(1) калибровочные преобразования действуют на поля 0 и х следующим образом:

вх„ — + ах - , Xip Xiy. + аt + а1+р. (28)

оставляя поле ф без изменения. Таким образом абелевая проекция в становится абе-левым калибровочным полем, а х становиться векторным полем материи, несущим электрический заряд два.

Конфигурация абелевых калибровочных полей может содержать монополи, положение которых на решетке определяется с помощью решеточного аналога теоремы Гаусса. Рассмотрим элементарный трехмерный куб С. Поток абелевого магнитного ноля Н через поверхность куба С дается выражением:

(29)

Z7r Реос

где магнитное поле вр определяется следующим образом. Рассмотрим плакетный угол вр = + $i - $з - В\ s (d9)p, тогда по определению вР = вр + 2тгк, где целое к подбирается таким образом, что -я- < вр < Определение вР в интервале (—тг; тг] естественно следует из периодичности решеточного действия относительно вр с периодом 2ff. Уравнение (29) является решеточным аналогом непрерывной формулы m~f HdS. Кроме тот, из (29) непосредственно следует, что магнитный заряд квантован: m = 0, ±1, ±2,.... и что магнитные токи сохраняются.

Таким образом в максимальной абелевой проекции абелевые монополи одеты недиа-тональными глюонами, что напоминает структуру монополей Полякова-тХофта (НР) в модели Джорджи-Глешоу. Действительно, и те и другие монополи массивны, соответствующие недиагональные поля убывают с расстоянием и абелевые поля являются дальнодействующимн. Существуют дополнительные аргументы, полученные на базе решеточных вычислений, подтверждающие предположение о связи глюодинамнки в максимальной абелевой проекции и модель Джорджи-Глешоу, которые описаны в диссертации.

В пятой главе обсуждаются динамика и структура решеточных монополей. Монопольный механизм конфайнмента предполагает конденсацию монополей в КХД. Микроскопически, конденсацию монополей можно понимать как перколяцию монопольных траекторий. Действительно, на решетке наблюдается, что совокупность монопольных траекторий, определенных для каждой конфигурации полей, распадается на кластеры. Важно различать перколирующий (или "бесконечный") кластер и кластеры конечной длины. Под перколирующим кластером в реальных измерениях следует, конечно, понимать кластер, простирающийся от границы до границы объема решетки.

Чтобы получить представление о динамике решеточных монополей, рассмотрим измерение полного неабелевого и абелевого действий на монопольных траекториях. Оказывается, неабелевое действие на нлакетах, близких к монопольным траекториям, больше среднет плакетного действия, 5". Однако, если бы это было верно на произвольно малых расстояниях, то монополи были бы сильно подавлены за счет фактора действия и не могли бы быть сконденсированы. Поэтому необходимо, чтобы эта тенденция менялась при уменьшении шага решетки, или увеличении Существенно, что мы различаем монополи, принадлежащие перколирующему и конечным кластерам. И утверждение об уменьшении действия относится только к перколирующему кластеру. Можно сказать, что монополи, принадлежащие перколирующему кластеру, сконденсированы из-за особой структуры.

Наиболее важный вопрос заключается в оценке размера монополя. Решеточные измерения показывают, что монополь имеет довольно маленький размер. Это наблюдение подтверждает идею о наличии дополнительного масштаба масс в непертурбативпой физике. С другой стороны, измерения показываю, что размер абелевых монополей много меньше расстояния между ними, так что систему монополей можно трактовать как разреженный газ. Оказывается, что благодаря конечному размеру монополей в глю-одинамике они остаются сконденсированными при любом значении голой константы связи. В компактной электродинамике, с другой стороны, монополи представляют собой точечные объекты и существует критическая константа связи, разделяющая фазы конфайнмента и деконфайнмента.

Перед тем как суммировать факты относительно анатомии монополей, давайте вспомним основные моменты теории конденсации монополей в компактной фотодинамике. В этом случае монополи являются классическими решениями, также как исходные монополи Дирака. Радиальное магнитное поле монополя похоже на электрическое поле точечного заряда, где е это электрический заряд и фактор возникает в связи с условием квантования Дирака. Соответствующая энергия имеет ультрафиолетовую расходимость:

где Н - радиальное магнитное поле, о - шаг решетки, определяющий ультрафиолето-

(30)

вое обрезание, необходимое для регуляризации. Заметьте, что струна Дирака не дает вклад в энергию (30), из-за компактности U( 1). Уравнение (30) требует, чтобы вероятность обнаружения монопольной траектории длины L была подавлена действием как exp{-consf • L/(e2 • а)}, где константа зависит от деталей регуляризации. В непрерывном пределе в —► 0 энергетический фактор, казалось бы, приводит к абсолютному подавлению монополей. Однако мы не учли еще энтропию. Это не трудно сделать для точечных мононолей с е2 ~ 1. В данном случае энтропия есть число траекторий Ni одинаковой длины L. На решетке монополн занимают центры кубов. Каждый куб в четырехмерном пространстве (d = 4) соседствует с восемью иными, так что на каждом шаге есть возможность выбора одного из семи новых направлений. Число шагов равно L/a, поэтому

NL=7L/a. (31)

Вычислив энтропию (31), можно найти теперь приближенное представление функционального интеграла компактной КЭД как суммы монопольных траекторий длины L:

Z = £exp{-0Lc}(7)L, (32)

L

где с — это действие единицы длины монопольной траектории. Очевидно, что 0 = Д. = In 7/с соответствует фазовому переходу.

То, что в случае SU(2) калибровочной теории нетривиальную структуру монополей следует ожидать, становится понятно из следующих, рассуждений. Для компактной КЭД плакетное действие

= я,№<х*0р (33)

похоже на действие SU(2) решеточной калибровочной теории после максимальной абе-левой проекции. Действительно, SU(2) плакетное действие при больших значениях 0 близко к единичной матрице, с точностью до калибровочного преобразования. Поэтому, при больших значениях 0 в максимальной абелевой проекции значение cos <j>t близко к единице, 4>t мало и SU{2) плакетное действие имеет вид:

= j0[cos вр cos фх cos <fo cos Фз cos ф4 -I- 0(sin <pi)]. (34)

Чем больше 0, тем меньше < sin ф) >. Возникает искушение в пределе 0 —* оо сделать замену SAPSU<^ = cos вр. С другой стороны, при маленьких значениях голой константы связи (или при больших значениях 0) компактная электродинамика находится в фазе деконфайнмента, в то время как глюодинамика — в фазе конфайнмента. В абелевой проекции решеточной глюодинамики монополи сконденсированны при любых значениях 0. Если оставаться в рамках монопольного механизма конфайнмента, возникает естественный вопрос: "Почему при больших значениях 0 монополи не сконденсированны в компактной КЭД и сконденсированны в глюодинамике, если действия этих теорий близки друг к другу?". Оказывается действие недиагональных глюонов S'/t

на плакетах близких к монополям из перколирующего кластера отрицательно, и полное неабелевое действие Ssu^ — S°H + SAM меньше, чем его абелевая часть. В решеточной глюодинамике этот фазовый переход отсутствует в связи с тем, что в этом случае монополь обладает нетривиальной структурой и действие единицы монопольной траектории в решеточных единицах зависит от 0 таким образом, что сумма( 32)

всегда остается конечной. Численные расчеты подтверждают, что в решеточной глю-одинамике при нулевой температуре монополи всегда сконденсированны и образуют перколирующий кластер.

Результаты измерений показывают, что неабелевое действие монополей уменьшается, когда мы приближаемся к центру монополя, в то время как абелевая масть действия увеличивается. Таким образом, вклад недиагональных глюонов в неабелевое действие отрицателен, и, благодаря этому, эти монополи сконденсированы. Можно оценить радиус мононоля, как расстояние до точки, в которой функция ^щ^а/Я) имеет максимальную производную, Дт « 0.065 ¡т. Заметим, что другие размерные величины, характеризующие вакуум глюодинамики, значительно больше по порядку величины. Например, среднее расстояние между монополями Я^т « 0.5 /т; средний радиус ин-стантона: Я/ » 0.3 /т. Таким образом, нетривиальный факт заключается в том, что в вакууме КХД существует значительно меньший масштаб, 0.065 /т.

В шестой главе поведение монопольного конденсата исследуется с помощью оператора рождения монополя- Если вакуум SU(2) глюодинамики в абелевой проекции аналогичен дуальному сверхпроводнику, величина монопольного конденсата должна зависеть от температуры как параметр порядка: иметь ненулевое значение при низких температурах и зануляться выше точки фазового перехода.

Удобно исследовать эффективный потенциал на поле монополя, определяемый следующим образом:

(35)

где Фто„(г) — оператор рождения монополя в точке х.

Первоначальная версия калибровочно инвариантного оператора рождения монополя в компактной 11( 1) калибровочной теории основана на дуальности этой модели к абелевой модели Хиггса. Поле Хиггса ф в этом случае ассоциировано с полем монополя, а некомпактное дуальное калибровочное поле Вм представляет дуальный фотон. Калибровочно инвариантный оператор, создающий монополь в точке х, может быть записан как оператор Дирака в дуальной модели:

(36)

где магнитное поле монополя Я определено в трехмерном пространстве, включающем точку х, при фиксированном времени. По определению, поле магнитного монополя удовлетворяет уравнению которое гарантирует инвариантность оператора Ф под действием калибровочных преобразований:

ф->фе™ , В В + с1а. (37)

Оператор рождения монополя (36) можно переписать в терминах поля 9 исходной модели. В решеточных обозначениях среднее значение этого оператора:

<ф™°) = Ов ехр{—5(<ДО + И0) , г = У* Ш ехр{-5(<М)} , (38)

где W определяется магнитным нолем монополя Н. Если определенный в (35) потенциал имеет вид потенциала Хиггса

Ц„(Ф) = - 1п (<5(Ф - I £ Ф^х))))

К//(Ф) ос А(|Ф|2 - Ф^)5 А,Фс>0,

(39)

то в теории существует монопольный конденсат. Механизм дуальной сверхпроводимости предсказывает именно такой вид потенциала в фазе невылетания. В фазе декон-файнмента эффективный потенциал должен иметь вид:

И«//(Ф)осп£оп|Ф|1 + А|Ф|4 + ...

(40)

Оператор рождения монополя, который мы обсуждали выше, имеет определенный недостаток: когда рассматривается теория с заряженными полями материи, струна Дирака становится видимой. Действительно, как уже говорилось, чистая компактная калибровочная модель дуальна некомпактной с полями материи. Читая это соотношение в обратную сторону, можно заключить, что присутствие полей материи ведет к компактификации дуального калибровочного поля В. Компактность дуального калибровочного поля требует, чтобы калибровочные преобразования (37) были модифицированы:

ф -» фе*а, В В + ¿а + 2ттк.

(41)

где компактность калибровочного поля достигается введением целочислен-

ного векторного поля к = к(В,а). Поле к ответственно за измепение формы струны Дирака. Легко проверить, что оператор (36) не инвариантен под действием компактных калибровочных преобразований (41):

ф™"(Я) —» Ф^ЮП(Я) е2"'*'"»).

(42)

Из (42) следует, что если Я сделать целочисленным, то оператор рождения монополя будет инвариантен при компактных калибровочных преобразованиях (41). Это условие требует, чтобы поле И имело форму струны, приложенной к монополю ("струны. Ман-дельстама"): Эта, струна должна быть определена в трехмерпом срезе

при фиксированном времени, как и магнитпое. поле И. Однако, если фиксировать положение струны, оператор Ф создает состояние с бесконечной энергией. Эту сложность можно преодолеть, суммируя по всем возможным положениям струны Мандельстама с определенной мерой /4.7'):

(43)

Если поле Хиггса ф имеет заряд ц £ 2, то суммирование в (43) следует проводить по q различным струнам, каждая из которых несет магнитный поток Щ.

Заметим, что даже чистая глюодинамика содержит электрически заряженные поля в абелевой проекции: недиагональные глюоны заряжены (с зарядом 2) по отношению к полям диагональных глюонов. Поэтому новый оператор больше подходит для исследования коифайпмента в ЗЩК) калибровочных теориях. Для компактной абелевой модели Хиггса в Лондоновском пределе с действием:

(44)

где в компактное калибровочное поле и <р фаза поля Хиггса, мера р, в (43) определяется при помощи вспомогательной модели (ЗБ XV модель), "живущей"в гиперплоскости

с действием:

•2тгг||г,

(45)

где х. это 0-форма с значениями в [-irg.irg] и г, Z-численная 1-форма. Можно показать, что

~ ei(e"'> (46)

В пространстве размерности d > 3, для больших /с и малых В, {е'*'е~'*у} —► const при |х - у\ оо. Более того, 2-точечная функция (е<х'е~'хя)(В) периодична по В, с периодом 1, и значит имеет представление Фурье, похожее иа (43):

(e'*-e-**)(£) = i £ liUJe«0^, (47)

мера ft определяется, как:

М0х) = схр{-1|Ы|2}. (48)

Таким образом, меру в (43) следует определить формулой (48).

Численные расчеты в МаА калибровке показывают, что, оператор (43) является параметром порядка для перехода конфайнмент — деконфайнмент, если плотность струн Мандельстама достаточно высока.

Кроме максимальной абелевой калибровки, однако, существуют также другие абе-левые калибровки, определяемые диагонализацией других функционалов X[U] относительно калибровочных преобразований. Наиболее распространенными являются по-ляковская абелевая калибровка (АР), соответствующая диагонализации поляковской линии, и абелевая калибровка напряженности поля (F12), соответствующая диагонализации плакета.

Важно исследовать зависимость механизма невылетании дуального сверхпроводника от выбора калибровки. Естественно думать, что конфайнмент, как калибровочно-инвариантный феномен, не может определяться калибровочио-зависимой моделью. С другой стороны абелевая проекция может рассматриваться как калибровочно зависимый инструмент, позволяющий ассоциировать глюонные конфигурации с абелевыми монополями. Этот инструмент может работать в одной калибровке и не работать в другой.

Оказывается, минимум эффективного потенциала, определяющий величину монопольного конденсата, не зависит от Р в АР и F12 калибровках. Более того, в фазе деконфайнмента монопольный конденсат исчезает в МА калибровке, в то время как в АР и Fi2 калибровках конденсат отличен от нуля.

Таким образом, величина монопольного конденсата действительно зависит от выбора абелевой проекции. Величина монопольного конденсата является параметром порядка только в МА калибровке.

3 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

• Обнаружено существование перколирующего монопольного кластера, несущего ответственность за возникновение конфайнмента. Показано, что в вакууме КХД существует дополнительный масштаб, определяемый размером монополя 0.065 /т.

• Предложена решеточная формулировка определения калибровочио инвариантного оператора рождения монополя в абелевой проекции глюодинамики. С помощью измерения эффективного потенциала, определенного на поле монополя, показано наличие конденсата монополей в фазе невылетания цвета и его отсутствие в фазе вылетания.

• Показано, что величина монопольного конденсата зависит от выбора абелевой проекции. Величина монопольное конденсата является параметром порядка только в МА калибровке.

• При конечной температуре проведено численное исследование зависимости от калибровки предложенных ранее кандидатов для определения синглетного и присоединенного потенциалов. Показано, что утверждение о единственности синглет-ного и присоединенного потенциалов в любой локально-временной калибровке является не правильным.

Публикации

1...VA Belavin, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov,

ON PROJECTION (IN)DEPENDENCE OF MONOPOLE CONDENSATE IN LATTICE SU(2) GAUGE THEORY. Preprint: ITEP-LAT-2004-08, HEP-LAT 0403013.

2. V.A. Belavin, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, ON PROJECTION (IN)DEPENDENCE OF DUAL SUPERCONDUCTOR MECHANISM OF CONFINEMENT. JETP Lett. 79 (2004) 303-306.

3. V.A. Belavin, V.G. Bornyakov, V.K. Mitrjushkin,

ON THE GAUGE DEPENDENCE OF THE SINGLET AND ADJOINT POTENTIALS. Preprint: ITEP-LAT-2003-26, HEP-LAT 0310033. Phys. Lett. B579 (2004) 109-112.

4. V.A. Belavin, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, MONOPOLE CREATION OPERATORS AS CONFINEMENT -DECONFINEMENT ORDER PARAMETERS.

Phys. Lett. B554 (2003) 146-154.

5. VA Belavin, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, MONOPOLE CREATION OPERATOR IN THE PRESENCE OF MATTER.

JETP Lett. 75 (2002) 217-220.

6. V.A. Belavin, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, CONFINEMENT DECONFINEMENT ORDER PARAMETERS. Preprint: KANAZAWA-02-08, HEP-LAT 0204033.

7. V.A. Belavin, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, NUMERICAL STUDY OF FROHLICH AND MARCHETTI MONOPOLE CREATION OPERATOR. NucLPhys.Proc.Suppl. 106 610-612.

In Berlin 2001, Lattice field theory 610-612.

8. V.A. Belavin, M.I. Polikarpov, A.I. Veselov, ANATOMY OF ISOLATED MONOPOLE IN ABELIAN PROJECTION OF SU(2) LATTICE GAUGE THEORY. JETP Lett. 74 (2001) 453-455.

Подписано к печати 22.04.04 Формат 60 х 90 1/16

Усл. печ. л. 1,25 Уч.-изд. л. 0,9 Тираж 100 экз. Заказ 501

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б. Черемушкинская, 25.

1 Введение

2 SU(N) калибровочные теории на решетке

2.1 Решеточный подход в квантовой теории поля.б

2.2 Метод Монте-Карло

2.2.1 Метод тепловой ванны.

2.2.2 Сверх-релаксация.

2.3 Анализ статистических ошибок.

2.3.1 Первичные величины.

2.3.2 Вторичные величины.

3 Цветной статический потенциал

3.1 Синглетный и присоединенный потенциалы.

3.2 Калибровочная инвариантность определений

4 Глюодинамика в абелевой проекции и монополи

4.1 Метод абелевых проекций.

4.1.1 Максимальная Абелевая Проекция.

4.1.2 Абелевая проекция и монополи на решетке.

4.1.3 Абелевая и монопольная доминантность.

4.2 SU(2) глюодинамика и модель Джорджи-Глешоу.

4.2.1 МаА проекция и эффективная модель.

4.2.2 Параметры эффективного действия.

5 Структура решеточных монополей.

5.1 Монопольные кластеры.

5.2 Размер решеточного монополя.

6 Оператор рождения монополя

6.1 "Старый" оператор рождения монополя.

6.2 "Новый" оператор рождения монополя.

6.3 Эффективный монопольный потенциал.

6.4 Проекционная зависимость механизма конфайнмента

А "Один-линк" интегрирование

Глава

В современной физике предполагается, что элементарными частицами материи являются фермионы, взаимодействующими главным образом через обмен векторными бозонами. Элементарные фермионы подразделяются на лептпоны и кварки. Связанными состояниями кварков являются мезоны и барионы - частицы с ядерным взаимодействием (в совокупности их называют адронами). Существует три типа взаимодействий элементарых фермионов: сильное, слабое, и электромагнитное. Сильное взаимодействие ответственно за образование ядер и взаимодействие их составляющих. Теория сильных взаимодействий основана на принципе локальной калибровочной инвариантности [1] относительно непрерывной группы симметрии. Калибровочная группа определяет структуру и свойства взаимодействия.

Феноменология сильных взаимодействий содержит две фундаментальных составляющих: асимптотическую свободу и невылетание цвета. Первое свойство приводит к заключению, что для описания адронов подходят только неабелевые калибровочные теории, в которых взаимодействие выключается при достаточно больших переданных импульсах. Хорошим кандидатом на роль модели сильных взаимодействий является неабеле-ва калибровочноя теория с калибровочной группой SU(3) с кварками в фундаментальном представлении. Кванты калибровочного поля SU(3) называются глюонами, а соответствующая модель известна как квантовая хромодинамика или КХД. Калибровочное квантовое число кварка называется цветом. В отличии от абелевой калибровочной теории, где векторные бозоны (фотоны) калибровочно-нейтральны, глюоны несут цветной индекс и поэтому могут взаимодействовать между собой, что 1 приводит к асимптотической свободе. Качественную картину того, что происходит в хромодинамике при переходе от высоких энергий к низким можно увидеть в теории возмущений. В лидирующем порядке по константе связи взаимодействие двух пробных цветных зарядов представляет собой обычный одноглюонный обмен, что приводит к потенциалу Кулона между этими зарядами. Но уже в следующем порядке возникает замечательное явление, известное только в неабелевых калибровочных теориях и называемое антиэкранировкой. В "обычной" теории поля, например в квантовой электродинамике, облако виртуальных частиц экранирует заряд, приводя к тому, что его эффективная величина растет с увеличением переданного импульса. В КХД все происходит с точностью до наоборот: "размножение" глюонов приводит к следующей зависимости эффективного заряда от переданного импульса:

-<*г) - Mn(pV%enr 61-1\N'-lN> <"> то есть к росту as с уменьшением энергии. Высшие поправки теории возмущений лишь немного меняют вид этой зависимости. Поэтому на малых расстояниях асимптотическая свобода приводит к малости константы связи и квантовую хромодинамику можно легко изучать при помощи техники фейнмановских диаграмм. В рамках теории возмущений имеются серьезные подтверждения того, что КХД подходит для описания сильных взаимодействий.

Что же касается невылетания цвета, то здесь ситуация не столь очевидна. В рамках КХД никто еще не сумел доказать, что микроскопическая, фундаментальная теория кварков и глюонов действительно приводит к линейному конфайнменту цвета на больших расстояниях. Теоретическое доказательство подразумевало бы описание КХД длинноволновых свойств, однако, в связи с ростом константы связи, теория возмущений становится неприменимой на масштабах сравнимых с размерами адронов. Действительно, из уравнения (1.1) видно, что эффективное цветное взаимодействие становится все сильнее и сильнее при увеличении расстояния между пробными цветными зарядами и, как видно из этих же уравнений, на расстояниях порядка AqqD возрастает настолько, говорить об отдельных глюонах уже не имеет смысла. Вместо этого наиболее естественным языком становится описание в терминах хромо-электрических и хромомагнитных полей. 2

Предполагается, что физический вакуум КХД устроен так, что распространение хромоэлектрических полей на большие расстояния энергетически невыгодно [7, 8]. Вместо этого поле пары цветных зарядов сжимается в нечто наподобие струны (трубки силовых линий), натянутой между ними. Возникновение линейного потенциала между кварками в таком случае очевидно.

Такое поведение хромоэлектрического поля очень напоминает эффект Мейснера в сверхпроводнике. Хорошо известно, что магнитное поле не может проникнуть в сверхпроводящую среду. В лучшем случае, если условие ненулевого потока наложено извне, например, граничными условиями, то магнитное поле собирается в узкую трубку силовых линий, несущую весь поток; сверхпроводимость внутри трубки разрушена.

Следующим логическим шагом было бы внести статическую моно-поль-антимонопольную пару в сверхпроводник. С одной стороны, достаг точно очевидно образование струноподобной трубки силовых линий магнитного поля между монополем и антимонополем при достаточно боль-том расстоянии между ними. С другой стороны, не вызывает сомнений, что на малых расстояниях в полной энергии доминирует кулоновский вклад.

Таким образом, явно просматривается качественная аналогия между поведением монополь-антимонопольной пары в сверхпроводнике и парой цветных зарядов в вакууме КХД. Точнее говоря, так как КХД — теория релятивистская, то аналогия существует скорее между КХД и релятивистским обобщением теории сверхпроводимости — абелевой моделью Хиггса (АМХ).

В 1974 г. Вильсон [3] предложил новый подход для изучения калибровочных полей, основанный на замене пространства-времени решеткой дискретно расположенных точек. Такую решетку легче всего представить в евклидовом пространстве-времени, и мы можем использовать функциональный интеграл по полям на решетке для приближенного вычисления евклидовых функций Грина. Поля материи в этом формализме расположены в узлах решетки, в то время как калибровочные поля живут на ее ребрах (линках). Такая теория может иметь хорошо определенный предел сильной связи и во многом подобна решеточным моделям статистической физики.

Эта аналогия придает новый смысл концепции перенормируемости калибровочной теории. Регуляризация на решетке естественно возникает путем отождествления ультрафиолетового обрезания и обратной длины 3 ребра а'1. Непрерывный предел соответствует а —► 0 и важно, чтобы этот предел был хорошо определен. Физическая картина не должна зависеть от выбора решеточной длины ребра а. Уравнения, описывающие изменение параметров теории при вариации а называются уравнениями ренорм-группы для решеточных полей. Непрерывный предел решеточной теории поля (если он существует) соответствует фазовому переходу второго рода. Действительно, экспоненциальный спад корреляционных функций на решетке определяется корреляционной длиной Удобно рассматривать £ как независящий от обрезания физический параметр. На самом деле мы должны отождествить 1 с величиной массовой щели. Удерживая ^ 1 равным физической массе в соответствующей квантовой теории поля, мы получаем, что в непрерывном пределе корреляционная длина, выраженная в единицах а, стремится к бесконечности.

В неабелевых калибровочных теориях, в связи с асимптотической свободой, непрерывный предел соответствует д 0. Для изучения конфай-нмента в режиме слабой связи в качестве внешнего источника рассматривается система двух бесконечно тяжелых кварков (кварк,анти-кварк) в фундаментальном представлении калибровочной группы.

В SU(A') калибровочных теориях Янга-Миллса потенциал между стаг тическими кварками можно извлечь из вакуумных средних петель Вильсона. На решетке петля Вильсона определяется как след от произведения калибровочных линковых переменных по замкнутому контуру, состоящему из двух прямых временно-подобных линий и двух произвольных пространственно-подобных линий. Численные расчеты методом Монте-Карло показывают, что на больших расстояниях между статическими кварками возникает линейный потенциал, как в случае SU(2) так и в случае SU(3) калибровочных групп.

В теориях янг-миллсовских полей, взаимодействующих с фермиона-ми, потенциал между статическими кварками выполаживается на больших расстояниях. Это явление, известное как разрыв струны или экранировка статических зарядов, возникает в результате спаривания статических и динамических кварков и последующего образования двух слабо взаимодействующих мезонов.

Разрыв струны в теориях Янга-Миллса можно изучать также используя статические источники в присоединенном представлении калибровочной группы. Адроны, образующиеся в результате экранировки, в этом случае называются глюлампами. Первое численное доказательство разрыва струны в неабелевых калибровочных теориях с динамическими по4 лями материи было сделано работе в [15] для 4-х мерного случая и в [16] для 3-х мерной SU(2) модели Хиггса. Позднее, в работах [17, 18] исследовался потенциал между статическими источниками в присоединенном представлении в SU(2) теории Янга-Миллса и свидетельство разрыва струны также было получено. В случае КХД при конечной температуре, статический потенциал извлекается из корреляторов поляковских петель и, как было показано в[19], разрыв струны также наблюдается. 5

Глава 2

SU(N) калибровочные теории на решетке

1. Н. Weyl, Z. Phys. 56 (1929) 330.2j G. t'Hooft, Nucl. Phys.B1901981455. 13| K.G. Wilson, Phys. Rev. D10 (1974) 2445.

2. M. Creutz, Phys. Rev. D21 (1980) 2308.

3. A.M. Polyakov (ICTP, Trieste). IC-78-4-mc (microfiche), 64 pp., Feb 1978, Lectures given at ICTP, Trieste, Nov. 1977;G. 4 Hooft, Nucl. Phys. В 153 (1979) 141.

4. H. Joos and I. Montvay, Nucl. Phys. B225 (1983) 565.

5. S. Mandelstam, Phys. Rep. 23 (1976) 245.

6. T. Banks, R. Myerson, J. Kogut, Nucl. Phys.Bl291977493.10J A.M. Polyakov, JETP Lett. 20 (1974) 194; G. t'Hooft, Nucl. Phys.B791974276.1.. N. Seiberg, E. Witten, Nucl. Phys.B426199419.

7. Z.F. Ezawa, A. Iwazaki, Phys. Rev.D2519822681; T. Suzuki, I. Yotsuyanagi, Phys. Rev.D4219904257.74

8. A.S. Kronfeld, G. Schierholz, U.J. Wiese, Nucl. Phys.B2931987176; A.S. Kronfeld, M. Laursen,G. Schierholz, U.J. Wiese, Phys. Lett.B1981987516.

9. G. t'Hooft, in High Energy Physics, ed. A. Zichici (Editrice Compositori, Bologna, 1976).

10. ALPHA, F. Knechtli and R. Sommer, Phys. Lett. B440 (1998) 345, erratum: Phys. Lett. B454 (1999) 399, hep-lat/9807022.

11. O. Philipsen and H. Wittig, Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 4056, hep-lat/9807020.

12. P.W. Stephenson, Nucl. Phys. B550 (1999) 427, hep-lat/9902002.

13. O. Philipsen and H. Wittig, Phys. Lett. B451 (1999) 146, hep-lat/9902003.

14. C. DeTar, O. Kaczmarek, F. Karsch and E. Laermann, Phys. Rev. D59 (1999) 031501, hep-Iat/9808028.

15. I. Montvay and G. Munster, Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press (1994).

16. R. Gupta et al., Phys. Rev. Lett. 61 (1988) 1996.

17. M. Hasenbusch and S. Meyer, Phys. Rev. D45 (1992) 4376.

18. U. Wolff, Phys. Lett. B284 (1992) 94, hep-lat/9205001.

19. M. Creutz, Phys. Rev. D36 (1987) 515.

20. F.R. Brown and T.J. Woch, Phys. Rev. Lett. 58 (1987) 2394.

21. K.M. Decker and P. de Forcrand, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 17 (1990) 567.

22. R. Gupta, G.W. KUcup, A. Patel, S.R. Sharpe and P. de Forcrand, Mod. Phys. Lett. A3 (1988) 1367.

23. UKQCD, S.P. Booth et al., Phys. Lett. B275 (1992) 424.

24. U. Wolff, Phys. Lett. B288 (1992) 166.75

25. В. Bunk, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 42 (1995) 566.

26. Alpha, G. de Divitiis et al., Nucl. Phys. B437 (1995) 447, hep-lat/9411017.

27. A. Sokal, Monte Carlo Methods in Statistical Mechanics: Foundations and New Algorithms, Cours de Troisi^me Cycle de la Physique en Suisse Romande, 15,22 et 29 juin 1989 Lausanne .

28. U. Wolff and B. Bunk, Computational Physics II, Kurs im Wahlpflichtfach Wissenschaftliches Rechnen, Humboldt Universitat Berlin 1998 .

29. N. Madras and A.D. Sokal, J. Statist. Phys. 50 (1988) 109.

30. ALPHA, K. Jansen and R. Sommer, Nucl. Phys. B530 (1998) 185, hep-lat/9803017.

31. L. D. McLerran and B. Svetitsky, Phys. Rev. D 24 (1981) 450.

32. V.A. Belavin, V.G. Bornyakov, V.K. Mitrjushkin, Preprint ITEP-LAT-2003-26, HEP-LAT 0310033. Phys. Lett. B579 (2004) 109-112.

33. S. Nadkarni, Phys. Rev. D 34 (1986) 3904.

34. O. Philipsen, Phys. Lett. В 535 (2002) 138 arXiv:hep-lat/0203018].

35. N. Attig, F. Karsch, B. Petersson, H. Satz and M. Wolff, Phys. Lett. В 209 (1988) 65.

36. S. Digal, S. Fortunato and P. Petreczky, arXiv:hep-lat/0304017.

37. O. Kaczmarek, F. Karsch, P. Petreczky and F. Zantow, Phys. Lett. В 543 (2002) 41 arXiv:hep-lat/0207002].

38. J. Engels, J. Fingberg and D. E. Miller, Nucl. Phys. В 387 (1992) 501.

39. В. Lucini and M. Teper, JHEP 0106 (2001) 050 arXiv:hep-lat/0103027].

40. E. Marinari, M. L. Paciello, G. Parisi and B. Taglienti, Phys. Lett. В 298 (1993) 400 arXiv:hep-lat/9210021].76

41. М. N. Chernodub, М. I. Polikarpov and A. I. Veselov, JETP Lett. 69 (1999) 174 arXiv:hep-lat/9812012].

42. V.G. Bomyakov et al. (DIK Collaboration), preprint DESY-03-162, ITEP-03-162, KANAZAWA-03-07, hep-lat/0310011.

43. G. 't Hooft, in High Energy Physics, ed. A. Zichichi, EPS International Conference, Palermo (1975); S. Mandelstam, Phys. Rept. 23, 245 (1976).

44. G. 4 Hooft, Nucl. Phys. B190, 455 (1981).

45. M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, "Abelian projections and monopoles", in "Confinement, duality, and nonperturbative aspects of QCD", Ed. by P. van Baal, Plenum Press, p. 387, hep-th/9710205.

46. T. Suzuki, I. Yotsuyanagi, Phys. Rev. D42, 4257 (1990); H. Shiba, T. Suzuki, Phys. Lett. В 333, 461 (1994); G. S. Bali, V. Bomyakov, M. Muller-Preussker, K. Schilling, Phys. Rev. D54, 2863 (1996).

47. A. S. Kronfeld, M. L. Laursen, G. Schierholz, U. J. Wiese, Phys. Lett. В 198, 516 (1987); A. S. Kronfeld, G. Schierholz, U. J. Wiese, Nucl. Phys. В 293, 461 (1987).

48. T.L. Ivanenko, A.V. Pochinsky and M.I. Polikarpov, Phys. Lett. B302, 458-462 (1993).

49. A. Di Giacomo, G. Paffuti, Phys. Rev. D 56, 6816 (1997).

50. M. N. Chernodub, hep-lat/0308031.

51. M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov, A. I. Veselov, Phys. Lett. В 342, 303 (1995).

52. J. Frohlich and P.A. Marchetti, Commun. Math. Phys., 112 (1987) 343.

53. U.J. Wiese, Nucl.Phys. B375, 45 (1992).

54. A. Di Giacomo, B. Lucini, L. Montesi, G. Paffuti, Phys. Rev. D 61, 034503 (2000); ibid., 034504 (2000).

55. A. Di Giacomo and G. Paffuti, Phys. Rev. D 56 (1997) 6816; N. Nakamura et al., Nucl. Phys. Proc. Suppl. 53 (1997) 512.

56. V. A. Belavin, M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, Confinement -deconfinement order parameters, hep-lat/0204033.

57. J. Frohlich and P. A. Marchetti, Nucl. Phys. В 551 (1999) 770; Phys. Rev. D 64 (2001) 014505.

58. V.A. Belavin, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, Preprint: ITEP-LAT-2004-08, HEP-LAT 0403013.

59. V.A. Belavin, M.N. Chernodub, M.I. Polikaxpov, JETP Lett. 79 (2004) 303-306.

60. P. A. M. Dirac, Can. J. Phys, 33 (1955) 650.

61. E. H. Fradkin and S. H. Shenker, Phys. Rev. D 19 (1979) 3682.

62. T. Banks, R. Myerson and J. Kogut, Nucl. Phys. В 129 (1977) 493.

63. G. 't Hooft, in High Energy Physics, ed. A. Zichichi, EPS International Conference, Palermo, (1975); S. Mandelstam, Phys. Rep. 23C (1976) 245.

64. R.W. Haymaker, Phys. Rept. 315, 153 (1999);M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, "Abelian projections and monopoles", in "Confinement, duality, and nonperturbative aspects of QCD", Ed. by P. van Baal, Plenum Press, p. 387, hep-th/9710205.

65. T.L. Ivanenko, A.V. Pochinsky, M.I. Polikarpov, Phys. Lett.B2521990631, Phys. Lett.B3021993458; S. Kitahara, Y. Matsubara, T. Suzuki, Prog. Theor. Phys. 93 (1995) 1; A. Hart, M. Teper, Phys. Rev.D581998014504, Phys. Rev.D601999114506.

66. G. 't Hooft, Nucl. Phys. B190, 276 (1974); A.M. Polyakov, JETP Lett. 20 (1974) 894.

67. G. 't Hooft, Nucl. Phys.Bl901981455.

68. B.L.G. Bakker, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, Phys. Rev. Lett.80199830; B.L.G. Bakker et al., Phys. Lett.B4491999267; H. Suganuma et al., Prog. Theor. Phys. Suppl. 131 (1998) 559; H. Ichie, H. Suganuma, Nucl. Phys.B574200070.

69. H. Shiba, T. Suzuki, Phys. Lett.B3511995519.

70. V.A. Novikov et al., Nucl. Phys.B1911981301; K.G. Chetyrkin, S. Narison, V.I. Zakharov, ibid. B550, 353 (1999).

71. A.M. Polyakov, "Gauge Fields and Strings", Harwood, New York, 1987.

72. P.A.M. Dirac, Proc. R. Soc. London A133 (1931) 60.

73. M.N. Chernodub et al, Nucl. Phys.B5922000107; Nucl. Phys.B6002001163;

74. H. Shiba, T. Suzuki, Phys. Lett.B3431995315.

75. V.A. Belavin, M.I. Polikarpov, A.I. Veselov, JETP Lett. 74 (2001) 453-455.

76. G.S. Bali et al, Phys. Rev.D5419962863; G.S. Bali et al, Nucl Phys. Proc. Suppl. 42, 852 (1995); V.G. Bornyakov, D.A. Komarov, M.I. Polikarpov, Phys. Lett.B4972001151.

77. V. Bornyakov and M. Muller-Preussker, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 106, 646 (2002).

78. J. Fingberg, U. M. Heller, F. Karsch, Nucl. Phys.B3921993493.

79. T. Suzuki, Prog. Theor. Phys. Suppl. 131 (1998) 633.

80. G. 't Hooft, Nucl. Phys. B190 (1981) 455; S. Mandelstam, Phys. Rept. 23 (1976) 245.

81. T. Suzuki and I. Yotsuyanagi, Phys.Rev. D42 (1990) 4257.

82. A. S. Kronfeld, G. Schierholz and U. J. Wiese, Nucl. Phys. B293 (1987) 461. A. S. Kronfeld, M. L. Laursen, G. Schierholz and U. J. Wiese, Phys. Lett. B198 (1987) 516.

83. V. N. Gribov, Nucl. Phys. B139 (1978) 1;D. Zwanziger, Nucl. Phys. B378 (1992) 525; Nucl. Phys. B399 (1993) 477; P. van Baal, hep-ph/0008206.80

84. M. I. Polikarpov and M. N. Chernodub, JETP Lett. 59 (1994) 459; M. N. Chernodub, M. I. Polikarpov and A. I. Veselov, Phys. Lett. B342 (1995) 303.

85. B. L. G. Bakker, M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, Phys. Rev. Lett. 80 (1998) 30.

86. G. I. Poulis, Phys. Rev. D54 (1996) 6974.

87. P. Suranyi, "Monopoles and vortices in pure gauge theories and in ffiggs theories", hep-lat/0102009.

88. H. Shiba and T. Suzuki, Phys. Lett. B351 (1995) 519M. N. Chernodub et. al, Phys. Rev. D62 (2000) 094506; hep-lat/9902013.11031 T. Suzuki, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 30 (1993) 176.

89. T. Suzuki, Prog. Theor. Phys. Suppl., 122, (1996), 75.

90. L. S. Brown and W. I. Weisberger, Phys. Rev. D 20 (1979) 3239. ]106] S. Nadkarni, Phys. Rev. D 34 (1986) 3904.

91. L. D. McLerran and B. Svetitsky, Phys. Rev. D 24 (1981) 450.81