Топологические объекты и проблема невылетания в решеточных калибровочных теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Поликарпов, Михаил Игоревич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1991
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ
на правах рукописи
Поликарпов Михаил Игоревич
Топологические объекты и проблема невылетания в решеточных калибровочных теориях
Специакыюсть 01.04.02 - теоретическая физика
ДИССЕРТАЦИЯ в виде научного доклада на соискание ученой степени ■доктора физтсо-математ«гческизс неук
Mocosa 1991
УДК 530.145
Работа выполнена в Институте теоретической и экспериментальной фиоики
Официальные оппоненты:
доктор фио.- мат.наук А.А.Беланин (ЙТФ км. Ландау)
доктор физ.-мгямга.ук Д.ЙДьазкагов (ЛЖЯФ)
чпгн-ворр. АН СССР ДВ.Ширшв (ОИЯИ)
Ведущая ортанизция - ФИАН СССР
Огицкта состоится О " ^ ^ 1992 г. на заседании спгциали-
оировашюго совета Д.034.01.01 по оащите докторских диссертаций при Институте теоретической и экспериментальной фиоики по адресу: Москва, 117259, ул. Б.Новочеремушкинская, д.25, кэнференц-оал Института.
С диссертацией можно оонаюмнться в библиотеке ИТЭФ.
Ученый секретарь специаливировашюго совета кандидат фиа.-мат.наук
Ю.В.Терехов
.:•■: з
Подержание
L-'- Рвецснне - 4
2 Коифайкмент в ноаЛелевых решеточных Еалкбровоппых теориях 5
2.1 Введение .............................. 5
2.2 . Вариация решеточного действия.................' 7
2.3 Кокфадошшгг при бесконечном числе цветов.......... S
3 Стсэсастхпгескпе пола и конфаЙЕмент 3
4 Инстантоны и конфайшлект 10
5 Моноххолп Ii гссшфайпмснт в решего-чпой сшегтродхшамнзге 14 .
5.1 Введение ...................;..........14
5.2 Эффективный потенциал мокспслгй 2 рзпгеточтгой элзктро-динашагз.............................15
6 Мокаполп и Еонфайнг/.ci-rr п решеточной глкюдигшьепеэ IG
7 Фрзкталыгые оСгьезгты и конфайкьЕотгт 18
8 Применение формализма дпфферешцшльшлх форм ж. «белесым решэточныы теоряьЕЫ 22
8Л. Введение ...............................22
8.2 Четырехмерная XV модель к космические струны ......23
8Л Решзточная гбекевгя теория со кззлиодейстпием Черна-
Саймонса..............................24
& Осноаные результаты 27
Приложение А. Дифференциальные формы л абелелы ре. ше точные теория 28
Приложение В. Стпк-or работ соискателя, которые .тггшт в о слову настоящего доклада 31
Литература 33
1 Введение
До начала ¿0-х годов трудно было предположить, что фейнмановский интеграл по путям длл теории поля может быть исследован численно. Виггь-сон [1], и Поляков [2] сформулировали калибровочные теории на решетке, перейдя таким образом в конечном объема к конечному числу степеней свободы. Неожиданный успех, достигнутый Кройцем [3, 4, 5, 6, 7] при генерации методом Монтс Карло решеточных калибровочных теорий,породил новое направление в физике сильных взаимодействий - численное моделирование КХД. Однако скоро было обнаружено, что расчета на со-вреыишых ЭВМ страдают погрешностями, связанными с конечностью размера решетки и с аффектами дискретизации, и первоначальный он-тузиазм сменился в середине 80-х годов весьма сдержашгьш оптимизмом (или пессимизмом). К настоящему времени довольно достоверно установлены величины систематических иогреишостей, и, вероятно, следующее поколение компьютеров сделает возможными расчеты и реалистической КХД с учетом легки:; кварков. Уже теперь в решеточных калибровочных теориях накоплен больше * материал, полученный в результате расчетов методом Монте-Карло. И меетсл уверенность в том, что систематические погрешности хорошо контролируются и что стартуя с лагранжиана КХД можно получить реалистический спектр масс адронов, оначешш конденсат тов и т.д. (см., например, [8]). Кроме того,предсказываются пока еще точно не подтнепжттошгис на эксперимента явления, типа ц«ообого перехода при конечной температуре конфайнмент^ дехонфаГнгмент, существовать глюболов и т.д. [8]. С прахпгческой точки орешм расчеты на ЭВМ все больше подтверждмот, что лагранжиан КХД - ото лагранжиан теории сильных взаимодействий. Однако одно из наиболее ярких явлений - невылета! пге цветам с; сих пор не получило ясного качественного объяснения. В численных охслсримеитах видно, что на больших расстояниях между тяжелым кварке»! и антикварком возникает линейный потенциал. Чтобы получить отот результат приходится даже в простейшем случае (5(7(2) -решеточная калибровочная теория без кварков) вычислить и обработать на ЭВМ весьма большие массивы 107—1010 чисел. Эти числа- значения калибровочных полей, приписашгых ребрам четырехмерной евклидовой решетки. Генерация полей составляет обьгшо 30-50%, а обработка примерно 50-70% общего времени вычислений на ЭВМ. Чтобы численно показать невылетание требуется примерно сутки счета на стандартном персональ-
îîom компьютере тшга PC-AT-28S. Цикл рзбот, которые легли в основу разделов 2-7 настоящего доклада, является попыткой: извлечь из расчетов fia ЭВМ какую-то информацшо о структуре потей, приводящее к невы-пгтанию ir о механизме генеращш таких попей. Для описания механизма гевылетаний, основанного на механизме дуального сверхпроводника, потребовалось развить применение формализма дифференциальных форм s рсшеточныытсорквм. От.сзалось, что этот подход является удобны?.! языком для проведения аналитических расчетов ira решетке. В частности,для широкого класса моделей удается провести преобразование дуальности и преобразование типа Верезинсксго-Костершща-Таулеса, дается иссйэ-цозать талере абелевую решеточную теорюо со взаимодействуем Черпа-Оаймонса. Эт!1 вопросы составляют содержание раздела 8 настоящего до-глада. В разделе 9 сформулированы основные результаты. В Приложении А кратко списаны обоз!1ач«пш,прти.:е)!хемые в теории дифференциальные форм на рзнгетг.е. Кроке основного списка литературы в Пргыожензш В прш^гден список работ автора,,на основе которых написан настозирм до глад.'
2 Копфапш.тепт в пепбелепмге решеточных хаяпбро-почакх теориях
2.1 Ваеденгго
Одним га осноашлх мо-швов форз^улировки рсш-гго'гкых калнбровотш..!;: теорий [1] являлась перспектива получать фиоичеекке результаты в гж-де ряда, но обратному заряду (■*-), а не в виде стандартного ряда теории возмущений но д. В лидирующем порядке разложения; сильной ептои по ^ бмло показано существование нспылотазии щапая зарядов [1]. Дальнейшие теоретические и числошпые исследования привели к выводу, что гзтот результат, вероятно,не имет отношетш к непрерьтщюму проделу: Тем пе менее оказалось, что реикточная формулировка позволяет получать (по крайней мере численно) физические результаты. Самой простой и наиболее полно изученной физической величиной, полученной путем чнелешшго моделировалпш рете-л-очних калибровочных теорий,является так называемое натяжение струны - о. Эта величина определяет силу взаимодействия бесконечно удаленных друг от друга, бесконечно тяжелых кварка к
антикварка. В настоящее время достаточно достоверно установлено, чтс величина а, вычисляемая в чистой гягсодишшихе на решетке, кмеетопрошение к непрерывному пределу. Ввиду ваккостн отого утверждения ыы привсдемн некоторые детали. Нерерьошый предел - ото тот предел, когда не чувствуется днсхретнгн структура решетки в кет вшвдшя конечного объема решетзш. С точки зрения решеточной теории такой предел должен наступать в точках фазового перехода второго рода. Так ш при прпбян-жешш к этим точкам корреляционная длина с -стртмится к бесконечности в решеточных единицах: — со (а - длина ребра решетки), то физические величины, выражающиеся черео £ не чувствуют решеточного шага а, другим и сдавами аффективно а —► 0. На примере нагяжешы струны в ро-шеточной глюодннашше оти рассузкдеккя-ш>шищят следующий обрсас;-.:. Для Зи(2ч) решеточной калибровочной теории цкша ребра решетки при достаточно кажм патр^-чочмом заряда д следукящзл образом выражается через рмлягточный параметр обрезания Аь [6]:
1 '24т2 Г 12ттэ ¿3 1 „ 2ЛГ
Это выражение есть не что иное, даухпетдаьой вариант фор&гупы асдапггот»гчесхой свободы у2 = \)1 ваггсто внешнего кмпуяьса р использована обратная джла решетки (1) видно, что яри д —► С
а —' 0, то есть наступает непреривцьш предел теории. Однако численные расчеты невоомсокнэ проводить при: игшыоа малом д, тах гак чтобы кисть конечный физический объем ранетки (V = треб/ется при
и —» 0 ратсматрггвать ршштку со все большим чкена узлов (Ь ~ 1 ¡а). Число же дянаьогчаских переменных Ь*) ограничено мощностью ко:*-пыотера. Таким образом воокнхает садаяа об онрад-зжнии в шнжретных расчетах наличия непрерывного предела Так как единственный; размерным параметром теория является длина ребра пеня тки, то размерные ведоопгы выражаются только черсо нее. Например, на ракала вычисляется не коэффициент натяжения струны с, а »загоинация х — аа?- В непрерывном проделп благодаря (1) известка зависимость от сатравач-ного оарада д, такая оависикость действительно наблюдалась в чиедшных экспериментах. Описанная процедура является стандартной проверкой су-щзствоваютя непрерывного предела решеточной теории [5, 6, 7].
2.2 Вариация решеточного действия
Скейлинговое поведение физических величин, которое указывает на существование непрерывного предела, было первоначально обнаружено [5, 6] для решеточных теорий с дейстзием Вильсона [1]:
S = 0j^trUP (2)
р
здесь Up- матрица. соответствующая плакету Р на решетке, }2Р - сумма. по всем плакетам, в = При a —» 0 решеточное действие должно переходить в действие Янга-Ммллса: S —* j j rrr(FAU,F(,v)d4í + o(ai). Это единственное условие совсем неоднозначно определяет вид решеточного действия. Например, любая "разумная" функция trUp в пределе а —»■ О тоже переходит в действие Янга-Мшгаса с точностью до несущественных аддитивных констант. Талой классический предел еще не означает, чте квантовая теория соответствует теории -Ялта-Мштса. Вопрос о существовании непрерывного квантового предела для разных видов решеточного действия был рассмотрен в работах [3, 10]. В работе [9] показано, что численные данные [11], полученные дзм действий Мантона [12] и Вил-лейна [13] в SU(2) решето-гиол калибровочной теории, согласуются с непрерывным пределом, так к?_к ¡o: можно связать с данными, получетплми в модели с действием Пил'>со!"-... Такой же вывод был первоначально получен [14, 1Г>] и для, так нлзьг.^игмого. сметанного действия. Эти результаты найдены па основе общего подхода ''утшерсалыгости", развитого в работах [14, 15]. Кратко говоря,универсальность решеточных теорий заключается и том, что в непрерывном пределе сколько бы решеточных параметров не содержало действие, физические ис:пгпшы до.чжны übip-v жаться один параметр - заряд теории, более подробное рассмотре-
ние понятия универсальности выходит за рамхи насюящего д.оклада.
В работе. [10] ¡тритг/л уттнерсальносги применялся для обработки чн-ежчпплх даштых, полученных в решеточкой SV{'J>) гпюоддшамихе [1(¡, 17]. Так. как решеточные вычисления проюдшгись на не очень больших решетках то {иссматркллггмые физические величины были вычислены при довольно большом наряде: fí ~ 1, ¡3 = -%. При таких значениях оарида полученные на основе асимптотаческой сх<.-йлинго«ой формулы (1) без-Р'1.лntoi»¡iотношения физических величш! оказались заносимыми от /?. например: \fo¡Л\_ ~ 140 при р — 5.6 и \fñ¡Л¿ й 105 при '3 = 6.0 (-здесь,
8 " • кан и раньше, <т - натяжение стру!сы, - решэто*шы5 параметр обрсоа-ш), Эта зависимость связала с тек, что при рассматртшаемых оначЕниях сс.ряда. еще не наступил асимптотзгчесиш скайнизтг и суи^ствукя* поправки к формуле (1). Исходя го обсузкдгамых чюжеипыэс дашгых в работе [10] на основе принципа угппссрсалькосхн йчишлтотичеезше
значение л/е/Л^ к 84, которое должно наблюдаться при больших оначе-вшх /3 (при малых зарядах). Пр',а:е'-1г.телы:о, что ссврекслагые дшгныз, полученные на болышк решс тх г л, с оотве тст ¿-.уют отому предсказанному значению: у/о!Ль = 90 ± 10 [18], </о/Ль = 82 ± 2 [19], ^/о/Ль = 86-6 ± 2.2 [20].
2,3 КояфаГаггдокг лрл бссзссжючиогл число цестсш
К ::астоп:1;ому времени есть уверенность в то;л, что в 56Г(АГ) решеточных халнбропочшдх теор;шх при любом ¡значении заряда, для N > 2 есть ковыдеташео. Для N = 2,3 ото утааря^дашге было сделано в первых численных работах [6, 21], посвященных тасглпшу исследованию решеточных калибровочных теорий. В работа-;: [?2, 23] вычислено натяжение струны и численно доказано невылетаиле в теориях с бесконечно больших числом цвзтов (Л —+ со). Этот вывод получен еяедукяцям образом.
Во- парных рассматривалась так. называемая редуцироиашгая теория. Оказывается при N ► оо теория на бесконечной решетке эквивалентна тсор:ш, определенной на решетка с одним уо:юм и, так называемыми, тви-стозашшичн градшчньгмн условиями [24, 25]. Для практических■ расчетов удобно в начале рассматривать теорию, содер;ха1цуто внутренний параметр Л/: четыре ьгатрш^ссотвстствукхциа четырем лншеам в этой тео-рпи,пр>шадлэх;:ат представлыппо г рушил Би(М). Как показано в работе [25], при М —► со ста модель окшшаазпгна 31/(со) теории на бесконечной репктуд.
Дня розыгрыша методом Монте-Карло такой Зи(М) теории обычные подходы типа метод?. Метрополией, оказываются хлалосффехтиыгыми, и в работах [22, 23] рредпожен метод, основа! шьт на чкслсшюм решении уравнения Ланжевона. (Исходно уравнение Ланжсвена. было применено для квантовалсия теории поля в работе [26]).
Были получены численные данные дая нлтяжегаш струны а при М — 16, 25, использование которых совместно с данными работы [27] для А/ — 36 шютно позволяет провести экстрапошщию к М —♦ оо. Оказывает-
ся, что оначения с, полученные при оиярапсщировмши,не противоречат асимптотической скешпштовой формуле (1) и приводит к соотношзшпо •/5) Аь « 300 для 511 (со) решеточной калибровочной теории. Таким образом удазтся численно доказать невылетаиие в гшоодтамихе с бесконечно большим 1 шелом цветов.
3 Стохастические поля 15 конфайпмепт
Итак.числегагые данные свидетельствуют, что независимо от вида решеточного действия в ■Я7(ЛГ) гшоодкнашке имеет место иевылетание. В настоящем разделе мы качнем обсуждение механизма этого явления. В работах [28, 29] проверился стохастический характер полги, приводящих Е невылетанюо. Если два случайных числа х и у независимы, то плотность вероятности иметь данную пару {г, у} равна произведем во плотностей вероятности р(х)р(у). Для калибровочных полей ото уравнение требует обобщения, так как плотность вероятности иметь некоторое оначение калибровочного поля в данной точке есть калмброзочко неинвариантная величина. Калибровочио шшариантные Еешгпшы типа контуров Вильсона \\тс — Тг ехр {г {'с А^бх^} зависят от контура С. Обобщением оакопа произведения плотностей вероятности независимых случайных голичин является следующее уравнение:
Рс{и, -и7) = I РС1(и^)Рс>{УЮ2)<1У (3)
здесь рс{и) - вероятность иметь на контуре С поле II. Контура Сц, С2 и вильсоновские линии 1/1, С/2, V показаны на Рис.1. Благодаря калибровочной инвариантности рс(и) = для любого IV. Можно покат зать, что уравнение (3) является необходимым и достаточным условием существования закона гокяцадей д>м полей, опгосяйцшся г любому представлению рассматриваемой калибровочной группы.
Как показывают результаты численных расчетов [23] для решеточных Б11 (2) полей в той области значений параметров,при которых есть невылетание,равенство (3) выполняется с относительной точностью 10% (в пределах точности численного эксперимента).
4 1-1кста::то12К1 и г-:опфанпгдент
Етагс рсщето'па.тс поля,распределенные с весои ехр{—действ;«},зкеют с первого взгляда случашгьвг xapaztTep. Па Рнс.2(а) , взяток но работы [30 показана проекция плотности решеточного дгйстЕия на плзсхостъ {xi,x2ï Калпброво'впле полл разыгрывались нетодол Монте-Карло на решзты 101 в SU(2) решеточной калибровочной теории для р — 2.3. Стс::оет;: чесагй характер ползи хорошо веден, если но действия вычесть несущественную 2спсталггу - Рлс.2(в).
Однако полностью сиучаГшын характер г.сяя не ыогут иметь, хотя 6l потопу, что ¿алибровочко лкоаряантные ъавг-зшы (а следозлтельно и но лл) оависят от величины константы свггзи. Кроме того ¿гзвестио [31, 32] что в вакууме халзгброБочлъгс пелен дошхена быть регулярная ттаюшнт; соответствующая окстрсмуглал: действи г, - инстантозг-гитпшставтоннкс конфэтурашвш.
В работах [33, 30, 34, 35] исследовалась савь всязрвшы конденсат; топологического ©аряда, ищутргрованкого ннстантонаьз!, и кооф^нциев та натаження струны (свш иегвду бесконечно удаленными друт от друг кварком и антипзарком). Для выделсшш нз вакуума кнетантонов исполь зовался метод "охлаждения" квантовых флуктуации, который оакшоча ется в постепенном сглаживания решеточных полей [36, 37, 38, 39]. Пс еле охлаащення поля уже не распределены с плотностью вералтност ехр{—дейстяие}, и эта процедура, являясь определенным насилием над вл куумными поигми,оправдана тем, что она позволяет выделить хвазихлаг
Рпс. 2. Рис.2(а) Проекция плотности решеточного действия на плоскость {11,12}. Рас.2(Ъ) 10 тхе сьмое, что а Рнс.2(а), но для демонстрации случайного характера. попей яо действия вычтена. коксТапта. и иоыеяеп масштаб вертикальной оса.
скчесгне мКЛассэтескнэкокфш'урации из квантовых полей. Постепенное ахлахэдеиие разыгранных методом Монте-Карло полги приводит к выделению из вакуума вначале ш1стазггон~ыл-шшстантонных конфетурадий, а затем, после аннигиляции пар инстантнов и антшшстантонов остается конфигурация, содержания только избыточные (аггги) гя [сталтош.г. Про- . цесс охлаждения полей проиллюстрирован на Рис.3, взятом ¡га работы [30] на котором показана проекция плотности решеточного действия на плоскость , г2} для различных шагоз охлаждения ЛГ.
На Ркс.З(в) видно, что е 30-му шагу га перзоначально случайных полги (Ркс.2) выделились три структуры А, В, и С. Вычисление плотности топологического оаряда показывает -, что объекты А и В - ото кнетанто-иы, а объект С - антюшеталтон. После аннигиляции А и С - Рис.3 (с -е), остается один инстаптоя - Рис.3 (Г).'.
В работах [.'Й. 30] исследовалась зависимость коэффициента натяжения струкы (<т) от числа шагов охлаждения, и показано, что в инстаитон-ном вакууме а составляет не более 10 % от полного оначения вычисленного в реальном (неохлажденном) вакууме. Этот результат показывает, чтоне-вылетание не связано -напрямую с инстантонкьшн оф}>ектами. Кроме того, в работе [30] измерен средний радиус инстаятонов (р), среднее расстояние (В) между (анти)ннстантонамм и среднее от квадрата тополог и че-
Рис.3. Проещия. плотности решеточного действия на. плоскость {^1,12} для различного числа шагов охлаждения N. Исходная хонфигурацжя, имеющая действие 5""* соответствует Рнс^.
eopm Mil I I I-
40 E
|'!m ч м i-iti
го E
N (p)
eof
h 1 И >1 11 1 t I MJi 1.1 Ll,f Mill i j i i .Г7| i i i i ) I,"/ Ui i uii
0.0 0.1
i. ?TC • »'« 1 S-C о ЦИСТ?
гптаоцпкамнге, = 2.3.
о.г о.з o.i p(fm)
0.5
1:1 з pcsieioirc^ CU{2)
с кого заряда Оказывается, -что < р >~ 0.33 ф?г, < р > [ < П >« 1/2;
< х >= ^ ~ (150 1ЛэВ)^. Значение р находится в согласии с предскпзаж-ем модели 1шстаитсз1-антшп:ст;цггс1Гнсго вапууиа [40, 41, 42], отпошгнкз
< р >■ / < Н > несколько больше, чем в о той. модели. Величина \'.но противоретат в предела?: теорепгческой неопределенности предехггзани-ям правил сумм [43, 44, 45, 46]. Распределение ¡Ексталтошплх радиусов оказалось довольно узким - см. Рис.4, взятии га работы [30].
В работе [34] аналогичные измерения проведены при конечной температуре и показано, что фазовый переход котгфаГшмелт-дехст:фашгг.*с:гт не приводит к заметному иокененшо характеристик инегацтоноз. Зависимость плотности инстантонов и их радиуса от температуры вЗтки фазового перехода довольно плавная. Этот результат также подгверзхдяст, что инсталтоны не являются теми конфигурациями полей, которые ответственны за невылетание.
В результате охлаждения вакуумных полей на асимметричной решетке могут нооюткнуть татке стабильные конфигурации, которые имеют постоянную плотность действия по кремовой оси [35]. Такие обаскти
возможно играют роль [47] в Д№1&мюсе фазового перехода конфайнмент-дехонфайнмент.
В святзи с тем, что в непрерывном предел« полный топоиогичесяий заряд в конечном объеме диктуется граничными условиями, возникает вопрос о роли граничных условий в решеточных расчетах [48, 49, 50]. В работе [51] показано, что суммирование по всем возможным топологически различным граничным условиям происходит в решеточных расчетах естественным образом, благодаря свойствам групповой меры интегрирования (меры Хаара.) по полевым переменным.
5 Монополи и конфайнмент в решеточной электродинамике
5.1 Введение
Класичесхое объяснение закона Кулона заключается в том, что число фарадеевских силовых линий, прошюывающих единичную поверхность, обратно пропорционально квадрату расстояния до заряда. Ликийный потенциал. приводящий к кокфайнменту, ооьечно поясняется вооштеиовени-ем трубки цветных силовых'линий, связывающей кварк и антикварк. Натяжение струны - а — ото онергил, заключенная в единице длины цветовой трубки. Тахим образом задача о механизме невылетания сводится к объяснению механизма всоиикиовешы цветовой трубки. Если обратиться к элехтродкпамике, то мешено найти пример возникновения трубки силовых линий - ото тале называемая нить Абрикосова [52]. Эта струна (нить) состоит из магнитных силовых лшеш и возникает между магнитными за/рядами и (монопопем и антгсмснопслем), помещегшыми в сверхпроводник. Причиной зоеиикновешш струны является конденсат олектри-ческих зарядов - кунеровсхих пар. Таким сс(и;10м, если в вакууме хроио-диламкки и (или) глюодинамихи существует конденсат мапгаткьех зарядов, то между кварком и антикварком вогн¡икает трубка цветных силовых линий. Описывая эту модель, предложенную 'т Хо.Ь-гсм [53] и Мандельштамом [54], мы пока для простоты не обращаем внимания на неабелевый характер полей в глюод!шамике (в разделе 6 мы обсудам проекцию неабе-левой калибровочной группы на. абелеву при помощи частичной фиксации калиброахи). Понять как работает рассматриваемый механизм в кванто
рой теории помогает решеточная юлмтикл олектродинакиха. Для нее и трехмерном пространстве-времени это объяснеште впервые'быго предложено Поляковым [55]. В четьфехмерной теории при достаточно большой константе связи (в модели с действием Вильсона при (3 < ] ) имеет место невылатанне. В этой случае также имеются теоретические аргументы [56, 57] в пользу рассматриваемого механизма кевыдеталлш. В работе [58] численно исследовались гхировые шэпш конопелей, оти, оказалось, образуют СД1Ш большой кластер в фаое шнфайзгмента и разряжены -в фазе деконфайнкента. В следующем раздела представлены дополнительные аргументы, свидетельствующие в пользу рассматриваемого механизма не-вьшэтанкя в компактной ояектродкнамгаге.
5.2 о ффектгезтап! потенциал мопопояей d решеточкой олектро-fçrrraAanœ
В крайне упрел в^'лкж формулировке рассматриваемый механизм может быть объяснен на основа следующего Лагранжиана: ■
+ ' (4)
здесь à - поле ггекололей, D^ = д^ +- ¡Дм (7а„ = - Э^З^, S^ - поле, дальнее электромагнитному: = |бдиар{даЛр — Э^Д-»). lia счет суни-гпюзанил конденсата ыонополей, ira уровне классических уравнений движения, мезкду зарядами и " —" вооникает струна. приводя? цпя к линей-гому потенциалу набольших расстояниях, на малых расстегмьтх имеет гсето загоп Кулона.
Оа счет компактности кадиброгочной группа у какууме реиюто'шой J*( 1 ) теории сущес-гну тот монололи [55]. Естественно, что их взаи.чодей-.твие с тгчлиброиочиым полей ocyi и? ста л.я етч л посредством дл-.пшой г:}х>-язводугой, поэтому еудшстЕенш.тм нетрксчатьиытл слагаенкл» в ¡»фф^ктив-ioa Лагр-цскиане (4) яилястся последнее. приводюцес к возггкклешТмю »нденсата конопатей.
В работе [50] был непосредственно вычислен эффективный потенщг-л поля Moifonojieii в решеточной электродинамике с действием Вклдей-
Оказагась, чтоп области деконфайнмента (¡3 > Д-) потенднал имеет ривиалыплй вид - Рис.5(в). В области хшгфайниента (¡3 > Д.) потенциал ы-ет дна »минимума - Рис.5(а), то есть имеет место конденсат moi юполей.
Небольшое отлкчм« дпух ьнпишумов потенциала связано с недостаточно большой статистикой.
Нетривиалькссть вычисления состоят в том, что в исходное действие U( 1) теории не входят поля монополий и в вычислениях были испсиь-оованы нелокальные операторы рождения ыонопояей-- фл предложенные Фройзпком и Маркетти [60, 61] (сбобщешю стнх операторов обеуаодает-ся в разделе 8, см. (8)). Мы измеряли плотность вероятности появления данного сшатагая поля х = Re ф в полевых конфигурациях, разыгранных методой Модте-Карло. По опредшклши ита. нжггмость вероятности про-порцноиальпа ехр{—K//(x)}i гДе 'е// --эфьфехтжпсый потенциал поля Tiiíaat образом мы показали, что в области конфайнмента в ренюточной U( 1 ) теории существует конденсат хлонэлоазй, а в области декокфайнмен-та етот конденсат отсутствует.
6 Моксшояп и Еонфайшлепт в решеточной гшоодп-íiai.uize
Если лагранжиан (4) удалось бы вывести непосредственно из квантовой гро.модякгиликн, то он мог бы служить еффективным инфракрасным n<v rpaiD:ciaj:o". Детальная разработка формы такого аффективного лагран-aataua проведена в работе [02]. В р&боте [63] сделана попытка путем некоторых приближений получить такой лагранжиан юз лаг pal вякана чистой глюоднпаашки. Однако, пока отсутствует строгое дояаоате;гьство, разумно попытаться »теганно докапать существовало лагранжиана (4). Для отого надо, во-первых, от неабелевой теории перейти к абеловон. Такой переход был предложен 'т Хоофтом [64] и оаключалтеа в частичной фиксации xarntáposEi: в Sf/(¿V) теории, которая оставляет нефд-юлфоваш1ЬЕ.я: абелевы степени свободы. Такая фиксация калибровки неоднозначна, более того оказывается, что различные кадиброчшле условия приводят та флончехя разный результатам. В дальнейшем для простоты иы будем обсузхдагь SU(2) решеточную калибровочную тсор;но. В работах-[65, 6G] путем чиспенньвг расчетов показано, что после проекции SU(2) —» ¿7(1) в области йонфаГшмента шаткость г-белешлх монополей велика, а в области деЕоифакимсита эта плотность мала. Саи но себе мот факт еще не диоа-ется доказательством рассматриваемой модели конфашшента. В обычном проводнике плотность свободных оарядов может быть велика, однако дня
mili m i i vi i и in |'i i i m i i i i i i i i ч in
У(Ф)
<3=0.644
..............................
-1.00 -0.50 u.oo 0.50 1.00
Rei>
(a)
V($)
-e.oo -1.00
/3 = 0.647
0.00 o.so БеФ
(b)
l*nc. 5. Потенциал ноля монополен дпл области конфайниепта. (а) и длл области деконфайпмента (Ь).
образования нити Абрикосова отсго недостаточно, требуется: конденсат носителей заряда.
Таким образам, как и в случае влЕктрюдинашпси нетривиальным вопросом является доказательство существования конденсата монополей после проекции SU(2) —* U( 1). В отличие от огсжтродпнамихи теперь неизвестно явное выражение для оператора рождения моиопо-лей, но оказывается существует процедура вычисления функции Грина G(x)=< ф(х)ф(х)ф(0)ф(0) >, одесь (ф)ф - оператор рождения (ан-ти)конопатя. Если существует конденсат < ф > = С, то С? —♦ С4 при х —► со. Такой подход был проверен б хорошо изученной yY К.мод ели [67] и применен дяя вычисления конденсата абелевых монопопей в SU( 2) гшоо-дпнамжее [68]. Дня выделения связи конденсата монополей и конфайимента мы рассматривали SU(2) гшоодшюлшку при конечной температуре. Зависимость жэндексата С от температуры Т приведена на Рис.6. На этом же рисунке для сравнегош приведены данные для натяжения струтгы сг, полученные в работе [69].
Видно, что как конденсат, так и натяжешее струны обращаются в 0 в критической точке Т = Тс. Такая корреляция С(Т) и ст(Г) получена дяя так называемой максимальной абелевой проекции [65, 66] SU(2) —» U( 1). Следует отметить, что по способу вычисления величины С(Т) и а(Т) совершенно не связаны между собой. Натяжение струны вычисляется для петель Вильсона в SU{2) гдюодшгашше. Конденсат вычисляется после абелевой проекции как асимптотическое значение функции Грина G(x). То, что С(Т) и сг(Т) обращаются в ноль в одной точке Т = Тс указывет на то, что оти величины связаны физическими причинами. Если ото и не доказательство модели конфайнмента 'т Хоофта/-Мандельштама, то весьма серьезный аргумент в ее пользу.
7 Фрактальные объекты и хонфайнмент
Теперь мы покажем, что в решеточных калибровочных теориях существуют фракталы [70, 71, 72, 73]. Эти объекты, имеющие нецелую размерность, возникают практически во всех областях физики, где имеются большие массивы (псрВДо)случайш»пс еяличин. Первый пример - ото фрактальные свойства доменов фазы деконфайнмента, возникающих при температуре, близкой к критической [70, 71]. При таких температурах в решеточных
0.8 0.7 О. в 0.5 Н 0.4 -I 0.3 ^ 0.2 ^
1
0.0
X X X X X С4
сг/Л
т
; <т/лв
2 -43£>0
5000
. т—1—'—1—1—I—|—т*^ I1 '<—;—1—г 0.0 0.2 0.4 О.в О.В 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8
3000
-гооо
^юоо Г
Е
т/тс
Рис. в. Зависимость конденсата С г нгтлження струны сг от температуры Т
г* M
о >
10
x с =.35 0 с =.4 □ г = .45 + £ =.5
10
%о
,Х0 aV"
П* ев" "
♦ .¿SB '
-л о, -CS^
100 Area
Рис. 7. Зависимость объема доменов декот])айн цента от ютощадл вх ловег.'Хяоста.
теориях можно выделить трехмерные области пространства (домены), занятые фазой декоифаизшеита. На Рис.7, кзятом из работы [71], показана в логарифмическом масштабе зависимость объема демонов деконфайнысн-та от их площади для SU{1) глюодмииулки. Каждая точка на этом ри-сунже соответствует одному до.мгпу. Видно, что Есе точки укладываются на одну прямую, вне зависимости от величины параметра с. Различные г соог'ЕЭтетвуот различным определениям фазы деконфашшеита. Вариация температуры вблизи температуры фазового перехода также не оказывает заметного влияшиг ira результаты. Зависимость объема от площади хорошо описывается зависимостью V — constA", где а — 1.12 ± 0.05. Для нормальных трехмерных ообъехтов V ~ constAз ота завиашость показана на Рис.7 пунктирной лшыей.
Итак домеш>1 ф;<ли декоифаизшеита являются фракталами. Фрахталь-iryro размерность {13¡) могппо вычислять разными способами f74j. Например, если выполняется завис1мость V = constA", то можно положить D) — 2л, и в обсуждаемом случае D; и 2.24. Другое определение размерности [71. 72, 73], предяожстюе для решеточных объектов, приводит
О »
9
■ '
I I i
kD/й 2.4. Ответим, что фигзичесхяй смысл имеет скорее утверждение о существовании нецелой раз мерности у объекта, чем само значение Df.
Теперь мы рассмотрим кластеры, образованные мировыми линиями (анти)монопалей в решеточной оле"трод1п12лпске и SU(2) глюодашамиге. Если в предыдущем примере размерность фрактала оказалась меньше рао-мерности соствляющих его объектоз (элементарных кубов), то в настоящем примере фрактал, составленный из мировых лини», имеет размерность большую, чем размерность линии, Df > 1. Оказывается, что в области копфаииментз. (0 < Д.) в четырехмерней реакточной ожгл'родинамике размерность мировых линий (анти)монопсижй большэ 1, а в о благ-сти дехонфайнмепта Q3 > Д.) эта размерность раина 1 [72]. Этот факт отражает обсуждавшееся в раздета 5 наличие конденсата мокополей при (0 < tfc) и его отсутствие при (;3 > /Зс).
Для решеточной SU(2) глгооджамизи в работе [75] быки получены аналогичные результаты. А именно, решеточные SU(2) поля при пемотцн максимальной абелевой проекции [65, 66] проецировались на ¿7(1) поля, !тз которых выделялись мирозыо линии монополей. Вычисления проводились как длл полей, разыгранных методом Монте-Карло, тая и для пожй, подвергшихся операции охлаждения (см.раздел 4). Процедура охладедения применялась для вариации величины натяжении струны, кроме того кс-сждовались монополи разлившего размера, соответствующие iSKepeicco магнитного заряда в раз:пгчных объемах. Оказалось, что для монополей достаточно большого размера фрактальная раомерность шгркзвых лзпляй (Df) болыне 1 для тех шагов склаждешет, для которых натяхение струны (сг) еще не обратилось в коль. Когда натяжение струны раита нулю, Df — I. Размерность мировых линий мотготтолей малого размера обращается в единицу, когда еще а 0. Это является отражением того факта, ггго процедура схпалсдення сглалашаст калибровочные поля на малых расстояниях и в охлажденном вакууме за невылэтание должны быть стЕел4-ственны объекты 6a.it шо с о размера. Вероятно поэтому тахке ire были найдены указания [76, 77] на абелезую доминантность охтаждехшых решеточных полей, так как в этих работах рассматривались мскополи слишком малых размеров. Отметим также, что если пользоваться не магелмалыэдй абеяевой ггроекцией S0r(2) —♦ Сг(1), а другим! возможными проекциями, то не наблюдается заметной корреляцией между размерностью монопольных Л1ПП1Й тока и нат>1ясе]П1ем струны. Такая Еызеязнность макпкмаль-ной абелевой калибровки еше не получила должного объяснения- Одна из
возможных причин заключается в перенормируемости максимальной абе-твой калибровки и в неперенормируемости других ислольоуешлх в численных расчетах проекций 51/(2) —► 11(1). Кроме того,числ5нные расчеты показывают [78], что натяжение струны в 17(1) модели,полученной в результате максимальной абелевой проекции 511 (2) —► {7(1), совпадает с натяжением струны в исходной 311(2) теории, поэтому механизм невылетания, вероятно, одинаков в обеих моделях. Отметим, что в работе [79] показано присутствие сингулярных образований в непрерывном пределе решзточной £Г/( 2) гкюодинамяхн, кот-орыс могут быть отражением присутствий монополек. Отметим также, что в решеточной модели, в которой отсутствуют монополи, отсутствует и невыжтание [80].
8 Применение формализма дифференциальных форм к аб елевым решеточным теориям
8.1 Введение
Теперь мы опишем универсальный подход, который позволяет весьма, просто проводить вычисления в абелевых решеточных: теориях, например;вы-полнить преобразование дуальности. Это классическое упражнение [81] выполняется стандартами методами уже с некоторыми техническими трудностями в случае четырехмерных калибровочных теорий [82]..
Обсужданмый подход основан на формализме дифференциальных фора!, который впервые был использован в решеточных теориях в работе [83] и развивался затем в нескольких публикациях [61, 84, 85. 86, 87]. Так как формально обозначения не зависят от размерности и типа полей, вычисления, проведенные для одной модели, легко обобщаются на другие теории. Описываемый аппарат использовался для определения явного вида операторов рождения монопопей ф в компактной ажктродинамике, которые обсуждались в разделе 5. В настоящем разделе приведены еще два примера доказательство связи 4-х мерной ХУ модели с моделью космических струн [86] и формулировка, решеточной теории со взаимодействием Мерна-Саймонск [87]. В Приложении А кратко описаны обозначения, более подробное введение в теорию дифференциальных форм на решетке можно найти в работах [83, 85, 87],
8.2 'Четырехмерная XY модель и косютчесзсие струны
Теперь мы покажем, как обсуяздаемый формалигзм позволяет получать результаты для абелезсй теория с одним полем [86]. Во-первых,мы покажем, что существуют1 еще два представления для производящего функционала (А.4). Первое представление получается если применить преобразование дуальности к выраз>:еншо (А.4). Формально оно оахлго* гается в явнсгл mi-тегрировании по полям в, после чего получаем [56, 60, 85, 36, 87]:
^ = Е exP{-i-!ld*mf}. (5)
Здесь и далее г - ранг исходного поля 0. Другое вамзчательное сквивалзнт-ное представление для щхлвзводящего функционала было впервые получено з работах Бсреяютсюого [S3] и Костерспща-Таулесз. [S3] для двумерной XY модели. Его обобщение на D-керную теорию имеет вид:
ZBKT = const ехр{V)}. (6)
Ь]=а
Таким обраоом, существуют три эквивалентные формы производящей футшвш:
^ = Zd = ZB2CT. (7)
Эти формулы легко также получить [S7] для теории, включающей взаимодействие 9 поля с х полем типа (А.5). В вьтражетих (А.4), (5) и (6) мы специально ке конкретизируем размерность к. Если k = 0 - то мы Е.'ЭвМ дело с ХУ моделью, к = 1 соответствует компактной электродинамике в D мерном простапстве, и т.д. В выражении (6) особетгый интерес представляет огращгчешге Sj = 0 на (D — к — 2)-форму j, которое означает, что rrpoifOBOjOTitue функционалы 3Z> XV модели и 4D электродинамики эквивалентны сумме по Есем замкнутым контурам, которые можно нарисовать на 3D или 4D решетхе. Контура взаимодействуют по затону Кулона (j,A~lj). В случае электродинамики ото конечно кулогювегое взаимодействие менополей [56]. В случае четырехмерной XY модели ограничение — 0 означает , что суммирование в (6) прозодитсл по замкнутым поверхностям в четырехмерном пространстве (струнам), таимодействие
которых Ц,^1}) - дальнодействующзе [86]. Такое взаимодействие пропорционально площади для двух плоских параллеяыплх поверхностей Искривление поверхностей вносит поправки в закон площадей. Физический смысл "струнной" производящей функции состоит в том, что 4О ХУ модель - ото решеточный вариант 4£> комплексного скалярного поля с са-модействисм г/(|^|2 - I)2 (в Н]>еделе т; —► оо выживают только компактные степени свободы ф — ехр(г'х)). Решения классических уравнений для такого скалярного поля включают в себя так называемые глобальные струны, которые рассматривались в качестве объектов, принимакицих участие в формировании галактик в ранней вселенной [90, 91, 92]. Итак представление (6) есть представление производящего функционала теории как суммы по всей мировым поверхностям глобальных струн. Отметим, *гго обычно действие космических струн берется иропорционалиплм площади [90] (действие Намбу), однако точзюе преобразование приводит к дальнодей-с-гвуюшим сипам в выражении (6). По аналогии с оператором рождения мсяюполя [60, 84] можно написать оператор рождения струн Фс = П,- Ф, среднее от которого выражается через сумму в. ех пове]зхностей, ограниченных контурами С,-. Среднее от оператора рс гедения имеет вид [86]:
£ ™р{-4ж*Р1и + В),А~1и + В))} (8)
здесь В - классическое поле, удоыктворяюшре уравнению 6 В — У1, где &с, - решгточная ¿-функция равная I ил О — к — 3- мерной замкгутой поверхности С,. В случае 4Р Л'К модели С - ото замкнутый контур и Фс имеет смысл оператора рождения струны, если контур С не содержит временшюдобиых иинков. Выражение для < Фс > можно также получить [»6] в исходной (А.4) и ь дуальной (5) моделях.
6.3 Решеточная «беловая теория со взаимодействием т1с:рна-Саймовса
Введение оператора обладающего свойствами (АЛ^поополяст с^юрму-ли}юнать трехмерную решеточную теорию,включающую взаимодействие компактных олектроматчштного (в) и скалярного (х) поной и взаимодействие Чсфма-Саймонг.а. Последнее шаимидкжлиие н менрерьишом ш>сп<>-
лг вид ip. f e,iiF,i Л| ¿ъх, Прс:-говодя1Ц1ш функционал тлзой теории "Чарня,-
Салмоиса-Хштса-Макевелла'' [87J: +*
Zcs = j:¡ VXV9exр Í-AÜFÜ2 - А^Лр - Ы?ГА,Р)} , (9)
А ■= (9-Ьdx+Sír/, F — dí-r'2a-rí, включат три константы: оарлд е, (ft = tp-), гхлгстслту связи со схалярггьш полем и константу 4epir?wCaibmirca Такие подели имеют снясь с теорией анионной прсзоджости и с теорией кв-штового еффехта Холла [93, 94, 33. 36, 97, 98].
После преобразования дуальности произзсдяпцзя фугазци теории тлеет вид [S7]:
Z'cs — const Y,' «Р f-ftqdAJ" - A2p|¡3 + гц2(к, . (10)
¿sS(Ci)
Сзязь ковстает ft, Аз, ft2 с — Ai, удобно Еыртскпъ, сведя гем-ютехенузо nepei/íeinryio
ft = V'iAjp'i -г i¡i¡, (11)
тогда
_ А;
А " А '
6 = f (12) Í2
По к * яреобразоза^гея ТЕГла EepcoiOTcrrro-Kccrrep.rnnía-Taj'o.'zra иылв-лучшем ;1ро;пз1зодят;;пй футпа^гснал теории в вгтде суммы по оадпгнутым тохам (/) заряженной материи и по моеспоиыгым г-себутчдениям (i), которые являются точп'чными в трехмерном мира:
= СОП5« Е V expí-^ü.f-^a.i-1/)
/€2(сг}у£2(с0) i . ^ í;=o
-4r2/3{j, Л"1;) + ¡' J ,(13)
здесь пЩ - решение уравнения '¿п[)} = _;',/?=: А = ц - -. Токп (И и моиополи (7) самодействукгг посредством загона Купона Л'', последнее слагаемое в (23) включает в себя взаимодействие токов с мо-ионоллык и взаимодействие, пропорциональное числу зацеплений тогов I) [87]. Тккши образом для рассматриваемой теории ыы получили три эквивалентных Гфедставлаккя, то есть выполняется равенство (7). Пока для простоты мы не приписывали индекса оператору ф м считаем, что в выражения (9), (10) и (13) входит оператор с каким-то определенным индексом. Чтобы теория уцоилетноряла условию понокктелъностн Остерв&льцера-Шрадера. [99, 100, 84] нужно провести усреднение по всем всюмозшым т = 1....8. ©то можно сделать несколькими различными способами, наиболее простой из юторкк^ссофакяюгций равенство (7), оагзпочается в елсэд'гощой подстановке в выражении (8):
ехр- ^ехр!-^^,^)}- (14)
гп
При талой оаьхке в равенствах (9). (10) и (13) появляется дополнительная сумка по г«. Существуют и другие способы усрсд! Е1ПШ НО 7:1, ЕОТОрЫЗ обсу;адаются в работе [87].
Огкетик, что пропзводшцгш функционал (3) обладает симметрией:
Яс5(А,А ьмО = г^оз^д;,^), (15)
здесь
А .Я*
] т . ч
— = — +Чгтгп, (16)
п - произвольное цахвэе число, комплексная константа £ определена соотнесением (11). Эта симметрия отражает инвариантность формулы (10) относительно преобраоонаюй —» ¿12 + 2хш. Похожая симматр:щ обсуждалась я' работе [Эй] в трехмерной решеточной модели со
взаимодействием Чсрна-Саймонса, авторы птой ряботы обсужднхгг возможность обглснсиия квантового (эффекта Холла на основе -прсоб;>аао-шшня типа (35), (16). Отметим, что различные четерыхмернь;е гГ(Л") модели с нарушающим чутписть воашдодейстиием, исследованные в работах [101, 5 02, 1ОГЗ],обладает аналогичными симметрийш.ши щюобряг оовагаоши. Рассматрпиадмый нами подход отличлется от подхода работ
[102, 101,103] тем, что введение оператора который обладает свойствами (Л.1), позволяет получить точное равенство (7), тогда как в работах [101, 102, 103] взаимодействие Чернг^Сайнонса включает некоторую неопределенную функцию, которая примлшт только к ирийшженкому равенству (7). Симметрия типа (15), ( 1 б),полученная в tmtx работах, тахже является прибяскенной.
9 Основные результаты
Теперь мы перечислим основные результаты р;«:ют, по которым был сделан настоящий доклад.
1. На примере действия Зиллейна и Малтана показано. что различные решеточные действия, имевшие одинаковый классический непрерывный предел, приводят к одинаковым физическим результатам з квантовом случае.
2. Вычислено натяжение струны для SU(N) решеточной калибровочной теории с N —' те.
3. П:;:гасано, что стохастическая компонента решеточных полей доминирует в области кэнфлшшента.
4. Путем охлаждения р<?ш<?т<~>с»тьгх по1«" исс.т>?п;ов?<ны свойства ян-стантоннсго «.куума решеточных теорий. Пояазано, что в инстгнтон-ном вакууме натяжение струны cr î.iало по сравнению с реальной величиной, то есть величшюй, вычисленной для полей, рзспредежнньгх с весом ехр { — действие j-.
5. Численно доказано существование конденсата монополей в области конфайкмеита и отсутствие отг-го конденсата в области пекотiфайим»; t гг а. в четырехмерной -электродинамике и четырехмерной 5U\ 2) - глюацииааоисе. Для по.-- ""-ген теории этот результат верен для макыскаяьной абелевой проекции.
о. Показало, что домены фалы дг-хенфайнмента имеют в конечномерной 5(7 ( 2) глюодинамкке фрактальные свойства.
7. Показано, что фрактальная размерность мировых линии монополий в решеточной элехтросршамиУ-е к решеточной гчюодинамика являются параметром порядка. определяющим фаяу (гонфайкме1Г1^-де£ОНфайнмент) теории.
8. Развито применение формализма дифференциальных форм в абе-яевых решето'лшх теориях, что позволило провести преобразование дуальности ii Барезинского - Костерлица - Тауэльса для широкого класса теорий, а таюке показать эквивалентность четырехмерной XY модели и модели глобальных струн.
9. Предложена абелева трехмерная решеточная теория со взаимодействием Черна - Сайконса - Хкггса - Максвелла для прокзводстцего функ-щгонзлд,которой получено несколько эквивалентных фор?;.
Бя&год&рностп
Автор чрезвычайно признателен Ю.А.Симонову ва постоянный интерес к работе и оа обсуждения, которые продолжаются с 1973 года.. Автор тап-?ке глубоко благодарен своим соавторам Т.Н. Беловой, А.И. Веселову, У.В. В'.гое, А. Дн Джаг.ОлЮ, A.B. Желонмщу, Т.П. Иваненко, Т.А. Кохсаг.нсуло-ву, Д-Р. Лебедеву, Ю.М. Макеенко, A.A. Ыкгдалу, Ж.-П. Пафутти, A.B. Почпнскоьгу, A.A. Рослому и В.П. Юрову за ьшогочислешпле полезные обсуззденил.
Приложение Д. Дифференциальные формы к абеле-lm решеточные теории
Наетсютрс приложение носит более формальный характер, чем предыдущая часть доклада Однако ввиду уже отмечавшихся упрощений, к которым приводит применений формализма дифференциальных форм, обсу-зкдасыглс :ги>;:е обозначения предстамтякттся весьма важными. Предлагаемый форыаякгнл скорее из удачные обооначе1В1Я , а '"исчисление", пред-кааначешгок для проведения преобразований в абедевых решето-шых теориях.
Элементарные ¿-мерные объекты на решетке обооначаются сч (со -узел. С[ -- iiitiш, с2 - плакет и т.д.). Этим объектам соответствуют (D — к) - ысрисла объекты. ка дуальной решетке - *а. Функции </)(с*)
\ iaÄrü'-iCCiiiiC It / пшСКЛ* CüünCJI ф() "" СГШНЫ, iijiH СКшй'ришС
паяг, есп. функции yntoii, ф(сi) - функции линков - калибровочные поля и т.д. Кеждой ¿-форме соответствует (D — ¿)~форма на дуальной решетке:
2Э
*ф(*с%) = ф(с).)\ очевидно, что *"ф — ф. Определгны понятия дифференциала d икодл^ферепциалай. Оператор d повышает размерность фориы па I, S понюхает. Напртслср, d^(ci) - ¡пакеты, образованные по обычным правилам :зз ташзо ф{с\ ); dà(co) - лзгаж^ссотсетстзутсщие обт^гчкьля эонечньш раопостлл соседшгх сшяюя; 6ф(с¡) - уялы,ра!2гые сумм зжда-iiçix минус сумма выждящих значешга ятагазз ¿(ci). Условие 5é(c\) = о сюпачает oazca сохранения тсгоз ф(с\), спред™.™п:1ых па лгакг^- Лапласиан А — d£ -Ь id будучи применен а. нуль формам сводится х. обьга'сй дискретной разности второго порядка, применение A m фермам болыиай размерности есть естествешгое обойцегоге дисхретнон верезш Лапласиана. Произведение ' А:-форм на. решетке есть обычное схадартгое лрепогяде-нке векторов, роль индексов играет сt: (ф, ф) = Yict 'К^кУ'К^к)- Выполняется следующее правжю гаттегрирсвания но частям (ф,в.ф) (6ф,ф). Естественным образом определена норма; = = (ф, ф).
В работе [87] предложено обобщение антисимметричного тензора сщ ¡щи трехмерной решето'пгой теергпг. Ках и в непрерывном "случае действие с,ц на вектор А/ дает атчгеимметричльш тензор е^/А/, таг и на решетке #ф{с%) - 2-форма. Аналогично #р(с2) - 1-ферма. Таиш обрат зом оператор # связывает шпии с плаке тами и наоборот. Существует 8 эквивалентных определений фт (m = 1,...8), связывающих данный яязис с 8 соседешми плакетами. Окапывается можно таг определить операторы что выполняются следующие соотношения:
(А.1)
= Ыг,
= I, (А.2)
и есть четыре соотношения типа =
Теперь, используя эти формальные опредетештл, мы приведем примеры записи производящих функции для решеточных теорий. Производящая функция компактной олектродшкгмихя для действия Вильсона имеет вид:
#J>A = (л,#тВ) =
Кроме того
Я = / 2>0ехр{-/? ]ГсоВ[(с26>)(а3Щ, (А.З)
а для действия Вкплейна
2= /.Рг>ехр{-/ЗЙ<10 + .2Н|2}. (А.4)
Дая ожЕтродкиамии: к =■ 1, ¿8 - угол соответствующгй плакету, построенный из утлс» принадлежащих лингам. Опрхздмшние нормы )|...Ц включает суммирование по всем плакатам на решетке, - о™
сумма по целым числам, прикрепленным ко всем олйме;ггарным ¿-мерным
объектам с*, / - многократный интеграл по всем переменным в. В —*
дальнейшем ш будем испольоовать действие Виллейна. (А.4), так кик получаемые дня него результаты имеют белое компактный вид, чем для других действий.
Воаимодействке компактного калибровочного паяя 0 с компактным скалярньш полем х имеет вид:
X «р{-АЦах + «+2х/||3}. (А.5)
Заметим, что выражения (А.4) и (А.5) не зависят от размерности ре-шш, более того, меняя ришерности попей 0 и х'| мы получаем разш>1е теории. Например, если 9 - ото 0-форма, то (А.4) - статистическая сумма А')' модели в мерном пространстве (в этом случае п £ Z(C1)).
Прп.то:коппе В. Сппсо:г работ сопсггатзял, г:отср--за легли з ослопу па стоящего -до'г.'гадз
В .тп.'дрг.тны" сзобх&г узксгтпд пглторп, ссотлзтстпухси^е сещзиу спнсху
литературы
1. [2S] МаксепЪ Yu.ll., Pelibrpov МЛ. and Vesslov A.I. Stady of plaquette spectral density. // Phtjs. Lett., 1SS2, v.llSB, p.133-137.
2. [9] Pclikarpov M.I. Universality of lattice gauge theories Trim different forins of action // Proceeding} of XJV-ik Spring Conjtzrer.cz on High Energy Physics, p.SS-Sl, GDR, 21-26 march, 1233; Imprint ITEP-40,1933.
3. [2D] Eelova T.L, Makeenio Yu.M., Pplibrpov M.I. ar.d Vecelcv A.I. Oil the stochastic confinement in. SU(2) Lattice Gauge Theory. // Nuel. Phyi., 1984, v.B230, p.473-490.
4. [22] Migdal A.A., Poiifearpov M.I., Veselcv A.I. and Yurov У .P. Numeric?.! study of L'angcvcn equation in twisted Eguchi-KaT/ai model: distribution of eigenvalues of the plaqvicttc matrix. // Pb'js. £si?., 1C-54, v.13SB, p.145-147.
5. [23] Mi-dal A .A., Pclikarpov MX, Veselov A.I., Yurov V.P., Kozamkulov T.A. and Varlamcva A.N. Numerical study of Langeven equation in twisted Egucbi-Ka«7ai model. // Nuel Ph-js., 1934, v.3243, p.212-220.
o. [10] Мартшгеллп Г., Поликарпов M.II. Фжзпческая шюлг SU{3) рэ-шеточкой каллбрсво'пгей Teop:ni.// Яд. Физ., 1935, r.42, с.534-541.
7. [33] Веселов А.И., Поликарпов М.И. Ипсгантошл л шгфгааоает на решзтгв. // Письма о ЖЭТФ. 1987, т.45, с.113-115.
8. [35] Веселов А.И., Поликарпов М.П. Нетривигльпыз к.часс!гчесяге решения в решето'вгьк.кагтброео'ягых теерзввк // сборник "Многопро-це: сорный еъыислителъпый комплекс EG - 1037 - EG -2707", ИХ И АН СССР, c.133-13S, Москва 1987.
9. [79] Варламова А.П., Т. А., Поликарпов М.П., ЮроаВ.П. Тонкие сжтри и непрерывный предел решеточных -каЛЕбровоЧШЕС тоорЯЙ. // Яд. Физ., 1987, т.46, с.1293-1295.
10. [30] Polikarpov M.I. and Veselov A.I. Instantor.3 and confinement'in the SU(2) Lattice Gauge Theory. // Nuci. Phys., 1988, v.8297, p.34-46.
11. [34] Веселов A.IL, Полихарпоз М.И. Янсталтоны при'конечной температуре.// Яд. Физ., 1989, т.50, с.1212-1213.
12. [51] Di Giaconic A., PalFuti G. and Polikarpov M.I. Lattice topological charge and boundary conditions. // Phys. Lett., 198Э, v.224B, p.324-328.
13. [70] Поликарпов M.IL Домены деконфайнмента в SU(2) решеточной калибровочной теории . // Письма, в ЖЬ>ТФ, 1989, т.50, с.268-269.
14. [71] Polikarpov M.I. Fractal properties of the deconfinement domains in theSC/(2) Lattice Gauge Theory. // Fhys. LtU., 1990, V.23GB, p.61-62.
15. [72] Визе У., Поликарпов М.И. Новый параметр порядка в рашгточ-юьгс калибровочных теориях. // Письма в Ж&ТФ, 1990, т.51, с.296-297.
f>. [73] Pohkarpov M.I. Fractals in lattice gauge theories, // Proceedings of iht IX International Conference un Ike problems of Quantum Field Theory, Dubna, 1990; Preprint ITEP-71-90, 1990.
17. [7"'l Ivanenko T.L., Polikarpov M.I. and Pochinsky A.V. Extended abelian mo.iopoles and confinement in the SU(2) Lattice Gauge Theory. // Phyi. Lett, 1990, V.252B, p.631-635.
IS. [83] Polikarpov M.I. and Wiese U.-J. Rajidom surfaces, string creation . operators and cosmic string dynamics on the lattice. Preprint HLRZ 90-18, Jülich, Germany (1990).
19. [59] Polley L., Polikarpov M.I. and Wiese U.-J. The monopole constraint effective potential in U( 1) Lattice Gauge Theory. // Phys. Lett., 1991, V.253B, p.212-217.
20. [67] Pochinsky A.V., Polikarpov M.I. and Yurchenko B.N. Properties of vortex loops in 3D XY model. // Phys. LelL, 1991, V.154A, p.194-196.
21. [68] Иваненко Т.П., Поликарпов М.И., Починсемй A.B. Конденсат монополек и конфайимент в SU{2 J решеточной калиброво'аюй теории. // Письма в ЖЭТФ, 1991, т.53, с.517-519.
22. [80] Palumbo F., Polikarpov M.I. and Veselov A.I. Numerical study of gauge theories on a lattice in polar representation. // Phyi. Lett., 1991, V.2S8B, p. 189-194.
23. [87] Ivanenko T.L. and Polikarpov M.l. Symmetries of abelian lattice theories with Chern-Simons interaction. Preprint ITEP-49 (1991).
JInT-epacrypa
[1] Wilson K. // Php. Rev., 1974, v.DlO, p.2445.
[2] Polyakov A.M. // Phys. Rev., 1975, V.BS9, p.79.
[3] Creutz I\I. // Phys. Rev. Lett, vm, v.43, p.553.
[4] Creutz M. // Phys. Rev., 1S80, V.D21, p.lG06.
[5] Creutz M. // Phys. Rev., 19S0, V.D21, p.2308.
[6] Creutz M. // Phys. Rev. Lett., 1930, v.45, p.313.
[7] Creutz M., Jacobs L. and Rebbi C. // Phys. Rep., 1933, v.S5; p.201.
[8] Cabibbo N. et al. eds. Proceedings of the 19S9 Symposium on Lattice Field Theory, // Nucl. Phvs.317 (Proc. Suppl.), September 1990.
[9] Poi'ivirpov M.I. Univfraality of lattice gauge theories with different forms of action // Proceeding.i of XI V-th Spring Conference on High Energy Physics, p.-28-St, GDR, 21-2S march, 1283; Praprint ITEP-40,1983.
[ID] MapTiiiiejiim P., ]"Io:nnapno3 MIL // fid. <Pi&., 1985, T.42, c.534-541.
[11] LangC.B. tt al. H Phys. Rev., 1982, v.D2G, p.2028.
[12] Manton N.S. // Phys. Lett., 1980, V.96B, p.323.
[13] Drouffe J.M. // Phys. Rev., 1978, v.DlS, p.1174.
[14] Malceenko Yu.M. and Polikaxpo- M.I. // Nucl Phys., 1982, v.B205[FS5], p.386-400.
[15] Makeenko Yu.M., Polikarpov M.I. and Zhelonkin A.V. // Phys. Lett., 1933, V.126B, p.82-86.
[16] Barkai D., Moriarty K.J.M. and Rebbi C. Preprint BNL-3US2 (1984).
[17] Harnber H.W. Preprint Prinston, PUPT-142. No vernier (19S3).
[18] APE collaboration. // Pays. Lett., 1988, V.205B, p.535.
[IP] Michael C. ana Teper M. // Phys. Lett., 1988, v.206B, p.299.
[20] Cásele M. et ai. // Proceedings of the i 989 Symposium on Lattice Field Theory, Capri, Italy, Nucl. Phys.[Proc.Suppl.], 1990, v.B17, p.545.
[21] Creuts M. and Mori arty K.J. M. // Phys. Rev., 1S82, V.D26, p.2166.
[22] Migdai A.A., Poiikarpov M.I., Yeselov A.I. and Yurov V.P. // Phys. Lcíí.,1984, V.135B. p.l4S-147.
[23] Migdai A-A., Poiikarpov M.I., Veselov A.I., Yurov V.P., Koatmkulov T.A. and Vari am ova A.N. // Nucl. Phys., ISM, v.B243, p.212-220.
[24] Eguchi T. ana Kawai H. // Phys. Rev. Lett., 2982, v.4S, p.1063.
[25] Gonzalez-Arroyo A. and Okawa M. // Phys. Rev., 1983, v.'D27, p.2397.
[26] Parisi G. and Wu Y.S. // Sc.Sínica, 1981, v.24, p.4S3.
[27] Gonsaiez-Arroyo A. and Okawa M. Preprint BNL 3298S (19S3).
[2s] Makeenko Yu.M., Poiikarpov M.I. and Veselov A.I. // Phys; Lett, 1982, v.llbB, p. 133-137.
[29] Beiova. T'.L, Makeenko Yu.M., Poiikarpov M.I. and Veselov A.I. • // A'uW. Phys.. 1984, V.H230, p.473-490.
[30] Poiikarpov M.I. and Veselov A.I. // Nucl. Phys., 1988, v.B297, p.34-4C.
[31] Callan C.G., Dashen R. and Gnx-s DJ. // Phys. Rev., 1978, V.D17, p.2717.
¡32] Callan C.G., Dashen It. ajid Gross D.J. // Phys. Rev., 1979, V.D19,
[33] Bcccr*«» A.H., IlonMcapnou M.H. // UucbM.a a )KOT<f>, )9b7, t.45, c.113-115.
[34] Веселпв А.П., Пояюсарпоз М.И. // Яд. (Раз., 1989, т.50, с.1212-1213.
[35] Е-зсе.'юа A.JL, Пслихарпоз МИ. Нетривиальные зласстгчйсхиэ рспишет в решеточных халибреисчны:-:: теориях // сборник "Мпогоп-ро--.¡ессорпый вьыислитжлъпый колсплгхс ЕС - 1037 - ЕС -270Т', ИКИ АН СССР; C.133-13S. Москва 1987.
[36] Berg В. // Phys. Lett., 1981, 7.104В, р.475.
[37] Iwazald Y. and Yoshie Т. // Phys. Lett1983, V.127B. p.197.
[38] Терег M. // Pkyn. Lett, 1985, V.162B, p.357.
[39] Dgeniritz E.M. et а!.. // Nucl. Phys., 1986, v.B258, p.693.
[40] Dyakonov D.I. and Petrov V.Yu. // Nucl. Phys., 1SS4. V.B245, p.233.
[41] Dyabnov D.I. and Petrov V.Yu. // Nucl Phy;., 1GSS, v.B272, p.457.
[42] Dyakonov D J. and P^trcv V.Yu. // Phjs. Lett., 1934, V.147B, p.351.
[43] t'Hooft G. // Phys. Rev. Lett., 1976, v.37, p.8.
[44] t'Hooft G. // Phys. Re.v., 1976, v.DH, p'.3432.
[45] Witten E. // Nucl Phys., 1979, V.B156, p.269.
[46] Veneziano G. // Nucl. Phys., 1979, V.B1S9, p.213.
[47] Lnursen M.L. and Scieraok G. // 2. Phys., 1988, v.C38, p.501.
[4S] Лебедев Д.Р., Поликарпов М.И., Рослый A.A. // Яд. Фаз., 19S9, т.49, с.1799-1806.
[49] Лебедев Д.Р., Поликарпов М.И., Рослый А.А. // Яд. Ф>а., 198S, J. т.49, с.304-318.
[50] Lebedev D.R., Polikarpov M.L and Rosly A.A. // Nucl. Phys., 13SS, V.B325. p.133-160.
[51] Di Giacomo A.. Pairnti G. and Polikaxpov M.L // Phys. Lett, 1989, ' v.22iB, p.324-328.
[52] Абржосоз А. А. Ц ЖЭТФ, 1957, p.1442.
[53] 't Hooft G. "High Energy Physics", Zichichi, Editrice Conapositori, Bolognia.. 1S7S.
[54] Mandelstam S. // Phys. Rep., 1976, v.23C, p.245.
[55] PoJyakov A.M. "Gauge Fields and Strings", Harwood Academic Publishers. 1987.
[56] Banks T., Myer&on R. and Kogut J. // Nucl Phys., 1977, V.B12S, p.493.
[57] Cardy J.L. // Nucl. Phys., 1950, v.Bl70[FSl], p.369.
[58] Degrand T.A. and Toussaint D. // Pkys. Rev., 1980, v.D22, p.2478.
[59] Polky L., Polikarpov M.I. and VVkse U.-J. // Phys. Lett., 1991, v.253B, p.212-217.
[60] Frohlich J. and Marchetti P.A. // Euro. Phys. Lett., 1986, v.2, p.933.
[51] Frohlich J. and M&rchetti P.A. // C-ommun. Math. Phys.., 19S7, v.112,* p.343.
[62] Maedan S., Matsubara Y. and Suzuki T. Preprint DPKU-890", Kanc.za.ua University (19i>9).
[63] Smit J. and van der Sijs A. Preprint JTFA-89-17, Amsterdam (1939).
[64] 't Hooft G. // Nucl Phys., 1?S1, v.Bl9Q[FS3], p.455.
[65] Kronfcld A.S., Schierholz G. and VViese U.-J. // Nucl Phys., 19S7, V.B233, p.461.
[66] Kronfeld A.S., Laursen M.L., Schierholz G. and Wiese U.-J. // P/<j/i. Lett., 19>J7, V.198B, p.516.
[67] Poc'ninsky A.V., Poiikarpov M.L and Yurchenko B.N. // Phys. Lett., 1991, V.154A, p.194-196.
[68] KBaiicutn T.JL, Ilnmfr.i'.piioB M.KL, flouniCKHH A.B. // /7iiew.'.a e ' JfCQT®, 1991, t.53, c&17-519.
[69] Kan ay a K. and Satz II. // Phys. Rev., 1986, v.D34, p.3193.
[70 [71 [72
[73
[74 [75
[76
[78
[79
[SO
[81 f,S2
[83 [84
[85
Поликарпов М.И. // П-исъма. а ЖЭТФ, 1S89, т.50, с.268-269.
Polikarpov M.I. // Phys. Lett., 1990, v.236B, p.61-62.
Визе У., Поликарпов М.И. // Письма в ЖЭТФ, 1990, т.51, с.296-297.
Polikarpov M.I. Fractals in lattice gauge theories, // Proceeding.» of the IX International Conference on the problems of Quantum Field Theory, Dubna, 1990; Preprint ITEP-71-S0, 1S90.
Paladin G. and Vulpiani A. // Phys. Rep., 1987, v.156, p.147.
Ivanenko T.L., Polikarpov M.i. *nd Podunsky A.V. // Phys. Lett., 1990, V.252B, p.«31-H35.
Di Giacomo A., Maggiore M. and Olejru'k S. // Nucl. Phys., 1990, V.B347, p.441.
Di Giacomo A., Maggiore M. and Olejnik S. Preprint CERN-TH. 6103/91 (1991).
Suzuki T. and Yotsuyanagi I. Preprint DPKU-8909, Kanazawa University (1989).
Вариаморл A.II., Кожамхулов Т. А., Поликарпов М.Й., Юров В.П. // JJd. <i>.L3., 1987, т.46, c.l 293-1296.
Palumbo F., Polikarpov M.I. and Veselov A.L // Phys. Lett., 1Э91, V.258B, p.189-194.
Kramers H.A. and Wannier G.H. // Phys. Rev., 1941, v.60, p.252.
Bali an R., Drouffe J.M. and Itsykson C. // Phys. Rev., 1975, v.Dll, p.2098.
Becher P. and Joos H'. // 2. Phys., 1982, V.C15, p.343. "
Frohlich J. and Marchetti P.A. // Commun. Math. Phys., 1989, v.121,
Polley L. and Wiese U.-J. // Nucl Phys., 1991, V.B356, р.52Э.
p. 177
I .
[86] Polikarpov M.I. and Wiese U.-J. Preprint HLRZ 90-78, Jülich, Germany (1930).
[87] Ivanenko T.L. and Poiikarpov M.I. Preprint lTEP-^9 (1991).
[88] BepeGKKCKirii B.J1. // 2fOT<P, 1970, t.32, c.493.
[89] Kosterlitz J.M. and Thouless DJ. // J. Phys., 1973, v.C6, p.1181.
[90] Vilenkin A. // Phys. Rep., 1985, v.121, p.263.
[91] Brandenberger R.H. // Int. J. Mod. Pk?:., 19S7, v.A2, p.77.
[92] Brandenberger R.H. // J. Phys., 1989, v.Glo,' p.l.
[93] Fetter A.L., C.B.Hanna and Lauphlin R.B. // Phys. Rev., 1989, v.B39, ' p.9679.
[94] Chen Y.-H., Wilczek F., Witten E. and Halperin B.I. // Int. J. Mod. Phys., 1989, v.B3, p.1001.
[95] L&ughlin FLB. // Phys. Rev'. Lett., 19S3, v.50, p.1395.
[96] Halperin B.I. // Phys. Rev. Lett, 19S4, v.52, p.1583.
[97] J acid w R. // Phys. Rev., 1984, v.D2 9, p.2375.
[98] Rey S.-J. and A.Zee. // Nucl. Phys., 1991, V.E352, p.897.
[99] Osterwald er K. and Schräder R. // Comm. Math. Phys., 1973, v.31, p.83.
[100] Osterwald er K. and Schräder R. // Comm. Math. Phys., 1975, v.42, p.281.
[101] Cardy J.L. and Rabinovici E. // Nucl Phys., 19S2, v.B205[FS5], p.l.
[102] Cardy J.L. // Nucl. Phys., 1982, v.B205[FS5], p.l 7.
[103] Shapere A. and Wilczek F. // Nucl. Phys., 1989, v.B320, p.669.
