Невылетание цвета в решеточных неабелевых калибровочных теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

и

ф ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

В ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

э

1НЕР|

2006-10

На правах рукописи

Борняков Виталий Геннадьевич

НЕВЫЛЕТАНИЕ ЦВЕТА В РЕШЕТОЧНЫХ НЕАБЕЛЕВЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЯХ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Протвино 2006

М-24

УДК 539.1.01

Работа выполнена в ГНЦ РФ Институт физики высоких энергий (г. Протвино).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Б.А. Арбузов (НИИЯФ МГУ, г. Москва), доктор физико-математических наук А.Л. Катаев (ИЯИ РАН, г. Москва), доктор физико-математических наук Ю.А. Симонов (ИТЭФ, г. Москва).

Ведущая организация - Лаборатория теоретической физики ОИЯИ (г. Дубна).

Загщг^ диссертации состоится "_0-_" _ 2006 г.

в / -1 часов на заседании диссертационного ссУвета Д 201.004.01 при Институте физики высоких энергий по адресу: 142281, Протвино Московской обл.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Автореферат разослан "_" _ 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 201.004.01 Ю.Г. Рябов

©

Государственный научный центр

Российской Федерации

Институт физики высоких энергий, 2006

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Квантовая хромодииамика (КХД) - это теория, описывающая сильные взаимодействия элементарных частиц. С помощью методов теории возмущений получены многочисленные подтверждения того, что КХД правильно описывает сильные взаимодействия в области высоких энергий. Однако при низких энергиях сильная константа связи растет, делая теорию возмущений неприменимой. Таким образом, для вычислений при низких энергиях нужен другой, не-пертурбативный, метод вычислений в КХД, который позволил бы решить такие задачи, как вычисление фундаментальных параметров КХД - сс8 и массы кварка, вычисление спектра масс адронов, разработка теории невылетания цвета и многие другие. Методом, который позволяет решать эти задачи, не используя при этом неконтролируемых приближений, является метод компьютерных вычислений, использующий решеточную формулировку КХД.

Диссертация посвящена важной задаче изучения проблемы кон-файнмента в неабелевых калибровочных теориях как без полей материи, так и с фермионными полями (КХД). Инструментом для изучения этой проблемы выбраны компьютерные симуляции неабелевых калибровочных теорий в решеточной регуляризации. В диссерта-

ции исследуются два подхода к решению проблемы конфайнмента -подход, основанный на идее о дуальных сверхпроводящих свойствах вакуума и доминантности вклада абелевых монополей, и подход, основанный на идее доминантности вклада центральных вихрей. Оба эти подхода при изучении в решеточной регуляризации требуют не-пертурбативной фиксации калибровки. Непертурбативная фиксация калибровки в неабелевых калибровочных теориях также является одной из сложных нерешенных проблем. Метод Фадцеева-Попова, используемый в теории возмущений, неприменим из-за существования грибовских копий. В диссертации предложен новый метод решения проблемы грибовских копий в численных расчетах, проводимых в решеточных теориях. С помощью этого метода получены важные результаты при изучении проблемы конфайнмента.

Основные цели работы

Целью диссертации является решение следующих проблем:

1) непертурбативная фиксация калибровки и проблема грибовских копий;

2) проверка абелевой и монопольной доминантности в неабелевых калибровочных теориях;

3) определение свойств монопольных кластеров в неабелевых калибровочных теориях;

4) проверка доминантности центральных вихрей;

5) определение структуры мезонной и барионной струн, образующихся между статическими источниками, при нулевой и ненулевой температуре.

Научные результаты и новизна работы

1. В максимально абелевой и двух центральных калибровках впервые показано, что при использовании стандартных методов фиксации калибровки в решеточных теориях погрешность в вычислениях калибровочно неинвариантных величин, вызванная эффектами грибовских копий, весьма существенна и может приводить к неправильным выводам.

2. Сформулирована и впервые применена численная процедура непертурбативной фиксации калибровки, соответствующая теоретическому определению Парринелло-Йона-Лазинио-Цванцигера. Найдено практическое решение проблемы грибов-ских копий.

3. Получены наиболее точные численные результаты, подтверждающие абелевую и монопольную доминантность в Эи(2) калибровочной теории. В частности, установлено, что в максимально абелевой калибровке статический потенциал для источников, взаимодействующих только с абелевой компонентой калибровочного поля, имеет натяжение струны 93(3)% полного натяжения струны, что указывает на ведущую роль абелевых степеней свободы в проблеме невылетанпя. Впервые получе- " ны соответствующие результаты для непрерывного предела т-г проверена универсальность.

4. Обнаружена связь между инстантонами и монополями в максимально абелевой калибровке. Получены результаты, указывающие на то, что монополь вблизи ннстантона является дионом. Обнаружена абелевая доминантность для топологического заряда.

5. Установлено, что с точкой фазового перехода конфайнмент — деконфайнмент в 811(2) глюодинамике совпадает перколяцион-ный переход для кластеров монопольных токов.

6. Вычислены пропагаторы диагонального и недиагонального глюона в Би(2) глюодинамике. Найдена доминантность про-пагатора диагонального глюона в инфракрасной области.

7. Получены наиболее достоверные результаты для центральных калибровок, впервые показавшие, что центральная доминантность для натяжения струны более слабая, чем абелевая или монопольная. Обнаружено, что плотность проецированных центральных вихрей конечна в непрерывном пределе.

8. Впервые показано, что абелевая доминантность и монопольная доминантность для мезонного статического потенциала, подтвержденные ранее для глюодинамики, являются также свой-

ствами КХД. Обнаружена абелевая доминантность для бари-онного статического потенциала.

9. Исследован профиль мезонной абелевой струны в Би(3) глюо-динамике и в КХД. Установлено, что дуальный закон Ампера для абелевого электрического поля и абелевых монопольных токов выполняется качественно. Для ширины абелевой адрон-нох1 струны получено значение порядка 0.3 Фм и обнаружено, что ширина не зависит от длины струны в диапазоне длин от 0.6 Фм до 1.9 Фм. Впервые вычислена глубина проникновения для модели дуального сверхпроводника, получены значения А=0.17(1) Фм для Эи(3) глюодинамики и А—0.15(1) Фм для КХД.

10. В Эи(3) глюодинамике и в КХД впервые вычислены глюболь-ный и глюламповый спектры в абелевой проекции. Показано, что полученные значения являются хорошим приближением калпбровочно-инвариантных значений, а значение для массы I"1 глюлампа согласуется с 1/А.

11. При исследовании полей внутри бариона, состоящего из трех статических кварков, обнаружено,что в режиме невылетания наблюдается У-подобная конфигурация полей, соответствующая трехчастичному потенциалу, который нельзя описать как сумму парных сил. Результат получен в ви(3) глюодинамике и в КХД в абелевой проекции.

12. Предложено и подтверждено результатами численных расчетов описание статического мезонного потенциала в фазе конфай-нмента КХД при ненулевой температуре с помощью двух состояний. При нескольких значениях температуры вычислены эффективное натяжение струны, констнтуентная масса кварка и расстояние, на котором рвется струна. Те же величины вычислены для источников, взаимодействующих с монопольной компонентой калибровочного поля. Сделан вывод о монопольной доминантности.

13. Впервые получены результаты для профиля струны в статическом мезоне и в статическом барионе в КХД при ненулевой температуре и изучена их зависимость от температуры. Обна-

ружено увеличение ширины струны при возрастании температуры.

Научная и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при решении широкого круга задач, возникающих при изучении непертурбативных свойств неабелевых калибровочных теорий:

1. Предложенный метод фиксации калибровки на решетке, благодаря практическому решению проблемы грибовских копий, позволил сделать результаты решеточных вычислений в максимально абелевой калибровке и в центральных калибровках достоверными. Метод признан наилучшим для решения проблемы грибовских копий в этих калибровках и широко используется в настоящее время.

2. Полученные результаты для абелевого и монопольного натяжения струны используются как наиболее достоверные количественные оценки абелевой и монопольной доминантности.

3. Результаты для профиля абелевой барионной струны позволили окончательно разрешить многолетний спор о форме не-пертурбативного взаимодействия статических кварков в этой системе, что важно для изучения структуры барионов.

4. Предложенный вид мезонного потенциала в КХД при конечной температуре^может быть использован для изучения спектра чармония при ненулевой температуре в потенциальных моделях.

5. Полученные в диссертации результаты используются при изучении проблемы невылетания с помощью других методов, например в" методе полевых корреляторов, а также при исследовании максимально абелевой калибровки аналитическими методами.

Апробация диссертации

Представленные на защиту результаты докладывались на Семинарах ОТФ ИФВЭ, ИТЭФ, ДЭЗИ, университетов: Гумбольдта (Берлин), Свободного (Берлин), Билефельда, Каназавы, Фукуоки,

Хиросимы, Цукубы; на многочисленных международных конференциях, в том числе на XV Международном Семинаре по Физике Высоких Энергий и Теории Поля (Протвино, 1994), на IX (1991,

КЕК), X (1992, Амстердам), XI (1993, Даллас), XII (1994, Биле-фельд), XIV (1996, Сент Луис), XV (1997, Эдинбург), XVI (1998,. Боулдер), XVII (1999, Пиза), XIX (2001, Берлин), XX (2002, Бостон)

Международных конференциях по решеточной теории поля, на Международной конференции 'Квантовая хромодинамика и конфайнмент цвета' (Осака, 2000), па V Международной конференции 'Конфайнмент кварков и адронный спектр' (Гарняно, 2002), на XVI Международной конференции PANIC (Осака, 2002), на Международном семинаре 'Вычислительная адронная физика' (Никозня, 2005).

Публикации. Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в российских и зарубежных реферируемых журналах -17 статей (Список литературы, [1-17]), а также в трудах Международных конференций - 22 статьи (Список литературы, [18-39]).

Структура диссертации. Диссертация включает в себя Введение (глава 1), 7 глав основного текста, Заключение (глава 9) и 2 приложения. Объем диссертации 265 страниц, включая 91 рисунок и 15 таблиц. Список литературы содержит 239 ссылок.

Во Введении (глава 1) описана решеточная регуляризация в квантовой теории поля, введены основные понятия и обозначения, используемые в последующих главах. Решеточная формулировка квантовой теории поля имеет следующие особенности. Теория формулируется в евклидовом пространстве. Выражение для производящего функционала Е становится похожим на статистическую сумму:

где 5 — действие теории в евклидовом пространстве, А^(х) - калибровочное поле, <р(х) — поле материи. Аналогия со статистической физикой становится совсем полной после перехода к дискретному пространству-времени. При этом рассматривается конечный объем

Содержание работы

(1)

в четырехмерном евклидовом пространстве, 0 < xj, Х2, хз> ХА < L, и предполагается, что координаты принимают дискретные значения. Таким образом получаем четырехмерную решетку с узлами в точках s = (п1,п2,7г3,п4), 1 < щ < N — L/a, а - шаг решетки. Решеточное калибровочное поле [/^(s) определено на ребрах решетки и принимает значения в калибровочной группе, поля материи определены в узлах решетки. Производящий функционал теории сводится теперь к конечномерному интегралу:

Z = f П dU^s) Д dtpMe-W'rt . (2)

S,fl s

Переход от континуального интегрирования к конечномерному интегралу позволяет вычислять квантовые средние численно. Непрерывный предел, то есть предел снятия обрезания, соответствует пределу а —> 0 при L = Na = const, то есть N —» оо. Различают наивный непрерывный предел, при котором константа связи не изменяется, и квантовый непрерывный предел, при котором константа связи д —» 0 в соответствии с уравнением ренормгруппы. Реальные расчеты проводятся при конечных N я а, а систематические ошибки оцениваются стандартным образом путем варьирования числа узлов решетки, ivsjtes = N4, и шага решетки, а.

Вильсоновское решеточное действие для калибровочного поля имеет вид

S& = ¡3 £ (l - f Re TrU^j , (3)

где ¡3 — 2Nc/g2 - решеточная константа связи, "плакетная матрица" Up = UIAl/(s) построена из реберных переменных L^.s) следующим образом:

= и^з)и„{з + e^U^s + е„)С7*(а). (4)

В наивном непрерывном пределе это решеточное действие совпадает с действием поля Янга-Миллса.

Во Введении также обсуждается важность проблемы конфайн-мента и существующие на данный момент подходы к ее решению.

Обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, показаны научная новизна проводимых исследований и их практическая ценность, а также кратко представлено содержание работы.

В Главе 2 описаны различные подходы к фиксации калибровки в формализме функционального интеграла. Дан краткий обзор методов, используемых для фиксации калибровки на решетке. Сформулирован предлагаемый в диссертации метод фиксации калибровки, позволяющий значительно уменьшить эффекты грибовских копий, а также получить оценку оставшейся погрешности, вызванной гри-бовскими копиями.

Идея абелевой проекции, предложенной т' Хуфтом и сформулированной в решеточной регуляризации Ширхольцем с соавторами, заключается в частичной фиксации калибровочной свободы таким образом, что максимальная абелевая подгруппа (подгруппа Картана) остается ненарушенной. После такой фиксации калибровки теория может рассматриваться как абелевая калибровочная теория с магнитными монополями и заряженными полями материи (кварками и недиагональными глюонами). Предполагается, что низкоэнергетические свойства КХД обеспечиваются абелевыми степенями свободы — в этом заключается свойство абелевой доминантности.

Т' Хуфтом было предложено несколько абелевых калибровок и среди них максимальная абелевая (МА) калибровка была единственной, для которой может быть записано дифференциальное калибровочное условие и которая является перенормируемой. Вычисления на решетке показали, что эта калибровка самая подходящая для исследования абелевой проекции калибровочных теорий.

Для Би{2) решеточной калибровочной теории фиксация МА-калибровки задается максимизацией функционала (V = Л^1ед)

по отношению к локальным калибровочным преобразованиям

ад -> и°(в)=+р.). 8

Условие максимизации функционала (5) фиксирует (помимо некоторых типов вырождения, не связанных с локальными преобразованиями) g(s) с точностью до умножения g(s) —> w(s)g(s) с v(s) = ехр(га(з)тз), где гз = <?з/2 - матрица Паули, — 2тг < a(s) < 2тт, т.е. g(s) € SU(2)/U(1). Можно показать, что этому условию соответствует в непрерывном пределе дифференциальное билинейное калибровочное условие

(d^igA^A^ О, A± = Al±iA2ß. ■ (7)

Известно, что в рамках теории возмущений это условие соответствует перенормируемой калибровке.

В диссертации впервые предложено использование алгоритма симулированного медленного охлаждения, который является одним из лучших алгоритмов для численного решения различных сложных проблем оптимизации, для решения задачи фиксации калибровки. Идея алгоритма заключается в рассмотрении функционала F(U) как действия некоторой спиновой системы

S(a) = F(U9) = ¿7 Е Тг + fi)Ul(sj) , (8)

S,ß

где ct(s) = g(s)^crsg{s) являются спиновыми переменными. Решеточные поля U^s) играют роль почти случайных локальных констант взаимодействия. Максимизация функционала F(U) достигается понижением до нуля температуры Tsp в спиновой модели с производящей функцией

Z= J2 ехр^ЗД М-)}- V sp

которую можно рассматривать как вариант модели спиновых стекол. Процедура фиксации начинается с приведения этой системы спиновых стекол в равновесие при некоторой, достаточно большой температуре. Затем Tsp понижается адиабатически. Очевидно, что в пределе Tsp —> 0 система должна перейти в состояние с максимальным значением S. Достоинства алгоритма симулированного медленного охлаждения по сравнению со стандартными алгоритмами могут

(9)

быть сформулированы на языке физики твердого тела: стандартная релаксация, которая соответствует очень быстрому охлаждению, может вызвать образование дефектов, которые не образуются при адиабатическом охлаждении. Для улучшения адиабатического движения спиновых переменных в фазовом пространстве спиновой модели мы используем процедуру перерелаксации. Соответственно, алгоритм можно назвать симулированным медленным охлаждением с перерелаксацией.

Далее в диссертации представлены результаты численных расчетов, показывающие, что систематическая погрешность, вызванная неполной фиксацией калибровки (т.е. эффектами грибовских копий), которая игнорировалась во всех предыдущих работах, посвященных абелевой проекции, является существенной и может быть больше статистической погрешности. Это позволяет сделать вывод, что вычисление с высокой точностью калибровочно-неинвариантных величин, например абелевого натяжения струны, невозможно без значительного уменьшения этого вида систематической погрешности. В диссертации демонстрируются преимущества предложенного метода уменьшения этой систематической погрешности и предложен способ оценки оставшейся погрешности, вызванной эффектами грибовских копий.

В Главе 3 представлены результаты изучения абелевой и монопольной доминантности в 311(2) калибровочной теории в МА-калибровке.

Вычисления были выполнены на решетке с числом узлов АГ4 = 324, при (3 = 2.5115. Размер решетки в физических единицах составляет 2.7 Фм, а шаг решетки а = 0.084 Фм. Для решетки такого размера эффекты конечности объема пренебрежимо малы. Эффекты конечности шага решетки также невелики. Важные аспекты абелевой проекции в МА-калибровке были впервые изучены с учетом всех систематических эффектов и с наименьшими на момент исследования значениями соответствующих погрешностей, что стало возможным благодаря использованию большой решетки, большой статистики, использования наиболее передовых методов анализа численных данных и нового метода фиксации калибровки.

Изучались следующие абелевые наблюдаемые (т.е. величины, выраженные через абелевые калибровочные поля): статический потенциал и натяжение струны для источников с зарядом один и два, что соответствует неабелевым величинам в фундаментальном и присоединенном представлениях; фотонный и монопольный вклады в абелевые потенциал и натяжение струны; плотность монополей. На рис. 1 показаны неабелевый и абелевый статические потенциалы.

Я

Рис. 1. Абелевый и неабелевый потенциалы УаЬ и V.

Представлены следующие результаты. Получено отношение абе-левого натяжения струны к неабелевому, равное 0.92(4), которое на тот момент было наиболее точной оценкой этой величины. Результаты исследования разложения статического абелевого потенциала на монопольную и фотонную части качественно подтвердили результаты других авторов, но имеют намного более высокую точность. -В частности, применяя новый метод для вычисления монопольного вклада в потенциал, мы вычислили его параметры с более высокой точностью. Впервые вычислены отношение монопольного натяже-

ния струны к абелевому, получено значение 0.95(2). Также впервые получено приближение абелевой проекции <та6,2 для натяжения струны в присоединенном представлении. Результат для отношения саЬ'2/саЬ = 2.23(5) находится в качественном согласии с результатами для отношения натяжения струны в присоединенном и фундаментальном представлениях.

Проведена проверка универсальности абелевой доминантности путем сравнения результатов, полученных с использованием стандартного вильсоновского действия и улучшенного действия. Получены значения важных для абелевой доминантности величин в непрерывном пределе, т.е. в пределе снятия обрезания. Полученные результаты позволили сделать выводы о сохранении абелевой доминантности после снятия обрезания, а также об универсальности абелевой доминантности, то есть независимости от выбора решеточного действия.

Рис. 2. Отношение поперечных диагонального и недиагонального форм-факторов как функция импульса р.

Результаты для глюонных пропагаторов, полученные в МА-калибровке в Би(2) глюодинамике, ясно показывают, что в РЖ-области пропагатор недиагонального глюона сильно подавлен по сравнению с пропагатором диагонального глюона, см. рис. 2. Этот факт предполагает, что на больших расстояниях цветные объекты взаимодействуют в основном за счет обмена диагональным глюоном, что согласуется с абелевой доминантностью.

В Главе 4 представлены результаты изучения свойств монопольных кластеров. Интерес к абелевым монополям в неабелевых калибровочных теориях вызван привлекательностью дуально сверхпроводящего механизма конфайнмента.

В диссертации представлены результаты, впервые продемонстрировавшие наличие перколирующего кластера в фазе конфайнмента и совпадение перколяционного перехода с фазовым переходом конфайнмент-деконфайнмент, см. рис. 3.

14 12 10

Хс1 8 6

4

2

0

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Р

Рис. 3. Кластерная восприимчивость как функция ¡3. Вертикальная пунктирная линия указывает точку фазового перехода.

а/2 (йп)

Рис. 4. Зависимость избытка неабелевого действия 5 от расстояния до монополя а/2 для всех монополей (круги), для монополей из перколирующего кластера (квадраты) и монополей из конечных кластеров (треугольники). Пунктирная линия соответствует 1п7.

Вычислен избыток неабелевого действия, обусловленный присутствием монополя, и показано, что для перколирующего кластера эта величина меньше энтропийного фактора (рис. 4), что является прямой проверкой баланса между действием и энтропией для монополей из перколирующего кластера.

Вычислена плотность монополей в перколирующем кластере в непрерывном пределе: ртоп = 0.65(2)сг3'/2. Используя это значение, дана оценка среднего расстояния между монопалями (1топ — 1.15(1)/— 0.52(1) Фм. Получено также, что некоторые другие величины, характеризующие перколирующий монопольный кластер, например число самопересечений, имеют конечные значения в непрерывном пределе.

Приведены результаты, впервые обнаружившие связь между ин-стантонными и монопольными конфигурациями — решеточный ин-стантон или несколько инстантонов окружены монопольной петлей. Более того, показано, что монополь в этом случае несет также электрический заряд, то есть является дионом. Для топологического

заряда, вычисляемого после сглаживания вакуумных полей, обнаружена абелевая доминантность.

Сформулировано новое определение параметра беспорядка И{х — у) для фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент, которое в пределе бесконечного расстояния \х — у\ имеет физический смысл квадрата среднего от оператора рождения монополя, т.е. сигнализирует конденсацию монополей. Приведены результаты численных расчетов, подтверждающие соответствующее поведение параметра беспорядка: неравенство нулю в фазе конфайнмента и зануление (в пределе бесконечного объема) в фазе деконфайнмента.

В Главе 5 представлены результаты изучения центральной доминантности в Би{2) калибровочной теории в прямой центральной (ПЦ) и в непрямой центральной (НПЦ) калибровках.

Для фиксации ■ ПЦ-калибровки впервые исдользовался алгоритм симулированного медленного охлаждения. Показано, что этот алгоритм позволяет получить более высокие максимумы калибровочного функционала Р{и), чем полученные ранее с помощью других алгоритмов. Хотя достигнутое увеличение значения < Ртах > не выглядит значительным, оно приводит к существенному изменению значений калибровочно-неинвариантных величин. Эти изменения, в свою очередь, привели к выводам, противоположным тем, которые были сделаны ранее другими авторами, использовавшими менее эффективные алгоритмы. Были вычислены спроецированное натяжение струны сг2(2) и плотность Р-вихрей < р > на решетках с линейным размером в физических единицах от 1.4 Фм до 3 Фм. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что только на самых маленьких использовавшихся решетках (Ь = 12 для (3 = 2.4 и Ь = 16 для /3 = 2.5) наблюдаются, не очень большие, эффекты конечного объема. Данные, полученные на решетках размером больше чем 1.7 Фм, указывают на отсутствие существенных эффектов конечного объема

Результаты для плотности Р-вихрей показывают, что отношение этой плотности к <?уи(2) слабо зависит от (3 в изучаемой области значений константы связи, что опровергает ранний асимптотический скейлинг этой плотности, найденный другими авторами, но указы-

вает на наличие скейлинга плотности Р-вихрей. Наличие скейлинга плотности Р-вихрей обнаружено впервые.

Показано, что спроецированное натяжение струны 0*2(2) не воспроизводит полное натяжение струны <Jsu(2)- Полученное отношение

&z(2)/vsu(2) « 0.66(2) (10)

довольно далеко от единицы. Сравнивая результаты для двух значений шага решетки, мы не обнаружили приближения этого отношения к единице в непрерывном пределе.

Аналогичные результаты получены для НПЦ-калибровки. Поскольку Р-вихри и в ПЦ-, и в НПЦ-калибровках не воспроизводят полное натяжение струны, это ставит под сомнение возможность объяснения конфайнмента, используя только эти объекты.

В Главе 6 представлены результаты изучения абелевой и монопольной доминантности при нулевой температуре в SU(3) решеточной калибровочной теории и в решеточной КХД с динамическими квартами.

Фиксация МА-калибровки в случае SU(3) калибровочной группы сводится к максимизации функционала:

fM = j^y Е + i^22(*)i2+i^33(s)i2)' (н)

где Í/Д' - диагональные элементы матрицы по локальным калибровочным преобразованиям g(s): U^s) —¥ Uj¡,(s) = g(s)+Ufl(s)g(s + р.). В диссертации впервые использован алгоритм симулированного медленного охлаждения для фиксации этой калибровки в случае теории с группой SU(3). Показано, что применение обычного релаксационного алгоритма приводит к очень большим, до 20 %, систематическим ошибкам.

После фиксации МА-калибровки из решеточных реберных переменных Utl(s) 6 SU(3) извлекаются абелевые поля:

uM(s) = diag

где

и

(13)

ллоттов^о тт^тто ,« ^с"* «-.пределяется из условия максимизации велнчи-

калибровочных преобразований <7(5) € и(1) х и(1), т.е. калибровочная свобода фиксирована не полностью. Абелевые переменные играют роль калибровочных полей и преобразуются Е/(1) х £/(1) калибровочными преобразованиями:

Полученная после фиксации калибровки теория обладает также вейлевской симметрией.

Обнаружено, что в КХД плотность монополей больше, чем в глюодинамике. Этот факт согласуется с предположением, что фер-мионный детерминант приводит к притяжению инстантонов и ан-тиннстантонов, возрастающему с уменьшением массы кварка. Это вызывает образование инстантон-антиинстантонных пар, суммарное число инстантонов и антиинстантонов возрастает, и, соответственно, должна возрастать плотность монополей, т.к. монополи скоррелиро-ваны с инстантонами, как показано в главе 4.

Полученные результаты позволили сделать вывод о том, что абе-левая и монопольная доминантность выполняются с хорошей точностью и в ви(3) глюодинамике, и в полной КХД. В частности, монопольный вклад дает более 80 % абелевого натяжения струны, а фотонная часть потенциала вообще не дает вклада в а. Все эти факты находятся в согласии с монопольным механизмом невылетания цвета.

Если модель вакуума как дуального сверхпроводника верна, то монопольный заряд должен экранироваться экспоненциально фактором е". Мы действительно наблюдали подобную экранировку, измеряя магнитный поток через сферу радиуса г, окружающую магнитный монополь. В конечном объеме поток должен падать не

Функционал (11) инвариантен относительно

и^) -> дфи^д^в + р) .

(14)

экспоненциально, а как

l Xj — 2г

Ф(г) = Ф0 • sh—гт—, (1.5)

где L - размер решетки. Подгонка параметров Фо и £ численными данными дает значения £ около 0.3 Фм в глюодинамике и 0.25 Фм в КХД.

Нами впервые изучался профиль адронной струны в решеточной теории с калибровочной группой SU(3). Расстояние между статическими кварком и антикварком составляло ~ 1 Фм. На рис. 5 показана средняя плотность действия. Подгонкой профиля плотности действия рА{г±, гауссовской подгоночной функцией

Г _ IX-

Ра(г±,х= -) == conste í5" (16)

получено значение ширины струны ¿=0.29(1) Фм как для КХД, так и для SU(3) глюодинамики.

На рис. 6 изображено электрическое поле струны. Хорошо видно, что в узкой области вокруг оси, соединяющей кварк с антикварком, поле направлено вдоль этой оси, как это и ожидается для струны, приводящей к невылетанию.

Профиль продольной компоненты электрического поля в абеле-вой струне подгонялся для поперечного расстояния г± >0.25 Фм функцией

Г I

Ех = const. е~ * . (17)

Получены результаты для глубины проникновения А=0.15(1) Фм для КХД и А=0.17(1) Фм для SU(3) глюодинамики.

Получен результат, показывающий, что дуальный закон Ампера выполняется приближенно для средних абелевого электрического поля < Е > и абелевого монопольного тока < к > в окрестности струны между кварком и антикварком. То, что внутри струны, ответственной за невылетание, выполняется дуальный закон Ампера, является весьма нетривиальным фактом. Этот факт согласуется с дуально сверхпроводящей моделью конфайнмента, в частности с

Рис. 5. Плотность действия ра(з)го абелевой струны в КХД (а) и в ЭЩЗ) глюодинамике (Ь) и профиль плотности в центре струны для обеих теорий (с).

(а)

...........- "Г ----■---- —ГТ-г -1--"- И • ЙШ

(с) % г \\ о quenched

I Ц — т(ИгЮ ■ \\ — ЩциепсЬес!)

$ * Л

$

1 Л

в V

Рис. 6. Электрическое поле струны в КХД (а) и в БЩЗ) глюодинамике (Ь) и его профиль в центре струны для обеих теорий (с).

предсказаниями дуальной абелевой модели Хиггса. Также в качественном согласии с этой моделью находится полученное распределение в пространстве монопольных токов, имеющее вид соленои-дальных токов.

Если в КХД пробные кварк и антикварк разделить большим расстоянием, то струна между ними разорвется благодаря рождению из вакуума кварк-антикварковой пары. В диссертации рассматривается теория с кварками массы ~ 100 Мэв, и в этом случае расстояние, на котором ожидается разрыв струны, оценивается в 1.2 Фм. Электрическое поле струны было вычислено на решетке 243 ■ 48, для г/а = 18, что соответствует длине струны 1.6 Фм. Для уменьшения статистического шума электрическое поле извлекалось из монопольной части реберных переменных. Несмотря на большую длину струны, не обнаружено никаких признаков разрыва. Объяснение этого факта следующее. Перекрытие состояния, создаваемого оператором вильсоновской петли, с состоянием, соответствующим разорванной струне, очень мало, и вклад этого состояние становится заметным только при большом значении евклидового времени вильсоновской петли. Максимальное значение 1.0 Фм, использованное в наших вычислениях, оказалось недостаточным.

Подгонка профиля плотности действия длинной струны при помощи формулы (16) дает 5=0.30(3) Фм, и это значение в пределах ошибок совпадает со значением, полученным для г= 1 Фм. Этот результат противоречит предсказаниям об уширении струны с ростом расстояния г, полученным в обычно рассматриваемых моделях струны с эффективным действием Намбу-Гото.

В последнем параграфе главы 6 в Би(3) глюодинамике и в КХД впервые вычислены глюбольный и глюламповый спектры в абелевой проекции. Продемонстрировано, что полученные значения являются хорошим приближением калибровочно-инвариантных значений, а значение для массы I"1 глюлампа согласуется со значением 1/А, полученным в этой же главе.

В Главе 7 изучается статический потенциал в решеточной КХД при ненулевой температуре и разрыв адронной струны.

Наиболее очевидным эффектом динамических кварков является разрыв хромодинамической струны, натянутой между кварком и антикварком, если они находятся на достаточно большом расстоянии. Одной из наиболее серьезных проблем в изучении разрыва струны при нулевой температуре является малость перекрытия между "разорванным" состоянием и состоянием, создаваемым петлей Вильсона.

Совершенно по-другому ситуация выглядит при ненулевой температуре, когда для измерения потенциала можно использовать петли Полякова. В этом случае перекрытие "разорванного" состояния с состоянием, создаваемым коррелятором поляковских петель, такое же, как для состояния со струной, что позволяет явно увидеть эффект разрыва струны. Потенциал У(г,Т) между тяжелыми (статическими) кварками определяется с помощью коррелятора поляковских петель следующим образом:

= -1п(£х-4>, (18)

где петля Полякова определяется выражением

и

4=1

На достаточно больших расстояниях \х — у\ коррелятор поляковских петель факторизуется

(ЬзЬ}.)-*\(Ь)\2, |х - у| оо , (20)

причем |{.£<) |2 ф 0, поскольку глобальная ¿^-симметрия нарушена кварковым членом в действии.

При нулевой температуре синглетный потенциал взаимодействия статических кварков может быть описан моделью струны только до некоторого расстояния г3ь между статическими кварками. На расстояниях, больших чем г5ь, струнное состояние перестает быть основным, и на замену ему приходит состояние двух мезонов, каждый из которых состоит из тяжелого и легкого (анти)кварка. Очевидно, что

при малых температурах существенны только два этих состояния в спектре, каждое из которых является основным при определенных расстояниях. Нами было сделано предположение, что при всех температурах ниже критической коррелятор петель Полякова может быть описан с хорошей точностью с помощью этих двух состояний, струнного и двухмезонного:

Проведенные численные расчеты показали, что статический потенциал между кварком и антикварком действительно может быть хорошо описан этой двухэкспоненциалыгой формулой.

Натяжение струны, полученное в результате подгонки, показано на рис. 7. Натяжение струны для глюодинамики показано заштрихованной областью. Видно, что значения отношения а(Т)/а(0) в теории с динамическими фермионами лежат несколько выше, чем соответствующие значения в теории без фермионов. Это может объясняться тем, что в изучаемой теории нет фазового перехода, в отличие от глюодинамики. Поэтому натяжение струны при приближении к температуре перехода убывает медленнее, в то же время его ненулевое значение при Т ~ Тс не является признаком фазового перехода первого рода. Для монопольного вклада в статический потенциал получены согласующиеся результаты, и сделан вывод о наличии абелевой и монопольной доминантности.

Полученная зависимость конституентной массы кварка от температуры согласуется качественно с результатом, полученным другими авторами в теории с тремя ароматами. Расстояние г3ь, на котором рвется хромодинамическая струна, определялось из условия равенства первого и второго слагаемых в правой части (21). г£& убывает с приближением к переходу от 1.2 Фм при Т — 0 до 0.8 Фм вблизи перехода.

{Ь£Ь\) = е-1Уо+У*т{т,Т))1Т + е-2Е(Т)/Т ) (21)

где струнный потенциал, И^п имеет вид

. . 1 , • . . 1 1 . . ■ •« <х=.33 -т—, -' 1 1 . | 1 1 1 | .

- а=ге/12 -

г*<т=°Уго ;

-

§ .

-I :

Рис. 7. Натяжение струны (а), конституентная кварковая масса (Ь) и расстояние между статическими кварками гаь, на котором рвется струна между ними (с), как функции температуры.

Распределение полей внутри адронной струны изучалось ниже и выше конечнотемпературного перехода. Абелевая проекция использовалась для уменьшения эффектов ультрафиолетовых флуктуаций. Вычислялись плотность действия, цветное электрическое поле и распределение монопольных токов. При фиксированной температуре Т (Т/Тс < 1) наблюдалась четкая картина разрыва адронной струны на достаточно большом расстоянии К между тестовыми кварками. Обнаружено, что электрическое поле при этом становится кулонов-ским, а циркулирующие магнитные токи исчезают. Также изучалась зависимость профиля адронной струны от температуры при фиксированном Я ~ 0.7 Фм. Показано, что струна исчезает при Т > Тс. Обнаружено, что ширина струны 6 достигает постоянного значения 0.35(2) Фм для Н.± > 0.7 Фм. Это значение больше значения 0.29 Фм, полученного при нулевой температуре для Я — 1 Фм. Таким образом, в неабелевой теории впервые обнаружено уширение адронной струны при ненулевой температуре по сравнению со случаем нулевой температуры. Аналогичный результат был ранее получен при исследовании компактной 17(1) калибровочной теории, а также предсказан теоретически.

Глава 8 посвящена изучению структуры и потенциала статического бариона при нулевой и непулевой температуре.

Изучение системы трех статических кварков на решетке важно для получения информации о структуре бариона. До последнего времени не было ответа на вопрос о том, существует ли истинно 3-частичное взаимодействие (соответствующее У-подобной конфигурации глюонных полей) или же взаимодействие на больших расстояниях является суммой 2-частичных взаимодействий (струна формы А). Некоторые решеточные результаты интерпретировались в пользу Д-конфигурации, в то же время другие результаты поддерживали гипотезу о У-форме. Такое противоречие существовало долгое время вследствие того, что разница между предсказаниями этих двух гипотез для барионного потенциала довольно мала, в то время как решеточные вычисления с высокой точностью затруднены из-за быстрого роста потенциала с расстоянием между кварками. Измерение

распределения .глюонного поля внутри бариона позволило дать более четкий ответ.

Изучалась конфигурация абелевых глюонных полей в 3-кварковой системе после фиксации МА-калибровки. Трансляция бариона из точки А в точку В описывается следующим оператором (барионная петля Вильсона):

^ = ^1]к£1'Гк'иЬ1ЖиГз > (23)

где С/г = ГЬеГ ЭД ~ произведение реберных матриц вдоль пути Г, а траектории (бесконечно тяжелых) кварков, соединяющие точки А и В, обозначены IV

Энергия основного состояния бариона (общий потенциал взаимодействия трех кварков) равна

У{хих2,хг) = -~У1тШ3(}. (24)

/ оо

Абелевая барионная петля Вильсона выражается через абелевые реберные переменные им(;з):

= (25)

по аналогии с неабелевой петлей (23). Локальные наблюдаемые, описывающие барионную струну, определяются как средние от соответствующих операторов в присутствии вильсоновской петли, аналогично случаю кварк-антикварковой системы. При ненулевой температуре вместо петли Вильсона использовалось произведение трех поляковских петель:

= , (26)

где

N4

Ц иЦЧЬхь) (27)

Ь/а=1

является абелевой поляковской петлей. Средние определяются аналогично случаю нулевой температуры с заменой На Р^.

Абелевый барионный потенциал как функция ¿у-минимальной длины барионной струны, имеющей У-форму, подгонялся для конфигурации с равными расстояниями между кварками подгоночной функцией вида

У(Ьу) = -3\/3е/Ьу - аЬу + У0 . (28)

Подгонка дает значение отношения абелевого натяжения струны к неабелевому 0.83(3). Это первый результат, показывающий наличие абелевой доминантности в барионной системе. Проведя аналогичный анализ для полной КХД с тем же шагом решетки, мы получили значение абелевого натяжения струны, совпадающее в пределах ошибок с результатом, полученным в ви(3) глюодинамике.

Рис. 8 показывает абелевую, монопольную и фотонную плотности действия для случая КХД. В абелевой и монопольной плотности видны три пика, соответствующие положению статических кварков, и струна, указывающая на невылетание цвета. Важным наблюдением является тот факт, что в центре конфигурации имеется явный пик, что указывает на У-форму барионной струны. В фотонной компоненте абелевой плотности действия наблюдаются только пики, соответствующие источникам, в то время как монопольная компонента полностью воспроизводит структуру барионной струны, включая пик в центре.

Подобная картина наблюдается и для абелевого электрического поля и соответствующих монопольной и фотонной компонент. Фотонная часть качественно согласуется с кулоновским полем трех источников, а в монопольной нет следов источников. В плоскости, перпендикулярной к потоку, имеется соленоидальный магнитный ток. Таким образом, в трехкварковой системе наблюдается тот же сценарий невылетания цвета, что и для кварк-антикварковой пары. А именно, кулоновское поле источников индуцирует в вакууме КХД соленоидальный магнитный ток. Этот ток в свою очередь индуцирует электрическое поле, имеющее форму струны с У-геометрией и одновременно сокращающееся с кулоновским полем источников

Рис. 8. Абелевая плотность действия в ,3-кварковой системе в КХД (верхний ряд) и соответствующие монопольная (средний ряд) и фотонная (нижний ряд ) компоненты.

в области пространства вне струны. Полученные результаты согласуются с предсказаниями свойств вакуума КХД, следующими из дуальной модели Ландау-Гинзбурга. Результаты, полученные для абелевой плотности действия в SU(3) глюодннамике, качественно совпадают с результатами в полной КХД. Поэтому естественно предположить, что механизм образования струны, имеющей Y-форму, один и тот же в КХД и в SU(3) глюодинамике.

Используя распределение плотности действия, мы получили первую оценку ширины барионной струны в абелевой проекции. Оказалось, что ширина барионной струны, вычисленная примерно на середине расстояния между источником и точкой сопряжения, согласуется, в пределах ошибок вычислений, с шириной мезонной струны.

Структура барионной струны изучалась также при ненулевой температуре. При Т < Тс полученные результаты для электрического поля и магнитного тока очень похожи на поведение соответствующих величин при нулевой температуре. Стоит отметить, что оператор Р^, используемый при конечной температуре, в отличие от оператора не имеет соединения Y-формы. Это подчеркивает тот факт, что У-форма структуры бариона не связана с формой оператора, использованного для создания 3-кваркового состояния.

При Т > Тс обнаружено исчезновение соленоидального магнитного тока и монопольной компоненты электрического поля. Вычисленная абелевая плотность действия имеет только три пика при отсутствии струны, соединяющей кварки. Эта картина согласуется с вылетанием цвета в высокотемпературной фазе.

В Заключении сформулированы результаты диссертации, представленные к защите.

Список литературы

1. V.G. Bornyakov, Е.М. Ilgenfritz, M.L. Laursen, V.K. Mitrjushkin, M. MuIIer-Preussker, A.M. Zadorozhny, A. van der Sijs, "The density of monopoles in £>{7(2) lattice gauge theory", Phys.Lett. B261 (1991) 116.

2. V.G. Bornyakov, V.K. Mitrjushkin, M. Muller-Preussker, "Deconfinement transition and Abelian monopoles in SU(2) lattice gauge theory", Phys. Lett. B284 (1992) 99.

3. G.S. Bali, V. Bornyakov, M. Muller-Preussker and K. Schilling, "Dual superconductor scenario of confinement: a systematic study of Gribov copy effects", Phys.Rev. D54 (1996) 2863.

4. V. Bornyakov and G. Schierholz, "Instantons or Monopoles? Dyons", Phys.Lett. B384 (1996) p.190-196.

5". V. Bornyakov, D. Komarov, M. Polikarpov, A. Veselov "P-vortices, nexuses and effects of gauge copies", JETP Lett. 71 (2000) 231-234.

6. V. Bornyakov, D. Komarov, M. Polikarpov, "P-vortices and Drama of Gribov Copies", Phys. Lett. B497 (2001) 151.

7. V. Bornyakov, M. Chernodub, F. Gubarev, M. Polikarpov, T. Suzuki, Veselov, V. Zakharov "Anatomy of the lattice magnetic monopoles", Phys.Lett. B537 (2002) 291.

8. V.G. Bornyakov, A.V. Kovalenko, M.I. Polikarpov, D.A. Sigaev, 'Confining string formed by P vortices in the indirect projection of SU(2) lattice gauge theory', Письма ЖЭТФ 76 (2002) 771.

9. V. Bornyakov, P.Yu. Boj'ko, M. Polikarpov, V. Zakharov, 'Monopole clusters at short and large distances', Nucl.Phys. B672 (2003) 222.

10. V.G. Bornyakov, M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, S.M. Morozov, M.I. Polikarpov, 'Abelian dominance and gluon propagators in the Maximally Abelian gauge of SU(2) lattice gauge theory', Phys. Lett. B559 (2003) 214.

11. V.G. Bornyakov, H. Ichie, Y. Mori, D. Pleiter, M.I. Polikarpov, G. Schierholz, T. Streuer, H. Stiiben, T. Suzuki, 'Baryonic Flux in Quenched and Two-Flavor Dynamical QCD after Abelian projection', Phys. Rev. D70 (2004) 054506.

12. V.G. Bornyakov, H. Ichie, Y. Koma, Y. Mori, Y. Nakamura, D. Pleiter, M.I. Polikarpov, G. Schierholz, T. Streuer, H. St|ben, T. Suzuki, 'Dynamics of Monopoles and Flux Tubes in Two-Flavor Dynamical QCD', Phys. Rev. D70 (2004) 074511.

13. V. Bornyakov, M.N. Chernodub, H. Ichie, Y. Koma, Y. Mori, Y. Nakamura, M.I. Polikarpov, G. Schierholz, A. Slavnov, H. Stueben, T. Suzuki, P. Uvarov, A.I. Veselov, 'Finite Temperature QCD with Two Flavors of Non-perturbatively Improved Wilson Fermions', Phys. Rev. D71 (2005) 114504.

14. V. Bornyakov, M. Chernodub, M. Polikarpov, G. Schierholz, T. Suzuki, 'Color confinement and hadron structure in lattice chromodynamics', YOH 47 19 (2004).

15. V.G. Bornyakov, M.N. Chernodub, H. Ichie, Y. Koma, Y. Mori, M.I. Polikarpov, G. Schierholz, H. Stuben, T. Suzuki, 'Profiles of the broken string in two-flavor QCD below and above the finite temperature transition', Prog.Theor.Phys. 112 (2004) 307.

16. V.G. Bornyakov, M. N. Chernodub, H. Ichie, Y. Mori, M. I. Polikarpov, G. Schierholz and T. Suzuki, 'Structure of the gauge fields inside baryon', Phys. Atom. Nucl. 68, 616 (2005) [Yad. Fiz. 68, 647 (2005)].

17. V.G. Bornyakov, E.-M. Ilgenfritz, M. Mueller-Preussker 'Universality check of abelian monopoles' Phys. Rev. D72, 054511 (2005).

18. V. Bornyakov and R. Grygoryev, '3D SU(2) pure gauge theory in the maximally abelian gauge', Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 30 (1993) 576.

19. G.S. Bali, V. Bornyakov, M. Muller-Preussker and F. Pahl, 'New algorithm for gauge fixing in SU(2) lattice gauge theory' Nucl. Phys. (Proc.Suppl.) 42 (1995) 852.

20. G.S. Bali, V. Bornyakov, M. Muller-Preussker and K. Schilling, "Gribov copy effects in maximally abelian gauge", Nucl. Phys. (Proc. Suppl.) 49 (1996) 256.

21. N. Nakamura, V. Bornyakov, S. Ejiri, S. Kitahara, Y. Matsubara and T. Suzuki, "Disorder parameter of confinement", Nucl. Phys. (Proc. Suppl.) 53 (1997) 512.

22. V. Bornyakov and G. Schierholz, "Instantons are dyon loops", Nucl. Phys. (Proc. Suppl.) 53 (1997) 484.

23. V. Bornyakov, D. Komarov, M. Polikarpov, A. Veselov "P-vortices, nexuses and effects of Gribov copies in the center gauges", Proceedings of International Symposium on "Quantum

Chromodynamics and Color Confinement (Confinement 2000)", World Scientific, 2001, 133.

24. V. Bornyakov and M. Miiller-Preussker, "Continuum limit in abelian projected SU(2) lattice gauge theory", Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 106 (2002) 646.

25. V. Bornyakov, G. Schierholz and T. Streuer, "Glueball and gluelump spectrum in abelian projected QCD", Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 106 (2002) 676.

26. V. Bornyakov, H. Ichie, Y. Kitahara, Y. Koma, Y. Mori, Y. Nakamura, M. Polikarpo v, G. Schierholz, T. Streuer and T. Suzuki "On the dynamics of color magnetic monopoles in full QCD", Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 106 (2002) 634.

27. V.G. Bornyakov, A.V. Kovalenko, M.I. Polikarpov, D.A. Sigaev, 'Confining string and P vortices in the indirect Z(2) projection of SU(2) lattice gauge theory', Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 119 (2003) 739.

28. V.G. Bornyakov, S.M. Morozov, M.I. Polikarpov, 'Gluon propagators in Maximal Abelian gauge of SU(2) lattice gauge theory', Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 119 (2003) 733.

29. V. Bornyakov, Y. Nakamura, M, Chernodub, Y. Koma, Y. Mori, M. Polikarpov, G. Schierholz, A. Slavnov, H. Stueben, T. Suzuki, P. Uvarov, A. Veselov, 'Thermodynamics and heavy quark potential in N(f) = 2 dynamical QCD', Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 119 (2003) 703.

30. V. Bornyakov, H. Ichie, Y. Koma, Y. Mori, Y. Nakamura, M. Polikarpov, G. Schierholz, T. Streuer, T. Suzuki, 'The profile of the broken string in the confined and deconfined phase in full QCD', Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 119 (2003) 712.

31. H. Ichie, V. Bornyakov, T. Streuer, G. Schierholz, 'The flux distribution of the three quark system in SU(3)', Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 119 (2003) 751.

32. H. Ichie, V. Bornyakov, T. Streuer, G. Schierholz, 'Flux Tubes of Two- and Three-Quark System in Full QCD', Nucl.Phys. A721 (2003) 899.

33. V. Bornyakov, M. Chernodub, Y. Korna, Y. Mori, Y. Nakamura, M. Polikarpov, G. Schierholz, D. Sigaev, A. Slavnov, H. Stueben, T. Suzuki, P. Uvarov, A. Veselov, 'Heavy quark potential in lattice QCD at finite temperature', Proceedings of the 5th International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum, Gargnano, Brescia, Italy, Sep 2002, p. 294.

34. Y. Mori, V. Bornyakov, M. Chernodub, Y. Koma, Y. Nakamura, M. Polikarpov, G. Sell ierholz, D. Sigaev, A. Slavnov, H. Stueben, T. Suzuki, P. Uvarov, A. Veselov, 'Finite temperature phase transition in lattice QCD with Nf = 2 nonperturbatively improved Wilson fermions at Nt = 8', Nucl. Phys. A 721 (2003) 930.

35. V.G. Bornyakov, M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, S.M. Morozov, M.I. Polikarpov, 'Numerical study of gluon propagators in Maximally Abelian gauge', Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 129 (2004) 644.

36. V.G. Bornyakov, A.V. Kovalenko, M.I. Polikarpov, D.A. Sigaev, 'qq and 2q2q systems in terms of P-vortices', Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 129 (2004) 757.

37. Y. Mori, V. Bornyakov, H. Ichie, Y. Koma, M. Polikarpov, G. Schierholz, H. Stuben, T. Suzuki, 'Structure of the baryonic flux tube in Nf = 2 lattice QCD at finite temperature', Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 129 (2004) 742.

38. V.G. Bornyakov, P.Yu. Boyko, M.I. Polikarpov, V.I. Zakharov, 'Geometry of the monopole clusters at different scales', Nucl. Phys. Proc. Suppl. 129 (2004) 668.

39. Y. Nakamura, V. Bornyakov, M.N. Chernodub, Y. Koma, Y. Mori, M.I. Polikarpov, G. Schierholz, A. Slavnov, H. Stuben, T. Suzuki, P. Uvarov, A.I. Veselov, 'Finite temperature phase transition in full QCD with Nf = 2 flavors of cloyer fermions at Nt — 8 and 10', Nucl. Phys. Proc. Suppl. 129 (2004) 733.

. Рукопись поступила 3 июля 2006 г.

Индекс 3649

В. Г. Борняков

Невылетание цвета в решеточных неабелевых калибровочных теориях.

Оригинал-макет подготовлен с помощью системы ЬМ^Х. Редактор Л.Ф. Васильева.

Подписано к печати 05.07.2006. Формат 60 х 84/16.

Офсетная печать. Печ.л. 2,25. Уч.-изд.л. 1,75. Тираж 100. Заказ 73. Индекс 3649.

ГНЦ РФ Институт физики высоких энергий 142281, Протвино Московской обл.

АВТОРЕФЕРАТ 2006-10,

И Ф В Э, 2006

А

2000001006092

1 Введение

1.1 Основные определения.

1 2 Источники погрешности в решеточных вычислениях.

1 3 Проблема конфайимента, дуальный сверхпроводник, монополи, вихри

1.3.1 Монополи в калибровочных теориях.

1.3.2 Центральные вихри.

1 4 Цели работы, практическая ценность полученных результатов и структура диссертации

1.4.1 Основные цели работы.

1.4.2 Научная и практическая ценность

1.4.3 Структура диссертации.

2 Непертурбативная фиксация калибровки

21 Фиксация калибровки

2 2 Фиксация калибровки в симуляциях решеточных калибровочных те

2 3 Алгоритм симулированного медленного охлаждения (simulated annealing) и его применение к фиксации калибровки в решеточных калибровочных теориях.

2.3.1 Алгоритм симулированного медленного охлаждения

2.3 2 Подбор параметров алгоритма фиксации калибровки

2 4 Погрешности от грибовских копий

2.4.1 Детали вычислений.

2.4.2 Оценка погрешности.

2 5 Применение к абелевому потенциалу.

2 6 Выводы.

3 Абелева и монопольная доминантность в SU(2) решеточной калибровочной теории

3.1 Статический потенциал.

3.1.1 Абелев и неабелев статические потенциалы для фундаментального представления

3 1.2 Разложение абелева потенциала, динамика монополей и фотонов

3.1.3 Потенциал взаимодействия для источников с зарядом два

3.2 Универсальность и непрерывный предел в абелевой проекции SU(2) калибровочной теории.

3 2.1 Улучшенное решеточное действие.

3 2 2 Неабелево натяжение струны

3 2.3 Универсальность и континуальный предел для абелева натяжения струны.

3 3 Глюонные пропагаторы в МА-калибровке в SU(2) калибровочной теории

3.31 Фиксация калибровки.

3 3 2 Пропагаторы.

3 3 3 Результаты вычислений.

3.4 Выводы.

4 Свойства монопольных кластеров

4.1 Плотность монополей.

4.2 Анатомия монополей.

4.2.1 Результаты вычислений.

4 3 Свойства перколирующих и конечных кластеров.

4.3 1 Сегменты в перколирующем кластере.

4.3 2 Спектр длин конечных кластеров.

4.3.3 Корреляторы монопольных токов

4.4 Монополи и инстантоны

4.4.1 Исследование решеточной теории.

4 5 Проверка универсальности свойств кластеров.

4 6 Монопольные кластеры при конечной трмпературр.

4.6.1 Перколяция монопольных кластеров при ненулевой температуре

4.6.2 Параметр беспорядка в SU(2) решеточной калибровочной теории

4.6.3 Параметр беспорядка в модели Изинга и в компактной U(l)

4 6.4 SU{2) теория.

4 7 Выводы.

5 Применение алгоритма симулированного охлаждения к фиксации центральных калибровок

51 Введение.

5 2 Процедура фиксации калибровки.

5.2.1 Грибовские копии

5.2.2 Реализация SA-алгоритма.

5 3 Натяжение струны в центральной проеции и плотность Р-вихрей

5.3.1 Детали вычислений.

5 3 2 Максимизируемый функционал и экстраполяция N.сор —» оо

5.3.3 Плотность Р-вихрей

5.3.4 Спроецированное натяжение струны агг.

5 3 5 Oz2 в непрямой максимальной центральной калибровке

5 4 Профиль струны в центральной проекции.

5 4.1 Определения.

5.4.2 Результаты вычислений.

5.5 Выводы

6 Абелева и монопольная доминантность в решеточной SU(3) глюодинамике и в решеточной КХД

6.1 Монопольные кластеры и натяжение струны

6 1.1 Параметры вычислений и МА-калибровка.

6 1.2 Абелевы переменные и монопольные токи.

6.1.3 Монополи в вакууме КХД.

6.1.4 Потенциал между тяжелыми кварками.

6.1.5 Экранировка магнитного заряда.

6 2 Профиль абелевой струны.

6.2.1 Наблюдаемые.

6.2.2 Результаты.

6.2.3 Длинные струны.

6 3 Спектр глюболов и глюлампов в абелевой проекции.

6.3 1 Глюбольный спектр

6 3 2 Спектр глюлампов

6 4 Выводы.

7 Статический потенциал в решеточной КХД при ненулевой температуре и разрыв адронной струны

7.1 Критическая температура и статический потенциал в фазе конфай-нмента.

7.1.1 Критическая температура

7.1.2 Потенциал между тяжелыми кварками при конечной температуре

7.1.3 Динамика монополей.

7.2 Мезоиная струна при конечной температуре.

7.2.1 Детали вычислений.

7.2 2 Зависимость профиля струны от расстояния между кварком и антикварком.

7.2.3 Зависимость от температуры в мезоппой системе

7.3 Выводы

8 Структура статического бариона при нулевой и ненулевой температуре

8.1 Наблюдаемые.

8.2 Статический потенциал и структура адронной струны в 3-х кварковой системе при нулевой температуре.

8 3 Структура бариона при ненулевой температуре.

8 3.1 Статический потенциал.

8 3 2 Профиль адронной струны.

8.4 Выводы.

1.1 Основные определения

Решеточная формулировка квантовой теории поля имеет следующие особенности. Теория формулируется в евклидовом пространстве в формализме функционального интеграла. Выражение для производящего функционала X имеет вид, похожий на статистическую сумму: где Б - действие аеории в евклидовом пространстве, Л^(х) - калибровочное поле, - поле материи. Аналогия со статистической физикой становится совсем полной после введения обрезания путем перехода к дискретному пространству-времени. При этом рассматривается конечный объем в четырехмерном евклидовом пространстве, О < Х1,Х2,Х$,Х4 < Ь, и предполагается, что координаты принимают дискретные значения. Таким образом, получаем четырехмерную гиперкубическую решетку с узлами в точках з = («1,52,5з, 64), 1 < Эк < N = Ь/а, а - шаг решетки. Компоненты импульса ограничены значением ж¡а.

1.1)

Решеточное калибровочное поле U^s) определено на ребрах решетки (s,/z) и принимает значения в калибровочной группе, поля материи определены в узлах решетки. Производящий функционал теории сводится теперь к конечномерному интегралу:

2 = illdU^ ПMs)e'S{U, (1.2)

3,Ц s где dU^ - мера Хаара на калибровочной группе. Переход от континуального интегрирования к конечномерному интегралу позволяет вычислять квантовые средние численно. Непрерывный предел для физических наблюдаемых, иначе говоря, предел снятия обрезания, соответствует N —> оо и а —> 0, при L = Na — const. При этом голая константа связи д(а) стремится к 0 в соответствии с уравнениями ре-нормгруппы. Реальные расчеты проводятся при конечных N и а, а систематические ошибки оцениваются путем варьирования числа узлов решетки, iV4, и шага решетки, а.

Действие КХД имеет вид

1 г Г N'

S=WJ + J ^ + тШх), (1.3) где ipf, ф/ - кварковые поля с ароматом /, F^ = дцА„—д,,А^—г[А^ Аи} - тензор напряженности калибровочного поля, D^ = д^ — гА^ - ковари-антная производная, калибровочное поле А^ = дАа^Га, Та- генераторы группы с нормировкой Тг ТаТь = \5аь, 7,г матрицы Дирака, тп/ - масса кварка. Решеточный аналог действия (1.3) определен неоднозначно. Решеточное действие должно удовлетворять следующим требованиям:

- калибровочная инвариантность;

- правильный наивный непрерывный предел, то есть предел а —> О, определяемый формальным разложением по степеням шага решетки а: в этом пределе решеточное действие должно переходить в непрерывное (1.3);

- локальность.

Этим требованиям удовлетворяет бесконечно много решеточных действий. Простейший и наиболее естественный вид решеточного действия был предложен Вильсоном [6]:

5 = + (1.4) где а4 ас/а3 М*Жъ - + А)

- (7л+ 1) - - £)] (1.5)

- фермионное действие,

З&^^-^еШ/р) (1.6)

-действие калибровочных полей. Параметр ас/ - определяет массу кварка, а /3 = 6/д2 - решеточная константа связи. Поскольку вильсо-новское фермионное действие (1.5) нарушает киральную инвариантность (киральная инвариантность безмассовой КХД восстанавливается в непрерывном пределе), масса кварка получает аддитивную перенормировку и определяется следующим образом т/а = — где кс - значение параметра ас/, при котором масса 7г-мезона обращается в ноль. 'Плакетная матрица' Цр = и,1и(з) построена из реберных переменных и^в) следующим образом: и^з) = и^зШз + ё^иЦз + ёМ(ь). (1.7)

Связь между в) и векторным калибровочным полем А^(х) можно определить с помощью Р-экспоненты:

На практике используются упрощенные выражения. Например, при вычислениях в наивном локальном пределе используют ад = е,вЛ"(м) =1+чн + \(гаМаз))2+- (1-э)

Для вильсоновского действия доказано [9] важное свойство положительности трансфер-матрицы Т, то есть оператора трансляций по евклидову времени. Из этого свойства трансфер-матрицы следует, что вероятности перехода между калибровочно-инвариантными состояниями положительны, а гамильтониан теории, определяемый соотношением Т = е~аН, имеет только действительные собственные значения. В наивном непрерывном пределе [6], ^ 2? / ЪР^[Х) + °{а2)' (1Л0) ^ I + т/^/Ог) + 0(а), (1.11) т.е. фермиопное действие Вильсона стремится к непрерывному пределу медленнее, чем действие калибровочных полей. Этот недостаток устранен в улучшенном действии для фермионных полей [10], = - = фМ(и)ф, (1.12) в л где ^„(й) - решеточный тензор напряженности калибровочного поля, аци = [7^,7„]/2г, параметр с^, зависящий от (3 и к вычисляется непертурбативным образом [11]. Действие вр стремится к непрерывному пределу с точностью 0(а2). Это фермионное действие широко используется в последние годы. Другой популярный выбор - улучшенное фермиопное действие Когута-Сасскиида [12], киральные свойства которого лучше, чем у действия (1.12), но есть и существенный недостаток - нарушение флэйворной симметрии. Отметим, что с теоретической точки зрения наилучшим решеточным фермионным действием является действие, матрица М(11) которого удовлетворяет соотношению Гинспарга-Вильсона [13]:

М75 + 75М = , 0 < г < 1. (1.13)

2 г

Такое действие обладает киральной симметрией даже при ненулевом шаге решетки. Реализации такого действия были найдены сравнительно недавно [14], ведется интенсивное изучение его свойств, однако практическое использование пока ограничено из-за некоторых технических проблем [15].

Численное интегрирование в интегралах типа (1.2) возможно только по бозонным полям. Интегрирование по фермиоиным переменным выполняется аналитически:

J ЩЩ = det M(U), (1.14)

J ThfW $a{s')ipb{s) = (M~l,(U))abdot M(U). (1.15)

На компьютерах при вычислении вакуумного среднего нужно вычислить интеграл вида: О >= i JvU G(U) , (1.16) где

Z = j VUe~s^u\ (1.17)

See(U) = S${U) - £ In det M/(t/), (1.18)

VU = dUn(s), dU^s) - мера Xaapa на SU(3), Nf - число ароматов. В случае оператора, зависящего от фермионных полей, под интегралом появляется матрица М1(£/), например, для О = (^>)(s')(^)(s), вычисляется интеграл

0>=^J VU{M;}{U))ab{M^s{U))bae~s^ul (1.19)

Уже упоминавшееся 'квенчет' приближение означает, что в (1.18) положено det Mf(U) = const, или, что эквивалентно, Nf = 0, т.е. вклады кварковых петель не учитываются. Это неконтролируемое приближение и его использование было обусловлено отсутствием достаточно мощных компьютеров. В последние годы был сделан большой шаг вперед. Получены результаты для двух вырожденных по массе легких кварков (Ы/ = 2), что соответствует учету и и с? кварков. Проведены также первые исследования с добавлением третьего кварка, соответствующего 5-кварку, с такой же (А7/ = 3) или более тяжелой (А7/ = 2 + 1) массой. В главах 6, 7, 8 будут представлены результаты, полученные в А7/ = 2 РКХД при нулевой и при ненулевой температуре с действием (1.6), (1.12).

Вычисление интегралов типа (1.16) для параметров, соответствующих реальной КХД, - весьма непростая задача. Используются крупнейшие суперкомпьютеры, разработка новых алгоритмов для повышения эффективности вычислений является одной из основных задач, решаемых решеточными коллаборациями. Описание этих алгоритмов можно найти в обзоре [16]. Отметим лишь, что при численных расчетах интеграл в (1.16) заменяется суммой по конфигурациям глюонного поля, генерированным с весом, пропорциональным где Ог(и) - значение решеточного оператора О на ьой конфигурации, ]УС0П£ - число статистически независимых конфигураций глюонного поля.

Необходимый объем вычислений зависит не только от размера решетки, но и от шага решетки и от массы кварка. Полу феноменологическое выражение для расчетов в КХД с двумя легкими кварками выглядит следующим образом [17]:

2-8 (Ъ1) (т^Г (ж)' И' Терафлоп х год, (1.21) где тп и тр - массы 7г-мезона и /о-мезона, соответственно (значение отношения т^/тр определяет значение массы кварка). Например, для генерации 100 конфигураций с параметрами т^/тр = 0.6 (т.е. массой кварка ~ 50Мэв), L = ЗФм, 1 /а = 2ГэВ потребуется 100 дней работы conf

1.20) объем вычислений компьютера производительностью 1 Терафлоп. Отметим высокие степени в (1.21), указывающие на быстрый рост объема вычислений при приближении к термодинамическому (Ь оо), непрерывному (а —»■ 0) и киральному (тпж/тр —»■ 0) пределам.

8.4 Выводы

Главный результат данной главы заключается в демонстрации того факта, что барионная струна имеет У-форму. Это было сделано как при Т = 0 (в глюодинамике и в РКХД), так и при ненулевой температуре Т < Тс с помощью вычисления абелевой плотности действия, распределения цвето-электрического поля и монопольных токов в барионной системе. Получена оценка ширины барионной струны, что позволило сделать вывод, что эта ширина имеет примерно такую же величину, как в случае QQ струны.

Вычисление абелева статического потенциала в барионной системе предоставило еще одно свидетельство в пользу абелевой доминантности: полученное отношение абелева натяжения струны к неабелево-му равно 0.83(3). Для отношения монопольного натяжения струны к абелевому получено 0.81(3), что свидетельствует о монопольной доминантности. Сравнение абелева статического потенциала с предсказаниями У- и А- анзатцев показало согласие с У-анзатцем на больших расстояниях. Следует отметить, что результаты для барионного потенциала и распределения поля внутри бариона, полученные в дуальной модели Гинзбурга-Ландау [229, 230] и в рамках метода полевых корреляторов [234], также указывают на У-подобную конфигурацию глюонных полей.

Были изучены профили цвето-электрического поля, плотности абе-лева действия и монопольного тока и вычислен статический потенциал в барионной системе ниже и выше конечнотемпературного перехода в РКХД с ./V/ = 2 В качестве источников использовались абелева, монопольная и фотонная поляковские петли. Профиль струны и явление разрыва струны согласуются со случаем мезонной системы. Отметим, что при Т > 0 У-форма струны впервые наблюдалась с использованием оператора без явной точки сопряжения. Найдено, что в согласии с предсказаниями дуальной модели Гинзбурга-Ландау магнитный ток циркулирует вокруг трубки цвето-электрическое поля, создавая соле-ноидальное электрическое поле в барионной системах, подобно случаю мезонной системы. Для детального изучения параметров барионного потенциала при ненулевой температуре статистика оказалась недостаточно высокой. Тем не менее при больших Ьу наблюдалось выпола-живание барионного потенциала, т.е. разрыв барионной струны.

Глава 9 Заключение

Проведенные нследовання, результаты коюрых представлены в диссертации, продемонстрировали, что метод численных симуляций неабе-левых калибровочных теорий, включая КХД, сформулированных в решеточной регуляризации, позволяет исследовать непертурбативные свойства вакуума и получать результаты, важные для понимания структуры вакуума. Полученные результаты указывают на то, что вакуум КХД ведет себя подобно дуальному сверхпроводнику, а невылетание осуществляется за счет образования дуального аналога струны Абрикосова.

В диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1. В максимально абелевой и двух центральных калибровках впервые показано, что при использовании стандартных методов фиксации калибровки в решеточных теориях погрешность в вычислениях калибровочно-неинвариантных величин, вызванная эффектами грибовских копий, весьма существенна и может приводить к неправильным выводам.

2. Сформулирована и впервые применена численная процедура непер-турбативной фиксации калибровки, соответствующая теоретическому определению Парринелло-Йона-Лазинио-Цванцигера. Найдено практическое решение проблемы грибовских копий.

3. Получены наиболее точные результаты, подтверждающие абеле-ву и монопольную доминантность в 811(2) калибровочной теории. В частности, установлено, что в максимально абелевой калибровке статический потенциал для источников, взаимодействующих только с с абелевой компонентой калибровочного поля, имеет натяжение струны 93(3)% полного натяжения струны, что указывает на ведущую роль абелевых степеней свободы в проблеме невылетания. Впервые получены соответствующие результаты для непрерывного предела и проверена универсальность.

4. Обнаружена связь между инстантонами и монополями в максимально абелевой калибровке. Получены результаты, указывающие на то, что монополь вблизи инстантона является дионом. Обнаружена абелева доминантность для топологического заряда.

5. Установлено, что с точкой фазового перехода конфайнмент - де-конфайнмент в 811(2) глюодинамике совпадает перколяциопный переход для кластеров монопольных токов.

6. Вычислены пропагаторы диагонального и недиагонального глюо-на в Би(2) глюодинамике для значений импульса от 325 МэВ до 2 ГэВ. Найдена доминантность пропагатора диагонального глюопа в инфракрасной области.

7. Получены наиболее достоверные результаты для центральных калибровок, впервые показавшие, что центральная доминантность для натяжения струны более слабая, чем абелевая или монопольная. Обнаружено, что плотность проецированных центральных вихрей конечна в непрерывном пределе.

8. Впервые показано, что абелевая доминантность и монопольная доминантность для мезонного статического потенциала, подтвержденные ранее для глюодинамики, являются также свойствами КХД. Обнаружена абелева доминантность для барионного статического потенциала.

9. Исследован профиль мезонной абелевой струны в SU(3) глюоди-намике и в КХД. Установлено, что дуальный закон Ампера для абелевого электрического поля и абелевых монопольных токов выполняется качественно. Для полуширины абелевой адронной струны получено значение порядка 0.3 Фм и обнаружено, что ширина не зависит от длины струны в диапазоне длин от 0.6 Фм до 1 6 Фм. Впервые вычислена глубина проникновения для модели дуального сверхпроводника, получены значения А—0.17(1) Фм для SU(3) глюодинамики и А=0.15(1) Фм для КХД.

10. В SU(3) глюодинамике и в КХД впервые вычислены глюбольный и глюламповый спектры в абелевой проекции Показано, что полученные значения являются хорошим приближением калибровочно-инвариантиых значений, а значение для массы 1+~ глюламна согласуется с 1/А.

11. При исследовании нолей внутри бариона, состоящего из трех статических кварков обнаружено,что в режиме невылегания наблюдается У-подобная конфигурация полей, соответствующая трех-частичному потенциалу, который нельзя описать как сумму парных сил. Результат получен в SU(3) глюодинамике и в КХД в абелевой проекции.

12. Предложено и подтверждено результатами численных расчетов описание статического мезонного потенциала в фазе конфайнмен-та КХД при ненулевой температуре с помощью двух состояний. При нескольких значениях температуры вычислены эффективное натяжение струны, конституентная масса кварка и расстояние, на котором рвется струна. Те же величины вычислены для источников, взаимодействующих с монопольной компонентой калибровочного поля. Сделан вывод о монопольной доминантности.

13. Впервые получены результаты для профиля струны в статическом мезоне и в статическом барионе в КХД при ненулевой температуре и изучена их зависимость от температуры. Обнаружено увеличение ширины струны при возрастании температуры.

1. Индурайн Ф., Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов (М • Мир, 1986)

2. V.A. Matveev, A.N. Tavkhelidze, Физика элементарных частиц и атомного ядра, т.26, вып. 3, cip 575 (2006).

3. J.D. Bjorkeri, Phys. Rev. 179, 5 (1968), V. Matveev, R. Muradyan, A. Tavkhelidze, Elementary Particles and Atomic Nuclei, v.2, p.6 (1971).

4. Боголюбов H.H., Ширков Д.В., Введение в теорию квантованных полей. (М.: Наука, 1984). Славнов А А., Фаддеев Л.Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей (М.: Наука, 1978).

5. А. Н. Mueller, Phys. Rept. 73 (1981) 237; S. G. Gorishnii, A. L. Kataev and S. A. Larin, Phys. Lett. В 259 (1991) 144.

6. К. G. Wilson, Phys. Rev. D 10, 2445 (1974).

7. M. Creutz, Phys. Rev. D 21,2308 (1980).

8. M. Lüscher, Commun. Math. Phys. 104, 177 (1986)

9. B. Sheikholeslami and R. Wohlert, Nucl. Phys. В 259, 572 (1985).

10. К. Jansen and R. Sommer, Nucl. Phys. B530 , 185 (1998).

11. С. Т. H. Davies et al HPQCD Collaboration], Phys. Rev. Lett. 92, 022001 (2004).

12. P. H. Ginsparg and К G. Wilson, Phys Rev. D 25, 2649 (1982).

13. H Neuberger, Phys. Rev. Lett. 81, 4060 (1998).

14. L. Giusti, Nucl Phys. Proc. Suppl. 119,149 (2003).

15. M. J Peardon, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 106, 3 (2002).

16. A. Ukawa CP-PACS and JLQCD Collaborations], Nucl. Phys Proc. Suppl. 106, 195 (2002).

17. H.G. Dosch and Yu.A. Simonov, Phys. Lett. B205 (1988) 339.

18. Б.А. Арбузов, Физика элементарных частиц и атомного ядра, т.19, стр. 5 (1988); М. Baker, J. S. Ball and F. Zachariasen, Phys. Rept. 209 (1991) 73.

19. Yu.A. Siinonov, Phys. Lett. 226B (1989)151; Phys. Lett. 228B (1989)413.

20. G. 't Hooft, in 'High Energy Physics', Proceedings of the EPS International Conference, Palermo 1975, ed. A. Zichichi, Editrice Compositori, Bologna 1976.

21. S. Mandelstam, Phys. Rep. C23 (1976) 245.

22. A.A. Абрикосов, ЖЭТФ 32 (1957) 1442.

23. A.M. Polyakov, Phys. Lett. 59B (1975) 82.

24. T. Banks, R. Myerson, J. Kogut, Nucl. Phys. B129 (1977) 493.

25. J. Smit, A.J. van der Sijs, Nucl. Phys. B355 (1991) 603.

26. N. Seiberg, E. Witten, Nucl. Phys. B426 (1994)19.

27. A.M. Polyakov, "Gauge Fields and Strings", Harwood, New York, 1987.

28. P. Dirac, Proc. Roy. Soc. A133 (1931) 60; Phys. Rev. 74 (1948)817.

29. G. 't Hooft, Nucl. Phys. B190 FS3] (1981) 455; G 't Hooft, Phys. Scr. 25 (1982) 133.

30. Z. F. Ezawa and A. Iwazaki, Phys. Rev. D 25 (1982) 2681.

31. S. Maedan and T. Suzuki, Prog. Theor. Phys. 81 (1989) 229.

32. A.S. Kronfeld, G. Schierholz, U.-J Wiese, Nucl. Phys. B293 (1987) 461; A.S. Kronfeld, M.L. Laursen, G Schierholz, U.-J. Wiese, Phys. Lett. B198 (1987) 516; F. Brandstater, U J. Wiese and G. Schierholz, Phys. Lett. B272 319 (1991).

33. T. Suzuki, Nucl. Phys. BProc. Suppl.]30 (1993) 176.

34. A. DiGiacomo, review talk presented at the International Symposium on Lattice Field Theory Lattice '95, Melbourne, 1995.

35. R.W. Haymaker, Phys. Rept. 315, 153 (1999).

36. M. N. Chernodub and M. I. Polikarpov, "Abelian projections and monopoles", in "Confinement, duality, and nonperturbative aspects of QCD", Ed. by P. van Baal, Plenum Press, p. 387, hep-th/9710205.

37. H. Min, T. Lee, P.Y. Pac, Phys. Rev. D32 (1985) 440.

38. G. 't Hooft, Nucl. Phys. B79 (1974) 276.

39. A.M. Polyakov, JETP Lett. 20 (1974) 194.

40. В.А. Рубаков, Классические калибровочные поля (М.:УРСС, 1999).

41. F.A. Bais, J. Primack, Phys. Rev. D13 (1976) 819.

42. J. Smit and A. J. van der Sijs, Nucl. Phys. В 422, 349 (1994).

43. H. Ichie, H. Suganuma, Nucl. Phys. B574 (2000) 70.

44. J.C. Vink, U.-J. Wiese, Phys.Lett. B289 (1992) 122; A.J. van der Sijs, Prog.Theor.Phys.Snppl. 131 (1998) 149.

45. T.A. DeGrand and D. Toussaint, Phys. Rev. D22 (1980) 2478.

46. M.N. Chernodnb, M.I. Polikarpov and A.I. Veselov, Phys. Lett. B342 (1995) 303.

47. G. 't Hooft, Nucl. Phys. B138 1 (1978); J.M. Cornwall, Nucl. Phys. B157 392 (1979);

48. G. Mack, in Recent Developments in Gauge Theories, ed. by G 't Hooft et al. (Plenum, New York, 1980);

49. H.B. Nielsen and P. Olesen, Nucl. Phys. B160 (1979) 380;

50. J. Ambjorn and P. Olesen, Nucl. Phys. B170 (1980) 60; 265.

51. T.G. Kovacs and E. T. Tomboulis, J.Math.Phys. 40 (1999) 4677.

52. L. Del Debbio, M. Faber, J. Greensite and S. Olejnik, Phys. Rev. D 55 (1997) 2298.

53. L. Del Debbio, M. Faber, J. Giedt, J. Greensite and S. Olejnik, Phys.Rev. D58 (1998) 094501.

54. P. de Forcrand and M. D'Elia, Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 4582; C. Alexandrou, M. D'Elia and Ph. de Forcrand, Nucl.Phys. В Proc.Suppl.] 83(2000) 437.

55. L.D. Faddeev, V.N. Popov, Phys. Lett. B25 (1967)30.

56. V.N. Gribov, Nucl. Phys. B139 (1978) 1.

57. D. Zwanziger, Nucl. Phys. B412 (1994) 657.

58. C. Parrinello and G. Jona-Lasinio, Phys. Lett. B251 (1990) 175.

59. D. Zwanziger, Nucl. Phys. B345 (1990) 461.

60. J.E. Mandula and M.C. Ogilvie, Phys. Lett. B185 (1987) 127.

61. E. Marinari, C. Parrinello and R. Ricci, ucl. Phys. В 362 (1991) 487; С. Parrinello, S. Petrarca and A. Vladikas, Phys. Lett В 268 (1991) 236.

62. V. Bornyakov, E.-M. Ilgenfritz, M.L. Laursen, V.K. Mitrjushkin, M Müller-Preussker, A.J. van der Sijs, A.M. Zadorozhny, Phys. Lett. B261 (1991) 116.

63. J E. Mandula and M. Ogilvie, Phys. Lett. В 248 (1990) 156.

64. С. Т. H. Davies et al., Phys. Rev. D 37 (1988) 1581.

65. A. Hulsebos, M. L. Laursen and ,J. Smit, Phys. Lett. В 291 (1992) 431.

66. S. Fachin and C. Parrinello, Nucl. Phys. BProc. Suppl.] 26(1992) 429.

67. G. Bali, V. Bornyakov, M. Müller-Preussker and F. Pähl, Nucl. Phys. BProc. Suppl.] 42(1995) 852.

68. D. S. Henty, 0. Oliveira, C. Parrinello and S. Ryan UKQCD Collaboration], Phys. Rev. D 54 (1996) 6923.

69. V. K. Mitrjushkin and А. I. Veselov, Письма в ЖЭТФ 74 (2001) 605.

70. L. Giusti, M. L. Paciello, C. Parrinello, S. Petrarca and B. Taglienti,

71. T. D. Bakeev, E. M. Ilgenfritz, V. K. Mitrjushkin and M. Mueller-Preussker, Phys. Rev. D 69 (2004) 074507

72. S. Kirkpatrick, C.D. Gelatt Jr., M.P. Vecchi, Science 220 (1983) 671; V. Cerny, J. Opt. The. Appl. 45 (1985) 41.

73. G.S. Bali, V. Bornyakov, M. Miiller-Preussker and K. Schilling, Phys. Rev. D54 (1996) 2863.

74. K. K. Yee, Phys. Lett. B 347 (1995) 367.

75. M. N. Chernodub, K. Hashimoto and T. Suzuki, Phys. Rev. D 70, 014506 (2004).

76. T. Suzuki, I. Yotsuyanagi, Phys. Rev. D42 (1990) 4257.

77. F.R. Brown and T J. Woch, Phys. Rev. Lett. 28 (1987) 2394; R. Gupta, G.W. Kilcup, A. Patel, S.R. Sharpe, and P. de Forcrand, Mod. Phys. Lett. A3 (1988) 1367.

78. K. Fabricius and O. Haan, Phys. Lett. B143, (1984) 459; A. Kennedy and B. Pendleton, Phys. Lett. B156 (1985) 393.

79. G.S. Bali, C. Schlichter and K. Schilling, Phys. Rev. D51 (1995) 5165.

80. G. Parisi, R. Petronzio and F. Rapuano, Phys. Lett. B128 (1983) 418.

81. J. Stack and R. Wensley, Nucl. Phys. B371 (1992) 597.

82. H. Shiba and T. Suzuki, Phys.Lett. B333 (1994) 461; J. Stack, S. Neiman and R. Wensley, Phys. Rev. D50 (1994) 3399.

83. T.L. Ivanenko, A.V. Pochinsky and M.I. Polikarpov, Phys. Lett. B252 (1990) 631.

84. L. DelDebbio, M. Faber and J. Greensite, Nucl. Phys. B414 (1994) 594; L. DelDebbio, M. Faber, J. Greensite and S. Olejnik, Phys. Rev. D 53 (1996) 5891.

85. G. S. Bali, Phys. Rev. D 62, 114503 (2000); S. Deldar, Phys. Rev. D 62, 034509 (2000).

86. V. I. Shevchenko and Y. A. Simonov, Phys. Rev. Lett. 85 (2000) 1811.

87. V. G. Bornyakov, E. M. Ilgenfritz and M. Mueller-Preussker, Phys. Rev. D 72 (2005) 054511.

88. G. I. Poulis, Phys. Rev. D 56, 161 (1997).

89. T. Suzuki, K. Ishiguro, Y. Mori and T. Sekido, Phys. Rev. Lett. 94, 132001 (2005).

90. M. G Alford, W. Dimm, G. P. Lepage, G. Hockney, and P. B Mackenzie, Phys. Lett. B 361, 87 (1995).

91. A Hasenfratz and F. Knechtli, Phys Rev. D 64, 034504 (2001).

92. A. Hasenfratz, R. Hoffmann and F. Knechtli, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 106, 418 (2002); C. Gattringer, R Hoffmann and S. Schaefer, Phys. Rev. D 65, 094503 (2002).

93. V. G. Bornyakov et al. DIK Collaboration], Phys. Rev D 71, 114504 (2005).

94. M. Albanese et al. APE Collaboration], Phys. Lett. B 192,163 (1987).

95. C. Aubin and M. C. Ogilvie, Phys. Rev. D 70, 074514 (2004).

96. V. G. Bornyakov, S. M. Morozov and M. I. Polikarpov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 119, 733 (2003).

97. V. G. Bornyakov, M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, S. M. Morozov and M. I. Polikarpov, Phys. Lett. B 559, 214 (2003).

98. V. G. Bornyakov, M. N. Chernodub, F. V. Gubarev, S. M. Morozov and M. I. Polikarpov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 129, 644 (2004).

99. S. Mandelstam, Phys. Rev. D 20 (1979) 3223; N. Brown and M. R. Pennington, Phys. Rev. D 39 (1989) 2723.

100. D. Zwanziger, Nucl. Phys. B 378 (1992) 525; Phys. Rev. D 65 (2002) 094039. L. von Smekal, R. Alkofer and A. Hauck, Phys. Rev. Lett. 791997) 3591.

101. R. Alkofer and L. von Smekal, Phys. Rept. 353 (2001) 281.

102. P. Marenzoni, G. Martinelli and N. Stella, Nucl. Phys. B 455 (1995) 339.

103. A. Nakamura and S. Sakai, Prog. Theor. Phys Suppl. 131 (1998) 585; F. D. Bonnet et. al, Phys. Rev. D 64 (2001) 034501; H. Nakajima and S. Furui, Nucl Phys. Proc. Suppl. 119 (2003) 730; hep-lat/0208074.

104. D. B. Leinweber et al., Phys. Rev. D 60 (1999) 094507.

105. C. Alexandrou, P. de Forcrand and E. Follana, Phys. Rev. D 65 (2002) 114508

106. J. M. Cornwall, Phys. Rev. D 26 (1982) 1453.

107. K Amemiyaand H. Suganuma, Phys. Rev. D 60 (1999) 114509.

108. D. Becirevic, P. Boucaud, J. P. Leroy, J. Micheli, O. Pene, J. Rodriguez-Quintero and C. Roiesnel, Phys. Rev. D 60 (1999) 094509, hep-ph/9903364.

109. M. N. Chernodub, E. M. Ilgenfritz and A. Schiller, Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 231601; Phys. Lett. B 555 (2003) 206, hep-lat/0212005; Phys. Rev. D 67 (2003) 034502, hep-lat/0208013.

110. A. Cucchieri and T. Mendes, Nucl. Phys. B 471 (1996) 263.

111. V. G. Bornyakov, V. K. Mitrjushkin and M. Muller-Preussker, Phys. Lett. B 284 (1992) 99.

112. V. G. Bornyakov, V. K. Mitrjushkin and M. Muller-Preussker, Nucl. Phys. B (Proc. Suppl) 26 (1992) 447.

113. S. Kitahara, Y. Matsubara and T. Suzuki, Progr. Theor. Phys. 93, 1 (1995).

114. A. Hart and M. Teper, Phys Rev. D58 (1998) 014504; Phys. Rev. D60 (1999) 114506.

115. V Bornyakov and M. Muller-Preussker, Nucl. Phys Proc. Suppl. 106, 646 (2002).

116. V.B. Bornyakov, P.Yu. Boyko, M I. Polikarpov and V.I. Zakharov, Nucl Phys. B672 (2003) 222

117. B.L.G. Bakker, M.N. Chernodub, M.I Polikarpov, Phys.Rev.Lett. 80 (1998)30; B.L.G. Bakker et a/., Phys.Let. B 449 (1999) 267; H. Suganuma et ai, Prog. Theor. Phys. Suppl. 131 (1998) 559; H. Ichie, H. Suganuma, Nucl. Phys. B574 (2000) 70.

118. V.G. Bornyakov, M.N. Chernodub, F.V. Gubarev, M.I. Polikarpov, T. Suzuki, A.I. Veselov and V.I. Zakharov, Phys. Lett. B537 (2002) 291.

119. H. Shiba and T. Suzuki, Phys. Lett. B 343 (1995) 315; H. Shiba and T. Suzuki, Phys. Lett. B 351 (1995) 519.

120. T. Suzuki, Prog. Theor. Phys. Suppl. 131 (1998) 633.

121. V. I. Zakharov, arXiv:hep-ph/0202040; M. N. Chernodub and V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B 669, 233 (2003).

122. T. L. Ivanenko, M. I. Polikarpov and A. V. Pochinsky, JETP Lett. 53 (1991) 543, Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 53 (1991) 517;

123. T. L. Ivanenko, A. V. Pochinsky and M. I. Polikarpov, Phys. Lett. B302 (1993) 458.

124. K. Langfeld, H. Reinhardt, hep-lat/0206021.

125. C. Michael and M. Teper, Nucl. Phys. B305 (1988) 453; C. Michael and S. Perantonis, J. Phys. G18 (1992) 1725; S. Booth et al (UKQCD), Nucl. Phys. B394 (1993) 509.

126. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Shvarts and Y. S. Tyupkin, Phys. Lett. B 59, 85 (1975).

127. G. 't Hooft, Phys. Rev. Lett. 37, 8 (1976); Phys. Rev. D 14, 3432 (1976) Erratum-ibid. D 18, 2199 (1978)].

128. E. Witten, Nucl Phys. B 156, 269 (1979); G. Veneziano, Nucl. Phys B 159, 213 (1979).

129. E.V. Shuryak, Nucl Phys B302 (1988) 559.128. 0. Miyamura, Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.) 42 (1995) 538, F X. Lee and R.M. Woloshyn, Phys. Rev. D53 (1996) 1532.

130. V. Bornyakov and G. Schierholz, Phys. Let. B384 (1996) 190. 599.

131. M.N. Chernodub and F.V. Gubarev, JETP Lett. 62 100 (1995).

132. A. Hart and M. Teper, Phys. Lett. B371 261 (1996).

133. G. Schierholz, Proceedings of the Intern. Conferenece RCNP Confinement 1995, p.96. hep-lat/9506033.

134. E. Witten, Phys. Lett. B86 283 (1979).

135. M. Teper, Phys. Lett. B162 357 (1985); E. M. Ilgenfritz, M. L. Laursen, G. Schierholz, M. Muller-Preussker and H. Schiller, Nucl. Phys. B 268 (1986) 693.

136. S. Sasaki and O. Miyamura, Phys. Rev. D 59 (1999) 094507

137. I. A. Fox, M. L. Laursen, G. Schierholz, J. P. Gilchrist and M. Gockeler, Phys. Lett. В 158 (1985) 332.

138. С. Callan, R. Dashen and D.Gross, Phys. Rev. D19 (1978) 1826.

139. M. N. Chernodub, F. V. Gubarev and M. I. Polikarpov, Письма в ЖЭТФ 69 (1999) 161.

140. В. Alles, М. Campostrini, A. Di Giacomo, Y. Gunduc and E. Vicari, Phys. Rev. D 48 (1993) 2284.

141. L Del Debbio, M. Faber, J. Greensite, and S. Olejnik, in "New developments in quantum field theory", Proc. NATO Advanced Research Workshop on Theoretical Physics, Zakopane, Poland, June 1997, Plenum, 1998, p. 47, arXiv:hep-lat/9708023

142. A V Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N Syritsyn, and V. I. Zakharov, Phys Rev. D 71, 054511 (2005).

143. V.G. Bornyakov, D.A. Komarov, M I Polikarpov, Phys.Lett. B497 (2001) 151.

144. F. V. Gubarev, A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov, S. N. Syritsyn, and V. I. Zakharov, Phys. Lett. В 574, 136 (2003).

145. J. Engels, J. Fingberg and D. E. Miller, Nucl. Phys. В 387 (1992) 501.

146. Т. Appelquist and R. D. Pisarski, Phys. Rev. D 23 (1981) 2305.

147. V. Bornyakov, R. Grygoryev, Nucl. Phys. В (Proc. Suppl) 30 (1993) 576.

148. J. Frohlich and P.A. Marchetti, Commun. Math. Phys. 112, 343 (1987).

149. L. Polley and U.-J. Wiese, Nucl. Phys. B352, 629 (1991); M.I. Polikarpov, L. Polley and U.-J. Wiese, Phys. Lett. В 253, 212 (1991).

150. N. Nakamura, V. Bornyakov, S. Ejiri, S. i. Kitahara, Y. Matsubara and T. Suzuki, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 53 (1997) 512

151. L. Kadanoff and H. Ceva, Phys. Rev. Bll, 3918 (1971)

152. T. Kennedy and C. King, Commun. Math. Phys. 104, 327 (1986).

153. M. N. Chernodub, S. Kato, N. Nakamura, M. I. Polikarpov and T. Suzuki, arXiv:hep-lat/9902013.

154. R.W. Haymaker, V Singh, Y.-C. Peng and J. Wosiek, Phys. Rev. D53 389 (1996).

155. G. S. Bali, C. Schlichter and K. Schilling, Prog. Theor Phys Suppl. 131 (1998) 645.

156. V. Bornyakov, H. Ichie, S. Kitahara, Y. Koma, Y. Mori, Y. Nakamura, M Polikarpov, G. Schierholz, T. Streuer, H. Stuben, T. Suzuki, Nucl.Phys Proc.Suppl. 106 634 (2002).

157. H. Ichie, V. Bornyakov, T Streuer, G. Schierholz, Nucl.Phys. A721 (2003) 899.

158. V. Bornyakov, H Ichie, Y. Koma, Y. Mori, Y. Nakamura, D. Pleiter, M. Polikarpov, G. Schierholz, T. Streuer, H. Stuben, T. Suzuki, Phys. Rev. D70 (2004) 074511.

159. F. V. Gubarev, E. M. Ilgenfritz, M. I. Polikarpov and T. Suzuki, Phys. Lett. B 468 (1999) 134.

160. Y. Koma, M. Koma, E.-M. Ilgenfritz, T. Suzuki, M.I. Polikarpov, Phys. Rev. D68 (2003) 094018,

161. Y. Koma, M. Koma, E.-M. Ilgenfritz, T. Suzuki, Phys. Rev. D68 (2003) 114504.

162. M. Faber, J. Greensite and S. Olejnik, Phys. Rev. D 57 (1998) 2603.

163. V. G. Bornyakov, A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov and D. A. Sigaev, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 119 (2003) 739.

164. V. G. Bornyakov, A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov and D. A. Sigaev, Письма в ЖЭТФ 76 (2002) 771.

165. V. G. Bornyakov, A. V. Kovalenko, M. I. Polikarpov and D. A. Sigaev, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 129 (2004) 757.

166. M. Luscher, G. Munster and P. Weisz, Nucl. Phys. В 180 (1981) 1.

167. B.L. Bakker, A.I. Veselov and M.A. Zubkov, hep-lat/007022.

168. T.G. Kovacs and E.T. Tomboulis, Phys Lett B463 (1999) 104.

169. V.G. Bornyakov, D.A. Komarov, M.I. Polikarpov and A.I. Veselov, Письма в ЖЭТФ 71 (2000) 333.

170. V.G. Bornyakov, D.A. Komarov, M I Polikarpov and A.I. Veselov, Proceedings of the International Symposium on Quantum Chromodynamics and Color Confinement (Confinement 2000), World Scientific, 2001, p 133.

171. J. Greensite, Proceedings of the International Symposium Confinement 2000, World Scientific, 2001, p. 150, hep-lat/0005001.

172. R. Bertie, M. Faber, J. Greensite, S. Olejnik, JHEP 0010 (2000) 007, hep-lat/0007043.

173. K. Langfeld, О. Tennert, M. Engelhardt and H. Reinhardt, Phys.Lett. B452 (1999) 301.

174. F. Shoji, T. Suzuki, H. Kodama and A. Nakamura, Phys. Lett. B476 (2000) 199.

175. S. Perantonis, A. Huntley and C. Michael, Nucl. Phys. B326 (1989) 544.

176. Ph. de Forcrand and M. Pepe, Nucí. Phys. B 598 (2001) 557, hep-lat/0008016.

177. S. Booth et al. QCDSF-UKQCD collaboration], Phys. Lett. B 519 229 (2001).

178. R. Sommer, Nucí. Phys. B 411 839 (1994).

179. M. I. Polikarpov and K. Yee, Phys. Lett. B316 333 (1993).

180. A. Hasenfratz, Phys. Lett B476 (2000) 188.

181. G. Bali, Proceedings of the International Conference "Quark confinement and the hadron spectrum III", (Newport News, 1998) p. 17, e-Print Archive, hep-ph/9809351.

182. M. Lüscher, P. Weisz, JHEP 0207 049 (2002).

183. G. Di Cecio, A Hart and R. W. Haymaker, Phys. Lett. B 441 (1998) 319

184. U.Glássner et al, SESAM-Collaboration: Nucl. Phys. B (Proc Suppl) 53 283 (1997),

185. C.R.Allton et ai, UKQCD Collaboration Phys. Rev. D60 034507(1999);

186. SESAM-TxL Collaboration, Phys. Rev. D63 074504 (2001).

187. S.Giisken, Nucl. Phys. B (Proc. Suppl) 63 16 (1998).

188. CP-PACS Collaboration, Nucl.Phys. (Proc. Suppl) 73 216 (1999).

189. K. Schilling, Nucl. Phys. B (Proc. Suppl) 83 140 (2000).

190. T. Suzuki and M. N. Chernodub, Phys. Lett. B 563 (2003) 183, hep-lat/0207018.

191. V. Bornyakov, G. Schierholz and T. Streuer, Nucl.Phys. (Proc.Suppl.) 106 (2002) 676.

192. J. Stack and R. Filipczyk, Nucl. Phys. B546 (1999) 350.

193. S. Kitahara et al., Nucí. Phys. B533 (1998) 576.

194. C. Michael and M. Teper, Nucl. Phys. B314 (1989) 347.

195. C. Michael, Nucl. Phys. B259 (1985) 58.

196. I. Jorysz and C. Michael, Nucl. Phys. B302 (1988) 448.

197. M. Foster and C. Michael, Phys. Rev. D59 (1999) 094509.

198. Yu. Simonov, Nucl. Phys. B592 (2001) 350.

199. M. Campostrini, A. Di Giacomo and G Mussardo, Z.Phys. C25 (1984) 173; M. Ilgenfritz and S. Thurner, hep-lat/9905012 .

200. A. Di Giacomo, E. Meggiolaro and H. Panagopoulos, Nucl. Phys. B483 (1997) 371; G. Bali, N. Brambilla, A. Vairo, Phys. Lett. B421 (1998) 265.

201. M. Baker, N. Brambilla, H.G. Dosch and A. Vairo, Phys. Rev. D58 (1998) 034010

202. G. Bali and K. Schilling, Phys. Rev. D46 (1992) 2636.

203. F. Karsch, Lect. Notes Phys. 583 (2002) 209.

204. F. Karsch, E. Laermann and A. Peikert, Nucl. Phys. B 605 579 (2001).

205. V. Bornyakov, M. Chernodub, M. Polikarpov, G. Schierholz, T. Suzuki, y<£H 47 19 (2004).

206. V.G. Bornyakov, M.N. Chernodub, H. Ichie, Y. Koma, Y. Mori, M.I. Polikarpov, G. Schierholz, H. Stüben, T. Suzuki, Prog.Theor.Phys. 112 (2004) 307

207. V. Bornyakov, H. Ichie, Y.Koma, Y. Mori, Y. Nakamura, M. Polikarpov, G. Schierholz, T. Streuer and T. Suzuki, Nucl.Phys. Proc.Suppl. 119 712 (2003).

208. F. Karsch, AIP Conf. Proc. 602 323 (2001).

209. R. G. Edwards and U. M. Heller, Phys. Lett. B 462 132 (1999).

210. C. DeTar, O. Kaczmarek, F. Karsch and E Laermann, Phys. Rev. D 59 031501 (1999).

211. F. Karsch, M. T. Mehr and H. Satz, Z. Phys. C 37, 617 (1988).

212. M. Gao, Phys. Rev. D 40 2708 (1989).

213. G. S. Bali et al. TXL Collaboration], Phys. Rev. D 62 054503 (2000).

214. H. Satz, arXiv:hep-ph/()l 11265.

215. O. Kaczmarek, F. Karsch, E. Laermann and M. Lutgemeier, Phys. Rev. D 62 034021 (2000).

216. R. D. Pisarski and O. Alvarez, Phys. Rev. D 26, 3735 (1982).

217. S. Digal, P. Petreczky and H. Satz, Phys. Lett. B 514 57 (2001).

218. C. Y. Wong, Phys. Rev. C 65, 034902 (2002).

219. M. Zach, M. Faber and P. Skala, Phys. Rev. D 57 (1998) 123.

220. S. Capstick and N. Isgur, Phys. Rev. D 34, 2809 (1986).

221. R. Sommer and J. Wosiek, Phys. Lett. B149 497 (1984).

222. H. B. Thacker, E. Eichten, and J. C. Sexton, Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.) 234 (1988).

223. G. S. Bali, Phys. Rep. 343 1 (2001).

224. C. Alexandrou, Ph. de Forcrand, and A. Tsapalis, Phys.Rev. D65 054503 (2002).

225. C.Alexandrou et al, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 119 (2003) 667, hep-lat/0209062.

226. T.T.Takahashi, H.Suganuma, Y.Nemoto, and H.Matsufuru, Phys. Rev. D65 114509 (2002); T.T. Takahashi, H. Matsufuru, Y Nemoto, H. Suganuma, Phys. Rev. Lett 86 18 (2001).

227. H. Ichie, V. Bornyakov, T. Streuer and G. Schierholz, Nucl.Phys. Proc.Suppl. 119 751 (2003).

228. H. Ichie, V. Bornyakov, T. Streuer and G. Schierholz, Nucl. Phys. A 721 899 (2003).

229. V.G. Bornyakov, H. Ichie, Y. Mori, D. Pleiter, M.I. Polikarpov, G. Schierholz, T. Streuer, H. Stüben, T. Suzuki, Phys. Rev. D70 (2004) 054506.

230. V.G. Bornyakov, M. N. Chernodub, H. Ichie, Y. Mori, M. I. Polikarpov, G. Schierholz and T. Suzuki, № 68, 647 (2005)].

231. Y. Koma , E. -M. Ilgenfritz, T. Suzuki, H. Toki, Phys. Rev. D64 (2001) 014015.

232. M. N. Chernodub and D. A. Komarov, JETP Lett. 68 (1998) 117.

233. J. Carlson, J. B. Kogut and V. R. Pandharipande, Phys. Rev. D 27, 233 (1983).

234. O. Jahn and P. de Forcrand, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 129-130, 700 (2004).

235. J. M. Cornwall, Phys. Rev. D 54, 6527 (1996).

236. D.S. Kuzmenko and Yu.A. Simonov Phys.Lett. B494 81 (2000); D.S. Kuzmenko and Yu.A. Simonov, 510 67 (2004) 561, hep-ph/0302071.

237. S. Kamizawa, Y. Matsubara, H. Shiba and T. Suzuki, Nucí. Phys. B389 563 (1993).

238. Y.Peng, R. W. Haymaker, Phys. Rev. D52 3030 (1995).

239. W. Feilmair, H. Markum, Nucí. Phys. B370 299 (1992).

240. C. Alexandrou, Ph. de Forcrand, A. Tsapalis, Phys. Rev. D66 (2002) 094503.

241. M.N. Chernodub et al., Nucl.Phys. B592 (2000) 107; Nucl.Phys B600 (2001) 163.