Низкоэнергетическое эффективное действие в N=2 и N=4 суперсимметричных полевых теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 N=2 суперсимметричные теории поля в гармоническом суперпространстве

1.1 Гармоническое суперпространство.

1.2 Безмассовые гипермультиплеты.

1.3 N=2 суперсимметричная теория Янга-Миллса.

1.4 Массивный гипермультиплет.

2 Метод фонового поля в N=2 суперсимметричной теории Янга-Миллса

2.1 Идея метода.

2.2 Квантово-фоновое разделение

2.3 Фиксация калибровки и процедура Фаддеева-Попова

2.4 Общая структура эффективного действия.

3 Низкоэнергетическое эффективное действие в N = 2 суперсимметрии

3.1 Эквивалентность гипермультиплетов Хау -Стелле -Таун-сенда и Файе-Сониуса.

3.2 Голоморфность и центральный заряд.

3.3 Теория возмущений для массивного гипермультиплета I

3.4 Теория возмущений для массивного гипермультиплета II

3.5 Вычисление низкоэнергетического эффективного дейст

3.6 Вычисление низкоэнергетического эффективного действия II.

3.7 Голоморфное эффективное действие N = 2, 811(2) суперсимметричной теории Янга-Миллса

4 Низкоэнергетическое эффективное действие в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса

4.1 Структура эффективного действия.

4.2 Устранение гармонических сингулярностей.

4.3 Переход к N = 1 суперполям.

4.4 Вычисление низкоэнергетического эффективного действия в теории с 677(п) калибровочной группой.

Идея суперсимметрии занимает одно из центральных мест в современной теоретической физике высоких энергий. Сразу же после первых работ Гольфанда и Лихтмана [1], Волкова и Акулова [2], Весса и Зумино [3] было осознанно, что суперсимметрия открывает новые возможности на пути поиска единой теории всех фундаментальных взаимодействий. Суперсимметричные теории поля обладают более мягким ультрафиолетовым поведением, нежели обычные квантовополевые модели. В частности, существуют теоремы о неперенормировке, запрещающие возникновение расходимостей определенного вида. Более того, впервые в рамках локальной теории поля была построена модель - N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса - полностью свободная от ультрафиолетовых расходимостей . Расходящиеся вклады в эффективное действие, возникающие в результате функционального интегрирования по квантовым бозонным полям, сокращаются вкладами, идущими от интегрирования по квантовым фермионным полям. Сами по себе калибровочная теория, скалярная и спинорная электродинамики не являются ультрафиолетово конечными, но если взять нужное количество скаляров и спиноров в присоединенном представлении калибровочной группы, то расходимости, возникающие при интегрировании по бозонным и фермионным полям, компенсируют друг друга. Другим крупным достижением суперсимметрии явилась созданная Фридманом, Ван Нью-венхейзеном и Феррарой [4] и Дезером и Зумино [5] теория супергравитации (см. также [6] - [8]). К сожалению, внутренняя группа эйнштейновской супергравитации меньше чем группа внутренних симметрий стандартной модели 811(3) х ви(2) х 11(1). Любое же представление алгебры суперсимметрии с N > 8 обязательно содержит частицы со спином > 2. Отметим, что суперсимметрия позволяет добиться определенного прогресса и в попытке построения взаимодействующей теории с высшими спинами [9] - [13].

Сейчас считается общепринятым, что экспериментальные проявления суперсимметрии во взаимодействиях элементарных частиц тесно связаны с проблемой нарушения суперсимметрии (см., например, [14], [15]). При этом существенной является проблема перенормировки моделей со спонтанно нарушенной суперсимметрией. Новый подход в этом направлении развит в работах [16] - [19].

В настоящее время суперсимметричные теории гравитации и Янга-Миллса понимаются как низкоэнергетические приближения более фундаментальных теорий - теории суперструн и М-теории (о теории суперструн, М-теории и их связи с суперсимметричными теориями поля и супергравитацией см., например, книги [20], [21] и обзоры [22] - [27]).

В конце 60-ых годов Коулменом и Мандулой [28] на основе довольно общих соображений была доказана теорема, что любая группа Ли, содержащая группу Пуанкаре Р и группу внутренних симметрий (2, должна быть прямым произведением Р и О. Таким образом, в рамках теории групп Ли не существует расширения группы Пуанкаре, приводящего к нетривиальной физике. Однако, такое расширение существует в рамках так называемых супергрупп и супералгебр (о суперматематике см. книги [29], [30]). Суперсимметрия предполагает расширение группы пространственно-временной симметрии преобразованиями, генерируемыми фермионными операторами Qla, Q^ (г = 1,.N), которые имеют ненулевые коммутаторы с генераторами группы Лоренца и трансляциями и, следовательно, приводят к нетривиальному расширению группы Пуанкаре. Эти поля переводят бозонные поля в фермион-ные и наоборот. Поэтому, суперсимметрия представляет собой симметрию, объединяющую бозоны и фермионы. В случае N > 1 суперсимметрия называется iV-расширенной, в случае N = 1 простой. Согласно теореме Хаага-Лопушанского-Сониуса [31], iV-расширенная суперсимметрия является единственно-возможным обобщением группы Пуанкаре совместным с принципами квантовой теории поля. В наиболее общем виде алгебра суперсимметрии имеет вид

Ра, Ръ} = 0 , [Jab, Рс} = iiVacPb ~ VbcPa) ,

Jab, Jed] = i (f]acJbd + WdJac ~ ^ ad J be ~ i VbcJad) ,

QlQaj} = 2aaaJijPa,

Jab, QH = liOabtQ'p , [Pa, Q'a] = 0 ,

Jab,Qt] = KZabf$Q0 ,[Pa,Q?}=0,

Qai Qp} — ZapZ13 , {Qui, Qfij} = ea/3^ij •

Здесь Jab, Pa - генераторы группы Пуанкаре, Zij - операторы, тривиально коммутирующие со всеми операторами супералгебры и имеющие название "центральные заряды". Они могут существовать только при N > 2 и играют болыпуь роль в теориях с расширенной суперсимметрией. Немедленными следствиями алгебры суперсимметрии являются равенство бозонных и фермионных степеней свободы в каждом ее представлении, в котором Ра - обратимый оператор, и неотрицательность энергии РоНа пути реализации алгебры суперсимметрии в виде координатных преобразований Салам и Стретди ввели понятие суперпространства [32], которое параметризуется, помимо пространственно-временных координат, еще и дополнительными антикоммутирующими переменными. Введение суперпространства дает возможность формулировать суперсимметричные теории в явно суперсимметричном виде на языке суперполей. Неприводимые представления группы суперсимметрии описывают несколько неприводимых представлений группы Пуанкаре, то есть описывают сразу несколько элементарных частиц различных спинов. Преобразования суперсимметрии, действующие на суперполя, переводят его бозонные компоненты в фермионные и наоборот. Если суперфункционал действия проинтегрировать по антикоммутирующим переменным (о алгебре и анализе с антикоммутирующими переменными см. книги [33], [34], [29], [30]), то возникнет формулировка, называемая компонентной, с неявной суперсимметрией в терминах определенных на пространстве Минковского полей, входящих в состав суперполя (о компонентных и суперполевых формулировках суперсимметричных теорий см. книги [30], [35], [36], [37], [38], а также обзоры [39], [40]).

Как известно, основным объектом квантовой теории поля является эффективное действие. В теориях с N = 1 суперсимметрией, таких как модель Весса-Зумино, N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса, структура эффективного действия изучена достаточно подробно (см. например книги [30], [35], [38]). В частности, в работах [41], [42], [43] был найден суперполевой эффективный потенциал и эффективный потенциал вспомогательных полей в модели Весса-Зумино, в работах [44], [45], [46] был найден киральный эффективный потенциал в той же теории, а в работе [47] был развит метод фонового поля для N = 1 суперсимметричной теории Янга-Миллса, который в дальнейшем был использован для исследования ренормализационных свойств и нахождения эффективного действия [48] - [52].

Однако, уже в теориях с N = 2 суперсимметрией (и вообще в теориях с расширенной суперсимметрией) возникают существенные проблемы с построением квантовой теории. В компонентных формулировках это выражается в том, что алгебра суперсимметрии является замкнутой с точностью до уравнений движения. В суперполевом подходе требования неприводимости суперполевых представлений алгебры N = 2 суперсимметрии приводят к дифференциальным условиям на суперполя, называемым связями. В итоге N — 2 суперсимметричные теории поля формулируются в стандартном N = 2 суперпространстве в терминах связанных (подчиненных связям) суперполей (о N = 2 суперсимметрии см. книгу [35] и обзор [40]). Принципиальные проблемы с решением связей в виде несвязанных суперполей приводят к проблемам с построением теории возмущений и исследованием эффективного действия. Для специального мультиплета материи (гипермультиплета Хау-Стелле-Таунсенда [53]) и калибровочного мультиплета соответствующие связи были решены в [53] - [56]. Однако, найденные в этих работах формулировки выглядят слишком громоздко для использования в непосредственных вычислениях на квантовом уровне.

Значительными достоинствами обладает подход к суперполевому описанию N = 2 суперсимметричных теорий, основанный на введении гармонического суперпространства, развитый Гальпериным, Ивановым, Калининым, Огиевецким и Сокачевым [57] - [61]. Связи для ги-пермультиплетов материи и N = 2 калибровочной теории оказывается возможным решить в гармоническом суперпространстве. Это приводит к тому, что N = 2 суперсимметричные теории поля могут быть сформулированы в гармоническом суперпространстве в терминах несвязанных суперполей. Основная идея этого подхода заключается в добавлении к стандартному N = 2 суперпространству сферы $17 (2)/1/(1) и выделении замкнутого относительно преобразований N = 2 суперсимметрии аналитического подпространства, параметризуемого меньшим числом антикоммутирующих переменных, нежели чем стандартное N = 2 суперпространство. Эта процедура, исключающая приводимые компоненты N — 2 суперполей, в некотором смысле эквивалентна выделению N = 1 кирального подпространства. Условие аналитичности, переписанное в стандартном базисе, совпадает с первоначальными связями. Подход гармонического суперпространства показал, что для описания мультиплетов материи с замкнутой N = 2 суперсимметрией необходимо включение бесконечного числа вспомогательных полей, а для описания калибровочного мультиплета необходимо включение бесконечно большого числа чисто калибровочных компонентных полей. Несмотря на то, что гармоническое суперпространство имеет более сложную структуру по сравнению со стандартным N = 2 суперпространством, этот подход оказывается удобным для исследования квантовых эффекгов в N = 2 суперсимметричных теориях [59].

Отметим, что недавно появился еще один подход к описанию N = 2 зуперсимметричных теорий, основанный на введении проективного суперпространства [62] - [64]. В действительности, существует взаимосвязь между гармоническим и проективным суперпространствами [65].

Одним из основных свойств низкоэнергетического эффективного действия в суперсимметричной теории поля является голоморфность (см., например, обзоры [66], [67]). Оно заключается в том, что в суперсимметричных теориях с комплексными суперполями, определенными на некотором подпространстве полного суперпространства, квантовые поправки к эффективному действию часто возникают в виде голоморфных функций от этих суперполей, интегрируемых по соответствующему подпространству. Примером голоморфности в N = 1 суперсимметрии является уже упоминавшийся киральный потенциал [44], [45], [46]. Гораздо более важную роль играет голоморфность в N = 2 суперсимметрии. Опираясь на утверждение, что низкоэнергетическое эффективное действие в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса является голоморфной функцией N = 2 напряженности ]¥ (его структура была предложена в [68]), Сайберг и Виттен смогли точно найти его с учетом непертурбативных вкладов в случае теории с калибровочной группой Би(2), спонтанно нарушенной до С/(1), используя идею дуальности [69] (см. также обзоры [70] - [74]). Работа [69] стимулировала резко возросший интерес к изучению эффективного действия в N = 2 суперсимметрии. Полученные Сайбергом и Виттеном результаты были обобщены на другие калибровочные группы и на теории с материей [75] - [81]. Было предпринято детальное исследование утверждения о голоморфности низкоэнергетического эффективного действия и вычисление первых неведущих вкладов, основываясь на формулировках N = 2 суперсимметричных теорий в N = 1 суперполях [82] - [85]. Другим примером голоморфности в N = 2 суперсимметрии является аналитический эффективный потенциал, интегрируемый по аналитическому подпространству гармонического суперпространства [86]. Важно отметить, что как голоморфность, так и аналитичность существуют только в теориях с центральным зарядом.

Исключительное место в квантовой теории поля занимает N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса. Это связяно с тем, что данная теория является максимально суперсимметричной, ультрафиолетово конечной, конформно инвариантной моделью [51], [87] - [90]. Кроме того, имеются сильные аргументы в пользу того, что она самодуаль-на относительно непертурбативных 5Х(2, ¿^-преобразований [91], [92]. N — 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса может быть записана в терминах N = 2 суперполей в гармоническом суперпространстве. Для этого необходимо к действию N = 2 теории Янга-Миллса прибавить действие гипермультиплета. Полученная теория обладает дополнительной N = 2 суперсимметрией и инвариантна относительно преобразований N = 4 суперсимметрии [59]. Эффективное действие в такой теории является суперфункционалом как N = 2 напряженности Ш, так и гипермультиплета. В работе [93] Дайном и Сайбергом было показано, что в N = 4, ви(2) калибровочной теории в кулоновской фазе низкоэнергетическое эффективное действие, зависящее от N = 2 векторного мультиплета, имеет вид г[W,W] = /d4xd80H(W,W) , w2 w2

H(W,W) = c In^yln^.

Здесь А-произвольный масштаб, с-произвольная константа. Существуют сильные указания в пользу того, что T-L(W, W) пертурбативно есть исключительно однопетлевой эффект [93], [94] и непертурбативные поправки отсутствуют [95], [96]. Низкоэнергетическое эффективное действие T[W, W] не зависит от масштаба А, то есть инвариантно отности-ельно замены А —> А' = h.a. Это есть проявление конформной инвариантности теории. Коэффициент был найден в работах [97] - [99] и равен

4(4тг)2'

Предлагаемая диссертация посвящена вычислению низкоэнергетического эффективного действия в N = 2,511(2) суперсимметричной теории Янга-Миллса в кулоновской фазе, в теории массивного гипер-мультиплета во внешнем абелевом калибровочном суперполе, а также в N — 4, ¿>£/(п) суперсимметричной теории Янга-Миллса с калибровочной группой, нарушенной до максимального тора, используя подход гармонического суперпространства. Под низкоэнергетическим эффективным действием понимается вклад в эффективное действие локальный по пространственно-временным переменным и содержащий наименьшее возможное число производных в компонентах. В указанных выше теориях с N = 2 суперсимметрией, как показано в работе, низкоэнергетическое эффективное действие определяется голоморфной функцией. Формализм гармонического суперпространства гарантирует наличие явной N = 2 суперсимметрии на каждом этапе вычислений. В случае теории с N = 4 суперсимметрией низкоэнергетическое эффективное действие, зависящее от N = 2 векторного мультиплета, является вещественной функцией.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. В первой главе дан подробный обзор формулировок N = 2 суперсимметричных теорий поля в гармоническом суперпространстве. Особое внимание уделено решению связей в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса. Техника, развитая при этом, оказывается исключительно важной при построении метода фонового поля и при вычислении эффективного действия в последующих главах. Приведено построение массивного гипермультиплета, где масса генерируется посредством взаимодействия с абелевым калибровочным суперполем постоянной напряженности. Показано, что эта теория имеет центральный заряд.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [112] -116].

В заключение считаю своим приятным долгом выразить благодарность научному руководителю доктору физико - математических наук, ведущему научному сотруднику Лаборатории теоретической физики Объединенного Института Ядерных Исследований Е.А. Иванову за руководство работой, многочисленные обсуждения и всестороннюю помощь в работе.

Я также признателен доктору физико - математических наук, профессору И.Л. Бухбиндеру, кандидату физико - математических наук, цоценту С.М. Кузенко и профессору Б.А. Овруту за стимулирующие обсуждения и сотрудничество

Заключение

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты.

1. Развит метод фонового поля в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве. Показано, что зднопетлевое эффективное действие определяется функциональным интегралом по квантовому калибровочному суперполю, фермионным ду-сам Фаддеева-Попова и бозонному духу Нильсена-Каллош. Исследова-1а общая структура однопетлевого эффективного действия и обнаружено, что голоморфные квантовые поправки обусловлены исключительно функциональным интегрированием по духам, причем однопетлевое эффективное действие духов совпадает с точностью до коэффициента с эффективным действием гипермультиплета Хау-Стелле-Таунсенда.

2. Построен массивный гипермультиплет, в котором масса генер-груется через взаимодействие с абелевым калибровочным суперполем постоянной напряженности. Такая связь нарушает [/(1)д-автоморфизм N = 2 супералгебры и ведет к появлению центрального заряда.

3. Развиты две эквивалентные теории возмущения для вычисления эффективного действия в теории массивного гипермультиплета, взаимодействующего с абелевым калибровочным суперполем, в гармоническом суперпространстве. В первом случае используется массивный пропагатор, во втором безмассовый, а генерирующий массу член, содержащий калибровочное суперполе постоянной напряженности, рассматривается как часть вершины.

4. В рамках каждой теории возмущений вычислено низкоэнергети-геское эффективное действие массивного абелевого гипермультиплета. 1оказано, что оно является голоморфным.

5. Приведен явно N == 2 суперполевой метод вычисления голомофного эффективного действия Сайберга в N = 2,5С/(2) калибровочной теории з кулоновской фазе.

6. Найдено низкоэнергетическое эффективное действие, зависящее от V = 2 векторного мультиплета, в N = 4 суперсимметричной теории 5нга-Миллса с калибровочной группой 5?7(п), спонтанно нарушенной Ю максимального тора [II(1)]п1. В отличие от рассмотренных теорий с N = 2 суперсимметрией оно является неголоморфным и строится в терминах корней группы Би(п). Полученный результат может быть обоб-ден на случай произвольной полупростой группы Ли, спонтанно нару-пенной до соответствующей максимальной коммутативной подгруппы.

1. Ю.А. Гольфанд, Е.П. Лихтман. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности / / Письма в ЖЭТФ. 1971. - Том 13, вып. 8. - с. 452-455

2. Д.В. Волков, В.П. Акулов. О возможном фундаментальном взаимодействии нейтрино // Письма в ЖЭТФ. 1972. Том 16, вып. 11. -с. 621-624

3. J.Wess, B.Zumino. Supergauge transformations in four dimensions // Nucl. Phys. B. -1974. Vol. 49, N 1. - p. 52-65

4. D.Z. Freedman, P. van Nieuwenhuizen, S. Ferrara. Progress towards the theory of supergravity // Phys. Rev. D. Vol. 13, N 3. - p. 3214-3218

5. S. Deser, B. Zumino. Consistent supergravity // Phys. Lett. B. 1976. - Vol. 62, N 3. - p. 335-337

6. P. van Nieuwenhuizen. Supergravity // Phys. Rep. B. 1981. - Vol. 68, N 4. - p. 189-398

7. Геометрические идеи физики: Сб. статей / Под редакцией Ю.И. Манина М.: Мир, 1983. - 240 с.

8. Введение в супергравитацию : Сб. статей / Под редакцией С. Феррары, Дж. Тэйлора. М.: Мир, 1985. - 304 с.

9. E.S. Fradkin, М.А. Vasiliev. On the gravitational interaction of massless higher spin fields // Phys. Lett. B. - 1987. - Vol. 189, N 1,2. - p. 89-95

10. E.S. Fradkin, M.A. Vasiliev. Cubic interaction in extended theories of massless higher spin fields // Nucl. Phys. B. - 1987. - Vol. 291, N 1. - p. 141-171

11. E.S. Fradkin, M.A. Vasiliev. Candidate for the role of higher spin symmetry // Ann. Phys. - 1987. - Vol. 177, N 1. - p. 63-112

12. M.A. Vasiliev. Equation of motion of interacting fields of all spins as a free differential algebra // Phys. Lett. B. 1988. - Vol. 209, N 4. - p. 491-497

13. M.A. Vasiliev. Consistent equations for interacting massless fields of all spins in the first order in curvatures // Ann. Phys. 1989. - Vol. 190, N I. - p. 59-106

14. R.N. Mohapatra. Unification and supersymmetry. Springer Verlag, 1996. - 405 p.

15. S.P. Martin. A supersymmetry primer. Preprint hep-th/9709356 -101 p.

16. D.I. Kazakov, M.Yu. Kalmykov, I.N. Kondrashuk, A.V. Gladyshev. Softly broken finite supersymmetric grand unified theory // Nucl. Phys. B. 1996. - Vol. 471, N 3. - p. 389-408

17. L.V. Avdeev, D.I. Kazakov, I.N. Kondrashuk. Renormalization of softly broken SUSY gauge theories. Nucl. Phys. B. 1998. - Vol. 510, N 2, 3. - p. 289-312

18. D.I. Kazakov. Finite N = 1 SUSY gauge theories // Phys. Lett. B. -1998. Vol. 421, N 2. - p. 211-216

19. D.I. Kazakov. Exploring softly broken SUSY theories via Grassmania Taylor expansion // Phys. Lett. B. 1999. - Vol. 149, N 2. - p. 201-206

20. M. Грин, Дж. Шварц, E. Виттен. Теория суперструн (в двух томах). М.: Мир, 1991

21. М. Kaku. Introduction to superstrings. Springer Verlag, 1990. -568 p.

22. A. Bilal. M(atrix) theory: a pedagogical introduction. Preprint hep-th/9710136 31 p.

23. J. Polchinski. TASI lectures on D-branes. Preprint hep-th/9611050 -63 p.

24. E. Kiritsis. Introduction to superstring theory. Preprint hep-th/9709062 245 p.

25. W. Taylor. Lectures on D-branes, gauge theories and M(atrices). Preprint hep-th/9801182 74 p.

26. A. Giveon, D. Kutasov. Brane dynamics and gauge theory. Preprint hep-th/9802067 286 p.

27. J.L. Petersen. Introduction to the Maldacena conjecture on AdS/CFT. Preprint hep-th/9902131 69 p.

28. S. Coleman, J. Mandula. All posible symmetries of the S-matrix // Phys. Rev. D. 1967. - Vol. 59, N 5. - p. 1251-1256

29. B. De Witt. Supermanifolds. Cambridge University Press, 1984 407 p.

30. I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko. Ideas and methods of supersymmetry and supergravity. IOP Publishing, 1995. 640 p.

31. R. Haag, J.T. Lopuszanski, M. Sohnius. All possible generators of supersymmetries of the S-matrix // Nucl. Phys. B. 1975. Vol. 88, N 2. - p. 257-274

32. A. Salam, J. Strathdee. Supersymmetry and superfields // Fortshr. der Phys. 1978. - Vol. 26, N 2. - p. 57-142

33. Ф.А. Березин. Введение в алгебру и анализ с антикоммутируклци-ми переменными. М.: МГУ, 1989. 208 с.

34. Ф.А. Березин. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1986. -318 с.

35. П. Уэст. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. М.: Мир, 1989. - 332 с.

36. Ю. Весс, Дж. Бэггер. Суперсимметрия и супергравитация. М.: Мир, 1986. - 184 с.

37. Р. Freund. Introduction to Supersymmetry. Cambridge University Press, 1986. - 152 p.

38. S.J. Gates, M.T. Grisaru, M. Rocek, W. Siegel. Superspace. Benjamin/Cummings, 1983. 548 p.

39. В.И. Огиевецкий, JI. Мезинческу. Симметрии между бозонами и фермионами // УФН 1975 - Vol. 117, вып. 4. - с. 637-683

40. M. Sohnius. Introducing supersymmetry // Phys. Rep. B. 1985. - Vol. 128, N 1. - p. 39-204

41. I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko, J. Yarevskaya. Supersymmetric effective potential: superfield approach // Nucl. Phys. B. -1994. Vol. 411, N 4. - p. 665-692

42. И.Л. Бухбиндер, С.M. Кузенко, Ж. В. Яревская. Суперсимметричный эффективный потенциал: суперполевой подход // ЯФ. 1993. -т. 56, вып. 5. - с. 202-216

43. A. Pickering, P. West. The one-loop effective super-potential and non-holomorphicity // Phys. Lett. B. -1996 Vol. 383, N 1. - p. 54-62

44. P. West. Quantum corrections to the supersymmetric effective potential and resulting modification of patterns of symmetry breaking // Phys. Lett. B. -1991. Vol. 261, N 4. - p. 396-401

45. I. Jack, D.R.T. Jones, P. West. Not the renormalization theorem? // Phys. Lett B. -1991. Vol. 258, N 3,4. - p. 383-386

46. I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko, A. Yu. Petrov. Superfield chiral effective potential // Phys. Lett. B. -1994. Vol. 321, N 4. - p. 372-377

47. M.T. Grisaru, M. Rocek, W. Siegel. Improved methods for supergraphs // Nucl. Phys. B. 1979. - Vol. 159, N 3. - p. 429-451

48. M.T. Grisaru, B. Milewski, D. Zanon. The structure of UV divergences in SS YM theories // Phys. lett. B. 1985. - Vol. 155, N 3. - p. 357-367.

49. M.T. Grisaru, F. Riva, D. Zanon. The one-loop effective potential in superspace // Nucl. Phys. B. -1982. Vol. 214, N 3,4. - p. 465-486

50. M.T. Grisaru, W. Siegel. Supergraphity I. Background field formalism // Nucl. Phys. B. 1981. - Vol. 187, N 1. - p. 149-183

51. M.T. Grisaru, W. Siegel. Supergraphity II. Manifestly covariant rules and higher order finiteness // Nucl. Phys. B. 1982. - Vol. 201, N 2. -p. 293-314

52. M.T. Grisaru, D. Zanon. Covariant supergraphs I. Yang-Mills theory // Nucl. Phys. B. 1985. - Vol. 252, N 4. - p. 587-620

53. P.S. Howe, K.S. Stelle, P.K. Townsend. The relaxed hypermultiplet // Nucl. Phys. B. -1983. Vol. 214, N 4 . - p. 519- 531

54. JI. Мезинческу. О суперполевой формулиролвке 0(2) суперсимметрии // Препринт ОИЯИ Р2-12572. 1979. - 19 с.

55. W. Siegel, S.J. Gates. Superprojectors // Nucl. Phys. B. 1981. - Vol. 189, N 3. - p. 295-316

56. P.S. Howe, K.S. Stelle, P.K. Townsend. Miraculous ultraviolet cancelation in supersymmetry made manifest // Nucl. Phys. B. 1984. - Vol. 236, N 1. - p. 125-166

57. A. Galperin, E. Ivanov, S. Kalitzin, V. Ogievetsky, E. Sokatchev. Unconstrained N = 2 matter, Yang-Mills and supergravity theories in harmonic superspace // Class. Quant. Grav. 1984. - Vol. 1., N 2. -p. 469-498

58. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev. Harmonic superspace: Green functions // Class. Quant. Grav. 1985. Vol. 2, N 3. - p. 601-616

59. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev. Harmonic superspace: Feynman rules and examples // Class. Quant. Grav. -1985. Vol. 2, N 3. - p. 617-630

60. E. Sokatchev. Harmonic superspace and its application in extended supersymmetry. Supersymmetry and applications: superstrings, anomaly and supergravity. Cambridge University Press, 1986. p. 283309

61. E. Ivanov. Harmonic superspace: some new trends // Chinese Journal of Physics. -1996. Vol. 34. - p. 862-873

62. F. Gonzalez-Rey, M. Rocek, S. Wiles, U. Lindstrem, R. von Unge. Feynman rules in N = 2 projective superspace I: massless hypermultiplets // Nucl. Phys. B. 1998. - Vol. 516, N 4. - p. 426448

63. F. Gonzalez-Rey, R. von Unge. Feynman rules in N = 2 projective superspace II: massive hypermultiplets // Nucl. Phys. B. 1998. - Vol. 516, N 4. - p. 449-466

64. F. Gonzalez-Rey Feynman rules in N = 2 projective superspace III: Yang-Mills multiplet. Preprint hep-th/9712128 19 p.

65. S.M. Kuzenko. Projective superspace as double punctured harmonic superspace // Int. J. Mod. Phys. A. - 1999. - Vol 14, N 11. - p. 17371757

66. N. Seiberg. The power of holomorphy: exact results in 4D SUSY field theories. Preprint hep-th/9408013 19 p.

67. M. Shifman. Nonperturbative dynamics in supersymmetric gauge theories. Preprint hep-th/9704114 121 p.

68. N. Seiberg. Supersymmetry and non-perturbative beta functions // Phys. Lett. B. -1988. Vol. 206, N1. - p. 75-80

69. N. Seiberg, E. Witten. Electric magnetic duality, monopole condensation and confinement in JV = 2 supersymmetric Yang-Mills theories / / Nucl. Phys. B. - 1994. - Vol. 426, N 1. - p. 19-52

70. A. Bilal. Duality in N = 2 SUSU 677(2) Yang-Mills theory. Preprint hep-th/9601007 30 p.

71. L. Alvarez-Gaume, S.F. Hassan. Introduction to S-duality in N = 2 supersymmetric gauge theories. Preprint hep-th/ 9701069 81 p.

72. C. Gomez, R. Hernandez. Electric magnetic duality and effective field theories. Preprint hep-th/9510023 - 44 p.

73. P. Di Vecchia. Duality in N = 2,4 supersymmetric gauge theories. Preprint hep-th/9803026 83 p.

74. W. Lerche. Introduction to Seiberg Witten theory and its stringy origin. Preprint hep-th/9611190 - 37 p.

75. A. Klemm, W. Lerche, S. Theisen, S. Yankelowicz. Simple singularities and N = 2 supersymmetric Yang-Mills theory // Phys. Lett. B.1995. Vol. 344, N 2. - p. 169-175

76. A. Klemm, W. Lerche, S. Theisen. Non-perturbative effective action of TV = 2 supersymmetric gauge theories // Int. J. Mod. Phys. A.1996. Vol. 11, N 10. - p. 1929-1974

77. P. Argyres, A. Faraggi. The vacuum structure and spectrum of N = 2 supersymmetric SU(N) gauge theory // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74, N 4. - p. 3931-3934

78. M.R. Douglas, S.H. Shenker. Dynamics of SU(N) supersymmetric gauge theory // Nucl. Phys. B. 1995. - Vol. 447, N 2. - p. 271-296

79. U.H. Danielsson, B. Sundborg. The moduli space and monodromies of N = 2 supersymmetric SO(2r + 1) Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 1995. - Vol. 358, N 2. - p. 273-280

80. A. Brandhuber, K. Landsteiner. On the monodromies of N = 2 supersymmetric Yang-Mills theory with gauge group SO (2n) // Phys.Lett. B. 1995. - Vol. 358, N2 . - p. 73-80

81. N. Seiberg, E. Witten. Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N = 2 supersymmetric QCD // Nucl. Phys. B. -1994. Vol. 431, N 4. - p. 484-550

82. B. de Wit, M.T. Grisaru, M. Rocek. Nonholomorphic corrections to the one-loop N = 2 super Yang-Mills action // Phys. Lett. B. 1996. -Vol. 374, N 3. - p. 297-303

83. M.T. Grisaru, M. Rocek, R. von Unge. Effective Kahler potentials // Phys. Lett. B. 1996. - Vol. 383, N 4. - p. 415-421

84. U. Lindstrem, F. Gonzalez-Rey, M. Rocek, R. von Unge. On N — 2 low-energy effective actions // Phys. Lett. B. 1996. - Vol. 374, N 2,3. -p. 297-303

85. T.E. Clark, S.T. Love. On the holomorphic structure of a low energy supersymmetric Wilson effective action // Phys. Lett. B. 1996. - Vol. 388, N 4 - p. 577-580

86. E. Ivanov, S. Ketov, B. Zupnik. Induced hypermultiplet self-interactions in N = 2 gauge theories // Nucl. Phys. B. 1997. - Vol. 509, N 1. - p. 53-82

87. P.S. Howe, K.S. Stelle, P.S. West. A class of finite four-dimentional supersymmetric field theories // Phys. Lett. B. 1983. - Vol. 144, N 1. -p. 55-58

88. L. Brink, O. Lindgren, B. Nilsson. The ultraviolet finiteness of the N = 4 Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 1983. - Vol. 123, N 4. - p. 323-328

89. S. Mandelstam. Light-cone superspace and ultraviolet finiteness of the N = 4 Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 1983. - Vol. 213, N 1. - p. 149-168

90. M. Sohnius, P. West. Conformai invariance in N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 1981. - vol. 100, N 2. - p. 245-256

91. C. Montonen, D. Olive. Magnetic monopoles as gauge particles // Phys. Lett. B. 1977. - Vol. 72, N 1. - p. 117-127

92. H. Osborn. Topological charges for N = 4 supersymmetric field theories and monopoles of spin 1 // Phys. Lett. B. 1979. - Vol. 83, N 3. - p. 321-330

93. M. Dine, N. Seiberg. Comments on higher derivative operators in some SUSY field theories // Phys. Lett. B. 1997. - Vol. 409, N 3. - 239-244

94. I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko, B.A. Ovrut. On the N = 2 non-renormalization theorem // Phys. Lett. B. -1998. Vol. 433, N 3,4. -p. 335-345

95. N. Dorey, V.V. Khoze, M.P. Mattis, J. Slater, W.A. Weir. Instantons, higher derivative terms, and nonrenormalization theorem in supersymmetric gauge theories // Phys. Lett. B. - 1997. - Vol. 408, N 2. - p. 213-221

96. D. Bellisai, F. Fucito, M. Matone, G. Travaglini. Non-holomorhic terms in N = 2 SUSY Wilsonian action and RG equation // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 56, N 10. - p. 5218-5232

97. F. Gonzalez-Rey, M. Rocek. Nonholomorphic N = 2 terms in N = 4 SYM: one-loop calculations in N = 2 superspace // Phys. Lett. B. -1998. Vol. 434, N 3. - p. 303-311

98. V. Periwal, R. von Unge. Accelerating D-branes // Phys. Lett. B. -1998. Vol. 430, N 1. - p. 71-76

99. I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko. Comments on the background field method in harmonic superspace: nonholomorphic corrections in N = 4 SYM // Mod. Phys. Lett. A. 1998. - Vol. 13, N 20. - p. 1623-1635

100. M. Sohnius. Supersymmetry and central charges // Nucl. Phys. B. -1978. Vol. 138, N 1. - p. 109-121

101. R. Grimm, M. Sohnius, J. Wess. Extended supersymmetry and gauge theories // Nucl. Phys. B. 1978. - Vol. 133, N 2. - p. 275-295

102. B. Zupnik. The action of the supersymmetric N = 2 gauge theory in harmonic superspace // Phys. Lett. B. 1987. - Vol. 183, N 2. - p. 175-176

103. I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko. On the off-shell massive hypermulti-plets // Class. Quant. Grav. Vol. 14, N 2. - p. L157-L162

104. B.C. Де Витт. Динамическая теория групп и полей. М.: Наука, 1987. 288 с.

105. И.Я. Арефьева, А.А. Славнов, Л.Д. Фаддеев. Производящий функционал для S-матрицы в калибровочно инвариантных теориях / / ТМФ. - 1974. -т. 21, N 3. - с. 311-321

106. К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер. Квантовая теория поля (в 2-ух томах). М.: Мир, 1984

107. А.А. Славнов, Л.Д. Фадеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978. 240 с.

108. I.L. Buchbinder, S.D. Odintsov, I.L. Shapiro. Effective action in quantum gravity. IOP Publishing, 1992. - 415 p.

109. E. Witten, D. Olive. Supersymmetry algebras that include topological charges // Phys. lett. B. 1978. - Vol. 78, N 1. - p. 97-106

110. A. Galperin, N.A. Ky, E. Sokatchev. Coinciding harmonic singularities in harmonic supergraphs // Mod. Phys. Lett. A. 1987. - Vol. 2, N 1. -p. 33-36

111. А. Барут, P. Рончка. Теория представлений групп и ее приложения (в двух томах). М.: Мир, 1980

112. I.L. Buchbinder, E.I. Buchbinder, Е.А. Ivanov, S.M. Kuzenko, B.A. Ovrut. Effective action of the N = 2 Maxwell multiplet in harmonic superspace // Phys. Lett. B. 1997. - Vol. 412, N 3, 4. - p. 309-319

113. I.L. Buchbinder, E.I. Buchbinder, S.M. Kuzenko, B.A. Ovrut. The background field method for N = 2 super Yang-Mills theories in harmonic superspace // Phys. Lett. B. 1998.- Vol. 417, N 1, 2. - p. 61-71

114. E.I. Buchbinder, I.L. Buchbinder, Е.А. Ivanov, S.M. Kuzenko. Central charge as the origin of holomorphic effective action in N = 2 gauge theory // Mod. Phys. Lett. A. 1998.- Vol. 13, N 13. - p. 1071-1082

115. E.I. Buchbinder, I.L. Buchbinder, S.M. Kuzenko. Non-holomorphic effective potential in N = 4,SU(n) SYM // Phys. Lett. B. 1999.-Vol. 446, N 3, 4. - p. 216-223