Нормальные, корректные сужения для некоторых дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК ШАХСКОЙ ССР ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукошс*

Бройгдан Рямма Пиневна

НОРМАЛЬНЫЕ, КОРРЕКТНЫЕ СУЖЕНИЯ ДЛН НЕКОТОРЫХ Д1ШЕРШ5Ш1ЫЖ ОПЕРАТОРОВ

01.01.02. -дилерендаальвив уравнения

Автореферат джссертацжс на соискалле ученой степени кандидата' фгзяво- ттвгахжчясяжх яауа

Алма-Ата 199£

Работа выполнена в Институте математики и механики АН КазССР

Научные руководители: член-корреспондент АН Каз CGP,

доктор физико-математических наук» профессор М.О.Отелбаев, доктор физико-математических наук, профессор Ш.С.Сыагулрв

Официальные оппоненты: доктор физико-математических Паук,

профессор ВвВ.Жиков, кандидат физико-математических наук, доцент В.Е,Напружин

Ведущая организация - Московский Государственный Университет

им. М.В,Ломоносова.

Зашита состоится fz 1991 г. а ч.

на заседании специализированного совета К 008.II.01, Институ математики и механики АН КазССР по адресу: Алма-Ата, ул. Пушкина, 125.

диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной Пиблиотеке АН КазССР ■

Автореферат разослан /Г 9 199I г.

Учёный секретарь специализированного

совета ен.с. /а/' Н.И.Рахимбердиев

(М^-у

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ •

Актуальность темы. Основными источниками, приводящими к вопросам теории расширений и сучений абстрактных операторов, . являются граничные задачи для дифференциальных операторов,

И.Нейманом была разработана теория расширения симметрических операторов» получившая дальнейшее развитие в исследованиях М.Ш.Бирмана, Щ.Г.Красносельского, М.А.Наймарка и других. Поз*а М.Й.Вишик сумел распространить теорию И.Неймана на несимметрические операторы, им была дана конструкция описания всех "регулярных" расширений минимального оператора, являющегося в то «а время сужением максимального.

Некоторое время спустя обнаружилось, что существуют задачи для дифференциальных операторов (пример Бицадзе-Самарского), .которых не мояет обслужить конструкция М.И.Вишика.

Ряду таких задач А.А.Дезин посвятил свои некоторые работы, в которых рассмотрел правильные сужения, разрешимые расширения обыкновенных дифферещиальных операторов, "модельных" операторов, д"фференцйальных операторов Других видов.

Затем М.О.Отелбаев обнврунил, что выгоднее рассмотреть отдельно задачи расширений и сучений, при таком подходе мсчшо отказаться от гилъбертовости (или точнее рефлексивности) пространства. Результаты такого характера изложены в работах Ш.О.

Отелбэева, А.Н.Шкныбеноза^ и М.О.Огелбаава, Т.Ш.Кальменова?-*'. т \

' Отелбаез М.О., Шиныбеков А.Н. О корректных задачах типа Бицадзе-Самврсного // ДАН CCCP.-I982. - Т.265. - 4. -С.818-819.

® Отелбаев М.О., Кальменов Т.П. О рзгудяр!Ш: «рае«« задач«? для уравнения Лзвр<зя?ьеяа-«к;:9яз9//дй5,ур.-I99Í.£?.-w.

Эти работы в г.Алма-Ате вызвали ряд исследований А.Н.Шиныбе-кова, Ц.О.Отелбаева, Б.К.Кокебаева, Т.Ш.Кальменова, Х.Т.Озерова, Б.Н.Биярова, Р.О.Ойнарова, И.Н.Иарасиди и других.

Нормальные сужения для операции дифференцирования первого порядка и необходимые условия нормальности обыкновенных дифференциальных операторов найдены Б.К.Кокебаевым и Х.Т.Ота-ровыы.

М.О.Отелбаевым получен результат, доказывающий, что все нормальные расширения симметрических операторов являются самосопряженными, Однако, хотя результаты М.О.Отелбаева, Б.К. Кокебаева, А.Н.Шиныбекова позволяют описывать все корректные сужения максимального оператора да«е в нелинейном случае, выделение из них нормальных сужений является достаточно трудной задачей.

Цель работы. Настоящая работа посвящена описанию, для некоторых дифференциальных операторов, которые будут приведены в подходящих местах, нормальных, корректных сукений. А также изучению их спектральных свойств.

Научна^ новизца. Описаны нормальные,корректные сужения для некоторых обыкновенных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами; доказано, что для оператора Коши-Римана не существует ни одного нормального, корректного су«е-ния на круге (в ¿¡¡(в) , & = {х,у/хг-*уг~£1] ); описаны

нормальные, корректные сужения дал оператора Коши-Рямана на квадрате (в ¿2 (6-;) , ), изучен их

спектр; описаны нормальные, корректные сужения для некоторых обыкновенных дифференциальных операторов с операторными коэффициентами, изучен их спектр.

Т.зокет.ичзскац и практическая ценность £еэультатов.

- б -

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены в теории краевых задач для дифференциальных операторов, я такяе в спектральной теории дифференциальных операторов.

Апробация работы. Результаты, полученные в работе доложены на семинарах под руководством член-корр. АН КазССР, профессора М.О.Отелбаева, член-корр. АН КазССР, профессора Т.Ш. Кальменова и профессора Ш.С.Смагулова (КазГУ), член-корр. АН КазССР, профессора Кима Е.И. (КазГУ), член-корр. АН КазССР, профессора Блиева H.H. (ИММ АН КазССР), профессора Умбет*а-нова Д.У. (ИММ АН КазССР), член-корр. АН КазССР профессора М.О. Отелбаеаа и профессора Ш.С.Смагулова (КазГУ), профессора Я.М.Гольцер (КаэПИ), на конференциях молодах ученых и специалистов КазГУ в 1937~1990гг.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работа, перечень которых приводится а конце автореферата.

Структура и объем роботы. Диссертация состоит из введения, трех глав, зяклотения и списка литературы, содержащего 40 наименований. 1

КРАЖЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении, после обзора литературы, дены основные результаты работы. Некоторые известнмс вспомогательные утверждения, теоремы, определения приведена в § I.I.

В работе -используется терминология, введенная М.О.Отзлбп-I)

евым ',

^ Отспорен М.О,, Ишшбеков Ä.H. 0 корректных задачах типа Бицлдзч-Срмпрского //ДАН СССР.-1932. -Т. £65. ~ М.

А - ¡аддитивный оператор из банахова пространства Н в себя.

- область определения и область значения

оператора Я .

Определение (И.О.Отелбаев). Будем говорить, что оператор А (не обязательно аддитивный) является корректным сушение« оператора А , если выполнены следующие условия I мм" , Т.е. Ах -/¡V хе9(А)}

2) существует ограниченный обратный А ' ФСА'^Н • Пусть пространство Н - гильбертово. Определение. Оператор А в И называется нормальным, корректный сужением 'А , если А - корректное сужение 'А , А - нормальный.

Определение. Оператор /? в И называется нормальным сужением Я » если

1) Ас Л (Ъ(4)С10(Л), = для хе9(А)),

2) А - нормальный оператор.

В § 1.2. рассматривается в пространстве опе-

ратор

ив , '

где С с _ константы с областью определения

Введем К - наибольший индекс I , для которого

В § 1.2. рассмотрены все нормальные, корректные сужения А , если . Результат этого параграфа дан в теореме 1.2.1.

Теорема 1.2.1. Константы п я к взаимно просты. Чтобы сучение А оператора $ было нормальным, корректным, необходимо и достаточно выполнения условия;

I)

где Д - число, /Д/ =/ , - множество функций

из класса №¿[0/0 , удовлетворяющих краевых условиям

Условие I выражает в основном условие нормальности, условие 2 выражает в основном условие корректности.

Следствие теоремы 1,2,1. Для нормального сувения^опе-ратора А вектора (■ , где - целое* £ -Л ,

составляют базис пространств , воетояций йэ

собственных векторовИ .

В 5 2.1. рассматривается в пространстве//^ оператор

с областьи опрвделания

где & -~[х,фгч

В этом параграфа доказано, Что. для А

* ш не.

существует ни одного Нормального» корректного сужения« для

- ару?).

Теорекя 2.1.1. В пространстве ¿£ {$•) для оператора

■О А и

не существует ни одного нормального, корректного сушения,

Результат параграфа интересен тем, что для 0-4 (6-,-квадрат), существует бесконечное число нормальных сужений.

в § 2.2. рассматривается в пространстве ¿г($() дифференциальный оператор

где = -У ¿У, У*

В § 2.2. рассмотрены все нормальные сужения А ,

доказаны 3 леммы, теорема.

, -г>

Лемма 2.2.1. А - нормальное суиение А . Если

, то А~ вполне непрерывен,

2) (К _ подпространство констант), то А '

есть вполне непрерывный в ¡.{1 , X - сужение А . на К1 ;

КехЩй} или Нех(АН . Лемма 2.2.2. Если 4 - корректное сужение А , то в существует ортогональный базис ¿1 , ,

состоящий из собствен;«* векторов А

.Лемма 2,2.2, является следствием леммы 2.2.1. Лемма 2.2.3. А - нормальной сужение А , тогда, все «оазтиенние всптора^записываются в виде

е £ или

, ГДЭ А- , /7 -

целые, «Г , , - действительные постоянные.

Лемма 2.2.3, теорема 2.2.1. являются основными в § 2.2. В них описываются все нормальные сужения А

Теорема 2.2.1. А - нормальное сужение >Г , тогда и только тогда, когда найдутся действительные ¿Ь » такие что /¡¿А ,

<2> (А) ф «I¥&)//« (х, -Я) а

. / " ч) ■ ч>(у)о1>1* е /ц(7Гг у).

для всех * •»};

или

~л

Г

/ и (хгт;)-

я

-п

для всех ^в^'Л/п^Ч/Г-}.

Если

1К + *1 4 /П Ык/ФО

ИЛИ

/« Ы] * к *<Ап{

для всех целых '» , к , то сужение будет не только нормальным, но и корректным.

В главе 3 рассматриваются операторы с операторными коэффициентами.

В 5 3.1. даны вопоыогательше утверждения и определения, касающиеся операторов с операторными коэффициентами. В § 3.2. в 1е([С;1]/И) 1 рассмотрен оператор

Ку

где ; ■ &Ц.

И - сепарабельное гильбертово пространство,

® $ феЛг то, Н/л ч (ЩЮ).

Вектор-функция (¡е С'Щ€,Ш Введем следующие обозначения

и - максимальный изометрический оператор в НхН . 5ц- множество вектор-функций у таких, что

У, &У,

выполнено хотя бы одно из равенств:

ш

множейтво вектор-фушщий у таких, что Таореиа 3.2.1.

•л

I. Суиение А оператора А нормально, корректно. Тогда лцествует максимальный изометрический оператор И в прост->нстве такой, что

О (А) =$и,

я~(ТГ&) -¿г {к>:и!н)>

(6 А у = у", ¿¿¡^

'2. - максимальный изометрический оператор в /А// ¡кой, что

1Гда сучение А оператора $ на 5ч (%>(А)~ $и) )рмально, корректно.

Если вполне непрерывен в И , то верны леммы.

Лемма 3.2.1. <4 - нормальное сужение / , тогда в Л&Ю,^) существует базис, состояний из собственных векто-в А '

Лемма 3.2.2. А - нормальнее сужение % > тогда Д 1 слие непрерывная.

Эти ле'.'мы справедливы длл

К У - Ч <■'

Díh^íУ чг wa,H)¡К у

Пример. иЧг[0Ц] - рассмотрим в Xt (WJ, М/ оператор

Á afrshxtt (i,*) +¿ а у ь,*)

VtfhfW; (Щи)/А уе^ me (i,У) Ü

^ (&} =■ {? км 4 /?,У7/ г С/и щ а, •

2(0) r---Z(^)}. Введем для у е х[ОИ] функции

-V, , f ' s /

%(i) = fW,>')-C Ж,

с

А -А

Лемма 3,2.1. Л - нормпдыюв сучение А тогда и только тогда, рогдп

Я (А)(у с \уг *>>[?;/]///

[ля всех целых к верна одна из следущих систем равенств

fiïO) -¿к- ~CK<Z (О)

С,

Лк » & - действительные,

1ЛИ

(О Ш

¿К » fn ~ Действительные,

или

¿К Чк(с)*0

СкУЛ *hy'[o)=o

где „5/г • " /д- ■ СС) ¡¿к / i и к! -г о\

¡ÏKii

и для всех верно раценство

/ /

j Ч [i, о) • )olt**- /у /¿J 0 ■ V (*) di

о й

для всех t/fà) 0}ч

В § 3.3. рассмотрены в нормальные ¿¿«u.i'.n-

для

I У --if'*â у, где (} , & -> £, â'-â,

И - сепарабельное гильбертово пространство,

2 {А) фчг (Щ Ч/а у ей р.'^И)). Введем и - максимальный изометрический в Я оператор. 5ц - мноиество вектор-пункций у таких, что

У/У^ ВуеСг^'О/М) и выполнено равенство

у (о)- и -уИ).

- множество вектор-функций у таких, что

V, У', вус5ч.

Теорема 3.3.1.

I. Сушение А оператора X нормально, корректно. Тогда существует максимальный изометрический оператор Ы в пространства И такой, что

ЯШ-Ьи,

где А У

% (Ю={У (&;/Х У)/А уе1г [о;<1 И)}

2. и - максимальный изометрический опэратор в такой, что

к тм ^твА

тогда сучсние оператора /Г ча $ц(р(А)=- $ц) нормально, корректно.

• Публикации по теме диссертации:

1. Бройтшн Р.П. Нормальные сужения для обыкновенных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в Ье[о;0 . - Алма-Ата, 198?. - 16 с. - Деп. в КазНШНТИ 01.12.87., № 10 (192). •

2. Бройтман Р.П, Нормальные и корректные сужения оперотоуон У'+сву и •// Конференция молодых; учёных, по -свшённая 55-летию Казахского Государственного Университета, часть I Естественный науки: Тез. докл. - Алма-Ата,1939. - С. 4.

3. Бройтман Р.П. Нормальные сужения для операторов вица

} 01 •// Конференция молодых учёных и специалистов Казахского Государственного Университета, часть I Естественные науки: Тез. докл. - Апма-Ата. - 1990, С. 7 .