О корректных сужениях и расширениях некоторых дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Раимбеков, Кендебай Женабилович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Алматы МЕСТО ЗАЩИТЫ
1993 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «О корректных сужениях и расширениях некоторых дифференциальных операторов»
 
Автореферат диссертации на тему "О корректных сужениях и расширениях некоторых дифференциальных операторов"

РГ6 од

, л„,У КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

i и „¡йи '•^'университет имени. аль - фараби

На правах рукоииои

Рааыбеков Кендебай Яанабилович

О КОРРЕКТНЫХ СУЖЕНИЯХ И РАСШИРЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

автореферат

диссертации яа соискание ученой степени кандидата физико-ьщте«агическях наук

Аллаты

1993

Работа выполнена в институте теоретической и прикладной математика HAH Республики Казахстан

Научные руководители: член-корреспондент HAH PK,

доктор физико-математических наук, профеосор М.О.Отелбаев, кандидат физико-математических наук -Б.Н.Бдяров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профеооор Я.Т.Султанаев, кандидат физико-математических наук, доцент Б.Е.Кангуаин. Ведущая организация: Карагандинский государственный

университет иы.Е.А.Букегова.

Защита состоится " 0 > 1993г. в ^ чао, на заседании Регионального специализированного совета K.058.0I.I7 по присуждению ученой степени кандидата наук в Казахском государственном национальном университете им.Аль-Фараби по адресу: 480012,г.Алматы,ул.Масанчи,39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГ?

Автореферат разослал " ^ ■" ^ 9 1993 г.

... Ученый секретарь Регионального специализированного совета , кандидат физико-математических наук, доцент dÜS^T А.А.Бедельбае

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТА

Актуальность темы. Теория расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве была разраоотань Дж. Нейманом. Позже Ы.И.Вишик распространил теорию ¿».Не^ака на несимметрические оператора, им была дава конструкция описания всех регулярных расширении, в частности, были описаны в .терминах граничных условий регулярные расширения для эллиптических .уравнении. Затеи А.В.Бицадзе я А.А.Самарский обнаружили корректную задачу, которая не содержится среди задач, описанных Ы.И.Випшком. С целью изучения такого рода задачи в работах А.АЛезина, М.О.Отелбаева, Т.Ш.Кальменова л других была создана •теория.корректных сужений и расширении. Приложения этой теории к дифференциальным операторам дала возможность изучить широкий клвсо не краешх задач, выяснить;.' корректность задач для нагруженных дифференциальных уравнений и т.д.

Следупцим закономерным этапом развития теории корректных сужений и расширений является изучение спектральных свойств различных операторов, имеющее многочисленные приложения в анализе, в теории краевых задач и в прикладных задачах математики и физики. В этом направлении опубликованы отдельные работы следующих авторов: А.А.дезина, М.О.Отелбаева, Т.Ш.Кальменова, 3.А.Ильина, А.Л.Шпаликова,Е.И.Моксеева, В.А.Ыихяйлецз, И.С. Ломова, Б.В.Логинова, Б.Н.Биярова и других. Несмотря на это спектральные вопросы для корректных, сужений и расширений в настоящее , время'мало изучено«

Цель работы. Настоящая работа посвящена постановке и исследованию новых корректных задач для обыкновенной дифференциального оператора второго порядка на полуоси и параболического оператора в одно- и двусвязных областях с помощью общего представления обратных операторов в описании М.О.Отелбаева, а также изучению их спектральных свойств.

Научная новизна. Описаны корректные сужения для обыкновенного дифференциального оператора второго порядка на полуоси; найдены необходимые и достаточные условия плотности области определения корректных сужений и описаны законы действий и области определений сопряженных к ним операторов; доказано, что для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси вольтерровыми могут быть только задача Коши и сопряженная задача Коши. Для оператора Штурма-Лиувилля описаны всевозможные самосопряженные регулярные расширения и диссипативные корректные сужения; показаны классы корректных несамосопряженных сужений с полными системами корневых векторов.

Для параболического оператора в одно - и двусвязных областях описаны всевозможные нормальные расширения и найдены необходимые и достаточные условия корректности нормальных расширений. Найден класс параболических задач с системами собственных функций, образущих базис Рисса.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации,: могут быть использованы в спектральной теории дифференциальных операторов, порожденных не обязательно краевыми

условиями , а также для изучения спекзгральных свойств корректных сужений и расширений линейных операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах член-корр. НАН РК д.ф.-м.н. , профессора М.О.Отелбаева/ ИПМ НАН РК и Мин. образования РК /, член-корр. НАН РК д.ф.-м.н., профессора Т.Ш.Кальменова / Каз. ХТИ /, д.ф.-м.н., профессора Д.У.Умбетжанова / ШШ НАН РК /, лаборатории математического анализа / ИТПМ НАН РК /, на всесоюзной научной конференции " Краевые задачи я их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений " /г. Алма-Ата, 1591 г., май /.

Публикации. По теме диссертации опубликованы три работы, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения , двух глав и списка литературы, содержащего 46 наименований.

краткое содержание; работы

Во введении, после краткого обзора литературы, даны основные результаты работы.

Первая глава состоит из шести параграфов. В §1 приведены некоторые известные вспомогательные утверждения,теоремы, оп-

ределения.

Пусть в гильбертовом пространстве Г» определен линей- . ныи оператор /\ с областью определения и областью

значения

Рассмотрим линейное уравнение

' Ах ;/. • ' СД)

Уравнение САЗ называется однозначно разрешимым на RXAY, если .корректно разрешимым на

.если при

X ir -¿(А) справедливо неравенство iixii^ciiAxii .где С > <-> не зависит ст X и везде разрешимым,если — Ц .

Оператор Д называется сужением оператора В или Б -расширением

А .если 1) (А) С. - 2) Ах -Вх 7 Vx€2>(a

- Оператор А„будем называть минимальным.если уравнение = ^ корректно разрешимо и R САя) ф Н . л Оператор Д будем называть максимальным.если уравнение Ах = 2 везде разревимо и Д Ф {°У.

В дальнейшем, корректно и везде разрешимое расширение А минимального.оператора Авбудем называть корректным расширением,а корректно и везде разрешимое сужение Д максимального оператора А назовем корректным сужением..

Из результатов работы М.О.Отелбаева и его учеников известно,что если А^некоторое известное сужение максимального one-. ратора Д ,то обратные всевозможным корректным.сужениям А К максимального оператора А имеет вид

= г 6 В-

где }*ч, - произвольный линейный ограниченным оператор,действую-

ДИЙ из

Ив к

ег А..

ЕслиАср- некоторое известное корректное расширение минимального оператора А0,то обратные всевозможным корректным расширениям имеют еид (1),где К - произвольный линейный ограниченный оператор,удовлетворяющий условиям:а) К(Ао) ^ К£Г К. из Д^^Н" + — О следует,что О .Обратные всевозможным регуляр-

ным расширениям Д^ (А0С Д^имеют представление и),гдед Д(р некоторое известное регулярное расширение,т.е. Ао ^ А(|> С Д ч а !х - удовлетворяет условиям:а)

В §2 описываются корректные сужения и расширения для дифференциального выражения.

где <} (хУ- вещественная .достаточно гладкая функция, суммируемая в каждом конечном интервале [о,о(3 -о(. > о удовлетворявшая следующим условиям:а)при достаточно большом X функции сохраняют знак и при X н► +

(х) = 0(1^1 ),где 0<<<« уг ; б) - °° при X + И сходится.

Обозначим через замыкание дифференциального оператора (2) в на множестве функций ^ ^ С0»'0).Тогда полу-

ченный оператор 1—0берем в качестве минимального оператора,а

1 ~ I *

1_ ~ I—-о является максимальным оператором.

Область определения корректного сужения максимального л

оператора I— .порожденного дифференциальным выражением к2), описывается множеством

{ ^(Х) € VII (о, Я) Л 1г Со,«),

Оо 00 -

где (Г^ОЛ , произвольные функции из [_1(р,00') ,а действие

определяется через "¿(^ в (2). Доказана теорема плотности

Теорема 2.1. Для того,чтобы множество2)(Ь^ было неплотным в [.^С0)00^ .необходимо и достаточно .чтобы существовало функция

а, ^ (х} + б"2(х) = <) С*") £ П 7

о < << < 7 о, (х) ф О .удовлетворяющая условиям:

Следующая теорема,доказанная в §2, дает описание всевозможных корректных расширений минимального оператора [_0 ■порожденного дифференциальным выражением (2).

Теорема 2.2. Если I— - произвольное корректное расширение 1_0 ,то оператору I— соответствует задача

£ [Vоо - с, - сг - ^.(х);

о У

^ -с,^Сх^ - с4 б-г С<[ 1 1о 5

где с С, определяются из условий

С V сх) - с^ с*-) - СЛ ^ (х-)] (о) = - СА } ^ - с, Сх4» - сЛ ^ (х)]' (о) = С^ ,

ц ^(х} _ произвольные функции из ¡-^С0,00) .которые

не удовлетворяют условиям неплотности теоремы 2.1.

Йолйтерррлми,называется вполне непрерывный оператор 1_ ,

.лля которого единственной течкой спектра служит нуль.

В доказана лекка

Лемма ЗЛ. Если 1_с~ оператор,порожденный задачей К.иш в точке Х-0 для уравнения (.2.),тс сопряженному оператору соответствует задача

1

. £ы* I *С*>Р = о ■| ч (Э0| \ '(х) X О

Оператор L называется регулярным расширением минимального епсоатора относительно максимального оператора .если

Основным результатом этого параграфа язхястся

Теорема Л. Среди всех регулярных расширений (.граничных зада») для оператора = ~^ Ъ

вольтерровыми являются только задача Коши и сопряженная задача Коши.

В §'» доказана теорема, которая дает описание всех самосопряженных рзгулярных расширений минимального опзратора 1_0 , порожденного дифференциальным выражением {'¿).

Теорема "Л. Всевозможным самосопряженным .регулярным расширениям 1—5 оператора Ь-о соответствует задачи

£ (о)[1 + Д. ^'(0) + р Б,' (<*] - С, («Л + Со)] -

I х , _____

1 _ х_^ х

_1 X __х_

- I У(х{(1 - - СоБ ^(^¿Н^

где << = + 4,^,(0), р = ,

^■¿^ С *•) ^ ~ ~ постоянные, удовлетворяющие условиям

= а^, ^ = а.41 .

Ьдесъ С^ (х) ? - действительная фундаментальная

система решений однородного уравнения

с асчмптотик&ки при х. —> -г

=. 'сов ^.у/Г^МГ^ [1 + О("0] ,

V*} =1 ['1 о(-Г\3 .

Пусть - замыкание в дифференциального

оператора £ = - ■ + 9 (л) . заданного на Сэ. С9> »

I ^ ? 1 х

т.е. о - минимальный оператор, тогда .[_ =

к ел ко

ется максимальным оператором. В § Ъ доказана теореме

Теорема 5.1. Пусть I- ¡^ некоторое сужение ыаксимнли-ксго оператора 1__ , г плотной е I. обласгья оп-

"ре/еления

-1^¡"^'м*Wi^MUt)[ s, С«ф + S C.WSjc^oí.-fc) -

Ло __00 _____

- S s, (-t) (7, ол o(.t ] - s,(о) $ 2W 6I^ ¿-fc ,

а, __. J. X_

^{l т ^ s.co ^(tU-fc) + (lí<*>i*j(x}cos 'ott-

_L x _ \ °o _

- t jOOl ^'(x) Sin. s yT^M dtj [ S,Co> S C,t*> 6¿C*Ut -

-сл(о^(1 + s s, ttt cu)] _ stco> s^w^yi-t^

где .такие, что число Д. —

Г[С,М S^Tt) + Sfvi At * И У0 - с, fi) У*У\

о 0 о ,

отлично от нуля, а действие оператора !__[<, определяется через ( в <¿) .

Тогда, если К-) - произвольный компактнчй оператор, действупаий из L¿(o , в Кér L , 1 - единичный

оператор, то:

I) L^- является корректным сужением максимального опе-•гора 1_ ;

рагор

¿) обладает полной системой корневых векторов в

, а собственные значения X ..кроме, бить хохет, конечного числа лелат в углах ~ Ь. < «-г^ X Ч 71-Ъ < лг<| .X < л ч ддя лвбого сколь угодно малого .

Отметим, что доказанная 'георома даёт нам цодый класс не-сокосопряженных корректных сужений Ь. максимального оператора I— с полньми системами корневых векторсв в пространстве

6 посвящен Еыделениь^диссипативнцх корректных сужении

максимального оператора !_. , поролин.чког о Д'4^еренц;:аль -

ным выражением

Оператор L — L называется диссипативным,

если L^j >/ о , аккретнвным, если L g^ О ,

Теорема 6«1. корректное сужение L. ^ максимального оператора L » порожденного дифференциальным выражением "t-(^)

I

в \.с) , является диссипативным, если и только если I—^ является регулярным расширением и ^L^ определяется граничными условиями.

3 МС Л Ч. с\ Со) + р s; Со)] - з Vol OS (о) -t р s^(o)] С

- \ VS'VSV^wFiLt t fbCoS

- |^(xifYcx\[<< со> Snp^l <i-fc t psi^ J 1

- c>> ^ ^ Co)) + 2Uc<Co) + a1JL s, Co-); = r&m ^ | ^осД^(х) (ci- %) cos SX\^Mdt t Si *v SVijWl'^]-'

- | «[(*)i Si* SVttt-fcM' dt - A,, cos SV^T^ где cL = «„c.o + a„ p = + alt s/o) ,

c\ . ( l, j = 1,Z) - постоянные, удовлетворяющие условиям

Глава 2 состоит из трёх параграфов и посвящена изучению нормальных расширений параболического оператора.

Б § 7 даны вспомогательные утверждения и определения, касающиеся понятия нормальности для неограниченных операторов.

В области SI - '• o<x,tsl} рассмотрим урав-

нение теплопроводности *

L* = ^ ¿г

-¿-к -Ъ К*- Т Через Lo обозначим минимальный оператор, порожденный

дифференциальным выражением 0) с областью определения

- в Ц^СЯ) : М.(х, <Л = и/х, = О,

доказана следующая

и

Теорема 7.2. Всевозможные нормальные расширения 1_ д' минимального оператора ]_0 соответствует краевым задачам и = = ,

■Ъ-Ь ■Эх'- 1

Ц. (X, о") Л. и_(.Х,<) , (.5.)

где ^ , - комплексные постоянные, причём

и\ = 1 , = .Эп, ^ > ^"м - •

Б этом параграфе доказана также теорема 7.3 , с помощьп

которой из всевозможных нормальных расширений можно выделить корректные нормальные.

Теорема 7.3. Нормальное расширение 1—у , определяемое краевыми условиями СОЛУ является корректным если и только если с*. ^ "1 или Д 4 О | где

д _ вА+вцЧ- в«. «и +

В §8 рассмотрены все нормальные расширения для уравнения теплопроводности (.3.) в двухсвязной области

51=52« иЛ, ,

В качестве минимального оператора 1_ 0 возьмём оператор, порожденный дифференциальным выражением 1.3) с областью определения

= { и € Г\П к (51): ,6)

и.(-х,с() =к(*Л) = «*.(*, Я , = ц^Со,*-) =

Теорема Ь.1. Всевозможные нормальные расширения 1- минимального оператора 0 , порожденного дифференциальным выражением О) с областью определения (.6,), соответствуют задачам

И - с (С«. + с^] ас*,^ (с^* с^ и (х,Ц + с (Сп+и (X, -

- V

(1 - г-СС^иС*,^ + О tz; С,^ и Сх, 1) + (< * г: с^ к(х, V) -

- (•< = о ,

причём

^ ** ^ - Р* . 7 «и- ~ «.»А) - ^ ^ - «а ё-м ,

с«, С,г - вещественные, счг , ~

комплексные постоянные.

Следствие 6.1. Задачи, описанные теоремой 8.1 имеют счётное число собственных значений конечной кратности и система их собственных функций образует ортонормированный базис в [_, чприсоединенные функции отсутствуют).

В последнем параграфе 9 изучается базисность Рисса системы собственных функции параболических задач. Имеет место

Теорема 9.2. Цусть 1-у некоторое нормальное расширение минимального оператора из теоремы 8.1 с областью опреде-

ления .

(¿.(о^^и-ОЯ , ^(^»ри-С^),- 1^1=1} (?)

н линейный ограниченный оператор из в

1*чег 1_ .такой," что

/Й^сх) = с— ~

еЛ и^СЗД'Л й(^)

и удовлетворяет условия« (7); о., в - произвольные постоянные. Тогда следугщие класса.задач

^ V = ^ - . + с«*

Л . Л .

V(*,0> ♦ •< Л = •<•»(х, V) •» »(*, , УС*, V) - ¿¿с*,

о < х < -г о <-ь < 1 у Г-Ч - I = обладают системой собственных функций, образующих базис Рисса

Здесь 28 приводится пример, более частного вида

Публикации со теме диссертации

I. Рашбеков К.Ж. корректных сужениях дифференциального оператора второго порядка на полуоси. // Тезисы докл. всесоюзной научной конференции " Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений Алма-Ата. 1991 г.

. 2. Еияров Б.Н., Рашбеков К.Ж. О сопряженных операторах к . корректным сужениям оператора Шгурма-Лиувилля на полуоси // Сборник научных трудов " Исследования по теории дифференциальных уравнений Алма-Ата-1992 г.

3. Раимбеков К.Ж. Описание нормальных расширений для уравненш теплопроводности // Деп. в Каз НИИНКИ, 04.02.93,

рег. & 4118-Ка93 -16 с'.

МЗШНДАЫА

Heri3ÍHeH бул хуыыста кейбхр дифференциалдыц тевдеулердтч коррект! тарылулары мен кецеюлер1н1ц спектрлхк цаоиеттер1 зерттелген. Алдыыен тарты осте аныцталган Ртурм-Лиувилл тец-AeyiHiH тартылай регулярлы жагдайында коррект! тарылулары мен кедеолер! белгнгп гсерсетмген. 9pi царай осы тарылулар мен кецеюлерд1ц вольтеррлхк , saine esi туй1Ндест1К жэне диссипативтпс цасиеттерх зерттелген.

Сонымен цатар бул жумыста параболалыц операторларцыц аньж;-талу облысыныц екх турлх жагдайында цалшгга кеневлер1 бвл!Н1П керсетхлген. Жумыстыц соцында параболалыц тевдеуге MemaixTi жэне тхркеме функциялар системасы Рисс базисíh цуратын есеп-тердэд 6ip класы табылган.