О корректных сужениях и расширениях некоторых дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
Раимбеков, Кендебай Женабилович
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Алматы
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
1993
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
РГ6 од
, л„,У КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ
i и „¡йи '•^'университет имени. аль - фараби
На правах рукоииои
Рааыбеков Кендебай Яанабилович
О КОРРЕКТНЫХ СУЖЕНИЯХ И РАСШИРЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
01.01.02 - дифференциальные уравнения
автореферат
диссертации яа соискание ученой степени кандидата физико-ьщте«агическях наук
Аллаты
1993
Работа выполнена в институте теоретической и прикладной математика HAH Республики Казахстан
Научные руководители: член-корреспондент HAH PK,
доктор физико-математических наук, профеосор М.О.Отелбаев, кандидат физико-математических наук -Б.Н.Бдяров.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профеооор Я.Т.Султанаев, кандидат физико-математических наук, доцент Б.Е.Кангуаин. Ведущая организация: Карагандинский государственный
университет иы.Е.А.Букегова.
Защита состоится " 0 > 1993г. в ^ чао, на заседании Регионального специализированного совета K.058.0I.I7 по присуждению ученой степени кандидата наук в Казахском государственном национальном университете им.Аль-Фараби по адресу: 480012,г.Алматы,ул.Масанчи,39/47.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГ?
Автореферат разослал " ^ ■" ^ 9 1993 г.
... Ученый секретарь Регионального специализированного совета , кандидат физико-математических наук, доцент dÜS^T А.А.Бедельбае
ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТА
Актуальность темы. Теория расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве была разраоотань Дж. Нейманом. Позже Ы.И.Вишик распространил теорию ¿».Не^ака на несимметрические оператора, им была дава конструкция описания всех регулярных расширении, в частности, были описаны в .терминах граничных условий регулярные расширения для эллиптических .уравнении. Затеи А.В.Бицадзе я А.А.Самарский обнаружили корректную задачу, которая не содержится среди задач, описанных Ы.И.Випшком. С целью изучения такого рода задачи в работах А.АЛезина, М.О.Отелбаева, Т.Ш.Кальменова л других была создана •теория.корректных сужений и расширении. Приложения этой теории к дифференциальным операторам дала возможность изучить широкий клвсо не краешх задач, выяснить;.' корректность задач для нагруженных дифференциальных уравнений и т.д.
Следупцим закономерным этапом развития теории корректных сужений и расширений является изучение спектральных свойств различных операторов, имеющее многочисленные приложения в анализе, в теории краевых задач и в прикладных задачах математики и физики. В этом направлении опубликованы отдельные работы следующих авторов: А.А.дезина, М.О.Отелбаева, Т.Ш.Кальменова, 3.А.Ильина, А.Л.Шпаликова,Е.И.Моксеева, В.А.Ыихяйлецз, И.С. Ломова, Б.В.Логинова, Б.Н.Биярова и других. Несмотря на это спектральные вопросы для корректных, сужений и расширений в настоящее , время'мало изучено«
Цель работы. Настоящая работа посвящена постановке и исследованию новых корректных задач для обыкновенной дифференциального оператора второго порядка на полуоси и параболического оператора в одно- и двусвязных областях с помощью общего представления обратных операторов в описании М.О.Отелбаева, а также изучению их спектральных свойств.
Научная новизна. Описаны корректные сужения для обыкновенного дифференциального оператора второго порядка на полуоси; найдены необходимые и достаточные условия плотности области определения корректных сужений и описаны законы действий и области определений сопряженных к ним операторов; доказано, что для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси вольтерровыми могут быть только задача Коши и сопряженная задача Коши. Для оператора Штурма-Лиувилля описаны всевозможные самосопряженные регулярные расширения и диссипативные корректные сужения; показаны классы корректных несамосопряженных сужений с полными системами корневых векторов.
Для параболического оператора в одно - и двусвязных областях описаны всевозможные нормальные расширения и найдены необходимые и достаточные условия корректности нормальных расширений. Найден класс параболических задач с системами собственных функций, образущих базис Рисса.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации,: могут быть использованы в спектральной теории дифференциальных операторов, порожденных не обязательно краевыми
условиями , а также для изучения спекзгральных свойств корректных сужений и расширений линейных операторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах член-корр. НАН РК д.ф.-м.н. , профессора М.О.Отелбаева/ ИПМ НАН РК и Мин. образования РК /, член-корр. НАН РК д.ф.-м.н., профессора Т.Ш.Кальменова / Каз. ХТИ /, д.ф.-м.н., профессора Д.У.Умбетжанова / ШШ НАН РК /, лаборатории математического анализа / ИТПМ НАН РК /, на всесоюзной научной конференции " Краевые задачи я их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений " /г. Алма-Ата, 1591 г., май /.
Публикации. По теме диссертации опубликованы три работы, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения , двух глав и списка литературы, содержащего 46 наименований.
краткое содержание; работы
Во введении, после краткого обзора литературы, даны основные результаты работы.
Первая глава состоит из шести параграфов. В §1 приведены некоторые известные вспомогательные утверждения,теоремы, оп-
ределения.
Пусть в гильбертовом пространстве Г» определен линей- . ныи оператор /\ с областью определения и областью
значения
Рассмотрим линейное уравнение
' Ах ;/. • ' СД)
Уравнение САЗ называется однозначно разрешимым на RXAY, если .корректно разрешимым на
.если при
X ir -¿(А) справедливо неравенство iixii^ciiAxii .где С > <-> не зависит ст X и везде разрешимым,если — Ц .
Оператор Д называется сужением оператора В или Б -расширением
А .если 1) (А) С. - 2) Ах -Вх 7 Vx€2>(a
- Оператор А„будем называть минимальным.если уравнение = ^ корректно разрешимо и R САя) ф Н . л Оператор Д будем называть максимальным.если уравнение Ах = 2 везде разревимо и Д Ф {°У.
В дальнейшем, корректно и везде разрешимое расширение А минимального.оператора Авбудем называть корректным расширением,а корректно и везде разрешимое сужение Д максимального оператора А назовем корректным сужением..
Из результатов работы М.О.Отелбаева и его учеников известно,что если А^некоторое известное сужение максимального one-. ратора Д ,то обратные всевозможным корректным.сужениям А К максимального оператора А имеет вид
= г 6 В-
где }*ч, - произвольный линейный ограниченным оператор,действую-
ДИЙ из
Ив к
ег А..
ЕслиАср- некоторое известное корректное расширение минимального оператора А0,то обратные всевозможным корректным расширениям имеют еид (1),где К - произвольный линейный ограниченный оператор,удовлетворяющий условиям:а) К(Ао) ^ К£Г К. из Д^^Н" + — О следует,что О .Обратные всевозможным регуляр-
ным расширениям Д^ (А0С Д^имеют представление и),гдед Д(р некоторое известное регулярное расширение,т.е. Ао ^ А(|> С Д ч а !х - удовлетворяет условиям:а)
В §2 описываются корректные сужения и расширения для дифференциального выражения.
где <} (хУ- вещественная .достаточно гладкая функция, суммируемая в каждом конечном интервале [о,о(3 -о(. > о удовлетворявшая следующим условиям:а)при достаточно большом X функции сохраняют знак и при X н► +
(х) = 0(1^1 ),где 0<<<« уг ; б) - °° при X + И сходится.
Обозначим через замыкание дифференциального оператора (2) в на множестве функций ^ ^ С0»'0).Тогда полу-
ченный оператор 1—0берем в качестве минимального оператора,а
1 ~ I *
1_ ~ I—-о является максимальным оператором.
Область определения корректного сужения максимального л
оператора I— .порожденного дифференциальным выражением к2), описывается множеством
{ ^(Х) € VII (о, Я) Л 1г Со,«),
Оо 00 -
где (Г^ОЛ , произвольные функции из [_1(р,00') ,а действие
определяется через "¿(^ в (2). Доказана теорема плотности
Теорема 2.1. Для того,чтобы множество2)(Ь^ было неплотным в [.^С0)00^ .необходимо и достаточно .чтобы существовало функция
а, ^ (х} + б"2(х) = <) С*") £ П 7
о < << < 7 о, (х) ф О .удовлетворяющая условиям:
Следующая теорема,доказанная в §2, дает описание всевозможных корректных расширений минимального оператора [_0 ■порожденного дифференциальным выражением (2).
Теорема 2.2. Если I— - произвольное корректное расширение 1_0 ,то оператору I— соответствует задача
£ [Vоо - с, - сг - ^.(х);
о У
^ -с,^Сх^ - с4 б-г С<[ 1 1о 5
где с С, определяются из условий
С V сх) - с^ с*-) - СЛ ^ (х-)] (о) = - СА } ^ - с, Сх4» - сЛ ^ (х)]' (о) = С^ ,
ц ^(х} _ произвольные функции из ¡-^С0,00) .которые
не удовлетворяют условиям неплотности теоремы 2.1.
Йолйтерррлми,называется вполне непрерывный оператор 1_ ,
.лля которого единственной течкой спектра служит нуль.
В доказана лекка
Лемма ЗЛ. Если 1_с~ оператор,порожденный задачей К.иш в точке Х-0 для уравнения (.2.),тс сопряженному оператору соответствует задача
1
. £ы* I *С*>Р = о ■| ч (Э0| \ '(х) X О
Оператор L называется регулярным расширением минимального епсоатора относительно максимального оператора .если
Основным результатом этого параграфа язхястся
Теорема Л. Среди всех регулярных расширений (.граничных зада») для оператора = ~^ Ъ
вольтерровыми являются только задача Коши и сопряженная задача Коши.
В §'» доказана теорема, которая дает описание всех самосопряженных рзгулярных расширений минимального опзратора 1_0 , порожденного дифференциальным выражением {'¿).
Теорема "Л. Всевозможным самосопряженным .регулярным расширениям 1—5 оператора Ь-о соответствует задачи
£ (о)[1 + Д. ^'(0) + р Б,' (<*] - С, («Л + Со)] -
I х , _____
1 _ х_^ х
_1 X __х_
- I У(х{(1 - - СоБ ^(^¿Н^
где << = + 4,^,(0), р = ,
^■¿^ С *•) ^ ~ ~ постоянные, удовлетворяющие условиям
= а^, ^ = а.41 .
Ьдесъ С^ (х) ? - действительная фундаментальная
система решений однородного уравнения
с асчмптотик&ки при х. —> -г
=. 'сов ^.у/Г^МГ^ [1 + О("0] ,
V*} =1 ['1 о(-Г\3 .
Пусть - замыкание в дифференциального
оператора £ = - ■ + 9 (л) . заданного на Сэ. С9> »
I ^ ? 1 х
т.е. о - минимальный оператор, тогда .[_ =
к ел ко
ется максимальным оператором. В § Ъ доказана теореме
Теорема 5.1. Пусть I- ¡^ некоторое сужение ыаксимнли-ксго оператора 1__ , г плотной е I. обласгья оп-
"ре/еления
-1^¡"^'м*Wi^MUt)[ s, С«ф + S C.WSjc^oí.-fc) -
Ло __00 _____
- S s, (-t) (7, ол o(.t ] - s,(о) $ 2W 6I^ ¿-fc ,
а, __. J. X_
^{l т ^ s.co ^(tU-fc) + (lí<*>i*j(x}cos 'ott-
_L x _ \ °o _
- t jOOl ^'(x) Sin. s yT^M dtj [ S,Co> S C,t*> 6¿C*Ut -
-сл(о^(1 + s s, ttt cu)] _ stco> s^w^yi-t^
где .такие, что число Д. —
Г[С,М S^Tt) + Sfvi At * И У0 - с, fi) У*У\
о 0 о ,
отлично от нуля, а действие оператора !__[<, определяется через ( в <¿) .
Тогда, если К-) - произвольный компактнчй оператор, действупаий из L¿(o , в Кér L , 1 - единичный
оператор, то:
I) L^- является корректным сужением максимального опе-•гора 1_ ;
рагор
¿) обладает полной системой корневых векторов в
, а собственные значения X ..кроме, бить хохет, конечного числа лелат в углах ~ Ь. < «-г^ X Ч 71-Ъ < лг<| .X < л ч ддя лвбого сколь угодно малого .
Отметим, что доказанная 'георома даёт нам цодый класс не-сокосопряженных корректных сужений Ь. максимального оператора I— с полньми системами корневых векторсв в пространстве
6 посвящен Еыделениь^диссипативнцх корректных сужении
максимального оператора !_. , поролин.чког о Д'4^еренц;:аль -
ным выражением
Оператор L — L называется диссипативным,
если L^j >/ о , аккретнвным, если L g^ О ,
Теорема 6«1. корректное сужение L. ^ максимального оператора L » порожденного дифференциальным выражением "t-(^)
I
в \.с) , является диссипативным, если и только если I—^ является регулярным расширением и ^L^ определяется граничными условиями.
3 МС Л Ч. с\ Со) + р s; Со)] - з Vol OS (о) -t р s^(o)] С
- \ VS'VSV^wFiLt t fbCoS
- |^(xifYcx\[<< со> Snp^l <i-fc t psi^ J 1
- c>> ^ ^ Co)) + 2Uc<Co) + a1JL s, Co-); = r&m ^ | ^осД^(х) (ci- %) cos SX\^Mdt t Si *v SVijWl'^]-'
- | «[(*)i Si* SVttt-fcM' dt - A,, cos SV^T^ где cL = «„c.o + a„ p = + alt s/o) ,
c\ . ( l, j = 1,Z) - постоянные, удовлетворяющие условиям
Глава 2 состоит из трёх параграфов и посвящена изучению нормальных расширений параболического оператора.
Б § 7 даны вспомогательные утверждения и определения, касающиеся понятия нормальности для неограниченных операторов.
В области SI - '• o<x,tsl} рассмотрим урав-
нение теплопроводности *
L* = ^ ¿г
-¿-к -Ъ К*- Т Через Lo обозначим минимальный оператор, порожденный
дифференциальным выражением 0) с областью определения
- в Ц^СЯ) : М.(х, <Л = и/х, = О,
доказана следующая
и
Теорема 7.2. Всевозможные нормальные расширения 1_ д' минимального оператора ]_0 соответствует краевым задачам и = = ,
■Ъ-Ь ■Эх'- 1
Ц. (X, о") Л. и_(.Х,<) , (.5.)
где ^ , - комплексные постоянные, причём
и\ = 1 , = .Эп, ^ > ^"м - •
Б этом параграфе доказана также теорема 7.3 , с помощьп
которой из всевозможных нормальных расширений можно выделить корректные нормальные.
Теорема 7.3. Нормальное расширение 1—у , определяемое краевыми условиями СОЛУ является корректным если и только если с*. ^ "1 или Д 4 О | где
д _ вА+вцЧ- в«. «и +
В §8 рассмотрены все нормальные расширения для уравнения теплопроводности (.3.) в двухсвязной области
51=52« иЛ, ,
В качестве минимального оператора 1_ 0 возьмём оператор, порожденный дифференциальным выражением 1.3) с областью определения
= { и € Г\П к (51): ,6)
и.(-х,с() =к(*Л) = «*.(*, Я , = ц^Со,*-) =
Теорема Ь.1. Всевозможные нормальные расширения 1- минимального оператора 0 , порожденного дифференциальным выражением О) с областью определения (.6,), соответствуют задачам
И - с (С«. + с^] ас*,^ (с^* с^ и (х,Ц + с (Сп+и (X, -
- V
(1 - г-СС^иС*,^ + О tz; С,^ и Сх, 1) + (< * г: с^ к(х, V) -
- (•< = о ,
причём
^ ** ^ - Р* . 7 «и- ~ «.»А) - ^ ^ - «а ё-м ,
с«, С,г - вещественные, счг , ~
комплексные постоянные.
Следствие 6.1. Задачи, описанные теоремой 8.1 имеют счётное число собственных значений конечной кратности и система их собственных функций образует ортонормированный базис в [_, чприсоединенные функции отсутствуют).
В последнем параграфе 9 изучается базисность Рисса системы собственных функции параболических задач. Имеет место
Теорема 9.2. Цусть 1-у некоторое нормальное расширение минимального оператора из теоремы 8.1 с областью опреде-
ления .
(¿.(о^^и-ОЯ , ^(^»ри-С^),- 1^1=1} (?)
н линейный ограниченный оператор из в
1*чег 1_ .такой," что
/Й^сх) = с— ~
еЛ и^СЗД'Л й(^)
и удовлетворяет условия« (7); о., в - произвольные постоянные. Тогда следугщие класса.задач
^ V = ^ - . + с«*
Л . Л .
V(*,0> ♦ •< Л = •<•»(х, V) •» »(*, , УС*, V) - ¿¿с*,
о < х < -г о <-ь < 1 у Г-Ч - I = обладают системой собственных функций, образующих базис Рисса
Здесь 28 приводится пример, более частного вида
Публикации со теме диссертации
I. Рашбеков К.Ж. корректных сужениях дифференциального оператора второго порядка на полуоси. // Тезисы докл. всесоюзной научной конференции " Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений Алма-Ата. 1991 г.
. 2. Еияров Б.Н., Рашбеков К.Ж. О сопряженных операторах к . корректным сужениям оператора Шгурма-Лиувилля на полуоси // Сборник научных трудов " Исследования по теории дифференциальных уравнений Алма-Ата-1992 г.
3. Раимбеков К.Ж. Описание нормальных расширений для уравненш теплопроводности // Деп. в Каз НИИНКИ, 04.02.93,
рег. & 4118-Ка93 -16 с'.
МЗШНДАЫА
Heri3ÍHeH бул хуыыста кейбхр дифференциалдыц тевдеулердтч коррект! тарылулары мен кецеюлер1н1ц спектрлхк цаоиеттер1 зерттелген. Алдыыен тарты осте аныцталган Ртурм-Лиувилл тец-AeyiHiH тартылай регулярлы жагдайында коррект! тарылулары мен кедеолер! белгнгп гсерсетмген. 9pi царай осы тарылулар мен кецеюлерд1ц вольтеррлхк , saine esi туй1Ндест1К жэне диссипативтпс цасиеттерх зерттелген.
Сонымен цатар бул жумыста параболалыц операторларцыц аньж;-талу облысыныц екх турлх жагдайында цалшгга кеневлер1 бвл!Н1П керсетхлген. Жумыстыц соцында параболалыц тевдеуге MemaixTi жэне тхркеме функциялар системасы Рисс базисíh цуратын есеп-тердэд 6ip класы табылган.