О некоторых спектральных свойствах корректных сужений и расширений линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ *АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи

Джуманова Ляззат Кенвсовна

О НЕКОТОРЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ КОРРЕКТНЫХ СУЖЕНИЙ И РАСШИРЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнены

• Автореферат ° диссертации на соискание ученой степени кандидата физнко- катемэтических наук

Алыа- Ата, 1992

') г У /

Работа выполнена в Казахском государственном университете имени Аль-Фараби.

Научные руководителя: член-корреспондент АН КазССР,

доктор физяко-математичеоких наук, профессор Т.Ш.Кальменов, кандидат физико-математических наук Б.Н.Бияров.

Официальные оппоненты: доктор фйзико-ыатеыатичеокйх наук,

профессор Б.В.Логинов, кандидат физико-матеыатичеоких наук, доцент Б.Е.Кангужин. Ведущая организация: Математический институт имени

В.А.Стеклова.

Защита состоится " " ТО--1992 г. в чао,

на,заседании Регионального специализированного совета К.058.01.17 по присуждению ученой степени кандидата наук в Казахском государстйенноы университете им. Аль-Фараби по адреоу : 480017 , г.Алма-Ата, ул.Масанчи, 39/47.

С двооертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГУ. Автореферат разослан " 3 " 1992 г.

Учений секретарь Регионального спешга ли зироваиного оовета, кандидат физико-матеыатических наук, доцент

Л.А.Бедельбаев

■ I . СБЩДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы/ Теория рг'ширенил и сужения берет свое начало о работ Дя.Неймана , в которых была построена теория расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве. Дальнейшему развития этой теории посвящена работа М.И.Випшка, распространившая теорию Дл.Неймана на несимметрические операторы, в частности, были описаны в терминах граничных условий регулярные расширения для эллиптических уравнений. Затем А.З.Бицадзе и Л.А.Самарский обнаружили корректную задачу , которая не содержится среди^задач, описанных М.И.Випшкоы. С целью охватить такого рода задачи б работах А.А.Дезина, М.О.Отелбаева, Т.Ы.Кальыенова и других была создана теория корректных оуненаЗ и расширений. Приложения этой теории к дифференциальным операторам дала возможность изучить широкий класс не краевых задач, выяснить корректность задач для нагруженных дифференциальных уравнений и т.д. Следующим закономерным этапом развития теории корректных сужений и расширений является изучение спектральных свойств различных операторов, имеющее многочисленные приложения в анализе, в теории краевых задач и в прикладных задачах математики я физики. Несмотря на это спектральные вопросы для корректных суданнй и рпсшренп;" остаются малоизученными. В этом напрлв-

- ч -

лении опубликованы отдельные работы следующих авторов : Л.А.Дезина, М.О.Отелбаева, Т.Ш.Калшенова, В.А.Ильина,А.А,Шкй-ликова, Е.И.Моисеева, В.А.МихаАлеца, И.С.Ломова, Б.Б.Логинова,

Целью работы является исследование спектральных свойств корректных сужения и расширений о помощью общего представления обратных операторов в описании М.О.Отелбаева. Основным объектом приложения являются уравнения гиперболического и омешанного типов, регулярные расширения которых описаны Т.Ш.Кальмёновыы.

Научная новизна. Доказан ряд абстрактных теорем, которые позволяют выделить классы корректных несаыосопрякенных сужений и расширений с полными системами корневых векторов, и в частности, с сиотемами корневых векторов, образующих базис Риоса. Как приложения этих теорем показаны классы корректных несамосопряженных сужений для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений гиперболического и смешанного типов с полными системами корневых векторов.Доказаны совпадение ги-понормпльнчх корректных сутаып: и расширении с самосопряженными, если мп.'П'л/альииЯ оператор симметрический; регулярность гипонормплышго корректного сужения, если минимальны!! опора-тор не обязательно одно

Б.Н.Билрова и других

нормальнее расширение. Получен эффективный критерий максимальной диссипативности одного класса корректных сужений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены в спектральной теории дифференциальных операторов, порожденных не обязательно краевыми условиями, и для .изучения спектральных свойств корректных сужений и расширений линейных операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации'докладывались на семинарах д.ф.-к.н., профессора А.А.Шпаликова /МГУ/, члена-корр.АН КазССР, профессора !!.0.0телбаеБа и члея-корр АН КазССР, профессора Т.Ш.Калшенова, члена-корр АН ' КазССР, профессора К.А.Касымова, д.ф.-м.н., профессора Д.У.Уы--бетжанова, на научных конференциях " Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" /г.Алма-Ата, 1991г.,май/," Теория приближения и вложения функциональных пространств"/г.Караганда, 1991г.-,июнь/.

Публикации. По теме диссертации опубликованы пять работ, перечень которых приложи в конце автореферата.

Структуря и обьем работы. Диссертация состоит из введения двух глав и списка литературы, содержащего 42 наименования.

- б -

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть в гильбертовом пространстве М определен линейный оператор А с областью определения Г)(Л\) и областью значения Р. (А) .Рассмотрим лино;;>г. уравнение

Ао.= у (А)

Уравнение (А) называется однозначно разрешимым на К (А), если Кег А- {о}, корректно разрешимым на К. (А) , если при бХХА) справедливо неравенство ЦхЦ^С НА^Н , где О О не зависит от х и.везде разрешимым, если

•РЦА)=Н.

Оператор А называется сужением оператора В ила В называется расширением оператора А , если :1)К(А)сС)(В), 2) Азс=Всс ( для Еоех из £)(А) .

Оператор А о будем называть минимальным, если уравнение А0х- У корректно разрешимо и К (Д^ Н •

Оператор А будем называть максимальны!/., если уравнение А'Д. = У везде разрешимо и Кег-Х^о^ .

Б дальнейшем, корректно и везде разрешимое расширение А минимального оператора А0 будем называть корректным расширением, а корректно и везде разрешимое сужение А максимального оператора А назовем корректным су;аанисм.

Плотно определенны:! замкнутый оператор А называется а.орм.алыю нормальный / у'ориалыю гшонормальньш /, если

НА\Ц--НАхН (нАХЦ^ НА^Н),

для всех х из (Л') . Ь случае, когда _

<1 орг.'ально но1аалы1ый_У-<1 ормальн

называется нормальным / гипонормальным /.

Оператор А-Аа+1А3 называетоя диосипативным, если Дд^О »акнретивним, еоли '>^0 .

Кз результатов работы М.О.Отелбаева и его учеников известно, что если Аф некоторое корректное - сужение максимального оператора А в Н ,то осЗратные всевозможным корректным сужениям Ак максимального оператора А. ■■ имеют вид

где К - произвольный линейный ограниченный оператор, действующий из Н в Кег А .Аналогично, если А^ некоторое известное корректное расширение минимального оператора А0 , то обратные всевозможным корректным расширениям имеют вид (1), где К - произвольный линейный'ограниченный оператор, удовлетворяющий условиям: а) Р^(А0)с Кег К. . б) из К^=0 следует, что -^=0 . В о луча в, когда Ас С Я оператор К из представления (I) удовлетворяет услошшм: а)Й(К)сКегД , б) 15(А0)с КегК и является регулярным расширением, т.е. /\0сА9сА ,

обратные всевозможным регулярным расширениям Ак минимального оператора А0 относительно максимального оператора А дается по формуле СдХ

Теперь приведем основные результаты , полученные в диссертации.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве Н сим/етричес- .

\ ^ I *

кий минимальный оператор 1_0 , тогда 1_ = и0 является . максимальным оператором. Пусть некоторое известное кор-

ректное самосопряжённое расширение. Область определения эти-

го самосопряженного расширения Ls обозначим через

D(LS) = D с D(l) : rsu = o"\

где Г5 - некоторый линейный "граничный" оператор. В § I.I доь.зана следующая аботрактная ТеоремаТ.1. Пусть некоторое оужение максимального оператора L о плотной в И областью определения

DCUH-ufiDCt): Г^-Г.КД'Ди-о), '

где Ki - произвольный компактный оператор, действующий из Н в Kerl . Тогда 1_к - являетоя корректны;/ сужением максимального оператора L . и если Ls е. ¿р при некотором конечном р , то LK обладае™ полной системой корневых векторов в гильбертовой пространстве И • а собственные значения А ,за исключением, может быть, конечного числа, лежат в углах

-£<аг^Л<£ ; чг-е.< акр <<к+&,

для любого сколь малого £>0

Отметим, что доказанная теорема дает нам целый класс несамооопряженных корректных оужений максимального оператора

L , которые обладают полными системами корневых векторов в пространстве Н . Йсли учесть, что L^ является корректным расширением минимального оператора L0 , то мы получили класс корректных нссаыосопряженпых расширений минимального оператора L0 , к от ори:; обладают нолнььми системами корневых векторов в Н . Заметим так *:е, что у минимального оператора существует множество самосопрямннух расширений. Тогда ддя кпздого саиосопрялшного paзш»у;шм •

класс операторов типа .

В § 1.2 еботрактная теорема 1.1 применяется для выроадаю-щихоя гиперболических уравнений. Пусть П. с К. - конечная область, ограниченная отрезком АВ : о<ос<1 прямой У - о и характеристиками :

ВС:

уравнения

, (2.1) при у < о

Через \Х4(.0!) обозначим множество функций из С (XI) » удовлетворяющих условиям ' • х

и|лсОВС=°- ... ' С2-3)

Пусть

I

- замыкание в 1а(Д) дифференциального оператора, заданного на \Х/0 (£1) равенством (2.1) , а

1_0 - оператор, сопряженный с . "Полученный 1~0

а . *

служит симметрические минимальным оператором. Тогда ис является максимальным оператором.

Введем следующие обозначения : ' :

г

- 10 -

В работе [ I] рассмотрен самосопряженный оператор Ц, порожденный уравнением (2.1) и граничным условием

ии=° (2.4)

где <J.^^-Í^ Р = >

Г(-а) О

Ц^ФЧ .кн. ' '

Ооновным результатом этого параграфа являетоя

Теорема 1.2. Пуоть, некоторое оужение максималь-

ного оператора £. »с плотной в 1_г(£1) областью определения

I. Кальмеиоь Т.Ш. О самосопряженных краевых задачах для уравнения Трикоми // Лнс^ершшиалыше уравнения.-1983.-Т. 19,-Н. С. 66-75. ______-------

где К1 - произвольный компактный оператор, действующий из в Кег-1 • тогда :

1. - являетоя корректным сужением максимального оператора ;

2. обладает полной системой корневых векторов в гильбертовом пространстве , а собственные значения

X , кроме, быть может, конечного числа, лежат в углах

для любого сколь угодно малого £>0 .

Отметим, что в этом параграфе приведено некоторое упрощение граничного оператора К1 [_х £. 11 рассмотрен пример в олучае 1т» = о

§ 1.3 посвящен приложению теоремы 1.1 для уравнения Трикоми . . ,

Пусть О. - конечная область,ограниченная при ^<0 характеристиками

АС : и ВС : эс+^С.-у)3^ ±

уравнения

^ н - у = (а.,*) , (з»I)

а при У>0 гладкой дугой Ляпунова <5 , оканчивающейся при У = 0 дугами " нормального" контура <б0 :

V V у ч

С-адача о_. На!!ти ре ими и- уравнения (ЗЛ) , '/доь-

ле г к оряю.чее у слотами

и

"UUe0 (3.2)

х 5и(воС=ОН(i-x/^i(1-х) *u(et(?0> о (з.з)

где , иЦв4 ^ ,

а трry)T , l=oc-t- |С-«)* .

Обозначим через Ls замыкание дифференциального оператора С3»1) в на множестве функций -Ц^С00^!) » удовлетворяющих у словияы (3.2) и (3.3) . В работе [i^ доказано, что оператор корректный и ' является самосопряженным в La(jTZ)

Основной результат этого параграфа сформулирован в вида следующей теоремы

Теорема 3.1. Пусть L„. некотороз сужение максимального оператора L , с плотной в L^-Ol) областью определения

где KL - произвольный компактный оператор, действующий из Lz(£l) в Ker L , Г2 граничный оператор, соответствующий оператору Ls . Тогда :

1. Lr - является корректным сужением максимального

'i4

оператора L ;

2. L^ - обладает полной системой корневых векторов в гильбертовом пространстве ^(Г).-) , а собственные значения

X , кроме, быть может, конечного числа, лежат в углах

____________—^тг—с arg А < <пч £_

для любого сколь угодно малого £.>0 .

Замечание . 15С£-0= »т*е' область определения

Ь(и) плотна в Ц^О) тогда и только тогда, когда

Далее в этом параграфе приведены некоторые примеры и замечания.

В § 1.4 приведены некоторые обобщения теоремы 1.1 и их приложения. Доказана следующая основная

Теорема 4.1. Пусть и компактные операторы

в гильбертовом пространстве И , оператор К1 дейотвует из

И в Кег С , операторы (Х-ьК^ и (Г+ К,} обратимы и (3>К2) ^г • Тогда , если <3р

для некоторого конечного р , то оператор с действием i /1ч с4-' л о

и областью определения

Г>(и)- Е>(1): Г,<и.= Гх кЛ"Д Ц

корректен и обладает полном системой корневых Гекторов в Н • а собственные значения Я , за исключением , г/ожет быть, конечного числа, лежат в углах

-£<<Х1ГС|А< £. ; ТГ-£ < < 1Г + <£

для любого сколь угодно малого £>0

В этом параграфе рассмотрены еп.'е несколько предложений обобгапшие теорему 1.1. и ряд примеров.

Глала :! посвящена кзучонго : .шснориальных и ;гкссиг:зтиг:-них :.:к';Н:оу:"лш:\ ".■.¡'м:-:'.-: '.к'у/.'уц-л лги ¡¡'.;ш/.

операторов тесно связаны с этими понятиями. Гипоноршльность оператора дает много информации о спектральных свойотвах оператора. Например:

1. у компактного гипонормального оператора существует ненулевое собственное значение;

2. если гипонормальный оператор корректный, то его система корневых векторов полна в Н ;

3. если спектр гипонормального оператора содержится в правой полуплоскости, то он являетсй максимально аккративным оператором;

4. если спектр гипонормального оператора содержится в

о

секторе с углом меньше, чем 90 , то такой оператор порождает ■ограниченную голоморфную полугруппу и т.д.

Основным результатом параграфа 2.1 является Теорема 1.1. Если симметрический минимальный оператор, |_= и0 -максимальный оператор, то всевозможные корректные гипоноркальные сужения I максимального опера-

I4

тора и и всевозможные гипонормалйшз корректные расширения минимального оператора |_е исчерпываются самосопряженными регулярными расширениями.

§ 2.2 главы П посвящен изучению гипонормальных корректных сужений и расширений в случае, когда 1,с не является симметрическим. Пусть даны два минимальных оператора 1,с и

Мо с' и С10и,^) = (и,мо\г)

для всех -и , V из .Г^Ц"). Предположим, что существует хотя бы одно нормальное корректное расширение ¡_,, Тогда справедлива следукжпя

__ТеотуА'я-аЛ-.--ПустгтзуиГестЁуст с 0и. оттно ногиллыюс

корректное расширение 1~н минимального оператора !_0 Тогда гипонормальныз корректные расширения минимального

оператора Ь0 и гипонормальные котэрекише сужения

^ КД *

максимального оператора [_= являются регулярными

расширениями, т.е. Цс^с С..

Там же получен один элективный критерий нормальности. В последнем параграфе 2.3 главы П изучается диссипатив-ность корректного сужения произвольного максимального оператора. С этой целью доказаны несколько теорем.

Пусть 1_0 симметрический минимальный оператор в Н

- Т

А ^ некоторое самосопряженное регулярное расширение. Тогда всевозможные корректные сужения максимального операто-

ра 1_ = 1_0 имеют следующие обратные

где К - произвольный линейный ограниченный оператор, действующий из И в Кег1 .

Теорема 3.1. Снимая часть оператора зпакоопреде-

лена тг™да и только тогда, когда Р(1_,0~)с Кег- К и 1т К знакоопределена на Кел 1_ .

В теорзмз 3.2 привадано некоторое приложение теоремы

3.1 к дифференциальному оператору =

Последняя теорема второй глава обобщает теоремы 3.1 для случая когда нет плотности области определения минимального оператора.

Теорема 3.3. Пусть 1_ - некоторый наксималышй оператор и |_£ некоторое самосопряженное сужомко. Тогда мнимая часть оператора

где К - линейный ограниченный оператор, действующий из

И в Kev L , знакоопредолена тогда и только тогда, когда (Kerl) с Kev-К и Im к знакоопределена на Ker L

Отметим, что во всех параграфах приведены примеры,иллюстрирующие результаты тех или иных теорем.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Еияров Б.Н., Джуманова Л.К. Гипонормальные корректные расширения и сужения // Тезисы докл. научной конференции

" Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений".Алма-Ата.-1991.

2. Бияров Б.Н..Джуканова'Л.К. О корректных гипонормальных расширениях симметрических минимальных операторов // Тезисы докл.респ.научной конференции "Теории приближения и вложения функциональных пространств".Караганда.-1991.

3. Бияров Б.Н., Джуканова Л.К. О диссипативных корректных сужениях одного класса максимальных операторов //-изв.АН КазССР. сер.физ.-мат.-1991.-С.27-30.

4. БияроЕ Б.Н..Джуманова Л.К. Полнота и базисность системы корневых векторов одного класса несамосопряженных корректных сужений и расширении // Деп.Е КазИИЖ'.М.-10.10.91.-Ji3522.-12с.

5. Джуманова Л.К. Полнота и базисность системы корневых векторов одного класса несамо.сопряженных корректных сужении для виго:гдск!:;пхся гиперболических уравнений // Деп.в КазНИКНКИ.-:r.IC.9I.-.V3ö2I.-7 с.

МАЗМУНДАМА

Диссертация сизы^тыц операторлардыц коррект1 тарылу-лары мен кецеюлер1Н1Ц спектрл1к к;асиеттер1Н зерттеугв ар-налган. Бул багытта алдымен мениикт1 жене тхркеме функция--лар системасы толыц болатын вэхне ез1 туй1ндес емес коррект1 тарылулар класын белуге мумк1нд1к бвретги абстракциялыц теорема делелденген. Эр1 царай осы твореманьщ кейб1р диф-ференциалдыц тецдеулерге цолданылуы кврсет1лген. Атап айт-цанда, карапайкм дифференциалдын; тецдвулер, гиперболалык тецдвулер жене аралас типт1 тевдеулер к;арастырылган.

Сонымен катар бул жумыста меноикт1 функциялар толын;тыгын зврттеуге трелей цатысн бар оператордыц гипонормалпи; жене диссипативт1к цаоиеттер1 царастырылган. Егор минималдьщ оператор симмэтриялы болса, онда максималдыц оператордьщ гипонормалды коррект1 тарилулари мен кецеюлер1 езхне еэГ туй1ндес жуйел1 кецеюлер1мен беттео1П чалатыны корсет1л-ген. Ал егер минималдыц оператор симмвтриялы емес болса, онда гипонормалды кецеюлор мен тарылулар жуйел1 кецеюеквнг делелденген. Сонымен цатар диссипат :вт1К операторларды корректг тарылулар 1пцнен бол1п алудьщ цолайли критери1 керсет1лген.