Нормальные области, устранимые множества и отображения с ограниченным искажением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

¡23 9 г

МИНИСТЕРСТВО ПО ДЕЛАМ НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РСФСР

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.5

ШЛЫК ВЛАДИМИР АЛЕКСЕЕВИЧ

НОРМАЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ, УСТРАНИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИСКАЖЕНИЕМ 01. 01. 01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 1992

Работа выполнена на нафодр-з «зтодгатического анализа Дальневосточного гбсуаарсмонпого унЕвигсптета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор П.М.Тамразов

доктор физико-математических ка^к. профессор В.Н.Дубинин

доктор физико-математических наук, профессор Асеев В.В.

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение (Латештпческого института РАН

Запита состоятся "15 " 1992 года в_часов

на заседании Специализированного совета Д 063.98.02 при Новосибирском государственном университете (630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2).

С диссертацией мсишо ознакомиться в библиотеке Новосиби] ского государственного университета.

Автореферат разослан " " 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физико-математических

'к А.Б.Каксхов

I ЭТд.'й i j дяеь ■;

, , .1 ОБЩАЯ ХАРА!ШОТШЯА P/J30TEJ

Актуальность темп. Теория конформного отображения многосвязной области d Ш2 на нормальные (или, иначе говоря, кгпш-мальные по Keöe, нормальные по Грзтпу) области, получошшо удалением из плоскости (или круга, кольца, прямоугольника и т.д.) дуг кривых, прикэдленаг-их к соответствуем простим семействам кривых, восходит к работам Д.Гильберта, Il.Küöe, Р.Куранта. Эта теория возникла как результат обобщения известной теоремы Римана о конформном отобракешси односпязнсй области на круг и первоначально базировалась но принципе Дирихле (см. Курант Р. Принцип Диршсда, конфоргкшо отобрашгая и минимальные поверхности. -М. :M.-IS53.-3IGc.). Новый подход к теории нормальных областей, основашшй на изучении экстремальных свойстз кокфор:лшх отображений, предложили X.Грета и Р.Поссэль. Их подход в данном вопросе успокно щгмепчля Е.Ренгель, Х.Ренгли, Е.Рейх я С.Вараавскай, Д.Дкенхино, А.Марден и Е.Родин, К.Штробель и другие авторы. И.П.Митул1 распространил ряд известных экстремальных свойств упомянутых отображений на случай квазиконфордшх отобракепий круга я кольца с круговыми разрезам!.

П.Кебе, по-видимому, был первый, кто обратил внимание на тот факт, что при конформном отображении многосвязнсй эбласти заданной нормировки, например, на плоскость с горизонтальными разрезами , ото отображение, вооб'дэ говоря, ка ¡динстсонко. В связи с отывчонга.'м обстоятельством возш1к воп-зос о гоонетрии компактов, порождыгалх нормальные области ¡проблема Кебе). П.Ы.Темразов, используя разработанную ял >эрму метода экстремальных метрик, установил ряд результатов о [рироде отобракетЯ! на нормальные области.

Многие факта по теории указанных отображений били систэмэ-•изирсвакы в монографии К.Ойкавы и Л.Сарно (см. О Исака К., -ario L., Capacity functions. - Berlin: Springer. - 1969.-61р.). Авторы этой книги не только подволи итоги предыдущим следованиям, но и поставили вопросы касательно этих отобра-ений. Среди них отметим задачу о дроблении и синтезе нормаль-их областей и задачу об инвариантности компактов, пэрождатецтх казотпк' области, при подтлдящем квазиконформном отображеш'и.

В 1950 году Л.Альфорс и А.Бейрлинг положит начало систематическому изучения нуль-множеств в теории функций. В частности, еми были исследованы ЛЕО-множасгва, устранимые для регулярных функций с ограниченным интегралом Дирихле, и ^В-множества, непрерывно устранимые для однолистных регулярных функций. Отметим, что теория КЗВ-мнокоств восходит к работам Гретша и получила недавно свое развитие на случай пространственных квазиконформных отображений в исследованиях 0.Марию и Р.Някки.

Установленный Л.Альфорсом и А.Бейрлингом критерий МЕЛ-множеств в термшшх нормальных областей послужил отправной точкой для изысканий по теории устранимых множеств в работах И.Н.Песн-на , Б.В.Шабата, А.П.Копылова, В.М.Миклхжова, Ю.Вяйсяля, В.В. Асеева и А.В.Сычева. На этом пути Л.Хедберг, С.К.Водопьянов и В.М.Гольдштейн выявили связи меаску этой теорией и проблемам! аппроксимации, изоморфизма соболевских пространств.

Сказанное диктует необходимость построения общей теории пространственных нуль-множеств, которая с одной стороны, наследует известные свойства компактов, порождающих плоские нормальные области, и КЕВ-мноздаств, а с другой стороны, объясняет новые факты и позволяет дать решения известных задач этой теории.

Цель работа. Установить аналитические, метрические, геометрические характеристики нуль-множеств; исследовать пространственные ЯБВ-мнокоства и описать ситуации, в которых справедливы утверждения типа классической теоремы Редо; изучить экст-ремплыше свойства отображений с ограниченным искажением в нормальных кольцевых областях.

Общая методика исследований. В диссертации широко используются общие свойства емкости конденсатора, модулей семэйств кривых и поверхностей, топологии континуумов и отдблявдях компактов, тьории соболевских пространств, геометрической теории меры и теории контингенции.

Большую роль в диссертации играет метод сопряженных семейств, метод Оилипшицевых продолжений.

Научная новизна и теоретическая значимость. Основными результатами, полученными в диссертации, являются следующие:

- рассмотрены свойства р-^емкости конденсатора, д-мадуля семейства составных отделяющих поверхностей, р-мэдуля семейства составных соединяющих кривых, установлены

соотношения между ними и, в частности, дано решение задач Л.Ходиэрга и М.Отцуки;

- установлены точныэ локальные аналитические, модульные характеристики нуль-мнокеств, порождающих р-нормаль-ныв области, и устранимых особенностей для соболов-ских классов Ь1(С), ¡Т1 (О), для класса Родина-Саряо-Хедберга Л>Р(С)Р; "

- дано геометрически-модульное решение проблемы Кебэ, исследована задача Сарио-Ойкавы об инвариантности компактов, порождающих нормальныэ области;

- доказана устранимость нуль-мнохоств второго • ряда в проблеме р-модуля для семейств простых составляющих кривых;

- даны огшсаш.л .устранимых особенностей в терминах теории контингенции и билипшицевых компактов;

- для плоских КЕВ-мкохаств получено описание в терминах е-обхвата;

- построена теория непрерывно устранимых пространственных ЖВ-множеств для квазиконформных отображений, установлены аналоги теорем Радо для отображений с огратачен-шм искажением;

- получен аналог теоремы Шиффэра-Вяйсяля-Мартио-Рикмзна об изменении емкости конденсатора при отображении с ограниченным искажением, установлены экстремальные свойства этих отображений в нормальных кольцевых областях.

Все перечисленные результаты являются новыми. Разработан- • ае в диссертации новые подходы к исследованию функциокально-этричзсклх свойств нуль-мнояеств в п>2, могут быть приме-эны к более общим топологическим пространством. Представляет старое возможность непосредственного обобщения полученных эзультатов из теории потенциала и экстремальных метрик на гучвй весовых емкостей и модулей.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, жладыпались автором на русско-японском семинаре (рук.-В.Н.Ду-тин, М.Отцуки; Владивосток 1ЭЭ2 г.), а также на заседаниях в >57-1991 гг. ноучтшх сочичпров в Математическом институте им.

В.А.Стеклова АН РАН (рук.-А.А.Гончар), Московском госуниварси-тете фук.-В.А.Зорич), Институте математики СО АН РАН (рук.-Ю.Г.Решетник, А.В.Сычэв), Санкт-Петерб/рском отделении Математического института РАН (рук.-Г.В.Кузьмипа), Институте математики АН УССР (рук.-П.М.Тамразов, Ю.Ю.Трохкмчук), Институте прикладной математики и механики АН УССР (рук.-В.И.Белый), Волгоградском университете (рук.-В.Ы.Микликов) и др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Ш-П8), список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, раздела "Предварительные обозначения", пяти глав, списка литературы из 105 наименований и составляет 240 страниц.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Глава I. "Емкости и модули". В первой главе изучается наиболее общая вариационная емкость конденсатора (С/£)=(Ро,?1,G/E), которая наследует известные для конформной емкости соотношения с такики метрическими характерютиками, как модули соответствующих сопряженных семейств кривых и поверхностей. Здесь G либо К", либо открытое ограниченное множество в К"; Р0.Р,- пара непустых непересекающихся компактов в G, Е -компакт в Кп. гй2.

Под р-емкостью конденсатора (С/£), 1<р<оо, будем понимать величину

С (G/E) = САР.Р, ,G/E) = tn/J|vu|pdr, v а .

где инфимум берется по всем вещественным функциям и eL^íOfl Л C°°(G), каждая из которых равна J в некоторой окрестности компакта t'j, J « 0,1, и равна с (и,а) в некоторой окрестности всякой компоненты связности а компакта В.

В §1.1 вводятся понятия р-точной и р-экстремальной функции для Gp{G/E). Устанавливается вариационный криторий совпадения р-точной функции с р-экстремальной.

В §1.3 на основе подходящей задачи Дирихле выявляются условия, при которых экстремальная функция будет монотонной и

непрерывной в С, что важно в приложениях при р»п.

В §1.3 вводится д-модуль семейства отделяющих состав'лих поверхностей Мц{С/Е) = ,0/Е), ^ + ~ = 1.

Центральной теоремой этого параграфа является утворздеши

ТЕОРЕМА 1.4. Яп(С/Е)=Ср(С/Е)~я/р

Это равенство в случае ?ои С-кольцо, В с с, дает

этвет на один вопрос , поставленный Л.Хедбергом (см."Аг'л1у. 1еа. -1974.-V. 12,N1,-р.181-201), и содержит известило результаты Ф.Геринга, Б.В.Шабата, У.Цимера, В.В.Иривова в атом [вправлении.

В §1.4 и §1.6 рассмотрены два эквивалентных определения ►-модуля пр(?о,Р1 ,С/£)=тр(С/Е) семейотва соединяющих: составных ривых. Основной результат §1.6 содержит решение известной зэ-ачи о равенстве емкости и модуля.

ТЕОРЕМА 1.7. Пусть й(Ео,Е,)>о. Тогда

(Г) пр(С/Е)=Ср(С/Е).

При К=0, Р, с С, равенство (I) можно найти в работах .Хессе, Ф.Геринга, У.Дилера, А.В.Сычева и других авторов. Из )го немедленно вытекает решение задачи М.Отцуки о непрерывиос-I р-модуля семейства кривых.

Глава 2. "Нормальные области и устранимые множества", данной глава на основе метода сопряженных семейств и метода солютно непрерывного продолжения изучается задача дробления синтеза нормальных областей координатными гиперплоскостями.

0 , в свою очередь, позволяет получить локальные характерного! компактов, порождающих нормальные области, описать нуль-экества в проблеме модуля для основных семейств кривых и зархностей. Кроме того, устанавливаются связи между упомянули выше нуль-множествами и устранимыми множествами для про-занств ¿¿(С),

В §2.1 приводятся утверждения, которые являются основой

1 применения мотодп абсолютно непрерывного продолжения. При-(ом одно из них в терминах емкости.

ШУЩОКЕКШ 2Л.Равенство О (а ,а, ,П\К)=С (а ,а, ,

р О,П 1Iп р О,П 1,П

мзсто тогда и только тогда, когда Сп(Е П П)=о к веддую функции / € / « П\5)) для £п=1 почти всех хЧП*

можно продзл;хить до абсолютно непрерывной функции на отрозжз 1(х')П п.

В §2.2 вводится Ср -компакт, который по определении не

;(1> ГР

изменяет р-модуль семейства отделяющих поверхностей в координатном прямоугольнике относительно гиперплоскости х{=0.

В §2.3 дано определение С -компакта, который по определении нэ изменяет упомянутый р-модуль в координатном прямоугольнике) относительно всох гиперплоскостей х{=о, {=1,2.....п. Для

С^1Ср-компоктоа устанавливаются локальные характеристики в терминах соответственно Л^44^-компшстов с "запасом", за счет постоянной /к(0,1 ]. Рассмотрены некоторые приложения полученных результатов к задаче об инвариантности р-модуля гладких поверхностей при их укорочении посредством Ср-компактов. В §2.4 и §2.& изучаются Н - компакты, которые по

определению не изменяют р-модуль семейства соединяющих составных кривых ь координатном прямоугольнике относительно гиперплоскости х{=0 и всох гиперплоскостей х(=о, (И ,..., л, соответственно. Здесь широко используются топология континуумов, теория р-исклкштольных множеств по Фюгледе, а такие свойства следующей линейной мери (мери проекции составной кривой 7 на

хг0сь) ю

1/ (пр I К{х1л)011\х ),

I —со

где Я(х(,7) - число точэк х € у, 1-я координата каждой из которых равна х{.

Оскоёным результатом в §2.4 является слодуэдее геометрически-модульное решение проблемы Кебе.

ТЕОРЕМА 2.16'. Е - Ни'-компакт в том и только в том слу-р _

чае, когда выполняются следующие условия 1)£"(£)=0; 2)сущест-дгуот р-исключительное множество С(I) е Е такое, что для каждой швнровдвнной компоненты а компакта Е множество а\С<1) лежит в гиперплоскости х4=с(а); 3) для лкЛых наперед заданных €>о и А €(о,1) оценка

(2) Я1(пр |пр Ь - пр с|

выполняется для гс^-потщ всех Х\Е, гдо \=\{а,Ъ,Е) - нопркводи-мнй континуум гэхчу я,h -произвольные точки из Rn \ Е.

Откатим, что всегда р-модуль семейства всех континуумоз X, гдэ А. из теорзгяз 2.16' и //' (пр А,\Е) < Л |пр Ъ -

- пр а|, £"(£>=0, равен нуля. Кроме того, при р=п=г существу-х!

ют линейные Н*1)-коша1стн Е (например, лтаейноз Ш)-мно::ество

полсютольной джем), для которых Я1 (пр Е)>о. Поэтому в усло-

в:ш 3) из теорэга 2.16' нельзя ни отбросить модульну» часть (для п -почти всех К\Е), ни заменить п ней элементы WE на Я-В §2.5, варьируя оценку (2) относительно 1=1,...,и, приходим il утвэрядония.

ТЕОРЕМА 2.20. Пусть S -нульмерный компакт в !Rn, тогда Е-Нр-ко!Лтакт в том и только в том случае, когда ир-почти все составные кривые 7\Е/0, гдо 7-прсизволытя простая прямая, порождаются спрямллегамп кривыми т такими, что (7 п £)=о.

Отсюда, з частности, слодуот, что- нульшрнне Нр-компекты аэ изменяют р-кодуль произвольного семейства простых невыроя-цешшх тср'.шых при их укорочении посредством указанных компактов.

В 52.6 изучаются нормалышо области и устранимые мяоеэст-за в К2, которые обладают рядом специфических свойств, кндуця-эозашшх, вообще говоря, топологией двумерного евклидова тространства. 1Гапри?вер, класс Н^' ^-компактов ^компактов)

совпадает с классом G(г ^компактов (G(1'-компактов). Соот-р р

зэтетвенно совокупность Ср-ксмпактов совпадает с соЕскупностьп [ -компактов. Дадим следующее

ОЩТДйЛЕШН. Пусть р -неотрицательная борелевская функция :з 7 -спрямляемая кривая. Предположим, что 7\ву0, 7 П Е

компакт относительно 7. Будем говорить, что р удовлетворяет словип е-обхвата на кривой 7, если для любого б>о существует >0 такое, что

) на 7 мопю указать коночную последовательность, дуг а^,..., ^bj,, покрывающую компакт 7 П Я и кмеюкую суммарную длину мень-э э(7 П Е.НЗ,

) концы кггщой душ J- 1.....Й. не принадлежат Е и сое-

инимы в Rn\B спрямляемой дугой для которых

Доказана

h

2 X pda < е J=1 Xj

ТЕОРЕМА 2.13. Пусть n=U еК2: Ъ,, аё< хг< Ь2) э Е,

где Е -компакт ¿^-меры ноль. Тогда Е - С^-компакт в том и только в том случае, когда каждая борелевская функция pflgdR2): (^-Ю.оо] для ^почти всех t «(c^.b,) удовлетворяет условию е-обхвета на отрезке 1х €П: xt=i}.

Это утверждение немедленно распространяется на случай NED -компактов.

В §2.7 на основе полученных ранее локальных характеристик Hp4^компактов устанавливается инвариантность этих множеств при квазиконформных и квазиизомэтрических отображениях. Например доказана

ТЕОРЕМА 2.26. Пусть /=(/,...../п): G - Еп - квазиконформно!

при р=п/п-1 или квазиизометраческое отображение, Е = G - бикомпакт . Если ,... ,rn_1) и где

1г=1.....п-1 и i={xt>...,in) zG, io f(E) - бикомпакт.

Для линейных отображений теорема 2.26 была установлена К.Ойкавой и Л.Сарио, для квазиконформного отображения f:G - R2 с дополнительными условиями на гладкость частных производных координатных функций отображений / и /-1 - Ы.Оакаи.

Эта инвариантность находит приложение к теории наилучших экстремальных отображений и переносится затем на случай С - и Нр-компактов. В конце параграфа показано, что каждый Н -компакт или иначе говоря, устранимое множество для FLP, есть Gq-KOM-пакт или, иначе говоря, устранимое множество для LK

Глава 3. "Геометрия устранимых множеств". Здесь устанавливаются некоторые структурные формулы для нуль-множэств из предыдущей главы.

В §3.1 доказана

ТЕОРЕМА 3.1.:Пусть F- некоторое множество, расположенное в (n-й)-мерной гиперплоскости П:х fe+1=0,.., где ,

з (Ru. Пусть y{=/{(x1,...,xfc), i=l,...,n-ft,: F - ¡Кп-*-отображв-ие, удовлетворяющее условию Липшица. Тогда отображение

F - Kn_fe можно продолжить до квазиизо-втрического отоброяешм ft: Rn - К™.

С помо'дьп метода билипшицевых продолжений, основу которо-о составляет теорема 3.1, используя известные факты теории онтингенции, в §3.2 получено несколько структурных формул для '-.Gp-компактов. Приведем одну из них. Пусть Е{о,с)-сово-упность точек из Е, в которых контингенщтя совпадает с Кп.

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть Б -компакз в Rn, тогда Б - Ср-компакт ми, иначе говоря, Ш^-компакт) п том и только в том случае, эгда Б(0,с) - Л^-компакт и ЕЧБ(О,с) содержится в объединении зследовательности (п-1)-мерных билипшицевых Ср-компвктов. частности, с помощью теоремы 3.3 устанавливается

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Пусть Б -компакт ограниченной континген-ш , каждая компонента которого есть, гомеоморфный образ недорого отрезка fa.b). Тогда Б - NED-множество в Кп для п?3.

Данное утверждение содержит как частные случаи результаты В.Асеева, А.П.Копылова, И.Н.Песина по устранимым множествам.

Также в этом параграфе выявляются геометрические условия, я которых нуль-мнокество относительно т{=о будет устранимым опеством для соболевского класса Кроме того, доказано,

о множество Bf точек ветвления отображения о ограниченным, катанием, где Н"-1 (В^)<а>, есть SGp-множество для любого €(1,<о). Если В^-множество о-конечной /Г1-1-меры, то установ-нно, что прообраз NED-мнойества при отображении с ограничен-м искажением есть опять NED-мнокэство.

В §3.3 даны структурные формулы Нр-, К^1 '-компактов, язкие в идейном плане к описаниям G -, G<{'-компактов из

Глава 4. "Топологически устранимые когтакты для квазикон-рмных отображений".

В этой главе вводятся"и изучаются два вида непрерывно гранимых, компактов для квазиконформных отображений, совпада-

вдих при n=2 о NSB-мноиестваки, рассмотренными детально Л.Аль-форсом и А.Ббйрлингом.

Б §4.1 исследуются NSB-mhossctbq первого рода.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Е - компакт в К". Тогда Е назовем NSB-

(дюхйством, если можно указать ограниченную область ß с К™ такую, что Е с D и для каадой компоненты а кошакто Е справедливо равенство

On(ÖD,a,D/E)=o.

Показано, что ЮВ-мнокество нульмерно и топологически устранимо для квазиконформных отобра;::ошШ. Здесь же рассмотрены два утверждения, связанные с классической теоремой Радо. Приведем одно из них.

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть f:D\E - Кп -отображение с ограничешшм искажением, отличным от постоянной на одной из компонент связности множества DXE, где Е <= D -компакт. Если F-Ql(f,d{D\E)n Е] - Нп-компакт, то / мокно продолжить до отображения о ограниченным искажением на вас область D.

Для г.=2 утверждение теоремы 4.2 усиливает классический результат теоремы Радо об аналитическом продолжении и принадлежит Р.Кауфману и П.Ярви. При этом Н2-компакт по определению есть NED-мнокэстзо.

В §4.2 рассматр;шаются NSB-множества второго рода.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Компакт Е назовем НЗВ-компактом второго рода, если для каадой точки х° <-;Е моино указать число го=г(х°)>0 такое, что п-модуль семейства всех кривых, расположенных в В(х°,г)\Е и соединяющих 70»7,. равен <» для всех г «(0,го) и любой пары континуумов 70.7(> сходящийся к точке т° еЕ.

Доказано, что NSB-множество Е нульмерно и топологически устранимо для гомеоморфизмов класса L^D\E), Е с D. Кроме того, справедлива

ТЕОРЕМА 4.5. Если Е - NSB-mhoi:9ctbo о-коночной Нп"'-меры, то Е - ШЗ-мнокостбо.

При гс=2 этот результат принадлежит К.Штребелю.

Глава Б. "Экстремальные свойства отображений с ограничении искажением в нормальных областях".

Здесь на основе теор:га р-емкости и устрашг/чт. множеств, взвитой в предыдущих главах, распространяется ряд классичес-их результатов геометрической теории функции ксстлоксного племенного на случай пространственных отображений с огисиичэп-нм искажением в кольцевых нормальных областях.

В §5.1 устаяапл:зЕЮтся метрические и аналитические хсрпк-еристики компактов, порождающих кольцевые нормалыше области.

В §5.2 веодится класс ÎYb. (Х\Е) отоЛраког;::л с огрзничон--,;м искажением, удовлетворяккзк естоствэпжм условиям отдялл-эсти. Для f € ÎTt, , (Я\Е) получен заксн искехазпял емкости кон-энсатора, которой обобщает результаты М.Шиффэра, О.Мортяо, .Рикмана, Ю.Вяйсяля в этом направлении.

В §5.3 приведены теорэг.тн искажения и покрытия для € TTC , (Я\Е).

В §5.4 показано, что для регулярных функций, удовлетворяют условию отделимости, непрерывно устраните я устранимые гожества будут совпадать с NSB- и NED-мнокестввми соотзетст->пно.

Публикации по теме диссертации

Ишк В.А. К теории иэоднолистных отображений мяогосвязпых областей //Зап.научи.семинаров ЛОМИ// Мят.ия-т им. В. А.Сто (слова. Лв нингр. о тд-гаэ .-1981.-Т ЛIЯ-С Л 84-197.

ииык в.А. Устранимые множества для неоднолистных отобраго-ний. //Мат.анализ и дискретная математика.-Новосибирск: НГУ, 1988.-СЛ36-144.

Ялык В.А. К теории нормальных областей. //З.чп.научн.сбминп • ров ЛОМИ// Мат.'ин-т им.В.А.Стеклова. Леиингр.отд-ние.-1938.-Т ЛR8-C Л80-IB6.

4. Шлык В.А. Метод сопряженных семейств в теории модулей.

//Докл. АН СССР.-1989.-Т.306, JE2.-C.297-300. Б. Шшк В.А. Внутреннее продолжений регулярных функций и одна задача Кауфмана. //Укр.ыат.курн.-1989.-Т.41, JE3. -С.408-412.

Б. Шлык В.А. Метод абсолютно непрерывного продолжения в теории квазиконформных отображений. //Тез.докл.школы-семминара "Актуальные вопросы комплексного анализа -Ташкент: Таш.ГУ,. 1989.-С.143.

7. Шлык В.А. Ä-емкость и некоторые ее приложения в теории ото-

бражений с ограниченным искажением //Докл. АН СССР -1989.-Т.306, J46.-0.1308-1310.

8. Шлык В.А. С -емкость и нормальные области. //Дом. АН СССР.

-1989.-Т.307, 02.-С.297-299.

9. Шлык В.А. Метод билипшицевых продолжений в теории устранимых

множеств. //Тез.докл. Всесоюзн.конф. по геометрии и анализу. -Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР. 1989.-С.97. Ю.Шлык В.А. Геометрия устранимых множеств И>р, р ed.»), и нормальные области по Хедбергу //Докл. АН СССР. -1990.-Т.312, ЯЗ.-С.646-549. II .1Шшк В.А. K-емкость и задача Радо для отображений с ограниченным искажением //Сиб.мат.курн.-1990.-Т.31, й1. -С.179-186.

12.Шлык В.А. О /<тСр-мнал;йствах коночной площади //Сиб.мат лсурн.

-1990.-Т.31, JS6.-C.I94-I96.

13.Шлык В.А. Емкость конденсатора и модуль семейства разделяю-

щих поверхностей //Зап.научн.семинаров ЛОМИ// Мат. кн-т им.В.А.Стеклова. Ло:шнгр.отд-ние.-1990. -Т.185.-С.160-167.

14.Шлык В.А. Топологически устранимые множества и ШЗ-мнокест-

ьа //Корректные краевые задачи для нэклассическях уравнения.-Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1990.-С Л02-108. 16.Шлык В.А. Строение компактов, порождающих нормальные области, и устранимые особенности для пространства LUD) 1<р<® //Матом.Сб.-1990.-Т. 181, JfTI.-C.I55S -1572.

16.Шлык В.А. Емкости» минимальные области по Кобе, устранимы© особенности //Тез.Всесоюзн.школы "Теория потенци-ала"-Киев: Институт математики АН УССР, 1991. -С.37.

Т7.Шлнк В.А. Условие е-обхвата для ^-компактов //Зап.научн.

■семинаров ЛОМЛ// Мат.ин-т им.В.А.Стеклова. С.-Петербургское отд-ние.-I991.-Т.196.-С.I54-151.

13.Шлык В.А. Метрические характеристики /Г -компактов и устранимых особенностей для пространства Ь^, р е (1,») //Зап.научн.семинаров ТОМИ// Мат.1ш-т гол.В.А.Стек-лова . С.-Петербургское отд-ние.-1991.-Т Л 9Б.-С Л 62171.

Подписано в печать 121.10.1992

Формат бумаги 60x84 1/16. Объем I п.л.,

0,75 уч.изд. л. Заказ 33 . Тирад 100 экз.

Отпечатано в типографии Н.Н ДВ1У. 690000, Влаягеаетет«ул.Ажеутская, об.