О численном решении нелокальных краевых задач эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Мй г о ?

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА институт КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

АЛИЕВ АЙДЫН ЮНУС оглы

УДК 519.6:5

О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.07 — вычислительная математика

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БАКУ — 1992

Работа выполнена в Бакинском государственном университете им. М. Э. Расул-заде.

Научные руководители:

член-корр. АН Азербайджана, доктор физико-математических наук, профессор Я. Д. Мамедов;

кандидат физико-математических наук, доцент А. А. До-сиев.

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук, профессор Искен-деров А. Д.

— кандидат физико-математических наук, доцент Шири-

нов К. Ф.

Ведущая организация: Азербайджанский Технический Университет.

Защита состоится торсА 1992 г.

в_{к...... ...час. на заседании Специализированного совета

К 004.21.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте кибернетики АН Азерб. Республики по адресу: 370141, г. Баку, ул. Ф. Агаеза, квартал 553, дом 9.

Отзывы на автореферат выслать в двух экземплярах с заверенными подписями.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института кибернетики АН Азербайджанской Республики.

Автореферат разослан ьА^Х&Х_1992 г.

специализированного совета, кандидат физико-математических наук Ученый секретарь

А. М. БАГИРОВ

л

сертгциЯ

ОЕДО 7а\РАК1ЕР:1СЪШ. РАБОТА - .

M2iä3L'i2£TÄJE£Jül» Учитывая, чтэ к нелокальны.',; красьш здачам прикодчгса различный дрлклзлшэ задачи (уеигопрот>эд-осги, флзлги полупроводников. гадромэхшика, veop-ui упругос-а и оболочек и ,цр.) в поелоднлго года (начиная-с осноЕог;ола-атацэй работа Бшадзо А,£. Самарского A.A.) этим нацатсм делчется больпоо внимание.

Хотя теория разностных схем для численного оеиония гада1) локадашш! услозляш печгл разроо'сгапа, чпо.ганшг,! пахеггда-яям решения задач с кэ.токаинымя уелошяии посзячсяу .тлпь от-зяышо статьи. Псгездгиэ полэказдигс условий прогдв всего :агруд:!ж;г обоснованно классйчзстих разнос ют схем в звясл ! усдс.'хшшкм структур1! r.'avpnn полученных с::сгсм уравнений, ■та трудность проивдлэ? сэбя особенно nps иолучошп эйектив-шх оценок для погреиюсш.пркЗгаяо^иого рсаекш, лрк ясстро-!кии раэяосгша схем для огнет -:кя .'»гладок рсшплЛ, а так-so при обосновывать члегашшх "етод&в в случае нолинейвкх /равнений. "

Для численного нахо:хдет:я ргяеяяя йелокальннх задач в эсновном применяла конечно-разыостнпе мэгоды, прлчом это? ;.-,о-тод oöoctioB: i в случае ойшшого чиж дк^Лоро.'ншальяых уравнэ-hiiü в работах Baimmao Т.П., Волкова £.А., Нлькяа Ii.А. л Моисеева E.H.; Садаговаса М.П. и Чеглсз Р. К). и др., а в случае эллилтнчесют. уравнений в работах Вабинэвыча ПЛ., Салагсва-са !/'.П. и Чэгиса Р.Ю., Курганова И.А. и Досизва A.A., Гордези-еж Д. Г., Гасанова A.C. и др.

Во всех сущестаущих работах полученные оценки длп погрешности приближенного решения содержат неизвестные лосгоян-

_ 4 -

ш;е, '¿грашгеиравдие гроизводнио определенного порядка ог точного рожзния, появление которых затрудняет использование ж в пракгэтаоюа цйля;;, т.е. зги оценкл являются ноэЗДектчвншя!; но йн.та рассмотрены задач* о угловыми особенностям;!, когорыо особенно характерна для р.имптичэскж задач; для кв&зшиаойнкх уравнений эллактачаекого типа из рассмотрена задачи с граяич-пши ус^орл,?.';: сояеряадае Ероагзэдашз.

В связи с этим представляет интерес исследование впиепз-дожонаюс, ранвэ' аз рассмагрлваешх пощюсоз, чему а лссвяцела настоящая работа.

Работа посвящена построэншо, обоснованию и измени: разяссгккх схем для численного решения нелокальная

лрдынх задач для Л1лс1:ных и квазалинеЗяых олллатдческих упав-

■ '

■Мо?оди исслглооанкя. При вшзоде и оооинозанка получзаных в работе результата лсяодьзуится мэтода разноспшх сх. л, дио-кретний анадо?' кзтода Фурье и Злочдо-оаточиый метод.

Научная навазца. 3 диссертация получены елвдуюцае основные резудьгагк:

-построена радостная схема для задали Дирихле ураышгшя Лапласа с нелокальным условием, получена оценка логрэлщосги приближенного сеыешя 0(1^) через известие данные дискретным методом Фурьэ;

-построена разностные схемк для смешанной задач;! уравнения Лапласа с .эгакалькш; а нелокальным условиями,получэнн оценка погрешности приближенных решений С (1/) через пзаз-стнме данные дискретным че'тэдоы Фурье;

-построены девятиточечное разностшэ схемы'для задачи

Днр.'шм уравнения Лапласа с локальным и нелокальным условиями, получаны оценки погрешности приближенного решения $(^через известно данные лискрегнкм методом Фурье;

-применен блочно-сегочш(} метод к решению задачи Дирихло для уравнения Лапласа на Ь -образной области о нелокальным условием. Получены оценки погрешности пиибликоииого ропения

, а также в конечной охфршости входящего угла области б- равного для производных

приближенного решения любого порядка Рг Р= ■ получены соответственно следующие оценки

эрт^Г^'Ч «У

х

где Р", Ср ,Р=0Л-"~ постоянная, на зависящая от

столцего справа сомножителя;

-применен метод конечных.разностей к решению смешанной задачи для квазилинейного эллиптического .уравнения с нелокальным условием построена разностная схема, получены сцонки погрешности приближенного решения

осип '004.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работц заключается а построении и обосновании разностных схем (классических и блочно-ееточннх) для численного решения нелокальных краевых задач в случае линейных и квазилинейных эллиптических уравнений.

Практическая ценность работы заключается в возконнооти применения получегшнх результатов к-численному решеншо при-

клада« задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докла-дкпашсь на научко-исслодэзательоких семинарах кафедри вычислительной аагеиаглки БГУ ш.М.З.Расул-зада, на международной • конференции: "Ллгуальдае проблемы фундаментальных наук" (г.Москва, 1991 г.), ;:а Всесоюзной конференции "Дгь'хТ,ереаш!альщ:з ургззкен:1>т и очгдаадьнои управлвндо" (г. Ашхабад, 1390 г.), на ЦетшузосокоЯ конференции холодах учз;шх "Человек. Природа. Общество. Апгуалъкыэ лроблэки" (г.Салк-Петербург, 1592 г.), на XII Республиканской конференции аспирантов (г.Баку, 1539 г.), на МХУ Республиканской конференция колодах ученик (г.Баку, 13Э1 г-.).

Публика;!?:^ Оо;юиш:е результата диссертанта опубликован. г работах [13~ .

Структура п объем дисозртацд:т,, Диссертационная работа состоит из Еьоденпя, дпух глав, заишишш к списка литературу. Объем работы составляет 131 страниц маиииописноге текста, вклинил I рссунок IX библиографию из Б1 иаименоьадля,

СОДЕРЖАНИЕ РА БОИ /

Работа сосгоаг кз двух глав л плгк параграфов. Иерзая глава по сведена зримелвнита дискретного аналога метода Фурье для решения ш-локальных'задач. Здесь суцееттешык является тс, что погрешность метода оценивается черэз исходные даннно надави. Глааа состоит кз трех параграфов.

В первом параграфе рассматривается нелокальная задача Ддршсле для уравнения Лапласа ■

"Л

и(х,о!--и(х^) = о (о<х<а)у

Вводится квадратная сетка и на «ей отроятся нятигочечндо разностные схокы для этой задачи.- Реионие последков опредйля-этся формулой

Нк ,

где

с- £ , гД 4£Ш)^

{ г-1 -у ь и< 1 *

и определяется из

;

и^Г,^) принимаемся за при&дамнноз реизияо зацата (Г) з узловых точках. Доказывается, что С 1г , где контакта С выражается-через известные данные.

Второй параграф поспяцен численному решения даскрэтяым методом Фурьо слэдуицэй локальной смешанной задачи

AU=0 (0<

о

У (2)

(3)

'¿».с . Эл tt(jc^r=o ю<х<1)

и нелокальной смешанной задачи

0 (D<X<1tP<if<S ) UiXjCi-о(Ц(Х,С) +I(X) Locoesi)y

ЪХ о

U. С1",У) ~ о (ос х< а ) . Учяияая, что погрошость дискретного метода <5урьо для локально?; задачи (2) на оценена ранее, скачала исследу.тся задача (2), а нотой я нелокальная: задача.

Сгроктоя таадратлая еэтка а прхблтенше решения задач (2) и (0) б узловых точках соогнегогвенно определяются формулами f

■ ilk А" ■ ^

L-zLz <f (к= l X if. UU-,

/ 'л к» f 'n

г ' ^

П

-¿ис —

'«.(X/Jjr: - ---^---- (ч - -f

Z(U:c<>4

Т. С ЬЯ- ,

I*- л "

Доказано, что для обеих задач )и - Ч, | < С \ * ■

константа С зависит только от заданных величин.

Наконец, последний третий параграф первой главы посвящен оценке дискретного аналога метода Фурье (девятиточечная схема) для решения локальной и нелокальной задачи Дирихле.

Учитывая, что погрешность дискретного метода Фуиье и случае.девятиточечной схемы для задачи Дирихле рак^с ее била оценена, э этом параграфе сначала рассматривается задача:

Приближенное-решениэ (в узловых точках квадратной сотки)

(4)

задач»! (4) определяем формулой

Уи.- ¿к у, (гк)**, н.Кгк —

V - 4 « ^

г-< »

1!к

ратается лшь чериз заданные величины,

•Аналогичная оценка погрешности получается и для нелокальной задачи Дприхда

ли - о (о<х< 1,о<»<4 ) ' б ')

г о С 0< Х<±)

Приближенное решзше гадачи (5) определяем формулой

Л*, гк, ф /, , кЪг1 а

>

I

¿¿гг-ссб-^г

* **■ ¿-г г

о - ^

2 - ¡^^

Вторая глава посвящена численняому решению нелокальной задачи Дирихле для лмнейвшс-'И квазилинейных эллиптических

■л -

уравнений. Глава состоит из двух параграфов, В первом параграфе блочно-соточный метод применен на двумэрно» " Ь - образной" области б- для решения нелокальной задачи

(61

где

А к - О на Она

<■ иа>1)*<{№.

Строится разностная схема и для решения последний применяется метод итерации, определяется скорость сходимости. Оценивается погрешность бдочно-сегэчногс метода. Яокагнеазг-ол'оценка

Нйглгел дополнительные условия на граня чшю функции поучается оценка

\u-u.\z с г.

Кроме гого, в конечной окрестности нходацего угла области Ог равного для производных пр«с>л:::тнкогз "решения

ллбого порядка .р > 1,2 ... получекн соответствие следующие оценка

1

о

Ъх'-Ъ?

гу {Мк>Л1;в<) - и {I;, )) И? к [ ' 1 К I ] ^

$ Cp к

,2 Т-Р

где р t (_f> ¡ р- Ojij... -постоянная, не зависящая

ог стоящего справа сомножителя.

Зо втором параграфе рассматривается следующая нелокальная задача квазилинейного уравнения

(7)

} ^ (o'e;аj

í ftt J - tí-сари (Щ) = yip (0<]<¿)J

J4?X W y-í ¡K^,

где ¡W -задайте

функции, -f-í3,^; p, ^ } -некоторая заданная непрерывная функция определенная V(x^) с JTL. } -<*> < г^р^, причем

ctip zí, S IpgOj CXtfcé .

Для численного решения задача (7) строится разностная схема на прямоугольной сетке и доказывается, что оценка погрешности пркбликонного решения равна OÍL) у л^л-кЦ^Ц^ Далее, дополнительно, предполагается, что выполнено одно из слодуюдиз: условий: . . .'

гдэ К f ~ ю к г (о<м <■ í) . Доказывается, что оценка логреы-

нсстк приближенного решения равна

OU ) .

В заключении этого параграфа обосновывается метол итераций для полученных нелинейных разностных схем.

По теме щссертащш опубликованы слэдутэдие работы;

1. Алаев A.D. К численному решению одной

нелокальной задачи.

Док.ХП Республиканской конференции аспирантов, Болу,1989.

2. Алиев А.Ю. К числзкнок';* решению одной нелокальной задачи для уравнения Лапласа. Док.Всесоюзн.конференции ^ДиЗ^ерэн-циальные уравнения и оптикалыюе управление". "Ылвм", Ашхабад, 19У0, стр.3.

3. Алиев А.Ю. О дискретном аналоге метода фурье для девятиточечной схеш при решении задачи Дирихле для урглнеяия Лапласа. АзКМШИ. Й 1670, Аз-SI, Дбп., 1C.05.IS9I.

4. Алаез А.Ю. Об оцзяко погрешности нелокальной задачи Дирихле для уравнения Лапласа. АзШИШК, .'5 1740, Аз-SI. Дец., 10.12.1991.

5. Алиев А.Ю. Оценка погрешности решения смешанной задачи для уравнения Лапласа. Док.ХЕУ Республиканской Конкуренции Молодых Учэных - Баку.

6. Алиев А.Ю. Применимость метода соток- а решены; одной нелокальной задачи для эллиптических уравнений. Сб. "Приближенные катоды решения операторных уравнений", Изд-ло £ГУ, Баку, I99T, стр. 3-9.

7. Доспев А.А., Ажеа Otí одаом ярабшгаеянеи кевода ре-

шеяия нелокальных задач для уравнения Лапласа, Соорник докл. Международной научн.-тех.конференции "Актуальнее проблемы Фундаментальных каун", го;л.2, секция БысшеГ ма-мнагкяп, СССР, изд.ШТУ, ¡.5осква, 1991, стр.II5-117.

8. Алиеа А.Ю. О6 эффэкхавной оценке погрешности нелокальных счешашшх задач для уравнения Лхяиача. - Тезисы докладов ¡Лежузовскэй конференции колодах ученых "Человек. Природа. Существо. Актуальные проблэкн", Санкг-Погербург,1992.

Злы /6О 7Г /£о