О формулах малышевского типа для метрических матричных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени MB ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кебернетики

На правах рукописи

Назари Али Мохаммад Рахим

О формулах малышевского типа для метрических матричных задач

Специальность 01.01.07 — вычислительная матемаматика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва—2004

Диссертация выполнена на кафедре общей математики — факультета вычислительной математики и кибернетики ^

< / (•

Диссертация выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: — доктор физико-математических наук, профессор Х.Д. Икрамов

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук,

профессор Г.Г. Еленин

— кандидат физико-математических наук А. Я. Белянков

Ведущая организация—Институт вычислительной математики РАН

Защита диссертации состоится 2004 г.

в^часов на заседании диссертационного совета К 501.001.11 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета НИВЦ МГУ. Автореферат разослан " .. . "........2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета к.ф.-м.н.

В. В. Суворов

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Задачи, рассматриваемые в диссертации, относятся к классу метрических задач вычислительной линейной алгебры, охватываемых следующим общим описанием: пусть матрица А имеет некоторое свойство а, непрерывно зависящее от элементов матрицы (невырожденность, простота спектра, и т. д.). Спрашивается, какова наибольшая окрестность А, в которой мат-

V?

рицы сохраняют свойство а(

Одним из ранних результатов в этом важном классе задач является знаменитая теорема Экарта—Янга, согласно которой расстояние (измеряемое спектральной нормой) от ШХ п— матрицы А с сингулярными числами

до множества матриц ранга г равно <rr+i[A). В частности, расстояние от невырожденной пХп-—матрицы А до множества вырожденных матриц равно числу

Опуская обзор метрических матричных задач (неполный обзор этой области дан во введении диссертации), укажем недавний результат А.Н. Малышева, послуживший стимулом для выполнения данной работы. Сопоставим —матрице А матрицу удвоенного порядка

Сингулярные числа матрицы Рд(Л), как и всех последующих матриц, предполагаем упорядоченными по убываннию. Тогда спектральное расстояние rsep(A) от А до ближайшей матрицы, имеющей кратное собственное значение, выражается формулой

гэер(Л) = mm max <т2п-i(P\(*f))-

(1)

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА СПете|

цм^

UnUltKA

Пусть £ — множество п X П—матриц с кратным собственным значением нуль. Основной элемент в выводе формулы (1) — это доказательство формулы для спектрального расстояния р%(А, С) от матрицы А до множества

где

/(7) = <72п-1(Ро(7)). (3)

Чтобы оценить значение формулы Малышева, укажем на неравенства

вытекающие из теоремы Экарта—Янга. Вместо этих двусторонних оценок формула (2) дает точное значение расстояния р2(А,С).

Цель работы

В настоящей работе автор ставил перед собой следующие цели:

1. Найти и обосновать формулу малышевского типа для спектрального расстояния от п х п — матрицы А до множества М. матриц, имеющих собственное значение нуль кратности > 3.

2. Выяснить особенности жордановой структуры матриц, ближайших к А в множествах С, и М..

3. Провести подробное исследование формулы (2) и аналогичной формулы из пункта 1 в важном частном случае, когда А — нормальная матрица.

4. Исследовать возможности малышевского подхода для других типов метрических задач, например, для определения спектрального расстояния от п х п — матрицы А до множества п х п—матриц, имеющих пару собственных значений, симметричных относительно нуля.

Научная новизна работы

В диссертации найдена формула малышевского типа для спектрального расстояния от п X п—матрицы А до множесть^атриц, имеющих собственное значение нуль кратности > 3. Это расстояние выражается как максимум некоторой (вещественнозначной) функции трех комплексных (или четырех вещественных) переменных. Поэтому обоснование формулы значительно сложнее, чем доказательство однопараметрической формулы А. Н. Малышева, и требует использования нетривиальных фактов спектральной теории возмущений и теории вещественных аналитических функций.

Для важного частного случая задачи Малышева, когда А — нормальная матрица, найдена и обоснована формула, выражающая расстояние/^ {А, £) как среднее квадратичное модулей двух младших, собственных значений матрицы А.

Составлены программы на языке системы МаЙаЬ для вычисления матриц из множеств ближайших к заданной матрице А.

Практическая значимость работы

В теории бифуркаций динамических систем ситуация, когда якобиан системы вырожден в точке равновесия и имеет в своей жордановой форме клетку порядка 2 для нулевого собственного значения, называется точкой бифуркации Богданова-Такенса. В этих терминах ситуация, когда якобиан принадлежит множеству и с его нулевым собственным значением связана клетка порядка 3, соответствует бифуркации Богданова-Такенса порядка 3. Таким образом, формулы типа Малышева могут быть использованы для оценки расстояния от текущего состояния динамической системы до ближайшей точки бифуркации того или иного вида.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

Научный семинар кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ под руководством академика А.А. Самарского и профессора А.В. Гу-лина.

"Методы решения задач математической физики"; научные руководители — профессор АА. Абрамов и профессор Ю.Д. Шмыглевский; ВЦ РАН "Матричные методы и вычисления"; научный руководитель — профессор Е.Е. Тыртышников; Институт вычислительной математики РАН. "Современные проблемы численного анализа"; научный руководитель

— профессор В А. Морозов; НИВЦ МГУ. Научно-методологический семинар НИВЦ МГУ; научный руководитель

— профессор А.В. Тихонравов.

34-я конференция математиков Ирана.

Публикации

Основные результаты диссертации отражены в публикациях [1, 2, 4, 68].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации — 104 страницы. Библиография включает в себя 25 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении диссертации дан очерк истории метрических матричных задач как раздела вычислительной линейной алгебры, формулируются цели работы и кратко излагается ее содержание.

Глава 1. Формула Малышева и ее следствия.

Эта глава диссертации посвящена важным аспектам задачи Малышева, не покрываемым анализом, проведенным в его статье (Malyshev A. N. A formula for the 2-norm distance from a matrix to the set of matrices with multiple eigenvalues // Numer Math. 1999. V. 83. P. 443-454), не рассмотренным в этом анализе или слишком сложно им объясняемым.

В разделе 1.1 мы показываем, что для матрицы А общего положения ближайшая матрица из множества £ недиагонализуема. Быть в общем положении означает в данном случае, что

В указанной выше статье Малышева доказано, что для матрицы А общего положения максимум в формуле (2) может достигатся в точке 7* = О лишь при выполнении условия

где ип и и„ суть правый и левый сингулярные векторы матрицы А, ассоциированные с сгп(А). В разделе 1.2 мы упрощаем вывод соотношения (6), пользуясь лишь стандартными фактами о производных сингулярных чисел; в частности, в отличие от доказательства Малышева, мы не опираемся на аналитичность этих чисел и соответствующих сингулярных векторов.

В разделе 1.3 мы проводим подробный анализ задачи Малышева для случая, когда А — нормальная матрица. Главный результат этого раздела

(5)

(6)

— формула, выражающая расстояние р2{А,С) через модули двух младших собственных значений матрицы А:

т

В типичном случае максимум в формуле Малышева (2) достигается при положительном значении 7* параметра 7. Если /(7*) = С2п-1(-Ро(7*)) является кратным сингулярным числом матрицы то построение матрицы Ь = А + А Е С, ближайшей к матрице Л, требует предварительного вычисления специальной пары сингулярных векторов для Ро(7*)- Связанные с этим вычислительные проблемы обсуждаются в разделе 1.4.

Отметим, что изложение в первой главе диссертации основано на работах [1,4,5].

Вторая глава содержит основные результаты диссертации. Здесь доказывается формула типа Малышева для спектрального расстояния от комплексной до множества матриц, имеющих собственное значение нуль кратности

Введем векторный параметр

7 = (71.72,7з), 7ь 72,7з е С,

(8)

и положим

Определим функцию

/(7) = *Зп-2(<?(7))-

Главный результат диссертации — формула

(9)

(10)

/>2(А.М) = т^/(7).

(И)

В обосновании формулы (11) мы следуем схеме доказательства формулы (2), предложенной в цитированной выше статье Малышева. При этом приходится преодолевать значительные технические сложности, связанные с переходом от одномерного вещественного параметра к трехмерному комплексному.

В разделе 2.1 устанавливается неравенство

В разделе 2.2 мы исследуем свойства сингулярных векторов матрицы 0(7)- Некоторые из них имеют место для всех 7, но наиболее важные для нас выполняются лишь в точке 7* локального экстремума функции /(7)-В разделе 2.3 мы конструируем возмущение Д, такое, что

и

Л+Дем. (14)

Это построение предполагает, что для точки максимума

справедливо

71*72* Ф 0. (15)

Наличие точки экстремума, удовлетворяющей условию (15), называем основным вариантом. Таким образом, результатом раздела 2.3 является обоснование формулы типа Малышева в основном варианте.

В разделе 2.4 проведен подробный анализ случая нормальной матрицы А. Этот анализ показывает, что, за исключением ситуации

когда равенство (11) выполняется очевидным образом, точка экстремума функции /(7) обязана подчиняться соотношению (15). Это доказывает формулу типа Малышева для нормальной матрицы А.

В разделе 2.5 мы возвращаемся к исследованию общего случая и доказываем формулу (11) для "плохих"матриц А, т.е. матриц, не подчиняющихся соотношению (15). В доказательстве используется непрерывность обеих частей формулы как функций от А и плотность в МП(С) множества "хороших" матриц. Это завершает обоснование формулы типа Малышева.

В разделе 2.6 анализируются вычислительные аспекты, связанные с использованием формулы (11). Подробно обсуждается и иллюстрируется графиками (см. Приложение 2) значительно более сложная динамика поведения сингулярных чисел матрицы по сравнению с задачей Малышева.

Отметим, что эта глава диссертации основана на работах [3,6,7].

В третьей главе диссертации исследуется вопрос о том, в какой мере идеи статьи А.Н. Малышева могут быть распространены на еще одну метрическую матричную задачу. Пусть есть множество комплексных пХп—матриц, имеющих пару собственных значений (Ао, — Ао)> симметричную относительно нуля. Как найти спектральное расстояние от заданной —матрицы А до множества

Положим

Свойства функции /(7) исследуются в разделе 3.2. Необходимые условия экстремума этой функции выводятся в разделе 3.3. В разделе 3.4 по-

вия экстремума этой функции выводятся в разделе 3.3. В разделе 3.4 показано, что если экстремум достигается в точке 7* > 0, то имеет место равенство

При этом строится возмущение со спектральной нормой такое, что

л + ДеК*.

В разделе 3.5 проведен анализ случая нормальной матрицы А. Установлены условия для каждой из двух возможных ситуаций: Как отмечено выше, в первой ситуации равенство (16) имеет место.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и представлен взгляд автора на их теоретическое и прикладное значение.

Приложение 1 содержит Matlab-функции, вычисляющие для заданной матрицы А ближайшую матрицу соответственно в множествах Приложение 2 — это, как уже говорилось, графики, иллюстрирующие обсуждение в разделе 2.6.

Основные результаты работы

Главным результатом диссертации является формула типа Малышева для спектрального расстояния от комплексной п х пматрицы А до множества М матриц, имеющих собственное значение нуль кратности > 3:

где вспомогательная матрица ^(7) определена в (8)-(9). Отметим, что вместо максимизации по трем комплексным переменным в формуле (17) можно искать максимум по четырем вещественным переменным

Пусть N — множество n x пматриц, имеющих (какое-либо) собственное значение кратности > 3. Как и для задачи Малышева, из формулы (17) немедленно вытекает, что

Р2(А,А/)=тшр2(А-\1„,М).

Из других результатов диссертации выделим следующие два:

1. Для матрицы А общего положения ближайшие к ней матрицы множеств С и М недиагонализуемы.

2. Для нормальной матрицы А с собственными значениями Ai,..., Ап, где расстояние равно

Публикации по теме диссертации

1. Икрамов Х.Д., Назари A.M. Об одном замечательном следствии формулы Малышева // ДАН. 2002. Т. 385, N 5. С. 599-600.

2. Икрамов Х.Д., Назари A.M. Об одной метрической задаче для матриц // ЖВМ и МФ. 2003. Т. 43. N.1. С. 3-11.

3. Nazari A. M. On a remarkable implication of Malyshev's formula // 9th Iranian Students Seminar in Europe (Birmangham 2002).

4. Икрамов Х.Д., Назари A.M. О расстоянии до ближайшей матрицы с тройным собственным значением нуль // Матем. заметки. 2003. Т. 73, N 4. С. 545-555.

5. Nazari A. M., Ikramov Kh. On a remarkable implication of Malyshev's formula // Abstract and General Guide. 33rd Iranian Mathematics Conference. Ferdowsi University of Mashhad. Mashhad, Iran, 2002, p. 86.

6. Икрамов Х.Д., Назари A.M. О ближайшей матрице с кратным собственным значением нуль // Вестн. МГУ. Сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 2003. N 4. С. 20-24.

7. Икрамов Х.Д., Назари A.M. Вычислительные аспекты применения формулы Малышева // ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44. N 1. С. 3-7.

8. Икрамов Х.Д., Назари A.M. Нормальные матрицы и обобщение формулы Малышева // Матем. заметки. 2004. Т. 75. N 5. С. 652-662.

9. Ikramov Kh., Nazari A. M. On the distance matrix with a triple zero eigenvalue // Abstract and General Guide. 34rd Iranian Mathematics Conference. Shahrood University of Technology. Shahrood, Iran, 2003, p. 63.

10. Икрамов Х.Д., Назари A.M. Об обосновании формулы малышевского типа в анормальном случае (представлена в журнал "Матем. заметки").

11. Nazari A. M. On the closest matrix with a multiple zero eigenvalue // 12th Iranian Researchers Conference in Europe ,Manchester, UK, 2004, p. 87.

Издательство 000 "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 04.08.2004 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 0,75. Тираж 110 экз. Заказ 886. Тел. 939-3890,939-3891,928-1042. Тел./Факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

* 16797

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Формула Малышева и ее следствия.

1.1. Недиагонализуемость ближайшей матрицы.

1.2. Необходимое условие экстремума в нуле.

1.3. Случай нормальной матрицы А.

1.4. Вычислительные аспекты.

- Глава 2. Расстояние до множества матриц с тройным собственным значением нуль.

2.1. Нижняя оценка для расстояния.

2.2. Необходимые условия экстремума.

2.3. Построение минимального возмущения в основном варианте

2.4. Случай нормальной матрицы А.

2.4.1. Редукция задачи.„.т^тттт.

2.4.2. Сингулярные числа матрицы Г.

2.4.3. Случай ап(А) = 0"П1(А).

2.4.4. Доказательство неравенств (2.58).

2.5. Доказательство формулы для анормальной матрицы

2.5.1.Максимум в точке 7* = 0.

2.5.2. Максимум в точке 7* = (7^, 0,0).

2.6. Вычислительные аспекты.

Глава 3. Расстояние до множества матриц с парой собственных значений, симметричных относительно нуля.

3.1. Нижняя оценка для расстояния.

3.2. Исследование функции /(7).

3.3. Необходимые условия экстремума.

3.4. Построение минимального возмущения.

3.5. Случай нормальной матрицы А.

Метрические задачи — это раздел теории матриц, одновременно классический и продолжающий развиваться и приносить новые результаты, принадлежащий сразу и теоретической, и прикладной линейной алгебре. Вот несколько приметров, иллюстрирующих этот тезис.

Как известно, всякая квадратная комплексная матрица А может быть представлена суммой

А = В + Ю, (0.1) где В и С — эрмитовы матрицы, и произведением

А = БЦ, (0.2) где 5 положительно (полу)определенная, а С/ —унитарная матрицы. Представление (0.1), называемое теплицевым (или эрмитовым) разложением матрицы А, всегда единственно, причем

В = \(А + А*), С = ±{А-А*).

Представление (0.2), называемое полярным разложением, единственно, если А — невырожденная матрица, что для простоты и будет предполагаться ниже.

Теплицево и полярное разложения являются матричными аналогами соответственно алгебраической и показательной формы комплексного числа г, т.е представлений г = х + %у, г = ре{ф, (0.3) где х,у,р7ф £ К и р > 0. Более того, ряд свойств матриц В, С, Б и С/ аналогичен свойствам вещественных параметров представлений (0.3). Так, непосредственно очевидному факту — х есть точка вещественной оси, ближайшая к г, — соответствует матричное соотношение

А-В\\Р=ппп\\А-Н\\Р. (0.4)

Другому геометрическому обстоятельству — число е1^ есть точка единичной окружности, ближайшая к z, — отвечает соотношение

A-U\\f= шшЦА-УЦ*. (0.5)

Равнства (0.4) и (0.5) относятся к матричной геометрии — красивому, но, возможно, не слишком прикладному разделу теории матриц. Примером гораздо более практичного метрического соотношения может служить знаменитая теорема Экарта—Янга:

Теорема 0.1. Пусть А — комплексная га X п—матрица с сингулярными числами

01 (А) > сг2(А) > . > as(A), s = min(m, n). (0.6)

Обозначим через M.r многообразие m x n—матриц ранга г. Тогда спектральное расстояние от А до Мг, определяемое как

P2(A,Mr)=Bu£JA-Bll2, (0.7) равно числу <rr+i(A). Если, в частности, А— квадратная п X п—матрица, то ее спектральное расстояние до множества вырожденных матриц равно числу сгп(А).

Пусть

А = VEU* (0.8) есть сингулярное разложение п х п—матрицы А. В этом разложении U и V— унитарные матрицы, а

Е = diag(<7i,., ап). (0.9)

Сингулярные числа сгг- в (0.9), как правило, предполагаются упорядоченными по убыванию (см. (0.6)). В таком случае матрица В, реализующая расстояние от А до множества Adn-i, может быть вычислена по формуле

В = A — crnvnu*n, (0.10) где г>„ и ип— последние столбцы соответственно матриц V и II; иначе говоря, уп и ип суть левый и правый сингулярные векторы, ассоциированные с младшим сингулярным числом <тп.

Рассмотренные примеры относятся к классике теории матриц. В частности, теорема Экарта—Янга известна еще с 1930—х годов. Приведем теперь примеры (сравнительно) недавно найденных метрических матричных соотношений.

Пусть Сь~ непустое открытое подмножество комплексной плоскости, а Сд— его дополнение:

С = СдиСь. (0.11)

Матрица А € Мп(С) называется устойчивой (по отношению к Сд), если ее спектр содержится в Сд. Радиусом устойчивости этой матрицы (по отношению к Сд) называется число г (А, Сд) — т£{||А|| : А+А имеет хотя бы одно собственное значение в Сд}.

0.12)

Классическими примерами разбиения (0.11) являются случаи, когда Сд есть полуплоскость

Р = {г е С : Кег < 0} (0.13) или единичный круг

Сд = {ге С:\г\< 1}. (0.14)

Формулы для вычисления радиуса устойчивости известны с 1980-х годов[1-3]. Наиболее удобная из них имеет вид (норма в (0.12) предполагается спектральной) г(А,Сд)= пип ап{г1 -А). (0.15)

В частности, для случая Сд = Р (см. (0.13)) получаем г (А, Сд) = т\п ап{ш1 - А). (0.16)

Если минимум в (0.16) достигается в точке и>* и

7* = an(iu*I - А), то минимальное возмущение А, выводящее А из зоны устойчивости, можно выбрать как матрицу ранга 1

Д = -(T*vu*, где и и V— соответственно правый и левый сингулярные векторы матрицы гш*1 — А для сингулярного числа а*.

Пусть теперь А - вещественная п X п—матрица, а Сд - множество, симметричное относительно вещественной оси. Тогда, наряду с (0.12), можно определить величину га(Л, Сд) = inf{||Д|| : А е Мп(R) и А + А имеет хотя бы одно собственное значение в Сд}, называемую вещественным радиусом устойчивости. В этом случае о числе (0.12) говорят как о комплексном радиусе устойчивости той же матрицы.

Формулы для вычисления вещественного радиуса устойчивости найдены в [4]. Приведем ту из них, которая по структуре ближе всего к формуле (0.15) (снова считаем, что в (0.17) взята спектральная норма): гп{А,Сд) = min шах <т2п1(Р(7)), (0.18) zedCg 76(0,1] где z = х + гу, а Р(7) - следующая матрица порядка 2п:

Р(7) = А- xln -чу 1п ^

7 1у1п А — х1п

Пусть минимакс в формуле (0.18) достигается при значениях параметров г = г* = х* + 1у*, 7 = 7*. Для этих значений положим <72п-1(Р(7*)). (0.19) 8

Тогда минимальное вещественное возмущение А, выводящее А из зоны устойчивости, можно построить как матрицу ранга 2

А = -(т*(у1У2){и1и2)+. (0.20)

Здесь \ / \

Чл ЧН

0.21) и и2 и

V =

И2/ суть специальным образом выбранные сингулярные векторы, соответственно правый и левый, для сингулярного числа а* матрицы Р(у*), а иъ их подвекторы размерности п.

Можно было бы привести немало новых метрических соотношений из текущей журнальной литературы (см., например, [5-7]). Однако мы ограничимся лишь одним результатом, послужившим стимулом для выполнения данной работы.

В [8] А. Н. Малышевым получена следующая формула для спектрального расстояния ГБер(-Л) от комплексной п X п—матрицы А до ближайшей матрицы, имеющей кратное собственное значение: гзер(А) = тттах<72тг-1(^л(7))- (О-22)

Здесь

А - Х1п 71п 0 А — Х1п

Пусть С - множество п х п—матриц с кратным собственным значением нуль. Основной элемент в выводе формулы (0.22) — это доказательство формулы для спектрального расстояния р2(А, С) от матрицы А до множества £:

РхЬ)

0.23) где р2(А,С) = шах/(7),

7) = *2»-1(Л)(7)). 9

0.24)

0.25)

Вкратце схема доказательства такова. Сравнительно просто доказывается неравенство т<Р2(л,с) у7.

В точке 7*, где функция (0.25) достигает своего максимума <т*, исследуются свойства правых и левых сингулярных векторов матрицы Ро(т*)» отвечающих числу а*. Опираясь на свойства этих векторов, А. Н. Малышев строит матрицу А со спектральной нормой <7*, для которой А + А имеет кратное собственное значение нуль. Это построение различно для случаев -у* = 0 и 7* > 0. Во всех случаях возмущение А может быть выбрано как матрица ранга 1 или 2 и выражается формулами типа (0.10) или (0.20).

Содержание диссертации можно коротко охарактеризовать как развитие идей А. Н. Малышева в различных направлениях.

Первая глава диссертации посвящена важным деталям задачи Малышева, не покрываемым анализом, проведенным в [8], не рассмотренным в этом анализе или слишком сложно им объясняемым. В разделе 1.1 мы показываем, что матрица Л + А из [8] (т.е. матрица из С, ближайшая к А), как правило, недиагонализуема. Так заведомо будет, если 7* > 0, а также если 7* = 0 и стп(А) < сгп1 (А).

Ситуация

7* = 0, ап(А) < ап-\(А) возможна лишь при выполнении условия у*пип = 0, (0.26) где ип и уп суть правый и левый сингулярные векторы матрицы А, ассоциированные с <тп(А) (см. [8, раздел 5.2]). В разделе 1.2 мы упрощаем вывод соотношения (0.26), пользуясь лишь стандартными фактами о производных сингулярных чисел; в частности, в отличие от доказательства в [8], мы не опираемся на аналитичность этих чисел и соответствующих сингулярных векторов.

В разделе 1.3 мы проводим подробный анализ задачи Малышева для случая, когда А — нормальная матрица. Главный результат этого раздела — формула, выражающая расстояние Р2(А, С) через модули двух младших собственных значений матрицы А:

Построение минимального возмущения Д в случае 7* > 0 требует предварительного вычисления специальной пары сингулярных векторов матрицы Рд(у*). Связанные с этим вычислительные проблемы обсуждаются в разделе 1.4.

Отметим, что изложение в первой главе диссертации основано на работах [9-11].

Вторая глава содержит основные результаты диссертации. Здесь мы доказываем формулу типа Малышева для спектрального расстояния от комплексной п х п—матрицы А (п > 3) до множества М. матриц, имеющих собственное значение нуль кратности > 3.

Введем векторный параметр

0.27)

7 = (71» 72» 7з), 7ь 72,7з € С

0.28) и положим д(7) — 0 А л1п

0.29)

Определим функцию

7) = *Зп-2(0(7)).

0.30)

Главный результат диссертации — формула р2{А,М) = т ах/(7). (0.31)

В обосновании формулы (0.31) мы следуем схеме доказательства формулы Малышева в [8]. При этом приходится преодолевать значительные технические сложности, связанные с переходом от одномерного вещественного параметра к трехмерному комплексному. В разделе 2.1 устанавливается неравенство

Ш<Рг(А,М) У76С3. (0.32)

В разделе 2.2 мы исследуем свойства сингулярных векторов матрицы Я{у). Некоторые из них имеют место для всех у, но наиболее важные для нас выполняются лишь в точке у* локального экстремума функции /(7). В разделе 2.3 мы конструируем возмущение Д, такое, что

ЦА||2 = ^ = /(7#) = тах/(7) (0.33) и

А + АеМ. (0.34) Это построение предполагает, что для точки максимума

7* = М, 72.7З*) справедливо

7172 > 0. (0.35)

Наличие точки экстремума, удовлетворяющей условию (0.35), мы называем основным вариантом. Таким образом, результатом раздела 2.3 является обоснование формулы типа Малышева в основном варианте.

В разделе 2.4 проведен подробный анализ случая нормальной матрицы А. Этот анализ показывает, что, за исключением ситуации сгп-2(А) = <7„1(Л) = сгп(А)у 12 когда равенство (0.31) выполняется очевидным образом, точка экстремума функции /(7) обязана подчиняться соотношению (0.35). Это доказывает формулу типа Малышева для нормальной матрицы А.

В разделе 2.5 мы возвращаемся к исследованию общего случая и доказываем формулу (0.31) для „плохих" матриц А, т.е. матриц, не подчиняющихся соотношению (0.35). В доказательстве используется непрерывность обеих частей формулы как функций от Л и плотность в Мп(С) множества „хороших" матриц. Это завершает обоснование формулы типа Малышева.

В разделе 2.6 обсуждаются вычислительные аспекты, связанные с использованием формулы (0.31).

Отметим, что эта глава диссертации основана на работах [12-14].

В третьей главе диссертации мы исследуем вопрос о том, в какой мере идеи статьи [8] могут быть распространены на еще одну метрическую матричную задачу. Пусть К\й— множество комплексных п х п—матриц, имеющих пару собственных значений (Ло, —Ао), симметричную относительно нуля. Как найти спектральное расстояние от заданной п х п—матрицы А до множества /Сд0?

Положим о А + Ло/„; и

7) = *2п-1«Ао(7)). (0.37)

В разделе 3.1 устанавливается неравенство

1Ь)<Р2{А,КХ0) У7>0. (0.38)

Свойства функции /(7) исследуются в разделе 3.2. Необходимые условия экстремума этой функции выводятся в разделе 3.3. В разделе 3.4 показано, что если экстремум достигается в точке 7* > 0, то имеет место равенство

Р2(А,К\о) = /(7*) = (0.39)

При этом строится возмущение А со спектральной нормой а* = /(7*)> такое, что

А + Д е/сАо.

В разделе 3.5 проведен анализ случая нормальной матрицы А. Установлены условия для каждой из двух возможных ситуаций:

7* > 0 и 7* = 0.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и представлен взгляд автора на их теоретическое и прикладное значение.

Заключение

Основным результатом диссертации является формула типа Малышева для спектрального расстояния от п х п—матрицы А до множества М. матриц с собственным значением нуль кратности > 3. Обоснование этой формулы дано во второй главе, занимающей центральное место в данной диссертации.

Пусть Л/" — множество п хп—матриц, имеющих (какое-либо) собственное значение кратности > 3. Ясно, что

МсЯ и

Поэтому где и р2(А,М) = ттр2(А~Х1п,М).

ЛЕС

Р2(А,ЛГ) = шшш^/аМ, (!)

А(7) = ^Зп-аШт)) А-XI 711п 7з 1п

О А - XI 72/„

О О А- XI \ /

Формула (1) аналогична формуле Малышева (0.22).

В [8, раздел 6] А. Н. Малышев описывает приложения, в которых для вещественной матрицы А требуется найти ближайшую (в смысле спектральной нормы) вещественную же матрицу с кратным вещественным собственным значением. Одно из этих приложений связано с анализом явления флаттера [23]. Подобные ситуации решаются формулой (0.22), где минимизация пд всей комплексной плоскости заменяется минимизацией по г 93 вещественной оси R. Если повысить требования к кратности собственного значения, то то же самое можно сказать о формуле (1).

О другом возможном приложении формул типа Малышева уже говорилось в главе 3. Напомним, что ситуация, когда якобиан динамической системы вырожден в точке равновесия и имеет в своей жордановой форме клетку порядка 2 для нулевого собственного значения, называется точкой бифуркации Богданова-Такенса. В этих терминах ситуация, когда якобиан принадлежит множеству Л4 и с его нулевым собственным значением связана клетка порядка 3, соответствует бифуркации Богданова-Такенса порядка 3 (или тройной точке бифуркации) [21, раздел 5.1.1; 24]. Таким образом, формулы типа Малышева могут быть использованы для оценки расстояния от текущего состояния динамической системы до ближайшей точки бифуркации того или иного вида.

В заключение упомянем еще о двух примечательных результатах данной работы:

1. Для нормальной матрицы А с собственными значениями Ai,., А„, где |Ai| > |Аг| > . > |АП|, расстояние р2(А,С) равно lAn-il2 + lAn[2j1/2

2. Матрица В £ С, ближайшая к А, всегда недиагонализуема за возможным исключением случая ап(А) = crni(A).

Как видно из анализа, проведенного в главе 2, аналогичное свойство по отношению к множеству Л4 верно для плотного множества „хороших" матриц.

1. Doyle J.С., Stein G. Multivariable feedback design: concepts for a classical / modern synthesis // 1.EE Trans. Autom. Control. 1981. V. 26. P. 4-16.

2. Chen M.J., Desoer C.A. Necessary and sufficient condition for robust stability of linear distributed systems // Int. J. Control. 1982. V. 35. P. 255267.

3. Hinrichsen D., Pritchard A.J. Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation // Syst. Control Lett. 1986. V. 8. P. 105-113.

4. Qiu L., Bernhardsson В., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle J.C. A formula for computation of the real stability radius// Automatica. 1995. V. 31. N 6. P. 879-890.

5. Higham N.J., Tisseur F., Van Dooren P.M. Detecting a definite Hermitian pair and a hyperbolic or elliptic quadratic eigenvalue problem, and associated nearness problems // Linear Algebra Appl. 2002. V. 351352. P. 455-474.

6. Genin Y., Stefan R., Van Dooren P. Real and complex stability radii of polynomial matrices // Linear Algebra Appl. 2002. V. 351352. P. 381-410.

7. Hachez Y., Van Dooren P. Elliptic and hyperbolic quadratic eigenvalue problems and associated distance problems // Linear Algebra Appl. 2003. V. 371. R 31-44.

8. Malyshev A.N. A formula for the 2-norm distance from a matrix to the set of matrices with multiple eigenvalues // Numer.Math. 1999. V. 83. P. 443-454.

9. Икрамов Х.Д., Назари A.M. Об одном замечательном следствии формулы Малышева // ДАН. 2002. Т. 385, N 5. С. 599-600.

10. Икрамов Х.Д., Назари A.M. О ближайшей матрице с кратным собственным значением нуль // Вестн. МГУ. Сер.15, вычисл. матем. и киберн. 2003. N 4. С. 20-24.

11. Икрамов Х.Д., Назари A.M. Вычислительные аспекты применения формулы Малышева // ЖВМ и МФ. 2004. Т. 44. N 1. С. 3-7.4

12. Икрамов Х.Д., Назари A.M. О расстоянии до ближайшей матрицы с тройным собственным значением нуль // Матем. заметки. 2003. Т. 73, N 4. С. 545-555.

13. Икрамов Х.Д., Назари A.M. Нормальные матрицы и обобщение формулы Малышева // Матем. заметки. 2004. Т. 75. N 5. С. 652-662.

14. Икрамов Х.Д., Назари A.M. Об обосновании формулы малышевского типа в анормальном случае (представлена в журнал „Матем. заметки").

15. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1977.

16. Икрамов Х.Д. Явные формулы для матрицы с кратным собственным значением нуль, ближайшей к заданной нормальной матрице // ДАН. 2004. Т.

17. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001.

18. Sun J.-G. A note on simple non-zero singular values //J. Comput. Math. 1988. V. 6. P. 259-266.

19. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972

20. Rellich F. Perturbation theory of eigenvalue problems. Lecture Notes, New York Univ., 1953.

21. Govaerts W.J.F. Numerical methods for bifurcations of dynamical equilibria. SIAM, 2000.

22. Икрамов Х.Д., Назари A.M. Об одной метрической задаче для матриц // ЖВМ и МФ. 2003. Т. 43. N.1. С. 3-11.

23. Sander G., Bon С., Geradin М. Finite element analysis of supersonicpanel flutter // Int. J. Num. Meth. Eng. 1973. V. 7. P. 379-394. «

24. Khibnik A.I. LINLBF: A program for continuation and bifurcation analysis of equilibria up to codimension three. In 25., pp. 283-296.96