О граничной регулярности решений системы магнитной гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

О граничной регулярности решений системы магнитной

гидродинамики

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление,

АВТОРЕФЕРАТ диссертации, на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005000751

На правах рукописи

Вялов Виктор Андреевич

1 7 НОЯ 2011

Санкт-Петербург — 2011

005000751

Работа выполнена на кафедре математической физики

математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор, Уралъцева Нина Николаевна

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОПОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор, Серегин Григорий Александрович. (Учреждение РАН, Санкт-Петербургское отделение математического интситута

им. В. А. Стеклова РАН)

(Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых

Защита состоится «8» декабря 2011 года в «14» ч. на заседании совета Д 212.232. по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском госу дарственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Уни верситетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горьког в Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан «_»_2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор А. А. Архипов

доктор физико-математических наук, профессор, Ивочкина Нина Михайловна

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена исследованию регулярности решений системы магнитной гидродинамики (МГД). Эта система может быть записана следующим образом

d,v + (у ■ V)i> - Ди + Vp = rot Я х Я I

> в Qt, (1)

divu = 0 J

dtH + rot rot Я = rot(v x H) \

> в Qt- (2)

div H = 0 J

Здесь fl С I - это ограниченная область с границей класса С2, Qt = ft х (0,Т), v : Qt —> К3 поле скоростей жидкости, р : Qt —> R - давление, Я : Qt -» К3 напряженность магнитного поля. Данная система описывает движение проводящей вязкой несжимаемой жидкости в магнитном поле. В область приминения магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты - от жидких металлов до космической плазмы. Магнитная проницаемость сред, которые рассматриваются в данных задачах, мало отличается от единицы. Система уравнений (1) (2) получается из систем Навье-Стокса и Максвелла в предположении, что ток смещения мал и им можно пренебречь (см. [11]).

Сразу же отметим, что данная система является переопределенной, в ней на 7 неизвестных (по три компоненты у г) и Я и давление) приходится 8 уравнений. Поэтому ее разрешимость возможна только для весьма специфического класса граничных условий. В нашей работе рассматривается случай, когда течение жидкости происходит в области, ограниченной идеальным проводником. Это дает следующие краевые условия:

1>|зггх(о,т) = 0, (3)

Я^|апх(о,т) = °> (rot Я)т|эпх(о,т) = 0. (4)

В частном случае при Я = 0 система (1) (2) превращается в систему Навье-Стокса, которая описывает движение вязкой ньютоновской жидкости. На сегодняшний день проблема гладкости слабых решений трехмерной системы Навье-Стокса

является одной из фундаментальных проблем современной математической гидродинамики. При этом вопросы о единственности решения и существовании глобального гладкого решения для задачи Коши для этой системы уравнений тесно связаны между собой, до сих пор остаются открытыми и входят в число millenium problems.

Важным шагом в изучении свойтсв решений системы Навье-Стокса стала идея "локализации решения в точке х". точку (аго,<о) £ Qt мы будем называть регулярной, если слабое решение уравнения гладкое в окрестности этой точки. Исследования критериев локальной регулярности решений, а также свойтств множества сингулярных точек были начаты В.Шеффером (см., например, [5]) и в дальнейшем развиты Л. Каффарелли, Р.-В. Коном и Л. Ниренбергом в [1]. При этом можно выделить два типа маштабно-инвариантных функционалов, в терминах которых можно получать достаточные условия регулярности: нормы в пространстве Морри и нормы в анизотропных пространствах Лебега. При этом проблема регулярности решений в случае только конечности маштабно-инвариантных энергетических норм на сегодняшний день полностью открыта.

Отдельный интерес представляют критерии регулярности для системы Навье-Стокса вблизи границы. Подобные исследования требуют гораздо более глубокого и детального (по сравнению с внутренним случаем) изучения свойств решений линеаризованной системы. Эти исследования были проведены В. А. Солонниковым, Г. А. Серегиным и Т. Н. Шилкиным в работах [6] и [8], где были доказаны граничные аналоги критериев Каффарели-Кона-Ниренберга. В дальнейшем эти результаты были развиты А. С. Михайловым в [12].

Для системы магнитной гидродинамики можно развить теорию регулярности, обобщающую уже известные результаты для системы Навье-Стокса. При этом остается вопрос о возможности заменить условия малости маштабноинвариантных функционалов условиями ограниченности. В силу того, что при Я = 0 система (1) (2) превращается в систему уравнений Навье-Стокса, то, скорее всего, не стоит ожидать ослабления условий на поле скоростей v. При этом у нас возникает промежуточный случай: условия малости накладываются на поле скоростей v, а на магнитную компоненту Н накладываются только условия ограниченности. Подобные результаты

были получены в работе [2] Ч. Хе и 3. Ксином. Их подход позволил получить целую серию критериев регулярности решений системы (1) (2). Однако вопрос о граничной регулярности решений системы (1) (2) до сих пор оставался полностью открытым.

Цель работы.

1. Исследование гладкости решений системы уравнений Навьс-Стокса, возмущенной внешней силой электромагнитного происхождения, норма которой в соответствующем маштабно-инвариантном пространстве Морри не предполагается изначально малой.

2. Исследование критериев регулярности для подходящих слабых решений системы (1) (2) вблизи границы.

3. Получение оценки на хаусдорфову параболическую размерность множества сингулярных точек системы (1) (2), принадлежащих границе.

4. Обобщения результатов работ [7] и [12] для системы (1) (2) на внутренний случай и случай принадлежности точки плоскому участку границы.

Методы исследования.

В диссертационной работе используются самые различные методы современной теории дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, энергетические оценки, коэрцитивные оценки для линейных задач, различные критерии гладкости функций в терминах пространств Морри и Кампанато, метод масштабных преобразований ("blow-up procedure"), итерационная техника и многое другое.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:

• Доказана частичная регулярность подходящих слабых решений уравнений магнитной гидродинамики вблизи плоского участка границы. А именно, установлено, что одномерная параболическая хаусдорфова мера пересечения множества сингулярных точек (в окрестности которых решение не является непре-

рывным по Гельдеру) с плоским участком границы равна нулю. Этот результат является оптимальным в том смысле, что он аналогичен наилучшему из известных на сегодняшний день результатов для уравнений Навье-Стокса (установленным Каффарелли, Коном и Ниренбергом во внутреннем случае и Г. А. Серегиным в случае плоской границы).

• Установлен ряд достаточных условий локальной граничной регулярности подходящих слабых решений уравнений магнитной гидродинамики. Типичным таким условием является требование малости какого-либо масштабно-инвариантного энергетического функционала для поля скоростей жидкости при условии конечности аналогичного функционала для магнитного поля. Эти результаты являются оптимальными в том смысле, что они аналогичны известным на сегодняшний день условиям регулярности, установленным для уравнений магнитной гидродинамики в работе [2] для внутренних точек области.

• Проведено исследование гладкости решений системы уравнений Навье-Стокса, возмущенной внешней силой электромагнитного происхождения, норма которой в соответствующем маштабно-инвариантном пространстве Морри не предполагается изначально малой.

• "Отшлифована" техника доказательства достаточных условий регулярности решений системы магнитной гидродинамики, что позволило установить ряд условий, являющихся новыми даже во внутреннем случае (в частности, условие "равномерной малости" энергетических функционалов удалось заменить условием "равномерная ограниченность + малость при некотором радиусе")

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений в частных производных и ее приложениях.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на семинаре им. В. И. Смирнова по матема-

тической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В. А. Стеклова РАН (2010) и на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" посвященной 110-ой годовщине со дня рождения И.Г.Петровского (Москва, 2011).

Публикации,

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора (одна из них в соавторстве). Работы [1*] и [2*] опубликованв в журналах из перечня ВАК. Работа [3*] опубликована в журнале, удовлетворяющем достаточному условию для включения в перечень ВАК (переводная версия этого журнала "Journal of Mathematical Sciences" входит в системы цитирования Springer и Scopus) в соответствии с решением Президиума ВАК № 9/11 от 07.03.2008. В работе [2*] соавтору Т. Н. Шилкину принадлежит постановка задачи и общее руководство работой, а диссертанту - доказательство основных теорем.

Работа выполнена при поддержке Лаборатории им. П. JI. Чебышева СПбГУ, грант правительства РФ дог. 11.G34.31.0026

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трех глав, включающих 12 параграфов, и списка литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации составляет 90 страниц.

Содержание работы

Диссертация посвящена исследованиям регулярности решений системы (1) (2) в окрестности точки, принадлежащей плоскому учатску границы. В качестве краевых условий беруться условия течения жидкости в области, ограниченной идеальным проводником (3) (4). По аналогии с работами [4], [8] мы будем исследовать регулярность "подходящих слабых решений". Для уравнений Навье-Стокса данное понятие было, по-сути, введено В.Шеффером (см. напр. [5]).

Перейдем к детальному описанию содержания диссертации.

Глава 1 посвящена доказательству теоремы существования подходящих слабых решений, и получению различных вспомогательных оценок.

В §1.1 даются определения подходящих слабых решений и доказывается теорема I об их существовании.

Теорема I. Пусть Уц, Но е ^(П). Существует по крайней мере одна тройка функций (у,р,Н) такая, что

У,Н£ ¿2,оо((?т) п ¿2(0,7;^ (П)),

ре1|(Пх(7,т)) у7е(о,т)

V<Р>Н решают систему (1) (2) в смысле распределений, удовлетворяют локальному энергетическому неравенство внутри области, являются подходящем слабым решением в окрестности любой граничной точки. Дополнительно V, Н являются слабым решением системы.

§ 1.2 посвящен доказательству вспомогательных оценок для подходящих слабых решений. В дальнейшем эти оценки используются для доказательства базовых критериев ^-регулярности.

В § 1.3 исследуется система, получаемая при линеаризации задачи (1) (2). Для решений этой системы доказывается теорема II об их принадлежности пространству Гельдсра. Заметим, что в состав линеаризованной системы входит система уравнений Стокса (5), которая не обладает свойством гипоэллиптичности. Для этой системы локально можно доказать улучшение гладкости решения только по пространственной переменной х. Поэтому мы будем использовать коэрцитивные оценки в шкале анизатропных пространств Соболева, улучшая суммируемость только по пространственным переменным, сохраняя один и тот же показатель суммируемости по времени. В результате нам удастся получить максимальный результат, который можно получить для подобной системы вблизи границы (см. [9]), - это принадлежность решения пространству Гельдера.

Теорема II. Для любого М > 0 существует константа с(М) > 0 такая, что для любого а £ К3 вида а = (0,1,0.2,0)Т удовлетворяющего условию |а| < М, и любой

тройки функций (и, h, q) удовлетворяющих системе линейных уравнений

dtu — Ди + Vg = rot h х а div и = О

dt.h — Ah = rot(u х а) div h = О

(6)

w|.T3=0 = О,

(7)

Mz3=0 = °>

выполнены следующие оценки:

dh„ i

öz3 1.т3=0

0, «=1,2,

HI 'I , + l|/i|| i 1 ^ , < < c(M)(||u||L3(g+) + ||h - b|L3(Q+) + IIq ~ cIL3/2(Q+))

Здесь b 6 R3 произвольный вектор вида Ь = (61,62,0)т, и с 6 R произвольное число.

В §1.4 рассматривается уравнение (2), как уравнение теплопроводности. В результате получаются оценки для магнитной составляющей, помогающие в дальнейшем обобщить результаты работы [2] на граничный случай.

В главе 2 описанная выше техника применяется для получения критериев регулярности в окрестности внутренней точки.

В §2.1 на основе теоремы И и результатов §1.2 доказывается основной критерий £-регулярности внутри области.

Теорема III. Существует абсолютная константа £о > 0 такая, что для любой тройки v,p,H подходящего слабого решения МГД в Q(zo,Ro), если для некоторого

Данная теорема была доказана С. А. Мищенко в его дипломной работе, но, к сожалению, не была опубликована.

R < До

Q(z0, я)

то v и Н непрерывны по Гелъдеру в Q(zq,

В § 2.2 доказываются различные оценки для энергетических функционалов (аналог для системы Навье-Стокса см. [13]), позволяющие получить ограниченность для всех основных норм. Доказательтво этих оценок основывается на следующей идее. Пусть есть функция Ф : (0,1) ->• (0,+оо), для которой выполнена оценка Ф{вЯ.) < d~ßM + сваФ(Н), для произвольного 0 < в < 1/2 и некоторых констант с и М. Тогда Ф(Я) < с(М + RaФ(1)). В нашем случае в качестве функции Ф будет выступать некоторая комбинация энергетических функционалов, отвечающих нормам решений в различных пространствах Лебега и Соболева.

Параграфы 2.3 и 2.4 посвящены доказательству основных результатов диссертации, о регулярности решений системы магнитной гидродинамики внутри области. В частности доказывается обобщение известного критерия Кафарели-Кона-Ниринберга (см. [1]) на случай этой системы.

Теорема IV. Для любого К > 0 существует константа £о{К) > 0 обладающая следующим свойством: Пусть (г>, Н,р) - подходящее слабое решение системы МГД в Qт. Если

lim sup [ - [ |Vtf|2 dxdt У72 < К (9)

г—»0 ^ Т J /

<3(20,г)

и

lim sup ^ i J |Vv|2 dxdt У/2 < e0, (10)

то существует p, > 0 такое, что функции v и H непрерывны по Гелъдеру на замыкании множества Q(zo,p,).

Отмстим отличия последних двух теорем. Теорема III является базовым критерием ¿-регулярности. Главной ее особенностью является то, что для непрерывности по Гельдеру достаточно выполнения условия (8) при одном фиксированном R. В теореме IV условия ограниченности и малости должны выполняться для всех цилиндров достаточно малого радиуса, и также используются более сильные нормы. С другой стороны в условия теоремы IV отсутствуют какие-либо ограничения на давление. В условиях (9) (10) радиус цилиндра входит с показателем 1, что позволяет получить значительно лучшую оценку на Хаусдорфову размерность множества

сингулярных точек. Этот момент будет особенно актуален при получении критериев регулярности вблизи границы.

Для решений системы Навье-Стокса на сегодняшний день остается открытым вопрос о справедливости теоремы Каффарелли-Кона-Ниринберга в случае замены условий малости на условия ограниченности. Поэтому условие (9) подчеркивает подчиненную роль уравнения (2), чего нельзя увидеть из теоремы III.

Во внутреннем случае можно получить достаточно большое количество утверждений, которая является обобщением результатов работы [7] (см. также [12]). В нашей работе мы для краткости остановимся только на одном из них. Следующая теорема в каком-то смысле является "интерполяцией"предыдущих двух критериев: на супремум накладывается условие ограниченности, а малости достаточно только при фиксированном радиусе.

Теорема V. Для любого К > О существует константа £\{К) > 0 обладающая следующим свойством: Пусть (v, Н,р) - подходящее слабое решение системы МГД в Qt- Если

limsup(i J Н3 Ardi )VJ+( ^ J )H\2 dxdty'2 <K (11)

Q(20,r) QUo.r)

и выполнено одно из трех условий

liminf ( ^ У |Vn|2 dxdt У'* < еи

Q(zo,r)

liminf ( - sup f \v\2 dxdt ^ < £i, /10ч

г-Ю \ Г _r2<(<0 J )

B+{x0,r)

/1 f 3 \1/3

liminff -j / |v| dxdt J < £i_,

то существует p, > 0 такое, что функции v и H непрерывны по Гельдеру на замыкании множества Q(zo,p,).

Одним из наиболее важных следствий теорем IV и V является возможность оценить параболическую Хаусдорфову размерность множества сингулярных точек,

а также возможность доказать регулярность решений в случае наличия дополнительных условий или симметрий. Так, например, легко получить, что решения, не зависящие от одной из координат, будут гладкими. Также гладким будет осесиммет-ричное решение, за исключением, может быть, оси симметрии.

В § 2.3 доказыватеся основная теорема, посвященная критериям регулярности внутри области. Из этой теоремы и оценок, полученных в §2.2, легко выводится теорема V за исключением случая, когда условия малости накладываются на Утл

Доказательству теоремы IV и оставшегося случая теоремы V посвящен §2.4. Это сделано для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что во внутреннем случае доказательство этих утверждений требует специального подхода.

Глава 3 посвящена исследованию критериев локальной регулярности для системы (1) (2) вблизи плоского участка границы. Результаты этой главы находятся в прямом соответствии с результатами главы 2. Тем самым теория граничной регулярности, развитая в работах автора, доведена до того же состояния, что и теория регулярности внутри области.

В §3.1 доказываестя основной критерий е-регулярности вблизи границы.

Теорема VI. Существует абсолютная константа £» > 0 обладающая следующими свойствами. Пусть есть тройка функций (и, Н,р) - подходящее слабое решение системы МГД в (¿т и точка зд = (то,¿о) 6 х (О, Т) такая, что хо принадлежит плоскому участку Если существует го > 0, для которой выплнено <Э+(зд,П)) С <Эт и

^ У ( м3 + |#|3 + |р|® ухеи < с„

то функции v и Н непрерывны по Гелъдеру в замыкании множества (¿+(га,

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующего критерия во внутреннем случае. Отличие состоит в оценке давления, так как в этот раз не удастся использовать теорему о среднем для гармонической составляющей. Поэтому мы пользуемся идеей, предложенной Г. А Серегиным для системы уравнений

Навье-Стокса, и будем оценивать давление с помощью коэрцитивных оценок для системы Стокса.

Здесь стоит еще раз сделать важное замечание. Во внутреннем случае теорема III уже дает оценку на параболическую хаусдорфову размерноть множества сингулярных точек: из нее следует, что она не превосходит 2. При этом такая оценка в граничном случае оказывается бессодержательной, так как сама граница также имеет размерность 2, а значит необходима теорема VIII или подходящий ее аналог.

В §3.2 доказываются различные оценки для энергетических функционалов (аналог для системы Навье-Стокса см. [13]), вблизи границы кроме случая ограниченности L2-нормы Vv и S7H. При исследовании регулярности решений вблизи границы, оценки для этого случая требуют отдельного подхода, однако они крайни важны для оценки параболической Хаусдорфовой размерности множества сингулярных точек. Поэтому доказательство соответствующего неравенства вынесено в отдельный параграф.

В § 3.3 доказыватеся основная теорема, посвященная критериям регулярности внутри области. Из этой теоремы и оценок, полученных в параграфах 3.2 и 3.4, легко выводится следующая теорема.

Теорема VII. Для любого К > 0 существует константа £i(K) > 0 обладающая следующим свойством: Пусть (v, Н,р) - подходящее слабое решение системы. МГД вблизи границы в Qt и пусть zq = (xo,to) € 80. х (О,Т) такая, что точка хо принадлежит плоскому участку 80.. Если

< К (13)

q(zo,r)

и выполнено одно из трех условий

Q(* о,г)

Q(w)

sup

— г2 <t<0

B+(z0,r)

1/3

<3(20,г)

то существует р, > 0 такое, что функции v и Н непрерывны по Гельдеру на замыкании множества Q+(zo,p.).

В §3.4 проводятся более тонкие исследования уравнения (2), позволяющие в дальнейшем доказать теорему VIII, являющуюся аналогом критерия Каффарелли-Кона-Ниринберга.

Теорема VIII. Для любого К > О существует константа £о{К) > 0 обладающая следующим свойством: Пусть (v, Н,р) - подходящее слабое решение системы МГД вблизи гранмцы в Qt и пусть zо = {%o,to) G 9П х (О, Т) такая, что точка хо принадлежит плоскому участку 8Q. Если

limsupfi [ \VH\2 dxdtY'2 < К (15)

г->о \ г J )

и

limsup(i J |Vv|2ctedí)1/2 < е0, (16)

то существует р* > 0 такое, что функции v и Н непрерывны по Гельдеру на замыкании множества Q+ (zq, р*).

И, как уже было отмечено выше, теорема VIII позволяет получить оценку на параболическую хаусдорфову размерность множества сингулярнных точек на плоском участке границе.

Теорема IX. Пусть (v,H,p) - подходящее слабое решение системы МГД вблизи границы, в Qt и обозначим за Г плоский участок 8Q. Тогда существует замкнутое множество £ С Г такое, что для любого го £ (Г \ Е) х (О, Т\ функции (v, Я) непрерывны по гельдеру в го, и

Рг(£) = О,

где Vl{T,) - это одномерная параболическая Хаусдорфова мера на Е.

Список литературы

[1] L. Caffarelli, R. V. Kohn, L.Nirenberg, Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations// Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982), 771-831.

[2] Ch. He, 2,u. Xin. Partial regularity of suitable weak solutions to the incompressible magnetohydrodynamic equations // Journal of Functional Analysis 227 (2005) 113 - 152

[3] E. Hopf. Ober die Anfangsuiertaufgabe fur die hydrodynamishe Grundgleichungen. // Math. Nachrichten, 4 (1950/51), 213.231.

[4] O. A. Ladyzhenskaya, G.A.Seregin, On partial regularity of suitable weak solutions to the three-dimesional Navier-Stokes equations// J. Math. Fluid Mech. 1 (1999), 356-387.

[5] V. Scheffer, Hausdorff measure and Navier-Stokes equations// Commun. Math. Phys. 55 (1977), 97-112.

[6| G.A. Seregin, Local regularity of suitable weak solutions to the Navier-Stokes equations near the boundary// Journal of Mathematical Fluid Mechanics 4 (2002), no.l, 1-29.

[7] G.A.Seregin Local regularity for suitible weak solutions to the Navier-Stokes equations// Uspekhi Mat. Nauk 62:3 149-168

[8] G.A. Seregin, T.N. Shilkin, V.A. Solonnikov, Boundary patial regularity for the Navier-Stokes equations// Zap. Nauchn. Semin. POMI 310 (2004), 158-190.

[9] G. Seregin, V. Sverak On a bounded shear flow in half-space// Zap. Nauchn. Semin. POMI 385 (2010) 200-205.

[10] JI. Искауриаза, Г. А. Серегин, В. Шверак. Lz,oo-решения уравнений Навье-Стохса и обратная единственность// Успехи мат. наук 58 (2003), по. 2, 3-44.

[И] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоритическая физика. Том VIII.// Москва "Наука". Главная редакция физико-математической литературы. 1982 г.

[12] А. С. Михайлов, Локальная регулярность подходящих слабых решений системы Навье-Стокса вблизи границы// Zap. Nauchn. Semin. POMI 370 (2009), 73-

[13] Г. А. Серёгин, Оценки подходящих слабых решений в пространствах Морри с критическим показателем// Записки науч. сем. ПОМИ 336 (2006), 199-210;

[14] В. А. Солонников. О некоторых стационарных краевых задачах магнитной гидродинамики // Труды МИАН, 1960, 59, с. 174-187.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК

[1*] В. А.Вялов. О локальной гладкости слабых решений уравнений магнитной гидродинамики// Зап. Науч. Семинаров ПОМИ 370 (2009), 5-21.

[2*] В. А. Вялов, Т. Н. Шилкин. О граничной регулярности слабых решений системы уравнений магнитной гидродинамики.// Зап. Науч. Семинаров ПОМИ 385 (2010), 18-53.

Другие публикации

[3*] В. А. Вялов. Частичная регулярность решений уравнений магнитной гидродинамики/ / Проблемы мат. анализа 36 (2007), 3-13.

[4*] В. А. Вялов. Локальная регулярность решений системы магнитной гидродинамики вблизи плоского участка границы// Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 110-ой годовщине со дня рождения И. Г. Петровского (XXIII совместное заседание ММО и семинара им. И.Г.Петровского): Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ и ООО "ИНТУИТ.РУ" (2011), 175.

93.

Работы автора по теме диссертации

Подписано к печати 31.10.2011 г. Формат бумаги 60x84 '/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать цифровая. Объем 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 5282.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 26. Тел.: (812) 428 4043,428 6919

Введение

Список обозначений

1 Линейные оценки и теорема о существовании подходящего слабого решения

1.1 Существование подходящих слабых решений.

1.2 Модификации локального энергетического неравенства

1.3 Оценки для линеаризованной задачи.

1.4 Оценки для решений уравнения теплопроводности.

2 Регулярность внутри области

2.1 Основной критерий ^-регулярности

2.2 Условия ограниченности энергетических функционалов

2.3 Критерии регулярности.

2.4 Доказательство критерия регулярности в случае малости Vг

3 Регулярность вблизи плоского участка границы

3.1 Основной критерии ^-регулярности

3.2 Условия ограниченности.

3.3 Критерии регулярности.

3.4 Доказательство ограниченности функционалов в случае условии на Уи и VЯ.

Диссертация посвящена исследованию регулярности решений системы магнитной гидродинамики (МГД). Эта система может быть записана следующим образом

Здесь Г2 С М3 это ограниченная область с границей класса С2, (¿т = П х (0,Т). V : С}т —> К3 поле скоростей жидкости, р : —> М давление. Я : С^т -> К3 папряжеиностт> магнитного поля. Данная система описывает движение проводящей вязкой несжимаемой жидкости в магнитном поле. В область примииеиия магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты от жидких металлов до космической плазмы. Магнитная проницаемость сред, которые рассматриваются в данных задачах, мало отличается от единицы. Система уравнений (0.1) (0.2) получается из систем Навье-Стокса и Максвелла в предположении, что ток смещения мал и им можно пренебречь (см. [45]).

Сразу же отметим, что данная система является переопределенной, в ней на 7 неизвестных (по три компоненты у и и Я и давление) приходится (г; • V)у - Дг> + \7р = го! Я х Я Л (0.1) сну у = 0 сИу Я = 0

8 уравнений. Поэтому ее разрешимость возможна только для весьма специфического класса граничных условий. Мы будем исследовать случай, когда течение жидкости происходит в области, ограниченной идеальным проводником. Это дает следующие краевые условия:

Ишх(о,т) = 0, (0.3)

Н„\тх{о.т) = (г<*Я)т|5пХ(о,г) = 0. (0.4)

Исследованиям свойств решений системы магнитной гидродинамики посвящено достаточно большое количество работ: [44]. [1| [4| [5] [7] [18] [32] [17] [10] [И] [29] и многие другие.

Поскольку в частном случае при Н = 0 система (0.1) (0.2) превращается в систему Навье-Стокса, мы начнем с краткого обзора теории уравнений Навье-Стокса. чтобы обозначить круг результатов, па которые мы ориентировались в наших исследованиях системы магнитной гидродинамики.

На сегодняшний день проблема гладкости слабых решений трехмерной системы Навье-Стокса,

9,1- + (у ■ У)г» - Аи + V» = 0

0.5)

IV и = 0 описывающей движение вязкой ньютоновской жидкости, является одной из фундаментальных проблем современной математической гидродинамики. Система (0.5) применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Разнообразным исследованиям этой системы посвящено множество работ [15] [12] [41] [42] [43] [52] [3] [21] [19] [31] [13] [14] [24] [25] [29] [26] [40] [46] и многие другие. Однако, в настоящее время существует лишь несколько ситуаций, обусловленных простой геометрией, которые решены в аналитическом виде (течение Пуазейля. течение Тейлора- Куэтта и др.). При этом вопросы о единственности решения и существовании глобального гладкого решения для задачи Коши для трехмерной системы уравнений Навье-Стокса тесно связаны между собой, до сих пор остаются открытыми и входят в число millenium problems.

Отметим ряд результатов, которые были получены еще Ж. Лере'в его, ставшей уже классической работе [15j.

• Сущесвует Г* > 0 такое, что задача Коши для системы (0.5) имеет единственное гладкое решение с "приемлемыми свойствами паоо"(см. также [41]).

• Задача Коши для системы (0.5) имеет по крайней мере одно глобальное слабое решение, удовлетворяющее естественному энергетическому неравенству. Более того, слабое решение совпадает с гладким решением в R3 х (0;Т*). Аналогичные результаты для иачалыю-краепой задачи в ограниченной области были получены Э.Хопфом (см. [12]).

• Для данного слабого решения существует замкнутое множество S € (0; +оо) нулевой меры такое, что решение гладкое в М3 х ((0; -foo) \S). (На самом деле, рассуждения Лере позволяют получить, что= 0, однако явно это пе отмечено.)

В дальнейшем точку i()) G Qt мы будем называть регулярной, если слабое решение уравнения гладкое в окрестности этой точки. Остальные точки мы будем называть сингулярными. Важным шагом при исследовании множества сингулярных точек, стала идея "локализации решения в точке ж". Исследования в этом направлении были начаты В.Шеффером в

20] [23] и в дальнейшем развиты Л. Каффарелли. Р.-В. Коном и Л.Ниреи-бергом в [3]. Позже Лин [16] сумел значительно упростить доказательство этих результатов (см. также [14]). Один из вариантов этого критерия может быть представлен в виде следующей теоремы.

Теорема I Существует абсолютная константа г > 0 такая, что для, любой пары функций гк р подходящего слабого решения (0.5) в параболическом цилиндре Я{\). если выполнено условие:

Нт вир - [ |Уг>|2 (Ь < £ (0.6)

-+о Р У ОМ то существует рц < /?у такое, что V непрерывно по Гель деру в Q(zQ,p{)).

Здесь используется понятие подходящего слабого решения, которое впервые. видимо, было введено В.Шеффером в [20] [23]. Дальнейшие обобщения этих результатов, были сделаны Г. А. Серегиным в работе [26].

Еще одно очень важное обобщение результатов Лере было получено в работах Проди [19]. Серрипа [31] и Ладыженской [13].

Теорема II Пусть V и и\ два слабых решения Лере-Хопфа задачи Коши для системы (0.5). Предположим, что для некоторого Т > 0 ноле скоростей V удовлетворяет условию Лады'женской-Проди-Серрина и е Д./(<2г). где

3 2

- + 7 = 1, 5 £ (3. +оо). .5' / '

Тогда V = VI в (~)т и, более того, V это гладкая функция в М3 х (0; Т].

Единствен и ость была доказана Проди в [19] и Серрином в [30], а гладкость была получена Ладыженской в [13]. Дальнейшие обобщения этой теоремы можно найти в работе Гига [9]. Локальная версия этой теоремы

Напомним. что смешанная норма па пространстве ЛебегаLsi(Qt) задается следующим образом: ess sup \\f{-,t)\\s, I = +00 l *е(о.Г)

При этом в силу стандартных теорем вложения слабое решение Лере-Хопфа принадлежит классу Lsj с

Приведенные выше теоремы иллюстрируют два типа маштабно-иива-риантпых функционалов, в терминах которых можно получать достаточные условия регулярности. Так. в теореме I критерий регулярности сформулирован в терминах малости нормы решения в пространстве Морри. В теореме II используются нормы в анизотропных пространствах Лебега. Заметим. что в обеих теоремах на функционалы накладывается условие малости (в теореме II оно получается автоматически засчет абсолютной непрерывности норм в пространствах Лебега). Достаточно большое количество подобных критериев можно найти в [26]. При этом проблема регулярности решений в случае только конечности маштабпо-инвариаптпых энергетических норм на сегодняшний день полностью открыта. Единственный известный на данный момент функционал, обеспечивающий гладкость без условия малости. это норма в пространстве Этот результат был получен Л. Искуриазой. Г. А. Серегиным и В. Швераком в работе [40]. была доказана Серрииом [31] для ^ + j < 1 и Штруве [36] для j + j = 1.

0.7)

Отдельный интерес представляют критерии регулярности для системы (0.5) вблизи границы. Подобные исследования требуют гораздо более глубокого и детального (по сравнению с внутренним случаем) изучения свойств решении линеаризованной системы. При этом локально вблизи границы. как было показано в |49|. максимальная гладкость, которую можно получить для решении ¿гон системы, это принадлежность пространству Гельдера. Эта ситуация обусловлена тем. что линеаризованная система не обладает свойством гипоэллептичиости по времени. Данную трудность удалось обойти, благодаря использованию оценок в апизатроппых пространствах Соболева. Оценки в этих пространствах позволяют получить значительное увеличение показателя суммируемости решения по простраии-ствеппым переменным, что в дальнейшем при помощи теорем вложения дает необходимую гладкость. Данные исследования были проведены в работах В. А. Солоппикова [35j и [33] (см. также [25]. [53]).При этом возникает необходимость в коэрцитивных оценках в анизотропных пространствах Соболева в случае, когда дивергенция вектора г отлична от нуля (см. [29]). что сопряжено с определенными трудностями (см. [53]). На основе этих результатов в работах [24] и [29] были доказаны граничные аналоги критериев Каффарели-Копа-Ниреиберга (см. [3]). В дальнейшем эти результаты были развиты в |4С]. Еще отметим работу [47]. в которой аналогичные критерии получаются при помощи явной схемы. Позже подобные исследования были еще проведены в работах [37] и [38].

Заметим, что во внутреннем случае важную роль играет оценка нормы давления в пространстве L±. Для получения этой оценки к уравнению (0.5) применяется оператор div. и в результате получается, чго давление удовлетворяет уравнению Лапласа

Ар = с11усИ\'(и <8> и), (0.8) решение которого можно достаггочио просгго оцепить (подробности см. [14]. [40]). Вблизи границы подобный подход не работает так как решение (0.8) в качестве одной из компонент может содержать фундаментальное решение с особенностью па границе области. В результате приходится использовать коэрцитивные оценки для системы Стокса. что в случае системы Навье-Стокса значительно усложняет доказательство, а в случае системы магнитно]"! гидродинамики требует получения еще и дополнительных оценок па магнитную составляющую.

Теперь перейдем к обзору известных результатов по системе уравнений магшгпюй гидродинамики (0.1) (0.2). Разрешимость -угон системы была исследована г, начале 1960-х годов О.А.Ладыженской и В. А. Солон пи ков-ым. Так в работе [44| рассматриваются следующие три задачи, связанные с системой (0.1) (0.2):

• Все явления изучаются только вггутрн объема О. заполненного жидкостью. От окружающего пространства она изолирована идеальным проводником, так что вне Г2 все поля отсутствуют.

• Область О состоит из области заполненной проводящей жидкостью. области Оц - твердого проводника, по которому текут заданные токи, и области 02. окружающей 0\ и и заполненной диэлектриком или вакуумом. От всего пространства область О отделена идеальным проводником

• Рассмотрения ведутся во всем пространствеНа бесконечности (¡.г| -оо) поддерживается заданное электромагнитное поле. Пространство М:3 все заполнено диэлектриком, кроме некоторого объема в котором движется проводящая жидкость.

Результаты, полученные в отношении этих задач, аналогичны результатам. полученным по краевым задачам дли вязкой несжимаемой жидкости в работе [41| А.А.Киселева и О А. Ладыженской и в работе [42] О. А. Ладыженской. Именно, для плоских задач (когда все величины не зависят от координаты п'з и г.} = Я,5 — 0) установлена однозначная разрешимость "в целом" при произвольных начальных данных. В общем случае трехмерных задач, хотя слабое решение и существует для всех£ > 0. по его единственность установлена только для некоторого, вообще говоря, малого промежутка времени, величина которого определяется данными задачи. Для задач, имеющих вращательную симметрию относительно какой-нибудь оси. пусть оси .Т;з, так же как и в случае плоских задач, имеет место однозначная разрешимость "в целом", если только область О. в которой проводятся все исследования, не содержит осп гг.}. Стационарная система магнитной гидродинамики была исследована в работе [50].

Однако, как и для самих уравнений Навье-Стокса. вопрос о глобальной однозначной разрешимости остается открытым и вопрос о единственности решении тесно связан с вопросом об их гладкости. Формально изучение гладкости решений уравнений (0.1) (0.2) более сложно, чем в случае системы Навье-Стокса. поскольку интуитивно попятно, что для не слишком гладкого поля скоростей V поле Я может быть негладким, и тогда внешняя сила в правой части первого уравнения может оказаться сингулярной, что. в свою очередь, может привести к разрушению гладкости решети') уравнения.

Для системы магнитной гидродинамики можно развить теорию регулярности. обобщающую уже известные результаты для сппемы Навье-Стокса. Так для точек внутри области практически прямым копированием техники из работ!,I [11| можно получить следующее1 обобщение теоремы I (см. напр.

Теорема III Существует абсолютная константа £ > 0 такая, что для любой тройка функции v,p, Н подходящего слабого решения системы (0.1) (0.2) б иарабо tu ческой цилиндре i?u). ее tu выно t не но условие. то существует р^ < /?о такое, что с и Н непрерывны по Геы>дсрч в

При этом остается вопрос о возможности заменить условия малости ма-штабпоипвариаптпых функционалов условиями ограниченности. В частности А. Махнловым Б. Николаепко. Т. Шилкииым в работе [17] было получено обобщение результатов [40|. а именно -там было доказано . ч ю. если решение и.Н принадлежат классу с(От)- 'г0 °по регулярно.

В силу того, что при Н = 0 система (0.1) (0.2) н})евращается в систему уравнении Навье-Стокса. то. скорее всего, не стоит ожидать ослабления условий па поле скоростей и. При этом у пас возникает промежуточный случай: условия малости накладываются па поле скоростей V. а па магнитную компоненту Н накладываются только условия ограниченности. Подобные результаты были получены в работе [10) Ч.Хе и 3. Ксииом. Их подход позволил получить целую серию критериев регулярности решений

55])

0.9)

Qi~o/>)

Q(~o-A>). системы (0.1) (0.2). Ниже приводиться один из них. остальные полностью аналогичны

Теорема IV Существует абсолютная константа £ > 0 такая, ■что для любой тройки функции v. р, Н подходящего слабого решения системы (0.1) (0.2) в параболическом цилиндре Q(zu. По). если выполнены, условия

- I |Vr|2 dz < s V0 <р<Ви, P J и sup — I \H\'2 dz < oc. (0.10) р<П„ P J

Q(-u-p) то существует r\ < i?o такое, что sup(|Vf | + |V#|) < cr~2 для любого 0 < г < r\.

Однако вопрос о граничной регулярности решений системы (0.1) (0.2)до сих пор оставался полностью открытым. Исследование этого вопроса составляет основное содержание данной диссертации. Также развитые в нашей работе методы позволили "отшлифовать"' найденное в ¡заботах [1()|. |llj доказательство частичной регулярности во внутреннем случае и получить ряд новых критериев (см. теорему IX).

По аналогии с работами [14]. [40]. [29] мы будем исследовать регулярность "подходящих слабых решений". Для уравнений Навье-Стокса данное понятие было, по-сути. введено В. Шеффером (см. [20]-[23]). Основные результаты диссертации заключаются в следующем:

• Доказана частичная регулярность подходящих слабых решений уравнений магнитной гидродинамики вблизи плоского участка границы

А именно, установлено, что одномерная параболическая хаусдорфо-ва мера пересечения множества сингулярных точек (в окрестности которых решение по является непрерывным по Гельдеру) с плоским участком границы равна нулю. Этот результат является оптимальным в 'юм смысле, что он аналогичен наилучшему из известных па сегодняшний день результатов для уравнении Навье-Стокса (установленным Каффарелли. Коном и Нирепбергом во внутреннем случае и Г. А. Серегиным в случае плоской границы).

• Установлен ряд достаточных условий локальной граничной регулярности подходящих слабых решений уравнении магнитной гидродинамики. Типичным таким условием является требование малости какого-либо масти габпо-ипвариантпого энергетического функционала для поля скоростей жидкости при условии конечности аналогичного функционала для магнитного поля. Эти результаты являются оптимальными в том смысле, что они аналогичны известным па сегодняшний день условиям регулярности, установленным для уравнений магнитной гидродинамики в работе [10] для внутренних точек области.

• Проведено исследование гладкости решении системы уравнений Навье-Стокса. возмущенной внешней силой электромагнитного происхождения. норма которой в соответствующем маштабио-ипвариапт-иом пространстве Морри не предполагается изначально малой.

• "'Отшлифована" техника доказателт.ства достаточных условий регулярности решений системы магнитной гидродинамики, что позволило установить ряд условии, являющихся новыми даже во внутреннем случае (и частности, условие "равномерной малости'' энергетических функционалов удалось заменить условием "равномерная ограниченность малость при некотором радиусе")

В этом месте надо сделать 071,110 очень важное замечание Как уже отмечалось выше во внутреннем случае для системы (0.1) (0 2) можно практически без изменений повторить схему изложенную в работе [14] и доказать критерий регулярности, позволяющий получит ь оценку па параболическую хаусдорфову размерность множества сингулярных точек. Однако этот подход не работает при исследовании регулярности системы магнитной гидродинамики вблизи границы. Это происходит из-за того, что при доказательстве критериев регулярности одну из ключевых ролей играют оценки на давление При этом при исследованиях вблизи границы для получения такого рода оценок приходиться использовать коэрцитивные оценки для системы Стокса. что значительно, по сравнению с внутренним случаем. сужает класс неравенств, которые можно получить В случае системы Навье-Стокса это частично компенсируется граничными условиями Дирихле на поле скоростей, что позволяет использовать теоремы вложения без слабых норм. Но при исследовании граничной регулярности для системы (0.1) (0.2) подобные рассуждения провести не удается, так как среди граничных условий па магнитную составляющую присутствуют условия Неймана. Эта проблема решается при помощи идеи рассматривать уравнение (0.2). как уравнение теплопроводности, что дает дополнительные оценки для норм магнитной компоненты. При этом в граничном случае подобный подход это единственный, по крайней мере известный нам па данный момент, способ получить разумную оценку на хаусдорфову размерность множества сингулярных точек, принадлежащих границе.

Переидем к детальному описанию содержания диссертации. Глава 1 посвящена доказательству теоремы существования подходящих слабых решении, и получению различных вспомогательных оценок. Основные результаты главы следующие.

Теорема V Пусть i\),Hq £ ^(П). Существует по крайней мере одна троч'та функций (v. p. II) такая, что

Г. н е L2^{Qt) П Ь2{0. Т: W} (П)), реь.<{П X (7;т)) v-7 е (о,г) v,p.H решают систему (0.1) (0.2) в смысле распределении, удовлетворяют локальному энергетическому неравенству (1.2) внутри области, являются подходящим слабым решением в окрестности любой граничной точки. Дополнительно v, Н являются слабым решением системы.

Теорема VI Для любого М > 0 существует константа с(М) > 0 такая. что для любого a £ М'5 вида а = (а,\ О)7 удовлетворяющего условию \а\ < М. и любой тропки функций (it,h.q) удовлетворяющих систе-л i с л и 11 с й 11, ых ура в н ен и й dfit - Ли + SJq — rot h х а div и — 0 dfh - Ah = rot(u х а) div h = 0 и | ,-,=» = 0,

Л:»к=о = 0, = 0. а = 1.2, 4 выполнены следующие оценки:

Здесь b 6 М'5 произвольный вситор вида Ь = (b].l)2-0)T. и с & Ш протьо iuhoc ч1н ю.

В §1.1 /гаюгея определения подходящих слабых решений и доказывается теорема V об их существовании.

§1.2 посвящен доказательству вспомогательных оценок для подходящих слабы ч решений. В дальнейшем эти онепки используются для доказатель-сгва базовых критериев 5-регулярноегп.

В §1.3 псследуегся система, получаемая при линеаризации ыд^чи (0 1; (0.2). Для решений этой системы доказывается теорема VI об их принадлежности пространству Гельдера.

В §1.4 рассматривается уравнение (0.2). как уравнение теплопроводности. В результате получаются оценки для магнитной составляющей, помогающие 15 дальнейшем обобщить результаты работы [10] на граничный случай.

В главе 2 описанная выше техника применяется для получения критериев регулярности в окрестности внутренней точки. Главными результатами этой главы являются следующие теоремы. Основной критерии ?-регулярности внутри области.

Теорема VII Существует абсолютная константа Го > 0 такая, vmo ú 1я любой тройки V. р. Н подходя meso (лабо/о ранения МГД б 0(;;(), /?()). если для некоторого R < /?о

Y¿ / (|И:5 + |Я|:Ч|р|^/г<бо; (0.11)

QU.fl) то г и II непрерывны по Гельдеру в Q{zо. j).

Обобщенно известного критерия Кафарели-Копа-Ниринберга (см. [3J) па случай системы МГД.

Теорема VIII Для любого К > 0 существует константа со (А') > Ü обладающая следующим свойством: Пусти (v. Н.р) подходящее, слабое решение системы МГД в Qj. Если, limsup ( - / \VH\2 dxclt)l/2 < К (0.12)

->о ^ г J '

-о-'') и 1 С \1 /2 limsupí- / \Vv\'¿ dxdt ) < slh (0.13)

Q(=a.r) то существует р* > 0 такое, •что функции с и Н непрерывны по Гельдеру на замыкании множества Q(co, ()*)■

Отметим отличия последних двух теорем. Теорема VII является базовым критерием e-регулярности. Главной ее особенностью является то. что для непрерывности по Гельдеру достаточно выполнения условия (0.11) при одном фиксированном R. В теореме VIII условия ограниченности и малости должны выполняться для всех цилиндров достаточно малого радиуса, и также используются более сильные нормы. С другой стороны в условия теоремы VIII отсутствуют какие-либо ограничения па давление. В условиях (0.12) (0.13) радиус цилиндра входит с показателем 1. что позволяет получить значительно лучшую оценку па Хаусдорфову размерность множества сингулярных точек. Этот момент будет особенно актуален при получении критериев регулярности вблизи границы.

Отметим, что для решений системы Навье-Стокса па сегодняшний день остается открытым вопрос о справедливости теоремы I в случае замены условий малости па условия ограниченности. Поэтому условие (0.12) подчеркивает подчиненную роль уравнения (0.2), чего нельзя увидеть из теоремы VII.

Во внутреннем случае можно получить достаточно большое количество утверждении, которая является обобщением результатов работы [2G] (см. также [4CJ). В пашей работе мы для краткости остановимся только па окном из них. Следующая теорема в каком-то смысле является "пптерпо-ляциеП"предыдущих двух критериев: па супремум накладывается условие ограниченности, а малости достаточно только при фиксированном радиусе.

Теорема IX Для любого К > 0 существует константа £]{К) > 0 обла-даюищя слсдуюш/им свойством: Пусть (v.H.p) подходящее слабое решение системы. МГД в Qj. Если limsup К

Qi-a-1')

QM

0.14) и выполнено одно из трех условий limhif(i J |V;-|'2 fto/f )1/2 <

Q(^.r)

1 f \ 1/2 liminf ( - sup / Irl2 dxdt ) < £ь mir4\

V r ,.2<i<{) .7 ) iu-i0>>

If \ l/'Л liminf ( - j |r|3 dxdt) < n.

Q(--u.r) то существует p* > 0 такое, что функции v и Ii непрерывны по Гельдеру па замыкании множества Q(zq,p*).

Одним из наиболее, важных следствии теорем VIII и IX является возможность оценить параболическую Хаусдорфову размерность множества сингулярных точек, а также возможность доказать регулярность решений в случае наличия дополнительных условий пли симметрии. Так. например, легко получить, что решения, не зависящие от одной из координат, будут гладкими. Гладким будет и осесимметричное решение, за исключением, может быть, оси симметрии.

Теорема X Пусть (v.H.p) подходящее слабое решение системы МГД в Qt■ Тогда существует замкнутое множество Z С Qt такое. что Оля любого ~о G Qt\ £ функции (v, Н) непрерывны но Гельдеру в zq, и 0, где 'Р1 (Е) это одномерная параболическая Хаусдорфова мера на X.

Из теоремы X можно получить знаменитый результат Лере: пусть а множество моментов времени, где решение (0.5) может быть негладким, тогда Мл (а) = 0. где 7i это Хаусдорфова мера на R.

В §2.1 на основе теоремы VI и результатов §1.2 доказывается теорема VII. Данная теорема была доказана С. А. Мищенко в его дипломной работе, но. к сожалению, не была опубликована.

В §2.2 доказываются различные оценки для энергетических функционалов (аналог для системы Навье-Стокса см. [48|). позволяющие получить ограниченность для всех основных норм.

В §2.3 доказывается основная теорема, посвященная критериям регулярности внутри области. Из этой теоремы и оценок, полученных в §2.2. легко выводится теорема IX за исключением случая, когда условия малости накладываются на V/'.

Доказательству теоремы VIII и оставшегося случая теоремы IX посвящен §2.4. Это сделано для того, чтобы подчеркнуть 'тот факт, что во внутреннем случае доказательство этих v i вержденпй требует специального подхода.

Глава 3 посвящена исследованию критериев локальной регулярности для системы (0.1) (0.2) вблизи плоского участка границы. Результаты этой главы находятся в прямом соответствии с результатами главы 2. Тем самым теория граничной регулярности развитая в работах автора, доведена до того же состояния, что и теория регулярности внутри области.

Как и во внутреннем случае, ключевую ролт» в наших рассуждения будет играть следующий критерий ^-регулярности

Теорема XI Существует абсолютная константа г* > 0 обладающая следующими свойствами. Пусть есть тройка функций (и,Н,р) подходящее слабое решение системы МГД в Q-j и точка ~о = (.т(),/ц) € дО х (0, Т) такая, что Тц принадлежит плоскому участку дО. Если существует г() > 0. для которой вы полнено г о) с С)т и

У ( К'|3 + |Я|:, + И^ < то функции с и Я непрерывны но Гельдеру в замыкании множества

Также нами был получен аналог критерия Каффарелли-Копа-Нирипберга.

Теорема XII Для любого К > 0 существует констан та с о (Л') > 0 обладающая следующим свойством: Пусть (г, Н,р) подходящее слабое решение системы, МГД вблизи границы в От а пусть ¿о = (.Го- ^о) € 00, х (0, Т) такая, что точка Хц 'принадлежит плоскому участку 00. Если

Нтяир I |УЯ|2 йхсИ < К (0.16)

ГМ и

ПтвирГ^ / \\7и\2 еЫ()]/2 < е{). (0.17)

•-»о ^ г .) '

ГЫ-г) то существует р* > 0 такое, что (функции и и Я непрерывны, по Гельдеру на замыкании множества С} ' (. /л).

Здесь стоит еще раз сделать важное замечание. Во внутреннем случае теорема VII уже дает оценку на параболическую Хаусдорфову размерность множества сингулярных точек: из нее следует, что она не превосходит 2. При этом такая оценка в граничном случае оказывается бессодержательной. так как сама граница также имеет размерность 2, а значит, необходима теорема XII или подходящий ее аналог.

Вблизи плоского участка границы можно доказать достаточно большое количество аналогов критериев из работ [26] и [46] п. в частности, следующую теорему.

Теорема XIII Для любого К > 0 существует константа Е\(К) > О обладающая следующим свойством: Пусть (с. II,р) подходящее слабое решение системы МГД вблизи границы вС}т и пусть ¿о = (з'и-^о) £ ЭО х (0.7") такая, что точка .г0 принидле/ж.ит плоскому участку 00. Если

Нт.чир ( ^ У И" rf.Tr/i ) 1/Л + ( ^ У |Я|2 йхсИ У'* < К (0.18) и выполнено одно из трех условий

Нтт^ I |У/-|2 (1х(Пу/2 < £,.

Г ил

НттГ ( - кпр [ М2 с!х(Н ) < с], '■-+0 V г ,-'<,<,, .) ) г,,./-)

1 Г . ,3 .

0.19)

НииМ ^ — j \и[> (!хсИ ) < £Ь

ГЫ-г) то существует р* > 0 такое, что функции V и Н непрерывны но Гельдеру на замыкании множества /?*).

И. как уже было отмечено выше, теорема XII позволяет получит!, оценку па параболическую Хаусдорфову размерность множества сингулярных точек па плоском участке границе.

Теорема XIV Пусть (г. И, р) подходящее слабое решение системы МГД вбл,изи границы, в (}т и обозначим за Г плоский участок 00,. Тогда существует замкнутое множество Е С Г такое, что для любого ¿о € (Г \ Е) х (0, Г] (функции (и,Н) непрерывны но гельдеру в 2ц, и

Г1^) = 0. гдеТ'-УП1<) одномерная параболическая Хпусдорфова мера пи Е.

Структура этой главы аналогична главе 2.

§3.1 посвящен доказательству теоремы XI.

В §3.2 доказываются различные оценки для энергетических функционалов (аналог для системы Навье-Стокса см. [48)). вблизи границы кроме случая ограниченности ¿-¿-нормы Vr и VH.

В §3.3 доказыватся основная теорема, посвященная критериям регулярности внутри области. Из этой теоремы и оценок, полученных в параграфах 3.2 и 3.4. легко выводится теорема XIII.

В §3.4 проводятся более топкие исследования уравнения (0.2). позволяющие в дальнейшем доказать теорему XII Также здесь приводиться доказательство этой теоремы.

Результаты диссертации докладывались па семинаре им. В. И. Смирнова по математической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В. А. Стеклова РАН (2010) и па международной конференции "'Дифференциальные уравнения и смежные вопросы"1, посвященной 110-ой годовщине со дня рождения И.Г.Петровского (Москва. 2011).

Результаты диссертации опубликованы в работах [53)-[58|.

Работы [5GJ. [57[ опубликованы в журналах из перечня ВАК. Работа [55J опубликована в журнале, удовлетворяющем достаточному условию для включения в перечень ВАК (переводная версия этого журнала "'.Journal of Mathematical Sciences" входит в системы цитирования Springer и Scopus) в соответствии с решением Президиума ВАК № 9 11 от 07.03.2008.

В работе [57[ соавтору с Т. Н. Шилкину принадлежит постановка задачи и общее руководство работой, а диссертанту доказательство основных теорем.

Работа выполнена при поддержке Лаборатории им. П. Л. Чебышева СПб-ГУ. грант правительства РФ дог. 11.G34.31.002G

Список обозначений пространство Лебега. || • ||, норма этого пространства. Анизотропное пространство Лебега Ь^1(С}т) с нормой /т т) <

• / е [1. +ос)

СБЯ вир ||/(-,011>- I = teH.IT)

Анизотропные пространства Соболева

VH\Qt) = Ь,(0.T:\VHn)) = { и Е : V,/ 6 }. {«е К!](От): V2,,, д<и е ьмт) }, и*;(й) = { и е : «|ш = 0}. с нормами:

И!^1,"«^) = 1Мк,«?/-> + Н^кдд,)-11"11и-;/(^) = Н^щ'/'юл + Ну2г/1к,Ют) +

В(Х{). г) открытый шар в радиуса г с центром в точке .г"о. В+(т{,. г) полушар {.г € В(<т0. г) | .г,( > 0}.

Для 20 = (.т0, Гп) обозначим за <3(~о- г) = В(х0, г) х (¿()- г2. <„) и О+^о, г) = Б+(а,'о. г) х (¿и — г'2, ¿о) соответствующие параболические цилиндры. В дальнейшем мы будем для краткости использовать следующие обозначения: В (г) = В(0.г). В~г(г) = В~(0,г) и т.п. В = В( 1). В+ = 1) и т.п.

Усреднения функции

О'Ьо м = 1

Ыи 1 и

В(Щ\

1(1.V.

-» Л)

Энергетические функционалы 1 р>-1' } \ О(р)

• = У 1 V

Е{р) = 1 <?(/') Уг|2<7; 1 = «(я) 1 V еьь яир - / |г( г.

-</<о Р

В(р)

Н\2(1: лЛр) = г еьь чф - / |Я(.?\ £)|~<7.т -,^</<о Р ]

В(р) 1 у /

С(р) = = г,(р).

Мы будем использовать аналогичные функционалы и при исследованиях регулярности вблизи границы. От приведенных выше они будут отличаться лишь тем. что область интегрирования по пространственным переменным будет заменена на полушар В+(р). Чтобы не перегружать текст мы не будем заводить для них отдельных обозначении, так как их будет легко отличить с помощью копсчекста.

1. Ch. He. Zii.Xin. Partial regularity of suitable weak solutions to the incompressible maynetohydrodynamic equations Journal of Functional Analysis 227 (2005) 113 152

2. CH. HE. Zh.XiK. On the regularity of weak solutions to the ■magnetohydrodynamic equations J. Differ. Equations 213 (2005). no. 2. 235-254.

3. E. HOPF. Ober die Anfangswertaufgabe fur die hydrodyiurmishe G run dgle ich u rig e n. // Math. Nachricliten. 4 (1950 51). 213.231.

4. G PRODI. Un teorema di un/e/t'a per el equuz/oni di Nauiei-Stokes Ann. Mat. Puia Appl. 48(1959). pp. 173 182

5. V. SCHEFFER. Partial regularity of solutions to the Nuu/er-StoL s equations/ Pacific .1. Math. 66(1976). 535 552.

6. V. SCHEFFER. Hausdorff nxasure and Nau/er-Stoke.s equations Conmiun. Math. Pliys. 55 (1977). 97-112.

7. V. SCHEFFER The Namer-Stohes equations in u bounded domain Coinmun. Math. Pliys. 73(1980). pp. 1 42.

8. V SCHEFFER .Boundary reyulanty for the Nainer-Stokes equations in a half-space Cornimm. Math. Pliys. 85(1982). pp 275 299.

9. G.A. SEREGIN. Local regular it ij of suitable weak solutions to the Nauier-Stokes equations near the boundary Journal of Mathematical Fluid Mechanics 4 (2002). no 1. 1-29.

10. M. ser.mange. R.temam. Some mathematical questions related to the MHD equations ' Comm. Puie Appl. Math. 30 (1983). G35 GG4.

11. V.A. SOLONNIKOV. Estimates in Lp of solutions to the initial-boundary value problem for the generalized Stokes system in a boundary domain!, Probl. Math. Anal 21 (2000). 211-2G3.

12. V.A. SOLONNIKOV. Estimates of solutions of the Stokes equations in Soboleu spaces with a mixed norm ; Zap. Nauclm. Semin. POMI 288 (2002) 204-231.

13. JI. Искауриаза. Г. А Серегин В Шверак. L^-решения уравнении Навье-Cmohcа и обратная единс твеннос ть Успехи мат iuivk 58 (2003). по. 2 3-44

14. Г. А. СЕРЁГИН. Оценки подходящих слабых решений в пространствах Морри с критическим показателем Записки пауч. сем. ПОМИ 336 (200G). 199 210: