О характеристике точек (H,q)-суммируемости и степенной сильной суммируемости линейными методами простых и двойных полиномиальных разложений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

• V* о»

: • - ■ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ; Институт матеизтики

На правах рукописи

ЛАСУРИЯ Роберт Андреевич ■ \

О ХАРШЕРИОТИКЕ ТОЧЕК (ИД) - СШИРУЕМОСГИ

и степенной стной, сширтаюсги .лшейньш методам ПРОСГНХ И ДВОЙНЫХ ШШОКШЬШХ РАЗЛОЖЕНИЯ

г'01.'01. 01 - математический анализ

- /

А.в тореферат

диссертации на_ соискание учёной степени кандидата физико математических наук

"л '

Киев - Г994

. - .. • г

Диссертацией лзоть рукопись . • / - - ~

' " . ~ ~ Работа випояшнд в отцека теории функции Института математики НЛН Украины. ' . •,

НоучшД'руководите яь: доктор физикочаатештических наук, профессор

. ' ' ~ . СТ131АКЕЦ'А.И. ' ' '

■ - ' ■ ''

.Официальные оппоненты ¡доктор физико-математических шук

. - ; пачуш н.л.

*

кандидат физико-математических наук БУЮЕВ Д.Н.'

ведущая, организация; Киевский университет'им. ТТГ.Шовчоико '

1 ____г у

' 36(41«»„состоится щ : ''( С _1994г.

/часов на зайвцании -спецкйлизировэшого совета Д 01б?50.01' .при Институте математики Н4Н Украины по адресу:

, 252061, Кивв^4,ТСЯ, уя, ТерещенкоЬскпя, 3,

мСлдио^ертадиай можно ознакомиться в библиотеке института

- Аатзреферат разослан Д>7'1< ... 1994г.

УчвныЯ секретарь '

Сизциализироьашюго совета, • 1

доктор физико-математических. наук ~ ^ " Р'^Ж Д.В,

N ^ ' з ' '

- : - - . N

0Б11УШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ)!

Актуальность темы.Теория сильной суммируемости ортчгоналлннх реэло-к8ннй(рядоо Фурье) являзтся одной из интенсив»') Г-'г! шинашихся областей математического анпяизц. Данная тематика <5о}*.ет снос начало в на»' вестных работах Харци И Литглвуца, и к наотоящр«р нрзмени ц в этом направлении получен целый ряд важных результатов.Значительная часть ранних результатов изложена в монографиях Н.К.Ворй, А.Зягиуща, Г. Аяексича. Более поздние результаты отраяени в к •. и - * Б. 0.Котина и А.А.Саакяна, Л.Лейндязра, А.И.Стегсанг>а- и др., и донг эрских цпссер -' тециях Л.Д.Гоголадзэ, О.Д.Гвбисоьия, Н.Л.Почуяга, й. Л.Родина, а также в обзорных: статьях Л.В.Кияиашвияи, Л.В.Кпжиапзили' и С.Е.'Гопурия, Б.И.Голубова н др.' ,

Пусть % -периодическая функция, оуммфуиман со степенью

а > 1 на со,ЯН, {(х) е и (о, I, >' гоД|

частичная суш.ю порядка к ее ряда Фурье по тригэпо^е гргческоЧ система. Говорят, что ряд йурье функции \('О^ Ь. ск;,ыо суммиругм • оо степенью 0 иян I, И, -суммируем а точке х к чтяу |(х\ес-йи

Ь-'Ьт?,1 ^^нА ' и)

Понятие сильной суммируемости сказалось достаточно эффоктив -ним, и послужило основой нового направления в теории ,зиц">в 1урье, а развитии которого участвовали извеотныа «атемг-:^«'. Н«ряяу с вира -ЖВНИЯМИ (О ,Карлбианон, Тотиком, К,И.Осколков«!!, .;',Д.Го1 олпдзе,АЛ1, Стагтанцоя, Н.Л.Пачулиа, В.А.РоЦшшм к др,, в квч<>.С'.-че вчиачии, ха ~ рвКтариэующих силькуп оуммируемость рядов Фурье, Изуч&гпоь выража I-ний более ойсрю, вида

л-.о

К-0

где lj(u) - неотрицательная функция, определенная для всех ^ У/ 0 , ctvb

я .Пк . - некоторый числе.

Были получены условия, налагаеше на функцию ^P(-U-) и козф^ици -ентн' Ti^i при которых величины (2),(3) стремятся к нулю равномерно, или в какдоИ точке ОС подмножества Е miO,t-jCl,издались оцеп, ни этих величин как для отдельно взятых функций, тек и для фикеиро -венного класса функций, исследовалась скорость сходимости ряда (3). 'В 1913 году Хзэди и Лпттлвуд поставили задачу: будет ли при

f выполнятьсп почти всюду (п.в.) равенство Ш, когда ^ £./_,? Ими ж было покэпяно, что в Кежцой X -точке Яебегя степени У> i функции J £ справедливо равенство (I) для любого ^->0-. Позд -нее Марцинкевич, а затем Зигнунц установили, что ряп рье производимой функции /_, (/-/, <£-) -суммируем к f(x) для почти всех X , тем самым задач-? Хпрди и Яиттлвуда получила свое положительное решение.

Пример, построенный А.Н.Колмогоровым,' показывает невозможность поточечного представления суммируемой функции ее тригонометрическим рядом Фурье. В свою очередь, испояьоуя технику Кпрлесока, Хант показал, что ряд Фурье произвольной ¿ункиии Ц1 ^? |) схопится п .в. В связи с этими результатами, понятг сильной сут1руемости (I) приобретает определенную значимость в вопросах прзцетлвления (п.в.)(ЬЦ) - средними рядов ?урье суммируемых Функций.

Впоследств'-- возникла задача о явном описании тожества точекзс характеризующих процесс ( Н, "у) - суммируемости относительно функций няесса ¿л • Первым шагом в этом направлении явилась работа Твндори. ко позднее им же было отмечено, что множество Ючек описянных в его работе не имеет.полну» меру.

Существенным продвижением в характеризаши точпк (Н,^-суммируемости ряцов -Сурье йункиий множество которых имеет полную меру была работа О.Д.Гебисония, где в явном виде выделялись метрические свойства суммируемых функций, характеризующие процесс (Н,'Несуммируемости э точке X . Далее, И.Я.Новиков и З.А.Р^дин продолжила результат О.Д.Гвбисония, показав, что ряа-?угье прежз вольной ^унк-и™ /.<?_ L (Ид)- суммируем к ^(х.) для лкйого f > 0 в множествах п-чек х , оппсаглтх О.Д.Габисопия. .

Иепсзможюсть представления ^уншкп f-б/j р ее х-точкс>х Ле-;егп ( И, ^) - средними ни при каком Q > 0 ps-rne было устснов -

яано Харди и Литтдвуцом;при этом, как известно,, множество точек ¡js описанных О.Д.Габисония для функции /_>, содержится в иножес» Ев ^очвк Лебега,

D связи о результатами о.'расходимости а.в, ортогональнцх разложений функций <?€£_£( 2 ~>/i) по ооти системам алгебраических полиномов, возникает задача о суммируемости полиномиальны? разложений и характеризации точнк сильной суммируемости.

В 1954 году К.£андорн показал справедливость аналога утверждения Хардн и.'Литтлвуца о *■ суммируемости для ослцих полиномиальных разложений функций классов |£/Jp(2>OB тех - точках-Лебега степени & . При пореходе к классу ¿^ появляется труп-, ности, связанные по видимому с выделением более тонких метрически* свойств суммируешх функций, характеризующих явление (НД^ -вУ"' мируемости.

Утверждений о поточечном представлении произвольных суммирун-мь!х функций (Нг^) - продшми и сильными средними линейных метопи» их полиномиальных разложений и характеризации точен представлении, множество которых имеет полную меру, насколько нам известно, ш| сих пор не существовало. Интересно . тзкже р.юомртрени^ анало г гичньгх вопросов и в случав цвойшх цуяътипликативнм* полинэмирюь '-ных разяоженнй.

Цель работы. В работа исояедуются вопрооы поточечного ирадстчцле -ния суммируемых с весом функций - средними и <;тв(шн?г^мл

сильными средними линейных методов суммируемости их простиг и двэй. пых полиномиальных разложений, о помощь«) напериодичеокого аналоги конструкции О.Д.ГаЙксония, выдзляидвго метрические свойстнэ суммируемых с весом функций, которш характеризуют явление (И )-'-ум-цируеыости к сильной суммируемости линейными метоппми в точке X .

Методы исследований. D работа используются известные мзтоди тнзрни иитерпояяшш Операторов,метрической теории функций, теории ортогональных рядов в сочетании с некоторыми идейными подходами, рз»аи -тыми в работах О.Д.Габиаония, Л.Д.Гоголвпзе, Н.Л.Пачулле, Б.А. Рот дина и др.

Научней новизна. Все основные результаты диссергацшцнаокояьно му Известно, является новыми:

-- устанавливается характеристика точек (Н,1^) - суммируемости црсе-тых ортогональных разложений по общйм системам алгебраических полиномов функций классов ¡J^fe^i),

ч

—- указывается характеристика точек степенной сильной суммируеыоо-п линейными методами потшомиаяыщх разложений функций классов

— устанавливается характеристик»; точек суммируемости линейными нагонами полиномиальных разложений функций классов

— указываются характеристики точек (И»'}') - суммируешоти и стеганной сильной суммируемости линейными методам! двойных пояиноми-е.лькых раэкояаиий функций классов

Аппробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах отдеав теории рункциИ Института математики HAH Украиш, проводи -мп под руководством профессора Отепанда А.И., на Всеукраинской конференции молодых ученых (г.Кшв, 30 марта-I апреля 1994г.)и на III международной молодежной коьфератши им. академика М.Ф. Кравчука ( г.Киев, 1994г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах

и ;~тгг '

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения» двух гяав и списка литературы, содержащего ^"неишзшввний.

2. СОДЕНШЩ ДИССЕРТАЦИИ

Во ввэден;!и приводится краткий исторический обзор по те ко диссертации и 'перечисляются основные результаты, полученные в работа.

Пусть Ais)- пойгхительная, ограниченная^ монотонно возрастания на конечном отрезка

СаЛз функция, производная которой ÍO и обращается в нуль только на мнояеетве мери нуль в скыскэ Лебега. Пусть, далее, Бедственная и '- измеримая функция. Обозначим </g

Если ft (ЭС ) является абсолютно непрерывной ifywweB и|ч(г)гЩЦ то ' //л

rae w(x) - весовая функция, икции /(х)ё! L^fjíl\)mcvBmi* в соответствие ее разложение по

э

ортонормироаашюй относительно мары HGtl ni К системе {ункинЯ ji^Ulj

vue ^

X Çf\

- коэффициенты раэяоквння fwy.

ГЛАВА I. В §1.1 выводятся вспсцогдтвиыше поецпопния. При

С ' '

центральным моментом является глшеркоцичеакпГ, г.^.юг ленш

биоониа, харвктеризуздий штрическоа сиоЯсгт млируоыой о »ясгои

фу.пиши. \ { w

Леша 1.1.1. Пусть ifcjiSLJA^' • Гогда

"" - •Pi'/û

гд9Ц1е$' - шра Лебега инояества - , .

цц « :б.П),

Зорыулировне основного утьгопдепия 41.2 предав леи чрз^ис.&о'нм. на которсй базируется данное утверждение и, по зимвдну, нз ное самостоятельного интереса.

Теорема 1.2.1. Пусть

- ортолормировачж я нъ А относи -те лыю веса (2:) смогена алгебраических политике ч длч Я1,;(:;). го X о выполнены условия ¡Рп(ъ)1 ,)

«К^^П^Д^сш.Л). Тогда, «оли ^хкЦ^^О^/'/ч,^ то в каждой точке-х €(с-, <1 ),в которой ^ф) ппрввпцг.ип -отношение

! -тгм Цыуф }

р/1, >//>^ * . €(х)» г), о{-/; о* * , Щ

где

0(1)-

величина, равномерно ограниченная но )1 , частичная суша полиномиального разложения (4) ( (/> (:с)- }\ (х >) порядка 1с, а

Ч" (р/,1

С помаслю равенства (5) и соотношения (б) поквзывветея оправеняи-. вость следущего утверждения.

Теорема 1.2.2, Пусть — ортонормйроЕЯИНая на А систе -

ма полиномов относительно веса W("3C) и дяя любого X £ & Q полнена условия }Pn(x'l ^ № ^ < u/feji, Тогдя ,

воли (Me/j^ajflUiylfi'xA), то в каядой точке X е G р (в частности п.в,на Д )иывет место равенство

к «о

для любого

При форцуяировке результатов |1.34яеобходима с коду щи о обозначения.

Пусть /*Лр обозначает класс бесконечных прямоугольных чис -Яовшс матриц, элемэиты которых /liT-' > О при какдом фиксирован -ном удовлетворяет неравенству

Ktm

гдэ % - константа, не аввисяЕрл от М' ■

Классы натрии ftp (Р >() и их обобщения рассматривались в рз-ботах Л.Д.Гоголадзе, Н.Л.Пачулиа в связи с вопросами аппроксима -тивншс свойств сильных средних катодов суммируемости рядов Фурье от непрерывных: функций.Выделяя в классе подмножество

матриц, каждая из которых определяет некоторый регулярный пятоа суммируемости рядов, получаем такуп теорему.

Теорема 1.3.2. Пусть матрица (l)6-УЧр (р- '^Tf^ и, кроме^то

о, наполнены условия теорэма I.2.I. Тогда, ее ли в каждой точкедля любого Sf€(0,S] с,¿Ц. ^ f _ ^

ЧЧРППИВП ГЯВЯИПТПО ' " '

С-О

Нз результатов 51.3 следует предложение* упаэываорее характеристику точек суммируемости линейными методами, определяемыми матрицами класса ГЛ р а точках множества Q¡ р , а ишнно: Теорема 1.3.3. Пусть матрица (Л*Г') (КР^)я й:зпензн-ш

удовлетворяет условии

К-с

Пусть, долее, выполнены условия теореиы I.2.I. Тогда, если

10 в иаЖ1*оЯ точка х € (V р имеет место ; равенство •

n^fej * В Л.З таютв приводятся конкретные реализации теореи 1.3.2 и 1.3.3 а случае метода сушируемости рядрв.

В Я.4 с покоено одного известного достаточного условия (см.9), накладываемся?на элементы треугольной матрицы

введенного Г.Л.Фсмиикм и С,Б.Стечкяним, устанавливается справедливость еяечувгуэго утверждения. ^ Теорета 1.4.I. Пусть j7áYx)?f„- ортоноргятрованиал на Л отно -ситзлыго ссса Л1)(т) система полиномов и для любого хгхЛ ^ 2 выполнен условия IPaírjj^C Пусть, далеа^ элементы матрица (8) удовлетворяют условно

í^fi^riHlxí^Pé^ IS)

Тогда, если lírW^^nliwíJ\Л> W

1) э яаздой T04itsse(t <¿), э которой справедливо cooti. ношение

11 (xV\W И (X),

гшо 0( 0 - гогпгаша, рзвногарко огряниченгая по W,

2) э каждой точка х€(тр игпо&нкэтея равзйзтво

' ■ Здесь

Т^Ге

последовательность линейных средних полиномиального разлояания (41 Отштнм, что вопросами поточечного представления суммируемых с весом функций линейными средними их полиномиальных разложений для специального класса полиномов посващрш работы Б.П.Осиланкера. ГЛАВА 8. Во второй главе рассматриваются вопроси сумшру -

еыости и степенной сильной суммируемости яииейнаш методами дво?! -ных мультипликативных полиномиальных разложений фушшкЯ ккассоа

Пусть(),-■{,% ) - положительная, ограниченная, ионотонно воэ-рйатаюцая на конечном прошжутко Дг'=01; ЦМ'^ЙФункчия, проиэЕоцная которой положительна иа шокестве полной мары в смысле Лебега» и иолохиц

2л »¿Мг ,) «л (Яг),

- ортогональное разложение Тунгами 4»=-/^» по системе функций

с -.с // м-А'№

■• коаф^ицизнты разложения Л2

ъуо гу .

частичная суша порядка ^^Иуразлсження (Шфункцни н^Х,). Пусть, далее,

'и 1 * * * 1 кг ^ №

: - Л/с, и\кг.

Ясно, что ла= U Н • Положим Л„ (Т'~

гца ГЦ( независимо стремятся к с-> . При каждых фиксированных у

>o(i=U)

Везде во второй главе используется следующее определение (Н,1)/ — суммируемости: говорят, что разложение С 10 ) функции f (Н fy) ~ сукхируемз в точке C^i.^a--) к числу |(х,/лд) , если J

при независимом стремлении TUi, П*. к .

В §2.1 приводятся дзумериые аналоги некоторых вспомогательных предложения §1.1, которые необходимы при получении основных результатов второй глава. В частности, имеет мгсто Леииа 2.1 Л. Пусть fapfeLltCLU^L^U»*^»^) при любых >0 , Тогда

tne=>(£pn&p>=mesA2

Формулировке основного утверждения §2.2 предпошлем такой двумерны!! аналог теорег.ы 1.2. I. , ^ Toopct.g 2.2.1. ПустьЩ.^-^,, (Х-Щл^г - ортонормированная на ¿^относительно веса система полиномов и для любых £¡6 Д-^С Д-^ (l=U) выполнены условия I(Xi)l<£ {fri-0,fJz>..,)iO<.ulb(i'Wifc)St%^ (t-1,2). Тогда, если •

(M^Ui^nLirtf^AL)

iO

i(xfJ3•JeitrjlütttäjMffiiiibM Ы)

при Лобых , то в кекдой точке (x^zJ^E- P справедливо pa-

SeiWSBO ^ у

* ^»j—(7 ^i*''

- величина, равномерно ограниченная по ^Ihbi .

На ооновании теорема 2.1 Л и леммы 2.1.1 следует Teopeua 2.2.2. Пусть [ßi^J^j^j- ортонорыированная на А относительно веса «Гг^х-«^ система полиномов и для любых х^еД^Я^^Д) выполнены условия 1 Pn\b(xi)l 4СС (^-¿iU,..), еК-ог, <uff*j£r ОС Тогда, если-

JеД Ш (AZ^)(\LUZl \ Л¡U)

При кюбых , то в какдой точка (t,flpp { в частности п.

ti,Ua ) справедливо равенство

О*» О*

при всех HQf] Л V * * - иа

ИуСть х^ - класс иультнпликатишш матриц »Л*,'

{'U.ftptMil,,..; i = f,«t ) таких, что при каждых фикаироватш* IV;«

И последовательности чисел удовлетворяют условии (7), а ¿М1^ - подмножество матриц в каждая йэ которых определяет некоторый регулярный метод сумшру-б1,ооти двойншс рядов. При этоы под регулярность» метода понимается такое определение,которое дано в книге А.И. Янушауекаса "Двой-№0 ряди" на с. 3}а

Основной результат §2.0 содержится в следующем утверждении. Турина 2.3.2. Пусть матрица . Ы^1) Ц'р ( Р ~ ) ;

и, крона того, выполнены условия т.еореиы 2.2.2. Тогда, если

4 (х,ха)еL1^ (At к iV¿%)) 0,14ti>\n )

при любых то в каждой точке (Х,х,)£

(в частности п.в. на справедливо равенство

До! V

ДЛЯ всех (о,5], 6»*//ф */(?$>'

На основании полученных в §2.3 результатов следует предложение о характеристике точек суммируемости линейными методами, определя-мнми матрицами класса М'р в точках множества £р/?(т]з . Пусть Ми\ро)4ПД Л1}\Л>

И

= 4а Я/

'l ixivjicLj

. dttdU<—J suf ± ¡

/ j = ^u{dj-xj,*J -cj j. ¡tI чЛ. ej.

Из хорошо известных фактов следует справедливость равенства

Ines {^Р'П

В §2.4 доказывается двумерный аналог теоремы К.Тандори о (Н,^ - суммируемости ортогональных разложений по системе функций полиномиального вида в точках множества /1 Fp^x , а именно: Теорема 2.4.1. Пусть (Hi'l'teортонормированная на Л *относительно веса iv-iLr,*tO± система функций полиномиального вида , сохраняющая константу Const., i- ) и для любых

полнены условия / Щ!>(*;)1< % (Щ-Q Тогда, ec.mi

и

го в каждой точке (-^ißifl)( в частности п.в.

Ifi

na d^) справедливо соотношение

:.{-И всех ^ > О .

Частные случаи теоремы 2.4.1 ранее были установлены Л.Д.Гого-ладзе (для тригонометрической систеш функций) и Н.Л.Пачулиа при условии ограниченности системы {на воем отрезке ортого -

НйДЬНОСГИ üi (iz ). '

§2.5 содержит утверждение о степенной сильной суьшируеиости, ки-г нейными методами ортогоналышх разложений по систеш функций полиномиального вица в точках множества ¿¿¿tftptfi. Teopoua 2.5.1. Пусть матрица Р>*У и, крош того, выпо»-

нены условия теоремы 2.4.1. Тогда, если

ч 1

е л1(äj \ äj))(h--i л-Jtl),

то и калщой точке fif/i'i)^^/?^^(^^справедливо равенство

для всех S > О ; .

Частный случай одномерного варианта теоремы 2.5.1, когда элементы матрицы й1ч>)£/£ропрецелялись элементами (C^oi )-детрит , 'был установлен К.Тондори.

' Автор выр^йает глубокую благодарность своему руководителю А.К. Степанцу за систематическую помощь и ряд ценных замечания, полученных при написании диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Яасурия P.A. О характеристика точек степенной сильной суммируемости Ортогональных разложений по обеди полиномиальным системам. - Киев, 1994. - 44 о."( Прапр,/НАН Украины. Ин-т матенатики;94 , 14).

2. Яасурия P.A. О характеристике точек еильтй суммируемости яиней-¡ими методами полиномиальных разложений^Тезисы докладов III международной «молодежной конференции им. вка;тмика Ю-Кравчука Киб». ЮМ. ф^