О корректных краевых и обратных задачах для некоторых классов эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДШ Ж» СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ШШВШ!

На правах рукопксл

ЕШЮЗ Еорзс Алексеевич

ЩС 517.95'

О КОРРЕКТНЫХ КРАЕВЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДНЯ НЕКОТОШХ ■ КЛАССОВ ЗКШШШИ ШВНШЙ

01.01,02 - дЕф^юрзицдаяБЕне уравнения п ¡.^атеглатэдеокая физика

Авторвфв.ра?

диссертации, на соискакке ученей степени доктора фЕзико-глатематических ваук

Новосибирск 1988

Работа шпоянева в Инотдадае татоыа'ш® СО АН СССР

Офащавьнш ошоаенш: доктор фввшво-доэдматицесках наук,

профессор ЮД.Дубкнский;

доктор физшю-ш'гемадаеокия наук, _ профессор А.В.Какзховг

доктор физико-магелштичеоких наук, профессор АсГ.Коогетенко»

Ведущая организация? Ордена Трудового Красного Знамени

Кясгвту? штешгаки АН УССР"

Зздда оостовадя " " 1989 г; в __час.

Еа заседании Саацйатшировавнаго совета Д 002.23.02 пря Ннсзатугэ математика Снбарокого отдеяешш'Академии наук СОСРс (630090¡, Новосибирск,, УнввзрсЕгетсккй проспект, 4). .

С диссертацией шжяо озвакошш&я в бкбякотвкз Институте штшатйка СО АН СССР.

Автореферат разоаван " 1989 года

Ученый секретарь Специализированного совета^

доктор физико-математических . . . . .

"наук - . В.С.Болояооов

ОБЩ ХШКТШЖХШ. РАБОТЫ

Актуальность. Обратнггта задачами для дпфференцпаяьшвс уравнений принято называть задачи определения коо^фгдасцтои, прагах частей и реаеяпЗ д?4фзровциая£ках уразпешШ по информации о решениях этих уравнения. Пвшегсд такого рода задач является хорошо известная обратная задача Штубда - Лиуззляя. Шогие вагине щщкяадтао вопроси, овяззгашэ о упруггага сие-цепияка, злектромагнятш&ж колебаниши» дЕ^фузисншсш к дкг-гига процесса!,® приводя® к обратим задачам. Одно из пзрзгк исследований обраткнх задач связано о кинематическими эзда— чами сейсмют» суть которих заключается в определении скорости распространения упругих воли по временя их двиаения. В одна,!ерпо:д случае одна та таких задач впервые была рассмотрена п исследована Герглотцем. }

Современная теория обратил: задач возникла в результате работ советски: математиков* А.С.Аяексеева, И.М.Гельфанда, МЛ.Лаврсптьева, В.АЛ£арченпо0 ГЛ.Марчука, АоП.ТгасноЕа., Л.Д.Саддеева, Ю„М.Бзрезг,нсюто,В.Ованова, В»Г.Романова, Ю.В.Ашпкжова, 1» П. Шиша я ряда другзх. .

Список исследований, относящихся к сбратнвл задача«,, вовгяа обшПл -н». Отметим здесь'яша то результаты, которые лагболео близка к изучаеда э даяноЗ роботе-вопросам. Это преэде всего, работя З.Я.-Арзепяна, АЛ.БухгеЯка,. А.С.Благово-щенского, Н.ЯеБезногде;к'со, Р.Н.Гарапова, А.В.Гончарско«>, АД» Кскаидероза, М.Г.Крейиа, Б.Р.ВлреЙтсша, Б.М,Левитана, А.И.Пр::-леш», ВоПЛанаш, В.ГЛерэдяичснко а ряда других авторов. В работах вкшеперечпояенюсс авторов^ бнло отмечено, что обратные задач , особенно многомерные, являются часто кекорректнши в

классическом сшсле. 3 связи о этка особую актуальность приобретает вопроси нахоядения классов корректноета к поиск ми-нимаяьноЗ информации, которые делают обратную задачу корректной.

Как правило, обратные задач" приводятся к операторным уравнениям 1-го рода. Так, напри/юр, некоторые обратные задачи для гиперболических уравнений редуцируются к ко следованию • интегральных уравнений типа Вольтера 1-го рода, В свою очередь это даёт (в основном в одкшерпых обратных задачах) возможность получить уравнение 2-го рода„ Во многих случаях, особенно в тех многомерных обратных задачах, когда информация о решении уравнений задаётся лишь на части граница рассматриваемой области, такое сведение обратной задачи к интегральному уравнению 2-го рода часто оказывается невозмоянШс, Подобные вопросы требуют новых подходов исследования. А именно, приходится рассматривать такие проблемы, как задачу Кошй для гиперболического уравнения о данными на времениподобном многообразии или для эллиптического уравнения в классах функций конеч-- • ной гладкости. Подобные задачи возникают при зучегаш краткосрочного прогноза цунамч, в задачах интегральной геометрии.

Математический анализ состояния биологически и других объектов часто осуществляется на основе моделирования их динамических параметров с помсцко обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными, по', неизвестными априори .коэффициентами. Информацией! для наховде!ш решений таких уравнений являются значения решения в конечные моменты времени. При этом, как отмечалось' вше, коэффициенты уравнения и числовые параметры его правой части неизвестны. Одним из методов решения таких задач является алгоритм Прони, ио-юрия создания которого'насчитывает уне около двухсот нет. Аналогичные задачи возникают и для уравнений в частных пршзводкш, например, в задачах оптимального управления процессами, описываемыми параболическими и гиперболическими уравнениями ' ■

В работах М.М.Лаврентьева, В.Г.Рошгюва, Ю.ЕДниконова и других рассматривались обратные задачи для гиперболических уравнений. При этом в одишерном случае были найдены необходимые и достаточные условия для корректности обратных задач, а для многомерного случая изучалась вопроси единственности и устойчивости решений обратных задач, вопрос существования решений оставался открытым. В связи с аш представляет несомненный интерес исследование разрешимоега некоторых из этих задач.

Ряд многомерных обратных задач для гиперболических и параболических уравнений сводится к некяасси^еским эволюционным уравнениям (системам). При исследовании начально-краевых задач для таких уравнений (систем) важную роль играют классы их корректности, причем часто оказывается, что прямые задачи в этих классах некорректно.

Среди исследований последних лет, посвященных изучению начально-краевых задач для неклассических уравнений математической физики, необходимо отмстить работы Л.В.Овсянникова, А.ВоБицздзе, В.Н.Врагова, А.А.Дезина„ Ю„АсДубинского( Т.И.Зе-леяяка, А.В.Кажихова, А.Г.Костюченко, В Л.Михайлова, В„К.Ро-машсо, С.А.Терсенова.

В настоящее время теория неклассических уравнений иатема-тетескоЯ физики и теор;ш обратных задач явяяотся одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений о частными производными. ,

Актуальность теш диссертации состоит в том,, что в ней ис~ следуптея вопроси разрешимости и единственности в пространствах конечной гладкости ряда многомерных обратных задач и естественно возникающие при этом начально-краевые задачи для неклассических уравнений математической физики.

Цель, глботи. Цель работы состоит в исследовании корректности по Адгаару рассматриваема: мзегомершх обратных задач для кшепбояпчеегдк к парабоаичеокия уравнений. А такае постановка и исследования hobf.sc югаосоа иоррзктигк краевых задач для линей®' ззоз&щкипягх уравнения и дтя некоторых классов урагяеикЗ, вераэретеяяах отаооатошо зроязиодяоЗ по времени.

Петодптт ■ на сладозаяга]ц В рабом арзисалвтоя соврзиеяга» метода теория дй^орогздиашспс уравнений, фупкшшаяьиого анз~ гкг.а, теории фупкцШ1„

Нахмдя„нсвшиа. Озновяггли результата-'^, подученными в диссертации, язяявтея следуете.•

Г Исследованы вопрезя Еорревгяовтз по Лда-гапу ряда кпого-коршхх сбратшзс задач для лиисЗеес: шперболпеспил уравнений второю порядка, в случаях, тогда данные ойратпе! загдти за-дазтея на границе области и внутри области. Дел яииейпкх сб-ратвнх задач указали нео-Чодкмне и достаточные услэгия тэррект-нести по Адамару.

2» Указаны пеобходкше к достаточные условия дяя разреши-тоета задана Кэш, дяя улыгат.игЛолпчсокв2 к элатяческшс дашенай в классах Дующий шкгекэЗ гладкости.

3. Шучеан вопросы коррекшятз по Адшдару ряда шогомер-uís: обратите оадач для яшойтас параболических ураваешЗ и уравнений Шредипгора. Для лйпойша обратишь задач указанц не-обходдаав и доотаточнна условия иоррктвости.

4. Коследоваш качально-краевке задачи дяя ияне&шх эво-гзздаяюнк уравнений первого порядка иекласоического тина» а токае дяя некоторых классов уравнений, неразрешенных относительно производной ко времени, и изучено поведение решений пра -з-ч '

Тсапетичаская и пгдктачеокач целость. Работа косит тео-гаикеский характер, 13ае лерочкслсшпаз результата являются пошив» Разработанные в диссертации иотрда яоелеяовацяа начально-краевых задач дои. доклассичесювс^урзвнеииЛ -озяжах исследовать широкий круг обратных задач для урав-ВЗН.КЙ с частно,и проаавойнкзд в могут бшь дспояьзоваш ври разработке численных алгоритмов для. обратных задач.

Аппопагпш р^йоти, Результаты .ддсоертаоди докяадшшись: в Институте вахшатикЕ СО АН СССР на секкааро, ишводвши сшдгкакой и.и.Лаврснтьсвв«, a'saxao на ссмайарах под руковод-оïBcsi чл.-к. Alt -".ССР. Б;Г.Романова и докторов фиэ.-мат, наук, профессоров D.E,Aímo№Psa,• В.Н.Вр,^ова; .в Институте гидродинамики СО АН ССОР па теоретотескса ссдсшаро, руководаом акаде-кекси Л.В.Овоянвявовым, а таете на оёкапаро, руководило« дохе« тором флз.-гяят.наук, профессоре« В.Й.Шаахо1Ш| в Еичислитель--пом центре СО АЛ СССР га ошанарз» руководосюи академики А.С.Алекс еешгл; па оегдщарая в Математическом институте АН СССР (г, Посква), Ппотйтутв аршагдесА математики АН СССР ( (г. Москва),•Московском гссуттзрсатето, Московском энергетическом институте, Воронежском гссунпверсвтете и па ряде Всесоюзных, международных конференциях и шкодах.

Публикации. Основано результаты диссертации овубяшеовакл в работах С I - 14 3 .

Структура и объем,работа» Диссертация изложена на 272 страниц машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литература, содержащего 107 наименований работ отечественных и з рубеишх авторов.

СОДЬТЛАНЙЗ РАБОТЫ

ДЗ-ЗВШЖ'Ш Дан обзор литературы по воягросеая, связаатгл о тсипл дносяртащш я кратко охарактеризовав результата автору кляог.егшна в посявдувдпх главах.

гшй„,

В п„ 1ЛЛ рас;-. глтр-.гг-астся уравнение

->/лг V ^ гя^г*г - с'^/г^. гУ, (I)

в области , - ограниченная,, сдкосвязная об-

Яйй'гь с грашзд>Я ¿с-е* (пял ^ -, л; )„

* - ?

'У

Етегая задала, Ка8ти в облаотз решение лг^гу урав-

::гпля (I), удовястворагсее усяошям

• <а>

* Й^У , Яайтп функция .¿'^лгу, '¿ззсотиая фукигоя), входякяэ в <10 58кяэ,

па Г'яолнско (2) г (3) г,

^г/** > > "Я**""* <4>

*<■*) * % -»ЗУ, /^^Ч^«?

'^лг * л^'У^Д (5)

Удш считать, что иа^гястц следую®» условия:

/'Ж Г^ С^еч^ * ^ ^ ¿/ -юм /а/- ^¿гг /гг ^ -&Г-. /-><?.

Условие I. Пусть г и # таковн0 что —г- - алгеб-

раическое' число степени'.^ ~ цедоз число.

При выполнения условий (6) и малости входичх дашщх доказывается теорема об однозначной разрешимости обратной задачи • (I) - (5). Доказательство теорекы основано на сведении обратной задача I к нелинейной, бесконечной'системе уравнений

= ^-¿¡си:, со ггг, <г), о, , ... . , С?)

--¿¿ч;-л*-*«*'^ + т

в

Для доказательства разрешимости задачи (7)~(9) применяется метод последовательных приближенийе

Обратная задача П. <2/ ¿>гс.д), а„ ^ а „ Найти функция хе-г,¿".л, известные функции), входящие в (I) п та-

кие, что выполнено (2), (3) и

, гг Ггг^^г)^!^* ^¿«¡ля^ (10)

(11)

ггг/ = г (-яг) .

V

Обратная задача Ш. л*з, <2;

Найти функции ¿гъс-яо (^ - известная фукщия), входя-гл« в (I) и такие, что выполнено (2), (3) я

(12) (13)

Предполагается, что иатолэтггп сяоддашо уоясвяя;

а) (для обратной задачи Щ

б) (для ог5ратясЯ задачи Ш)

'ъ-гп

пг/, -- Г^.

/¿'(М/> & 1 - положительное целое чззоло . -■а' '

Зсшягва» что условие (15) шиояпяется, если есть а»-гебракчезкое число степени '¿¿.

Обозначим , собственные числа и собственные функшш задачи

Относительно задач П, Ш, доказано

Предложение „1.11. Пусть выполнены условия (М)0 • .

10 Незбходшым условием еданствеиности обратной задача П является условие

, , . . , (1С)

2„ Пусть выполнено условие <16) а -

Тогда достаточна.! условием единственности задачи П является уоговне

ЛГ

/жм^сг-^а*** , .. (17)

с

3« Пусть выполнено условно (12), ^ <?г - ^

Тогда песбходешгд и достаточяш условней сдашзд&гяв&сгв задачи П является условие (17)«,

4. Пусть выполнены условия (15) и

Тогда существует единственное решение задача Ш0

Доказательство предложения 1ДЛ оэновзко на еведенш сбредши. еадач Пс Ш к бесконечной системе аняЕЛТйчесзшж шй.;

Вя, 1.1.2 в области ^ - га, гмл? ю, лу - ограниченная 0 одЕоовяэная область в Я* с ггашщзй ¿¿г* ^ раоскатрн-вазтся уравнение

/г /г _

ггГ 'г/'^ ' ^

У «г-*» ^гг - (18)

Начаяько-к^ещя^дача,. НаЯти г-гхзге« уравнения (18), удовлетворяющее условиям

^ = ^ --Г»,. . - вектор внутрен-

ней норааяи к 3.

Об, Найтк фуишда йт^^^у^г^

- известная буйтщия), вхздазе в (18) и такие5 что ва-по,таено (19) в

^ ,(20)

Отаетш» в монотрафяи М.М., Лаврентьева,, В.Г.Всмаяова, С.П.Шшзатекого3^ для задачи (18)-(20) изучались вопросы единственности а устойчивости.

При вшоянеюш условия м/*/^ /*^ ^ ^

г обратная задача (18)-(20) редуцируется к на-

чально-краевой задаче в области для беоконечноЯ свстсш нелинеЗйызс гиперболических уравнений

М^оЛазреЕтьзз, В.Г.Вэианов, С.П.Щшаатокий "Некоторые задачи математическая физики и анализа", - М,;Наука, 1980. -- 288 с.

Л1-/ . ¿Ту/ --¿Г, , , ... (22)

™ тъеатие функции, На основании разрешимости задачи (21), (22) в классе

ч

/Л

доказывается теорема 1Д.2 об однозначной разрешимости обратной задачи С18) ■» (20) „ .•

В ти 1ДоЗ, 1„1.4 в области ■/?*

- ограгшчекная,, односвязная область с гладкой границей, рассматривается обратная1 задача для уравнения вида (18) определения правой пасти ж) . известная .*

функция)» Данные обратной;задачи задаются щ>д г^-^.

При атом обратная задача'.сводится;:к Ассяедовашш в области '-г7 задачи Дирихле-для- уравнения вида ■

. ."' ¿{¿л-; : '

-гУ ** ¿¿г - ¿гюог ^ ' - ¿'/('Я2*

> Чл , ; '' ; ' , '

Даитоя \60jpaxadB • задачи./

В о дучае^<ч^ 'Щ&г /^.^^^Ш^щтщ ;неойхррвде к:. достаточные* условия 'обратно® зада-' •'

Г1- 12'-

чл, описывается ядро решений однородной задачи. В зависимости от геометрии области Х> к входтк данных: данное ядро мояет быть так конечншерпш, так и бесконечномерным.

В пл. 1,2.1 - 1.2.4' изучается задача Каши и начально-краевая задача для вволвдпопннх уравнений второго порядка„ о поре-мевнша коэффициентами в классах функций конечной гладкости» Данный клсао уравнений включает в себя, как частный «дучай, уяьтрагяперболическле и злшштотеские уравнения.

Отметим, что з работе Г.ВоДзкопояова и Г. Е.Шилова'"'' для аволшаонных уравнений о постошшшп коэффициентами изучалась "влдоизкегшиал" задача Нош в классах функций конечной гдад-хоотп. Заметим, что наши постановка отлетаются, даяе в случае поотошшх йозф$агтентов, от постановках предложении* з рабо-» та Г.В.Ддашолова, Г.В.Шилова.

В области г?, ль, рассмотрим уравнение

' у"г ^ (/«/

-г „ м .

Еачаяьно^краегая задача. Найти в области решение урав-:?пия (23), удовлетворяющее условиям

Обозначил ^, , . ' собственные значения и соб-гвошпга функций следушшх спектральвнх задач:

ч/ ' -

Шилов Г.Е, Математическая анализ.- М.гНаука, 1965.

/й

* *** -Зафиксируем ¿>~так., чтоб« с л едущие множеотва|

^ ^ -¿г^ - - «г-2- ^

Тогда справедлива

Террема Х,2Л, Пусть ^т-.-^с^

0 А фушсшш ^С^с „ К£>-

торая однозначно определяется своими шаффициенташ Фурье

^^ , ^^ , • ®кма. «о

«¿«-л «'¿¿'-■г^**0 , ^^-/^г , ''"з* ,

«2.

* ? * .

Л--2 ~ ,-- у-— Л Л л->2

Тогда необходимым а доотаточнда условие;,з однозначной разрешают начально-краевой задачи из класса;

¿¿т/г*2 х

является условие (25)

<7 ,

В п„ 1,2,3 изучается задача Ковш в j:\_fj .-

^^З'Дяя нелаяейисго авотщонпого уравнения

й, (--/у^г: ¿А^У&'а&^М^к* (26)

** м/^^г ¿¿/'¿/г <7 ^

, } , - вещественные5 дссгояншга коэффициенты,

^, ^ - вещественнш фуаадш»

В п„ 1,2.4 в полупространства для уравнения

«Йя'-/' -Яг'-/'

(27)

^^ - нечетные, хг уа^/^У изучается задача Иош. Доказываются теореш, аналогичные георема 1.2,1 В пи, 1.3,1, 1.3.2 е использованием результатов пл. 1.2.1 « 1,2,4 научаются обратные задачи для гиперболических уравнений.

3 а. 1.3.2 в области ^^ рассмат-

ривается зада'а

- ^¿удт - (28)

, ^^ (29)

M/.-^st¿с, „ функция Хевиоайда, Обратиа^.^^ча. При найти функции

{amij известна при я*?*? ) из класса функций к конечной гладкости, входящие в (28), удовлетворяющие (2Э) п

¿V <? , (30)

/л/

Отличительной особенностью данной постанов!® от известных ранее является тот фак-ху что т задаем дрн годы» одгю условие, а не даа. Зго обстоятельство обуоаовшю многомерностью задачи и рассмотрением ее в кяавсак функций гсонеч-коЗ гаадоин»

Обратная зада-«« (28) - (30) в kjsiocg функций

эквивалентным образом сводакся к иокянеФкй, бвсковсшо« системе уравнений вида

- f^v у^г f- ^¿Ш *

* -т -^У^ - «¿¿г ^'-/ч -¿«е > (31)

, (32)

Для доказательства разрешимости задачи (81), (32) у кяаа-

се

/с'/

применяется подход, равитый в пл. 1.2.1 - 1.2.4.

В п. 103.3 в области ^'^^х-я*го изучается обратная задача, в постановке из п. 1.1.2 по определению правой части С-^'г-с^ (- известная функция) уравнения вида (18), э предположении, что о дан-

ными обратной задачи при ^-¿\

Глава.П. . Обратные задачи для параболических уравнений и уравнения Шредингера

В я, 2.1.1 в области ' <?г - ограниченная,

односвязная область в с границей з^г^ , рассматривается дифференциальное уравнение

лг^-Лгс - * ¿лг^У^г^у (33)

- . с/ , '

Начально-краевая задача. Найти з области ¿?г решение уравнения (33), удовлетворяющее условию .

^ «V- гс^ - ^ . (34)

Обратная задача. Найти- ф.ункшм -¿л^у.

удовлетворяющие (33) , .,(34) -и такие, что

■¿г^'Я&гг.-к\ <35>

¿-^сх^гъ^/^^т^^х _ цедоз поггаштельцое чксдо,

В прздпояокешш,, что

обратная задала {33) - {35) &кшшак@&?Б££» сЗдегск сгоднтон к следующей оно£емэ велшвЗгшх даф^рзящшшш уршшениВ;

— 00 ед

... ,

Езвествыэ функции.

При выполнении уоловай гладкости в калооти входных данных методш пос ксдователъкого приближения доказнвавтся однозначная разрввшость задача (36). Иопояьзуя этот результат, можно доказать однозвачнуш разрешимость обратной задачи (33)— (35).

В п. 2.1.2 рассматривается обратная задача определения правой части (^ - известная функция) уравнения

(33), в классе периодических по / функций. Указываются яеоб-

ходимые к достаточные условия на входные данные, при которых обратная задача однозначно разрешима.

?> п0 2„1,3 в области изучается обратная

задача для уравнения (33) определения фушщли <глл> с дангш-№ обратной задачи при ¿ = r>¿>.

В а» 2,1.4 в полупространстве <7r'C¿>,rjA¿?¿ рассматривается обратная задача по определению функции дет уравнения

л} * $.

Данная обратная задача исследуется в пространствах Соболева, что влечет за собой тот факт, что

При ото:л она сводится к доказательству разрешимости задачи Кош для эволюционного уравнения

Указываются достаточные условия по входные данные, при которых 'обратная задача однозначно разреакда в весових пространствах Соболева.

В п. 2Л,5 рассматривается обратная задача для параболического уравнения, в ограниченной области, с данными на граница области» которая редуцируется к бесконечной аистеив нелинейных параболических уравнений.

В и* 2,1.6 рассматривается обратная задача по определению иг-згоЯ чяотл, -¿с-*? - известная функция) параболи-

ческого уравяензя. Яашшо обратной задачи задаются при гдз fec^rj^ , - ограниченная область в -ff

Ууззшяэтся условия па и входные данше, при котоппх обратная Ездача однозначно разрешила. Отметим, что такие задачи лезшиавг вря исследовании нелокальных начально-краевых задач для параболических уравнений.

В По 2,2 изучаются обратные задачи определения потенциала■ для уравнения Шрздяпгера в классе'целых функций по одной пере« ■ ыегшой и в классе конечной гладк сти.

Глава ffl, Начально-краевые яадата ляя некоторых кяапсов уравнений, оодеркэддах паевую производную по времени

В п. 3,1,1 в области /? 3 ¿о _ ограниченная

область в ** с границей st-*?2 , рассматривается уравнение

-V »* ^у&я^Лг. *Jt гж-ъ&яг'Мх (37)

V ' ^ '

i р квадратичная ^орга знахснеопределвяа.

4/V ^ ^ '

Предполагается, что коэффициенты уравнения (37) вещественные, двавды непрерывно да^ференцвруегако функции, огранкчешше шесте со своьмп производите! до второго порядка, и для )иобо& комгиексно-значкой функции и выполняется неравенства

// JE. ¿G-. . a^ar & ¿7 /// ъ ^ лугаь-

* ч- xf

Заметим, что при в классе уравнений (37) вшшюш. уравнения, для которых в случае постоянных icosgjJsacjcBTOB, не выполняется необходимо и достаточное "условно А" Пстрог-скогс. Такие уравнения возникает при изучении задачи Кои: для двумерного уравнеглш Кортевога-Де Фриза, а такге при неуче пап некоторых обратных кинематических задач.

Смешанная задача. Найти решение уравнения (37) в оЗлаотк 4 , удовлетворяющее условия;-.!

л вектор внешней нормали па £

Определение., Функцию х,- ^ е^Л^ту -г^'г-ях-е^ ^¿еел*«?;» Я?**, . будем называть ре-

шением задачи (37), (38), если для любой функции шпоянено тождество

/ас а, . у ¿/Л^ л;;

// * ' ' ^ <?

Методами ГЬдеркииа- преобразования Фурье и "сопряженной задачи" доказывается

Теорема 3.1,4. Пусть выполнены условия

/ /¿г^/, /-¿¿У/ * /¿/-У з

Тогда для любой функции ^ такой» что ^ и

/ / е-**'

существует единственное решение задача (37), (38) из класса ° ■

Класс у определяется следующими соотношениями:

/ у^^

¿т - ярзобразоваииа Фурье функции по перемевнцм ч

В ал» Зо1»2 - ЗЛо5 изучаются другие постановки кабально-краевш дня уравнения (37). Доказываются -хворемн, ава- , ¡'

В п. 3.1.6 в областях ¿/ и ^ '¿гя/^г?/ для уравнения

в классе конечной гладкости ыетэдяма преобразования Фурье и "сопряженной задачи" исследуются задачи

л/?'0

Квадратичная форма У ^^ зпаконеопрсдеяенн*

Уравнения вада (39)' возникав? прв всушгав ебрзтшк ов&лч дт некоторых классов кииехвческкх уравнений.

В п. 3,2.1 рассматривается ДЕЙ&ереодхашюе ураьиоакз

ГДЭ КСЪу^С', *<?,£/Г*; ¿духе ■ в

области ¿? * ¿о* г - область в ограниченная кр;:.ш.и & ¿г-'**", /Ь

^ ¿Г/ , ¿'¿ТЯ ; - /¿-Я.' еду; ---¿у _

Уравнение (40) при - есть линеаризасад уравне-

ния Линя-Рейс нера-Шяня, описиваэщсто нестационарные вэамуит>> ния в транс звуковш потоке газа,.

Краевая задача.'Найти решена уравнения (40) в областей, удовлетворяющее условиям

!

POÍÍSS!Ш. ЧТО COSÍ = , * . Upa и /<■££>

лря j 5o задача (40) s (41) превращается з обобщенную

задачу Трякочи.

Д.таг исследования сформулированной задачи (40), (41) уравнение (40) сводится к сишзтгдчзокоа светеие-уравнений первого порядка:

(43)

Г^зргатпззть граагой га.т?та дш овстеш (42) доказпхает-üра непрпсбрззсглгшя Л:шяЕза я исследуется вопрос о П'Л>;~ло?тт11; одсда при ¿-'-^ , Яра этом запвтш, что

""/стслзъку па сгак функции ттпз и

:гэ лоетотея хгр-даолопбШ'Й, подученная з результате

прло-'^райотг^нп Глтиг.за с нот«.?: а ::о пртнвдпегет г. классу сим-

сгстг.и llp'í йсмоци оощей таубе-pc~c:i rmnc"" Гч'лсра изучается гспрсо о псведегшя решения

Tipa г^.

Б п. для дгиТерсют-аяьпого уравнения

f з

г-здача Турса в впспхо;.т пространство Соболева и рас-с-'~'гг:)1!чйтоя вопрос о погсданйи рампяа при

I'cütJJуатш оот^отвс^сдЗоти,

С результатами, пеиояьзошкниш э диссертация аз сслглест-яоИ статьи, с В. ВДижадповк* С143 , соавтор озиашшт и ив т-:оет гезра-опия, Ввдедагь результаты, персонально принадлежите одному из соавторов» на считается возыоквш, а вклад, хаздого из авторов расценивается как равный,

ê

Еаботн овтопа по теме диссертации

1. Бубнов Б.А. Задачи Гурса и Дарбу дет одного класса гиперболических уравнений// Сиб. мат. яда. - 1978. - X. 19,

К 2. - С. 461-465.

2. Бубнов Б.А. Обобщенная задача Трикома для одного класса уравнений второго порядка// Динамика сплошной среди. - Новосибирск, 1282. - Вып. 54, - Ce 61-73.

3. Бубнов Б.А. Краевые -задачи для одного класса уравнений „содержащих производную по времени// fera. АН СССР. - 1982,Т. 265, & 6. ~ С. 1292-1297.

4. Бубнов Б.А. Краевые задачи для одного класса ультраишер-

боличеоких уравнений// Успехи мат. наук. - 1982. - Т. 37„ & 4(226). ~ С. I09-II0.

5. Бубнод Б.А. Задача Дирихле для одного класса уяьтрагкпор-болических уравнений в классах конечной гладкости. - В кн.; Неклаосичеокке уравнения и уравнения сметанного типаf Ш-т матем. СО Ali СССР. Новосибирск, 1983. С. 82-93.

6. Бубнов Б.А. Необходимые и достаточннз условия разрешимости начально-краевой задачи для ультрагипербеялчеояих я sлщп-тнческих уравнений в классах коие^чой гладкости. - Б кн»; Неклассическио уравнения математической Snznzcif Ин-т ш-тем. СО АН СССР. Новосибирск» 1935. С. 38-53.

7. Бубнов Б.А. Необходимее к достаточные условия разреьЕьвдзтн ■ задачи Коаи для Пекин cii щи; ультрак-лерболлчеекга урс-цкпШ в классах коночной гладкости. - Б кн.: Уравнения иекласОЕ-ческого типа/ Ин-т катом. СО АН СССР. Новосибирск, ÏS33.

С. 33-35.

8. Бубнов Б.А. Существование и единственность рекенгд обратных задач для параболических и эллиптических уравнений. •» В кн.: Неклассическио уравнения математической физика./ Ин-т ца-тем. СО АН СССР. Новосибирск, 1987, С. 25-29.

9. Бубнов Б.А. К вопросу о разрешимости многомер-ых обратите задач для гиперболических уравнений. - Новосибирск, 1957,40 с. - (Препринт/ АН СССР Сиб. отд-ние ml; В 713).

10, Бубнов Б.А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач дет параболических уравнений. - Новосибирск, 1987,43 Со - (Препринт/ АН СССР Сиб. отд-ние ВЦ; }в 714). II« Бубнов Б.А. Новые постановки многомерных обратных задач для гиперболических уравнений в классах конечной гладкости, - В кн.: Примпнение методов функционального аналиаа з уравнениях математической физики/ Ин-т матем. СО АН СССР. Новосибирск, 1987. С. 29-42. 12. Бубнов Б.А.' Разрешимоетз обратной задачи для волнового уравнения, - В кн.; Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики/ Ин-т матем. СО АН СССР. Новосибирск, 1287. С0 43-51» ЗЗ.Бубнов Б.А. Необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Кош для нелинейных ультрагиперболических и эллиптических уравнений в классах функций конечной гладкости и обратные задача// Успеха мат. наук. - 1987, - Т. 42, Я 4 (256). - 0. 126. 14. Аниконов Ю.Ё., Бубнов Б.А. Об одном методе исследования многомерных обратных задач. - В кн.: Методы исследования обращай и некорректных задач/ Вычислительный центр СО АН СССР. Новосибирск, 1987. С. 22 ^

Подписано к печати 25,11.88 MI 00617 .....• ""

Соргзт öyiara BOxSl I/X6„ 0йъеп I 5 д.д., 1,24 уь-иад.я. Заказ 313 • • ■ Tupas ХШ вкз.

Отвечашш на ротапринте Института ыатечаиш СО Ш СССР 630090» HoB^QEâapK, SO