О краевых задачах для вырождающихся параболических уравнений с разрывными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

СЛШЧГШРБШШЙ ГОСУДЛРО'ЕВНШЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 од

Я П А и! ШЗ На правах рукописи

ШСОВСКИХ Петр Иванович

УЛК 517.9

О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ВЫРОВДАЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность: 01.01.02 - Диффэрэнциальяие уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петэрйург 1993

Работа выполнена в оорддке дачной инициативы.

Официальные оадошшта:

доктор физико-математических наук, профессор Иванов Александр Васильевич.

доктор фивико-математических наук, прпфесоор Ландио Евгенчй Михайлович;

доктор физико-математических наук, профессор Осмоловский Виктор Георгиевич;

Ведущая организация:

Институт прикладной математики и механики Академии наук Украины.

Защита состоится "/У " *(0 1993 г. в часов на засе-

дании Специализированного совета Д 063.57.30 по защита диссертаций на соискание ученой степени' доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургоксы государственном университете ло адресу: 199904, Саякт-Ватврбург, Старый Петергоф, Библиотечная пл. 2.

С диссертацией мокло ознакомиться в библиотеке им. Ы.Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан ^/Р 1993 г.

Учанкй секретарь Спэциалиэярованного совета Д 063.57.30 доцент

Ю.А.Сушков

Для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа б области SL С- /2. с негладкой граншой 3-Е. и 0 непрерывной функцией | на Э-С- в 1924 году Винером 1б] - [7] был прздлокан подход, суть которого заключается б следующем (см., например, ?.1.В. Келдыш [22] - [23] или Е.М. Ландис [28] ): функция | продолжается на Л непрерывным образом; пусть Ь - продолженная функция; область -П- аппроксимируется изнутри областями _Я.П1<£ £1. ,Ю- = = 1,2,... с гладкой границей, для каждого гл. решается задача Дирихле Д 11^ = 0 (оту задачу естественно назвьть

аппроксимирующей задачей); последовательность ¡¿пь сходится I; решению 1С уравнения АН- О в -О- , и 'и, не зависит ли от способа продолжения £ , ня от способа аппроксимации -12. областями -0(ги . Полученное решение ъи называется обобщенным решением задачи Дирихле Д2о- О , "и. - I , в смысле Бинера.

Аналогичная конструкция может быть применена для решения более общих первых краевых задач (см. по этому поводу, например, монографию В.М. Ландиса [28] ); соответствующие решения таете называются обобщенными вшеровскдаш репенидаа.

Это довольно простая конструкция. Главным же было то, что для обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа Винером также было дано необходимое и достаточное условие на границу Э11 области -0- , при выполнении которого классическая задача Дирихле для уравнения Лапласа оказалась разрешимой для любой непрерывной граничной функции £ на . Это условие было сформулировано Винером на основе гармонической емкости (или же емкости Винера: см. по этому поводу, например, монографию Б.М. Яандиса [28] , монографию '¿.С. Ландкофа [33] или монографию Шоке Гб7] ). Критерий Винера для уравнения Лапласа имеет вид

где - некоторая граничная точка области -2- , О.^-™- - шар с центром в точке 32° и радиуса 8~"1, ~ емкость Винера или

(И. - 2)-емкость, о которой, в частности, будет сказано ниже.

Для изучения свойств обобщенных по Винеру решений уравнений параболического типа с разрывными коэффициентами и в областях общего вида, Е.М. Ландисом в [23] введено понятие параболической 5 ,.13 -емкости множества. Ее определение таково.

Пусть 5 >0 , £ о - некоторые числа и Е - В-мьожэство

plU-l - 4 -

В lt . Число

где верхняя грань берется по всем таким мерам (здесь и в дальнейшем неотрицательная мера называется просто мерой) Ja на £ , для которых _

s (¿-Г, х-?) ГГ, р s i V í ¿, аС Я Е,

гдег _

~ (О,

называется параболической S , Ji -еыксртью множества Е .

На основе S ,J3> -емкости В.М. Ландксом в [28] даны достаточные условия регулярности обо&ценных винеровских решений на • параболической границе области. Форма данных е [28]условий регулярности аналогична форме критерия Винера для уравнения Лашшеа.

Для изучения свойств обобщенных по Винару решений первой краевой задачи для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами E.1S. Ландисом в [28] такие введено понятие S -емкости. Ее определение таково. ^

Пусть £ >0 - некоторое число и £ - В-мнояеотво в ft

ЧЕСЛ0 С I у Г\ I I / с4

^ .г

гдэ верхняя грань берется по всем таким мерам J-I на £ , для которых —

Slx-yrct/iQ) ¿J V3CÍ t,

навивается S -емкостью множества £ .

5 -емкость при (cus, [28] ) обобщает емкость, nopos-

доннуо ядром Рисса.

На основе .S -емкости S.U. Лаадисом в [28] даны условия рагу лярк ости обобщенных винеровских решений в граничных течках области. Кроме того, в [28]показано, что данные условия регулярности близки к точным. Форда условий регулярности в [28] аналогична критерии Винера доя уравнения Лапласа, и сам критерий Винера является чаотным случаем условий регулярности [28] .

Дадш теперь сокращенное иалежошш результатов диссертационной работы.

Эта работа посвящена исследовании граничных сеойстз и разрешимости первой краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений 2-го порядка с разрывными коэффициентами и приложению полученных результатов в теории оптимального управления.

Работа состоит из 5-ти глав.

Глава I связана с оценками параболической 5 ,^ -емкости и с попутными оценками 3 -емкости.

¿1усть £ ((¿',х'),(£*,х1'}) - обычная параболическая метрика в И , порождаемая выражением вида 'ПНЛ + II , Пусть О зе®, 7.) - шар с центром в и радиуса в смысле

параболической метрики. Этот шар находится в конечном отношении с цилиндром вида

и & . Пре-

дел (возможно, бесконечный, в котором Хк - радиус шара С/к в метрика р ) «„,

* £+0 1 *-»

назван параболической мерой шюжэства £ размерности .

Доказывается следующая оценка 5 ,^ -емкости при 1/2 < (а+2)/2 в терминах введенной меры . Пусть £ - некоторый компакт в /2.11'1 . Тогда, если

= 0 , то и ~ О . Если хв £ >0 - сколь

угодно малое число, то тогда, если Рг^СЕ) >0 , то и >0 .

Далее дается геометрическая оценка Б -емкости при .5 > > (П+2)/2.

Пусть Н - некоторый шар в й. и £с Н - произвольный компакт с непустой внутренностью. Оценка:

С°с5.Р,п.) ^(гсЕ))"/г°< П., Н) >О

где - внутренний диаметр компакта Е в смысле параболи-

ческой метрики.

Также дается аналогичная геометрическая оценка 5 -емкости при Э > в смысле евклидовой метрики в К,

.Ь дополнении к главе I доказывается следующее утверждение.

с

Пусть с - произвольное В-множество в 1С , .1 <4Я.+2, некоторое число и (Е) ~ + г-° . Тогда сущэствует такой компакт 1-С В , что О*. ¿¡«(Г)**00 . На этот факп в частности, опирался вывод оценки 5 , -емкости в гормонах, меры

Б дополнении к главе ±

также исследуется взаимосвязь параболической £ -емкости с другими функциями множества, например, аналогичными анизотропной мере Хаусдорфа . Показано, что результат главы I и дополнения к ней верш и идя 5 -емкости и для аналогов обнчной меры Хаусдорфа.

В глава II строятся обобщенные влнеровокие решения для оператора 2.

и J С

коэффициенты £¿1 , ¿1 и С которого определены в открытом несвязном множестве I)" =Х>\1С , где Х> - ограниченная область в

К/11'1

с негладкой границей, а Л = .£> П { £ = с] . Пусть

также

£>+ - П £кЬ >о},£" = 1>Л{6<0} = 15 0(161 <1} где £ >о .

Дадим обидае даш всех случаев предположения об операторе и об области.

Относительно коэффициентов опэратора [_ предполагается выполненным з 1)" условие равномерной эллиптичности для , локальная в .0 и в 2Г гельдеровость всех коэффициентов оператора I. , их равномерная ограниченность в , причем всегда в Х>° С ь о . Поэтому коэффициенты оператора L , вообще говоря, могут не иметь предела при подходе точки (£ ,сс) кГСЪММ: , где Г(-£>) - параболическая граница области I) .

Предполагая, что 2)+ ^ 0, в дальнейшем будем считать, что верхняя крышка области 1> - пуота. Еслг это не так, то будем предполагать, что коэффициенты оператора с сохранением их указанных свойств продолжимы в область

где £ >о - некоторое число, а число таково, что =

(ародаслагается, что такое - единственно; так будет, если область

, например, цилиндрическая). Цоэтсыу нахе ГФ) = Э1) .

Решением уравнения 1/. = 0 в 2> названа непрерыв-

ная в 1> и ограниченная в 2> функция 11(6,1С) , для которой

1гс = а в Ъ в классическая смысле.

Решение первой краевой задачи Л V, = о в I) , = ^ ,

где Я - определенным образом заданная на I (20 некоторая непрерывная функция (каким именно образом заданная - будет видно ниже), понимается как непрерывное в 1) решение уравнена 1-4. = о в Ъ , принимающее на ГШ) заданные значения.

. Обобщенные винероаскиа решения первой краевой задача главы И строятся в зависимости от поведения С яри Ь *0 . Ниже эти случаи вырождения условно названы ¡сяк а), б), в) и г) (случай а) -вспомогательный, при котором вырожденке снимается).

Во^асех этих случаях не исключается возможность того, что Эй" \этг £ 0 . Рассмотрим эти случаи последовательно.

Случай а). В этом случае дополнительно предполагается, что: С 5 ¿а_с : 5/¿/4 в Л) ; С и - ограничены в 2> ;

, ^ и С локально гельдеровн з I) .

Тогда L = ^ L - обычный оператор параболического.типа. Поэтому в случае а) граничная функция Р на га» может быть произвольной непрерывной функцией.

Обобщенное винеровское решение первой краевой задачи главы II в случае а) строится по той же схеме, что и для уравнения Лапласа (см., например, 2.М. Ландис £28] ), поэтому ш опустим формулировку очевидной в этом случае теоремы существования обобщенного по Винеру решения.

Несколько слов об областях с гладкой границей, аппроксимирующих изнутри область I) , в которых первая краевая задача в случае а) разрешима при любой непрерывной функции на параболической границе области. В качестве этих областей взяты соответствующие области из монографии А. Фридмана [60] . В работе автора эти области названы областями типа Фридмана.

Ниже всюду предполагается, что область 1> в первой краевой задаче главы II допускает аппроксимацию изнутри областями типа Фридмана.

Далее, сходимость в области последовательности решений аппроксимирующих задач, обеспечивает теорема о внутренней априорной оценке ограниченных решений уравнения 1~гс = 0 в 1> (то есть, георема о компактности ограниченного семейства решений уравнения

- 8 -

1.4, О а 1) : см. там же, А. Фридаая £б0] ). Предельное решение единственно.

Условия упомянутых двух теорем А. Фридмана [60] требуют локальную гельдеровость коэффициентов оператора £. в Л . В связи с этим заметим, что все результаты главы II остались бы неизменными, если бы, например, коэффициенты оператора I- локально в ]) удовлетворяли условию Дин л, к прк этом были бы верны аналоги этих теорем А. Фридмана [,60.1 .

Случаи б). Б этом случае дополнительно предполагается, что: с со, ос; = о;

существует

= От, са,х)/1И:

при некотором можно так продолжить на- & -ок-

• рестность ЗС в гиперплоскости = 0 (считая также С в С на ), чтобы при некотором £/ >0 |С4(Ссе>| V £,, х-6 г^Ш

(необходимо, конечно, чтобы это неравенство, прежде всего, выполнялось на Яг ).

Кроме тога, и только от младших,коэффициентов опэратора , требуется некоторая регулярность в окрестности £ «0.

Естественно скидать, что в случае 6) при £ = 0 должно вн-~ подняться уравнение

- 1С - о (I)

где

Пусть . _

гЧ1Г\ ={СС6 0}Г I песо) >0}

гдеПСг)- вектор внутренней нормали к Я" в точке хе ЭЖ ,

_ Считай параметр "С такие, что а , рассмотрим на

ЗУ систему •

^ЫСОССП) (2)

о начальным условием Х(С)€ 'Э(Гl)i и дщ каждого цеЖЕ^ обозначим решение этой системы о начальным услозиам асео) « у через осСу/Г) . Предполагается, что

и траектории дважды гладко зависят от . Куста

также 6 и Л- таковы, что всякое дааадн гладкое в V- решение уравнения (I) дважды гладко продолжило до некоторого решения того же уравнения (I)

Пусть тепзрь в случае б) Р - произвольная непрерывная на Г(Ю) функция, для которой выполнено следующее условие согласования :

где, по опрадэлонию (см. (2) ), _

гЛагс^П)5 еГ дтх ^¿гы. (6)

Гворзма (случай б) ). В данных вышэ общих и дополнительных в случае б) предположениях, обобщенно? винеровсков решение первой краевой задачи главы II существует, удовлетворяет лрагщипу максимума и непрерывно в £> ОЗГ , причем ШО,гс) с), где гЛа:) определено формулой (б).

Заметим, что предположение о сущесгвозании двустороннего предела С|г| (эел существенно для склейки при Ъ = 0 решений в и в -2>+ .

Случай в). В этом случае дополнительно предполагается, что

&ррси,х) < О. \

Естественно опадать, что в случае б) з о .

Теорема (случай в) ). Пусть в данных выше общих я дополнительного в случае- э) предположениях Р - произвольная непрерывная на

ГШ

функция, для которой

Тогда обобщенное винеровсков решение первой краевой задачи главы II существует, удовлетворяет принципу максимума и непрерывно в Ьи & , причем

и«?,Х)==С>. (в)

Случай г). В этом случае дополнительно предполагается, что

В случаях б) и в) обобщенные зинеровокие решения первой кра-

ввой задачи главы II оказались непрерывными, в частности, и в

С К . Но в данном дополнительном предположении доказать такую ш стабилизацию решения в области -£> не представилось возможным. Соответствующий контрпример праведен в работе автора.

По этой причине в случае г) нервад краевая задача главы II далее рассматривается только в областях Ъ вида области 1>

Оказалось также, что граничные условий в первой краевой задаче з случае г) естественно задавать только на Г"0>+) N -УС .

Кратко приведем остальные дополнительные предположения, относящиеся к случаю г).

Только от младших коэффициентов (¡с оператора требуется некоторая регулярность в окрестности Ь = о. Положим

Естественно ожидать, что б случае г) при Ъ = 0 должно выполняться уравнение

¿¿Ъъ.ъО. (1а)

Пусть часть границы 3 Яг _ЭС1Г)1 > определяется гак же, как и в случае б) (с заменой вектор-функции ¿1 на вектор-функцию 1°). Пусть при некотором 8" > о применительно к уравнению (1а), для 4 , Зс выполнена такав же'предположения, как и в слу-

чав б) об уравнении (I) и системе (2).

Обозначим чорез эс(у>£"), 0& 2"« I- , решение системы

= • (3)

с начальным условием ЩО) = ^ 6 .

Теорема (случай г) ). Пусть в данных выше общих и дополнительных лля случая г) предположениях Р - произвольная непрерывная на / С£»+)ЧЙ" функция,, для которой выполнено следующее условие согласования:'

ГД9, по определонию (см. (3) ),

Уце ЪСХ\1 с* I. (г)

Тогда в случае г) обобщенное винеровское решение И первой краевой задачл главы II с граничной функцией Р на Г(£*)\ЗС существует, удовлетворяет принципу максимума и непрерывно в Г>т,/ Л , причем гс^з и? , где Ь? определено формулой (у).

Глава III имеет прикладной по отношению к предыдущим двум главам характер.

В ней даются достаточнне условия разреши:,!осги первой краевой задачи главы II как в линейных случаях а), б), в) иг), так и в отвечающих им квазилинейных случаях вырождения а областях с негладкой границей. Эти условия формулируются как в герчинах 5 ,^ -емкости, так и в терминах ее оценок, полученных в главе I.

Рассмотрим линейный случай.

Положен для оператора Ь в первой краевой задаче главк II

Л1.= 5ц,р Еа^ах +оо 1 Ф.а^бОС ' .

: (тип, 2. ^-(¿.ЗС) >0.

Пусть (¿°,Хс)е ГСП) - произвольная точка, 6 >0 - некоторое сколь угодно малое число и

$ «(/^-еугоч

Теорема. Для того, чтобы точка {была регулярной для первой краевой задачи главы II, во всех случаях достаточно, чтобы

ГДЭ

и,^ = [(6^)1 I"-I 8

а С < & ^ _ некоторое чис„о.

Напомним, что ввиду теорем главы II в случаях б), в) а г) можно считать, что с ^ 0.

Здесь уместно заметить, что в дополнении к этой главе с рос том Л- показана близость только что данных в терминах 5 -емкости достаточных условий регулярности к необходимым. Это показано на примере уравнений, коэффициенты которых могут Сыть сколь угодно близки к коэффициентам уравнения теплопроводности.

Применим к данному условию полученные оценки в , -емкости. Пусть К - некоторый компакт, целиком лежаадй в открытом полупространстве ¿¿'¿^ . Соединим каждую течку (£ ,х)еК с

и

точкой (¿°,х') такой параболой, лежащей в двумерной плоскости, параллельной оси Ь , что параллельная £ = 0 гиперплоскость, проходящая через точку (£ , касается этой параболы в точке (¿".х"). Полученную "струю" обозначим через К о .

Теорема. Пусть /М1/2</1 ^ (п. +2)/2. Пусть найдется такая "струя" К0 , которой извне области 15 можно коснуться до точки (6 ,Х°) и для которой при некотором £

>о.

Тогда точка (будет регулярной для первой краевой задачи главы II также во всех случаях а), б), в) иг).

Теорема. Пусть /41/2<х1 > (а +2)/2. Тогда данное выше достаточное условие регулярности в терминах 5 ,^ -емкости эквивалентно следующему условию:

т.=1

Коротко о квазилинейных вырожденных уравнениях.

В этом случае сначала дается оценка модуля непрерывности решения при = 0. Далее, ми располагаем априорной оценкой Крылова - Сафонова (здеоь имеется ввиду теорема Крылова - Сафонова о гольдеровости решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами), а по предыдущему, имеем теоремы существования решений первой краевой задачи главы II в лилейных случаях выроздзния б), в) иг), йатем, методом неподвижной, точки, дочазываютя теоремы существования решений задачи Дирихле для отвечающих этим случаям вырождения квазилинейных вырожденных уравнений.

Приведем здесь зти квазилинейные уравнения в их наиболее общем виде:

¿гс ) К-х.-хг Щ) и) и^ + се, 1С) и = о.

Глава 1У имеет прикладной по отношению » предыдущим трем главам характер.

Эта глава посвящена так называемым "несущественным" или же "яранебрежимым" множествам на параболической границе области, то есть таким множествам на границе области, где можно не задавать граничных условий Дирихле.

Истоки этой проблематика берут качало о известного примера Гилбэрга - Серрина. Этот пример, в частности, приведен в статье Е.Ы. Ландиса [2Э] , в которой получены болев общие и существенно

более точные результата.

3 главе 1У условия на "несущественные" множества в первой краевой задаче главы II во всех случаях а), б), в) иг) сформулирована как в терминах S -емкости и S -емкости, так и в терминах их оценок, полученных в главе I.

Показано также, что данные условия близки к точным. Келаяга иметь близкие к точным условия несущественности, вызвало в этой главе предположение о цилиядричности области, в которой решается первая краевая задача главы II,

В случае нецилиидричаской области ксано было бы дать более грубые достаточные условия несущественности.

3 глава 1У обращает на собя внимание тот факт, что всегда в случаях вырождения б) и в) множество ЪК - несущественно, а область X устранима для задачи Дирихле. В случав г) дня этого потребовались дополнительные предположения.

Представляется.интересным также и то обстоятельство, что условия несущественности на некоторую часть границы области в случаях вырождения б), в) и г) таковы же, как и в случае а),, при котором вырождение снимается.

Заметим для дальнейшего, что данные в главе 1.У условия несущественности определяются величиной £ - константы суперэллиптичности оператора L в первой краевой задаче главы II. Эта величина равна п,

^С^осул^Х))

где

AjU.oOs. X) -

собственные числа матрицы Ci,х)/| .

Далее в главе 1У показано, что в случае в) обобщенное по Винеру решение первой краевой задачи главы II в цилиндрической области 8 ТС х (0,1"} , отвечающее произвольной ограниченной В-фуякции F на S боковой граница этого цилиндра, можно выразить формулой:

ись, ас* = S к а, ос, с, р F<trtp*j'lcti î )

" 5 г

где J*l - некоторая мера Радояа на о , а функция Up такова, что ее вторые произведена по ОС и первая производная со t - ло-

кально гельдеровы в J) а

LicF = о si>+

в классическом смыслэ. Для верен принцип максимума в том смысла, что для любых ( ¿,х)е £>*

essSttp|F<r,f)| о

где esssap понимается в смысле меры //L ; Up непрерывна в D*OX и ия<Го1х)= о при эсеХ .

Затем методам главы 1У доказывается следующая теорема. Если конотанта суперэллиптичнооти & оператора L такова, что t > Z (так что П. 3), то мераyL не шеет атомов.

Эта конструктивно проверяемая теорема находит свое применение в главе У. L

Заметим здесь, что меры типа меры J^l , вообще говоря, на ' обязаны быть абсолютно непрерывными относительно меры Лебега на S , даже если JT есть шар в £ (см. по этому поводу отатью Л.А. Каффарелли и др. [21] ).

Результаты главы 1У шесте о одним из результатов кандидатской диссертации автора, приводят к следующей общей теореме в теории оптимального управления, данной в главе У этой работы.

Введем необходимые для формулировки этой теоремы обозначения. Пусть -О- - некоторый компакт вИ эй = (¿х> ... ,

JJ - некоторая безатомарная мера Радона на компакте St , Itf) -метрическое пространство Ji-измеримых подмножеств Ее. Л. 0 метрикой J>( £',£") = /*(£'*•£") , где £'*£* - симметрическая разность мнокоств £ и Е ^

Пусть , ¿ей - некоторые компакты в Я , непрерывные по i на -К- в смысле метрики Хаусдорфа и Q - некоторый такой компакт в К , что Q.(t)cQ. для каждого ¿е SL ,

.Обозначим через L CSi^d)) множество БГлХ тех ¡А -измеримых воктор-функций %L(.l) со значениями в , для которых VLii)G(2d) при /)-почти всех ¿6 Л , Пусть

- метрика в L .

Пусть

- 15 -

СЛ)* ¿'(Л, О«» э (Е,^) -

метрическое пространство с метрикой . У((£\ Ы),СЕ\ и")\ = РСЕ\ Е")

Определение. Какой - либо функционал РСЕ ,'Ч) на ¡Л называется дифференцируемым в точке (Е0 ,ис), если найдутся: такая )4 -суммируемая на -О- функция Е^и) и такга равномерно ограниченные и удовлетворяющие условиям Каратеодори (э смысле мэры^и ) функции

^(.и.а^'си^у. ах&^я,1

что £о*е

Здесь предполагается, что ^РСи^а)^)^- о при

И -почти всех Ь £ ; тогда все подынтегральные функции в этом дифференциале будут определены однозначно в смысле меры }1 . Рассмотрим следую:кую экстремальную задачу. Пусть на/Ч заданы некоторые функционалы Р^ ,1 --пг., ...

,0...../г , и требуется

гтип.

при ограничениях

£¿(£^>6 О, £ ¡»О,

Теорема. Пусть (Ес,и0), решение этой задачи - существует, причем:

Ь'б дафференцируеш в ( £„ , );

F¿ , I > О - непрерывны на Л1 Тогда, если дифференциалы от ^ в (Е0 , И0 ) - лшейно независимы, то найдутся такие числа А° , £ = .....п, , на все нули, что:

¿ЪО).

Р^СЕсИс) -Оу I >0,

и дои всех ( £ , ь.) е М

£ ^К Ъ^шщ*)* + *Р1сиа\Ы^ +1 ^¿>40 ъ о.

¿--т. е*е

Затем это условие оптимальности приводится к форме принципа максимума.

Заметим, что данное абстрактное условие оптимальности более информативно, чем если бы дифференциал состоял только из двух частных производных по £ и по И .

Действительно, может оказаться так, что оба множества

и

[иЛ = ( ие £ А- $ /^,«¿<¿>,£>4/ » о]

I -Э-.

будут состоять более, чам из одной точки. Но тогда вследствие данного условия оптимальности для любых ( Е ,21 ) 6 {£<>} * (Ив\.

Е $ ^Угш)^)^ >о,

I Е>£

что и дает дополнительную информацию на оптимальные К с0 ,и0) в поставленной выю абстрактной задаче оптимизации.

Заметим для дальнейшего, что введение варьируемого множества не вносит большей общности в понятие интегрального функционала, так как выражения вида

-2. Е

где эеШ = О V I при ^ -почти всех ¿6-2. , легко выводимы друг из друга.

Но на практике встречаются задачи, в которых необходимо найти не только оптимальное управление, но и оптимальное множество, на котором оно определено. Примером такой задачи является задача определения оптимальней формы сверхпроводника в магнитном доле.

С помощью данной выше общей теоремы в том ео частном случае, когда }4 '- мэра Лебега, зботракткая модель втого примера, в частности, исследовалась в кандидатской диссертации автора.

В данной выше общей теореме мера Р цояа предполагается всего лишь безатомарной, поэтому возникает необходимость прикладного оправдания общности этого предположения, и может возникнуть необходимость прикладной проверяв этого предположения. Поэтому

наша цель сейчас состоит в том, чтобы указать некоторый класс задач оптимизации, для которого предположение о безагомарности мери Радона заведомо оправдано и конструктивно проверяемо. ,

Приведем в связи с этим пример задачи оптимизации, связанной' с обобщенным по Зинеру решением первой краовой задачи главы IX в цилиндре -в* в случае в).

Имея ввиду правила образования более сложных дифференцируемых на /Ч функционалов, данных в статье автора [46] в форме правил дифференцирования (э'ти правила будут верны и в случав безатомарной меры Радона), становится ясным, что даже один такой пример сможет породить ощутимый класс подобных прикладных задач.

Лроме того, более слояный пример задачи подобного сорта приведен в статье автора {.41] и, в случае мерк Лебега - в дополнении к этой главе.

Приведем теперь пример задачи оптимизации, связанной со случаем в).

Пример, Пусть в случав в) главы II В = К* (о, Т) , где Т > о - некоторое число, и боковая граница 2 цилиндра такова, что = 5/ и Б" , где Б Л 5" = 0, причем 5 - регулярная часть границы, а 5 лишь такова, что ее проекция на 1с может бить произвольным компактом с пустой внутренностью. Пусть

, (¿,ос)е5' -некоторые числовые компакты, непрерывные по ( ¿,ос)С 5 в смысле метрики Хаусдорфа. Пусть

М = 2.(5") * ¿.'(З^А«,«» э (£,и)

имеет тот же смысл, что и выше (соответствующую мэру Радона мы укажем чуть позже, считая пока множество £ и функцию v- - бо-релевскими). Пусть ^СЕ^.Ь,аг] есть обобщенноа по Винеру решение уравнения главы II

в цилиндре И в случав в) с граничными условиями вида

где Т0 - некоторая константа.

Пусть , теперь уке входящая в определение 1Л - мара Радона на 5 , отвечающая абстрактной формуле оборонного по динару решения поставленной первой краеоой задача: виза, в главе 1У,

мы уже указали эту формулу.

Тогда можно доставить, например, следукнцую задачу оптимизации: требуется

ХЧЧ^СЕ.гцТ.х} пил

X СЕ.и^М

при ограничении

где Л - некоторый компакт в области ЗГ , X) - некоторая гладкая по 4 функция, а £0 >С - некоторое число.

Этот пример показывает принципиальную возможность проверки предположения о безатомарности меры Радона, в данном случае -меры ^ , так как по данной выше теореме главы 1У эта мера не будет-иметь атомов, если константа суперэллиптичности £ оператора ¿. в приведенном примере такова, что £ > 2.

Тем самым правдана и общность предположения о безатомарности мары Радона.

Вывод необходимых условий экстремума в приведенном примере достаточно нрост. При этом также дается конкретизация тех дополнительных условий на оптимальные (Е^ ,иР}, которые вытекают из абстрактного условия оптимальности данной выше общей теоремы, и о которых уже говорилось.

Заметим теперь, что ранее упомянутая взаимная выводимость двух .видов интегральных функционалов позволяет получить теоремы существования оптимального решения в задачах, близких к тем примерам, о которых ваш ука было сказано. Исключением из этого здесь является пример, приведенный в дополнении к главе У.

В дополнении к главе У дается обобщение абстрактной теоремы о неявных функциях для того случая, когда аргумент решения неявного операторного уравнения является элементом метрического пространства.

На основе этой теоремы и данного выше аналога правила множителей Лаграняа, далее выводится принцип максимума, в частности, в такой постановке задачи ойтимального управления, когда минимизируемый функционал зависит и от выбора измеримого множества £ . Приведем постановку этой задачи.

Требуется

$ hx,iL,t)dt -* min. E CE,U)

тю (e ,u)6 z(to,r])xl'ccoji,acm

(здесь T >0 - некоторое число, aß- обычная мера Лебега на [О, Г] ), яри ограничениях

^ = ХСО)-зс0,

хСТ) = х.т,

где 0<£-о*-Т - некоторое число.

В этом случав гакзсе дается конкретизация дополнительных условий на оптимальные ( Eot1i^), вытекающих из данного выше абстрактного условия оптимальности.

Результаты диссертационной работы опубликованы в статьях автора [38] - [48] и в совместных статьях автора и У.З. Райтума [4а] - [50] , а также докладывались на семинаре O.A. Ладыженской и H.H. Урэльцевой, на семинаре ü.M. Ландиса и В,А. Кондратьева кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ, на семинаре В.Ы. Тихомирова кафедры общих проблем управления .того же факультета и на семинара И.В. Скрнпкика института прикладной'математики и механики АН Украины.

- 20 -Литература

Аркия В.И., Левин В.Л.

1. Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измеримого выбора и вариационное задачи. УШ, 27 , 3(1972), с. 21 - 77.

Кагоцкая Ц.В.

2. О структуре несущественных множеств задачи Дирихле, Труды ММО, том 46, 1983, с. 136 - 144.

Еерлинг и АхлфорсСА.вгиг-^им. &

3. Тке. йпиЫаяу. соггеарогишьсе ип&л- уиА%Ьсоп4<?апа.1

Болтянский В.Г.

4. Принцип максимума в теории оптимальных процессов. ДАН СССР 119, 6(1958), с. 1070 - 1073.

5. >к!атематические метода оптимального управления. М, Наука, 1969.

Винер Н.СУЛ/^епеъ/К).

6. С&и&сгъ га>Ь1оп<> аь рЖелЬисЬ Ъкеспц.. Зоигп. Ма.1к, РКцв. Наы.Хп.&Ь.Те.е.Ьп.) ЗСт4), Z^^-S^.

7. 'Тке. ЫгиШЬ ргоё&т.ЛИс1> 117-146.

Вотсои Н. А. ( и/гиьоп. N. А.).

8. Тк<япъа.1 сарасИ^.. Рчсс-ХопсСоп, ГАаЬк. Ьсслг), 3?, 1378, з^г-збг.

Гливенко 2.В.

9. О мере типа Хаусдорфа. Математический сборник, т. 39(81),№ 4, 1956, о. 423 - 432.

Гринберг Г.К., Бандерс З.И.

К). Оптимальная форма сильно вытянутой намагничивающей катукки из сверхпроводящего материала. Магнитная гидродинамика 1967, 2, с. 145 - 148. Изд-во 3ипатке, Рига.

11. Оптимальное распределение прямолинейных намагничивающих токов вдоль рабочего объема. Изв. А1} Латв."ССР, сер. физ. и техн. наук, 1967, 2, о. 106 - III.

Данфорд Н.,' Шварц Дж.

12. Линейные операторы. Общая теория. Ш, М., 1962.

Дубовицкий А.Я., Милютин А.А.

13. Задачи на экстремум при наличии огр ничений.дан СССР, 149, 4(1963)-, с. 759 - 762.

14. Задачи на вкстрецум при наличии ограничений. ЕВМ и МФ 5, 3

(1965), с. 395 - 453.

15. Наобходилиа условия экстремума в задачах оптимального управления оо смешанными ограничениями типа неравенств. ЖШ и МФ 8, 4 (1968), с. 725 - 770.

Ерохин В.Д.

16. Связь между метрической размерностью и гармонической емкостью. УМН, том 13, вып. 6 (84), 1958, с. 81 - 08.

Ибрагимов А.И.

17. Некоторые качественные свойства решений смешанной задачи для уравнения эллиптического типа. Мат. сб., 1983, 122, № 2, с. 166 - 181.

18. О некоторых качественных свойствах решений эллиптических уравнений с непрерывными коэффициентами. Мат. сб., 1983, 121, Я 4, с. 454 - 468.

Иоффе А.Д., Тихомиров В.М.

19. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974, 479 с. Карлэсон Л.

20. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М., Мир, 1971, 125 с.

Каффарелли Л.А. и , Ещгле. В. Ра^е.с)

С&чЛлй ¿. Кеасц.}.

21. %1гу^гсСа.ч, ^¿¿рИс - Ьягтогис пп£али.ъе.$.

Га сШ^.й.и(йг. Ма.&.Зоьлп&С, <981,^30,^6, 9П--9гч. Кедцчш М.В.

22. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле. УМН, том д, 1941, с. 171 - 292.

23. О задаче Дирихле. ДАН СССР, 32 (1941), с. 308 - 309. Крылов Н.В.

24. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М., Наука, 1985, 376 с.

Крылов Н.В., Сафонов Ы.В.

25. Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами. Изв. АН СССР, 1980, т. 44, № I, с. 161 -175.

Курант Р. . .

26. Уравнения с частными производшши. Мир, 1964. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н.

27. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Ц.,

Наука, 1967, 736 с,

Ландис Е.М.

28. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М., Наука, 1971, 287 с.

29. Теоремы единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка. Труда ШО, том 42, 1981, с. 50 - 63.

30. -S -емкость и ее приложения к исследованию решений эллиптического уравнения 2-го порядка с разрывными коэффициентами. Математический сб. том 76, № 2, IS68, с. 136 - 213.

31. О структуре несущественных от-эсительно задачи Диршае множеств для эллиптических операторов второго порядка с разрывными коэффициентами. Труды ШО, том 46, 1983, с. 124 - 135.

32. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле для уравнения теплопроводности. ДАН СССР, 185, J(3 (IC69), с. 517 - 520.

ЛаНдкоф U.C.

33. Основы современной теории потенциала. М., Наука, 1966, 515 с.

Ланконелли С Е. Laivccucêtl).

34. 'SiLÍ pzoliíma,cL¿ DiïLch ùt ptr. t e^ua-ilone. de¿ aUow.. Ann.Mai.PüLXCi App£.(4) 8?(13Ï3), 83 -m.

Люстариик Л.А. и Соболев В.И.

35. Элемент функционального анализа. М. - Л., 1951, 360 с.

Ляпунов A.A.

36. О вполне аддитивных вектор-функциях. Изв. АН СССР, сэр. ма-тем., 4, 6 (IS40), с. 465 - 478.

Мозер (J". Moser).

37. On. Иахпаск^ rhcoum, í-оъ e.e¿¿ptic t¿¿#etert¿m¿ г^/иаЦрпл. Comm. Риге Appt. Math. xv¿(i96t), sïp-s31.

Мысовских П.И.

38. Параболическая емкость множества и ее некоторые характеристики и оценки. Дифференциальные уравнения 23, № 9, 1987, с. 1567 - 1574.

39. Об обобщенных решениях яекоторйх выровдающихся уравнений параболического типа. Дифференциальное уравнения 26, № 3, 1990, с. 468 - 478. ■ _

40. О свойствах обобщенных решений некоторых вырождающихся уравнений параболического типа. Дифференциальные уравнения,26,

» 4, 1990, е.67П - 676.

41. Об одной задаче математической теории оптимального управления. Кибернетика, М 4, 1990, С. S6 - 100.

42. Теорема Л.А. Листернака и экстремум функционала при операторном ограничении. Латвийский математический ежегодник 12, Рига, 1973, о. III - 116.

43. Применение задачи нелинейного программирования к задачам оптимального управления. Датвийокий математический ежегодник 19, Рига, 1976, с. 160 - 161.

44. Необходимые условия экстремума функции множеств при ограничениях. Вторая Всэооюзная конференция по проблемам теорэти-ческой кибернетика. Тезипн докладов. Новосибирск, 19?1,о, 40.

45. Необходимые условия экстремума функции .множеств при ограничениях. Латвийский математический ежегодник 14, Рига, 1974, с. 122 - 140.

46. Об одном вывода необходимых условий экстремума задачи оптимального управления. Кибернетика № I, 1975, о. 116 - 123.

47. Необходимые условия экстремума в некоторых задачах оптимизации. Кандидатская диссертация. Рига, 1974.

48. Об устойчивости по функционалу и расширении одной задачи оптимизации. Латвийский математический ежегодник 19, Рига, 1976, с. 104 - ИЗ.

Мыоовских П.И., Райтуы У.Е.

49. Экстремум функционала при операторных ограничениях. Латвийский математический ежегодник 12, Рига, 1973, о. П7 - 128.

50. Экстремум функций мнокеотв при ограничениях. Латвийский математический ежегодник 14, Рига, 1974, с. 141 - 156.

Новрузов A.A.

51. Об одном подходе к исследованию качественных свойств решений надивергентных эллиптических уравнений второго порядка. Мат. сб., 1983, 122, № 3, с. 360 - 337.

52. О задаче Дирихле для эллиптических уравнений 2-го порядка. Докл. АН СССР, 1979, 246, Я 3, о. II - 14.

'53. О некоторых критериях регулярности гракич.чой точки для линейных и квазилинейных параболических уравнений. Докл. АН • СССР, 1973 , 203, Ii 4, С. 785 - 788.

54. ( S i ) -емкости и их приложения к уравнениям элляптичао-кого типа 2-го порядка. Общая теория краевых задач. Клав, Наукова Думка, IS83, о. 160 - 168.

Нойштадт (Ktustadl L. W.).

55. Да atsbiact bailatioivtl Ikemy. with. appiuaJbicns to a, ¿tzxuL c&ss o( oplitaiiaiion. pzoS&Mis, I, E, SlAfA, о. Сcnbzcl i/(i96e)iSOS--trz?.i S-a96?),90~1S7.

56. .A уеле-'гм-t bheou^ ecctzemais. J. Compui and Syst bc.i.) (968,3) -Vfii, S4-9Z,.

OjMНник О.Л. и Радкевкч fi.B.

57. Уравнения второго порядка О неотрицательной характеристической формой. ВИНИТИ, Итоги науки, сер. "¿Математический анализ 1969",' вип. 22, М.,' 1971.

пйии (.Pi.nL в.).

58. ^xttlcL soCuLiioiie. CjtntwXCiiCLtzdi Wienen. pet it ptUno p-witema. dct шСоге at ccniow nzC <жьо ралаЛоОло. fteoai. bem.ui.mat. Unci-. Padovt> 19Sft Zl^ZZ-UM.

Фикера С Fie hivt &,).

59. &оиги6гчу. pto££cms in. differentiae eq,-iuUions.Madibon.t 1960.

Русский перевод: Математика, период, сб. пербв. ии. статей, 1963, 7, № 6, с. 99 - 121 (РЯМат, 1964, 7Б342).

Фридман А,

60. Уравнения с частными производными параболического типа, мир, М., 1966, 427 с.

Халкин (HaikinH.).

61. Уо/ьСспсаи, ixoacorvcex ргс-гсиптсп} ¿псиг iibfirUtt dimen&Lonai space,. MaiheJiuUicAi ifitovj, clcvntiot^ccC.ly.A.V. $&la.(txib(uvin, and. L. W.№iShxctt,AcAd£,Twi Pze.$.s /96?, 10-ZS.

62. Some fuxlh.t.1. ¡fme.4£LlizcLUorib of a. ikeo-vcm, o| Lyapounoir. ЛгсИСге. (ог. Rational Mechanics and hn&ty&ib, vol. i?, A/H3,

Z7Z-Z*?.

63. On,a. ytjze.-LatUoMoib o?a ikzozem. of iuapouivrir. J. of

M ¿ianaii^aC AnaCy.sis and АррС1са.Иол& , Ю( l96$y} 3ZS--3Z9.

Халкин и Нойштадт 'кИл£к1п. И,сии£ Ne-ustadt L.W.).

64. aenetiui tondltions /о г optimization*, pioliejns P't,oc.Mat Acad. Sei<znxe<, ST6U966) iOi>6-iO'r{.'

,Чалмош П.

65. Теория меры.-ИЛ, 1953. Щядов Т.К., Гуревкч Б.Л.

Сб. Интеграл, мара и производная. Юбвдя' теория; М., Наук§, 1967.

Ыокэ ( С hoquet в-.).

67. Iaxpacities, Ann.. Inst. Fouzitz, &xeno¿¿e, 574955"), ill-US*.

Эваяс и Гарипя(LC., &ar¿tp¿ñ.F.).

68. Witncz'1 s cxitcxiiun, fot ¿Ae. ft.e#fc цмаЫсп*,. Mec&.cuul /паД, A^V, 293-3ÍV.