О краевых задачах некоторых моделей гидродинамики с условиями проскальзывания на границе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на правах рукописи

КУЗЬМИН МИХАИЛ ЮРЬЕВИЧ

О краевых задачах некоторых моделей гидродинамики с условиями проскальзывания на границе

01 01 02 дифференциальные уравнения Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата фи *ико-матсмап!чо( ких паук

Воронеж 2007

003161524

Работа выношена п Воронежском нлударствешюм упиверс и ¡ею

Научи ы й ру ководител ь

доктор физико-математических наук, профессор Звягин Виктор Григорьевич

Официальные оппонет ы

доктор физико-математических наук, профессор Орлов Владимир Петрович

кандидат физико-математических паук, до цеп I Розанова Ольга Сер1еевна

Ведущая организация Российский универс и ют дружбы народов

Защита состоится 6 ноября 2007 г в 15 40 па заседании диссерт-ционного совета К 212 038 05 при Воронежском государственном университете, 394006, г Воронеж Университетская пл , 1 ВГУ, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственною университета

Автореферат разослан ^2." октября 2007 I

Ученый секретарь

дис с ертационного совета

К) Е Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность темы

К настоящему момсчиу, важными и интересными проблемами есте-г твознапия продолжают оставаться различные математические задачи, возникающие при исследовании движения разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям В частости, до сих пор не получено полных и всесторонних результатов, касающихся вопросов о существовании и единственности решений начально-краевых задач связанных с наиболее известными уравнениями гидродинамики уравнениями Навье-Стокса При этом не всегда очевиден ответ Fia вопрос о выборе граничных условий Наиболее1 часто в гидродинамике использую: условие прилипания, при котором иоле скоростей жидкости на шчюдвижиоП, твердой границе сосуда, содержащего жидкость, обязано обращаться в нуль Однако в последние десятилетия все большем' распрое гранение получает гипотеза о проскальзывании, согласно которой касательная составляющая скорости отлична от нуля и сложным образом связана с тензором напряжений

Вопрос о выборе граничных условий имесч непростую историю К примеру, Навье использовал условия проскальзывания Тем не менее1, к концу 40-х годов ХХ-века широкое при знание получило условие прилипания Однако во второй половине XX века, в связи с интенсивными экспериментальными исследованиями "пеньююповс ких жидкое гей", было обнаружено, чю для mhoihx из ми\ жидкое iei1 справедливы с001 ношения проскальзывания

Среди математических работ, посвященных исследованиям задач гидромеханики при краевых условиях проскальзывания необходимо ел метить работы В Г Литвинова, H Beuao ela Veiga, L Consiglieii С Le Roux, H Fugita, M Bulicek, J Malck, К R Raiagopal, T Ilayat Ma&ood Khan, M Ayub, S Itoli, N Tanaka, A Таш

Примечательно, что К R Raiagopal, одни из ведущих снециалие той по проблемам современной гидродинамики, выделяет важность исследован 11 й зада« i с п рое кал ь з ы ваи н ем

Хорошо известно, что нестационарное движение любой нечжимае-мой сплошной среды с нос шинной мленностмо р определяется системой дифференциальных уравнении в форме Кошн

Р -I Ё - Пгг Т + РР, (/, х) € [О, Т] х (2, (1)

сЬVII = О, (/ г) 6 [О,Г] х П (2)

где И ел раничеиная область, те ограниченное открытое подмножество евклидова пространства К",п € {2,3}, 2 - параметр времени, и(/,ь) = (и|(/!,/,), и„(/, с)) вектор скорости точек среды, Т*1 — (Р'ь ,Р„) из вес шля ШШ1 иость внешних сил, Т = топ юр напряжений Дивер! енция сЬу берется попеременной г Дивер-

71 от

гонция Г)/,и от тензора Т ло вектор с координатами (_Сго Т), =

Веч ограничения общности будем считать в дальнейшем плотность/) рамной единице

Тип рассматриваемой среды определяемся видом определяющею (рео/кл и чес кого) соотношения между Т и тензором с коростой деформации е(и) {£„(«)}";--1' еч(и) = Так, при /с > О с оси ношение вида

%, --рй1; + 2//,Су("). Уг,^ е {1,2, ,п}, (3)

определяет ньютоновскую жидкость Здесь ^ компоненты единичного юн юра, с) - скалярная (функция давления, коэффициент/у называемся вязкостью Подставляя (3) в (1), можно получить уравнения Навье-Стокса Однако с осп ношение (3) подходи! для описания довольно ограниченного класса сплошных сред, многие важные1 в практических приложениях жидкое 1 и, такие как полимеры, масла, гели и I п подчиняются иным ("пепыоюновс ким") соотношениям между Т

и е

Таким обра юм, маюматпчеекал модель, описывающая течения про-шволыюи несжимаемой жидкости в ограниченном сосуде состоит из уравнений (1)-(2), реолсл и ческою соотношения исследуемой жидко-с гп, а также некоторых начальных и краевых условий Для анализа вопрос<1 о существовании решений, получающейся таким образом системы уравнений, и данной работе используются различные понятия < набого решения

Цслыо работы являемся исследование вопросов сущее гвования и выяснению некоторых свойств слабых решении краевых, а также

начально-краевых задач, описывающих движение различных песжи-ч маемых жидкостей при наличии проскальзывания

Методика исследований Использовались идеи и меч оды современною нелинейного анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, теоремы о вложениях функциональных пространств, аппроксимациопно-топологичос кий метод исследования задач шдродинамики, развитый В Г Звягиным и его учениками

Научная новизна Все основные результаты диссертации являкн-ся новыми Среди них можно выдели 1ь наиболее важные

1 Доказаны юорсмы о существовании слабых решений красных задач, опж ывающих стационарные течения нелипеипо-вязких жидкостей, а также вязко-пластической жидкости Бишама с различными условиями прос каль зывапия

2 Доказана теорема о существовании слаб[>!х решении пачально-краевой задачи, описывающей нестационарные течения пелинейпо-вяз-кой жидкости при условии проскальзывания

3 Исследована задача оптимального управления с обра I ной с вязью в одной модели непыотоновской жидкое [ и, скользящей вдоль I раницы

Теоретическая и практическая значимость Работа имеет I<■-оретичсский характер Полученные результаты применятоня при исследовании задач гидродинамики

Апробация работы Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах (20042007), научной сессии ВГУ (2004-2007), семинарах под руководством проф В Г Звягина (ВГУ, 2004-2007), международной научной конференции ТВМНА-2005 посвященной юбилеям проф А Д Мышки-са и прос}) Ю Г Борисовича (Воронеж, 2005), Пермской жмнои школе (четырнадцатой) по механике сплошных сред (2005) семинаре под руководством прос}) АЛ СкубачевсК01 о (РУДЫ, 2007), семинаре- под руководством прос}) А С Шамаева (МГУ, 2007)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7| Из совместных работ [3] и [7] в диссертацию вошли только принадлежащие диссертанту резулыаты

Структура и объем диссертации Диссертация сосюит ит введения с писка основных обо¡начении, трех ыав, разбитых на девятнадцать пунктов и с пис ка ли терат уры включающего 45 источников Общии обьем диссертации 106 страниц

Краткое содержание работы

Нумерация приводимых ниже определений и гсорем совпадает с их нумерацией в диссертации

Первая глава состоит из десяти пунктов В пунктах с первого но седьмой исследуется краевая задача, описывающая стационарные течения нелинейно-вязкои жидкости с условием проскальзывания на границе Краевая задача имеет следующий вид

= УГ = (ХЬ (4)

П гч

[сЬу и] (х) = ^ ) = 0, Ухе а, (5) «=1 х'

%{Р>и) = + Ух € П, (6)

Г = (ТпУ , V* £ 5, (7)

и"(а) =0, Ув 6 5, (8)

р(г)о!г = 0, (9)

/:

Jn

Ш

где ф - нелинейная вязкость, те вещественная функция, определенная на множестве [0,+оо)(= М+), 1(и) —

г, J 6 {1, , гг.}, р — сферическая часть тензора Т, р еще называют давлением, 5 - граница области О, удовлетворяющая условию Липшица, г) - единичная внешняя нормаль к 5, символами ит и И обозначаю! ся соответственно касательная и нормальная составляющие произвольного вектора и, через | | обозначается норма в евклидовых пространствах Ет, т е {1,2,3}

Обозначим Ро = {р € ¿2(0) ]пр(х)с1х = 0},!? = {г; V € НЦП)'1, у*' = 0}, IV = {щ ьеНЦПу1, у« = 0, сЬуг> = 0}

5

5

Для функций <р и х выполняются следующие условия С1) функция (р М+ —> М непрерывна,

С2) существуют положительные константы а\ и аг такие, что ^ <р(у) ^ а2 Аля любого у € К+,

СЗ) функция ц » ¥>((/2)у при неотрицательных у является неубывающей ,

С4) функция х К х К+ —> К непрерывна,

С5) существуют положительные константы и Ы такие», что ^ 32) < Ь> для любых е 1 х К,

Условия С1) — С5) таковы, что ньютоновская жидкость также входит в класс жидкостей, рассматриваемых в данном разделе работы

Определение 12 1 Слабым решением задачи (4) (9) назовем пару функций (и,р) 6 И7 х V0, удовлетворяющую соотношению вида

Здес ь

•j=i L

+ е / y(fni(p(s),«(s)),!«T(s)|)u1(Ä)h,(s)C/i +

1=1 s

+ Ё /иДг)^(г)11,(0^ + /р(0 [div/i](;)r/a,=

,J = 1ii ' Q.

= £/ F,(0b,(0f/i,v/ie^ (10)

•=i L

f,n(p, u) = TZ + 4>{I(u))£,j{u)ii,ii^J

причем TZ оператор регуляризации, определенный на любой функции w 6 Ьч{Щ" равенством

TZw(i) = I w(|j - z\)w{z)dz, j еП,

R"

с некоторой фши ировлшюп фннн'тной фуНКЦИСИ си £ Г*°°(К|) ia-

кой, что ьирр и) £ [(}, о] М+ Э а = const, и){г) > 0 при? G R.J,

I uj( I i|) сIx — 1, R"

/ \ f «'('). ПРИ 1 €

W(lJj-\ü, при i £ К" \ il

Как отмечено в рабоигх В Г Литвинова и L Consilium, испольюва-ние операюра TZ приемлемо с фишчсской точки зрения и ошачает "нелокальноеть" рассматриваемой модели скольжения

Основным результатом первой главы является следующая Теорема 1 2.1 Пусть Е £ /^(П)" При выполнении условий С1) — С5) существует по "крайней мере одно слабое решение задачи (4)-(9) Подобная задача исследовалась в монографии В Г Литвинова без

учета конвективных слагаемых Ч/гГ" и ПРИ существенно более

ограничительных условиях на функции ¡рях (на 11ИХ было наложено услов ие дифферен цируе мост и)

Отметим, что методы позволившие исследовать разрешимость краевой задачи с проскальзыванием для математической модели движения нелинейно-вязкой жидкости были применены при исследовании еще одной модели движения жидкости - модели движения электрореологической жидкости, для которой также имсег место феномен проскальзывания А именно, аналогично исследовалась модель движения злектрореологи ческой жидкости, определяющее соотношение которой имеет- вид

(г,]{р,и) = -р6ч +2<р,(1(и),\Е1ц(и,Е))£у(и), \/г,з € {1,2, ,п},

(П)

О < а = согЫ, К" Э 0 = (1, , 1), Е - (Еъ , Еп) - известное ноле электрической напряженности

В восьмом пункте первой главы устанавливается связь между краевыми условиями проскальзывания и прилипания Пусть последовательность функций {х*}1и.1 такова, что

С6) для любого К = 1,2, функция ха К х К+ —> Е непрерывна,

С7) для любою к — 1,2, существуют положительные константы 6|(А) и Ь?(к) такие, что Ь1(к) < ХдС^ь^г) < Ь2{к) для любых

В силу теоремы 1 2 1 существуют пары функций е И7 х Т>0,

удовлетворяющие4 соотношению (10) Справедливо следующее утверждение1

где

(л, ,22) € К х К.

■+

Теорема 18 1 Пусть 1шц_оо Ь\(к) = +оо, V е 1/2(0)", фун.%,-' ции </? Хк удовлетворяют условиям С1) — СЗ), С6),С7) соответствию Тогда существует подпоследовательность {«л,}^, такая, что а^ —^ щ в пространстве IV, причем ьц удоваетворяет соотношению

= 0 При ¿том, t¿o

Y1 /

.7=1 'П

+ E [ Ы^'Щ^МЧ^'Ь / F^M-Orfi,

me является слабым решением ьршвой ¿адачи, отмывающей движение нелинейно-вязкой жидкости при условии прилипания В девятом пункте исследуется стационарная задача» течении нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания поршовено хина

Скольжение порогового тина частиц жидкое ш описывается следующими тремя соотношениями

ui{s) =0, Vs 6 S, (12)

|/%s)Kg(,s) ири (ír(i) = 0, (13)

fis) = -Ш + хЛШ, KWDj^jj при«г(й) ф о,

здесь g ограниченная вещественная функция, заданная на границе 5, функция g определяет "порог" проскальзывания Аналогично предыдущим разделам данной рабслы будет раехмафивач ься "регу-ляриюванное" условие

ГЫ = -ш + хЛШ, "Ри «г(0 Т4 о, (14)

Соотношения (4)-(7), (9), (12)—(13) описывают стационарные ¡ечения нелинейно-вязкой жидкости с проскальзыванием порогового тина Необходимо отметить, что ранее в работах H Вепао da Venga, II Fugita, С Le Roux при условии проскальзывания гюроювого чипа изучалась система Стокса В настоящей работе исследована более общая задача В частости, применяемый в диссертации агшроксимационно-тоноло-гический подход позволяет избежать пренебрежения конвективными слагаемыми

Определение 19 1. Слабым решением задачи (4)-(7) (9), (12)-(13) назовем mpo-tí%у функций (а,р, fT) € W х "Р0 х L2{S)n, удовлетворяющую (оотношеиаю

tj-l/, J =

~ ¿/ + J p(x) [div/i](i)dx = ¿y F¡(x)h,(x) ¿r,

г=1 s a 1=1 íi

V/г € Z,

гг также соотношениям (13), (14)

Далее для функций х* и g потребуем выполнение следующих условий

С8) функция х» К х R+ —> К является непрерывной,

С9) сущес nsyior положительные константы Ь\ и Ъ\ игкие, что К '-г < \*(гь га) ^ b\zi для любых {z\, z>) е R х R+1

СЮ) функция g S —» R является измеримой,

СИ) существует положительная константаci такая, что

0 ^ g(s) < сь Vs е S

Теорема 19 1 Пусть F е При выполнении условий С1) —

СЗ) и С8) — СИ) существует по крайней мере одно слабое решение задачи (4) (7), (9), (12) (13)

В десятом пункте рассматривается задача о стационарном движении вязко-плдс 1ической жидкости Бингама при условии проскальзывания порогового типа (см соотношения (12)-(14)) Среди предыдущих работ по подобной тематике отметим работы L Coiibiglien однако в них используйся условие проскальзывания несколько иного вида

( !|íTr(.s)||R„; < А.||7г(ст'')(ь)||Е„, </T(s) = о,

1 = M|K(a")(s)||R„a => ЗА > о u'(s) = -Aa'(s), где от - девиатор тензора напряжений О < k — conbt,h е S

Жидкое!и Бингама подчиняются следующим определяющим соотношениям

где а, "пластическая" час ть тензора Т, //4 /1> некоторые положительные коне гапты

Соотношения (4), (15) (17), (5), (9), (7), (12) (1,3) описываю г стационарные течения жидкости Бингама с условием проскальзывании порогового типа

Пусть = {о о е Ьп(П)а\оч = V», I е {1, ,л}}

Определение 1 10 1 Слабым решением задача (4), (15) (17), (5), (9), (7), (12)—(13) назовем четверку функций

(и р,(У,,!Т) € И/ х 'Ро х ¿^."(О)""1 х ¿2('?)"> удовлгтшюрянщцю при произвольной функции К € Z соотношению

Т(х) = -р(л)5 + д!е[и](с) + сгДх) Уге И,

(15)

(16)

(17)

1Ы'М| -</'2, % еП

если /[и](1.) -[- О

\/Щ{ О

4 ^ '.^=1 о

а

п

П

Г!

Ё /£7(б)(и,Ы - [с1.у(„ - /,)](/)</'

п

п р

Т \

^ Р,(х)«г)О, (19)

а так.же соотношениям (16), (17), (13), (14), выполненным почти всюду на области П и на границе в соответственно В диссертационной работе доказана следующая Теорема 1 10 1. Пусть Р € /^(П)", фу^ч^ции х* и д удовлетворяют условиям С8) — СИ) Тогда существует по крайней мере одно слабое решение задачи (4), (15)-(17), (5), (9), (7), (12)-(13)

Отметим, что в большинстве работ посвященных краевым и начально-краевым задачам для модели Бингама, обобщенная постановка сводится к вариационному неравенству, подобному неравенству (19) Однако в случае проскальзывания порогового типа, не представляется возможным доказать только из неравенства (19), что достаточно гладкое слабое решение удовлетворяет классическим соотношениям (4), (15)-(17), (5), (9), (7), (12)—(13)

Во второй главе соотношения (1), (2), (6), (8), а также соотношения вида

Г(М) =У(М)е[0,Т] х5, (20) и{0,х) = у°(х), УхеП, (21)

применяются для постановки начально-краевой задачи, описывающей нестационарные течения нелинейно-вязкой жидкости при условии скольжения

Далее X* - пространство, сопряженное некоторому банахову пространству X Запись вида (д,у) используется для обозначения действия функционала ц 6 X* на элемент у <Е X Пусть 1,2(0, Т, X), обозначает банахово пространство измеримых, суммируемых с квадратом функций -и [0,7"]—> Л" Положим, что

С = {и ие С°°(ПУ\ 1/> = 0, с1ту V = 0}

Пусть далее Нг, Уг, У2* - замыкания множества С в тильберто-вых пространствах Ьг(5)", /^(^У. Н%(0,)п соответственно Пусть функция х** удовлетворяет следующим условиям

С15) функция [0,Т] х 5 х —> IR непрерывна

C16) существуют положительные коне ганты b| и b¿ такие, чю b, ^ X.t*{zi,z2 2¡) ^ b2 для любых (31,22,2)) g [0,Т] х 5 х R+

Определение 2 2 1 Слабым решением задачи (1), (2), (6), (8), (20), (21) назовем функцию и 6 1^(0, T,Vz) с прошводиой и' из про-

п

странства L¿(0, Т, (V¿ )*) такую, что при любой пробной функции w такой, что и> € Lo(0, Т, V/), ш' € ¿2(0,Т, V¿), ш(0) = v°, имеют место соотношение

Т г

j(F(t), u(í) - ш(/)> dt - I (iv'(t), u(t) - w(t)) dt-0 0

- ¿ [- to(t)}(z)chdt-

■W,

- ¿ / - «ЧОМО^ > 0 (22)

JJ=1 n и начальное условие

it(0) = и0 (23)

Имеет место следующее утверждение

Теорема 2 2 1 Пусть F € Ь2{0,Т, (К/)*), и0 € H¿, функции у и X»» обладают свойствами С1) — СЗ) и СП 5) — С16) соотвс т< тесина Тогда суща те ¡/cm по крайней мср( одно слабог решение )адачи (1), (2), (6), (8), (20), (21)

Отметим, чю в рабене S Itoh, N Tanaka и A Tarn дока>ано существование решении, принадлежащих пространствам Гельдера, системы Навье-Стокса с краевым условис;м проскальзывания, в работе М Duhcck, J Malek и К R Rajagopal исследована начально-краевая щ-дача о течениях нелинейно-вязкой жидкое i и, с вязкое гыо, зависящей

от давления и второго инварианта топ зора с короетей деформации Однако в работах указанных авторов рассматривалось условие проскальзывания сущгч гвенио более простого вида, чем в данной работе, так как не учшывалась зависимое 1Ь коэффициенту ни 01 скорос!и, ни от нормальной ехк мвлякнцой поверхностных сил

В третьей главе исследуется за,дача ошималыюю управления с обратной связью внешними силами в модели Фой[ 1а движения вяз-коупругой жидко«™ Проблемам ошимально!о управления в задачах 1'идродипампки посвящено мною работ (см например, работы А В Фурсикова) Однако в большинстве из них рассматривается управление для системы уравнений Навье-Стокса При этом совсем немного работ посвящено проблемам управления с обратной связью

Пуст ь выбрано мно!озпачное отображение Ф, являющееся управлением (пока считаем, что значениями Ф являюня некоторые множества непрерывных функций и^ х П в К") Постановка задачи следующая необходимо найти совокупность функций (и, а,р, Р), удовлетворяющую соотношениям (1) и (2), реологическому соотношению

а - У\е(м) + игде щ, /у2 = шЫ, причем >0 (24)

условию подчиненности управлению

Р е Ф(и), (25)

начальному условию (21) и 1раничному условию проскальзывания вида

«''(/,•>) =0. ^)е[0,7]х5, (26)

Г(1,з) = -х*ит&з), У(/,й)б[0,Г]х5, (27)

где 0 < х* ~ ccлis/

В диссертационной работе задача (1) (2), (21), (24)-(27), рассматривается в классе слабых решений

Далее ис ноль зую к я обо значения С'([(), Т], X) и Сх ([0, Т], X) для банаховых прое гранетв непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций с оот век 1 вепно, определенных на о (резке [0,Т] и дебетующих в X Скалярное произведение в произвольном гильбертовом пространстве И обозначается как ( , )ц

1<1

На соображение Ф наложены следующие условия "Ф1) Отображение Ф определено на прост ране гво С] ([О, У], ]/%) и действует в семейс гво всех непустых выпуклых компактных иодмножес из пространства С([0,Т], (1^У) Ф2) Отображение Ф вполне непрерывно ФЗ) Отображение Ф ограниченно в следующем смысле

< ЪШ), VF 6 Ф(*),Уи € С'([0,Т], V*),

здесь к - заданная неотрицательная функция, отображающая от рани-чепные подмножества из У? в ограниченные подмножества К Пусть далее г»° € Уг

Определение 3 11 Слабым решением задачи (1)- (2), (21), (24) (27) называется пара функций (и, Р) € С1 хС([0,Т], У^), дня которой выполнены условие подчиненноети управлению (25), соотношение вида

+х*Ы0,<ркл£1" - £ (".(ОчЛО.

- ^еУг.УГбМ, (28)

а также начальное условие

•и(О) = V0 (29)

Доказано следующее утверждение

Теорема 3 11 Пусть отображение Ф обладает свойствами Ф1) — ФЗ) Тогда существует по крайней мере одно слабое решение задачи (1) (2), (21), (24) (27)

Пусть £ множество слабых решении задачи (1) (2), (21), (24) (27) Возьмем функционал Ф £ —> К со следующими свойствами Ф1) существует константа -у такая, что

Ф(о,/)>7

Ф2) если 1тшщ = и* в пространстве С"([0,Т], и 1шт= Р в

А.—>ос К—>сх>

пространстве С ([О, Т], то

Ф(гД Л < 1тпт тп{ Ф(?ц , А)

Основным результатом третьей главы диссертации является

Теорема 3 12 Пусть отображение Ф обладает свойствами Ф1) — ФЗ), а функционал Ф удовлетворяет условиям. Ф1) и Ф2) Тогда, существует слабое решение (u*,F*) задачи (1) (2), (21), (24) (27) такое, что

Ф(«*,Р)= mi <I.(«,F)

(u F)€i<

Публикации автора по теме диссертации

1 Кузьмин М Ю О стационарном движении аяектрореолсл и ческой жидкости при наличии проскальзывания на границе / МЮ Кузьмин // Современные методы теории функций и смежные проблемы материалы Воронеж зимн мат шк - Б м , 2005 - С 135-136

2 Кузьмин М Ю Нес1ационарное движение нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания на границе / МЮ Кузьмин// Вестник ВГУ Сер Физика Матсм -2006 - №2 - С 217-222

3 Кузьмин М Ю Об одной задаче оптимально!о управления в модели Фойгта движения вязкоупру1 ой жидкости/В Г Звягин, М Ю Кузьмин// Современная математика Фундаментальные направления - 2006 -16-С 38-46

4 Кузьмин М Ю О математической модели движения нелинейно-вязкой жидкости с условием проскальзывания на границе/М Ю Кузьмин// Изв Вузов Серия Математика - 2007 - №540 - С 53-62

5 Кузьмин М Ю О существовании слабых решений краевой задачи, описывающей течения нелинейно-вязкой жидкости с условием проскальзывания порогового типа/ М Ю Кузьмин// Вестник ВГУ Сер Физика Матем - 2007 - №1 - С 153-161

6 Кузьмин М Ю О математической модели движения нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания порогового типа / М Ю Кузьмин // Современные методы теории функций и смежные проблемы маюриалы Воронеж зим мах шк - Воронеж, 2007 - С 119-120

7 Kuznim М Yu Flow of electaoiheological fluid undei conditions of slip on the boundaiy/' M Yu Kuznim , R H W Hoppe , W G Litvmov , V G Zvyagm// Abhtiact, and Applied Analybis - 2006 -Vol 2006 -p 1-14

Работы |2| и [4j опубликованы в изданиях, соо1ветствующих списку ВАК РФ

Подписано в печать 27 09 07 Форма! 60x84'/|6 Уел печ л 1ираж 100 экз Заказ 1998

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издагельско-лолиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, Воронеж, ул Пушкинская, 3

Введение

Список основных обозначений

1 О математической модели стационарного движения нелинейно-вязкой жидкости с условием проскальзывания на границе

1.1 Постановка задачи.

1.2 Основные определения и формулировка основного результата

1.3 Операторная трактовка задачи.

1.4 Свойства операторов.

1.5 Аппроксимационное уравнение и априорная оценка

1.6 Существование решений аппроксимационного уравнения.

1.7 Предельный переход

1.8 О связи условий проскальзывания и условия прилипания

1.9 О разрешимости краевой задачи описывающей стационарное движение нелинейно-вязкой жидкости с граничным условием проскальзывания порогового типа . 50 1.9.1 Постановка задачи и формулировка теоремы существования слабых решений.

1.9.2 Разрешимость аппроксимационных уравнений и предельный переход.

1.10 О существовании слабых решений краевой задачи, описывающей стационарное движение жидкости Бингама

1.10.1 Постановка задачи.

1.10.2 О доказательстве теоремы существования слабых решений краевой задачи, описывающей движение жидкости Бингама.

2 Нестационарное движение нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания на границе

2.1 Постановка задачи.

2.2 Предварительные сведения.

2.3 Свойства операторов.

2.4 Разрешимость операторного уравнения и предельный переход

2.4.1 Предельный переход.

3 Об одной задаче оптимального управления в модели Фойгта движения вязкоупругой жидкости

3.1 Постановка задачи и формулировка основного результата

3.2 Определение операторов и их свойства

3.3 Введение операторного включения, эквивалентного слабой постановке задачи (2.1.1)—(3.1.6).

3.4 Теорема существования и оптимизация функционала

3.4.1 Априорная оценка и теорема существования

3.4.2 Оптимизация функционала.

3.5 Примеры Литература

К настоящему моменту, важными и интересными проблемами естествознания продолжают оставаться различные математические задачи, возникающие при исследовании движения разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям. В частности, до сих пор не получено полных и всесторонних результатов, касающихся вопросов о существовании и единственности решений начально-краевых задач, связанных с наиболее известными уравнениями гидродинамики - уравнениями Навье-Стокса. При этом не всегда очевиден ответ на вопрос о выборе граничных условий. Наиболее часто в гидродинамике используют условие прилипания, при котором поле скоростей жидкости на неподвижной, твердой границе сосуда, содержащего жидкость, обязано обращаться в нуль. Однако в последние десятилетия все большее распространение получает гипотеза о проскальзывании, согласно которой касательная составляющая скорости отлична от нуля и сложным образом связана с тензором напряжений.

Вопрос о выборе граничных условий имеет непростую историю. К примеру, Навье использовал условия проскальзывания [43, 44]. Тем не менее, к концу 40-х годов ХХ-века широкое признание получили условия прилипания (см., например, [31]). Однако во второй половине XX века, в связи с интенсивными экспериментальными исследованиями т.н. "неньютоновских жидкостей"1, было обнаружено, что для многих из этих жидкостей справедливы соотношения проскальзывания (см., например, [1], стр. 70, а также [24]).

Среди математических работ, посвященных исследованиям задач гидромеханики при краевых условиях проскальзывания можно отметить работы Н. Beirao da Veiga [26], Н. Fugita [33], S. Itoh, N. Tanaka и A. Tani [37] о ньютоновской жидкости; а также работы В.Г. Литвинова [17], M.Bulicek, J.Malek и K.R. Rajagopal [27], L. Consiglieri [28, 29], Т. Hayat, Masood Khan и M. Ayub [35], C. Le Roux [41] посвященные различным математическим моделям неньютоновских сред. Примечательно, что К. Р. Раджагопал, один из ведущих специалистов по проблемам современной гидромеханики, в своей статье [21] выделяет важность исследований задач с проскальзыванием.

Хорошо известно, что нестационарное движение любой несжимаемой сплошной среды с постоянной плотностью р определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши: + Е= Div Т + pF, М€[0,П хП, (0.0.1) divw = 0, (t,x) £ [0,Т] х П, (0.0.2) где Q - ограниченная область, т.е. ограниченное открытое подмножество евклидова пространства RП,п G {2,3}; t - параметр времени; u(t,x) = (ui(£,&), • • • ,un(£, ж)) - вектор скорости точек среды; F = (Fi,. ,F„) - известная плотность внешних сил; Т = {7ij}"j=1 -тензор напряжений. Дивергенция div берется по переменной х. Дивер

1Описание понятия "неньютоновские жидкости" см. далее во Введении.

П дТгенция Div от тензора Т это вектор с координатами (Div T)j = Y^ fai=l <

Без ограничения общности будем считать в дальнейшем плотность р равной единице.

Тип рассматриваемой среды определяется видом определяющего (реологического) соотношения между Т и тензором скоростей деформации ф) = {£ij(u)}lj=l, £ij{u) = \ + . Так, при д > О соотношение вида

Tij = -pSij + 2fi£ij{u), € {1,2,. ,n}, (0.0.3) определяет ньютоновскую жидкость. Здесь Sij - компоненты единичного тензора; p(t,x) — скалярная функция давления; коэффициент /л называется вязкостью. Подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнения Навье-Стокса. Однако соотношение (0.0.3) подходит для описания довольно ограниченного класса сплошных сред, многие важные в практических приложениях жидкости, такие как полимеры, масла, гели и т.п., подчиняются иным ("неньютоновским") соотношениям между Т и е.

Таким образом, математическая модель, описывающая течения произвольной несжимаемой жидкости в ограниченном сосуде, состоит из уравнений (0.0.1)-(0.0.5), реологического соотношения исследуемой жидкости, а также некоторых начальных и краевых условий. Для анализа вопроса о существовании решений, получающейся таким образом системы уравнений, в данной работе используются различные понятия слабого решения.

Для доказательства теорем существования слабых решений в данной работе применяется аппроксимационно-топологический метод [5]. Суть метода заключается в том, что для исследуемой краевой задачи вначале вводят вспомогательное, аппроксимирующее семейство уравнений, зависящее от малого параметра 8. Затем показываются априорные оценки норм решений аппроксимационных уравнений и на их основе, с помощью подходящего варианта теории топологической степени, доказывается теорема о существовании решений вспомогательной задачи. Окончательно, используя априорные оценки решений апроксимационной задачи, не зависящие от параметра 5, показывают, что эти решения, при стремлении 5 к нулю, сходятся к решениям исходной задачи.

Приведем обзор содержания диссертационной работы по главам.

Первая глава состоит из десяти пунктов. В пунктах с первого по седьмой исследуется вопрос о существовании слабых решений краевой задачи, описывающей стационарные течения нелинейно-вязкой жидкости с условием проскальзывания на границе. Краевая задача имеет следующий вид:

0.0.4)

0.0.5)

Tij{p,u) = -pSij + <p(I(u))eij(u), Vz G Q, (0.0.6)

Г = (Тг)У, Vs е S, t*"(s) = о, Vses, fT(s) = -x(frr>(s)Aur(s)\y(s), Vses,

0.0.7) (0.0.8)

0.0.9) где (р — нелинейная вязкость, т.е. вещественная функция, определенная на множестве [0, +оо)(= R+); 1{и) = Ya,j=lfeiM)2! i,j G {1,. , n}; p — сферическая часть тензора T, р еще называют давлением; S - граница области Q, удовлетворяющая условию Лип-щица; т] - единичная внешняя нормаль к 5; символами vT и vv обозначаются соответственно касательная и нормальная составляющие произвольного вектора v\ через | • | обозначается норма в евклидовых пространствах Rm, m G {1,2,3}; frri(p,u) = n(fv) = П j -р+ Y; ^WhjWVilj ij=l причем 7Z - оператор регуляризации, определенный на любой функции v 6 L2{£t)n равенством lZv(x) = J и (| x - x\)v(x) dx, xeQ,

Жп с некоторой фиксированной финитной функцией uj £ C°°(R+) такой, что supp и € [0, а], Ж+ Э а = const, w(z) ^ 0 при г (= К+, f uj{\x\)dx = 1,

К" v(x), при^е^, о, прихешп\а.

Как отмечено в работах В.Г. Литвинова и L. Consiglieri, использование оператора 7Z приемлемо с физической точки зрения и означает "нелокальность" рассматриваемой модели скольжения. Для функций ф и х выполняются следующие условия:

С1) функция <р : R+ —> R непрерывна;

С2) существуют положительные константы а\ и аг такие, что ai ^ У (у) ^ а2 Для любого у G R+;

СЗ) функция у И- <р(у2)у при неотрицательных у является неубывающей;

С4) функция х : К х Ш). 4 R непрерывна;

С5) существуют положительные константы Ъ\ и 62 такие, что b\ ^ x(zh z2) ^ ДЛЯ любых (zi, Z2) 8 К х R+.

Условия CI) — С5) таковы, что ньютоновская жидкость также входит в класс жидкостей, рассматриваемых в данном разделе работы. Подобная задача исследовалась в монографии В.Г. Литвинова без v-vn дщ учета конвективных слагаемых и ПРИ существенно более ограничительных условиях2 на функции (р и х

Отметим, что методы позволившие исследовать разрешимость краевой задачи с проскальзыванием для математической модели движения нелинейно-вязкой жидкости были применены при исследовании еще одной модели движения жидкости - модели движения электрореологической жидкости, для которой также имеет место феномен проскальзывания. А именно, аналогично исследовалась модель движения электрореологической жидкости, определяющее соотношение которой имеет вид aij(p,u) = -pSij + 2ф(1(и), \Е\,/л(и, Е))е^(и), Vi,j 6 {1,2,., та},

0.0.10) где ав + и(х) Е{х) \ 2 \Е(х)\)Жп}

2В работах В.Г. Литвинова на функции <р и \ дополнительно наложенно условие дифферен-цируемости. fi(u, Е)(х)

О < а = const, Rn Э 9 = (1,., 1), Е = ., Еп) - известное поле электрической напряженности.

В восьмом пункте первой главы устанавливается связь между краевыми условиями проскальзывания и прилипания. А именно, показывается, что при стремлении коэффициента % к +оо, решения соответствующих задач с условием проскальзывания сходятся к решению задачи с условием прилипания.

В девятом пункте исследуется стационарная задача о течении нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания порогового типа.

Скольжение порогового типа частиц жидкости описывается следующими тремя соотношениями: u^s) = 0, Vs € 5, (0.0.11)

ГМ1^</М при wr(s) = 0, (0.0.12)

Г (a) = + *(/,('), ПР™Т(5) * здесь д - ограниченная вещественная функция, заданная на границе S; функция д определяет "порог" проскальзывания. Аналогично предыдущим разделам данной работы будет рассматриваться "регу-ляризованное" условие г(8) = -Ш + приuT(s) Ф 0, (0.0.13)

Соотношения (0.0.4)-(0.0.7), (0.0.9), (0.0.11)-(0.0.12) описывают стационарные течения нелинейно-вязкой жидкости с проскальзыванием порогового типа. Необходимо отметить, что ранее в работах Н. Веггао da Veiga, Н. Fugita, С. Le Roux при условии проскальзывания порогового типа изучалась система Стокса. В настоящей работе исследована более общая задача. В частности, применяемый в диссертации аппроксимационно-топологический подход позволяет избежать пренебрежения конвективными слагаемыми.

В этом разделе работы от функций х и д требуется выполнения следующих условий:

С8) функция х:ЖхШ+-+Ж является непрерывной; л /ч

С9) существуют положительные константы &i и 62 такие, что

А А

М2 ^ x(z\, Z2) < 62*2 Для любых (zi, Z2) 6 R х М+;

СЮ) функция д : S Е является измеримой;

СИ) существует положительная константа с\ такая, что О < д(з) < сь Vs G S.

В десятом пункте рассматривается задача о стационарном движении вязко-пластической жидкости Бингама при условии проскальзывания порогового типа (см. соотношения (0.0.11)—(0.0.13)). Среди предыдущих работ по подобной тематике отметим работы L. Consiglieri; однако в них используется условие проскальзывания несколько иного вида: < k 1И5)11к«2 = к\\Що*М\& ЗА £ 0 : vT{8) = -XaT(s), где а - девиатор тензора напряжений, 0 < к = const, s Е S.

Жидкости Бингама подчиняются следующим определяющим соотношениям:

Tij(x) - -p(x)hj + №ijlu](x) + ЩjM, Va: в ft, i, j € {1,2,., n},

0.0.14)

Иа?)||к„» ^/«2, Vzeft, (0.0.15) если/И^) ^0, (0.0.16) где a - "пластическая" часть тензора Т; /ii, /i2 - некоторые положительные константы.

Соотношения (0.0.4), (0.0.14)-(0.0.16), (0.0.5), (0.0.9), (0.0.7), (0.0.11)-(0.0.12) описывают стационарные течения жидкости Бингама с условием проскальзывания порогового типа.

Отметим, что в большинстве работ посвященных краевым и начально-краевым задачам для модели Бингама, обобщенная постановка сводится к вариационному неравенству, подобному неравенству впервые введенному Ж - J1. Лионсом и Г. Дюво (см., например, [3]). Однако в случае проскальзывания порогового типа, не представляется возможным доказать только из вариационного неравенства, что достаточно гладкое слабое решение удовлетворяет классическим соотношениям (0.0.4), (0.0.14)—(0.0.16), (0.0.5), (0.0.9), (0.0.7), (0.0.11)-(0.0.12).

Во второй главе соотношения (0.0.1), (0.0.5), (0.0.6), (0.0.8), а также соотношения вида

ГМ = VM е [о,т] х (0.0.17) и{ 0,x) = v°(x), \fxen, (0.0.18) применяются для постановки начально-краевой задачи, описывающей нестационарные течения нелинейно-вязкой жидкости при условии скольжения.

Здесь функция х удовлетворяет следующим условиям: С15) функция х ■ [0,Т] х S х К+ —> К непрерывна;

С16) существуют положительные константы bi и такие, что bi < x(zb z2, *з) ^ b2 для любых (zi, z2, zz) E [0, T] x S x R+.

Отметим, что в работе S. Itoh, N. Tanaka и A. Tani доказано существование решений, принадлежащих пространствам Гёльдера, системы Навье-Стокса с краевым условием проскальзывания; в работе /

М. Bulicek, J. Malek и K.R. Rajagopal исследована начально-краевая задача о течениях нелинейно-вязкой жидкости, с вязкостью, зависящей от давления и второго инварианта тензора скоростей деформации. Однако в этих работах рассматривалось условие проскальзывания существенно более простого вида, чем в данной работе, так как не учитывалась зависимость коэффициента х ни от скорости, ни от нормальной составляющей поверхностных сил.

В третьей главе исследуется задача оптимального управления с обратной связью внешними силами в модели Фойгта движения вяз-коупругой жидкости. Проблемам оптимального управления в задачах гидродинамики посвящено много работ (см., например, работы [34, 36, 40] и имеющуюся в них библиографию). Однако в большинстве из них рассматривается управление для системы уравнений Навье-Стокса. При этом совсем немного работ посвящено проблемам управления с обратной связью.

Пусть выбрано многозначное отображение Ф, являющееся управлением (пока считаем, что значениями Ф являются некоторые множества непрерывных функций из [0,Т] х О, в Rn). Постановка задачи следующая: необходимо найти совокупность функций (u:a,p,F), удовлетворяющую соотношениям (0.0.1) и (0.0.5); реологическому соотношению . de(it) а — v\е{и) + i>2 , где V2 = const, причём v\, v2 > 0. (0.0.19)

JL условию подчиненности управлению:

F е Ф(м); (0.0.20) начальному условию (0.0.18) и граничному условию проскальзывания вида vP(t, s) = 0, V(£, 5) е [0, Т] х S, (0.0.21)

ГМ = -XUT{t,s), Щз) е [0,Т] х 5, (0.0.22) где 0 < х — const.

Далее используются обозначения С([0, Т),Х) и C^QO, Т], X) для банаховых пространств непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций соответственно, определенных на отрезке [0, Т] и действующих в X. Положим, что

С = {v : v в С°°(П)П, И =0, divv = 0}. s z = {v.veH\n)n, v" =0}. s

Пусть Vz, - замыкание множества С в гильбертовом пространстве Z.

На отображение Ф наложены следующие условия: Ф1) Отображение Ф определено на пространстве Cl([0,T],Vz) и действует в семейство всех непустых выпуклых компактных подмножеств пространства С([0,Т], (Vz)*). Ф2) Отображение Ф вполне непрерывно. ФЗ) Отображение Ф ограниченно в следующем смысле:

1И1с([0,ВД) < М^(0)), VF е ФМ.Уг/ € C\[0}T],Vz),

15 здесь к - заданная неотрицательная функция, отображающая ограниченные подмножества пространства Vz в ограниченные подмножества R.

В диссертационной работе задача (0.0.1)—(0.0.5), (0.0.18), (0.0.19)-(0.0.22) исследуется в классе слабых решений.

Пусть Е - множество слабых решений задачи (0.0.1)—(0.0.5), (0.0.18), (0.0.19)—(0.0.22). Рассматривается функционал Ф : Е -»• R со следующими свойствами:

Ф1) существует константа 7 такая, что

ФК/)>7, V(«,/)G Е;

Ф2) если limvk = v* в пространстве C1([0,T],Vz) и ИтД = /* в

00 00 пространстве C([0,T], VJ), то

Ф(^,Л ^Ншт£Ф(г;ьЛ). £->00

В данной работе доказано, что существует слабое решение задачи (0.0.1)-(0.0.5), (0.0.18), (0.0.19)—(0.0.22) минимизирующее функционал Ф на множестве Е.

В конце третьей главы приведены примеры многозначного отображения и функционала, удовлетворяющие условиям Ф1) — ФЗ и Ф1) — Ф2) соответственно.

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказаны теоремы о существовании слабых решений краевых задач, описывающих стационарные течения нелинейно-вязких жидкостей, а также вязко-пластической жидкости Бингама с различными условиями проскальзывания.

2. Доказана теорема о существовании слабых решений начально-краевой задачи, описывающей нестационарные течения нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания.

3. Исследована задача оптимального управления с обратной связью в одной модели неньютоновской жидкости, скользящей вдоль границы.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах (2004-2007), научной сессии ВГУ (2004-2007), семинарах под руководством проф. В.Г. Звягина (ВГУ, 2004-2007), международной научной конференции ТВМНА-2005, посвященной юбилеям проф. А.Д. Мышкиса и проф. Ю.Г. Борисовича (Воронеж, 2005), Пермской зимней школе (четырнадцатой) по механике сплошных сред (2005), семинаре под руководством проф. A.JI. Скубачевского (РУДН, 2007), семинаре под руководством проф. А.С. Шамаева (МГУ, 2007).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, частично поддержаны грантом РФФИ N 04-01-00081 и грантом для молодых участников проекта VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Минобразования РФ и CRDF (США).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6], [8]-[14], [38]. Из совместных работ [6] и [38] в диссертацию вошли только принадлежащие диссертанту результаты.

Список основных обозначений и сокращений

Далее X* - пространство, сопряженное некоторому банахову пространству X; Хт - топологическое произведение т экземпляров пространства X. Запись вида (д,у) используется для обозначения действия функционала д £ X* на элемент у G Х\ для этой цели будет также использоваться символ (•, -)х*,х

Скалярное произведение в произвольном гильбертовом пространстве % обозначается как (•, •)%.

Через | • | обозначается норма в евклидовых пространствах Rm, т €

Через mesA обозначим меру Лебега измеримого множества А.

Пусть Rn D ^ - некоторая ограниченная область с липшицевой границей S, п 6 {2,3}.

Через 1 ^ р < оо - пространство измеримых по мере Лебега вещественных функций на fi, абсолютно интегрируемых с р-й степенью. Пространство LP(Q) является банаховым с нормой fi

Пространство Соболева W™(Q) - пространство функций, все обобщенные частные производные которых до порядка т включительно

1,2,3}. принадлежат Lp(£l). Пространство Соболева W™(Q) снабжено нормой где а = (а\,а2,. ,ап), аг- - целые неотрицательные числа, |о;| = Ya-\ aii Da = D^D^ . D^. Отметим, что пространства W^ftl) являются гильбертовыми со скалярными произведениями вида v,w)Wm{Q)= J DavDawdx. laKm Q

Для пространств W™^) будем использовать обозначение Hm(Q,).

Для 0 < s < 1 пространство Соболева W£(Q) состоит из функций и (Е Lp(p,), для которых конечна норма и{х) - и(у)\Р ^ ^ /р

Q П [Ньр(а) + Jdxdv) ■

Пусть s > 1, положим s = т + с, где m - целая часть числа s. Тогда пространство Wp(Q) состоит из элементов и Е W™(Q,), таких, что DaueW°{Q),\a\ = m.

Нормальную и касательную составляющие определенного на границе S векторного поля w будем обозначать как w71 и wT соответственно. Обозначим:

То = {р 6 L2{tt) : f p{x)dx = 0}, JQ

Z={v -.v£Hl(Vt)n, v71 =0}, s rl (Cl\n

W = {v :veH\Q)n, v71 = 0, [div v) = 0} s n

Пространство Z является гильбертовым со скалярным произведением, определённым для любых и = (щ,., u„), v = (vi,., v„) из Z

П р п п п п

При этом скалярное произведение (0.0.23) порождает норму, эквивалентную соболевской норме, индуцированной из Я1^)" ([17], стр. 3034). Норма пространства W по определению совпадает с нормой пространства Z, норма пространства Vq индуцирована из L2(^)

Пусть Lp(0,T;X),l ^ р < оо, обозначает банахово пространство измеримых, суммируемых с р-й степенью функций и : [0, Т] —> X, с нормой

Пусть далее Sz, Hz, Vz, Vlz~ замыкания множества С в гильбертовых пространствах L2(S)n, Z<2(^)n, Z (см. стр. 20), H^(Q)n соответственно. Каждое из полученных множеств наделено скалярным произведением из соответствующего пространства. Обозначим: символом и' обозначается производная по переменной t от функции и. Пространство W является банаховым (см. [4]) с нормой, определяемой т о свойства пространств LP(0,T-,X) описаны, напр., в [4]). Положим, что

С = {и:иеС°°(П)п, ич =0, div и = 0}. п

S = L2(0,T;SZ), W = {и \ и Е L2(0,T;l4), и' е Ь2(0,Т; (У<)*)},

IM|w = |М|е + |М|Е*.

Будем использовать обозначения С([0, Т], X) и С1 ([О, Т], X) для банаховых пространств непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций, соответственно, определённых на отрезке [0,Т] и действующих в X. Нормы в этих пространствах определяются "обычным" способом:

1М|с([0,ВД = max \\v(t)\\x,

1М|с1([о,т]д) = |М|с([о,ад + 1И|с([о,ад

Наконец, введем следующие обозначения: с = с([о,тш, a = c([o,T],F|), с^с^цм.

1. Астарита Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей/ Дж. Астарита, Дж. Марручи// - М.: Мир, - 1978.

2. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений/ Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский/ Воронеж: изд-во ВГУ, - 1986.

3. Г. Дюво. Неравенства в механике и физике/ Г. Дюво, Ж JI. Лионе// - М., - 1980.

4. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферренциальные уравнения/ X. Гаевский, К. Грёгер, К. Заха-риас// М., - 1978.

5. Звягин В.Г. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию задач гидродинамики. Система Навье-Стокса/ В.Г. Звягин, В.Т. Дмитриенко// М.-.УРСС, - 2004.

6. Звягин В.Г. Об одной задаче оптимального управления в модели Фойгта движения вязкоупругой жидкости/В.Г. Звягин, М.Ю Кузьмин// Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. - 16. - С. 38-46.

7. Канторович. А.В. Функциональный анализ в нормированных пространствах/ А.В. Канторович, Г.П. Акилов// М: Физматгиз, -1959.

8. Кузьмин М.Ю. О стационарном движении электрореологической жидкости при наличии проскальзывания на границе /М.Ю. Кузьмин // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Б.м., 2005 .- С. 135-136.

9. Кузьмин М.Ю. Оптимальное управление и течения электрореологической жидкости /М.Ю. Кузьмин // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения : материалы международ, науч. конф. ТВМНА-2005 .- Воронеж, 2005 .- С. 70-71

10. Кузьмин М.Ю. О математической модели движения нелинейно-вязкой жидкости с условием проскальзывания на границе/ М.Ю. Кузьмин// Изв. Вузов. Серия Математика. 2007. - №540. - С. 53-62.

11. Кузьмин М.Ю. О математической модели движения нелинейно-вязкой жидкости при условии проскальзывания порогового типа /М.Ю. Кузьмин // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж, зим. мат. шк. Воронеж, 2007С. 119-120

12. Кузьмин М.Ю. О существовании слабых решений краевой задачи, описывающей течения нелинейно-вязкой жидкости с условием проскальзывания порогового типа/ М.Ю. Кузьмин// Вестник ВГУ. Сер. Физика. Матем. 2007. - М. - С. 153-161.

13. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости/ Ладыженская О.А. М: Физматгиз, 1970.

14. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения/ Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес// Москва. Изд-во: Мир. - 1971.

15. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости/В.Г. Литвинов// М.: Наука, - 1982.

16. Осмоловский В.Г. Линейные и нелинейные возмущения оператора div/ В.Г. Осмоловский// -СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1995.

17. Осколков А.П. О единственности и разрешимости в целом краевых задач для уравнений движения водных растворов полимеров/ А.П. Осколков// Записки научных семинаров ЛОМИ.- 1973. -38. С. 98-136.

18. Осколков А.П. К теории нестационарных течений жидкостей Кельвина-Фойгта/ А.П. Осколков//3аписки научных семинаров ЛОМИ.- 1982.-115.-С. 191-202.

19. К.Р. Раджагопал. О некоторых нерешенных проблемах нелинейной динамики жидкостей/ К.Р. Раджагопал. // Успехи матем. наук. 2003. - - вып.58. - № 2. - С. 111-121.

20. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач/ И.В. Скрыпник// М: Физматгиз, - 1990 г.

21. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ/ Р. Темам// М.: Мир. - 1987.

22. Толстой Д.М. Скольжение жидкостей и дисперсных систем по твердым поверхностям/ Д.М. Толстой// В кн.: Сб., посвященный памяти академика Лазарева. - М.: Изд-во АН СССР. - 1956.- с. 159-221.

23. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред/ К. Трусделл// М.: Мир, - 1975.

24. Beirao da Veiga Н. Regularity for Stokes and generalized Stokes systems under nonhomogeneous slip-type boundary conditions/ H. Beirao da Veiga// Advances in Differential Equations. 2004.- Vol. 9 №9-10. - p. 1079-1114.

25. Bulicek M. Navier's Slip and Evolutionary Navier-Stokes-like Systems with Pressure and Shear-rate Dependent Viscosity/ M. Bulicek, J.Malek, K.R. Rajagopal// Indiana University Mathematics Journal. 2007. - Vol. 56. - No. 1.

26. Consiglieri L. Stationary solutions for a Bingham flow with nonlocal friction / L. Consiglieri. //In Mathematical topics in fluid mechanics,J.F. Rodrigues and A. Sequeira (eds.), Pitman Res. Notes in Math. -1992. p. 237-243.

27. Consiglieri L. A nonlocal friction problem for a class of non-Newtonian flows/ L. Consiglieri// Portugaliae Mathematica. 2003. - 60. - 2. -p. 237-252.

28. Eringen A.C. Nonlocal Continuum Field Theories/A.C. Eringen// -Springer Verlag. - 2002.

29. Goldstein S. Modern Developments In Fluid Mechanics/ S. V. Goldstein// 1938. - II. Oxford: Oxford Univ. Press.

30. Gori G. Optimization of the motion of a visco-elastic fluid via multivalued topological degree method/ G. Gori, V. Obukhovskii, P. Rubbioni, V. Zvyagin// Dynamic Systems and Applications. 2007 -16. - p. 89-104.

31. H. Fugita. Non-stationary Stokes flows under leak boundary conditions of friction type/H. Fugita// J. Comput. Math. 2001. -19 - p. 1-8.

32. Fursikov A.V. Optimal control of distributed systems. Theory and applications/ A.V. Fursikov// 2002 - Trans, of Math. Monographs 187, Amer. Math Soc., Providence.

33. Hayat T. On non-linear flows with slip boundary condition/ T. Hayat, Masood Khan, M. Ayub// Z. angew. Math. Phys. 2005. - 56. - p. 1012-1029.

34. Itoh S. The initial value problem for the Navier-Stokes equations with general slip boundary conditions in Holder spaces/ S. Itoh, N. Tanaka, A. Tani// J. math, fluid, mech. 2003. - Vol. - 5. - p. 275-301.

35. Kuzmin M.Yu. Flow of electrorheological fluid under conditions of slip on the boundary/ M.Yu. Kuzmin, R.H.W. Hoppe, W.G. Litvinov, V.G. Zvyagin// Abstract and Applied Analysis. 2006. - Vol. 2006. -p. 1-14.

36. Litvinov W.G. Flow of electrorhological fluids under the conditions of slip on the boundary/ W.G. Litvinov, R.H.W. Hoppe// Institute of Mathematics, University of Augsburg, 2002.

37. Litvinov W.G. Optimization in Elliptic Problems with Applications to Mechanics of Deformable Bodies and Fluid Mechanics/ W.G. Litvinov// Operator Theory: Advances and Applications, 119. -2000. - Birkhauser Verlag. Basel.

38. C. Le Roux. Steady Stokes flows with threshold slip boundary conditions/ C. Le Roux// Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 2005. - Vol. 15. - No. 8 - p. 1141-1168.

39. Obukhovskii V.V. Optimal feedback control in the problem of the motion of a viscoelastic fluid/ V.V. Obukhovskii, P. Zecca, V.G. Zvyagin// Topol. Methods Nonlinear Anal. 2004. - 23. - p. 323337.

40. Navier С. L. M. H. M'emoire sur les Lois du Mouvement des Fluides/ C. L. M. H. Navier// M'em. Acad. Sci. Inst, de France 1823. - 2. -6. - pp. 389-440.

41. Navier C.L.M.H. Sur les lois du mouvement des fluides/ C.L.M.H. Navier// Mem. Acad. R. Sci. inst. 1827. Fr. 6 - pp. 389-440.

42. Peetre J. Espace d' interpolation et theoreme de Sobolev/ J. Peetre// Ann. Inct. Fourier. -1966. 16. - pp. 279-317.