О некоторых сингулярно возмущенных задачах Штурма-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Г» О V«

московский ордена ленина, ордена красного знамени

и ордена Октябрьской революции государственный университет _имени М. В. Ломоносова_

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.928.4+517.956.328

Петров Александр Пхоун Чжо

О НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧАХ ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1996

Работа выполнена на кафедре спецкурсов высшей математики Московского энергетического института (технического университета).

Научные руководители:

доктор физико-математических наук,

профессор Васильева А. Б. доктор физико-математических наук, профессор Сафонов В. Ф.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

Шукуров А. М-, доктор физико-математических наук, профессор Кобрин А. И.

Ведущая организация: Институт атомной энергетики (г. Обнинск)

' -'У '1

Защита диссертации состоится " ' " '' Р- 1996 г. в

___часов на заседании Диссертационного совета К.053.05.87 в Мос-

ковском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 117899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. ^ .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ.

Автореферат разослан " ''1" ''"" ^ '''_1996 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета доцент )— В. М. Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвшцена сингулярно возмущенным задачам Штурма—Лиувилля, главным образом, задачам с потенциалом, неаналитически зависящим от малого параметра. Такие задачи возникают в теории сингулярных возмущений при исследовании контрастных структур.

Теория сингулярных возмущений, зародившаяся еще в начале века при решении прикладных задач, в коше 40-х — начале 50-х годов известными работами А. Н. Тихонова была превращена в одно из крупнейших направлений теории дифференциальных уравнений. Далее А. Б. Васильевой был развит метод асимптотического разложения решения нелинейной тихоновской системы по малому параметру для начальной, а затем и для краевой задачи. Этот метод, развитый затем

A. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузовым и их учениками для широких классов обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных (отметим, что впервые сингулярно возмущенные линейные дифференциальные уравнения в частных производных были изучены М. И. Вишиком и Л. А. Люстерником), уравнений с отклоняющимся аргументом известен в настоящее время как метод пограничных функций и получил свое отражение в монографиях. Принципиально иной, чем у А. Б. Васильевой, подход предложил С. А. Ломов. Его метод, называемый методом регуляризации сингулярных возмущений., акцентирует внимание на более тонком описании неаналитической зависимости решения сингулярно возмущенной задачи от малого параметра. Этот подход применительно к нелинейным задачам развит

B. Ф. Сафоновым. Среди различных методов в теории сингулярных возмущений выделим метод усреднения, развиваемый в работах Н. Н. Бо-

голюбова и К). А. Митропольского, В. М. Волосова, М. М. Хапаева и др., обобщение метода ВКБ на многомерные нелинейные уравнения В. П. Масловым, метод согласования асимптотических разложений А. М. Ильина, теорию релаксационных колебаний Л. С. Понтрягина, Е. Ф. Мшценко и Н. X. Розова.

В 1987 г. А. Б. Васильева и В. Ф. Бутузов построили методом пограничных функций асимптотическое разложение решений с внутренним переходным слоем — так называемых контрастных структур. Такие решения интенсивно изучаются в последнее время не только из теоретического интереса, но также ввиду их высокой прикладной значимости: они возникают в задачах химической кинетики, синергетики, биологии и биофизики, астрофизики, лазерной оптики, теории фазовых переходов, теории автосолитонов. Асимптотические разложения решений типа контрастной структуры были получены также В. Ф. Сафоновым и М. А. Румянцевой с помощью метода регуляризации С. А. Ломова. При исследовании контрастных структур как стационарных решений параболических задач возникают задачи Штурма—Лиувилля с потенциалом, неаналитически зависящим от малого параметра. Именно такие задачи являются основным объектом исследования настоящей диссертации.

Поясним, как возникают эти задачи.

При исследовании на устойчивость стационарного решения иСТ{х, е) параболической задачи

.. е2ихх - щ = F(гi,a;), -1 < х < 1, (1)

«*4=_1 =«*|*=1 =°> (2)

«и = ы°(ж)> (3)

(с > 0 — малый параметр) по первому приближению возникает задача Штурма—Лиувилля

е2ф" = [^(ист(х,е),гЕ) + А] ф, ~1<Х<1,

(4)

(5)

Если все собственные значения задачи (4)-(5) отрицательны, то стационарное решение мст(х, е) устойчиво; если же существует хотя бы одно положительное собственное значение, то решение неустойчиво. Знание спектра задачи (4)-(5) требуется также при исследовании области влияния устойчивого стационарного решения и при определении времени жизни неустойчивого стационарного решения.

Если ист(х,е) — решение типа контрастной структуры, то Ри {исг{х, е), х) зависит от е неаналитически.

В настоящей диссертации проводится исследование собственных значений \(п\е) задачи Штурма—Лиувилля

где функция и(х, е) зависит от е, вообще говоря, неаналитически.

исследование поведения собственных значений сингулярно возмущенной задачи Штурма—Лиувилля при е —0 и получение оценок для этих собственных значений; и во-вторых, развитие метода пограничных функций в направлении исследования устойчивости контрастных структур. Целью работы является также решение прикладной задачи из области астрофизики.

Научная новизна работы заключается в том, что

1) получена теорема о предельном переходе для собственных значений сингулярно возмущенной задачи Штурма—Лиувилля;

е2ф" + [А- и(х,е)]-ф = 0, а < х < Ь,

(6)

' (7)

Целью настоящей работы является: во-первых, качественное

2) получены оценки для собственных значений некоторых классов сингулярно возмущенных задач Штурма—Лиувилля;

3) развит метод пограничных функций в применении к построению асимптотик собственных значений и собственных функций задач Штурма—Лиувилля, получаемых линеаризацией нелинейных сингулярно возмущенных параболических задач на стационарных решениях типа контрастной структуры;

4) исследована устойчивость переориентации крупномасштабных галактических магнитных полей, математическими моделями которых являются контрастные структуры; показано согласие результатов теории гидромагнитпого динамо с экспериментальными данными.

Практическая ценность. Контрастные структуры имеют обширные приложения в различных областях естествознания. При исследовании устойчивости этих контрастных структур возникают сингулярно возмущенные задачи Штурма—Лиувилля. Поэтому результаты настоящей работы представляют значительный практический интерес. В частности, решению прикладной задачи из области астрофизики посвящена последняя глава диссертации.

Апробация работы, публикации. Результаты настоящей работы докладывались на Международной конференции "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems (SSPCS-95)" (Пере-славль-Залесский, 1995), на семинарах: под рук. А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова на физическом факультете МГУ, под рук. Е. И. Моисеева на факультете ВМК МГУ, под рук. В. Ф. Сафонова и под рук. Ю. А. Дубинского в МЭИ, а также на зимних математических школах и чтениях Московского государственного социального университета (На-хабино, 1993; Аксаково, 1994, 1995, 1996).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и идти глав. Объем работы — 124 страницы. Список литературы содержит 56 названий.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении выделен круг вопросов, охваченный диссертацией, дан сжатый обзор литературы по теме исследований. Кратко излагается основное содержание глав диссертации.

В главе 1 исследуется качественное поведение при е —¥ 0 собственных значений сингулярно возмущенной задачи Штурма—Лиувилля (6)-(7). На протяжении главы 1 предполагаются выполненными следующие условия.

Условие I. Пусть 11(х,£) — кусочно непрерывная функциях на [а,Ь] при любом е £ (О.еоЬ ё (ОД) — некоторая достаточ-

но малая положительная постоянная, и непрерывная функция е на (О, ео] пРи любом х £ [а, 6].

Условие II. Существует константа В такая, что \11(х, е)| ^ В в области (х, е) £ й = {х £ £ £ (0,£Го]}.

Будем говорить, что непрерывная на (0, во] функция (1*{е) принадлежит множеству <3, если на (0, ео] существуют функции а*(е), (3*{е) такие, что

1*1

1) а ^ а* (е) < (3* (е) ^ Ь при 0 < £ ^ е0,

2) Нт ——--— = О,

3) и(х, е) < оР(е) приа*(е) $$ х ^ /3*(е), 0 < е ^ е0-

Введем множество В чисел (не зависящих от е) таких, что для любого ¿еДи для любого <1> й{(1 не зависит от е) найдется ё* (е) € С? такое, что 6* (е) < й для любого е € (0,£о]. Обозначим ¿ = МД

Упрощая и несколько искажая ситуацию, можно сказать, что (1 — это наибольшее из чисел ¿о> обладающих следующим свойством: 11(х, е) < (Iо на интервале порядка е или меньше.

Пример 1. Пусть

U(X,E)={ X

1, х е [-1,1]\[0,е],

, х 6 [0, е]

В этом случае d = 1. Пример 2. Пусть

Г i, se[-i,i]\[0,v/£],

В этом случае d = 0.

Следующее условие запрещает U(x,e) быть быстроосциллирующей функцией типа sin f.

Обозначим R{a,e) число интервалов из отрезка [а, Ь], на которых U(х, е) + а < d (а не зависит от е).

Условие III. Пусть i?(cт,е) ограничено при 0 < е ^ е0; 0 < а 5$ В +d.

Условие IV. Пусть существует число L > 0 такое, что для любых е 6 (0, ео], <у £ (0, В -f <i] длина 1(e) любого из интервалов, на которых U(x,e) <d — а, удовлетворяет неравенству 1(e) ^ Le.

Поясним условие IV следующими примерами.

Пример 3. Пусть

U(x,e) =

£ + v^ Sin2 \

X

В этом случае Условие IV не выполнено.

Пример 4. Для функции II (х, е) из примера 1 Условие IV выполнено, причем Ь = 1.

Функция 11 (х, е) из примера 3 имеет следующую характерную особенность: ширина потенциальной ямы при б 0 не является монотонной функцией е, причем эта немонотонность такова, что ширина ямы не имеет, строго говоря, порядка малости по е. Например, для длины 1{е) интервала, на котором II(х, г) < 0,5, не имеет места ни одно из неравенств вида

при любом е е (0, во]. Целью введения Условия IV является исключение из рассмотрения функций U(x, е) с подобным немонотонным поведением при £ —> 0 ширины потенциальной ямы.

Основным результатом главы 1 является

Теорема 1. Пусть выполнены Условия I-IV. Тогда существует номер N такой, что для любого п ^ N: lim \(п\е) = d.

Таким образом, если выполнены условия I-IV, то спектр задачи (6)-(7) состоит, вообще говоря, из собственных значений двух типов. Если п ^ iVo, где No — наименьший из номеров N, к которым относится утверждение теоремы 1, то lim А<п>(е) = d. Совокупность этих собственных значений мы будем называть -частым спектром. Совокупность собственных значений с номерами п < Щ мы будем называть разреженным спектром. Частый спектр при выполнении ука-

СХ£ < l{£) < С2е; Civ/e ^ 1{е) < C2V?

занных условий существует всегда; разреженный может отсутствовать (т.е. N0 = 0).

В каждой из глав 2-5 речь идет о задачах вида (6)-(7), причем функция U(x, е) удовлетворяет указанным условиям.

В главе 2 предлагается основанный на теореме Штурма о нулях решений метод оценки собственных значений частого спектра, а также числа собственных значений разреженного спектра. Характер получаемых оценок поясним следующим примером.

Пример 5. Рассмотрим сингулярно возмущенную задачу Штурма—Лиувилля

е2ф"+[\-и(х,е)]ф = 0, -1<я<3,

где

U{x,£) = xi + I<(x,e),

( 0, хе[-1,3]\[1-15г,1 + 15<г],

к(*> е) = I 2

I ~2 + 225?(* ~ ' Х 6 [1 ~ 15£'1 + 15е]"

Показано, что

— Л^^е) принадлежат разреженному спектру;

— \(п\е) при п ^ 9 принадлежат частому спектру, т.е. aim А(п)(<г) = 0;

— для любого п ^ 0: ^ 2((п + 1)тг) М;

— прип>9: А(п)(е) > 0; ;

— при п > 13:

. В г лапе 3 рассматриваются задачи Штурма—Лиувилля, возникающие при исследовании контрастных структур. Исследуется разре-

женный спектр задачи (4)-(5), где пст(х,е) — решение типа контрастной структуры.

Главной задачей является построение асимптотики собственного значения \(п\е) вида

А<п>(е) = \fr\e) + еА<п)(е) + е2Л(п)(е) + • • • . (8)

до первого ненулевого члена и асимптотики соответствующей собственной функции вида

(п) Ы (п) (п) (п)

ф{х,е) = ф о(®)+ Ф г(х) Ч-----<гЩ Ф {т) + еЩ ф {т)-\----. (9)

Напомним, что контрастная структура будет устойчивой, если все собственные значения отрицательны, и неустойчивой, если су-

ществует хотя бы одно положительное собственное значение. Если старшее (максимальное) собственное значение отрицательно, то

А(п)(£) при п ^ 1 тем более отрицательны, и контрастная структура устойчива; если же > 0 то структура неустойчива. А. Б. Ва-

сильева показала, что если ист(х, е) — контрастная структура типа "ступеньки", то А^ = 0 и получила формулу для А^. Однако в некоторых важных (как с теоретической, так и с прикладной — см. главу 5 — точек зрения) случаях оказывается, что

= 0, и для исследования устойчивости "ступеньки" приходится строить асимптотику Второго)

го порядка, т.е. находить л2 ■

В § 2 главы 3 методом пограничных функций получена формула для Аи сделан вывод об устойчивости: если А^ = А^ = 0, то при достаточно малых е собственное значение имеет тот же знак, что и А^, следовательно, если А^ < 0, то стационарное решение типа "ступеньки" задачи (1)-(3) устойчиво. Если же А^ > 0, то решение неустойчиво. Если А^ = 0, то знак А^0^ определится по первому отличному от нуля члену разложения (8).

В §§ 3-5 главы 3 обсуждаются некоторые другие вопросы, связанные с построением асимптотик (8)-(9).

В главе 4 строится асимптотика и исследуется устойчивость стационарного решения типа "ступеньки" сингулярно возмущенной параболической задачи с разрывной правой частью. Эта задача возникла при исследовании рассмотренных в следующей главе прикладных вопросов, связанных с распределением магнитных полей в галактиках.

В главе 5 рассматривается прикладная задача из области астрофизики. В рамках теории гидромагнитного динамо распределение крупномасштабного магнитного поля в спиральных галактиках описывается уравнением

где £ < 1 — отношение толщины галактического диска к его радиусу (например, для нашей Галактики е = 0,04), функция (¿(г, ¿) называется амплитудой крупномасштабного магнитного поля, функции д{г) и 7(г) характеризуют конкретную галактику и могут быть определены экспериментально. Если при каком-то г = г* функция <2(г, меняет знак, то говорят, что имеет место переориентация магнитного поля. Математическими моделями переориентаций являются контрастные структуры. В главе 5 рассмотрены две модели: так называемая модель "типичной" галактики и модель Млечного Пути. Показано, что в рамках модели "типичной" галактики магнитное поле не должно иметь переориентаций. Это согласуется с экспериментальным фактом отсутствия переориентаций в большинстве галактик. Модель Млечного Пути допускает существование переориентации, причем время их жизни либо бесконечно (устойчивая переориентация), либо превышает время жизни Галактики. Это согласуется с установленным экспери-

ментально фактом существования переориентации в нашей Галактике. Заметим, что в главе 5 существенно используются результаты глав 3, 4.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Васильева А. Б., Никитин А. Г., Петров А. П. Асимптотический метод исследования контрастных структур и его приложение к теории гидромагнитного динамо// Мат. моделирование. — 1995. — 7, № 2. — С. 61-71

2. Никитин А. Г., Петров А. П. Структура спектра сингулярно возмущенной задачи Штурма—Лиувилля// Математические методы и приложения. — М.: Союз, 1995. — С. 60-62

3. Петров А. П. Об устойчивости контрастных структур типа "ступеньки"// Алгебраические структуры и теория сингулярных возмущений. — М.: Союз, 1993. — С. 137-138

4. Петров А. П. Об устойчивости контрастных структур типа "всплеска" и некоторых решений с погранслоями// Математические модели и методы в социальных науках. — М.: Союз, 1994. — С. 18-19

5. Петров А. П. О стационарных решениях сингулярно возмущенных параболических задач с разрывными правыми частями// Вестник МЭИ. — 1995. — № 6. — С. 81-90

6. Nikitin A. G., Petrov А. P. On the spectrum of singularly perturbed SturmLiouville problem// Int. Workshop: Singular Solutions and. Perturbations in Control Systems (SSPCS-95). — Pereslavl-Zalessky, 1995. — C. 72

7. Vasil'eva A., Nikitin A., Petrov A. Stability of contrasting solutions of nonlinear hydromagnetic dynamo equations and magnetic fields reversals in galaxies// Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. — 1994. — 78. — C. 261-279