Спектральные свойства сингулярного дифференциального оператора Штурма-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Г Б ОД

7 МТ •

На правах рукописи

ВАЛЕЕВ НУРМУХАМЕТ ФУАТОВИЧ

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СИНГУЛЯРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

(

УФА - 1996

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета.

Научный руководитель: - доктор физико-математических

наук, профессор Сушанаев Я. Т.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

профессор Гадыльшин Р.Р.,

доктор физико-математических наук, профессор Шкаликов АА.

Ведущая организация: - Институт Математики и

Механики УЮ РАН, г.Екатеринбург.

Защита состоится О1996 г. в/¿С час. на заседании диссертационного совета К 003. 59. 01 при Инеппуте Математики Уфимского Научного Центра РАН по адресу: 450000, г. Уфа, ул.Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики УНЦ РАН.

Автореферат разослан '18" СИМП ■ 1996 г.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью, просим выслать по указанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета К-003.59.01 Попенова С. В.

Ученый секретарь 14^-7

диссертационного совета К-003.59.01 'Тг / ПопеновС.В.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуальность темы. Данная работа посвящена изучению свойств сингулярных операторов Штурма -Лиувилля в гильбертовых пространствах как в скалярном , так и в векторном случаях. Несмотря на огромное количество исследований по этой тематике , ряд вопросов, касающихся тех или иных свойств операторов Штурма-Лиувилля, до сих пор остаются неразрешенными. Одним из таковых является круг вопросов , связанных с поведением на бесконечности решений уравнения Штурма-Лиувилля с нерегулярным потенциалом . Актуальность этой проблемы , наряду с тем , что она представляет самостоятельный интерес , естественным образом обуславливется вопросами, связанными со спектральными свойствами оператора Штурма-Лиувилля . В настоящее время ведутся активные исследования по этой тематике.

Что же касается оператора Штурма-Лиувилля в пространстве вектор - функций , то здесь спектральные свойства достаточно хорошо изучены только для полуограниченных операторов. У произвольных операторов в основном изучались индексы дефекта и , при весьма ограничительных условиях, асимптотическое поведение решений соответствующего дифференциального уравнения. Вместе с тем, существует множество задач , например , из физики, требующие изучения спектральных свойств оператора Штурма-Лиувилля в пространстве вектор - функций. Кроме того , операторы Штурма-Лиувилля в пространстве вектор - функций обладают более богатыми спектральными свойствами чем в скалярном случае, и их изучение требует новых методов.

Цель работы. Исследование спектральных свойств сингулярного оператора Штурма-Лиувилля в скалярном случае и в пространстве

вектор - функций . Получение асимптотических формул для фундаментальной системы решений соответствующего уравнения Штурма-Лиувилля.

Общая методика исследования. Исследуется асимптотическое поведение фундаментальной системы решений уравнений Штурма-Лиувилля

-у" + (х)у = \у, 1т А. ф О при х -> +оо, где ц(х) - либо вещественнозначная функция , либо симметрическая матрица.

На основании этих асимптотических формул исследуются индексы дефекта соответствующего минимального дифференциального оператора и характер спектра их самосопряженных расширений. В матричном случае получены количественные оценки дискретного спектра. Для этого нужны асимптотические формулы для фундаментальной системы решений при "к —> со по некоторым кривым в комплексной плоскости равномерые по х.

Научная новизна. В главе 1 предложен новый метод получения асимптотических формул для фундаментальной системы решений скалярного уравнения Штурма-Лиувилля , состоящий в том , что с помощью подходящих замен уравнения сводятся к принципиально новому интегральному уравнению. Это, в частности, позволяет получить асимптотические формулы для фундаментальной системы решений для широкого класса быстро осцилирующих потенциалов. В случае пространства вектор-функций получение асимптотических формул для фундаментальной системы решений усложняется из-за некоммутируемости матриц. Обычно для получения асимптотических формул для фундаментальной системы решений с помощью замен исследуемую систему уравнений приводят к Ь-диагональному виду. В

диссертации предложен ииой метод , состоящий в том , что система уравнений приводится к системе с блочно-диагональными матричными коэффициентами. И далее развита техника вычисления следа резольвенты оператора Штурма - Лиувилля с матричным потенциалом.

Приложения. Результаты диссертации могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений н л связанных с ней вопросах функционального анализа и математической физики . Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях , проводимых в Московском , Санкт - Петербургском , Башкирском , Казахском , Саратовском и других университетах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинарах профессора Султанаева Я.Т (Башкирский госуниверситет , кафедра диф . уравнений), на семинарах профессора Калякина Л. А. (Институт Математики УНЦ РАН. г. Уфа), на международной конференции в г. Уфе "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы."( г.Уфа, 1996 г), на международной конференции студентов и аспирантов "Ленинские горы-95"(г.Москва, 1995г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах

1-3.

Структура и обьём диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав , разбитых на параграфы . Нумерация формул и утверждений сплошная трёхиндексная , содержащая указание на

з

главу, параграф и порядковый номер внутри параграфа. Диссертация изложена на 90 страницах . Библиография содержит 41 наименование.

2. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении сформулированы основные результаты работы , обзор литературы.

1.Первая глава посвящена изучению асимптотического поведения решений дифференциального уравнения второго порядка : -у" (х) + q {х)у(х) = Ху(х), при х -» +со (1)

х

Положим в (1) у{х) = ехр{ Jv(/)g?/} и получим

X.

v'(x) = -v2(x) + q(x)-k, (2)

далее представим v(x) в виде v(x)=u(x) + Р(х) , где ¡3(х) некоторая подходящим образом подобранная функция . Тогда имеем:

и (х) + 2р(х)и(х) + м2(х) + h{x) = 0 , (3)

где /г(х) =-^(х)+ р2(х) + р'(х)+ • Уравнению (3) соответствуют два интегральных уравнения :

со

и(х) = и0(х) + е/{х) Jemu(t)tlt , (4а)

.1

X <о

где f{x) = 2 J\Mt)dt , и0(х) = е~Пх) \emh(t)dt.

и(х) = -и0(х) - е \cnnu{t)dt, (46)

*о

X X

где /(х) = 2 Jß(/)<# , м0(х) = е'Пх) Jef(,)h{t)dt.

хо хо

Таким образом , решение уравнения (1) сводится к решению уравнений (4а) и (46).

В первом параграфе главы 1 доказываются теоремы существования решений уравнении (4а),(46) , удовлетворяющих некоторой оценке, а именно справедлива Теорема 1.1.1а.

Пусть существует монотонная непрерывная на функция q(x)

такая, что

а) lim q(x) = О ,

*->+а>

+GO

... -Re/(Jr) Г Re/«)

б) lim е \е q(t)dt - О,

х->+<и

X

'Ш * f

Тогда уравнение (4а) имеет решение и(х) такое, что при достаточно больших х справедливо неравенство ;/(х) < q{x).

Аналогичное утверждение формулируется и для уравнения (46). Теорема 1.1.16.

Пусть существует монотонная непрерывная па функция q(x)

такая, что

а) lim q(x) ~ О,

.. -Re/(.t) f Re/(r) 2 6] lim e \e q (t)dt < a(.v) • q(x),

.V-++00 ^

41

где lim a(x) = 0,

X->+00

+„<Ф f1 •

Тогда уравнение (46) имеет решение и(х) такое, что при достаточно больших л'0 справедливо неравенство |ы(х)[ < q(x) на интервале

[хоН-

Введем последовательности функций для (4а):

со

"n+i (*) = «o W + е'Ях) ¡e/(%2 (t)dt, (5а)

и для уравнения (46) соответственно положим :

х

ип+1(х) = ий(х) + е~Пх) \emun2(t)dt (56)

*0

В первом параграфе главы 1 установлены оценки для |м(х) —

при больших х . Справедливы следующие теоремы. Теорема ].1.2а.

Пусть существует монотонная непрерывная на функция q(x)

такая, что

а) lim q{x) = 0,

ДС-»+СО

-Re/(j) + r R e/(/)

6) lim e je q{t)dt = 0,

r —ь Л-cri »

в) с \е " (и (0 - и (t))dt <

1 j /i ' 1 т

.V

Тогда уравнение (4а) { (46) } имеет такое решение и( х), что при достаточно больших х справедливо неравенство

Точно таким же образом установлена справедливость теоремы 1.1.26 Теорема 1.1.26.

Пусть существует монотонная непрерывная на функция q(x)

такая, что

а) lim q(x) = О,

-Ref(x)xr R e/(f)

б)е " Je " q{t)dt < V(x) ■ q(x), где

*o

lim ß(x) = 0 ,

X—► +co

•л ."'■"'V-Vw-.;„(«)» isiea.

xo

Тогда уравнение (4a) { (46) } имеет такое решение и(х), что при достаточно больших х справедливо неравенство

\ф)~ и„(х)\ <q(x).

Некоторые классы интегральных уравнений , у которых можно найти решения с помощью утверждений сформулированных выше, описаны во втором параграфе главы 1, а именно , приводятся формальные описания множеств функций для f(x),uo(x) из (4а) и (46).

Пусть ü - некоторое подмножество вещественных чисел, G(D¡-

N ai

множество всех конечных сумм вида ф(х) = -х 1 eD

* = о

а - вещественные числа и а, < а, , . Обозначим V. (D) -

к к к+1 О

■V ак

множество всех конечных сумм вида v(x) = £ а ' х Р (х) >

* = о к k

ак < ex eí,^ е С,

N

Рк(х) ---- Ърк1 ■ ехр{/ф^(х)} , ф^.(-х) е G(D). Далее

обозначим через " {D) -пополнение множества VQ (D) (см.

определение 1.2.3). Основным результатом второго параграфа является

Теорема 1.2.3

Пусть uo(x)eVa(D) , а<0 , De(l;+со) f(x) е G(D^) и deg(f(x) + G(D)) > 1, тогда уравнение (4а) (или (46)) имеет решение u(x)eVa(D) degf(x) - наибольший показатель степени в представлении

j {х) = 2_¡ak -х (см. определение 1.2.2а.). С помощью этого

* = о

утверждения можно найти решения уравнения (1а) при возмущениях ф(х) = ха sin х'3, где (3 > а + 1 ; ф(а') - х~а ,0 < а ; и т.д. При этом асимптотические формулы для решений (1а), как правило, имеют вид У;{х,\) = -ехр^/РДх)) •(! + о(1)) , где

к

Р,(х) = л- + ,ак < 1,а;У < -1 и Р2(х) = Р,(х).

Третий параграф посвящен изучению минимального оператора Ь0, порожденного дифференциальным выражением

Ку) = ~у\х) + ц(х)у{х) при = -ха(1 + К5тхр) в

пространстве ¿->[х0;+°о). Ь0- является модельным для изучения

спектральных свойств оператора Штурма-Лиувилля с быстро осцилирующим потенциалом и исследовался , например , в работах [1], [2], [3] и др.1 .Нами здесь доказаны следующие утверждения. Теорема 1.3.1 ее

Пусть — + 1<р , а>0 , тогда для решения уравнения

у11 {х) + ха(1 + /^¡пх13^*)-Ху{х) = О, X еС справедливы асимптотические формулы:

а а

7((х)= /1х"4ехр{^2х2+ +01(х) + /Я1(х)}(1 + о(1))

_« ■ а+1 у2(х) = Л-х 4ехр{-^2х2+ +С2(х) + /Я2(х)}(1 + о(1))

где и ¡^{х) - некоторые вещественные многочлены (см.

(1.3.4)- (1.3.6) в диссертации).

Из теоремы 1.3.1 вытекает утверждение об-индексах дефекта и характере спектра . Теорема 1.3.2

1 1Кодлинг юн 1..А. , il ¡-'Никсон Н. Теория обыкнопеннык дифференциальных уравнений . - М. :

ПЛ.,1958.- 475с.

2. Atkinson F. V. , Eastham M S.P., Mcleod J В. - The limit - point , limit - circle nature of rapidly oscilaumg potentials. - I'roc. Roy. Soc. lldinburgh , Sect. A, 1977,v. 76, №3, 1X3 - 196.

3. Eastham M.S.P. - The limit-circle differ, expression of the second order with an oscilatting coeficient. -Quart. J. Math. , ser .2. 1973, v.24, №94, 257-263.

а

а) Пусть — + 1<Р и а>2 , тогда индексы дефекта

оператора Ь0 равны (2.2) и любое самосопряженное расширение этого оператора имеет чисто дискретный спектр .

О.

б) Если — + 1<Р и 0<а<2 , тогда индексы дефекта

оператора Ь0 равны {1.1) и любое самосопряженное расширение этого оператора содержит только непрерывный спектр . Замечание. Последняя теорема значительно улучшает результаты приведенные в [3] и , вместе с утверждениями этой работы , носит окончательный характер в исследованиях индекса дефекта оператора ¿о при различных аир. Пункт б) теоремы 1.3.2 дополняет результаты полученные С. Н. Набоко и А. Б. Пушницким о спектральных свойствах слабо возмущенного оператора типа Штарка2 в [4].

2. Перейдем к второй главе диссертации. Рассмотрим дифференциальное выражение :

1{у) = -у"(х) + А(х)- у(х) , -со<х<+со, (6)

где у(х) = {у^х),у2(х),....,уп,х)} ■— л-мерная вектор -функция , А ^-самосопряженная матрица , элементы которой непрерывно дифференцируемы. Обозначим через II - комплексное гильбертово пространство «-мерных вектор -функций , у которых сумма квадратов модулей компонент интегрируема по Лебегу на всей вещественной прямой со скалярным произведением:

1 4. Набоко С.II. , Пушпимкий Л.Ь Точсчмий спектр лежащий на непрерывном , для слабо возмущенных операторов типа Шгарка.- Функц. анализ и его приложения, 1995, том 29, № 4 , с. 31 -44.

Через обозначим минимальный дифференциальный оператор порождаемый в Я дифференциальным выражением 1(у). При некоторых условиях, накладываемых на матрицу А(х) , у оператора Ьд индексы дефекта равны (2п,2п), тогда любое

самосопряженнное расширение Ь , будет иметь дискретный спектр. Пусть — собственные значения некоторого

самосопряженного расширения Ь расположенные по возрастанию абсолютных величин. Положим при Л- > О = + , а при

В второй главе изучается поведение функции А.) при А. —> +оо так и при А. —> —со.

решений системы уравнений 1(у) -Ху при >,->•» по кривой Г, где

Г={т+10 ; т>0 , ст = ту ; 0<у<0.5} кривая в комплексной плоскости. Для этого вводится в рассмотрение так называемая матрица скоростей вращения ( см. например3 [5] ) Q(x) с элементами с/^(х), заданная

следующим образом . Пусть А.^(х) - собственные значения матрицы А(х) , и(х)- унитарная матрица приводящая А(х) к диагональному

( 5 Исмашлов P.C. Об асимптотике спектра дифференциального оператора в пространстве вектор - функций. - Матом, -заметки . 1971, юн 9. №6, с. 667-675.

О<кп<к

А. < 0 положим N_(L,А.) = — 1 и введем функцию :

В первом параграфе найдена равномерная асимптотика

виду, тогда 0(х) = и' (л ) ■ и (х) , далее вводятся матрицы (хД)-определенным образом связанные с матрицей А(х)-Л/, причем явный вид этих матриц неизвестен. Основным результатом первого параграфа является

Теорема 2.1.1

Пусть Ху(л") —> —оо при |х| —> оо и выполнены следующие условия: а) 3 а,ЬеЯ , такие.

что

0<а<

Х,(х)

< 6 < оо для любых /, у

для любых у

л / ч / \

в) —Л., (л) и - — (¡1 (X) не меняют знак при достаточно (1х~ ' йх ''

больших |х|;

г) |Я./(Л)|<|Я.((Х)Г ,

Тогда система уравнений 1(у) =Яу имеет матрицы — решения такие,

I

что ук (х, А.) = и(х) 2(х,Х) ■ ык

I

у'к(х,К) = (-1)*+' • и(х)■ ц2(х,Х)■ шк(*,*.)■(/ + о(1)) при X —> ад по Г равномерно по х & II

Отметим , что введение матриц О) к (х,Х) позволило избежать затруднений при получении равномерных асимптотических формул

для решений при по Г, характерных при традиционном

подходе к решению систем л.д.у. сведением к Ь — диагональной системе. Близкие по содержанию , но при более сильных требованиях к матрице А(х), утверждения доказаны4 в [6]. Из теоремы 2.1.1 вытекает теорема 2.1.2 об индексах дефекта. Теорема 2.1.2

Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1, тогда индексы дефекта минимального дифференциального оператора Ь^ равны (2п,2п).

Во-втором параграфе вводится функция С(х,ь\Х)~

(ф2(хД) + т(А-)ф,(хД))(ф[(5Д) + я(А.)ф[(дД))

- _ ■ — ' ■ ^ X ^ $

>гг(Х) - п(Х)

(ф2(хД) + и(Л.)ф,(хД))(ф[(5Д) + ™Д)фГ(лД))

-----:--------- , х > 5

т{X) - п(Х)

и доказывается , что она является функцией Грина некоторого самосопряженного расширения оператора ЬД. Ввиду того, что

С(х,5Д) составлена из , вообще говоря , нскоммутирующих матриц, доказательство свойств, определяющих функцию Грина проводится другими методами чем5 , например , в [7]. Там же доказана дискретность спектра любого самосопряженного расширения оператора (.

Третий параграф посвящен доказательству асимптотической при X —> оо по Г формулы (Теорема 2.3.1):

4 6. Федорюк М.В Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифферемциальных уравнении - М.'Наука. 1УНЗ. 352 с.

5 7. Султанаев Я.'Г. 06 асимптотике спектра диф. оператора в пространстве вектор - функций. -Диффер. уравнения. 1974, том 1(),Л°9,с. 1673-16КЗ

и ~ А.-/)"' =

п

■и-

ах

к — \ —ос

•(1 + 0(1)).

А. е Г, А, —> °о . При доказательстве этого утверждения используются некоторые

свойства матриц сок (х, А). Здесь отметим лишь то , что со к (х, А)

обладают свойствами аналогичными свойствам ехр{±г'ф(х)}, а

&к{х,Х)-(йк{х,Х) со[(х,А)-со[(хД) именно---------5--I-

2-/

2 • г

____ _ ___

В четвертом параграфе выводится асимптотическая формула для N(L,X) с помощью известно}! формулы Т. Карлемана для следа резольвенты. Здесь использована широко известная теория "Я-функции" и тауберовых теорем6 ( см.[8] , и в более общей ситуации см. [9]) .Введем функции определенные следующим образом:

М (0 = 1нп - • [а<5 [1т

О -оз

1

* = 1

ах =

* 8. Косиочснко Л.Г., Саргсяи И.С. Распределение соГмп пенных значений. - М.: Наука , 1979 , 400 с. 9. Шкаликов А. А. Теоремы тауберова типа о распределении нулей голоморфных функций. -Матсм. сборник. 1984, т. 123, №3, с.317-347.

M (О

1_

2л

IK J

dx

И положим М(т) =

* = 10 -M (т), о > О

\ M_ (т), о < О

Наложим тауберовы условия на функцию M(t). Пусть при достаточно больших t справедливы соотношения:

к М{1) < t — M(t) < k M(t) , 0 < к < к < \ 1 dx 2 12

<

MJt)

Mit)

< с.

(7)

(8)

В результате установлена следующая Теорема 2.4.1.

Пусть выполнены условия теоремы 2.1.1 , а функция M(t) удовлетворяет тауберовым условиям (7) и (8) , тогда для функции N{L, А.) справедлива асимптотическая формула N(L,X) « М(А) при А -> ±оо.

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Я. Т. Султанаеву за постановку задачи , постоянное внимание и поддержку в работе.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ.

1. Валеев Н.Ф., Султанаев Я.Т. Об асимптотическом поведении решений сингулярного уравнения Штурма - Лиувилля. - ДАН. 1994, том 335 , №6, с. 681 -683.

2. Валеев Н. Ф. Об асимптотическом поведении решений сингулярного уравнения Штурма - Лиувилля в пространстве вектор - функций. -

Вестник БашГУ . 1996, № 1 , с.91-94.

3. Валеев Н.Ф. Об асимптотике спектра неполуограниченного оператора Штурма - Лиувилля в пространстве вектор - функций. -У МН , 1996 , № 5.

Валеев Нурмухамет фуатович

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СИНГУЛЯРНОГО даФФЕРЕЩМЫЮГО ОПЕРАТОРА ЕТУКАА-ЛИУШЛЛЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЗКЗ ЛР Ю20259 от 30.10.91 г.

Подписано в печать 19.09.96 г. Формат 60x84/16.

Бумага типографская № I. Печать офсетная. Усл.-печ.л. 0,9.

Уч.-изд.л. 0,8. Тираж 100 экз. Заказ 401.

Редакционно-издательский атдел Башкирского университета. Ротапринт Башкирского университета. 450074. г.Уфа, ул.Фрунзе, 32.