О некоторых свойствах непрерывных отображений типа полноты и компактности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ж

По од

- ■ На правах рукописи

ШВЕЦОВА Ирина Ивановна

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ТИПА ПОЛНОТЫ И КОМПАКТНОСТИ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете им. В.И. Ленина на кафедре геометрии.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук., профессор ПАСЫНКОВ Б.А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ПОНОМАРЕВ В.И.

кандидат физико-математических наук, доцент НОРИН В.П.

Ведущая организация - Санкт-Петербургское отделение математического института им. В.А. Стеклова РАН.

на заседании диссертационного совета к. изнли.и/ в московском педагогическом государственном университете им. В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная, 14, математический факультет МПГУ им. В.И. Ленина, аудитория 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ: 119435, Москва, Малая Пироговская, 1, МПГУ им. ВИ Ленина

Автореферат разослан 995 года.

Защита состоится "

Ученый секретарь диссертационного Совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В классе тихоновских пространств бикомпак-тность, Сикоыпактность и нульмерность, полнота ш Хьштту могут быть охарактеризованы, соответственно, как возможность замкнутого вложения в степень отрезка, в степень простого двоеточия, в степень прямой.

Обобщая эти факты, Р.Энгелыашг и С.Црувка СВИС! определили понятие Е-кошшктности топологического пространства как возможность замкнуто вложить это пространство в некоторую степень пространства Е.

Однако, понятие Е-жомпактносги не охватывает, например, такого важного понятия, как полнота го Дьедонне. В связи с этим Х.Херрлих ввбл ГШ понятие ¿'-компактности как возможности замкнутого вложения топологического пространства в произведение пространств из некоторого класса £.

Мрувка и Херрлих также ввели понятия Е- и £-кошактнфнкаций топологического пространства, которые обобщают понятия бикомпакти-фикации Стоуня-Чвха рх, пополнения ш Хьштту VI, пополнения но Дьедонне цХ тихоновского пространства X, бикомпактифякации Бана-шевского индуктивно нульмерного тихоновского пространства и некоторые другие примеры расширений топологических пространств.

В последнее время многие обдэтопологетвскяе понятия и утверждения были распространены со случая пространств на случай непрерывных отображений. При этом пространство понимается как простейшее непрерывное отображение этого пространства в одноточечное пространство. В частности, на отображения были распространены понятия бикомпактности и бикомпактификации, полноты и пополнения по Хьштту, полноты и пополнения по Дьедонне. Этим занимались С.Т.ЯШуЬигп, Б.А.Пасннков, Т.И.Бузулшз, Н.И.Ильина и другие.

Перечисленные и некоторые другие понятия обобщаются понятием ¿■-компактности непрерывного отображения. Это понятие было введено В.А.Пасынковым и изучалось в работах И.В.Елудовой 1Б1,. а также Д.К.Мусаева и Б.А.Пасынкова 1МШ.

Для класса топологических пространств £ непрерывное отображение Т называется в ШЗ ¿^-компактным, если

(«) / можно замкнуто вложить в проекцию некоторого ¿■-произведения, то есть частичного топологического произведения (ЧТО) НИЗ, все слои которого принадлежат классу €. (Напомним, что

для непрерывных отображений /:Х-»У и £Г:2-*У (замкнутое) вложение называется (замкнутая) вложением / в в, если .

Однако, понятие ¿-компактности отображения можно определить и по-другому.

Б.¿.Пасынков [П23 ввёл определение отображения, замкнуто параллельного пространству Р, как отображения /:Х-»У, замкнуто вло-жимого в проектирование рг:Р*У-УУ. Он же заметал, что непрерывное отображение / вполне естественно считать ¿-компактным (для класса пространств £), если

(»*) / замкнуто параллельно произведению некоторого семейства пространств класса £.

В ряде случаев эта два определения ¿-компактности отображения шшивалентнн. В частности, известно (см., например, 1ШЗ), что в классе тихоновских пространств класс бикомпактных (^совершенных) отображений совпадает с классом 0-компактных отображений, где 3 есть отрезок, а 0-компактность можно понимать как выполнение любого из условий (*) иди <**). Кроме того, Н.-Р.Ктк1 и Б.А.Пасынковыи доказано СКРЗ, что в классе тихоновских пространств Е-компактность отображения, в смысла условия (*) эквивалентна Е-компактяости в смысле условия («*)-

Однако, Еообще говоря, условия {*) и (**) и соответствующие определения ¿-компактности отображения не эквивалентны и поэтому возникает идея, во-первых, найти некий общий подход к этим двум определениям ¿-компактности отображения и рассмотреть их с единой точки зрения и, во-вторых, найти обдав достаточные условия эквивалентности этих двух определений ¿-компактности.

Избранный в этой диссертации общий подход к понятию ¿■-компактности основан на понятии ЧТП и на следующем наблюдении:

в случае первого (основанного на условии (*)> определения ¿-компактности на открытые множества, участвующие в определении ЧТП, никаких ограничений не накладывается;

в случае второго (основанного на условии (*»)) определения ¿-компактности замкнутую параллельность отображения / произведении некоторого семейства пространств класса С можно рассматривать как возможность замкнуто вложить / в проекции такого ¿-произведения, для которого все определяющие его открытые множества совпадают со всем основанием.

Таким образом, в обоих случаях все слоя соответствующего ЧТП берутся из класса £, а отличие "сосредоточено" в условиях, някда-

даваемых на систему берущихся в основании и учвствутоцих в определении ЧТП. открытых иаожеств.

Это наблюдение приводит к рассмотрению (£,{1)~произведений (определение 1.15), то есть таких та Р(У,{га>,Ша};а€21), все слои Еа которых берутся из класса £, а все определящие это частичное произведение открытые множества 0а берутся из некоторой системы П открытых поданожеств основания У. Система О может быть, как в указанных или случаях, системой всех открытых подмножеств пространства У, состоять из максимального открытого подмножества пространства У, а также может являться, например, системой: всех функционально открытых в У множеств; всех открытых в У множеств, замыкания которых бикомпактны; всех открыто-замкнутых в У множеств; всех связных открытых в У множеств; всех открытых финально компактных (паракомпактных) подмножеств У и др. Вообще, О может быть произвольной системой открытых в пространстве У множеств.

Понятие (£,а)-произведения позволяет дать следующее основное в этой работе определение .

Определение 2.1 (5.А..Пасынков). Для класса топологических пространств £, система О открытых в пространстве У множеств непрерывное отображение /:Х-*У будем называть (£,С1)-иохпахтил, если оно замкнуто вкладывается в проекцию некоторого (£, О) -произведения.

Цель диссертационной робот. Исследовать понятия ¿-компактности и ¿Г-кошхак-пфшации в наиболее общей ситуации.

Метода исследования. В диссертации применяются, в основном, метод ЧТП и метод максимальных центрированных систем (ультрафильтров) замкнутых множеств.

Новизна результатов. Основные результаты диссертации являются новыми. Выделим важнейшие из них:

1. В максимальной пока общности доказаны существование и единственность максимальной £-компяктифякации. Более точно, доказаны существование и единственность максимальной (С,П)-компактифи-кации продуктивно (£,0)-регулярното, в частности, (П£,П)-тнхоновс-кого, отображения. Из этого результата, в частности, следуют существование и единственность максимальной хаусдорфовой (гстоун-чехов-ской) бикомпактификзции рх, пополнений по Хывитту VI, по Дьедонна ДО тихоновского пространства X, максимальных тихоновской бикодаак-тификации р/, трубчатой К-хомпактификацки V/ и трубчатой й-ком-

пактификацш тихоновского отображения J и, вообще, максимальной трубчатой £-компакгюфикащш £f П£-тихоновского отображения /.

2. В максимально общей пока ситуации продемонстрирована применимость метода Волмэна построения в том или ином смысле максимальных расширений непрерывных отображений и топологических пространств. Более точно, максимальная (£,П)-компактнфякация продуктивно (£,П)-регулярного, слабо трубчато (£,О)-нормального Т1-отображения f реализуется как отображение пространства мелких касающихся отображения / ультрафильтров, состоящих из ¿-замкнутых в трубках отображения / над элементами системы Q множеств.

Теоретическое и практическое значение. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по послойной общей топологии, а также при чтении специальных курсов в вузах, в частности, в ЫПГУ, МГУ, МГОПУ, Брянском госпедуниверситете и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре им. П.О.Александрова кафедры общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ; на семинаре по послойной общей топологии в МГУ под руководством профессора Е.А.Песынкова; на Международной математической конференции, посвя-щбнной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Минск, 1992 г.); на Мэздународном конгрессе ассоциации "Женщины-математики" (Москва-Пущино, 1994 г.); на III Международной конференции жевдин--математиков (Воронеж, 1995 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти публикациях. Их список приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, нулевого параграфа, трЭх глав и списка литературы, включающего 29 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Она изложена на 98 страницах машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко излагается история вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертации, излагаются основные результаты, полученные в ней.

В $0 приводятся необходимые предварительные сведения и стандартные используемые в работе обозначения.

Всвду ниже под пространством понимается топологическое прост-

ранство, под классом пространств - топологически замкнутый (любое пространство, гомяоыорфиое некоторому пространству класса, принадлежит этому классу) класс пространств, под отображением - непрерывное отображение пространств.

Класс пространств называется конечно лулышплиншаивным, если он замкнут относительно конечных произведений своих элементов.

Будем обозначать через: ¿ фиксированный класс пространств, считая И(Е) класс всех пространств, гомеоморфвых пространству Е; Н£ класс всевозможных тихоновских произведений пространств из класса £; ВТК класс всевозможных конечных тихоновских произведений пространств из класса £; В, К, Ш, Ю, соответственно, отрезок, прямую, натуральный ряд, простое двоеточие; Т{, 1=о,1, ¡Н, Ве£, И, соответственно, класс всех Ыэ,1, хаусдорфовых, регулярных,

метризуемнх пространств; а некоторую фиксированную систему открытых в пространстве У множеств, считая 0€П; т топологию пространства У; Щу), соответственно, , семейство всех окрестностей, соответственно, всех окрестностей из системы П, точки уеУ.

Система А называется конечно жцхьяатлшкзпивнаО., если она замкнута относительно конечных пересечений своих элементов.

Пусть есть фиксированное отображение.

Трубкой отображения / (над открытым в пространстве У множеством О) называется прообраз /~10 открытого в Г множества О.

Первая глава ' диссертации посвящена определению и изучению понятий (¿Г,П)-компактности, (продуктивной) (¿,СЗ)-регулярности и (£,□)-кошактиХйкации отображения.

Параграф ! посвящфт рассмотрению связанных с (¿,П)-компактностью понятий (продуктивно) (¿,П)-тихоновсхого отображения. Эти понятия обобщают понятие тихоноеского пространства, более общее понятие Херрлиха ГН] ¿-вполне регулярного пространства и ещ§ белее общие понятия тихоновского отображения (1321 и, в случае от, ¿-тихоновского отображения СБ1.

Свойства тихоновости и £-тихоновости пространства, а так же тихоновости и ¿-тихоновости отображения являются необходимыми для соответствующего свойства ¿-компактности пространства или отображения. Одно из возможных обобщений ¿-тихоновости отображений дают определения 1.4 и 1.8.

Определение 1.4 (Б.А.Пасынков). Отображение /:Х-*У называется (£,И)-регулярныл> если для любой точки лхХ и любого зажну того в К множества Р, выполняется хотя ба одно из условий.:

1) Тх*

2) существуют множество ОеП, пространство Ее«? и отображение ф:/"10-»-£, такие что /геО и <рх Д [<р(Р П

Естественно, вводимое понятие (£, П)-регулярности должно обобщать понятие С-регулярносги отображения из [Б]. Отсюда вытекает необходимость условия 2) определения 1.4. Естественным также является требование быть (С,О)-регулярным для любого тождественного отображения для любой системы П. Отсюда вытекает, как показывает пример 1.6, необходимость условия 1) (или какого-то его аналога) определения 1.4.

Определение 1.8. (£,П)-регулярное ^-отображение называется (£,П)-гтжтовс№ия отображением.

Введенное понятие (£, П) -тихоновоста в широких предположениях достаточно для вложимости отображения в проекцию (£,П)-произведения. Однако, поскольку не удалось выяснить, является ли условие (£,П)-тихоновости отображения необходимым для его вложимости в проекцию (£,П)-пройзввдвния, в диссертации используется следующее более общее понятие продуктивной (£,П)-тихоновости:

Определение 1.16. Отображение /:Х->У назовем продуктивно (£,П)-регумфныл, если / вкладывается в проекцию некоторого (£,П)-произведения на основание У.

Определение 1.17. Продуктивно (£,П)-регулярное Т0~отображешэ называется продуктивно (£,П)-тпоновскил отображениюл.

Оказывается, что (предложения 1.20 и 1.21):

любое (Ж.си-тгоновское отображение являвшая продуктивно С£,П)-тихонаваким; если система О образуем базу топологии пространства Ш, то продуктивна (£,П)-регулярн.ое (-тихоновское) отображение /;Х-*У яЗияетоя (¡¡Ш,й)-регулярныл (-тихоновским).

Второй параграф диссертации посвящён определению и некоторым свойствам (£,(2)-компактного отображения.

В начале §2 даЗтся приведенное выше определение (£,П)-компактного отображения.

Отметим, что:

замкнутое податображение (£,И)-ножпашного отображения (£,П)-ксшюишо; послойное произведение (£,П)-компашнш: отображений (£,П)-колматна.

Как нам кажется, наиболее интересным результатом параграфа 2 является данная в н5м характеризация (£,£2)-компактного отображения как некоего свойства полноты (теорема 2.11).

Приведем требуемые определения.

Для пространства Е через covE обозначим множество всех открытых покрытий этого пространства. Для класса пространств С, отображения и открытого в У множества 0 положим:

сои(0,£,/)={тсои(/~10):сущвствут такие Е(ы)е£, у(и>)есоиЕ(ш; и отображение К(и):]~10-*Е(со;, что

Для точки уеУ положим: сои^у)=и{сои(0,£,?) :ОеНп(у) }.

В диссертации широко используются отнятия ¿-открытого и ¿-замкнутого множеств.

Определение 1.25. Подмножество 0 (подмножество А) пространства X называется £-ашсршыл (£-вамннутым) в пространстве Х'сХ, если существуют: пространство Ее£, отображение <р:Х'-+Е и открытое (замкнутое) в Е множество 7 (соответственно, Р), такие что 0=ф-1V" (соответственно, А=ф~1Р).

Определение 1.27. Подмножество 0 (подмножество Л) пространства X называется (Г,£,П)-открьапым (соответственно, (?,£,П)-залк-нушд), если существует такое множество 1Г€П, что О (соответственно, А) является ¿-открытым (¿-замкнутым) в трубке множеством.

Напомним (см. Ш1), что:

1) система £ подмножеств пространства X называется в-мелкой для системы 8 семейств подмножеств этого пространства, если для любого элемента ыев существуют такие элементы Оеш и Ре£, что Рс0;

2) для точки уеТ система | называется у-заланутой, если 5 есть подсистема системы всех подмножеств пространства X, замкнутых во всевозможных трубках /-1О,

Для точки уеУ систему являицуюся подсистемой системы всех ¿-замкнутых во всевозможных трубках /~10, ОеЫп{у), подмножеств пространства X, назовйм (у,£,П)-замкнутой системой.

Теорема 2.11. Для конечно мульттликалтвныг класса ¿¿Е0ГШе§ и системы П и отображения следующие условия равносильны:

(1) / является (£,П)-колтшпнил отображением;

(2) / является продуктивно (£,П)-регулярныл отображением и для любъа тачка у& и щнтрщюванной, у-замкнутой, сои £П(у ¡¡-мелкой и. содержащей все трубки /~10 при ОеЯ(у) системы £ подмножеств пространства X имеем

Г1 и п те; * 0 ;

(3) / является продуктивно (£,П)-регулярньм отображением и для любых точки у& и ирнтрированнай системы ,11(?~10:0еи(у)) подмножеств пространства X, где С есть (у,£,П)-зшиснутая и

соьш(у)-яглкаа систлела паджнсхеаяЗ пространства К, илеел

/~'у л №) * 0 .

Следствие £.12. Пусть класс пространств £^iJ]Reg и сисяела С конечно ^лшшитжи&ни и отображение f:X-*Y щюдуктбпо fC.Oj--регулярно. Если, для любых лючки уеУ и центрированной, (yT£,U)--зсшщрай (cov^Cyj-jtejuxaQ.) сиалела £ подлнахесдав пространства X ияеея f'y П (Ли ¿0, mo f является (£,П.)-хояпатнил отображением.

В оставшейся части §2 рассматриваются два наиболее важных частных случая (¿,П)-комнактннх отображений, а, именно, ¿-компактные и трубчато f-компактные отображения.

Определения 2.13 и 2.14 (Б.Д..Пасынков). отображение f:X-+Y называется £~кажпашныя (трубчато £-кояппшных), если выполняется условие («*) (соответственно, («))-

Понятие (f,П)-компактного отображения обобщает, таким образом, понятия ¿-компактного и трубчато ¿-компактного отображений в случае П=£У,0} и fl=i, соответственно.

Как уже упоминалось в начале автореферата, в некоторых случаях свойстез ¿-компактности и трубчатой ¿-компактности эквивалентны. Некое общее условие даёт формулируемая ниже теорема 2.15.

Класс пространств ¿ назовем обобщенно конечно мулълштиихаяиЗ-ныл, если для любых его элементов Е и Е', любого открытого в Е' множества V частичное произведение Р(Е',Е,7) принадлежит этому классу.

Теорема 2.15. Для обобщенна конечно лщлыттлгшшшЗкого класса £, tee пространства которого тихоновские, отображение f:X-*Y, гве X u Y есть £-6полне регулярные пространства, трубчато £-кояпактно тогда и только тогда, когда оно £-колпактно.

В случаях ¿=11.(0) и ¿=0_{Е) из теоремы 2.15 вытекают указанные ранее утверждения для бикомпактных 1П21 и Е-компактных tKPl отображений.

Если ¿=ffl, то имеем

Следствие 2.20. Отображение /:Х->У пгжмовешх пространств X и У является трубчато й-ксшахтныя (втрубчато полныя по Дъедокне) тогда и только тогда, когда f является М-колпашнит.

Последний, основной, параграф первой глэеы посвящбн (¿,й)-компактификациям отображений.

Определение 3.1. (£,Щ-1шхпахт}фхкаи,У£11 отображения f:£-*X называется (¿,£1)-компактное расширение этого отображения.

Нетрудно видеть (предложение 3.2), что

любое продуншвно (£,О)-регулярнее, в частаат, любое (Ш ,£1}-тхоновское отображение /:Х-*Г обладает хотя бы одной (£,и)~колг^тт1финацией.

На множестве всех (£\£]>-компактифлкзций отображения стандартным образом вводится порядок.

(Хгределегате 3.8. (£,П)-компактификацив отображения

будем называть жиссшилънай, если она обладает свойством

(Мах) для любой (£',П)-кошакти5икации отображения /

существует канонический морфиам / в д (то есть такое отображение Л,:Х-»£, что и X тождественно на I).

Понятие максимальной (£,П) -компактификации обобщает понятие максимальной ¿-компактификации отображения из ШЗ, а, следовательно, к понятия: максимальной тихоновской бинсшактифвкацип р/ Е.П2] (¿=1.(8), 0=т); расширения V/ 1БЗЗ (£=1(К), П=т); расширения р/ [ПЗЗ (£=И, 0=1) тихоновского отображения а также, в случае

У={•>, стоун-чеховской б1шошнкттгфккзцйи рх, пополнения по Хъюитту VI и пополнения по Дьедонне ДО тихоновского пространства X.

Оказывается верной теорема, являющаяся основным результатом первой главы:

Теорема 3.12. Жсли £с<}|, по для мобого продукш&но (£,й)-регулярнсго, в частости., для любого (Ш, П)-таихтовсного, отображения существует, и единственна (с точности до хано-

ничесной эквивалентности) жтсияалътя (£,0)-кожтшг1фшсация £й/:£П^Х~*¥. Среди всех (£,П)-1юдтжггяфш1!{ий отображения / яакси-яалъная (£,П)-кохплшифияация харантеризуется наждыя из свойств:

(га) для любых множества Оей, пространства Ее£ и отображения ф:/~'0-»-Е суи&яя&ует. непрерывное продолжение отображения ср на тру-

бну (ЮГГ1 о;

(М) для любого (£,й)-комлашного^ отображения и, любого

яорфизяа сукрсябуеяг яорфивя продолжаххций

есть такое отображение и К продолжает

где /=г*К).

Следствие 3.13. (£,{1)-хаяпшхное отображение являемся одной из своих яаксижиъных (£,П)-1ю;тшшфимаций. Ясли ¿¿И, то (£,П)-кожпатное соображение является единственной (с точностью до эквивалентности.) своей лаксилалъной (£га)-шттакгшфииацией.

Теорема 3.12 обобщает теорему существования и единственности максимальной ¿-кошакпфнсации из ШЗ для класса пространств £ и из [МП! для класса И£.

В заключение §3 приведено предложение, обобщаюцее утверздение (2) теоремы 3.14 из 1П23:

Предложение 3.21. Для максимальной (£га)-компош!шфишит ЩГ:тгХ-*Г продуктивно (£,Нерегулярного, в частности., (Ш,П)-тттовсиого, отображения /:Х-*У выполняется свойство:

для лхЯаго множества У(£1 и любих двух Е-апделшаа в прообразе /~1и множеств А и В имеем [Л]^^ П П (£ЩТЧ1 = 0 .

При этой (определение 1.1} годаножеетва А и В пространства X называются £-атделимыми. & подмножестве X' пространства I, если существуют такие пространство Ее£ и отображение <р:Х'-*Е, что

Ш')] П [ф(£ ПГ)] = 0. Вторая глава диссертации посвящена распространению метода Волмэна максимальных центрированных систем (ультрафильтров) замкнутых множеств на случай отображений.

Своим методом Г.Волмэн ШЗ построил Т1 -бикшшактифЕкацию ыХ (названную затем волмэноеской) произвольного Т^-пространства X, совпадащую для нормального пространства X со стоун-чеховской би-компактификацаей рх. Модифицируя метод Волмэна, Л.Гиллмая и М.Джврисон построили стоун-чеховскую бишшактифвкацию $Х. для любого тихоновского пространства X. Метод Волмэна-Гшимана-Джерисона был распространён Н.И.Ильиной ГйлЗ на отображения для построения бнкошгактифакации ц/ (для любого вслмэновского ШлЗ -отображения /), максимальной тихоновской бикомпакти£икации р/ и максимальной трубчатой Ш-компяктифакации V/ (для произвольного тихоновского отображения /). Поскольку р/ и v/ - атс частные случаи максимальных (£,П)-компактифакаций, естественным образом возникает вопрос об обобщении результатов Н.И.Ильиной на случай максимальных .(£,Я)-коапактификаций.

Во второй главе предлагается решение этого вопроса. В этой главе рассматриваются конечно мультипликативные класс пространств £ и система О и -отображение /:Х-*У.

Для точки у&Ю обозначим через с1£я(у) семейство есвх непустых ¿-замкнутых во всевозможных трубках /-1Е7, и^Иа{у), множеств.

Определение 4.1. Пару состоящую из точки уеШ и такого

ультрафильтра (фильтра) У из элементов семейства с!т(у), что трубки над всеми окрестностями точки у нз системы £3 еходят в 5=, будем называть (£,а)-ул£Вфафшащх1Я (соответственно, (£,П)-филшрох) отображения / над точкой у. Пару (у.Т), состоящую из точки уеУ\Ш и семейства назовем особым (£ ,П}-улгщхфихтром отображения

/ над тачкой у.

Символом будем обозначать произвольный

(¿.ПЬультрафильтр отображения / вида . Особый (¿,(^-уль-

трафильтр отображения / вида (у,^=Ш) обозначим через Суд;.

Через обозначим систему всех (/,£,П)-замкнутых мно-

жеств, содержащих точку хе/-1 (ЦП).

Для Т1 -пространства X семейство всех замкнутых (функционально замкнутых) его подмножеств, содержащих точку х(Х является ультрафильтром этого пространства, что существенно для построения биком-пактификации ей (соответственно, (3-Х). Поэтому в случае отображений возникает необходимость в следующем определении.

Определение 4.3. Отображение назовём

. (£,а)-волмэновскил в точне г, если fxсШ и пара {/х.Т^х)) есть

-ультрафильтр отображения Т над точкой /г. Отображение / будем называть (£.П)-воллэновсиим, если оно является (¿,П)-волмэновским в каждой точке % множества /~1 (Ш).

Можно привести примеры не (¿,П)-волмэновских Т1 -отображений (см. пример 4.4 (Ю.Д.Перпшн)). Однако, как следует из предложений 4.6 и 4.7, достаточным условием (¿,П)-волмэновости является, например, принадлежность класса С классу Г,,-пространств.

В дальнейшем в главе II считаем отображение /:Х-*У продуктивно (£,Нерегулярным для £<=т1. В этом случае отображение / является, как только что указано, (¿,П)-волмэновским.

Для точки уеШ обозначим через %са(У) семейство всех (£,П)-ультрафшттров отображения / над точкой у и положим: = си <-ХСС1(у): уеип>; и иу,Х): усПШ)} .

Топология т^д на множестве вводится следупцим образом. Пусть 0 есть произвольное ¿-открытое, а Р есть произвольное ¿-замкнутое в некоторой трубке У€П, множества. Считаем ЩО,и) = Схт(у)е^ у& и 3 А&^Су): А <= 0), Ф(1,и) = 1х (у| ув) и Р€х£п(у)}.

Отображение определим по правилу:

итГ(у,7)=у для .

Тогда семейство множеств В={Щ(0,иМ(1)еа/Г17: О есть £~отрытое в множество, и<&, множество 7 открыто 6 У) I) и 1(ысп/Г17: множество 7 открыто в У> являвшая базой топологии а„.

Эта топология обеспечивает непрерывность отображения со"/.

Более того, топология х^ обеспечивает стандартное в таких ситуациях вложение отображения /:Х-»У в отображение шгп/:ш£пХ-*Г.

Пример 5.10 иллюстрирует, что это вложение не является плотным. Однако, в случае П=х

отображение шт/ является расширение* отображения В связи с вложением фш заметим следущеэ. И.В.Петрова в работе [Пэт] для конечно мультипликативного, с-замкнутого (замкнутого относительно перехода к замкнутым подмножествам своих элементов) класса регулярных пространств £ и ¿-регулярного Т1 -отображения /:Х-»У назвала пару (у,У), где уеУ, а 7 есть ультрафильтр из семейства всех непустых ¿-замкнутых в трубках иеП(у), множеств, /~1я(у)<=у, ультрафильтром над точкой у. На множестве ш^Х всех ультрафильтров над точками уеУ задано отображение ш^/гш^Д-»/, считая иг/(Хшс(у))=у, где Хш^(у) есть семейство всех ультрафильтров над точкой у. Без доказательства утверждается, что семейство множеств

В={ИГ0 П (со^)-117 | о есть ¿-открытое в некоторой трубке /~'7 множество, множество и открыто в У), где №0=(х€ш£1 | 3 Аех: А=0), образует базу некоторой топологии на множестве ш^Х. Также без доказательства утвервдается, что отображение ш^/ является Тп -бикомпвкгификащюй отображения /. Диссертанту не удалось подтвердить этот факт. В диссертации показано (предложения 5.12-5.14), что отображение шсп/ является послойно бикомпактным Т¡-отображением; а если П образует базу своего объединения 1Ю и отображение / ваяннуто, то и отображение (¡}са/ замкнута. Следовательно,

если 0=т и отображение / замкнуто, то является

Т ^гтзмтюшифшсацией отображения

В параграфе 6 завершается решение основной задачи второй главы - построение максимальной (¿,П)-кошактификации отображения /:Х-*У обобщЗнннм методом Волывна-Гиллмана-Дгарисона.

Решение этой задачи потребовало введения следующего свойства отделимости отображений:

Определение б.З. Отображение т\:Х-*¥ будем называть слабо тру-бчато (£,П)-нарлалъныл, если для любых множества ПеП, дизъюнктных ¿-замкнутых в трубке т)-1{7 множеств А и В и точки у е.V существует такое множество ОеП, что уеОсИ и множества А к В являются ¿-отделимыми в трубке т]-10.

Введенное свойство слабой трубчатой (¿,П)-нормальности не является слишком ограничительным, так как в важнейших случаях (¿,П)-компактности оно выполняется автоматически. А, именно, в случав, когда класс С есть, соответственно, ИДЯ), MR), Ш, понятия f-замкнутости и функциональной замкнутости подмножества пространства равносильны. Поэтому любое непрерывное отображение является слабо трубчато (D,Q)~, (И,П)-нормальным для любой системы

СЗ. Кроме того, слабая, трубчатая (С,0)-нормальность отображения tj обеспечивается (предложение 6.5) замкнутостью класса £ относительно перехода к открытым подмножествам своих элементов. Такие классы пространств назовЭм открыта нааледстВеюяши.

Заметим, что следущие классы всех пространств: Т(-, i=o,l,2,3,3^; совершенно нормальных; наследственно нормальных; метризуемых; локально бикомпактных хаусдорфовых; полных по Чеху; счВтного веса; индуктивно нульмерных и др. является открыто наследственными. Трубчатая R-компактность равносильна трубчатой ¿-компактности, где £ есть класс всех открытых подмножеств прямой. Поэтому понятие (£,П)-кошвктного отображения для открыто наследственного класса £ охватывает, в частности, такие понятия, как трубчатая 0?-голнота (атрубчатая R-компактность) и трубчатая полнота по Дьедонне (зтрубчатая 04-компектность) отображений.

Лерейдбм к построению максимальной (¿,П)-компактификации методом Еолмэна.

rv

Для точки ¿f€Un рассмотрим систему Хт(У) всех соует(у)-мелких (£,П)-ультрафильтров отображения f над точкой у, то есть таких элементов хш(у)=(у,^).егс^(у), что семейство 7 является соуто(у)-мелким. Положим

ЦаК = иácá(y): yeUm U {(у,Х): у&ЧХП.

Определение 6.7. Назовём, элемент (у пространства касающимся (отображения f над точкой, у) ультрафильтром, если выполняется условие:

уе[Д] и даш любых множеств üe№n(y), VeW(y) и ¿-открытого в трубке /~1!7 множества О из существования множества А^Р со свойством А с О следует существование множества ТеТ, такого что F <= О и Р Л /~17 * 0.

Если касапцийся ультрафильтр {y,F) является элементом множес-

"'РП

тва шу'Х, то назовем его мелким касающимся (отображения f над точкой у) ультрафильтром.

Для системы всех мелких касащихся отображения / ультра-

фильтров и для отображения иеп/=юю/|исах верна основная в главе И

Теорема 6.8. Пусть клааа пространств £сЗ}ПЯе£ и система П конечно мулътгтлиисптвны и отображение ?:Х-+У продуктивно (£,Нерегулярна. Бели, отображение / является слабо трубчато (£,Ненормальным (в частности, вали клааа £ является открыто наследственным), то отображение пространства

всех мелких кассващхся отображения f улшрафилыпров эквивалентно максимальной (£,а)-компатификаиш оу.'Я^Д-^У отображения

. Формулируемые ниже следствия теоремы 6.8 показывают, что она обобщает результаты Ильиной [Ил], расшространящие метод Волмвна-Гиллмана-Джерисона для максимальной бикодаактификации р/ и максимальной трубчатой К-компактификации V/ тихоновского отображения /.

Следствие 6.11. Бали £=ИСЮ, то отображение шт/;ы£"х-»-У эквивалентно максимальной, бшазмпштфшщии р/:р^Д-*У тихоновского отображения / :2-*У.

Следствие 6.12. Если Е=щш;, 0=а, то отображение эквивалентно максимальной, трубчатой

К-компатификссцш у/п»тихоновского отображения /:Х-*У.

Кроме того верно

Следствие 6.13. Если ¿=М, П=*с, то отображение

эквивалентно максимальной трубчатой Ш-компашифшхщии тихоновского отображения /.-Х-»У.

Как известно, в классе нормальных Т1-пространств волмэновская бикошактификация шХ совпадает со стоун-чеховской бикомпактифика-цией (З.Х пространства X. Для отображений аналогичный результат был установлен Н.И.Ильиной [Ил]. Она показала, что для функционально нормального отображения / рассмотренная ее компактификация ц/" (являющаяся. аналогом волмэновского расширения шХ) совпадает с максимальной тихоновской бикомпакти£иквцией {$/ отображения /. ¿налог и обобщение этих утверждений даны в параграфе 7 для вводимого ниже класса наследственно трубчато ¿-нормальных отображений.

Определение 7.2. Отображение ЛгХ-йГ называется наследственно трубчато £-нормальннм, если его ограничение на каждую трубку ?Г1У для открытого в У множества и является ¿-нормальным ГБ] отображением.

Теорема 7.4. Путь класс пространств ¿с!Гт конечно мультипликативен, С=г и отображение /:Х-*¥ является наследственно щщбчто £-нормалъным, £-тихоновским, волмэновским. Тогда бикомпаитификация

и. расширение отображения / совпадают.

Перейдбм к последней:, третьей главе диссертации. Она не является основной, но устанавливает в случае отображений стандартную для случая пространств связь паракомпактности и полноты по дьедон-не, иллюстрируя тем самым удачность рассматриваемого в работе определения (£,Я)-компактноста.

Дадим необходимые определения.

Пусть /щ.Х-*-Т есть тихоновское отображение.

Определение 8.1 (Б.А.Пасынков). Отображение / называется па-ранолпашныл, если для любых открытого в У множества О, открытого покрытия ы трубки /~10 и точки уеО существует окрестность 0у<=0 точки у, такая что в ш можно вписать функционально открытое локально конечное покрытие трубки /~1Оу.

Определение 8.2 (Б.А.Пасынков). Отображение / называется (трубчато) помол по Дъедонне, если оно (трубчато) Некомпактно.

Из данных в диссертации характеризаций (теорема 8.3) зарнкошактшх отображений, обобщающих известные характеризации паракомпактных пространств, вытекают следствия 8.5 и 8.6:

Следствие 8.5. Если УеТ,ПДе^, ш всякое паракожютное отображение является трубчато полным по Дъедонне.

Следствие 8.6. В классе тихоновских пространств любое пара-тяпшшое отображение является полнил по Дъедонне.

Автор выражает глубокую благодарность профессору З.А.Пасынкову за постановку задач, постоянную поддержку и помощь в заботе.

ЛИТЕРАТУРА

[Б]. Елудова И.В. О ¿-компактности непрерывных отображений // Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М.: МПГУ им. В.И.Ленина, 1990.

:ИлЗ. Ильина Н.И. О бикомпактификациях и пополнениях непрерывных отображений // Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М.: ЫПЖ им. В.И.Ленина, 1990. ЖЗ. Мусаев Д.К., Пасынков В.А. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. - Ташкент: ФАН, 1994. ПП. Пасынков Б.А. Частичные топологические произведения // Труда МЫО. - 1965. - Т. 13. - С. 136-245.

[П2]. Пасынков Б.А. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств // Отображения и функторы: Сборник. - М.: МГУ, 1984. - О. 72-102.

[113]. Пасынков Б.А. О пополнениях отображений// Геометрия погруженных многообразий: Сбор.- Ы.: Прометей, 198Э.-С. 131-136.

[Пет]. Петрова И.В. Об одном аналоге волмэновской бикомпактифика-ции для непрерывных отображений // Международная математическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского: Тез. докл.- Минск, 1993.- Часть I.-C. 69.

[ЕпМ]. EngeIking R., Mrowka S. On E-compact spaces // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Hath. - 6 (1958). - P. 429-436.

[GJ1. Gillman L., Jeriaon Ы. Ring of continuous functions. - New York, 1960.

[Н]. Herrlich H. (2-Kompalcte Raume // Math. Zeitschrifte. - 96 (1967). - 228-255.

tKPl. Kunzi H.-P.A., Pasyi&ov B.A. Tychonoff compactificationa

tions // Препринт.

НП. Wallman H. Lattices and topological spaces // Ann. Math. -39 (1938). - P. 112-126.

Публикации автора no теме диссертации:

1. Таперо И. И. О паракомпактности непрерывных отображений // Международная математическая конференция, посвящбнная 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского: Тез. докл. - Минск, 1993. -Часть I. - С. 76.

2. Швецова И.И. О паракомпактности непрерывных отображений // Топология. Алгебра. Информатика: Ыат. исследований молодых учйных матем. кафедр МПГУ им. В.И.Ленина. (По итогам 1993 г.). - М.: МПГУ им. В.И.Ленина, 1994. - 0. 9-11 .

3. Швецова И.И. О £-П-компактности непрерывных отображений // III Международная конференция женщин-математиков: Тез. докл. - Воронеж, 1995. - С. 94.

4. Швецова И.И. Построение максимальной £-компактифакации непрерывного отображения методом Волыана // Рук. деп. в ВИНИТИ 10.07.95, * 2081-В95. - М.: МШУ им. В.И.Ленина, 1995. - 23 с.

5. Shvetaova I.I. On Faracompactness of Continuous Mappings // Труды Международного конгресса ассоциации "Женщины-математики". Москва - Пущина. - Волгоград: Перемена, 1994. - Вып. 2. -

and K-complitiona of mappings and rings of continuous func-

0. 112-116.