О некоторых свойствах решений волнового уравнения на геометрическом графе

Коровина, Олеся Вячеславовна

О некоторых свойствах решений волнового уравнения на геометрическом графе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Коровина, Олеся Вячеславовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Белгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О некоторых свойствах решений волнового уравнения на геометрическом графе»

Автореферат диссертации на тему "О некоторых свойствах решений волнового уравнения на геометрическом графе"

□03407В6Б

На правах рукописи

КОРОВИНА ОЛЕСЯ ВЯЧЕСЛАВОВНА

О некоторых свойствах решений волнового уравнения на геометрическом графе

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о ДЕН 2005

Белгород - 2009

003487666

Работа выполнена в Белгородском государственном университете Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Прядиев Владимир Леонидович Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Костин В.В.

кандидат физико-математических наук, доцент Найдюк Ф.О.

Ведущая организация: Московский государственный университет.

Защита состоится 22 декабря 2009 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, БелГУ, корпус 1, а. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государст-• венного университета.

Автореферат разослан " " ноября 2009 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.015.08

Прядиев В. Л.

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию волнового уравнения

ихх{х, t) = ua{x, t) (х б Г \ J, t > 0) (1)

с a-гладкими трансмиссии

»(*> h)ut{x, t) = 0 (х € J, t £ о), (2)

h£T(x)

где Г - геометрический граф, J - множество внутренних вершин Г. Основная цель работы - получение конечного (явного, в замкнутой форме) описания решения указанного уравнения с заданными условиями трансмиссии во внутренних вершинах геометрического графа через и(х,0) и ut(x, 0).

Уравнения на геометрических графах моделируют самые разные задачи естествознания: процессы в сетях волноводов, колебания упругих сеток, распространение электрических импульсов в нейроне и т.п. На сегодня достаточно полно изучены соответствующая спектральная задача Штурма-Лиувилля1. Для волнового уравнения аналоги формулы Даламбера получены лишь для некоторых классов четвёрок (Г, Т, В, /), где Г - геометрический граф, Т - условия трансмиссии, В - граничные условия, I - начальные условия (F. Ali-Mehmeti, 1994; В.Л. Прядиев, A.B. Боровских, A.B. Копытин, Ю.В. Покорный 1999-2003; С. Cattaneo и L. Fontana, 2003; Найдюк Ф.О., Прядиев В.Л., Ситник С.М., 20032005; Прядиев В. Л., Прядиева Е. В., 2004; Глотов Н.В., Прядиев В.Л., 2006). Диссертация посвящена получению и доказательству явных формул, выражающих классическое решение волнового уравнения на геометрическом графе через начальные условия при a-гладких условиях трансмиссии и однородных краевых условиях первого и второго родов (как по отдельности, так и вместе). При этом минимизируются требования к регулярности начальных данных. Рассматриваемый в диссертации класс четверок (Г, Т, В, I) в работах предшественников во всей полноте не рассматривался. В частности, условия трансмиссии гарантировали самосопряженность лапласиана на геометрическом графе, что в прежних работах часто но существу использовалось. Кроме того, диссертация посвящена получению нового типа представлений для решения системы (1)-(2) - в виде

'см., напр., Ю.В. Покорный и др.: Дифференциальные уравнения на геометрическом графе // ФИЗМАТЛИТ, 2004 и обзорную часть там же.

интеграла с ядром, не зависящим от начальных данных. Все вышесказанное означает, что тема диссертации актуальна и представляет научный интерес.

Цель работы. Основных целей две: 1) доказать явное представление классического решения волнового уравнения на геометрическом графе с а-гладкими условиями трансмиссии через начальные данные при однородных краевых условиях первого рода, второго рода, а также первого и второго родов, при минимальных требованиях на регулярность начальных данных, 2) для той же начально-краевой задачи, но при ^(а^О) = 0, получить конечное представление ядра интегрального оператора, обращающего эту задачу относительно ихх(х, 0).

Методика исследований. В диссертации используются методы математической физики и дифференциальных уравнений на геометрических графах.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:

1) для классического решения волнового уравнения на геометрическом графе при а-гладких условиях трансмиссии и однородных краевых условиях первого и второго рода (в любом сочетании) получен аналог формулы Даламбера - при минимальных требованиях на регулярность начальных данных;

2) на основе аналога формулы Даламбера получено представление решения системы телеграфных уравнений на геометрическом графе в случае неискаженного сигнала;

3) для волнового уравнения на геометрическом графе при а-гладких условиях трансмиссии и однородных краевых условиях в одной граничной вершине первого рода, а в остальных - второго, получено конечное представление ядра интегрального оператора, обращающего эту начально-краевую задачу относительно ихх(х, 0) (при щ{х, 0) = 0), - представление через функцию Грина для индуцированного лапласиана;

4) для волнового уравнения па геометрическом графе-звезде с одной внутренней вершиной и тремя рёбрами при гладких условиях трансмиссии и краевых условиях только второго рода, получено конечное представление ядра интегрального оператора, обращающего начально-краевую задачу относительно ихх{х, 0) -представление через двупараметрическое семейство кусочно-линейных функций.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретичес-

кий характер. Полученные в ней результаты могут быть исиользованы в математической физике и в теории дифференциальных уравнений на геометрических графах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на: воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХУ1" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2005 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтешш-ХУН" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2006 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХУШ" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2007 г., II Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования", г. Воронеж, 2007 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-Х1Х" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2008 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХХ"—Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2009 г., Российско-китайском симпозиуме по комплексному анализу, г. Белгород, 2009 г., а также на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям (руководитель - профессор Солдатов А.П.) в Белгородском государственном университете, 2009 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[11]. В совместных работах [1], [2], [5], [8] и [11] Прядиеву В.Л. принадлежат постановка задачи и идея доказательства, а автору диссертации - сами доказательства. Работа [11] напечатана в издании, соответствующему списку ВАК РФ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объём диссертации 93 стр. Библиография содержит 51 наименование.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы и формулируются основные результаты • диссертации.

В первой главе даётся подробное описание всех объектов исследования. Здесь же вводятся понятия, используемые в ходе исследования и осуществляется постановка основной задачи.

В пункте 1.1 определяется конечный и связный открытый геометрический граф Г в Жп. Ограничимся далее случаем прямолинейных рёбер геометрического графа, когда Г есть связное объединение конечного числа прямолинейных интервалов 7i, 72, ... , 7т из Мп и некоторого множества их кондов, в которое включены все те концы, которые являются общими для хотя бы двух интервалов. Данные интервалы мы назовём рёбрами Г, а их концы, вошедшие в Г, - внутренними вершинами Г. Граничными вершинами Г называют концы рёбер, не вошедшие в Г. Их множество будем обозначать символом ¿)Г. Также предполагается, что 7; П jj = 0 при г ф j. Будем предполагать, что каждое ребро Г как-то сориентировано, т.е. каждому ребру 7 = (а;Ь) поставлен в соответствие вектор являющийся одиним из двух единичных векторов, кол-линеарных вектору b — а. Также для каждого х € Г (— Г U ЗГ) определим множество

Т(х) =f {h Е Rn | \h\ — 1 и (я + eh) 6 Г для достаточно малых е > 0}.

В пункте 1.2 для функции v : Г —► R определяется производная

+, ч def ,. v{x + eh) -v{x) vt{x)=hm---,

где x e Г и h 6 Т{х). Эту производную будем называть правой производной функции v в точке х по вектору h. Далее, если h £ Т(х), то для достаточно малых s > 0 выполнено также и включение h 6 Т(х + eh); поэтому можно определять и вторую правую производную функции v в точке х по вектору h:

++ der v*(x + eh)-vi(x)^

hh v ' e->o+ e

Пусть, по-прежнему, v : Г -> R, и пусть x E Г\J к h £ T(x). Пусть при этом в некоторой окрестности2 Ы точки х определена производная vфункции v по вектору h, определяемая в каждой точке у 6W равенством:

е-»0 е

Если существует вторая производная =f (vh)h то её договоримся

обозначать символом v"{x) и называть второй производной функции v по х;

2Ок]к'.стнгхтгь и Г понимает«! в смысле топологии, индуцированной на Г из Rn.

право на такое обозначение, не содержащее символа Л, объясняется тем, что в рассмотренной ситуации Т(х) = {/1;— к}, причём (и_/,)_Л (х) = (и/,)Л(ж). Если м : Г х (¿11 ¿2) —♦ ® (где ¿х, £2 € К) и при некотором £ е (¿1; ¿2) функция имеет вторую производную в точке х, то эту производную будем обозначать через ихх{:г,^.

В пункте 1.3 осуществляется постановка задачи. Рассматривается волновое уравнение (1) при условиях трансмиссии (2). Основная цель - получение явного описания волнового уравнения с а - гладкими условиями трансмиссии, т.е. получения аналога формулы Даламбера для системы (1)-(2) при краевых условиях первого рода, второго рода, а также первого и второго родов. Говоря здесь "аналог формулы Даламбера", имеем в виду формулу, представляющую решение через начальные данные в виде суммы прямой и обратной волн. Вторая основная цель - это получить конечное представление ядра интегрального оператора, обращающего ту же задачу относительно ихх(х, 0) - при щ(.г, 0) = 0.

Вторая глава посвящена получению формулы решения системы (1)-(2) при краевых условиях первого рода, второго рода, а также первого и второго рода.

Рассматривается волновое уравнение (1) при условиях трансмиссии (2). Предполагается, что а(х, К) — некоторые вещественные числа, такие, что

а(х, /1)^0 ИЛ

Нёг(х)

Тогда без ограничения общности можно считать, что кеТ(х)

Для системы (1)-(2) будем рассматривать следующую начально-краевую задачу:

и(я,£) = 0 (же ДО 0), (3)

их(х,{) = 0 {х£Ы, ¿>0), (4)

и(х,0) = <р(х) (хбГидГ), (5)

Нт = г/>(х) (ж € Г и дГ); (6)

здесь ПиН = дТаОпН = 0. Под решением задачи будем понимать непрерывную функцию и : Г х [0; оо) —> К, удовлетворяющую соотношениям (1)-(6).

Далее вводится в рассмотрение некоторое множество ориентированных ломаных, которое мы обозначим буквой Р. Ориентированную ломаную р с вершинами сц € Г, » = 0, к, перенумерованными согласно ориентации р, отнесём ко множеству Р, если, и только если,

1) У(г = 1,/с - 1) [а* е Л1дТ],

2) У(г = 0, А; — 1) [<ц ф щ+1 и (а*; 04+1) С Г \ 3\.

При этом мы допускаем, что некоторые звенья [о,-;о,+1], в том числе соседние,

могут совпадать или быть вложенными одно в другое. Точку ао будем называть

началом ломаной р, а точку ак — её концом. Длиной ломаной р назовём сумму

к-1

длин её звеньев [а;;аг+1], то есть - щ\.

¿=о

Каждой'паре {р, г), в которой р — ломаная из Р, а г — номер ее вершины, отличной от конца (т. е. г = 0, к — 1), поставим в соответствие число

-1, если йг £ дГ 2а(агД(р)),

если (г = 0)у((аг £ <9Г) Л ([0^1; ец] П [а*; а4+1] = {а;})) 2а(а{, Ы(р)) — 1, в остальных случаях

где 1) Ь((р) := |йг+1 - а;|_1(аг+1 ~ а;), и 2) если ао £ Г \ >7, то а(ао, /г) := 1/2 для любого к € Т(ао). Положим

Введём в рассмотрение оператор действующий в пространстве определённых на Г функций по правилу:

ш ■■=

№)ОС®)

£ ßpttep)> если г € Г и t > 0 peP(i,i)

0, если х £дТ и t > 0 С(х), если я€Ги<ЭГи4 = 0

где P{x,t) есть множество всех ломаных из Р с началом в точке ж и длины t, а ер, здесь и далее, обозначает конец р.

Показано, что без ограничения общности можно считать, что N = 0, и в этом предположении доказана приведенная ниже

Теорема 1, Пусть (риф непрерывны на Г, причём для любого ребра 7 сужения р" |7 и ■ф' |7 функций и ф' на это ребро равномерно непрерывны на нем. Пусть для любой х^.3

= (¥>№) (хе^ М еТ(х)). (8)

Пусть также

Ф,Ь)ч>£(х) = о (хе а),

ЛеГ(з)

£ а{х,Н)ф^{х) = 0 (хеЗ),

Лег(х)

ф) = ф(х) = (<р+)+(х) =0 (х € Д Л 6 Т(х)). Тогда решение задачи ^—^ существует, единственно и даётся формулой:

■ Уо

f vx{x, t) + L{x) ■ it{x, t) + R(x) ■ i(x, t) = 0 . t > '

\ ix{x,t) + C{x)- vt(x,t) + G{x)- v(x,t) = 0

где ¿(z, £) - сила тока (в соответствии с ориентацией ребер Г), v[x, t) - напряжение, L(x), R(x), G(x), G(x) - характеристики электрической цепи (погонные плотности индуктивности, сопротивления провода, ёмкости и проводимости изоляции), которые будем предполагать постоянными на каждом ребре Г. Другими словами, если у ребро Г, то L |7= const, R |7= const, С |7= const, G |7= const. Кроме того, функции L,R,CnG будем считать положительными на Г \ J.

Помимо системы (9), функции v и i должны удовлетворять еще следующим условиям (условиям трансмиссии во внутренних вершинах Г):

v( •, t) непрерывна в точках J (t > 0) (10)

У2 \{a,h) lim i{a + eh,t)=0 {aej,t> 0), (11)

h&T(a)

где [а + еЛ)еГ при достаточно малых е > 0, А(а, h) = 1, если h = /г7, где 7 -ребро Г, которому принадлежит точка (а + eh) при достаточно малых е > 0, и \(a,h) = — 1 в противном случае.

Что касается краевых условий, то будем предполагать их следующими:

lim v(xht) = 0 (ж € D,t > 0), (12)

Ii—*Х

lim i(xht) = 0 (х € N,t > 0), (13)

Х\—*х

где D и N - подмножества <9Г такие, что DU N — дТ, D П N = 0.

Решением краевой задачи (9)-(13) мы будем называть пару функций v и г, обладающих следующими свойствами:

1) v определена и непрерывна на Г х [0;+оо), ut определена и непрерывна на Г х (0;+оо), г определена и непрерывна на (Г\,7) х [0;+схэ), а it определена и непрерывна на Г х (0; +оо);

2) если 7 - ребро Г, то сужение функции it на 7 х (0; +оо) непрерывно доопределяемо на 7 х [0; +оо);

3) v и vt непрерывно доопределяемы на Г х [0;+оо);

4) если 7 - ребро Г, то сужения функций vx,i,ix на 7 х [0;+оо) непрерывно доопределяемы на 7 х [0;+оо);

5) на (Г \ J) х (0; +оо) существуют и равны друг другу itx и ixt, причём обе эти функции непрерывны на каждом связном и ограниченном множестве из (Г \ t7) х (0; +00);

Ь) v ni удовлетворяют равенствам (9)-(13).

Основной вопрос, который изучается в настоящем пункте - это описание решения задачи (9)-(13) через начальные функции: v(x,0) и г(х,0). Пусть

v(x, 0) = ф) (х S Г), (14)

г(х,0)=ф(х) (xeT\J). (15)

С помощью теоремы 1 доказывается следующая

Теорема 2.Пусть коэффициенты системы (9) удовлетворяют следующим R G

равенствам: — = —, LC = 1. Пусть непрерывна на Г и непрерывно доопре-

_JU Ü _

деляема на Г, а ф'/С непрерывна наГ\3 и непрерывно доопределяема на Г. Далее, пусть для любого ребра 7 сужения <р"\у и i//'|7 равномерно непрерывны ш 7. Пусть, далее,

£ %+(i) = О (x£j),

heT(x)

где ä(x. t) = (lim L(x -f eh, t))-1, а также

£-•0+

lim Ф"{х + £b) = 0 (же J).

htTix)^

Пусть, кроме того, </> удовлетворяет условию (8) и

lim <p{xi) = 0 = lim ip"(xi) (х £ D), lim i>'{xi) = 0 (iED),

Xi—>x

lim ip'{x) = 0 = lim i>"(xi) (x € N).

X\—*X Xi~*X

Тогда решение задачи (9)-(15) существует, единственно и представимо в виде:

v(x,t) = e~"4i(a;,t) i{x,t) = e-vt

где t

u(x,t) = [C№)(x)+ [ mC](x)dT,

J о

ар u( - непрерывные доопределения на Г функций <р и —ф'/С соответственно.

В третьей главе устанавливается интегральное представление решения задачи (1)-(6) при ф = 0 для двух случаев: 1) ] D ]= 1 (т.е. =| ЗГ ) -1), 2) D = 0 (i.e. | вГ |= |ЛГ|).

Рассматривается то же самое множество ориентированных ломаных Р, что и в пункте 2.1. Здесь каждой паре (p,i) ставится в соответствие число ßi(p),

Г 1 il

- щ J их(х, r)dr

ш =

def

определяемое несколько иначе: —1, если ai — b 1, если щедГ\ {6} 2а{аи Ы(р)),

если (г = 0)v((ai £ дГ) Л ([а^;^] П [а*; ai+i] = {aj)) 2а (oj, Л*(р)) — 1, в остальных случаях

По-прежнему, определим ¡Зр равенством (7) и введём в рассмотрение оператор Ci(t), действующий в пространстве определённых на Г функций по правилу:

Ррр{ер), если £бГ\{£>}и£>0

О, если х ~ Ь и i > О ip(x), если х 6 Г и t = О Теорема 3. Пусть Ъ - некоторая точка из дТ, и пусть в задаче (1)-(6) D = {£>}, JV = <9Г \ {£>}, ф = Q. Пусть функция tp удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 1 и, кроме того,

<р'(х) = 0 (а; е аГ\ {Ь}). Пусть G есть функция, получаемая из функции Грина G краевой задачи

-y"(x) = f{x) (zer \j), (16)

Ф^)у+(х) = 0 (iej), (17)

heT(x)

у(х) = О (® = Ь), (18) ■

у'(х) = о (хедг\{ь}) (19)

доопределением3 по непрерывности с Г х (Г \ JT) на Г х (Г \ J). Пусть g{x,t-,s) = [Ci(i)G(-,s)](x),

где оператор Ci(t) применяется к G, как к функции ее первого аргумента. Тогда функция и(х, t), определяемая равенством

и{х, t) = - J g(x, t; s)ip"(s) ds,

3Функция Грина задачи (16)—(19) понимается здесь в соответствии со связной версией задачи (16)—(19) (см. пункт 3-2 в монографии Покорного Ю.В. [и др.] // Дифференциальные уравнения па геометрических графах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 272 е.); в частности, это означает, что G определена на Г х (Г \ J).

является решением задачи (1) — (6), причём единственным.

В пункте 3.2 рассматривается решение волнового уравнения на графе с краевыми условиями второго рода во всех граничных вершинах. Особенностью этого пункта является то обстоятельство, что для данной задачи функция Грина, рассматриваемая в пункте 3.1, не существует. В настоящем пункте мы ограничиваемся случаем геометрического графа:

Г = и (а,6г) и {а}, ¿=1

где 61 ф ¿>2 ^ ^3) Ь ф Ъ\, а ф Ь,, (г = 1,3). На этом графе рассматриваем задачу (1) - (6), но только при условии, что П = 0 (т.е. N = {61,62,63}) и ф = 0. Кроме того, мы рассматриваем не а-гладкие условия трансмиссии (2), а просто гладкие.

Другими словами, мы рассматриваем задачу

ихх(х,г) =ии{х,{) (г £Г \ {а}, £ > 0), (20)

£<(М) = 0 (<>0), (21)

Дет(а)

их(х,г) = 0 (яедГ, 4 > 0), (22)

и(®,0) = <р(®) (я 6 Г),' (23)

и((ж,0+) = 0 (я 6 Г). (24)

Будем искать представление решения задачи (20)-(24) в иной форме, нежели чем в предыдущей теореме.

Пусть функция Ох^э 1,52) действует из Г х (Г \ {а}) х (Г \ {а}) в Я. и

1) Охх{х, й!, в2) = 0 при геГ\{а, й2},

2) если 51 ф и Ы € Т(в<), то О^^вь з2) + ¿^(в^ьвг) = (~1)\

3) 5, з) = 0,

4) ^(а, в!, в2) = 0 (здесь все производные - по первому аргументу), Ьб Т(а) _

5) для всех г = 1,3 выполнено (-¡^(б,, в], й2) = 0,

6)/С(х,31,з2)(1х — 0. г

На этот раз каждой паре (р,г) поставим в соответствие число определяемое так:

т =

1, если щ 6 дГ 2а {<м,Ы{р)),

если (г = 0)у((сц £ <9Г) Л ([04-1; а;] П [а^а^] = {а»})) ^ 2а(<3г, Ы(р)) — 1, в остальных случаях

По-прежнему, определим ¡Зр равенством (7), и пусть Сг(£)- операторная функция, определяемая следующим равенством:

кмадм =

¡Зр<р(ер), если х е Г и t > О

О, если а: £ ЗГ и £ > О (/5(2:), если а: 6 Г и £ = О

Теорема 4. Пусть функция 1р удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 1 и, кроме того,

ч!(х) = О (хедГ).

Пусть также

^¡ггЬт/*'1*-0, (25)

где к — \Ьг — а|, ¿ = 1,3. Тогда решение задачи (20)-(24) существует, единственно и представимо в виде:

и{х,Ь)~-! У (26)

г г

где д{х,1,51^2) = . , ] , , [С2(<)<?( •, яь (х).

¿1 + ¿2 + '3

Замечание. Следует отметить существенную деталь: функция С?, фигурирующая в этой формуле, кусочно-линейна по первому аргументу.

Следствие. Пусть выполнены все условия теоремы 4, кроме, может быть, условия (25). Тогда решение задачи (20)-(24) существует, единственно и предста-вимо в виде:

и{х, г) = <ро - J у 5(1, «1, г г

В заклктчение автору хотелось бы выразить глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю кандидату физ.-мат. наук, доценту В.Л. Прядиеву за постановку задачи и всестороннюю помощь в ходе исследования.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Коровина, О.В. О представлении решения волнового уравнения на одномерной пространственной сети/ Коровина О.В., Прядиев В.Л.// Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-ХУ1". - Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 45-47.

[2] Коровина, О.В. О системе телеграфных уравнений на геометрическом графе/ Коровина О.В., Прядиев В.Л.// Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-ХУН". - Воронеж: ВГУ, 2006. - С. 13-15.

[3] Коровина, О.В. О представлении решения волнового уравнения на геометрическом графе ири единственной закрепленной граничной вершине/ Коровина О.В.// Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-ХУШ". - Воронеж: ВГУ, 2007. - С. 92-93.

[4] Коровина, О.В. О телеграфном уравнении на геометрическом графе/ Коровина О.В.// Совершенствование преподавания физико-математических и общетехнических дисциилин: Сб. науч. тр. - Вып.4. - Борисоглебск: Борисоглебский госпединститут, 2007. - С. 24-27.

[5] Коровина, О.В. Одно представление решения волнового уравнения на геометрическом графе при одной закрепленной граничной вершине/ Коровина О.В., Прядиев В.Л.// Труды математического факультета [Текст]: сборник научных, трудов. Вып. 11; ВГУ. - Воронеж: Новая книга, 2007. - С. 101-120.

[6] Коровина, О.В. О начальной задаче для волнового уравнения на геометрическом графе при одной закрепленной граничной вершине/ Коровина О.В.// Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы II Междунар. науч. конф. - Воронеж: ГОУ ВПО "Воронежская государственная технологическая академия". - 2007. - С. 104-105.

[7] Коровина, О.В. Представление решения волнового уравнения на геомет-

рическом графе при краевых условиях второго рода/ Коровина О.В.// Совершенствование преподавания физико-математических и общетехнических дисциплин в ВУЗе и школе: Сб. научн. тр. - Вып. 5. - Борисоглебск: Борисоглебский госпединстигут, 2008. - С. 47-48.

[8] Коровина, О.В. Интегральный оператор, обращающий волновое уравнение на геометрическом графе при краевых условиях второго рода/ Коровина О.В., Прядиев В.Л.// Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-XIX". - Воронеж: ВГУ, 2008. - С. 118-119.

[9] Коровина, О.В. Интегральный оператор, обращающий волновое уравнение на геометрическом графе при одной закрепленной граничной вершине/ Коровина О.В.// Материалы ежегодной научной конференции преподавателей и студентов. Работы преподавателей. 4.2/ Под ред. М.О. Фоминых.-Ворисоглебск: ГОУ ВПО "БГПИ". - 2008. - С. 84-85.

[10] Коровина О.В. Решение смешанной задачи для волнового уравнения на геометрическом графе в случае ненулевой начальной скорости/ Коровина О.В.// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-XX". - Воронеж: ВГУ, 2009. - С. 96-97.

[11] Коровина, О.В. Структура решения смешанной задачи для волнового уравнения на компактном геометрическом графе - случай ненулевой начальной скорости/ Коровина О.В., Прядиев В.Л.// Изв. Сарат. ун-та, Нов. сер. Сер. ■Математика. Механика. Информатика. - 2009. - Т. 9, вып. 3. - С. 37-46.

Подписано в печать 18.11.2009. Гарнитура Times New Roman. Формат 60 х 84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 20S. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Коровина, Олеся Вячеславовна

Введение

Глава

Основной объект исследования и постановка задачи

1.1 Понятие геометрического графа и основные определения.

1.2 Определение производной для функции, заданной на геометрическом графе.•.

1.3 Волновое уравнение на геометрическом графе с а-гладкими условиями трансмиссии.

Глава

Решение волнового уравнения на геометрическом графе при краевых условиях первого рода

2.1 Структура решения смешанной задачи для волнового уравнения на геометрическом графе.

2.1.1.Постановка задачи

2.1.2.Решение начально-краевой задачи (27)-(32) в форме Даламбера

2.2 Решение систем телеграфных уравнений на геометрическом графе в случае неискаженного сигнала.

2.2.1 Описание основного объекта исследования

2.2.2 Редукция к волновому уравнению на геометрическом графе.

Глава

Интегральное представление решения волнового уравнения на геометрическом графе при а-гладких условиях трансмиссии

3.1 Представление решения волнового уравнения на геометрическом графе при одной закрепленной граничной вершине.

3.2 Случай условий Неймана.

Введение диссертация по математике, на тему "О некоторых свойствах решений волнового уравнения на геометрическом графе"

Настоящая работа посвящена исследованию волнового уравнения ихх(х, t) = иа(х, t) (х е Г \ J, t> 0)

1) с а-гладкими условиями трансмиссии h)u+(x, t)= 0 (ж е J, t> 0),

2) h€T(x) где Г - геометрический граф, J - множество внутренних вершин Г, Т{х) -множество допустимых единичных направлений в точке х , t) - правая производная функции и{ •, t) в точке х по вектору h, a(x,h) - заданные числа. Основная цель работы - получение конечного описания решения указанного уравнения с данными условиями трансмиссии через и{х\ 0) и щ(х; 0).

Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.

Интенсивное изучение дифференциальных уравнений па геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось около 30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [33, 47, 46, 49]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [28, 33, 48, 49]), деформаций упругих сеток (см., например, [33, 49]) и струнно-стерж-невых систем [1, 32], диффузии в сетях [7, 33, 49], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [42, 50, 51], бифуркаций вихревых течений в жидкости [44], гемодинамики (см., например, [29]), колебаний сложных молекул (см., например, [4, 30]), расчёт гидравлических сетей см., например, [6]); приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (см., например, [8, 9, 31, 48]).

Изучение волнового уравнения на геометрическом графе началось сравнительно недавно. Одной из первых работ в этом направлении можно считать монографию F. Ali-Mehmeti "Nonlinear waves in networks", вышедшую в 1994 году. В ней для частного случая графа, имеющего структуру креста, составленного из четырех одинаковых ребер, предъявлено решение волнового уравнения в форме Даламбера. На произвольном же конечном графе с привлечением теории полугрупп доказаны существование, единственность и регулярность решения задачи Котии для гиперболического уравнения общего вида.

Помимо исследования структуры и асимптотики спектра и оценок резольвенты, следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность - см. [21, 34], 2) обосновать корректность начальной задачи [22], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [38]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недиффе-реициальных) уравнений с конечным числом запаздываний [35]. Отметим здесь также работы [2]-[3], в которых метод Римана переносится на гиперболическис уравнения на геометрических графах. В случае волнового уравнения на геометрическом графе при условиях трансмиссии, описывающих 5- и 6'-взаимодействие в узлах сети, для некоторых классов геометрических графов, краевых условий и условий трансмиссии получены формулы, содержащие конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение (см. [23]-[25]).

Разумеется, при применении метода разделения переменных возникает спектральная задача типа Штурма-Лиувилля, которая изучалась многими авторами как за рубежом, так и у нас в стране (Nicaise S., Ali-Mehmeti F., von Below J., Покорный 10.В., Пенкин O.M., Завгородний М.Г., Прядиев В.Л., Юрко В.А. и др.)

Что касается описания решения через начальные данные в форме типа Даламбера, то такое описание получено для различных видов условий трансмиссии, начальных условий и краевых условий:

1) Боровских А.В., Копытиным А.В., Прядиевым B.JI. (см. [21, 34]): для условий трансмиссии

У^ а(х, h)u£(x, t) = 0 (х G J, t > 0), h£T(x) в которых а(х: К) > 0, причем, если х\ и хч - разные концы ребра, a h -вектор, определенный равенством я>2 — х\ =| Х2 — х\ | -h} то ai(xi, К) ~ — а(х2, —h); при этом данные авторы рассматривали случай щ(х, 0) = 0 при краевых условиях первого рода;

2) Cattaneo С., Fontana L. (см. [46]): для того же случая, что и в п. 1), но с краевыми условиями второго рода;

3) Найдюком Ф.О., Прядиевым B.JL, Ситником С.М. (см. [25, 26, 27]): для условий трансмиссии вида u£(x,t) = k(x)u(x,t) {xGj, t> 0), h£T(x)

ИЛИ u^(x,t) = m(x)utt(x,t) (xej, t> 0), heT{ x) где k(x) =| T(x) | или m(x) =| T(x) |, при щ(х, 0) = 0, причем только для некоторых частных случаев графа, обладающих некоторой симметрией;

4) Прядиевым B.JL, Прядиевой Е.В. (см. [37, 40]): для условий трансмиссии

Г и+(х, t) = k(x)utt(x, t) (х G J, t > 0), h€T(x) где k(x) =| T(x) I, ut(x, 0) = 0, при краевых условиях первого рода или при дГ = 0;

5) Глотовым Н.В., Прядиевым В.Л. (см. [5]): для условий трансмиссии

Т^ t) — ц(х)щ{х, t) (х G J, £ > 0),

ЫТ[х) где \i{x) =| T(x) |, при ut{x, 0) = 0 и краевых условиях первого рода или дГ = 0.

В свете вышеизложенного, изучение возможности получения конечного описания решения волнового уравнения на геометрическом графе с а-глад-кими условиями трансмиссии и анализ свойств этого решения представляется и актуальным, и естественным продолжением уже проведённых исследований для волнового уравнения на геометрическом графе. Настоящую работу можно рассматривать как один из шагов в этом направлении.

Основных целей две: 1) доказать явное представление классического решения волнового уравнения на геометрическом графе с а-гладкими условиями трансмиссии через начальные данные при однородных краевых условиях первого рода, второго рода, а также первого и второго родов, при минимальных требованиях на регулярность начальных данных, 2) для той же начально-краевой задачи, но при щ(х, 0) = 0, получить конечное представление ядра интегрального оператора, обращающего эту задачу относительно ихх(х, 0).

Перейдём к краткому описанию основных результатов диссертации.

В пункте 1.1 определяется конечный и связный открытый геометрический граф Г в Мп. Ограничимся далее случаем прямолинейных рёбер геометрического графа, когда Г есть связное объединение конечного числа прямолинейных интервалов 71, 72, . , 7?n из Rn и некоторого множества их концов, в которое включены все тс концы, которые являются общими для хотя бы двух интервалов. Данные интервалы мы назовём рёбрами Г, а их концы, вошедшие в Г, - внутренними вершинами Г. Граничными вершинами Г называют концы рёбер, не вошедшие в Г. Их множество будем обозначать символом <9Г. Также предполагается, что ji П 7j = 0 при i j. Будем предполагать, что каждое ребро Г как-то сориентировано, т.е. каждому ребру 7 = (а; Ь) поставлен в соответствие вектор h7, являющийся одиним из двух единичных векторов, коллинеарных вектору Ъ — а. Также для каждого х Е Г (= Г U <ЭГ) определим множество

Т{х) =f {h G Rn I \h\ — 1 и (x + eh) e Г для достаточно малых е > 0}.

В пункте 1.2 для функции v : Г —» Ж определяется производная , ч def v v(x + eh) - v(x) vtix) = lim ---—,

11 4 ' £->0+ £ где ж G Г и h E T(x). Эту производную будем называть правой производной функции v в точке х по вектору h. Далее, если h £ то для достаточно малых £ > 0 выполнено также и включение h € Т(х + eh); поэтому можно определять и вторую правую производную функции v в точке ж по вектору /г: х def vt(x + eh) - vt{x) vt,, (ж) = lim —---s-^-A nn v ' £-^0+ £

Пусть, по-прежнему, v : Г —> R, и пусть ж€Г\17и/ге Т(ж). Пусть при этом в некоторой окрестности1 Ы точки х определена производная Vh функции v по вектору /г, определяемая в каждой точке у 6 равенством: \ def ,. у(у + eh) - v(y) vh{y) = lim---. о е

Если существует вторая производная г>/4/4(ж) =f (vh)h(x), то её договоримся обозначать символом v"(x) и называть второй производной функции v по ж; право на такое обозначение, не содержащее символа h, объясняется тем, что в рассмотренной ситуации Т(х) = {/г;—/г}, причём (v^h)h(x) = (г>/г)/г (ж). Если и : Г х (ti; t2) —► К. (где ti, ti £ R) и при некотором t € (£i; £2) функция и{ ■, t) имеет вторую производную в точке ж, то эту производную будем обозначать через uxx(x,t).

Вторая глава посвящена получению формулы решения системы (1)-(2)

Окрестность в Г понимается в смысле топологии, индуцированной на Г из R". при краевых условиях первого рода, второго рода, а также первого и второго рода.

Рассматривается волновое уравнение (1) при условиях трансмиссии (2). Предполагается, что а(х, К) — некоторые вещественные числа, такие, что ж, Л) ^ о (xej). keT(x)

Тогда без ограничения общности можно считать, что ot{x,h) = 1 (хе J). heT(x)

Для системы (1)-(2) будем рассматривать следующую начально-краевую задачу: u(x:t) = 0 {xeD,t^ 0), (3) ux{x,t) = 0 (xeN:t^0), (4) и(х,0) = (р(х) (:геГидГ), (5) lim ut(x, t)=if)(x) {x e Г U <9Г); (б) здесь D U N = дТ и D П N = 0. Под решением задачи будем понимать непрерывную функцию и : Г х [0; сю) —> R, удовлетворяющую соотношениям

1Н6).

Далее вводится в рассмотрение некоторое множество ориентированных ломаных, которое мы обозначим буквой Р. Ориентированную ломануто р с. вершинами € Г, г — 0, к, перенумерованными согласно ориентации р, отнесём ко множеству Р, если, и только если,

1) У (г = 1,к-1) [щ е J U дГ],

2) V(i = 0, к - 1) [щ ф di+i и (at-; аг+1) С Г \ J].

При этом мы допускаем, что некоторые звенья [щ] az-+i], в том числе соседние, могут совпадать или быть вложенными одно в другое. Точку ао будем называть началом ломаной р, а точку а^ — её концом. Длиной ломаной р назовём к-1 сумму длин её звеньев [af, a^+i], то есть ^ \щ+\ — щ\> г=О

Каждой паре (р, г), в которой р — ломаная из Р, a, i — номер её вершины, ш ■■= отличной от конца (т. е. г — 0, к — 1), поставим в соответствие число —1, если cii € <9Г

2 а((н,Ы(р)), если (i = 0)v((oi £ <9Г) Л ([a,i; af] П [a,; a7;+i] = (aj)) 2a(a,i, hi(p)) — 1, в остальных случаях где 1) hi(p) := |ai+i - az-|1(a;+i - Of), и 2) если a0 6 Г \ J, то a(a0, Л) := 1/2 для любого h £ T(aо). Положим

1 ifc-i i=0

Введём в рассмотрение оператор С(£), действующий в пространстве определённых на Г функций по правилу:

С(£)С](я) :=

Y^ РрС(ер), если х е Г и t > 0 peP(x,t)

0, если х Е <9Г и t > 0 '

С(ж), если жеГи<9Ги£ = 0 где P(x,t) есть множество всех ломаных из Р с началом в точке х и длины £, а ер, здесь и далее, обозначает конец р.

Теорема 1. Пусть (риф непрерывны на Г; причём для любого ребра 7 сужения ip" |7 и ф' |7 функций <р" и ф' на это ребро равномерно непрерывны на нем. Пусть для любой х G J xej7 h,VeT(x)). (8)

Пусть также а(я,Л)у>+(аО = 0 ^ J), heT{x) а(х,}г)ф+(х) = 0 (xej), heT(x) ф) = ф{х) = = 0 (яг 6 Д he Т(х)).

Тогда решение задачи (1)-(6) существует, единственно и даётся формулой: u(x,t) - [C(t)<p](x) + (\с{тЩ{х)в,т.

J о

В пункте 2.2. рассматривается система телеграфных уравнений, которая возникает при моделировании распространения волн перенапряжения в электрической двухпроводной сети: vx{x,t) + L{x) ■ it(x,t) + R{x)- i(x, t) — 0 x ет \j, t > o), (9) ix(x,t) + C(x) • vt(x,t) + G(x) • v(x,t) = 0 где i(x,t) - сила тока (в соответствии с ориентацией ребер Г), v(x,t) - напряжение, L(x), R(x), C(rr), G{x) - характеристики электрической цепи (погонные плотности индуктивности, сопротивления провода, ёмкости и проводимости изоляции), которые будем предполагать постоянными на каждом ребре Г. Другими словами, если 7 ребро Г, то L |7= const, R |7= const, С |7= const, G |7= const. Кроме того, функции L, R, С и G будем считать положительными на Г \ J.

Помимо системы (9), функции v и г должны удовлетворять еще следующим условиям (условиям трансмиссии во внутренних вершинах Г): v( •, t) непрерывна в точках J (t > 0) (10) и a,h) lim i(a + eh,t) = 0 (aej,t> 0), (11) h£T{a) где (a -1- eh) € Г при достаточно малых е > 0, Х(а, К) = 1, если h = /г7, где 7 - ребро Г, которому принадлежит точка (а + eh) при достаточно малых е > 0, и А (а, /г) = — 1 в противном случае.

Что касается краевых условий, то будем предполагать их следующими: lim v(xi, t) = 0 {х е Д t > 0), (12)

Х\—>х lim г{хъ t) = 0 (xeN,t> 0), (13)

Xi~>х где D и N - подмножества 5Г такие, что D U N = <ЭГ, D П N = 0.

Решением краевой задачи (9)-(13) мы будем называть пару функций v и г, обладающих следующими свойствами:

1) v определена и непрерывна на Г х [0; +оо), vt определена и непрерывна на Г х (0; +оо), г определена и непрерывна на (Г\ J") х [0; +оо), a it определена и непрерывна на Г х (0; +оо);

2) если 7 - ребро Г, то сужение функции ц на 7 х (0; +оо) непрерывно доопределяемо на 7 х [0; +оо);

3) v и vt непрерывно доопределяемы на Г х [0; +оо);

4) если 7 - ребро Г, то сужения функций vx, i, ix на 7 х [0; +оо) непрерывно доопределяемы на 7 х [0; +оо);

5) на (Г \ J) х (0; +оо) существуют и равны друг другу itx и ixt, причём обе эти функции непрерывны на каждом связном и ограниченном множестве из (Г \ J) х (0; +оо);

6) v и i удовлетворяют равенствам (9)-(13).

Основной вопрос, который изучается в настоящем пункте - это описание решения задачи (9)-(13) через начальные функции: г>(ж,0) и г(гс,0). Пусть v(x, 0) = ф) (х £Г), (14)

Цх,0)=ф(х) (xer\J). (15)

С помощью теоремы 1 доказывается следующая

Теорема 2.Пусть коэффициенты системы (9) удовлетворяют следующим равенствам: у- = LC = 1. Пусть </? непрерывна на Г и непрерывно li су доопределяема на Г, а ф'/С непрерывна на и непрерывно доопределяема на Г. Далее, пусть для любого ребра 7 сужения <//'|7 и ф"\7 равномерно непрерывны па 7. Пусть, далее,

Y, = 0 (xej), heT(x)

-1 где а{х, t) = ^ lim L(x + e/i, t)j , а также

У^ lim ^"(rc + e/i) = О (же »7). h£T{x)

Пусть, кроме того, (p удовлетворяет условию (8) и lim <£>(£1) = О = lim p>"{xi) (х G D),

X\-+X Xi^X lim ф'{х{) = 0 (x G D),

Xl— lim = 0 = lim ф"{хх) (x € N).

Xi~*X Xi^tX

Тогда решение задачи (9)-(15) существует, единственно и представимо в виде: v(x,t) = e~uiu(x,t) i(x,t) = e~ut где и

1 г

Ф{х) ~ ТГ\ / и*(х>

L\x) J о

M) = [C(i)¥>](aO + /W)C](s)dr,

J о О аТр и Q - непрерывные доопределения на Г функций <р и —ф'/С соответственно.

В третьей главе устанавливается интегральное представление решения задачи (1)-(6) при ф = О для двух случаев: 1) | D |= 1 (т.е. \N\ =| <9Г | —1), 2) D = 0 (т.е. | дГ |= |JV|).

Рассматривается то же самое множество ориентированных ломаных Р, что и в пункте 2.1. Здесь каждой паре (р, г) ставится в соответствие число

AGO = < определяемое несколько иначе: 1, если аг = b 1, если o.i е <ЭГ \ {6} 2 a(ai:hi(p)), если (г = О) V((a?- £ <9Г) Л ([a;i; aj П ai+i] = {а,-})) 2a(a1,hl(p)) — 1, в остальных случаях По-прежнему, определим (Зр равенством (7) и введём в рассмотрение оператор Ci(t), действующий в пространстве определённых на Г функций по правилу:

СгШМ = <

PpVicp), если х G Г \ {6} и t > О

PeP{x,t)

О, если х = Ь и t > О (^(ж), если х Е Г и £ = О Теорема 3. Пусть Ь - некоторая точка из дТ, и пусть в задаче (1)-(6) D = {6}, N — 5Г \ {&}, ф = 0. Пусть функция ip удовлетворяет тем же условиям, что и в теореме 1 и, кроме того, р'{х)= 0 (:хедТ\{Ь}).

Пусть G есть функция, получаемая из функции Грина G краевой задачи

-i/\x) = f(x) (хеТ \j), (16) a(x,h)y+(x) = 0 (х е J), (17) h£T(x) у(х) = 0 (х = Ь), (18) у(х) = 0 (хедГ\ {Ъ}) (19) доопределением по непрерывности с Г х (Г \ J) на Г х (Г \ J"). Пусть g{x, t] s) =f [Ci(i)G(-jS)] (ж), где оператор C\(t) применяется к G, как, к функции её .первого аргумента. Тогда функция u(x,t), определяемая равенством i(x, t) = - J g(x, t\ s)<p"(s) ds, и является решением задачи (1) — (6), причём единственным.

Г= U (a, bi) U {а}, г=1 где Ъ\ ф 62, Ф ^з, ^з Ф bi, а ф (г = 1,3). На этом графе рассматриваем задачу (1)-(6), но только при условии, что D = 0 (т.е. N = {&1,&2,^з}) и ф = 0. Кроме того, мы рассматриваем не ск-гладкие условия трансмиссии (2), а просто гладкие.

Другими словами, мы рассматриваем задачу uxx{x,t)=uu(x,t) (ж G Г \ {а}, *>0), (20) 0 (t> 0), (21)

ЛбГ(а) ux(x,t) = 0 {х £ дГ, t> 0), (22) и{х,0) = (р{х) (х G Г), (23) ut(®,0+)=0 (же Г). (24)

Пусть функция G(x, Si, s2) действует из Г х (Г \ {а}) х (Г \ {а}) в R и

1) Gxx(x, si, s2) = 0 при х е Г \ {a, sx, s2},

2) если si ф s2 и hi е T(s;), то sb s2) + G^/J^, sb s2) = (-1)г,

3) G{x, s, s) = 0,

4) C/!~(a> si, s2) = 0 (здесь все производные - по первому аргументу), heT(a)

5) для всех г = 1,3 выполнено Gx(bi, s\, s2) = 0,

6) f G(x, s 1, S2)dx = 0. г т = <

На этот раз каждой парс (р, г) поставим в соответствие число fli(p), определяемое так:

1, если di G дТ 2 а(аг,Ы(р)), если (г = 0) V((а» £ <9Г) Л ([a*-i; а»] П [а»; a^+i] = {«г})) 2a(cii,hi(p)) — 1, в остальных случаях По-прежнему, определим (Зр равенством (7), и пусть C2{t) ~ операторная функция, определяемая следующим равенством:

ЫШх) =

Зр<р{ер), если х G Г и t > О p€P(x,t)

О, если ж G дГ и t > О если a; G Г и £ = О

Теорема 4. Пусть функция ip удовлетворяет тем ж.с условиям, что и в теореме 1 и, кроме того, (р'(х) = 0 (х G <ЭГ). Пусть также

J ip(s)ds = 0, (25) def 1 l\+ l2 + h Г zdeli — \b(—a\, i = 1,3. Тогда решение задачи (20)-(24) существует, единственно и представимо в виде: u{x,t) = - J J g(x:t,sbs2)(p"(s2)dsids2i (26) г г где g{x, t, sb s2) = 1 (*)<?( ■, Si, s2)] (x).

L\ + l2 + h

Следствие. Пусть выполнены все условия теоремы 4, кроме, может быть, условия (25). Тогда решение задачи (20)-(24) существует, единственно и представимо в виде: и(х, t) = ip0- J J g{x, t, si, s2)<p"{s2)dsids2. г г

Перечисленные выше основные научные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в [10]-[20]. В совместных работах Прядиеву B.JI. принадлежит постановка задачи и идея доказательства, а автору диссертации доказательства утверждений. Работа [20] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК РФ.

Результаты диссертации докладывались на: воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVI" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2005 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVII" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2006 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XVTII" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2007 г., II Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования", г. Воронеж, 2007 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XIX" — Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2008 г., воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХХ"—Современные методы теории краевых задач, г. Воронеж, 2009 г., Российско-китайском симпозиуме по комплексному анализу, г. Белгород, 2009 г., а также на семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям (руководитель - профессор Солдатов А.П.) в Белгородском государственном университете, 2009 г.

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разделенных на пункты, и списка литературы. Объем диссертации 93 стр. Библиография содержит 51 наименование.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Коровина, Олеся Вячеславовна, Белгород

1. Гаршин, С.В. Нелокальное условие разрешимости аналога задачи Гурса для гиперболического уравнения на графе-звезде/ С.В. Гаршин// Международная конфер. по диф. уравнениям и динамическим системам: тез. докл. Суздаль, 2004. - С. 55-56.

2. Герасименко, Н.И. Задача рассеяния на некомпактных графах/ Н.И. Герасименко, Б.С. Павлов// Теоретическая математ. физика. 1988. -Т. 74, № 3. - С. 345-359.

3. Гудзовекий, А.В. К расчёту гидравлических сетей/ А.В. Гудзовский// Докл. АН. 1988. - Т. 358, № 6. - С. 765-767.

4. Каменский, М.И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети/ М.И. Каменский, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Докл. РАН. -1999. Т. 368, № 2. - С. 157 - 159.

5. Комаров, А.В. О приближении многомерных объектов одномерными: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук./ А.В. Комаров// Воронеж, 2003. С. 18.

6. Комаров, А.В. О спектре равномерной сетки из струн/ А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный// Изв. вузов. 2000. - Т. 463, № 4. -С. 23-27.

7. Коровина, О.В. О телеграфном уравнении на геометрическом графе/ Коровина О.В.// Совершенствование преподавания физикоматематических и общстехнических дисциплин: Сб. науч. тр.-Выи.4-Борисоглебск: Борисоглебский госпединститут, 2007. С. 24-27.

8. Копытин, А.В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми рёбрами/ А.В. Копытин, В.Л. Прядиев// Вест. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Матаматика. 2001. № 1- С. 104-107.

9. Копытин, А.В. Об ограниченности обобщённых решений волнового уравнения на сети / А.В. Копытин // Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIII": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2002. - С. 80-81.

10. Пайдюк, Ф.О. Краевое условие третьего рода в задаче на графе/ Ф.О. Пайдюк, В.Л. Прядиев// Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. -Воронеж, 2003. - С. 96-97.

11. Найдюк, Ф.О. О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами : дис. . канд. физ.-мат. наук/ Ф.О. Найдюк// Воронеж, 2004. С. 134

12. Найдюк, Ф.О. Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода/ Ф.О. Найдюк, В.Л. Прядиев// Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2004. - № 1. - С. 115-122.

13. Найдюк, Ф.О. Нагруженная струна, краевое условие третьего рода и многочлены Лаггера/ Найдюк Ф.О., Прядиев В. Л., Ситник С.М.// Материалы Воронежской веветшеи математической школы "Понтрягинские чтения XV". Воронеж: ВГУ, 2004. - С. 65-66.

14. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети/ А.В. Боровских и др.] // Докл. РАН. 1995. -Т. 345, N 6. - С. 730-732.

15. Осреднённая нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов/ А.Я. Буничева и др.]// Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37, N 7.- С. 905-912.

16. Павлов, Б.С. Модель свободных электронов и задача рассеяния/ Б.С. Павлов, М.Д. Фадеев// Теоретическая математ. физика. 1983. - Т. 55, № 2. - С. 257-269.

17. Пенкин, О.М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач па графах: дис. . канд. физ.-мат. наук/ О.М. Пепкии// Воронеж, 1988.- 89 с.

18. Перловская, Т.В. О краевой задаче нелокально взаимодействующих уравнений разного порядка/ Т.В. Перловская// Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягипские чтения XIV": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 2003. - С. 110.

19. Покорный, Ю.В. и др.] // Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - С. 272.

20. Прядиев, В.Л. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток/ В.Л. Прядиев, А.В. Копытин, А.В. Боровских// Современные методы в теории краевых задач: "Понтрягинские чтения X": материалы Воронеж, весен, мат. шк. - Воронеж, 1999. - С. 198.

21. Прядиев, В.Л. Правило параллелограмма для волновых уравнений на сетях. Визуализация решений/ В.Л. Прядиев, С.С. Шаталов// Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 206-207.

22. Прядиев, В.Л. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток/ Прядиев В.Л., Копытин А. В., Боровских А. В.// Тез. докл. "Понтрягинские чтения Xм. - Воронеж, 1999. - С. 198.

23. Прядиев, В. Л. Метод граничных режимов в решении волнового уравнения на геометрическом графе/ Прядиев В.Л., Прядиева Е.В.// Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и дииамическии системам Суздаль, 5-10 июля 2004. - С. 171-172.

24. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики/ Тихонов А.П., Самарский А.А.// учебное пособие. 6-е изд., испр. и доп. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - С. 799.

25. Уравнения электрического поля дендрита нервной клетки/ Ю.В. Покорный и др.]// Дифференциальные уравнения и их применения: тез. докл. Второй международ, науч.-практ. конф. СПб, 1998. - С. 147-148.

26. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. С. 808.

27. Юрко, В.А. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах/ Юрко В.А.// Математические заметки. 2006. - Т. 79, № 4. -С. 619-630.

28. Cattaneo, С. D'Alambert formula on finite one-dimensional networks/ Cat-taneo C., Fontana L.// J. of Math. Anal, and Appl. 2003. - V. 284, N 2. -P. 403- 424.

29. Kuchment, P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment/ Kuchment P.// Waves in Random Media. 2002. - V. 12, № 4.

30. Nicaise, S. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beams/ S. Nicaise, O.M. Penkin// Math. Meth. Appl. Sci. 2000.V. 23. P. 1389-1399.

31. Pokorny, Yu.V. Differential equations on networks (geometric graph)/ Yu.V. Pokorny, A.V. Borovskikh// J. Mathematical sciences. 2004. - V.ll, № 6. - P. 691-718.

32. Dependence of intracellular potentials on ramification of dendrites/ Yu.V. Pokorny etc.]// Mechanisms of Adaptiv Behavior: Int. Symp. Dedicated to Academician Ivan Pavlov's 150-anniversary: Abstr. St.Petersburg, 1999.