О некоторых вопросах продолжения решений эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

' Москбвский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова

Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

На правах рукопись Савина Татьяна Владимировна

УДК 517.9

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (01.01.02 — дифференциальные уравнения)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1993

Работа выполнена на кафедре нелинейных динамических систем : процессов управления Московского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Стернин Б.Ю.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кюркчан А.Г. доктор физико-математических наук, профессор Шипшарев И.А.

Ведущая организация — Институт прикладной математики

РАН

Защита состоится ....?."/..:.. 199 3 года в 14 часов 30 ми нут на заседании специализированного совета К.053.05.87 в Москов ском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адре су: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислитель ной математики и кибернетики, аудит. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета.

Автореферат разослан 1993 г.

Ученый секретарь Совета^ доцент

Говоров В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объектом предлагаемого исследования являются дифференциальные операторы эллиптического типа с аналитическими коэффициентами, заданные в пространстве К2.

Предметом исследования будет построение формулы отражения для указанного класса операторов.

Актуальность. Настоящая работа возникла при попытке обобщить известный ранее для гармонических функций принцип симметрии Шварца на решения произвольных линейных эллиптических дифференциальных операторов. Такого рода исследование является в настоящее время весьма актуальным. Действительно, при решении прямых и обратных задач теории дифракции, а также в прикладной электродинамике и некоторых задачах вычислительной математики возникает необходимость продолжения решения дифференциального уравнения, первоначально заданного в некоторой области, через границу этой области.

Одним из классических методов, применяемых для решения задачи о продолжении, является метод, основанный но принципе симметрии Шварца. Этот метод (в его первоначальной постановке) основан на том, что любая гармоническая функция двух переменных, обращающаяся в нуль на аналитической кривой Г, удовлетворяет соотношению

«(*,у) + г|(Д(*,у)) = 0, (1)

где Я — антиконформное отображение, определенное в окрестности кривой Г п переставляющее части III и С/з, на которые кривая делит эту окрестность. Отметим, что отображение Я зависит только от кривой Г.

Принцип симметрии Шварца являлся предметом изучения многих математиков: П. Гарабедиана, П. Дэвиса, Г. Леви, Б.Ю. Стернина, Г. Шапиро, В.Е. Шаталова, Д. Хавинсона и др. (см. обзор Б.Ю. Стернина и В.Е. Шаталова1).

К сожалению, формула (1) в таком простом виде не имеет места в более общей ситуации. В частности, как показали Д. Хавинсон и

1B.Yu. Sternin, V.E. Shatalov, Continuation of solutions to elliptic equations and

localization of singularities, Springer Lect. Notes in Math. 1520 (1902), 237 - 260.

Г. Шапиро2, для уравнения Гельмгольца в плоскости она справедлива только для случая, когда кривая Г является отрезком прямой, а для уравнения Лапласа в пространстве R® — только, когда Г является частью либо плоскости, либо сферы.

Принцип (формула) отражения имеет, однако, место и в общем случаяе, если только его понимать в обобщенном смысле — как существование некоторого оператора сопоставляющего каждому решению и произвольного эллиптического уравнения (с определенными условиями на кривой Г) в области Щ некоторое решение этого же уравнения в области С/д, продолжающее решение и. Этот оператор является оператором более общей природы, нежели оператор симметрии типа (1), индуцированный поточечным отображением областей. На возможность получения такого рода формул указывал еще в 1959 году Г. Леви3, а годом спустя в работе П. Гарабедиана4 был установлен этот же факт и для более высоких размерностей пространства. Отметим, что в указанной работе П. Гарабедиана имеется даже некоторая формула отражения, однако она настолько сложна и многоступенчата, что проблема получения явной и удобной для приложений формулы отражения, даже для уравнения Гельмгольца на плоскости, по-прежнему, оставалась открытой.

Все это определило основную цель исследования, которая состоит в получении явной формулы отражения для эллиптических дифференциальных операторов с аналитическими коэффициентами в двумерном случае.

На этом пути в диссертации были решены следующие конкретные задачи:

1. Предложен метод редукции задачи о продолжении к задаче с заданным расположением особенностей.

2. Доказано существование и сконструировано явное решение задачи с заданным расположением особенностей.

3. Получено новое представление фундаментального решения эллиптического дифференциального оператора произвольного порядка

aD. Khavinson, H.S. Shapiro, Remarks on the reflection principle for harmonic functions, Journal d'analyse mathématique 54 (1990), 60 -76.

Lewy, On the reflection laws of second order differential equations in two independent variables, Bull. Amer. Math. Soc. 66 (1959), 37 - 58.

4 P. Garabedian, Partial differential equations with more than two independent variables in the complex domain, J. Math. Mech. 9 (I960), N. 2, 241 - 271.

с постоянными коэффициентами в старшей части (которое, в отличие от известного представления Ф. Джона5, явно связано с характеристиками этого оператора).

Таким образом,

научная новизна работы состоит в том, что в диссертации впервые получена явная формула отражения для эллиптических дифференциальных операторов произвольного порядка с аналитическими коэффициентами, заданных в пространстве R2.

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные в работе результаты

дают новую интерпретацию классического принципа симметрии Шварца;

объясняют, в частности, причину невозможности получения поточечной формулы отражения для оператора Гельмгольпа;

позволяют решать прямые и обратные задачи теории дифракции.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Библиография — 45 названий.

Методологическую основу диссертации составляют работы Ж. Адамара, И.Н. Векуа, П. ГарабеднаЧаа, П. Дэвпса, Г. Леви, Д. Людвига и Р. Миллара по теории дифференциальных уравнений с частными производными. Кроме того, используется аппарат теории дифференциальных уравнений на комплексных многообразиях, созданный в последние годы Б.Ю. Стерниным и В.Е. Шаталовым ( см. обзор6).

Апробация. Основные положения диссертации были доложены на специальном семинаре кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ, в Университете города Ниццы (Франция, 1992 г.), на школе-семинаре по дифракции и распространению волн (Москва, 1993 г.), з цикле лекций, прочитанных в Королевском технологическом институте (Швеция, Стокгольм, 1993 г.).

По результатам диссертации автором опубликовано три работы.

5F. John, Piene waves end spherical means applied to partial differential equations, Int. Publ. Inc., New York, Int. Publ. Ltd., London, 1955. Русский перевод: Ф. Йон, Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными, М.: ИЛ, 1958.

вБ.Ю. Стернин, В.Б. Шаталов, Дифференциальные уравнения на комплексно-аналитических многообразиях н канонический оператор Маслова, Успехи матем. наук 43 (1988), N.3, 99 -124.

б

Благодарности. Я благодарна профессорам Б.Ю. Стернину и В.Б. Шаталову за помощь в написании этой работы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы и излагаются основные результаты работы.

В первой главе дается обзор литературы и методов, используемых в теории продолжения решений.

Во второй главе выводится формула отражения для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка общего вида, имеющего аналитические коэффициенты, в плоскости.

В §1 рассматривается постановка задачи и формулируется основная теорема главы.

Постановка задачи следующая.

Рассмотрим однородное уравнение, приведенное к канонической форме

л ди ди

Ьи = А« + а( х, + Ь(х, у) — + с(х, у)и = 0. (2)

Здесь Д = з^г + — оператор Лапласа, а, Ь, с — вещественно-аналитические функции относительно своих аргументов.

Пусть I/ — область в пространстве К2, разделенная на две части

и {/з вещественно-аналитической кривой Г с уравнением /(х,у) = 0, д$ ф 0 на Г, и пусть и(х,у) — решение уравнения (2), обращающееся в нуль на Г.

Требуется выразить значения функции и в точках (х0,уо) € и1 через значения этой функции в области и? (получить формулу отражения).

Для решения этой задачи применим методы комплексного анализа. Именно, рассмотрим область V? в пространстве С2, в которую аналитически продолжается уравнение /(х,у) = 0 кривой Г, и И7ПК2 = 17. В характеристических (относительно оператора Лапласа) переменных г = х + ¿у, С = ® — *У уравнение комплексифицированной кривой Г с перепишется в виде

Бели <1/(х,у) ф 0 на Г, то уравнение Гс (в окрестности вещественных точек) разрешимо как относительно г, так и относительно

ея

Соответствующие решения обозначим С = $(гУ % = 5(С). Функция Б (г) называется функцией Шварца кривой Г. С помощью функции Шварца для фиксированной точки (хо,Уо) € С^ можно построить отраженную (симметричную) точку Я(хо,уо), относительно кривой Г, при этом отображение Е определяется формулой:

д(х,у) = вд = ад. (з)

Черта в формуле (3) означает комплексное сопряжение.

Для простоты формулировок предположим, что II = В.2, а Г является алгебраической кривой. Последнее означает, что /(ж, у) — многочлен от переменных х,у с вещественными коэффициентами. В этих предположениях функции 5(г) и £(£) являются аналитическими функциями во всей плоскости С, обладающими особенностями только алгебраического типа. Очевидно, отображение Л (см. формулу (3)) регулярно вне пересечения особенностей функции 5(х) с вещественным пространством И2.

Теорема 1. В сформулированных выше предположениях имеет место следующая формула отражения:

и(хо,уо) = -Со(х0,уо)«(Д(х0,1Л))) 1

+

И

г

Ь / у(хо,Уо,х,у)^(х,у)^ Лу

г

(и(х,у)^щ{хо,уо,х,у) - У(х0,у0,х,у)^(х,у)^ ¿X, (4)

где со(хо.уо) — коэффициент, зависящий от кривой Г и вычисляемый по формуле:

5(СЬ) 5(«о)

У В(<,5(аь))л+ I А(г0,т)<*7

_ 1 ~ 2

«о

+ ехр

5(«о)

5(Со)

I А(5«Ь),т)Л-+ I В{Ш<Н

Со «О

>.

Здесь функции А, В определены формулами

А = А{г,С) = \{а(х,у) + хЪ(х,у)},

В формуле (4) отображение Я определено выражением (3), интеграл вычисляется по любой кривой, соединяющей контур Г с точкой Я(хо,Уо)', функция У(хо,Уо,х,у) представляется в виде разности

У(х0,Уо,х,у) = У%(хо,уо,х,у) - \Ь(х0,уо,х,у), причем V},= 1,2 суть решения специальных задач Коши-Гурса:

Ь'Ъ = О, И1гс = ^Гс'

= 1 на характеристике ¿¿, * = 1,2,

л л

где оператор Ь* является сопряженным к оператору Ь, определенному формулой (2), Щго,Со,а,0 — функция Римана для оператора

(1.1), £ = {5(0 = «>}, £ = (ад = <Ь}.

Доказательству теоремы 1 посвящены §§2 - 5. В §2 исходная задача сводится к задаче с заданным расположением собенностей

^ л ~

Ь*С(х0,уо,х,у) = О,

в

гс

= <?|Гс,

(5)

в имеет особенности лишь

пи

„ на характеристиках 5(С) = ¿о и 5(г) = Со-

десь функция С? = О{хо,уо,х,у) — фундаментальное решение опе-л

атора Ь*.

В §3 доказывается существование и конструируется (локально) ре-[ение задачи (5). В §4 исследуются свойства полученного решения.

§5 с учетом результатов §§3,4 выводится окончательный вид фор-улы отражения и проводится глобализация результата.

Третья глава посвящена построению формулы отражения для глиптического дифференциального оператора высокого порядка.

В §1 рассматривается постановка задачи, вводятся понятия функ-ий Шварца и отраженных точек, формулируется основная теорема павы.

Постановка задачи.

Пусть функция и(х,у), заданная в области 17, является решением (глиптического уравнения порядка 2т (т > 1), имеющего постоян-ые коэффициенты в старшей части и вещественно-аналитические оэффициенты в младших членах:

д д —^ д д

где

"дх'ду'

[дх,ду) д_

дх'ду'

2т

яд=£ а°^аФ3т~а>

а=0

д_

а—О

Пусть также характеристики уравнения (6) являются простыми, и область и разделяется на две части 1!\ и вещественно-аналитической кривой Г с уравнением <р(х, у) = 0, на которой функция и(х, у) имеет нуль порядка т. Требуется выразить значения функции и(х, у) в точках (хо,!/о) € 11\ через значения этой функции в области Щ (формула отражения).

В качестве основного инструмента для построения формулы отражения используется формула Грина:

где7 — контур, окружающий точку (хо,уо); С/, Я,- и Р,- — диффе-

л л

ренциальные операторы порядка < 2т — 1, причем ог<1 В) + ог<1 С,- = л л

ог<1 Н] + ог<1 Р} < 2т — 1; С?(х,у,хо,Уо) — фундаментальное решение оператора, сопряженного к Ь. Формула (7) выражает значения функции и(х,у) в точке (хо,Уо) € 11\ через значения этой функции на контуре 7, также лежащем в {/1- Основная идея заключается в том, чтобы продеформировать контур 7 через комплексную область в область и2, заменив соответствующим образом подынтегральное выражение.

Для выполнения этой процедуры необходимо обобщить понятия функции Шварца и отраженной точки. Для этого рассмотрим область IV в пространстве С2, в которую аналитически продолжается уравнение кривой Г, П II2 = и. В области будем рассматривать комплексную кривую Гс> уравнение которой <р(х,у) = 0 и есть аналитическое продолжение уравнения исходной кривой Г. Заметим, что в отличие от уравнений второго порядка, где каждой точке из области и1 соответствует ровно одна отраженная точка, для уравнения порядка 2т таких точек будет т2: Я)к(^о,Уо)> 3,к = 1 ,...,т. В самом деле, в предположении, что характеристики уравнения (в) в области \¥ являются простыми, в этой области из каждой точки

2*71—1

«(*о,Уо)= \ Ву«(х,у)С7,С(а;,у,хо,уь)йу

АЛЛ Л

(®о,1Л>) G U\ выходят 2m различных характеристик уравнения (6), которые объединяются в m пар комплексно-сопряженных. Каждая из этих характеристик, задаваемых уравнением = 0, пересекает аналитическое продолжение кривой Г. Из полученных точек пересечения также выходят по 2т характеристик, некоторые из них пересекут вещественную плоскость в точках области U?. Эти точки называются отраженными точками. Более точно, вводится m пар характеристических переменных

Zj = x + \jyt zj= х + А,у, j,j = l,...,m,

где A,-, А,- — комплексно-сопряженные числа, являющиеся корнями характеристического уравнения Ljm(p, q) = 0. Заметим, что переменные Zj и zj при х,у G R являются комплексно-сопряженными. Разумеется, для комплексных значений переменных х, у это свойство не выполняется; для того, чтобы показать, что характеристические переменные относятся к одной паре, черта ставится не над буквой, а над индексом.

Уравнение комилексифицированной кривой Гс может быть переписано в характеристических переменных <р{х,у) = Ф(zk,zj-) = 0. Если dtp(x,y) ф 0 на Г, то это уравнение может быть разрешено относительно обеих переменных; соответствующие решения обозначим через Zk = Sh-j(zj) и zj = при этом подразумевается, что sign{Im А*} ф sign{lm А,}. Функции Sk^(zj) и Sjk(z/e) назовем функциями Шварца. Координаты отраженных точек определяются из соотношений:

Щк : х + Хку = + j,k= (8)

Перейдем к формулировке основной теоремы главы.

Для простоты предположим, что и = Н.3, а Г является алгебраической кривой (то есть ¡р(х,у) — многочлен с вещественными коэффициентами). В этих предположениях введенные выше функции Шварца являются аналитическими функциями во всей плоскости С, обладающие особенностями только алгебраического типа.

Пусть и(х,у) — произвольное решение уравнения (6), имеющее нуль порядка т на кривой Г. Тогда справедлива

Теорема 2. Для точек (х0,Уо), расположенных достаточно близко к кривой Г, имеет место следующая формула отражения:

т

и(х0)уо)=- 53 с,к(хо,уо)и(Я;к(хо,Уо))

к,3=1

Ш егт-1 д л

к,,=1 £ I 1=0

2т—-1 д д

- ^(х,У,Х0,Уо^У - Н1и(х> У» ®0 > Уо)

1=0

г<?е с,к(хо,Уо) — коэффициенты, зависящие от кривой Г; —

л л л л

отображения, введенные выше формулой (8); -В|, С|, Н\, Р1 — дифференциальные операторы (те же, что и в формуле (7)); интегралы вычисляются по любым кривым, соединяющим произвольную фиксированную точку на кривой Г с точками ^к(хо,уо); Ко — известная константа.

Функции и Уд определяются в §4 в виде рядов

/=2я»—2

где коэффициенты Ь%9 являются решениями рекуррентной системы уравнений с частными производными первого порядка, получающейся после подстановки функций Урд в уравнение Ь*УРЧ = 0.

Доказательству теоремы 2 посвящены §§2 - 4. Основным результатом §2 является следующая

Лемма 1. Существуют такие функции а\(х,у,Хо,уо), что фундаментальное решение С(х,у,х0,уо) оператора, сопряженного к (6) (по крайней мере в окрестности точки (хо>Уо) ) может быть представлено в виде:

где

О, = £ а? (®, У, х0, Уо)Л(х -хо + А,- (у - уо)),

/=Зт-2

/|(0 =

/=2т—2

/=0,1,...,..

' 1

Со = 0, с, = «=1,2,...,

¿=1 ;

^Го — известка* постоянная, служащая для нормировки фундаментального решения.

В §3 исходная задача сводится к нахождению следующих 2т функ-

1ЧГ

ций

Ь*0^х,у,хо,уо) = 0,

«■V

СДа;,у,х0,уь) - О;(х,у,хо,уо) = 0(то<1 т) на Гс,

л/

С,(х,у,хо,уо) имеет особенности на отраженных характеристиках, выходящих из точки „ пересечения {ф^ = 0} П Гс.

И, наконец, в 54 доказывается существование решения этой задачи п конструируется его вид.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные в работе, позволяют сделать следующие выводы:

1. Известный ранее для уравнения Лапласа принцип отражения Шварца ыожет быть обобщен на случай произвольного эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с аналитическими коэффициентами в плоскости, если его понимать как существование оператора, ставящего в соответствие каждому решению уравнения « в заданной области (с определенными условиями на алгебраической границе Г) некоторое решение этого же уравнения в области и2 (имеющей с областью и% общую границу Г), продолжающее решение и. Этот оператор является интегродифференциальным оператором, из чего ясно, что он не может быть индуцирован поточечным отображением областей. Полученная формула отражения справедлива в "большом".

2. Интегродифференциальный оператор отражения можно построить (по крайней мере в "малом") и для эллиптического уравнения высокого порядка, имеющего постоянные коэффициенты в старшей части и аналитические коэффициенты в младших членах. При этом оказывается, что для уравнения порядка т формула отражения содержит ш2/4 внеинтегральных слагаемых, соответствующих отраженным точкам, тогда как для уравнения второго порядка формула отражения имеет всего один внеинтегральный член (одна отраженная точка).

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Савина Т.В., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е., О законе отражения для уравнения Гелъмголъца, ДАН СССР 322 (1992), N. 1, 48 - 51.

2. Савина Т.В., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е., О формуле отражения для уравнения Гелъмголъца, Радиотехника и электроника 38 (1993), N. 2, 229 - 240.

3. Савина Т.В., О законе отражения для эллиптических уравнений высокого порядка, ДАН 332 (1993), N. 5, 563 - 565.