О периодических и ограниченных решениях систем трех дифференциальных уравнений с однородными главными членами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1ШШСТЕРСТВ0 ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ТАДШСШЙИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р Г Б ОД

2 1 АВГ 1995

Диссертационный совет К 065.01.02 На правах рукописи УДК 617.93

АЗИЗОВ РАХМАТЯШ ЭСОЕВИЧ

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ И ОГРАНИЧЕННЫХ РШЕНИЯХ СИСТЕМ ТРЕХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ С ОДНОРОДНЫМ ГЛАВНЫМИ ЧЛЕНАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертация ка соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе - 1995

Работа выполнена в Таджикском Государственном Университете.

Научные руководители - член-корреспондент АН Республики Таджикистан, доктор фазико-математичэских наук, профессор ЫУХАЩДИЕВ Э.Ы., кандидат физико-математических наук, доцент АБДУВАКТОВ X.

Официальные онпонентн - доктор фвзнко-матекатпческих наук, профессор ИЯОУГОВ U.U.,

кандидат физико-математических паук, доцент РАУВДВ И.Ш.

Ведущая организация - Институт проблем управления РоссзйскоЗ

Академии наук.

Защита состоится 1Э35 г. в час. на

заседании диссертационного совета ТК 065.01.02 по прасукэЕШ ученой степени кандидата физико-математических наук в тазсксквы Государственном университете (734025, Душанбе, пр.Рудбкя, 17).

С диссертацией кожно ознвкошггься в научной бкЗлютекз Таджикского госуниверситвта.

Автореферат разослан " № (ЛЮЛ Я 1995 Г.

УченнЯ секретарь диссертационного

совета, к.ф.-м.н.. доцент ' O.X.X'JCAEEKQB

3/УП—101'5 г.Захьэ ЗЗ.Тврож 100 tra.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Аитуалыюсть тсли. Теория нелинейных колобаний являотся объектом"'hcnpopuBtiux" и плодотворных исследований многих поколений математиков и физиков. Она находит саше разнообразные приложения, ой принадлежит заслуга объяснения многих примечательных явлений реального мира.

Одним из важнейших разделов теории нелинейных колебаний является проблема изучения периодических и ограниченных решений нолинейзшх ди$фзронциалышх уравнений.

Наиболее глубоко изученными являются уравнения, содержащие малый параметр. У истоков теории малого параметра находятся идеи и методы, впервые сформулированные в работах А.М.Ляпунова и А.Пуанкаро. Среди многих работ, посвященных дальнейшему развитию теории малого параметра, достаточно упомянуть известные монографии Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского , В.М.Волосова и Б.И.Моргунова, И.Г.Малкина, Н.Н.Моисоова , М.Розо . Определяющую роль при исследовании уравнений с малым параметром играют линойныэ части уравнений, свойства которых позволяют изучать вопросы существования периодических и ограниченных решений нелинейных уравнений, эффективно строить ати решения, исследовать их устойчивость и пр.

Переход к уравнениям с "существенными" нелинейностями, как правило, тробуот разработки принципиально новых подходов и методов. Существенный вклад в теорию таких уравнений внесли работы М.А.Красносельского и его учеников, А.Куфнера и С.Фучека, Ж.-Л.Лионса, О.И.Неймарка, В.А.Плисса, Ф.Хартмаиа и др. В этих работах разработаны топологические, качественные и приближенные катоды исследования различных классов "существенно" нелинейных уравнений.

Особое место среди "существенно" нелинейных дифференциальных занимают уравнения, содержащие однородные нелинейности. Анализ уравнений с одаородашмг нэлинойностями в определенном смысло иоано считать первым шагом на пути перехода от линоШшх в "почти" линейных уравнений к изучению более сложных уравнений. Более того, если иметь а виде разложения тейлоровского типа, то доследование уравнений с простейшими однородными нвлюгейностяки можно рассматривать как основу, которая позволит получать информацию о решениях уравнений с нелннейвостяма более сложной

>

природы.

Среди уравнений, содержащих однородные нелинейности,

наиболее изученными являются уравнения вида

^ м

— = Р(х) * f(t.x) . х б л ■ Г1)

dt

где оператор Р(х) является непрерывным и положительно однородным порядка т > О :

Р(\х) = ХтР(х) , \ > О , а вектор-функция f(t,х) непрерывна по совокупности переменных и либо является Г-периодической по перомогаюй t :

f(tiT.x) = f(t,x) , f3)

либо является ограниченной по поремешгой t (при фиксированном х):

eup\f(t,x)\ < со . ' г*;

При этом f(t,x) удовлетворяет условии

f(t.x)I

Ilm зир-------- = 0 ; (5)

IXI »CO t Ixl

здесь и всюду icra;e через | | обозначается евклидова норма в

пространстве ff1 . Другими словами, при "больших" значениях |х|

правая часть системы (() "близка" к однородной функции Р(х).

Исследованию систем вида (1) посвящено большое число работ,

в которых изучались вопроси о периодических и ограниченных

решениях. Р.Гомори были получены условия существования

периодических решений (в случае /V = 2). Теоремы Р.Гомори были

существенно усилены H.A.Бобылевым на основе метода направляющих

потенциалов . Случай, когда функции Р( ) зависят от времени,

изучен в работах Э.Мухамадиева. Следущим шагом на пути

исследования уравнений с однородашми нелинейностями является

анализ уравнения (1) в ситуации, когда свойства однородности

оператора Р(х) различны для разных компонент этого оператора.

Другими словами, когда компоненты оператора

Р(Х) = 1Р%(Х^.....ZjjJ.....PjjfX, ,... .Xf j)) , (6)

являются положительно однородными: пъ

Р^(Ъх) = \ 3Р^(х) . X г 0 , / = 1 , (7)

гдо числя rrij > О не обязательно всо одинаковые.

Уравнения типа (1) при N в случао, когда равенства

(7) выполняются при значениях * л^ . детально и:;уч<чш в работах Э.Мухомпдиевя и Х.Абдгг-аитова. В этих рапотпх (в

которых рассматривалась и более общая ситуация, когда оператор Р зависит от переменной t) получены теоремы существования периодических и ограниченных решений уравнения (1), указаны рецепты вычисления ■ характеристик, определяющих условия существования таких решений.

Различным вопросам исследования систем вида (1) посвящены также работы и других авторов. Отметим среди них Д.С.Ушно, Liang Zhaojun , Ye Yaoglan » в частности. Hang Zhaojun привел обзор известных результатов и формулировки открытых проблем в теории автономных систем вида (t) при N = 2 ив случав 4 т^ .

Дальнейшее изучение дифференциальных уравнений с однородными нелинеЗноетями представляет важную и актуальную задачу. В этой связи отметим, что в последнее время значительно возрос интерес к исследованию решений дифференциальных уравнений третьего порядка с однородными нелинейностями« такие уравнения возникают во многих практических и теоретических задачах.

Цель работы. Для системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными главными частями при различных порядках однородностей исследовать вопросы существования периодических и ограниченных на всей числовой оси решений. Указать эффективные признаки существования таких решений, изучить возникающие при этом вопроси о гибридных решениях систем дифференциальных уравношй.

Научная новизна. Разработаны новые процедуры исследования периодических и ограниченных задач для системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными главными частями при различных порядках однородностей.

Получены новые теоремы об априорных оценках для периодических и ограниченных решений системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными главными частями.

Проведен анализ гибридных решений упорядоченных систем дифференциальных уравнений, изучены условия отсутствия ненулевых ограниченных гибридных решений.

Исследованы вопросы существования периодических решений систем дифференциальных уравнений запаздыьакхцего типа с однородными главными частями.

Получены признаки существования у систем дифференциальных уравнений с однородными главными частями ненулевых периодических

решений.

Практическая и теоретическая ценность. Работа теоретическая. Развитие в работе методы исследования периодических и ограниченных решений систем диффоронцяальных уравнений с однородными главками частями могут быть использованы при анализо конкретных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям указанного типа. Эти методы при естественной модификации могут бить распространены и на более широкие классы уравнопий.

11ер^ы_№ыедовашя^ В работе использованы общие методы теории нелинейных колебаний, теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, нелинейного функционального анализа, теории Функций.

Апробация работы. Отдельные части диссертационной работы обсувдзлись на научных семинарах Таджикского государственного университета, Института математики Академии наук Республики Таджикистан, Института проблем управления Российской Академии наук. Худжандского университета. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально диффорепциалышх уравнений (Душанбе, 1987 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Таджикского госушворситета (Душанбе, 1988-1993 гг.), на конференциях молодых ученых и специалистов Таджикистана (Душанбе, 1985-1990 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано пять научных статей, список которых приведен в конце автореферата.

Личный в ¡иод. Постановки задач и некоторые идеи принадлежат научным руководителям. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Объел и структура работ. Диссертационная работа изложена на 118 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав, содержащих 9 параграфов, четырех рисунков и списка цитированной литературы, включгюшого 49 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертационной работе задач, приводится обзор литературных источников, формулируется цель исследований, кратко излагается основное содержание работе.

Работа посвящена изучению задач о ограниченных решениях систем обыкновенных уравнетй вида

периодических и дифференциальных

= P(x,y,z) + f(t,x,y,z) , = Q(T,y,Z) f g(t,x,y,z) ,

(В)

dx dt Ф dt dz

— = E(x,y,z) t h(t,x,y,z) , dt

где x, у, z, t - скалярные переменные, P( ) , Q( ) и R( ) -непрерывные положительно однородные функции:

PCKx.Xy.Xz) = \nP(x.y,z) , X > О

QCKx.ky.Xz) s XnQ(x,y,z.) , \ > О

R(Xx,\y,\z) = KmR(x,y,z) , к > О

(9)

при отом п, т > О , п t га предполагаются непрерывными ограниченными по переменной £

Функции /( ) , g( ) и h( ) по совокупности переменных, и удовлетворяющими условиям:

г «я

Г* ио

сир

\f(t.x.y,z)\ - г* -0

I in аир

г» OD t

И т

Г-» оо

вир

\g(t,x,y,z)\

\h(t,x,y,z)\

= О

- О

г/си

где

г - У f i f +

Основную роль в построениях диссертационной работы играет развитый Ж.Леро и Ю.Шаудером метод доказательства существования решения нелинейных уравнений. Применительно к рассматриваемым в диссертации задачам этот метод приводит, например, к следующему принципу разрешимости системы (8) в классе периодических функций: если для всех Г-периодических решений всех систем

P(x,y,z) i \f(t,x,y,z) = Q(x,y,z) + Kg(t,x,y,z) = R(x,y,z) + wt,x,y,z)

dx dt

dt dz

dt

г до О < X. < 1 , справедлива общая априорная оценка сверху и вокторное поле

toi(t) = u(t) - и(Т) - J Fl3,u(s)ld3 , (12)

О

где и = (x,y,z) и ? = (P,Q,R) , на сферах больших радиусов пространства С(0,Т1 имеет ненулевое вращение, то система (8) имеет по крайней мере одно Т-периодическое решение.

Диссертационная работа состоит из двух глав, включающих девять параграфов. Первая глава посвящено вопросам об априорных оценках для периодических и ограниченных решений системы (11). Вторая глава содержит исследования, относящиеся к вопросам существования решоний указанного типа у системы (8), а также некоторым приложениям.

Первая глава состоит из пяти параграфов. В § 1 приводятся поотановки основных задач, изучаемых в работе, а также формулируется ряд необходимых в последующих построениях сведений.

В §§ 2-4 изучаются условия существования общей априорной оцонки для всех ограничешшх решоний всох систем (11) . Показывается, что эти условия связаны со свойствами ураЕнения

R(x,y,z) = О . (13)

В §§ Z и 3 изучается ситуация, когда

R(0,0,±1) ¿ О (14)

и выполняется одно из двух условий:

Условие 2.1. Уравнение íI3~i при каждой фиксированной паре (х,у) имеет единственное рошопно с -- фГх.у) .

Условие 2.2. Уравнение (13) при каждой фиксированной паре (х,у) * (0,0) имеет ровно два решения г = Ф, (.г,у) иг» ^(т.у), В § 4 изучается протигогпло-АНпа к П4) ситуация, когда

и,'0. Г), ! ! .. О; ( 15)

.фи атом предполагается, что-

Н(х,у,1)Щх,у,-1) * 0 , |х|+|у| * О . (16)

В § 2 изучается ситуация, когда выполняется Условно 2.1. Наряду с (8) вводится в рассмотрение однородная система

Ох

= Р(х,у,<$(х,у)] ,

<И сИ

= Я(х,у,ф(х,у)1

(17)

Основной в § 2 является

Теорела 2.1. Пусть т > п > О и выполнено Условие 2.1. и соотношение (14) . Пусть система (17) не имеет ненулевых ограниченных решений. Тогда существует число 2 = < ю

такое, что для всех ограниченных решений (Х{4), у(1), га)) всех систем (11) справедлива общая априорная оценка

+ уга) + гга) < а2 , -« <• ( <» . иа;

В § 3 изучается ситуация, когда выполняется Условие 2.2. Наряду с (8) рассматриваются такке системы

Лг

Ж

1 (И

Ох Л

<зу

— = СНх,у,ф2(х,у)]

<а

= Р(х,у,ф^(х,у)1 = С!1х,у,^(х,у))

Р(х,у,<р2(х,у)1

(19)

(20)

Пусть

(-оо.оо) и вектор-функция (Х(и, уа)) является

0 и решением системы (20)

О е

решением системы (19) при { < при Т > ?0 . Тогда будем говорить, что гибридным решением упорядочетгой пары систем (1Э)-(2Л) Будем говорить, что система

(х(Ь), уа)) является

<±г

— = Р(х,у,г), йу

— = <3 (х.у.г), (21) &

дг

— = 11(х,у,г), (И

обладает Основным свойством, если выполнены следующие условия:

1° системы (19) и (20) но имеют ненулевых ограниченных решений;

2° если

Шх,у,г) > О < Щх,у,г) < 0 ) при ф^(х,у) < г < <р2(х,у) ,

■го упорядоченная пара систем (19)-(20) (упорядоченная пара систем (20)-(19)) не имеет ненулевого ограниченного гибридного решения.

Справедлива

Теореда 3.1. Пусть т > п > 0 т > 1 . Пусть выполнено соотношение (14) и Условие 2.2 . Пусть , наконец , система (21) обладает Основным свойством. Тогда существует М , 0 < М <<*> , такое, что для всех ограниченных решений (x(t), уШ, га)) всех систем (11) справедлива общая априорная оценка (13).

В § 4 изучается вопрос об априорных оценках (18) для ограниченных решений системы (11) в предположении, что система (8) является автономной и выполнены соотношения (15) и (16).

Установлена

Теорола 4.1. Пусть 0 < п < т < п+1 . Пусть система (8) является автономной и выполнены соотношения (15) и (16). Тогда существует число и , О < Ы < «. , такое , что для всех огра-ничешшх решений (х(г), уа), га)) всех систем (11) справедлива общая априорная оценка (18).

Одним из условий в теореме 3.1 является требование отсутствия у упорядоченной пары систем (19)-(20) ненулевых ограниченных гибридных решений. В § 5 изучается вопрос об условиях отсутствия таких решений у упорядоченной пари систем вида <3х 0

— = Р(х) . (22) ей

(Зх '

— « Я(х) , (23) <Х

где Р(х) и Q(x) - положительно-однородные футеции порядка m > О.

Положим х = (Ч,Т)) и

Р(х) = (P^rt.yJ.Pgft.T))) , Q(x) = (Q¡(t,T)),Q2(Z,r¡)) ,

Через 9Гф; и г)Сф; ( О < ф < 2% ) обозначим одну из непрерывных ветвей соответственна функций

P2(cos<p,alrup) <32Ссобф,а£лф;

= Arctg - . ССф) •= Ar et g- ,

Р, Ссозф,з(пф; Q^cosQ.ainfy)

причем 9(0) и i](0) ( О < О (О) < 2% , О < т](0) < 2ъ ) есть углы соответственно между векторами (1,0) и (Р^(1,0),Р^,(1,0.1) и между векторами (1,0) и ,0),Q2(1,0)) , отсчитываемые

от (1,0) в положительном направлении.

Пусть и ~ множества всех корней, соответственно, уравнений 6ГфТ - ф = 2Рж и г}(ф) ~ ф = (21*1)% .

Если каждый корень уравнония' 9(ф] - ф = Ш. меньше каждого корня уравнения 9(ф; - ф = ffc-ÍJx, то говорят, что система (22) обладает свойством Гомори.

Будем говорить, что множества А и В на числовой прямой отделимы, если существует число а такое, что либо А с (-«>, а) и В с (а, т) , либо А с (а, »,) и В с (-<*>, а) .

Пусть системы (22) и (23) обладают свойством Гомори. Пусть при любых фиксированных целых к и I множества Фк и Ф1 отделимы. Тогда будем говорить , что упорядоченная пара систем (22)-(23) обладает свойством Гомори.

Теорем 5.1. Упорядоченная пара систем (22)-(23)' не имеет ненулевых ограниченных гибридных решений, если и только если она обладает свойством Гомори.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В 5 б приводятся признаки существования периодических и ограниченных решений системы (8). Приведем некоторые из полученных результатов.

Теорела 6.1. Пусть в условиях одной из теорем 2.1, 3.1 или 4.1 векторное поле (12) имеет ненулевое вращение на сферах -(u(t) g G(0,T1 : |«ft;|c = M) при всех достаточно больших И > О. Тогда система (8) имеет по крайней мере одпо Г периодическое решение.

Тоорела 6.2. Пусть для всех ограниченных решений всох систем m ) имеет место общая априорная оценка (18). Пусть индекс нулевой оепбпй точки векторного поля

?(ц>) = ( Р(и>), 0(и)), Я(ш) } , ш = (х.у.г) , (24) отличен от нуля,- 1пй (!,&) / О . Тогда система (8) имеет по крайней мере одно Г-периодическое решение.

Теорема 6.3. Пусть в условиях одной из теорем 2.1, 3.1 или 5.2 выполнено соотношение 1пй (Т,е; * О . Тогда система (8) имеет по крайней маре одно Г-пориодическое решение.

Теорема 6.4. Пусть правые части системы (8) являются ограниченными по £ функциями. Пусть имеет место априорная оценка (18) . Пусть, наконец , 1пй (Т,Ъ) О . Тогда система (8) имеет по крайней мере одно ограниченное решение.

В § 7 обсувдается вопрос о распространении результатов 55 2-6 на дифференциальные уравнения, более сложной природа. Рассматривается система дифференциальных уравнений запаздывающего типа йх

— = т(х,у,г) + Д1,ха),х(1-1),у(г),у(г-%).г(г),2(^)],

й1 йХ 02

= Щх.у.г) ,ха) ,ха-х) ,у(г ),уа-х) ,га) ,2(1-х)],

где х > О , функции Р , Я и Д удовлетворяют соотношениям (Э), а нелинейности / , в и Л непрерывны по совокупности переменных, ограничены по переменной t и удовлетворяют соотношениям

= О

= снх.у.г) + в[{,ха),ха-х),уа),уа-х),га),га-х)1.

(25)

Ит зир Г-» ао í

1Ш зир

Г"» 00 t

I (т аир г-»® I

г*

.гг)\

г"

«!/2'21

= О

- О ,

(26)

где г = + + 22 +а|+ Для системы (25) устанав-

ливаются аналоги утверждений, полученных в §§ 2-6.

В § 8 рассматриваются скалярные даф£вренциальные уравнения

вида

I » 9

и - П(и,н .и ) - лес,и,и ,и )= О , (27)

где Е(х,у,г) - положительно однородная функция порядка т > О , а Функция Ьа,х,у,г) удовлетворяет соотношению

| Л Г Г. г, г/, г Л • -„---ч—

11т лир ------- „ - = о , г - V л*-* «А» 2е .

Г>а) Г Г

Ка уравнение (27) распространяются получетшо в §§ 2-6 результаты. Приводом некоторые из них.

Пусть выполнено Условие 2.2. и <р^(х,у) и фг(х,у) - это решения уравнения (13). Ряс-смотрим скалярные уравнения

ф^СКХ) = , (28)

(29)

и системы дифференциальных уравнений

•г' = .'/ . У' = Ф,(Х,У) . (30)

9 9 1

X = и . У = Ф2Сх,у) , СЗ?)

Тсорет 8.1. Пусть Я(0,0,*1) * О и и > » . Пусть выполнены Условие 2.2 и уравнения (20) и (29) разрешимы. Пусть, наконец, если

Е(х,у,г) > О ( ЯЛг.у.г) ^ 0 ) при ф,Гх,у.) «г г <г фг(х,у) ,

то упорядоченная пара систем (30)-(31) ( упорядоченная тара систем (31)-(30)) обладает свойством ГЪмори. Тогда для всех ограниченных рлшошгй нг-ох уравнений вида (27), в которых вместо Щ•) рассматриваются функции №(•), О < \ < справедлива общая априорная оцогаа

|игщг * |и'<ч л2 > 1 и.'(()\г < я <• оо , -п < t < «> .

Теорет 8.2. Пусть в условиях теоремы 8.1 выполнено соотношение Ш (Г,в) * О. где Т(х,у,г) = (у,г,Я(х,у,г)). Тогда уравнение (27) тлеет по крайней мере одно ограниченное вместо с производными первого и второго порядков роионие.

В 5 О приводится татда ряд иллюстративных примеров.

В 5 9 обсуялпотся вопрос о существовании ненулевых периодических решений системы (8) . Рассматривается ситуация, когда (8) пролетавляется так же в виде '

где функции Р,

О'

dr dt

dt

dz

— - R0(x,y,z) t hn(t,x,y,z) , dt

Q0 и Rq - положительно однородные порядков nQ,

- ?Q(x,y,z) i f0(t,x,y,z)

- Q0(x,y,z) t g0(t,x,y,z)

■0 . а функции /0> gQ и hQ являются T-периодическими по t , причем

«О 11

mQ соответственно, при этом

"о *

1 Im аир г* 0 t

\J"0(t.r,y,z)\

(

= О

Ilm вир г» О Г

\gQ(t.x,y.z)\

= О

lim аир г* О X

\h0(t,x,y,z)\

- О

т.в. система (8) "почти" однородна не только в окрестности бесконечности, но и в окрестности нулевой точки, фазового пространства (с другими, вообще говоря, порядками однородности).

На систему (32) переносятся (с естественными модификациями) результаты §§ 2-6. При этом априорные оценки для ограниченных решений (x(t),y(t),z(t)) семейства систем вида (32) (когда в правой части присутствует параметр X: см. (11)) устанавливаются нэ "сверху" (как это было в 5J 2-6), а "снизу", т.е. устанавливаются оценки типа

вир (3?(t) * 1?(t) z2(t)) > р > О .

Основной в J 9 является

Теорела 9.3. Пусть для системы (8) выполнены условия одной из теорем 2.1 или 3.1, а для системы (32) - условия их аналогов. Пусть tnd (F, 6) t lud (Р0, в) , где F - векторное поле (24) в Fq * (PQ, Qq, Rq) . Тогда система (8) имеет во крайней мере одно ненулевое Г-пориодаческое решение.

J5

ОСЕЕЕШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ХЗГССЕРТАЦЛ! 1 ) Предтахеш пакте признает сузэствсвгшля »тгрячзпестап а ограниченных ре^епсЭ сястен трех ойэттсвеннух ^^ррепгггз-тьЕНх ураннекпЗ с одазршзшия г-тагаъчсз частая прз рпзлпш* псрягхах одазродностеЗ.

2) Ксслеетвзвз усяоеля су™етэсвгк?я Есрпррнзх гтлтт л.7'3 врряодячадяях и orpsHsreiraix рстгзЗ' сготеч ур^т^сий? jrssœznго пша.

3) I5*?e8,th атагаз задачи о гагггхЕЗХ резензях т^ггркз ¿tjh обнжюЕеннзх етфреренциаль'шх урззЕнгЗ я гог"гп тс.тг*пгя отсутстшл СГрП5ЖЧ£ЕНЗХ ГйбрлХПНХ ГЕГГЧТЯ ТССТХ CTCTPîf.

4) Изуеткя вягрсса о рег^нглх стттг-^а дДКерегазвнгодд урззявниЭ зепгзттггз с схтгрс^шяя rjn>«T«i*Tf!I таСТГЕЗП.

5) Ste3£E3 rjnromrrn стгзстзсвгнгя j сттггп трзг' дг^дрвягяадЕЗХ jprrí:~rrJt с г;;;-:: :слггг"1 глг^нзтя • ..i. ...«.и'

ЕвИУ-ЧВЕНХ I yrewyyqBygyspt Л CI У ~ГГГ"Г' "'' ч i '"~!>_

Сснонг^з результата спт*.—з- v::-: «

рзбстах:

î. ¿-¡ггсз F-Э. Сб TTCjTCTm с;1^":1^- --¿g "Ггг.тт ГГГТ~ТТ

сдаггиа ./• -"рЯЯ".-- .^tn-^rg j___il. // Т-.тг.СГг. —

- T. 29, JS 8. - C- 443-445. 2. P-3. C<3 С

сзгстем с ¡TTWTV !.':•„.'.'"гя

га тегргз и грзлоге

- 13£7. - Ч. I- - С. l^-tT.

3. Агзггз Р.Э. 03 егргсрнзх, er

еззпл чднжэз. //*IX-î Талт.СС?. - isss! - Т. " ?. -E55-55S.

4. Аггзоз Р.Э. 05 ггр!с.рпкх егг^згх сгрг^з^гзх рчрггЭ

садаа ету'еренсячлп-тгзх .....-Л. // Т'з. Тгпа. ггт*- -

- принт. Есэ^. s«?cï. у r;¡x з ста. "Г.Э. -

5.- IfcysaamsB J-. teswB F-Э. Об-с^згрялк с?гтзг«; хтч гтр-г*-

î®ai сястека тр?х .trJTepPTssrmsst

урзгн«аЗ. // Тез. дскл. ¿прегьсгеЯ fît-?, f:-^*- та^-ягго-SBRHÇÇTOSC-ni СОСТЗРЗ TaSŒSCX.rO rVT^í-jT- ездата. -

- г. м. .