О периодических и ограниченных систем трех дифференциальных уравнений с однородными главными членами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ЗДДИКИСТ/ ТАДКИКСКШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ Ш«£/сИТЕТ

Диссертационный совет К 065.01.02 На правах рукописи УДК 517.93

АЗИЗОВ РАХМАТКОН ЭСОЕВИЧ

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ И ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ ТРЕХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С ОДНОРОДНЫМИ ГЛАВНЫМИ 11ЛЕНАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фазико-математичеыии паук

Душанбе - 1935

Работа выполнена в Таджикском Государственном Университете.

Научные руководители - член-корреспондент АН Республики Таджикистан, доктор физико-математических наук, профессор МУХЛМАДИЕВ Э.М., кандидат физико-математических наук, доцент ЛБДУВАИТОВ X.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор илолов М.И.,

кандидат физико-математических наук, доцент РАУФОВ И.Ш.

Ведущая организация - Институт проблем управления Российской

Академии наук.

Защита состоится 1995 г. в час. на

заседании диссертационного совета К 065.01.02 но присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Таджикском Государственном университете (734025, Душанбе, пр.Рудаки, 17).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского госуниверситета.

Автореферат разослан 199? г.

Учений секретарь диссертационного

совета, к.ф.-м.н., доцент ' О.Х.ХОСАРККОВ

3/3 11-1 О^'б г.Зокез ЗГ).Тн|,пж 100 ьгэ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Алтуалыюстъ тсхи. Теория нелинейных колебаний являотся объектом" непрерывных- и плодотворных исследований многих поколений математиков и физиков. Она находит саше разнообразные приложения, ей принадлежит заслуга объяснения многих примечательных явлений реального мира.

Одним из важнейших разделов теории нелинейных колебаний является проблема изуче1шя периодических и ограниченных решений нелинейных диМоронциалышх уравнений.

Наиболее глубоко изученными являются уравнения, содержащие малый параметр. У истоков теории малого параметра находятся идеи и методы, впервые сформулированные в работах А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре. Среди многих работ, посвященных дальнейшему развитии теории малого параметра, достаточно упомянуть извостныо монографии Н.Н.Боголюбова и В.А.Митропольского , В.М.Волосова и Б.И.Моргунова, И.Г.Малкина, Н.Н.Моисеева , М.Розо . Определяющую роль при исследовании уравнений с малым парамотром играют линойныэ части уравнений, свойства которых позволяют изучать вопроси существования периодических и ограниченных решений нелинейных уравнений, эффективно строить эти решения, исследовать их устойчивость и пр.

Переход к уравнениям с "существенными" нвлинейностлми, как правило, требует разработки принципиально ногах подходов и методов. Существенный вклад в теорию таких уравнений внесли работы М.А.Красносельского и его учеников, А.Куфнера и С.Фучека, Е.-Л.Лионса, Ю.И.Неймарка, В.А.Плисса, Ф.Хартмано и др. В этих работах разработаны топологические, качественные и приближенные методы исследования различных классов "существенно" нолинойних уравнз1шй.

Особое моею сроди "существенно" нелинейных дифференциальных занимают уравнения, содержащие однородные нолшюйпостя. Анализ уравнений с однородным? нэлинойностяш в определешюм с мы ело мохшо считать порвым оагом на пути поре хода от лшойных п "почти" линейных уравнений к изучению более слоюшх уравнений. Более того, если иметь в силу разлоЕвгагя тейлоровского типа, то исследование уравнений с простейшими однородными нолштойностяка югао рассматривать как основу, которая позволит получать информации о решениях уравнений с недннейпостяиз (Яше сдояяов

природи.

Среди уравнений, содержащих однородные нелинейности, наиболее изученными являются уравнения вида

<2г м

— = Р(х) * f(t.x) , х «= FT , (1)

dt

где оператор Р(х) является непрерывным и положительно однородным порядка т > О :

Р(\х) з \тР(х) , \ > 0 , (2)

а воктор-функция f(t,x) непрерывна по совокупности переменных и либо является Т-периодичоской по перомогаюй t :

f(tiT.x) = f(t.x) , (3)

либо является огршглчпшгоЯ по переменной t (при фиксированном х):

3up\f(t,x)\ < со . (4)

При этом f(t,x) удовлетворяет условию

f(t,x)\

lim зир-----— = 0 ; (5)

IXJ *ао t |Х|

здесь и всюду ниже через | | обозначается евклидова норма в пространство R11 . Другими словами, при "больших" значениях |х| правая часть системы (1) "близка" к однородной функции Р(х).

Исследованию систем вида (1) посвящено большое число работ, в которых изучались вопросы о периодических и ограниченных решениях. Р.Гомори были получены условия существования периодических рошений (в случае N = 2). Теоремы Р.ГЪмори были существенно усилены H.A.Бобылевым на основе метода направляющих потенциалов . Случай, когда функции Р( ) зависят от времени, изучен в работах Э.Мухамадиева. Следующим шагом на пути исследования уравнсш!й с однородными нелинейностями является анализ уравнения (1) в ситуации, когда свойства однородности оператора Р(х) различны для разных компонент этого оператора. Другими словами, когда компоненты оператора

Р(Х) = (Р^ (Х^ , •.. »XjjJ ,.. ., PjjfX^ ,... tXyjJ ) , (6)

являются положительно однородными:

PjOxj = \т3р3(х) . X > 0 , J = 1.....N , (7)

где числа m-j > О по обязательно все одинаковые.

Уравнения типа (1) при Н = 2 в случао, когда равенства (7) выполняются при значениях * т^ , детально. изучены в работах Э.Мухпмпдиева и Х.АОдуьзитова. В этих работях (в

которых рассматривалась и более общая ситуация, когда оператор Р зависит от переменной t) получены теоремы существования периодических и ограниченных решений уравнения (1), указаны рецепты вычисления . характеристик, определяющих условия существования таких решений.

Различным вопросам исследования систем вида (1) посвящены также работы и других авторов. Отметим среди них Д.С.Ушно, Liang Zhaojun , Ye Yanglan * в частности, Liang Zhaojun привел обзор известных результатов и формулировки открытых проблем в теории автономных систем вида (1) при N = 2 ив случае m1 / т^ .

Дальнейшее изучение дифференциальных уравнений с однородными нелинейностями представляет важную и актуальную задачу. В этой связи отметим, что в последнее время значительно возрос интерес к исследованию решений дифференциальных уравнений третьего порядка с однородными нелинейностями* такие уравнения возникают во многих практических и теоретических задачах.

Цель работы. Для системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными главными частями при различных порядках однородаостей исследовать вопросы существования периодических и ограниченных на всей числовой оси решений. Указать эффективные признаки существования таких решений, изучить возникающие при этом вопросы о гибридных решениях систем дифференциальных уравнений.

Нехцчнаа новизна. Разработаны новые процедуры исследования периодических и ограниченных задач для системы грех обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными главными частями при различных порядках однородаостей.

Получены новые теоремы об априорных оценках для периодических и ограниченных решений системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными главными частями.

Проведен анализ гибридных решений упорядоченных систем дифференциальных уравнений, изучены условия отсутствия ненулевых ограниченных гибридных решений.

Исследованы вопросы существования периодических решений систем дифференциальных уравнений запаздывающего типа с однородными главными частями.

Получены признаки существования у систем дифференциальных уравнений с однородными главными частями ненулевых периодических

решений.

Практическая 'и теоретическая ценность. Работа теоротичоская. Развитие в работе методы исследовагая периодичоских и ограниченных решений систом дифференциальных уравнений с однородными главными частями могут быть использованы при анализе кошеретных задач, приводящих к диффоронциальным уравно1шям указашгаго типа. Эти методы при естественной модификации могут быть распространо!Ш и на более широкие классы уравнений.

Методи исследова1ия._ В работе использованы общие методы теории нелинейных колебаний, теории дифференциальных уравнений с запаздывавшим аргументом, нелинейного функционального анализа, теории функций.

Апробация рааош. Отдельные части диссертационной работы обсуждались на научных семинарах Таджикского государственного университета. Института математики Академии наук Республики Таджикистан, Института проблем управления Российской Академии наук, Худжандского университета. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по теории и приложениям Функционально дифференциальных уравнений (Душанбе, 1987 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Таджикского госушверситета(Душанбе, 1988-1993 гг.), на конференциях молодых уче[шх и специалистов Таджикистана (Душанбе, 1986-1990 гг.).

Публикации. По томе диссертационной работы опубликовано пять научных статей, список которых приведен в конце автореферата.

Личный в!иад. Постановки задач и некоторые идеи принадлежат научным руководителям. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Объел и структура работы. Диссертационная работа изложена на 118 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав, содержащих 9 параграфов, четырех рисунков и списка цитированной литературы, включающего 49 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во вводении обосновывается актуальность рассматриваемых в диссертационной работе задач, приводится обзор литературных источников, формулируется цель исследований, кратк.-- излагается основное содержало работы.

Работа посвящена изучению задач о ограниченных решениях систем обыкновенных уравнений вида

ах

P(x.y.z) i f(t,i,y,z)

периодических и дифференциальных

Q(x,y,z) * g(t,x,y.z) ,

(8)

dx

dt dy dt

dz

— = R(x,y,z) t h(t,x,y,z) dt

где x, у, z, t - скалярные переменные, P( ) , Q( ) и R( ) -непрерывные положительно однородные функции:

P(Xx,Xy,Xz) = XnP(x,y,z) , X > О , '

Q(Xx,Xy,Xz\ = XnQ(x,y,z) X > О , (9)

R(Xx,Xy,Xz) = XmR(x,y,z) , X > О , .

при этом n, m > О , n / m . Функции f( ) , g( ) и h( ) предполагаются непрерывными по совокупности перемонных, ограниченными по переменной С и удовлетворяющими условиям:

1Ы г+ю

аир

I1т аир

г> со t

Ilm r^to

вир t

\f(t.x.y.z)\

--¿¡г—"

|g(t,x,y,z)\

---------= о

\h(t.X,y.Z)\

_m

(10)

где г = У * у1- + 2' .

Основную роль в построениях диссертационной работы играет развитый Я.Лоро и Ю.Шаудором метод доказательства существования решети нелинейных уравнений. Применительно к рассматриваемым в диссертации задачам этот метод приводит, например, к следующему принципу разрешимости системы (8) в классе периодических функций: если для всех Г-периодических рошоний всех систем

О

бх

— = Т(х,у,г) * ^(г.х.у.г) ¿У

— = 0(х,у,г) + \gtt.x,у,г) Л (11) dt

йг

— = Щх,у,г) + Ш1,х,у,г) <Н

гдо О < К < 1 , справедлива общая априорная оценка сверху и векторное поле

ШЬ) = иа) - и(Т) - / Т1а,и(а)1<1з , (12)

О

где и = (х.у,г) и Т = ("Р,0,Ю , на сферах больших радиусов пространства СЮ.Т1 имеет ненулевое вращение, то система (8) имеет по крайней мере одно Г-периодическое решение.

Диссертационная работа состоит из двух глав, включающих девять параграфов. Первая глава посвящено вопросам об априорных оцешсах для периодических и ограниченных решений системы (11). Вторая глава содержит исследования. относящиеся к вопросам существования решоний указанного типа у системы (8), а также некоторым приложениям.

Первая глава состоит из пяти параграфов. В § 1 приводятся поотановки основных задач, изучаемых в работе, а также формулируется ряд необходимых в последующих построениях сведений.

В §§ 2-4 изучаются условия существования общей априорной оценки для всех ограниченных решений всех систем (11) . Показывается, что эти условия связаны со свойствами ураЕНония

К(х,у,г) = О . (13)

В §§ 2 и 3 изучается ситуация, когда

Я(0,0,±1) * 0 (14)

и выполняется одно из двух условий:

Условие 2.1. Уравнение (13) при каждой фиксированной паре (х.у) имеет единственное ропюппо с ^ ФЛг.у.) .

Условие 2.2. Уравненио (13) при каждой фиксированной паре (х.у) * (0,0) имеет ровно два '-нгя г = ф, (х.у) и г = В § 4 изучается протиготлссш.-я к "-п ситуация, ког-до

П.'О.п, I I - Г; (15)

.гок атом ггоедполагаетсп, что

Щх,у,1)Щх,у,-1) * О . |хМу| * О . (16)

В § 2 изучается ситуация, когда выполняется Условие 2.1. Наряду с (8) вводится в рассмотрение однородная система

Ох

— = РГх,у,<р(х,у)1 , М ■

ЗУ (И

= <ЭСх,у,ф(х,у)] ,

(17)

Основной в § 2 является

Теорела 2.1. Пусть т > п > О и выполнено Условие 2.1. и соотношение (14) . Пусть система (17) не имеет ненулевых ограниченных решений. Тогда существует число М = ЙГ/^,^ < м такое, что для всех ограниченных решений (ха), уП), гЦ)) всех систем (11) справедлива общая априорная оценка

¿а) + + гга) < и2 » . (1в)

В 5 3 изучается ситуация, когда выполняется Условие 2.2. Наряду с (8) рассматриваются также системы

&г

— = Р(х,у,ф.(х,у)) , <Н '

<*У

— = дгх^.Ф^х,!/;; , с1г

— = РГх,у,фр(Х,у)1 , ¿ГС

<зу

— = 0!х,у,ф2(х,у)) ,

(19)

(20)

Пусть решением

<= С-«,'»; и вектор-функция уа)) является

системы (19) при С < и решением системы (20) при ( > г0 . Тогда будем говорить, что (х((), уа)) яг.ляотся гибридным решением упорядоченной пары систем (19)-(2П). Будом говорить, что система

(±Г

— = Р(х,у,г),

аг

сК

ЗУ

— = С1(х,у,2),

(12

— = Шх.у.г), аг

обладаот Ос:нов1шм свойством, если выполнены следующие условия: 1° системы (19) и (20) но имеют ненулевых ограниченных решений;

11(1,у,г) > О ( Щх.у,г) < О ) при '^(х.у) < г < фг(х,у) ,

то упорядоченная пара систем (19)-(20) (упорядоченная пара систем (20)-(19)) но имеет ненулевого ограниченного гибридного решения.

Справедлива

Теорема 3.1. Пусть т > п > 0 , т > 1 . Пусть выполнено соотношение (14) и Условие 2.2 . Пусть , наконец , система (21) обладаот Основным свойством. Тогда существует У , О < И < со , такое, что для всех ограниченных решений (ха), уа), г(1)) всех систем (11) справедлива общая априорная оценка (18).

В § 4 изучается вопрос об априорных оценках (18) для ограниченных решений системы (11) в предположении, что система (8) является автономной и выполнены соотношения (15) и (16).

Установлена

Теорола 4. К Пусть О < п < т < п+1 . Пусть система (8) являотся автономной и выполнены соотношения (15) и (16). Тогда существует число II , 0 < К < «, , такое , что для всех огра-ничошшх решений (x(t), у(1), га)) всех систем (11) справедлива общая априорная оценка (18).

Одним из условий в теореме 3.1 является требование отсутствии у упорядоченной пары систем (19)-(20) ненулевых ограниченных гибридных решений. В § 5 изучается вопрос об условиях отсутствия таких решений у упорядоченной пары систем вида

2° если

ей <3х

= Р(х) , X е й2 , = (3(Х) , X е Л2 ,

(22)

<Н

гдо Р(х) и Q(x) - положительно-однородные футсции порлисо т > О.

Положим х = (1,т\) и

Р(х) = (P^i.^J.P^ri.i])) , Q(x) = (Q,(t,r}),Q?(t,ri)) ,

Через 9Гф; и "пГф; ( О < ф < 2% ) обозначим одну из непрпрнв-ннх ветвей соответственна функций

РгСсояф,з1гир) Q2(cos<p,3trup)

И(ф) = Arctg - . G(ф} = Arctg -- ,

Р1(созф,з{пф; Q1(созф.з(пф)

причем в(О) и ri(O) ( О < 0(0) < 2% , О < т-¡(О) < 2х ) есть углы соответственно между векторами (1,п) и (Р1( 1 ,0),Рп(1.0)) и между векторами (1,0) и (Q^(1,0),QZ(1,0)) , отсчитнваомыо от (1,0) в положительном направлении.

Пусть 5>k и Ф^ - множества всех корней, соответственно, уравнений ОГф; - ф = 2кк и т\(ф; - ф = (21*1)% .

Если каждый корень уравношя 8(ф; - ф = кк меньше каждого корня уравнения 9(ф) - ф = (к-1)%, то говорят, что система (22) обладает свойством Помори.

Будем говорить, что множества А и 5 на числовой прямой отделимы, если существует число а такое, что либо А с (-<*>. а) и 5 с (а, а>) , либо А с (а, <о) и В с (-<*>, о) .

Пусть системы (22) и (23) обладают свойством Гомори. Пусть при любых фиксированных целых к и I множества Фк и Oj отделимы. Тогда будем говорить , что упорядочетшая пара систем (22)-(23) обладает свойством Гомори.

Теорема 5.1. Упорядоченная пара систем (22)-(23)' но имеет ненулевых ограниченных гибридах решепий, если и только осли она обладает свойством Гомори.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В 5 6 приводятся признаки существования периодических и ограниченных решений системы (8). Приведем некоторые из полученных результатов.

Теорема 6.1. Пусть в условиях одной из теорем 2.1, 3.1 или 4.1 векторное поле (12) имеет ненулевое вращение на сферах SM = (u(t) е С(0,Т) : |u(t)\c ■= М) при всех достаточно больших & > О. Тогда система (8) имеет по крайней мере одно Г-периодическоо решение.

Тсорела 6.2. Пусть для всех ограниченных решений всох систем (11) имеет место общая априорная оценка (18). Пусть индекс нуле-г-па ОС'Л'-.Я ТОЧКИ векторного ПОЛЛ

F(w) = ( F(w), Q(u>). R(w) ) . w = (x.y.z) , (24) отличен от нуля: Ind (F,Q) t 0 . Тогда система (8) имеет по крайней мере одно У-нериодическое решение.

Теореяа 6.3. Пусть в условиях одной из теорем 2.1, 3.1 или 5.2 выполнено соотношение Ind (F,в) / 0 . Тогда система (8) 1шеет по крайней мере одно Т-периодическое решение.

Теорела 6.4. Пусть правые части системы (8) являются ограниченными по £ функциями. Пусть имеет место априорная оценка (18) . Пусть, наконец , Ind (F,в) ? О . Тогда система

(8) имеет по крайней мере одно ограниченное решение.

В § 7 обсуждается вопрос о распространении результатов §} 2-6 на дифференциальные уравнения более сложной природа. Рассматривается система дифференциальных уравнений запаздывающего типа dx

— = F(X.y.Z) + f[t,X(t),X(t-l),y(t),y(t-l),Z(t),Z(t-l)], dt

й1 dt сiz

— = R(x,y,z) + h(t,x(t),x(t-i),y(t),y(t-i),z(t),z(t-i)],

где x > О , функции P , Q и R удовлетворяют соотношениям

(9), а нелинейности / , g и h непрерывны по совокупности переменных, ограничены по переменной t и удовлетворяют соотношениям

|/ftfx1,x2,i/1,y2,z1,z2J|

llm зup --- = О

r-»a> t

= Q(x,y,z) + g[t,x(t),x(t-i),y(t),y(t-D,z(t),z(t-i)],

(25)

1 Im з up r-»co i

IШ аир r+m t

г11

1 gCt.x, •х2.'У-\ 'У2,21 .Zz)\

г"

IWt.*, •VI

r"1

= О

= О

(26)

где г = V х^ + у^ + г^ Для системы (25) устанав-

ливаются аналоги утверждений, полученных в §5 2-6.

В § 8 рассматриваются скалярные дифференциальные уравнения

вида

4 £

г* 2*

Г 9 *

и - К(и,н ,и ) - па,и,и ,и ) - О , (27)

где Е(х,у,г) - положительно-однородная функция порядка т > О , а функция ЫЪ ,х,у,г) удовлетворяет соотношении

• ^--,--у-

11т пир -------- ------ = О , г = V Vе-1 2 .

г »00 £ гт

На уравнение (27) распространяются полученные в §§ 2-6 результаты. Приведем некоторые из них.

Пусть выполнено Условие 2.2. и <р^(х,у) и ф2(х,у) - это решения уравнения (13). Рассмотрим скалярные уравнения

,\) = \2 , (28) ф2(1,ц) = у? , (29)

и системы дифференциалыгых уравнений

= И > у\ = Ф, . (30)

х = У . У = Фг(х,у) . (31)

Теорем 8.1. Пусть ¡1(0.0, +1) * О и т > 1 . Пусть выполнены Условие 2.2 и уравнения <?8) и (29) разревгож. Пусть, наконец, если

Щх.у.г) > О ( П(х,у,г) < 0 ) при ф1Гx,y^ < г < ф2(х,у) ,

то упорядоченная пара систем (30)-(31) ( упорядочонпая тара систем (31)-(30)) обладает свойством Гомора. Тогда для всех ограниченных реиеттй всех уравнений вида (27), в которых вместо Ь(>) рассматриваются функции >Л(<), 0< X < Г, справедлива обшая априорная оценка

Iиа)\г * \и'а)\г * ]u'(t)\г < и < со , -в < { < оо .

Теорет 8.2. Пусть в условиях творога 8.1 выполнено соотношение 1пс1 (Р,в) * 0. где Т(х,у,г) - (у,г,Е(х,у,г)). Тогда уравнение (27) тлеет по крайней мере одно ограпичогатоо вместо с производными первого и второго порядков репопие.

В 5 3 приводится также ряд иллюстративтгах примеров.

В 5 9 обсуждается вопрос о существовании поиулоЕих периодических решений системы (8) . Рассматривается ситуация, когда (8) продставляется так ко в виде •

<1г

т

й1 М Ог

- Р0(х,у,г) * /0а,х.у,г) ,

- (10(х,у.г) » в0а,х,у,2) , ^ И0(х,у.2) 4 п0(г,х,у,г) ,

где функции Р.

О'

ш «о и

"о 11 и л,

"о

положительно однородные порядков п0, соответственно, при этом лл / т0 , а функции /0, £0

0 являются Г-периодическими по 1 ,

Пи зир ------

г+Э г "о

'о

причем

(

- о ,

11т аир г.0 Г

I1т аир г-0 t

= О

|Ь0Г£ ,х.1/,гл

- О

т.о. система бесконечности.

(8) "почти" однородна не только в окрестности но и в окрестности нулевой точки, фазового пространства (с другими, вообще говоря, порядками однородности).

На систему (32) переносятся (с вотиствонныыи модификациями) результаты §5 2-6. При этом априорные оценки для ограниченных решений (ха).уа),г(1)) семейства систем вида (32) (когда в ираьой част присутствует параметр X: см. (11)) устанавливаются не "сверху" (как это было в §5 2-6), а "снизу", т.е. устанавливаются оценки типа

вир (^(С) * + х2а)) > р > о . .

Основной в § 9 является

Теорела 9.3. Пусть для системы (8) выполнены условия одной иа теорем 2.1 или 3.1, а для системы (32) - условия их аналогов. Пусть Ш СР, в) ? Ш (Р0, в) , где I - векторюе поле (24) о Р0 * (Р0, в^) . Тогда система (8) имеет по крайней цоро одно ненулевое ^-периодическое решение.

г

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1) Предложены новые признаки существования периодических и ограниченных решений систем трех обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными главными частями при различных порядках однородностей.

2) Исследованы условия существования априорных оценок для периодических и ограниченных решений систем уравнений указанного типа.

3) Проведен анализ задачи о гибридных решениях системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений и получены условия отсутствия ограниченных гибридных решений таких систем.

4) Изучены вопросы о периодических решениях системы трех дифференциальных уравнений запаздывающего типа с однородными главными частями.

5) Указаны признаки существования у систем трех дифференциальных уравнений с однородными главными частями ненулевых периодических и ограниченных решений.

Основные результаты диссертации опубликованы в- следующих работах:

1. Азизов Р.Э. Об отсутствии ограниченных гибридных решений

систем дифференциальных уравнений. // ДАН Тадж.ССР. - 1986.

- Т. 29, № 8. - С. 443-446.

2. Азизов Р.Э. Об априорных оценках для ограниченных решений

систем с отклоняющимися аргументами. // Тез. докл. Всесоюз. конф. по теории и приложениям функционально-диффер-х ур-й.

- Душанбе, 1987. - Ч. I. - С. 16-17.

3: Азизов Р.Э. Об априорных -оценках для ограшпенных решшшй системы трех дифференциальных уравнений с одтгородннми главными членами. // ДАН Тадж.ССР. - 1988. - Т. 31, » 9. - С. 555-558.

4. Азизов Р.Э. Об априорных опенках для ограниченных решений системы дифференциальных уравнений. // Тез. Респ. науч. -

- практ. конф. мол. ученых и спец. -Душанбе, 193Э. - С.5-6. 5: Абдуваитов '<., Азиюв Р.Э. Об -априорных оиопкпх лля ограниченных рошош'й системы трех нолинейных днФФореншалмшх

уравнений. /'/ Тез. д'жл. Апрельской науч. к^нф. проф-'осогс-когч -преподап-го Ъоогом Таджикского гапунипоргиттп. -