О положительных периодических решениях параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

БАТЫРОВ НМРМАЙИЛ ГАСАН - ог,лы

О ПОЛОЕИТЕЛЫЖ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

РГ6 од

2 7 №

На правах рукописи УДК 517.956.4

Москва - 1996

Работа выполнено на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета им. 14.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Кондратьев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.К.Гущин кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Г.А.Иосифьян

Ведущая организация - -Институт прикладной математики

им. М.В.Келдыша РАН.

Защита диссертации состоится "а/" 1996 г,

в 16 час. ОЪ мин. на заседании диссертационного совета ,Ц, 053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, Механико-математический факультет- , аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ / Главное здание, 14 этаж/.

Автореферат разослан 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного С5~

совета Л.ОбзУЙ при МГУ,

доктор физико-математических

наук, профессор Т.П.Лукашенко

ОЩАЯ ЗДРАКТЕРИСТЖА РАБОТЫ

Актуальность темы. Параболические уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами рассматривались многими математиками [i]t[2],C3l, [Ч], [5] и др. Исследовались при этом как линейные , так и нелинейные задачи. Основное внимание уделялось вопросам существования и единственности решения. Б связи с этим возникает актуальная задача об исследовании свойств решений, таких как асимптотика по пространственным переменным , колеблбмость решений. Заметим, что аналогичные вопросы полно, исследованы для эллиптических задач.

Параболические задачи с периодическими коэффициентами по {. встречаются в ряде задач математической физики.

[l] Колесов lü.C, Периодические решения квазилинейных параболических уравнений второго порядка. // Труды Моск. мат. об-ва, 21, / 1990 /, ЮЗ - 134.

[Zl ¿№<xs4iKgs S. Т^ QJ-isle-h-ae. of peUopitс. он-з ~Lo UVcc^Lvoibos, eyu-CbtioH,. // Quotyf.. У. JlcUL'. Oxford. 1599 (i 97*/); 3>S9-3«.

C31 JVcctLceo Jll. Oh, &OLtKoUz3.S>. ргы'оЛСйд 0<ß $о>ъ&1и>Р1&кл<х-1г patcu&o-ii'c. lOitcdioH-s, //\У.

L9 (¿9¥s) ? 3&S.

M Hess Р. , 2>Мга.г^о Л. Оуъ. ike, j>tt)uxpa£

o<£ a^ а-Ых'оо&с- ~p0*ta(oo£i'(L opetadx>x^

UCo^m. ^'/At.. ^и-сЛСоил 9;919-т(1Щ

[5] Кондратьев H.A.,, Олейник O.A. О периодических по времени решениях параболического уравнения второго порядка во внешних областях. // Ьестник СлГУ, Сер. мат. 1у85, С. 38 - 4?.

- г -

В нашей работе исследуются вопросы о существовании поло -жительных решений и асимптотическое поведение решений по пространственным переменным для линейных и нелинейных уравнений второго порядка.

Среди работ, посвященных параболическим уравнениям с периодическими коэффициентами по времени, наиболее близкими к нашей работе являются ¿4J, [5].

•В работе ^рассматривается задача на собственное значение для параболического оператора второго порядка с периодическими коэффициентами по ~t и иссследуется вопрос о существо -вании ведущего собственного значение / т.е. для которого существует положительная собственная функция /. В этой работе предполагается, что коэффициенты гладкие функции и рассматривае -мая область имеет гладкую границу. Аналогичные вопросы в те -ории эллиптических уравнений исследованы в работах В нашей работе предполагается, что — произвольная огра -ниченная область и коэффициенты ограниченные , измеримые Функции.

В работе [5 ] рассматривается линейное уравнение второго порядка без младших членов во внешности компакта и исследуется асимптотическое поведение периодических по L решений при /х/-><»,

/^Красносельский г«. А., Соболевский U.K. О неотрицательной собственной функции первой краевой задачи для эллиптического уравнения. // УМН, 1961, T.I6, № I, С. 1-J1 - 199.

[ У] Кондратьев В.А., Керимов Т.Ь, 0 спекре эллиптического оператора второго порядка. // Мат. заметки, Т.20, р 3, 1976

/^Асланян А.Г., Лцдский В.Г.С спектре эллиптических уравнений. // Мат. заметки, 1970, Т.7, С. 49о- оО^.

Мы наследуем асимптотическое поведение решений линейных и нелинейных уравнений в областях различной структуры.

Цель работы. Исследование свойств периодических по времени решений, а именно : существование и асимптотическое по -ведение по пространственным переменным.

Научная новизна. В диссертации доказано существование ве -дущего собственного' значения спектральной задачи в ограниченной области с однородным краевым условием Дирихле. Найдены условия несуществования положительных периодических по времени решений нелинейного параболического уравнения во внешности компакта. Исследовано' также асимптотическое поведение по пространствен -ным переменным решений ряда линейных и нелинейных параболических уравнений второго порядка.

Методы исследования. В диссертации используются результа -ты теории параболических уравнений [Э], результаты о фундамен -тальных решениях линейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами [Ю].

Приложения. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, а также в задачах математической физики.

Аппробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре механико-математического Факультета МГУ по уравнениям с частными произ-

[9"] Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Москва " Наука " 1967.

öu-K, wt.AiMfc. Ъос. . 1У6Ч . 73. 2>9О~&96,

водными под руководством проф. В.А.Кондратьева и проф. Е.М.Лан-диса, на семинаре МИРАН по уравнениям с частными производными.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора , список которых приведен.в конце автореферата.

Структура и обьем диссертации. Работа состоит из введения , трех глав, разбитых на 8 параграфов, и списка литературы, со -держащего 34 наименований. Общий обьем диссертации 102 отрайиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ-

Во введении показана актуальность работы , приводится об -зор ранее полученных результатов по этой теме, формулируются основные результаты диссертации. У

Работа посвящена изучению свойств обобщенных из = Я}* решений параболических..уравнений второго

порядка с периодическими коэффициентами по 16

Под (0.т ) понимается пространство функций

таких, что СС(Ы}{ + Т) , СС (*,{)£ У/1'0(С1Т) и

Ы! =1Е.1К1)Ш*)1 <Хх < оо где

& ' Т о

Норма в нем определяется равенством

1

где их - ( и^, ... , ) .

В § 1.1 главы 1 доказывается следующий аналог теоремы %>едгольма, которая регулярно используется во всей диссертации.

Пусть

У <т

. где 1 , CL(x7-i) ограниченные , измери-

мые , Т- периодические по функции в Q — Q X и

■с

(X ^ , ( у 7 удовлетворяют условиям

415/4 ia^xM-^vj^l1- > Qij - Qji Cl)

для любого Sefel , + ) £ QT , где CoKsi >0 .

ТЕОРЕМ. I. Пусть А оператор вида I ) , Jri^ - ограниченная область в . Тогда или

а) однородная задача LU. ~ О в Q.r , LL - О нн

, {¿.(Xy-i-h7") — U.(x}i) имеет тривиальное решение, и в этом случае неоднородная задача ¿с — ^ в , UL - О на , (¿-(хЛ + т) ~ имеет

единственное решение для любой (V, ) £ J^^C QT ) ,> = f(x7i)\ ИЛИ

б) однородная задача имеет нетривиальные решения , которые образуют конечномерное подпространство пространства ,

Заметим, что во всех исследуемых нами задачах предполагается, что выполнено условие равномерной параболичности ('¿), и рассматриваемые коэффициенты ограниченные измеримые, Т- периодические по ~L функции.

В § 1.2 главы I рассматривается задача на собственное значение:

Lu-^u, в а 7 &)

= + ? (if)

- О -

где оператор вида (I), ¿2- произвольная ограни -

ченная область в /7x1 и доказывается следующая основная теорема главы I .

ТЕОШлА 2. Существует, такое Л € (Я. , что для него имеется положительная в. О^т собственная функция задачи .

В § 2.2, 2,3 главы 2 рассматривается уравнение

■ я,

где - ^ ¿¡Иограниченная область, содержащая

начало координат внутри себя.

В § 2,2 доказываются теоремы единственности решений из класса \Х/У' С ат ) уравнения (ъ) при условии

^ у Со С.

1к1 (б)

О-т -52

, В § 2.3 главы 2 исследуется асимптотическое поведение решений при /У /—ь- ос и доказыаются следующие основные результаты:

ТЕОЕЕМА 3.. Пусть 3 , ¿¿- (х^ решение уравне-

ния удовлетворяющее условию С б).

Тогда существует такая постоянная Л1 , что в ^

¡(ХЫ^)- м\- 0(/х!*-*-) при /х/->оо .

ТЕОРЕМ 4. Пусть ¡Ъ -С 3 » С X0 Ь )-решение уравнение ^удовлетворяющее условию (б).

Тогда найдется такая постоянная Л? , что

при к =--1 у > ¿1 , = > о

- ? -

M f = Ofe~L*') i h- - Cous,> о}

при n. - 4L

¡U(x7b) - м/ = 0(/x/~k) , otkit ъ

где константа к, не зависит от решения U. (X. 7 ^ ) .

6 § ¡¿,4 главы И рассматривается следующее нелинейное уравнение

в к; /х/>е} X , где Р^ОуыЛ ■

Доказана следующая теорема:

ТЕОЙЖ о. Пусть h. >/3 . Qo (УА) ^ Clxl* С-Оок%{ )> о,

(У + % + Тогда уравнение (?)не имеет

положительных решений в 00

В третьей главе исследуются еле,дующие нелинейные уравнения:

Lj_ и- ~ - IU ¡р'г ¿с , с&)

Ltn = - (9)

в G(o,<*>)-S(o,<*)x ^ , где X = Сх£,... , ),

с краевым условием

По)

на Г(о,оо) -¿х; хеъиэ, о<хк <*>} X ,

где ¿О € ПЬ - ограниченная область с липщициевой грани-

цей , V внешняя нормаль к^£<> , р - Соп.%1: >/ и

= О при ¿¿И. , ССнн I .

Решение определяется из класса

для любого К > О , где (Рг (о, ^ ) =. * ^С,7")-

Доказаны следующие теоремы:

ТЕОЕЁМ б. Если 1Л(у,4г} решение задачи , такое,

что оно меняет знак в (к, оэ) для любого > О , то

где 1ъ = СоЬ$1>0 не зависит от решения Сс{х.)-(г') . ТЕОРЕМА 7, Пусть СС(у7 + )-

положительное решение задачи (8)^0). Тогда

где !>(*, + ) I < с е'^ , ср Г"

У^ДС - Сон.%,{>0> И ^ не зависит от решения и )

ТЕОШчА 8. Пусть & (у.^)-решение задачи С9)?Г10), такое, что О ^ . Тогда

' ' рл.

и(х^) ^

где /IV*, О/С , Реше™е

уравнения С * ~ У- } в Со.оо)

С " Со*^>С>> причем не зависит от решения ¿//У,/-).

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю , доктору Физико-математических наук, профессору Ь.А,Кондратьеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Багыров Ш.Г. Об асимптотике периодических решений параболического уравнения второго порядка в цилиндрических областях. /Утопись деп. ВШИТИ РАН 02.11.94, р £486-В94, 16с.

2. Багыров Ш.Г. 0 существовании положительного решения параболического' уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами по времени. // Вестник МГУ, Сер. I, мат.мех. 1996.

№ 2. стр. 86-99.